（基础数学专业论文）含对流项反向热传导问题的三种正则化方法.pdf

兰州大学2006 届硕士学位论文 摘要 反向热传导问题是由介质在某一时刻t = t 0 时的温度分布数据u ( x 、t 1 ：= 佃( o ) 来反演t 0 ，r ( k ) 是非闭 的并设r 。：y x 是有界线性算子，若对所有g d ( k _ 1 ) 总存在着个参数 选取规则o = ( 6 ，矿) 使得 姆8 u p 删r = y 5 一k 。y 矿一9 1 1 d ) = 0 ( 14 ) 成立，这里n ：r + y 一兄+ 使得 ；i ms u p d ( 5 ，y 。) ：y 。i iy 。一y 临d ) = 0 ( 15 ) 那么算子簇( 凡。) 叫做- 1 的正则化，对每一个y d ( k _ 1 ) ，若( 14 ) ，( 15 ) 都成 立，偶对( r 。，口) 就叫做解方程k z = y 的一个正则化方法 到目前为止，数学界和工程界的许多学者给出了各种各样的正则化方法去研 究标准的反向热传导问题这些方法有：拟逆方法( 1 5 】- 【7 ) ，条件稳定性( 【8 ，f 2 1 ) ， 中心差分方法【9 ，软化方法【l0 】，基本解方法( i n 一 1 2 ) ，迭代方法【1 3 ，等价于第一 类f r e d h o l m 积分方程的方法1 4 1 ，终值数据扰动正则化方法2 1 1 等 在。轴方向上以常速度运动着的介质的扩散，悬浮粒子的扩散以及一维流体的 热传导规律都可用含有对流项的热方程u 。= 啦+ 。来描述，这一方程也是b u r g e r s 方程相应的线性方程，因此在大气动力学等领域有着重要意义在文献【8 】， 9 】， 2 1 1 ， 2 2 】 2 兰州大学2006 届硕士学位论文 【3 0 】中对标准反向热传导问题，即标准热方程u t = u 。所对应的关于z 的无界区域 上的问题 fu 。= 啦，。r ，o t t ， 1u ( z ，t ) = 竹( z ) ， z 冗 与有界区域上的问题 fu t t = u t ， u ( 。，t ) = 妒t ( 。) ， 【u ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = o 0 z 1 0 t t 0 z 1 0 t t 进行了深入的研究在本论文中我们将考虑如下含有对流项的热方程所对应的非标 准反向热传导问题： 僚i i 篡， 和有界区域上的f 1 题 2 r 0 。 t ( 16 ) z r iu 。= u 。+ 吨，0 t t ，0 0 的温度场分布u ( z ，t 1 ： p r ( z ) 来求t t 时的温度包含两种情况：求t = 0 的初始温度( z ，0 ) 和0 t 0 ) 趋于零，就称问题 是一般不适定的：如果的奇异值m 是以指数衰减的速度趋于零，就称问题是严 重不适定的 对问题( 16 ) 我们知道，如果u ( z ，0 ) 为某一连续函数，u ( x ，t ) 在区域0 = “z ，t ) 【x r ，o t t ) 是无穷次可微的，事实上还可以有更强的结论，即u ( z ，t ) 对。是解析的，因此如果问题( 1 _ 6 ) 的解存在，则卿( ) 必须解析也就是说，如 果阳( z ) 仅仅是连续函数，则上式问题的解肯定是不存在的但更为重要的是，即 使给定的妒t ( o ) 是解析的，该问题的解存在，但它对妒t ( z ) 也是不连续的，也就是 说p t ( z ) 的微小误差可能引起解的巨大改变在生产实际和科学实验中，妒t ( z ) 一 般是观察数据，因此误差是不可避免的 下面我们说明无界区域上问题( 1 6 ) 的不适定性： 这个问题在于沿着时间的反方向去寻找问题( 1 6 ) 的解，即我们需要从终值数 据u ( x ，t ) = 妒r ( o ) 寻找解u ( x ，t ) ，这里t 满足0st 0 表示误差水平 由条件( 24 ) $ 1 1 p a r s e v a l 等式知 p 一o p t i 茎6( 25 ) “( ，o ) 1 1 2 = 1 1n ( ，o ) 酽= ie ( 2 懈) 7 衍( ) 1 2 。( 26 ) j 一 注意到 当【i o 。时，7 一。o 从f a ( 26 ) 隐含着函t ( ) 的高频部分必须迅速衰减但是具有误差的测量数据妒 ( ) 的频率部分不可能有这样快的衰减这样# t ( z ) 的一个小的变化可能导致解u ( 。，t ) ( 0st t ) 的巨大变化且这说明上面的问题在l 2 ( r ) 范数意义下是严重不适定 的 下面我们说明有界区域上0 t t ，0szs l 问题( 17 ) 的不适定性 我们要由t 时刻的温度分布来确定0 t o ) 是适当选择的正则化参数，并设。是区间 一+ 。z 】上的特 征函数即 f l ， 一。，+ 靠。】， “一10 ， 一矗。，+ 矗l 那么问题( 16 ) 对应于扰动数据p ( 。) 的f o u r i e r 正则化逼近解定义为： 她。：= 去e 一叫冉嘲口棚骶 ( 3 1 ) 我们有以下结果： 定理3 1 设由( 22 ) 给出的( z ，t ) 是问题( 1 6 ) 在区间0s t o j i 川，：= ( ( 1 十2 ) 一j 那x s f j 有以下结果： 定理3 2 对于t = 0 ，p 0 ，选取正则化参数矗。为 时，则成立收敛性估计 岛。= ( 亍1l n ( 鲁( 1 i l 萼) 。，) ) j j ( ，0 ) 一毗h 。( 证明：类似于定理3 1 o l 临( 扣扣鲁) 我们有 印) ) 一 + e ( i n - e g ) ( 3 4 ) ( 35 ) ( 36 ) i l “( ，o ) “d ，e ( 。，0 ) i i = t lo ( ，0 7 一d 6 ，f 。( ，o ) i i = 1 ie 7 p 挂西( ) 一e t 孵+ 4 。磷( f ) x 。i i - ( s f 根据( 3 6 ) 式中。的选取，我们得 i l “( ，0 ) 一“6 加。( ，0 ) 性l 矗p + e 靠n t 7d 乏( ；l n ( 孚( 1 n 詈) - 印) ) 一；+ e ( 1 n 鲁) 印 证毕 易知 f f “( ，o ) “t f ( ，0 ) | f 一0 ，j ，o + 估计式( 37 ) 是一种对数型误差估计，也是对大部分已知结果的改进 8 第四章修正的t i k h o n o v 正则化方法 下面我们用修正的t i k h o n o v 正则化方法来求解问题( 16 1 由式( 2 1 ) 得： e 一( f 2 + 4 孵一) o ( f ，t ) = p t ( ) ( 41 ) 1 已 膏：一e 一( f 2 + t f ) ( t 一“ 则( 41 ) 式可表示为算子形式 n ( ，t ) = 妒t ( ) 显然算子霞的逆算子露一1 无界，为了在频域空问求d ( ，t ) 的稳定近似解 价的去求下面的t i k h o n o v 泛函的极小化问题： | i 膏t ( ，) 一p t ( ) 1 1 2 + 。2i id ( ，t ) | 1 2 ，d ( ，t ) l 2 ( r ) ( 42 ) 我们等 ( 4 3 ) 而( 4 3 ) 有极小化解等价于下面的第二类正规方程有唯一解 2 2 ，且解n ( f ，t ) 连续 依赖于p t ( ) 2 a ( ，t ) + 宜+ 宜n 嬉，妁= 霞+ p t ( ) ， a 0 其中：霞+ 为霞的共轭算子 引理4 1 第二类正规方程( 44 ) 在上2 ( r ) 意义下有唯一解如下： 昧，扣等等掣， 或等价地 出，归去e 鬻 证明：设j 表示l 2 ( r ) 上的恒等算子，霞+ 表示霞的共轭算子 矗( ，t ) = ( n 2 j + 霞+ 戽) 一1 膏+ p r ( ) 下面求膏的共轭算于露+ ，设d ，0 l 2 ( r ) 因为 ( 觑( ，t ) ，o ( ，t ) ) = e 吨2 栈) 口。t ( ，t ) 砸两 = d ( f ，t ) e 一口一) ( f 2 一) o ( f ，t ) 又 ( 矗，o ) = ( 缸，+ o ) ( 44 1 ( 45 ) ( 4 6 ) a ( 44 1 式知 兰州大学2006 届硕士学位论文 所以 p 十 ( n ，k + o ) = a ( ，t ) e 一( t “) ( e 2 一； ) o ( ，z ) j 一 此式实际上对所有n l 2 成立，又由于算子膏的共轭算子露+ 是唯一的，故有 那么 证毕 霞+ = e 一啦2 一t f ) f f n ( ，t ) = ( 舻+ e 一2 e 2 ( 7 一) ) 一1 e 一( 。一f ) ( “如( ) 一生竺：= ! 堕塑 一14 - 0 2 e 2 2 ( t 一) 由于直接对上式进行误差估计较困难，我们将作如下的修改且记 昧，归笺掣， ( 4 ，) o ( ，t ) = 二_ 丁_ = 历器型， ( 47 ) 并希望通过。的适当选取使得 巾，归去ee 征鬻蜓( 4 s ) 为问题( 1 6 1 的一个稳定逼近解 引理4 2 z t 设o t p o - - l 十。“7 e s ( 2 t 一” t 。 鳃再两s 。7 ( 4 9 ) f 4 1 0 、 。s ( ? 一e ) m ) 。番虿面， 5 o 2 e 2 “= f t 行- t ， ( 4 1 1 ) 易知，( 5 ) 的极大值点满足关系( 41 1 ) ，于是 e 2 “= ( 丽t - t ) a 一2s d 一2 e s ( ? 一t ) so 等， 1 0 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 兰州大学2o06 届硕士学位论文 1 - - o l 2 8 2 s t ) = 百t + t 蔓l ， ( 41 4 ) 联合( 4 1 3 ) 式及( 4 1 4 ) 式，可得 p 5 ( t c )t t 船干否万茎。_ 这就是( 49 ) 式 ( 2 ) 再证( 4 1 0 ) 式： 记 口5 ( 2 tt ) 9 ( 5 ) 2 舌i 面， 3 o 令9 如) = 0 ，得 。2 e 2 8 t ：_ 2 t - t( 4 1 5 ) 易知9 ( s ) 的极大值点满足关系( 41 5 ) ，于是： 1 + d 2 e 2 “：_ 2 t ， ( 41 6 ) 。即r 叫：。字( 兰三；) 哿， ( 41 7 ) 篙= 。字( 南) 击( 竿) 寺， ( 4 1 8 ) 五刁i 丽2 。7 【j f j ) ”( f 一) 面， 【41 8 j 联合( 41 6 ) 式及( 41 7 ) 式，可得 e s ( 2 t t )t 一2 t 翔干i 零兰。7 这就是( 4 1 0 ) 式 定理4 1 设由( 2 2 ) 式给出的函数u ( 。，t ) 为问题( 16 ) 在z r ，0 t t 上的 精确解( 4 8 ) 式给出的函数u ( z ，t ) 为问题( 1 6 ) 在z r ，0 t 0 ，这里h 。( r ) 定义如 下( 2 4 ) ： f 日。，o o 营| | 川。= fl o 川l 。 o 。，f r m l l 圳沪( l f l “i ，( ) 1 2 ) 0 ，妒o ( z ) h 。( 兄) 由引理( 43 ) 知，正则解妒8 ( z ) 应满足正规方程 o ( 6 ，e ) 妒8 ( z ) + k + 妒8 ( z ) = k + 妒 ( 。) 由k 定义知： k + k , o ( x ) = k + 妒t ( 。) 跌立f 4 2 6 ) ( 42 7 ) 式得： 。( 妒8 ( z ) 一p o ( z ) ) + k + ( 妒5 ( 。) 一# o ( 。) ) = a 妒o ( x ) 4 - k ( # ( z ) 一# t ( z ) ) 在( 42 8 ) 式两边同时与( 妒6 ( z ) 一咖( 。) ) 作内积： f 42 5 1 f 42 6 1 ( 42 7 ) f 42 8 1 n 1 1 砩( z ) 一妒o ( z ) 1 1 2 + i k ( t 硝( z ) 一妒o ( z ) ) 1 1 2 = 一。( 妒。( 。) ，妒：( z ) 一妒。( z ) ) + ( 妒拿( 。) 一9 幻，( 。) ，( 妒8 ( z ) 一妒o ( z ) ) ) 两边取绝对值并且利用c a u c h y s c h w a r z 不等式得： 理【i 妒6 ( z ) 一妒o ( z ) l 【2 + | | 符( 中8 ( 。) 一妒o ( z ) ) 1 1 2 墨nf i 咿。( z ) | | | | 妒5 ( z ) 。( z ) | | + | | 薅( 。) 一妒t ( 。) f l 】| ( 妒：( z ) 一妒o ( z ) ) 曼t - i l lp 。( z ) 1 2 + i i 妒8 ( z ) 一p o ( z ) 1 2 ) + ；( i 妒 ( z ) 一妒t ( z ) 1 2 + | 【( 妒：( z ) 一妒o ( z ) ) 1 2 ) 穆项合并，并由( 42 4 ) 式可得： 0 1 1 妒：( z ) 一妒o ( z ) 1 1 2 + i k ( 妒5 ( z ) 一妒。( z ) ) 0 2 茎a | 1 妒o ( 。) 1 1 2 + 6 2 从而有： i i ( 妒8 ( z ) 一铀( z ) ) 1 1 2 兰。| | 妒o ( z ) | | 2 + 占2 于是： 岍一渊) _ | 2 ：割帅，( 咖( 圳r( 4 2 9 ) = 去 i ( z ) ( 妒一帅( z ) ) 1 1 2 _ 0 ) ，且满足i o 妒o ( ) | | 2 茎e ，那么正则化 参数被选取为： o = d ，( 43 5 ) 则成立误差估计： 8 ( ) 一州川吲刍l n 等一俪 ( 4 3 6 ) 这里 b = m a x ( i | ( z ) 1 2 + 6 ，( i i | i op 。( ) l i + 以；s u p ( ifi o ( ) 咿)( 4 3 7 ) 证明：设b 冗+ 未待定常数，那么 。乱。q “舶1 2d 仁。志泳嬉) ( 僦嬉卜嬉”| 2 埏 勤9 墨刍i ( 鳅汁洲锄陬 ：= 刍面i i ( ) ( 庐8 托) 一9 。( ) ) 1 1 2 利用f 42 9 ) 式得： i 鳅) 一如( 引2 去击陋i i 州圳2 ) 另外 乒：廷) 一p o 嬉) 1 2d i - 2 - 1 f 1 2 。1p 5 ( f ) 一p o ( f ) 1 2 0 时，( b ) o ，( 上。) 0 所以方程( 4 4 0 ) 存在唯一解 也即方程( 4 3 9 ) 存在唯一解 假设b e 是方程( 4 3 9 ) 的解，为了估计b 5 的范围，我们在方程( 43 9 ) 的两边取对数得 坷6 ；i n b f ；h 嘉 当6 0 时，i i n 砉一一o o 所以，当6 0 时，有： 母( 6 5 ) = 一t b ；一a l n b e 一o o 1 7 蕊 蛇 兰州大学2006 届硕士学位论文 易知 砂( b ) = 一2 t & 一- a o ，o t 正p ( t ) 待定 ( 5 2 ) r 53 1 定理5 1 设由( 2 2 ) 式给出的函数u ( z ，t ) 为问题( 16 ) 在z r ，0 t t 上的 精确解( 5 2 ) 式给出的函数u ( 。，t ) 为问题( 16 ) 在z r ，0 t 雕) 。 其中 即) = ；( 刍) 字 那么成立如下的误差估计式： u ( ，t ) 一”( ，t ) 怪e 1 一 d ( 55 ) ( 5 6 ) 注5 1 ：称”( z ，t ) 为问题( 1 6 ) 的滤波正则化解前几节得到的误差估计( 33 ) 和( 42 0 ) 都是阶数最优的误差估计而估计( 5 6 ) 与前面的最大不同点它是最优误 差估计( 2 2 j ，( 2 孔即不管使用什么样的正则化方法在先验条件( 24 ) 下，不可能得 到比( 56 ) 更好的估计因此在理论上，这是一个最强的h s l d e r 型稳定性估计 证明：由p a r s e v a l 公式并结合( 21 ) ( 22 ) ( 2 4 ) ( 25 ) ( 52 ) ( 54 ) 我们有 | | u ( ，t ) 一”( ，t ) i = 1 1n ( ，t ) 一o ( t ，t ) j = | _ e ( 2 + 4 ) ( 7 一乒t ( f ) 一p ( ，t ) 嬉) _ | 剑西( ) ( e ( e 2 + ) ( 7 一。) 一p ( f ，t ) ) l i 1 9 幢 e 一 ) t 0 斟8 ，、l 兰州大学2006 届硕士学位论文 + 【ip ( ，t ) ( 驴，( f ) 一 幢) ) 0 刑冉螂塑等：未掣啦 曼e s u s u p l 竺凳型m t 芦 曼l l 可咏产业【邯( 。芦 = e s u p ，( 2 ) + 卢( t ) d e r 胀z ) ：竺箬盟 并夸，( g ) = 0 得， e ( 5 k 卸( t ) ， ( 57 ) 易知，( ”) 的极大值点满足关系式( 57 ) ，于是， i iu ( ，t ) 一 ( ，t ) l i e ( t t ) t 一南卢( t ) 一击t 南+ p ( t ) d( 58 ) 现在把不等式f 5 8 ) 右端极小化，为此设 ( 卢) = e ( t q t 一矗pf 生南+ 口6 ， ( 59 ) 令 7 ( 口) = 0 得 卢= ；( 妄) 警 这就是( 55 ) 式易知由( 5 5 ) 式给出的卢( t ) 是h ) 的极小值点，由此便得到h s i d e r 型最优误差估计： f f “( ，t ) 一口( ，t ) 临e 1 一j 定理证毕 上述处理含有对流项问题的方法还可以推广到如下更一般问题： “z z 2 2 “。+ “c + “，o t ，。r ， ( 5 l o ) iu ( 。，? ) = 妒t ( z ) ， z 兄 我们要用终值数据u ( z ，t ) = 妒t ( ) 来确定0 t t 时物体中的温度分布( z ，t ) 这也是一个严重不适定问题，如果u ( 。，t ) 在古典意义下满足问题( 51 0 ) 且u ( z ，t ) 关于。变量属于l 2 ( r ) ，称u ( z ，t ) 为问题( 5 1 0 ) 的解对方程( 5l 0 ) 两边关于z 作f o u r i e r 变换，我们可得到问题( 5 1 0 ) 的精确解的f o u r i e r 变换为： 矗( 毛) = e 措2 + 。f + 1 ) ( ? 一。) t ( 日，( 5 1 1 ) 2 0 兰州大学2006 届硕士学位论文 或等价地 u k x , t l = 而1e 扩叫“斟1 ) ( t 叫涨) 鹰 由f 51 1 1 知 a ( ，o ) = e ( p + 1 f + 1 ) 7 驴t ( ) 此外，我们假设u ( 。，0 ) 满足先验界为 | l u ( ，0 ) l i e ， 测量数据磷满足 l i 僻一妒刊is 5 ( 5 1 2 ) ( 5 1 3 ) ( p ) ( q ) 由p a r s e v a l 等式知， ，+ 1 1u ( ，o ) 1 1 2 = i 叱o ) 旷= le ( e 2 + 1 ) 7 西( f ) 1 2 蟛 0 ，0 t t ，p 0 ) 待定 定理5 2 设由( 51 2 ) 式给出的函数u ( z ，t ) 为问题( 5i 0 ) 在z 瓦0 t t 上的精确解( 5 1 6 ) 式给出的函数 ( z ，f ) 为问题( 5 1 0 ) 在。r ，0 t t 上的正 则近似解同时假设条件( p ) 和( q ) 成立那么当p ( ，) 被选取为： fe ( t 一) ( f 2 + 。 + 1 “句2 ) e - t ) e 2 1 z 嚣端饕 c s 兰州大学2006 届硕士学位论文 其中 刖= 手面6 ) 一t - t 那么成立如下的误差估计式： i i “( ，t ) 一”( ，) 临e 1 一 持 ( 5 1 8 ) ( 5 1 9 ) 并称u ( z ，t ) 为问题( 51 0 ) 的滤波正则化解 证明：由p a r s e v a l 公式并结合( 5 1 2 ) ，( 5 1 6 ) ，( 51 7 ) ，( 52 2 ) , n ( 51 8 ) ，我们有 i “( ，t ) 一”( ，t ) j i = i i t ( ，t ) 一o ( ，t ) 0 = 1 ie ( p + 。 + 1 ) ( 7 。衍( f ) 一p ( ，t ) 磷( f ) i | 墨| | p t ( ) ( e ( p + 4 e + 1 ) ( 7 一“一户( f ，t ) ) | | + 【| p ( f ，t ) ( 西( ) 一瞬( ) ) | i - i i 。( s 2 + - e + - ，r p ，( f ) ! ! ：兰；：；i ；旦i 立! | + 9 ( e ) 6 s e s u p l 丝掣掣d 剑m l 可獗产i + 刖6 茎e s 即，( 2 ) + z ( t ) a 瓜。，：掣筹掣 并令，( ) = 0 得， 一 e ( 7 一) ( v + 1 ) = 卢( t ) ， 易知，( 2 ) 的极大值点满足关系式( 52 0 ) ，于是， 1 1u ( ，t ) 一 ( ，t ) i l 兰e ( t 一) t 一南卢芋三t 下量+ 卢6 ( 52 0 ) ( 52 1 ) 现在把不等式( 5 2 1 ) 右端极小化，为此设 h ( 卢) = e ( t t ) t 一盎p f 三t 击+ 口6 令h 7 f 口) = 0 得 即) = ；( 妄) 字 这就是( 51 8 ) 式易知由( 51 8 ) 式给出的z ( t ) 是h ( z ) 的极小值点，由此便得到h s l d e r 型最优误差估计： 1 iu ( ，t ) 一 ( ，t ) 怪e 1 6 兰州大学2006 届硕士学位论文 这就是f 5 1 9 ) 式 定理证毕 下面我们用滤波正则化方法来求解问题( 17 ) ( 以下”| i 表示驴( 0 ，1 ) 范数) 注意到( 27 ) 式，我们令： ) c 让k ( 52 2 ) ( 52 3 ) 由( 5 2 3 ) 并注意! u o sz l ，那么 i 【”( ，0 ) 怪0u ( ，0 ) l 再m ( 29 1 知 ，o ) i i = i i e 冉2 + 护c 挑i e ( 52 4 ) k = 1 m ( s2 2 ) 及( 27 ) 知 ( z ，t ) = c 胁= e i u ( x ，t ) = e 一 妒t ( 。) ， 而对于扰动数据有 醌u t = e 一 “6 ( z ，t ) = e i 妒；( z ) = 1 p 1 e - 妒 ( z ) ( z ) 如， = 1 ，2 ， j 0 ( ，t ) 1 1 _ 1 iu ( ，t ) 一( ，t ) i i = i 【妒t 一妒 1u ( ，t ) 一u 6 ( ，t ) 1 1 = | i ( “一c ) u ti i = ( ( 瓦一c t ) 2 ) o 待定 定理5 3 设由( 2 7 ) 式给出的函数( z ，t ) 为问题( 1 7 ) 在0 z 1 ，o t t 上的精确解由( 52 6 ) 式给出的函数u ：( z ，t ) 为问题( 17 ) 在0 z l ，0 t i 并令，( f ) = 0 ，得 f ( o ) = 芝舻 2 + 淞卅：；删( 53 2 ) 2 4 兰卅i 大学20 06 届硕士学位论文 易知，( 舻) 的极小值点满足( 53 2 ) 式，将( 5 3 2 ) 代八( 53 1 ) 的石端司得： i iu ( ，t ) ( ，t ) 峪x i e ( t t ) t 一矗卢( t ) 一击t 击+ 再p ( t ) 6( 53 3 ) 为对( 53 3 ) 式右端极小化记 ( 卢) = e ( t t ) t 一矗卢( t ) 一f c - f - 岛+ 卢0 ) d 并令 ，( 们：0 ，得 肿) = ；( 刍) 字 易知由( 5 2 9 ) 式给出的卢( t ) 是h 归) 的极小值点，代入( 5 3 3 ) 式即得： 1 1 “( ，t ) 一( ，) 1 1 。帆1 ) s 以e 1 一6 这就是( 53 0 ) 式易知这是一个阶数最优的h s l d e r 型稳定性估计 定理证毕 上述处理含有对流项问题的方法还可以推广到如下更一般问题 0 z 1 0 兰z l ，( 53 4 ) 0 t t 我们要由r 时刻的温度分布来确定0 t t 时的温度分布( z ，t ) 记# t ( z ) 为精确 数据，p ( z ) 为测量数据对问题( 53 4 ) 用分离变量法，可得到精确解 u ( z ，t ) = e 脚2 + ( t - 。) e ；驰k ( 53 5 ) k = l 具中 k = 、2s i n ，a = l ，2 ， 为l 2 ( 0 ，1 ) 的标准正交基 ck=ie