多元函数极值理论的应用论文.doc

邯郸学院本科毕业论文邯郸学院本科毕业论文 题题 目目 多元函数极值理论的应用 学学 生生 # 指导教师指导教师 岳 勇 讲师讲师 年年 级级 2008 级本科级本科 专专 业业 数学与应用数学 二级学院二级学院 数学系 （系、部）（系、部） 邯郸学院数学系 2012 年 6 月 郑重声明郑重声明 本人的毕业论文是在指导教师#了的指导下独立撰写完成的。如有剽 窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由 此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此 郑重声明。 毕业论文作者（签名）： 年 月 日 I 多元函数极值理论的应用 摘 要 极值问题可以说是经典微积分学最成功的应用无论是在科学研究，还是在实际工 程，运筹规划，经济管理中，经常要解决怎样使投入量最少，产出最多，效益最高等问 题因此解决这类问题具有现实意义这些经济和生活问题通常可以转化为数学中的函 数问题来探讨，进而转化为求函数中极大值、极小值的问题本文首先给出多元函数极 值问题的起源与发展，之后依次给出二元函数的非条件极值与条件极值理论，三元函数 的非条件极值与条件极值理论，多元函数的非条件极值与条件极值理论，以及二元函数、 三元函数以及多元函数极值在实际问题中的应用 关键词：关键词：多元函数 极值 条件极值 拉格朗日乘数法 II Application of multivariate function extreme value theory Zheng Jingna Drected by Lecturer Yue Yong ABSTRACT Extremum problem can be said to be the most successful application of classical calculus. Both in scientific research, or in the actual engineering, planning, economic management, often to solve how to make investment amount is least, produce the most highest benefits, etc.These economic and living problems usually can be transformed into mathematics function to discuss the issue, and then converted to a function of the maximum value, minimum value problem.This paper first gives the origin and development of the extreme value of function , followed by given binary function of the non-conditional extreme value and conditions of extreme value theory , the ternary function of non-conditional extremum conditions of extreme value theory , multivariate function of non - conditions for the extremum conditions of extreme value theory, and binary function , ternary function and extreme value of function in practical problems. KEY WORDS：Multiple function Extreme value Conditional extremum Lagrange multiplier method 1 目目 录录 摘 要.I 外文页.II 前 言.1 1 多元函数极值理论的起源与发展.2 2 二元函数极值理论.2 2.1 二元函数非条件极值理论 .2 2.1.1 二元函数非条件极值的定义.2 2.1.2 二元函数非条件极值存在的必要条件.3 2.1.3 二元函数非条件极值存在的充分条件.3 2.1.4 二元函数极值的求解方法.3 2.2 二元函数条件极值理论 .4 2.2.1 二元函数条件极值的定义.4 2.2.2 二元函数条件极值的求解方法.4 2.3 二元函数极值理论的应用 .5 3 三元函数极值理论.7 3.1 三元函数的非条件极值理论 .7 3.1.1 三元函数非条件极值的定义.7 3.1.2 三元函数非条件极值存在的必要条件.7 3.1.3 三元函数非条件极值存在的充分条件.8 3.1.4 三元函数极值的求解方法.11 3.2 三元函数的条件极值理论 .11 3.2.1 三元函数条件极值的定义.11 3.2.2 三元函数条件极值的求解方法.11 3.3 三元函数极值理论的应用 .12 4 n元函数极值理论 .13 4.1 n元函数非条件极值理论 .13 4.1.1 n元函数非条件极值的定义 .13 4.1.2 n元函数非条件极值存在的必要条件 .14 2 4.1.3 n元函数非条件极值存在的充分条件 .14 4.1.4 n元函数极值的求解方法 .15 4.2 n元函数的条件极值理论 .15 4.2.1 元函数条件极值的定义 .15n 4.2.2 n元函数条件极值的求解方法 .16 4.3 n元函数极值理论的应用 .16 参考文献.19 致 谢.20 1 前前 言言 极端是数学的常态，所以极值问题是数学中最有魅力的一部分有人说：数学能告 诉我们，多样的背后存在统一，极端才是和谐的源泉和基础从某种意义上说，数学的 精神就是追求极端，它永远选择最简单、最美的，当然也是最好的无论是在科学研究， 还是在实际工程，运筹规划，经济管理中，经常要解决怎样使投入量最少，产出最多， 效益最高等问题这些经济和生活问题通常可以转化为数学中的函数问题来探讨，进而 转化为求函数中极大值、极小值的问题解决这类问题具有现实意义，因而多元函数极 值理论是多元函数微分学的重要应用 正是由于多元函数极值理论在实际生活中应用广泛，然而涉及多元函数极值理论的 文献相当多但过于分散，给初学者带来了很大的不便，已经证明了的理论给出的典型例 题还不够，需要加以完善，因此对多元函数极值理论的研究显得尤为重要本文首先帮 助大家抓住多元函数极值理论的关键所在，又配有相应的典型例题，可以使读者少走弯 路提高效率，提高他们学习数学的兴趣，进而开阔视野，达到举一反三的效果 2 1 函数极值理论的起源与发展 极值问题起源于两个古希腊传说，一是迦太基的建国者狄多女王有一次得到一张水 牛皮，父亲许诺给她能用此圈住的土地作为她的嫁妆，于是她命人把水牛皮切成一根皮 条，沿海岸圈了一个半圆，这就是所能圈出的最大面积这个传说的另一个版本是：自 从地中海塞浦路斯岛主狄多女王的丈夫被她的兄弟格玛利翁杀死后，女王逃到了非洲海 岸，并从当地的一位酋长手中购买了一块土地，在那里建立了迦太基城这块土地是这 样划定的：一个人在一天内犁出的沟能圈起多大的面积，这个城就可以建多大 法国物理学家奥缪拉于 18 世纪由蜂房的尺寸得到一个启示：蜂房的形状是不是为了 使材料最节省而容积最大呢？（数学的提法应当是：同样大的容积，建筑用材最省；或 同样多的建筑材料，造成最大的容器） 后来苏格兰数学家经过计算得出的结果竟然和蜂 房的尺寸完全一样此后多元函数极值问题先后被应用在生物学，物理学，以及日常生 活中过去在批判某人或控诉旧社会时人们爱用的一个词就是“无所不用其极” ，其实这 就是数学和数学家的本质1971 年，哥伦比亚大学杜卡用电子计算机经过 47.5 小时的计 算，将至少展开到了小数点后 1000082 位，成为迄今为止最长的一个无理数方根这2 种极端做法是为了要验证的一个特殊性质正态性在数学历史上许多极值问题的2 提出和解决极大地推动了数学的发展 2 函数极值理论 2.1 二元函数非条件极值理论 2.1.1 二元函数非条件极值的定义 定义定义 1 1 设函数在点的某个邻域内有定义，对该邻域内异于 1 ),(yxfz ),( 00 yx 的点,如果都适合不等式),( 00 yx),(yx ，),(),( 00 yxfyxf 3 则称函数在点取极大值；),( 00 yx 如果都适合不等式 ，),(),( 00 yxfyxf 则称函数在点取极小值),( 00 yx 极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点该定义亦可 推广到多元函数的情形 2.1.2 二元函数非条件极值存在的必要条件 定理定理 1 1 设函数在点具有偏导数且取得极值，则它在该点的偏导 1 ),(yxf),( 000 yxP 数必为零，即 0),(),( 0000 yxfyxf yx 证明见参考文献2 2.1.3 二元函数非条件极值存在的充分条件 定理定理 2 2 设函数在点的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续的 2 ),(yxfz ),( 00 yx 偏导数,又，记0),(),( 0000 yxfyxf yx ， ， ),( 00 yxfA xx ),( 00 yxfB xy ),( 00 yxfC yy 则函数在处是否取得极值的条件如下：),( 00 yx (1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；0 2 BAC0A0A (2)时没有极值；0 2 BAC (3)时可能有极值，也可能没有极值，需另作判定0 2 BAC 证明见参考文献2 2.1.4 二元函数极值的求解方法 第一步 求出函数可疑极值点首先，根据极值存在的必要条件解方程组),(yxfz 4 ，求出函数的驻点之后考虑一阶偏导数不存在的点 0),( 0),( yxf yxf y x ),(yxfz 第二步 对每一个可疑极值点进行检验根据极值存在的充分条件判断),( 000 yxP 是否为极值点并求出极值),( 000 yxP 该理论可推广到三元函数以及多元函数的情形 2.2 二元函数条件极值理论 2.2.1 二元函数条件极值的定义 定义定义 2 2 在约束条件下，函数的极值称为条件极值 3 0),(yx),(yxfz 2.2.2 二元函数条件极值的求解方法 （1）代入法 直接将条件代入转化为无条件极值由解出代入便化为0),(yx)(xy),(yxfz 无条件极值 有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值，但对一些复杂的问题，条件极值很难 化为无条件极值因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法 （2）拉格朗日乘数法 要求函数在限制条件下的可疑极值点,可先作拉氏函数),(yxfz 0),(yx ， ),(),(),(yxyxfyxF 再解方程组 ， 0),( 0),(),( 0),(),( yx F yxyxf y F yxyxf x F yy xx 求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点, yx),(yx 注注 拉氏乘数法可推广到一般元函数或限制条件多于一个的情形 5 2.3 二元函数极值理论的应用 例例 1 1 求的极值. 1 61065),( 22 yxyxyxf 解解 由方程组 01010 062 yf xf y x 得的稳定点，由于f) 1, 3( 0 P ， ， ， ，2)( 0 Pfxx0)( 0 Pfxu10)( 0 Pfyy20)( 0 2 Pfff xyyyxx 因此在点取得极小值又因处处存在偏导数，故为的唯一极f 0 P8) 1, 3(ff) 1, 3( f 值点 例例2 已知某企业的生产函数为,其中的价格为3，的价格 22 2105KLKLQLK 为6，总成本为270，试求企业的最佳要素组合 分析分析 根据已知条件求企业利润最大化的要素投入组合，即求在约束条件 下取得极大值时的与的值27063 KL 22 2105KLKLQLK 解解 设拉格朗日函数 ，)27063(2105),( 22 KLKLKLKLX 则 ， 027063 06210 0345 KL X K K X L L X 解得 ，即使得企业利润最大化的要素投入组合为10L40K)40,10( 例例3 设一个厂商制造一台计算机的成本为 ，销售量为，一台计算机的销售价格cx 为假设这个工厂计算机的生产量等于销售量依据对目前计算机市场走势调查，销p 售量与销售价格之间有下面的关系 xp 6 （1） ap Mex )0, 0(aM 其中为市场最大需求量，是价格系数同时，厂商根据对生产环节的调查，提前计Ma 算每台计算机的成本 为c （2）xkccln 0 ) 1, 0(xk 是生产每台计算机时的成本，是规模系数 0 ck 根据上述条件，应如何确定计算机的售价，才能使该厂获得最大利润？p 解解 设商家得到的利润为，每台计算机售价为，每台生产成本为 ，销售量为，upcx 则 xcpu)( 于是问题化为求利润函数在附加条件（1） 、 （2）下的极值问题xcpu)( 作拉格朗日函数 )ln()()(),( 0 xkccMexxcpcpxL ap 令 ，0)( x kcpLx ，0 ap p aMexL 0xLc 将（1）代入（2） ，得 （3）)(ln 0 apMkcc 由（1）及知，即 （4）0 P L1a a 1 由知，即 （5）0 c Lux 1 u x 将（3） 、 （4） （5）代入，得0 x L ，0 1 )(ln 0 k a apMkcp 由此得 ak k a Mkc p 1 1 ln 0 * 因为由问题本身可知最优价格必定存在，所以这个就是计算机的最优价格只要确定 * p 7 了规模系数，价格系数，计算机的最优价格问题就解决了ka 3 函数极值理论 3.1 三元函数的非条件极值理论 3.1.1 三元函数非条件极值的定义 定义定义 3 3 设函数在点的某个邻域内有定义，对该邻域内异于 4 ),(zyxf),( 000 zyx 的点，如果都适合不等式),( 000 zyx),(zyx ，),(),( 000 zyxfzyxf 则称函数在点取极大值；),( 000 zyx 如果都适合不等式 ，),(),( 000 zyxfzyxf 则称函数在点取极小值),( 000 zyx 3.1.2 三元函数非条件极值存在的必要条件 定理定理3 设三元函数在点具有偏导数并且取得极值，则 4 ),(zyxf),( 0000 zyxP .0),(),(),( 000000000 zyxfzyxfzyxf zyx 证证 因为函数在点取得极值，所以固定在后)(Pf),(zyxf),( 0000 zyxPzy, 00,z y 所得的一元函数在点取得极值，因此 ，同理， ),( 00 zyxf 0 x0),( 0 00 xxx zyxf ，故 0),( 0 00 yyy zyxf0),( 0 00 zzz zyxf 0),(),(),( 000000000 zyxfzyxfzyxf zyx 8 3.1.3 三元函数非条件极值存在的充分条件 定理定理 4 若函数在点的邻域内有定义，且有一阶及二阶连续偏 5 ),(zyxf),( 000 zyx 导数，则 当，时，函数取极小值，0 2 x f0 2 2 y xy xy x ff ff 0 2 2 2 z zyzx yz y yx xzxy x fff fff fff 当，时，函数取极大值0 2 x f0 2 2 y xy xy x ff ff 0 2 2 2 z zyzx yz y yx xzxy x fff fff fff 当二次型是不定的，则在点 222 222 222zfzyfyfzxfyxfxf z yz y xzxy x 处必无极值.(其中),( 000 zyx 000 ,zzzyyyxxx 证证 1)由泰勒公式，并注意到在极值点必须，0 zyx fff 就有 ),(),( 000000 zyxfzzyyxxff yxzzyyxxfxzzyyxxf xy x ),(2),( 2 1 000 2 000 2 2 000000 ),(),(2 2 yzzyyxxfzxzzyyxxf y xx ， ),(),(2 2 000000 2 zzzyyxxfzxzzyyxxf z yz （6） 由于的一切二阶偏导数在连续，记),(zyxf),( 000 zyx ，),( 00011 2 zyxfa x ),( 00012 zyxfa xy ),( 00013 zyxfa xz ，),( 00022 2 zyxfa y ),( 00023 zyxfa yz ),( 00033 2 zyxfa z 那么有 ，)0, 0, 0(0,),( 111111000 2 zyxazzyyxxf x ，)0, 0, 0(0,),( 121212000 zyxazzyyxxfxy ，)0, 0, 0(0,),( 131313000 zyxazzyyxxfxz 9 ，)0, 0, 0(0,),( 222222000 2 zyxazzyyxxf y ，)0, 0, 0(0,),( 232323000 zyxazzyyxxfyz ，)0, 0, 0(0,),( 333333000 2 zyxazzyyxxf z 于是 222 2 1 2 3323 2 221312 2 11 zazyayazxayxaxaf ，222 2 1 2 3323 2 221312 2 11 zzyyzxyxx 当不为的零时候，注意到 2 3323 2 221312 2 11 222zazyayazxayxaxaKf 时，都是无穷小量，所以存在点0, 0, 0zyx 332322131211 , 的一个邻域，使得在这个邻域内，与的符号相同，而当时，),( 000 zyxfKf0Kf 的符号便取决于的符号了f 2 3323 2 221312 2 11 222zzyyzxyxx 对于二次型 ， 2 3323 2 221312 2 11 222zazyayazxayxaxaKf 它的判别式 ，当，也就是 333231 232221 131211 aaa aaa aaa H 0 11 a0 2221 1211 aa aa 0 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 说当为正定二次型时，引入点与之间的距离，Kf),( 000 zyx),(zyx 222 zyx 从（6）式的括号内提出并令改写为的表达式为： 2 , 321 zyx f 222 2 2 3333223 2 22231132112 2 111 2 aaaaaaf ， （7）222 2 2 3333223 2 22231132112 2 111 一切的数值不同时等于零，如果为正定的，则（7）式的前一括号和式恒为正 321 ,Kf 号，进一步说，因为 ， （8）1 321 所以必定能找到这种正常的数，使得对于可能有的一切数值总有m 321 , ，实际上，这一和式是变元在全maaaaaa 2 3333223 2 22231132112 2 111 222 i 10 空间的连续函数，特别在满足（8）式的点的集合中也是连续函数，所以这一),( 321 u 和式在上述集合中有最小值，因为这一和式在中的一切数值都是正的，所以它必然是uu 正的另一方面，当（7）式的后一括号内的和式中的充分小时，显然在绝对值上可小 于，于是全括号内的值是正值因此，在点充分小的邻域内，必取正值，m),( 000 zyxf 由此可见在所说的点处有极小值同理可证，当为负定时，函数),( 000 zyx),(zyxfKf 有极大值 2）设当时， 321 ,hzhyhx 222 222 222zfzyfyfzxfyxfxf z yz y xzxy x ， （9）0222 2 332 2 23121 2 1 222 hfhhfhfhhfhhfhf z yz y xzxy x 当时， 321 ,hzhyhx 222 222 222zfzyfyfzxfyxfxf z yz y xzxy x ，0222 2 332 2 23121 2 1 222 hfhhfhfhhfhhfhf z yz y xzxy x 首先，一方面令，它对应于沿着连接与)0( , 321 tthzthythx),( 000 zyx 的直线移动，代入（6）式可得),( 302010 hzhyhx 222 2 2 332 2 23121 2 1 2 222 hfhhfhfhhfhhfhf t f z yz y xzxy x ，222 2 2 3333223 2 22231132112 2 111 2 hahhahahhahhaha t 由（9）式可知，前一括号内的和式为确定的正数，至于第二个和式，则当时它的0t 系数趋于零，因为在这是显然也就是说，在充分小的 内上述括号, 0, 0, 0zyxt 内的式子为正值，即在上述直线上充分接近于的点有.),( 000 zyx),(),( 000 zyxfzyxf 另一方面令，他对应于沿着连接与)0( , 321 tthzthythx),( 000 zyx 的另一直线而移动，同理可得在其上充分接近于的点),( 302010 thzthythx),( 000 zyx （即对应于充分小的 ）有：，由此得证在点处不能取t),(),( 000 zyxfzyxf),( 000 zyx 得极大值，也不能取得极小值. 11 3.1.4 三元函数极值的求解方法 求函数的极值时，应首先求出驻点和偏导数不存在的点，然后对所有的可),(zyxf 疑极值点进行检验，确定极值点并求出极值 3.2 三元函数的条件极值理论 3.2.1 三元函数条件极值的定义 定定义义 4 4 函数在个约束条件下的极值 4 ),(zyxfm0),(zyx i )3;, 2 , 1(mmi 称为条件极值. 3.2.2 三元函数条件极值的求解方法 （1）代入法 当约束条件大于等于两个时，直接将条件代入转化为无条件极值由，0),(zyx 解出，代入便化为无条件极值0),(zyx)(xy)(xz),(zyxf （2）拉格朗日乘数法 要求函数在限制条件下的可疑极值点,可先作拉氏函数),(zyxf0),(zyx ，),(),(),(zyxzyxfzyxF 再解方程组 ， 0),( 0),(),( 0),(),( 0),(),( zyx F zyxzyxf z F zyxzyxf y F zyxzyxf x F zz yy xx 求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点.,zyx),(zyx 注注 拉氏乘数法可推广到一般元函数或限制条件多于一个的情形 12 3.3 三元函数极值理论的应用 例例4 讨论函数的极值 5 r z q y p x zyxf 222 ),( 222 )0,(rqp 解解 ， ， ，要想取得极值，首先令即 p x fx q y fy r z fz0 zyx fff ，即在原点处可能取得极值，又0zyx ， ， p fA xx 1 0 xy fB0 xz fC q fE yy 1 0 yz fD r fF zz 1 ，, 0 1 2 p f x , 0 1 1 0 0 1 2 2 pq q p ff ff y xy xy x 0 1 1 00 0 1 0 00 1 2 2 2 pqr r q p fff fff fff z zyzx yz y yx xzxy x 所以函数在点取得极小值.)0 , 0 , 0( 例例 5 求函数在条件及下的极值xyzzyxf),(1 yx1 2 zyx 解解 由两个条件可得，将其代入目标函数中消去变 2 2 2 z x 2 2 z y xyzzyxf),( 量可得，两边求导可得，可得稳定点yx, 53 2)(4zzzf 42 56)(4zzzf ， ，0 1 z 5 6 2 z 5 6 3 z 由于，而，所以不是函数的极值点0)0( f 012)0( f 1 z 又显然，故函数在处取得极大值；0 5 6 12) 5 6 (4 f 5 6 2 z 5 6 25 6 ) 5 6 (f 又，因此函数在处取得极小值；0 5 6 12) 5 6 (4 f 5 6 3 z 5 6 25 6 ) 5 6 (f 例例 6 求函数在下的条件极值 6 zyxu2236 222 zyx 13 解解 作拉格朗日函数，则)36(22),( 222 zyxzyxyxL ， 036 022 021 022 222 zyx L z z L y y L x x L 它有两组解 , 4 1 , 4, 2, 4 ; 4 1 , 4, 2, 4 2222 1111 zyx zyx 即得稳定点)4 , 2, 4(),4, 2 , 4( 21 PP 再求二阶偏导数,2, 0,2, 0, 0,2 zzyzyyxzxyxx LLLLLL 因负定，故函数在点取条件极大值，且 2 1 00 0 2 1 0 00 2 1 ),( 11 PHL)4, 2 , 4( 1 P18 max u 又正定，故函数在点取条件极小值，且 2 1 00 0 2 1 0 00 2 1 ),( 22 PHL)4 , 2, 4( 2 P18 min u 14 4 元函数极值理论 4.1 n元函数非条件极值理论 4.1.1 n元函数非条件极值的定义 定义定义 5 5 设函数在点的某个邻域内有定义, 4 ),( 321n xxxxfy),( 00 3 0 2 0 1n xxxx 对该邻域内异于的点，如果都适合不等式),( 00 3 0 2 0 1n xxxx),( 321n xxxx ，),(),( 00 3 0 2 0 1321nn xxxxfxxxxf 则称函数在点取极大值；),( 00 3 0 2 0 1n xxxx 如果都适合不等式 ，),(),( 00 3 0 2 0 1321nn xxxxfxxxxf 则称函数在点取极小值),( 00 3 0 2 0 1n xxxx 4.1.2 n元函数非条件极值存在的必要条件 定理定理 5 5 设元函数，若在点 4 n),( 321n xxxxfyExxxx n ),( 321 f 0 P 处可偏导且取极值，则),( 00 3 0 2 0 1n xxxx 0)()()( 000 21 PfPfPf n xxx 证证 只证明，其他类似考虑一元函数，则是0)( 0 1 Pfx),()( 00 211n xxxfx 0 1 x 的极值点由于在点可偏导，因此在点可导，于)( 1 xf 0 x)( 1 x 0 1 x 是同理即得0)()( 0 0 1 1 Pfx x 0)()()( 000 21 PfPfPf n xxx 4.1.3 n元函数非条件极值存在的充分条件 定理定理 6 如果函数， 7 ),( 321n xxxxfyExxxx n ),( 321 0 P 的某邻域内，具有 Hesse 矩阵，则),( 00 3 0 2 0 1n xxxxA 15 （1）若为正定（或负定）矩阵时，在取严格极小（或极大）值；Af 0 P （2）若为半正定（或半负定）矩阵时，在点取极小值（或极大）值；Af 0 P （3）若为不定矩阵，在点必无极值Af 0 P 证证 由在点处的泰勒公式)(Pf 0 P )( )( )( )( )( )( )()( 000 22 2 00 11 1 0nn n O xx x Pf xx x Pf xx x Pf PfPf )( )( )( )( )( )( 2 1 00 11 1 0 2 0 22 0 11 21 0 2 20 11 2 1 0 2 nn n xxxx xx Pf xxxx xx Pf xx x Pf )( )( )( )( )( )( 00 22 2 0 2 20 22 2 2 0 2 0 11 0 22 12 0 2 nn n xxxx xx Pf xx x Pf xxxx xx Pf 0 20 2 0 2 0 22 0 2 0 2 0 11 0 1 0 2 )( )( )( )( )( )( Rxx x Pf xxxx xx Pf xxxx xx Pf nn n nn n nn n ， n n fn n R x x x PHxxx x x x PgradfPf 2 1 021 2 1 00 )(),( 2 1 )()( 其中，是比高阶的无穷小), 2 , 1( 0 nixxx iii n Rx 对于驻点,由引理结果，则上述泰勒展开式又可写为 0 P0)(g 0 Pradf ， n n nfn R x x x PHxxxPfPf 2 1 210 )(),( 2 1 )()( 由此可见，当正定时，在点的某去心邻域内就有，即)( 0 PH f0 X0)()( 0 PfPf 故为的极小值点同理可知：当负定时，)()( 0 PfPf),( 00 2 0 10n xxxP)(Pf)( 0 PH f 为的极大值点),( 00 2 0 10n xxxP)(Pf 16 4.1.4 n元函数极值的求解方法 求函数的极值时，应首先求出驻点或偏导数不存在的点，然后),( 321n xxxxfy 对所有的可疑极值点进行检验，确定函数的极值点并求出函数极值 4.2 n元函数的条件极值理论 4.2.1 n元函数条件极值的定义 定义定义 6 6 函数在个约束条件 4 ),( 321n xxxxfym0),( 321 ni xxxx 下的极值称为条件极值.);, 2 , 1(nmmi 4.2.2 n元函数条件极值的求解方法 （1）代入法 直接将条件代入转化为无条件极值 解出0),(, 0),(, 0),( 321132123211 nnnn xxxxxxxxxxxx 代入便化为无条件极值)(,),(),( 112211nnnnn xxxxxx ),( 321n xxxxfy （2）拉格朗日乘数法 要求函数在限制条件下的极值点,可先作),( 321n xxxxfy0),( 321 n xxxx 拉氏函数 ),(),(),( 321321321nnn xxxxxxxxfxxxxF 再解方程组 ， 0),( 0),(),( 0),(),( 321 321321 2 321321 1 22 11 n nxnx nxnx xxxx F xxxxxxxxf x F xxxxxxxxf x F 求出点这样求出的点就是可疑条件极值点, 21n xxx),( 321n xxxx 17 注注 拉氏乘数法可推广到一般元函数或限制条件多于一个的情形 4.3 n元函数极值理论的应用 例例 7 设，讨论它的极值 4 22 2 2 1 ),( 21 n xxx n exxxf 解解 显然， in x xxxxf i 2),( 21 22 2 2 1n xxx e ni, 2 , 1 令，解得驻点为0 21 n xxx fff) 0 , , 0 , 0( 再计算二阶偏导数得到 ， 22 2 2 1 )21 (2),( 2 21 n ii xxx inxx exxxxf ni, 2 , 1 及， 22 2 2 1 4),( 21 n ji xxx jinxx exxxxxf jinji, 2 , 1, 那么，nif iix x , 2 , 1, 2) 0 , , 0 , 0(jinjif jix x , 2 , 1, 0) 0 , , 0 , 0( 因此的 Hesse 矩阵为f ， kk IA2 200 020 002 其中为阶单位矩阵于是，因此是负定的故 k Ik), 2 , 1(02det) 1(nkA k k k k A 为极大值1) 0 , , 0 , 0(f 例例8 在长为的导线一端接上条分导线，各长，在各导线上电流 8 0 lk), 2 , 1(ksls 强度各为试求要怎样选择导线的横断面积，使得线路， k iiii, 210 k qqqq, 210 ),( 10 ll ，两端的电位差是E，而用的材料最少所给物质做成的线，当长与横),( 20 ll),( , 0k llV 截面积为1时，电阻记作c 解解 该题要求变量的函数的最小值 k qqqq, 210 kkq lqlqlV 1100 注意所给的电位差，可以写出个关系式Ek ， （10）0)( 0 00 E q il q il c s ss s ), 2 , 1(ks 作函数