实数完备性基本定理相互证明.doc

关于实数连续性的基本定理关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明以上的定理表述如下：实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。单调有界原理:若数列单调上升有上界，则必有极限。区间套定理:设是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即。有限覆盖定理:实数闭区间a,b的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。柯西收敛定理：在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：。这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。（二）实数基本定理的等价证明一用实数基本定理证明其它定理1实数基本定理单调有界定理证明：设数列单调上升有上界。令B是数列全体上界组成的集合，即B=b|,而A=RB，则A|B是实数的一个分划。事实上，由单调上升，故-1A，即A不空，由A=RB，知A、B不漏。又对任给aA，bB，则存在，使ab，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理，。下证=r。事实上，对。，于是，|-r|，=r。若数列单调下降有下界，令=-，则单调上升有上界，从而有极限，设极限为r，则=（-）=-r。定理证完。2.实数基本定理确界定理证明：设X是有上界的非空实数集，记B为X的全体上界组成的集合。A= RB，则A|B构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏显然。而由a不是X的上界，知有X，使得a，而由知b，故a b。由实数基本定理，A|B是实数的一个分划，。下证r=supX。首先证明r是X的上界。用反证法。如果不然，则有X，使得r，这时有a=a=A，且有ar，这是不可能的。因此r是X的上界，而由于，r是X的最小上界。同理可证下确界的情形。定理证完。3实数基本定理区间套定理证明：设是一个区间套，令，则是的一个分划。事实上，即非空；由的定义，不漏；，则，故，即不乱。故确是的一个分划。由实数连续性定理，存在唯一的实数，使得，有。下证。因为，由的定义，故。又，有，则，从而。即。最后证明唯一性。若有满足，则故。即这样的是唯一的。定理证完。二用单调有界定理证明其它定理单调有界定理实数基本定理证明：给定实数的一个分划，任取，。用，的中点二等分，如果，则取=， =；如果，则取=，=；如此继续下去，便得两串序列。其中单调上升有上界（例如），单调下降有下界（例如）并且=。由单调有界定理，知r，使= r（）=0 +（）= r A，有（n=1，2，），令，知r，有（n=1，2，），令，知 r 下面证明唯一性。用反证法。如果不然。则 ，同时对任意 ，对任意 有 ，不妨设，令 显然 ，这与是R的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。2单调有界定理确界定理证明：已知实数集A非空。，不妨设不是A的上界，另外，知是A的上界，记=，=，用，的中点二等分，如果，则取=， =；如果，则取=，=；如此继续下去，便得两串序列。其中单调上升有上界（例如），单调下降有下界（例如）并且=。由单调有界定理，知r，使= r。由（）=0 有+（）= r是A的上界，有（n=1，2，），令，= r r是A的上界。而 由= r知从而 r=supA。同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。3单调有界定理区间套定理证明：已知 （n）， ，由单调有界定理知存在极限，设= r，同理可知存在极限，设= ，由（）=0得=0即n，有，令，有，n，有。唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。三用确界定理证明其它定理确界定理实数基本定理证明：对给定R的一个分划A|B，由于，b是集合A的上界，由确界定理可得，集合A有上确界r，即。r是集合A的上确界，r是集合A的全体上界的最小数。，有r。唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。1）。定理证完。确界定理单调有界定理证明：设是单调上升有上界的实数列。由确界定理可得，r ，使r=sup。，并且，即= r。单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明（即一.1）。定理证完。确界定理区间套定理证明：由， ，知是单调上升有上界的实数列，是单调下降有下界的数列。且是的上界，是的下界。设= r，=，由确界定理对的证明知r=sup，=inf。由（）=0得=0即= sup=infn，有。唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。确界定理有限覆盖定理证明：设E是闭区间的一个覆盖。定义数集A=|区间在E中存在有限子覆盖从区间的左端点开始.由于在E中有一个开区间覆盖,因此及其右侧充分邻近的点均在A中.这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见,若A,则整个区间A.若A无上界,则bA,那么在E中存在有限子覆盖.若A有上界, 由确界定理可得r,使r=supA。，都有A。事实上，使得。在E中存在有限子覆盖，在E中存在有限子覆盖下证br。用反证法。如果不然，rb，则r。因此，在E中存在有一开区间覆盖覆盖r。，使。由上面论证知A，也即区间在E中存在有限子覆盖，向这个有限子覆盖再加上开区间，即成为的覆盖。 A，与r=supA矛盾。定理证完。5确界定理紧致性定理证明：设数列是有界数列。定义数集A=|中大于的点有无穷多个有界 A有上界且非空。由确界定理可得r,使r=supA。则，有不是A的上界。 中大于的项有无穷多个。是A的上界 中大于的项只有有限个。在（，）中有的无穷多项，即n，使（，）对，使（，），即|-r|取，有|-r|，如此继续下去，取，有|-r|，由此得到的子数列，当时，存在收敛子数列。定理证完四用区间套定理证明其它定理1区间套定理实数基本定理 证明：对给定R的一个分划A|B，任取，用，的中点二等分，如果，则取，=， ；如果，则取，=，；如此继续下去，便得区间套，。其中，n，。由区间套定理可得，唯一的，使= r。由分划定义可知，令，有，有r，满足的r是唯一的。证明同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。1）。定理证完。2区间套定理单调有界定理证明：设是单调上升有上界的实数列。b是它的一个上界，令=-1，二等分，其中必有一区间含的无穷多项，记其为，二等分，如此继续下去，便得区间套，满足，含的无穷多项。由区间套定理可得，唯一的，使= r。则对n，有。取，含的无穷多项，则M，使，。当mM时，有，。如果不然，有，则在，中最多只有的前项，与 ，的构造矛盾。从而当mM时，有，即|-r|。=r，即=r。定理证完。3.区间套定理确界定理证明：由数集A非空，知，不妨设不是A的上界，另外，知是A的上界，记，=，用，的中点二等分，如果是A的上界，则取，=，；如果不是A的上界，则取，=，；用，的中点二等分，如此继续下去，便得区间套，。其中不是A的上界，是A的上界。由区间套定理可得，唯一的，使= r。，由（n=1，2，），令，= r r是A的上界。而 由= r知从而 r=supA。同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。4区间套定理有限覆盖定理证明：用反证法。设E是闭区间的一个覆盖。设没有E的有限子覆盖，记=，二等分，其中必有一区间没有E的有限子覆盖，记其为，二等分，如此继续下去，便得区间套，满足，没有E的有限子覆盖。由区间套定理可得，唯一的，使= r。由E是的覆盖，知E，使r根据极限不等式，当，有，当，有。取N=max（，），当，有，。又（n），当，有，与，没有E的有限子覆盖矛盾。故在E中存在有限子覆盖。定理证完。5区间套定理紧致性定理证明：已知，使。设没有E的有限子覆盖，记=，二等分，其中必有一区间含的无穷多项，记其为，二等分，如此继续下去，便得区间套，满足，含的无穷多项。由区间套定理可得，唯一的，使= r。因此，使。这时存在，归纳地，使由含的无穷多项，知，由，令，。存在收敛子数列。定理证完五用有限覆盖定理证明其它定理1有限覆盖定理区间套定理证明：用反证法。如果不然，设存在，有。记开区间=（），=（），即=（），。这时E=，n=1，2，构成了，的覆盖。由有限覆盖定理，存在N，使得，这就推出，当 时，是空集，这是不可能的。矛盾，故有，即存在r使。唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。2有限覆盖定理紧致性定理证明：设，有 。先证， ,(,)中必含有的无限项。如果不然。，使(,)只含的有限项。记E=(,)|，由上产生，是的一个覆盖。由有限覆盖定理，知E中有限个开区间（,）(,) (,)，,均只含的有限项。与，有 矛盾。结论成立。特别地，取=，则（-，+），而且，则为的子数列且收敛于。定理证完六用紧致性定理证明其它定理1紧致性定理单调有界定理证明：设是单调上升有上界的实数列。有界，由紧致性定理可得，的子数列且收敛于r。即，当时，有|-r|，即，=，有 。 ，从而 ，即|-r|。，=，当，有|-r|，=r。定理证完。2紧致性定理柯西收敛定理证明：必要性。已知收敛，即，=r，即，当，有|-r|。因此，只要，有|-|=|-r+r-|-r|+|r-|。充分性。先证有界。对，当，有|-|。取定=N+1，则只要，有|-|，从而|=|-+|+|，令M=max（|，|，1+|），则|M（）。下证有极限存在。有界，由紧致性定理可得，的子数列且收敛于r。即，当时，有|-r|。另外，当，有|-|。取N=max（，），则只要，取，则|-r|=|-+-r|=|-|+|-r|。=r。定理证完。七用柯西收敛定理证明其它定理1柯西收敛定理单调有界定理证明：设是单调上升有上界的实数列。用反证法和柯西收敛定理。若不存在极限。则，有-=|-|。依次取=1，使-， =，使-，=，使-。把它们相加，得到- ，有，与有界矛盾，故必有极限。定理证完。2柯西收敛定理紧致性定理证明：设数集A非空有上界， 是A的上界，不是A的上界，用，的中点二等分，如果是A的上界，则取，=，；如果不是A的上界，则取，=，；用，的中点二等分，如此继续下去，得数列 ，满足， 不是A的上界，是A的上界且（）=0。下证 是柯西列。（）=0，即，当，有|。又 ，从而，|（），故 是柯西列从而收敛，设=r。最后证r=supA。， 不是A的上界，A,使。由=r，则，当，有。，当，有，故r=supA。定理证完。下证r是唯一的。即唯一的r，使，r。如果不然，若有满足，则，故。即这样的是唯一的。定理证完。（三）证明过程中的几点发现黑格尔曾说：“证明是数学的灵魂。”数学是研究结构的。通常情况下，如果它受什么条件制约的话，则必有什么性质。假如具备什么条件的话，则必然有什么结果。在实数基本定理的等价证明之中，我们深深体会到这一点。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。而这些都是值得我们去注意与发现。以下谈谈在证明过程中的几点发现。一.不同的定理对同一个定理证明方法的联系1单调有界定理与区间套定理对其它各定理的证明从闭区间套的定义中，我们可以清楚地看出，闭区间套的左右端点分别形成两个数列，其中左端点的数列单调增加，以每个为上界，而右端点所成的数列单调下降，以每个为下界。正因为如此，我们用单调有界原理证明了区间套定理。具体证明见（一）在用单调有界定理与区间套定理证明同一定理的过程中，可以看到，要用单调有界定理证明，就需要找出两个单调性相反、并将收敛于同一极限的数列。自然地，也就已经形成了闭区间套。如在证明实数基本定理中，找到一单调上升数列，单调下降数列， 在证明确界定理中，找到一单调上升数列不是数集的上界， 一单调下降数列是数集的上界；若要用单调有界定理证明有限覆盖定理，紧致性定理，也可以用二分法构造区间套的方法和反证法。找到一单调上升数列，一单调下降数列，使得在每个，区间上具备某种性质，从而推出矛盾。从用单调有界定理证明实数基本定理和确界定理的过程，本质上是通过区间套去实现的，而与区间套定理相联系的，有构造闭区间套的方法，从而在应用中往往比单调有界定理强得多。2区间套定理与紧致性定理对柯西收敛定理的证明 由于紧致性定理是由区间套定理推导证明出来的，如同单调有界定理由区间套定理证明一样，若要用区间套定理证明柯西收敛定理，先用二分法构造区间套，找出柯西列的一收敛子数列（其实是在重复区间套定理证明紧致性定理的过程），再证子数列的极限就是该柯西列的极限。 同样地，由于紧致性定理可由确界定理推出，定义数集A后推出柯西列存在一收敛子列，再证柯西收敛定理的结论。3对于要证的定理，根据它受制约的条件和所具备的条件去考虑证明方法。 如要证确界定理，无论是用实数基本定理，单调有界定理，区间套定理，还是柯西收敛定理，都需要找出两组数列， ，单调上升而不是数集的上界，单调下降是数集的上界。用以上的四个定理时，最终都是要找出一个点，使它是数集的上确界。如要证紧敛性定理，无论是确界定理从正面推，还是区间套定理和有限覆盖定理从反面证，都需要用到数列有无穷多项这个条件。二同一定理对另一定理的证明要证一个定理，即使用同一个基本定理，也可能有不同的方法。以下分别用两种方法完成“单调有界定理紧致性定理”和“区间套定理柯西收敛定理”。单调有界定理紧致性定理证法一：由上一部分的论述，我们知道，用单调有界定理证明紧致性定理，可以用二分法，本质上用区间套去证明紧致性定理。证法二：首先证明有界数列有单调子数列。 称其中的项有性质M，若对每个，都有，也就是说，是集合|的最大数。分两种情形讨论：数列有无穷多项具有性质M，将它们按下标的顺序排列，记为，满足，那么我们就已经得到一个单调下降的子列。数列只有有穷多项具有性质M，那么，当，有不具有性质M，即 ，有，从中任取一项记为，因为它不具有性质M， ，使，如此继续下去，我们得到一子列单调上升， 有界数列必有单调子数列，由单调有界定理，可得存在极限。区间套定理柯西收敛定理证法一：见上一部分的论述，即（二）.一.2，用二分法。证法二：基本列有界（见紧致性定理柯西收敛定理），使，有 ，将区间，三等分，令，得到三个长度相同的子区间，分别记为，根据它们在实数轴上的左中右位置和基本列定义，至少有一区间只含有数列的有限多项。如果不然，在，均有数列的无限多项，那么，取，n，m可以任意大，满足|-|，与基本列定义矛盾，结论成立。可以从，中去掉只含有中有限多项的区间或，将得到区间，重复这个过程，得到区间套，该区间套具有以下两个性质：闭区间套中的每个区间的长度是前一个区间长度的。每一个，中含有数列从某项后的所有项。由所得，唯一的实数r，使= r。，使得，（，），由可得，当nN，有|-r|，=r。定理证完。两种证法分别采用的是区间套的两种构造方法：二分法具有-=，这就保证了点r唯一，而对有界数列，更构造了每个闭区间含有数列的无限多项；而三分法，不仅具有-=，也保证了点r唯一，更是用到了基本列的性质，使每个闭区间包含从某项起的所有项。用同一种方法证明同一个定理，还可能有不同的细节如在用单调有界定理证明实数基本定理，当证完=r要证A，有，按照前面的证法，是： A，有（n=1，2，），令，知r，有（n=1，2，），令，知 r 还可以用另一种证法证明：A，有，这等价于证明：，满足r ，r，有A，。事实上，r，由=r，知，使A，故A，而对，由=+，知=r，使得，从而如在证区间套定理过程中，当证完=，即，要证，r，用单调有界定理（二.3）证明过程中是用到极限不等式。而用确界定理（三.3）在证明过程中，则是由确界定理对单调有界定理证明的一个结论。得出= sup， =inf，再由确界定义去证明。三定理作为工具运用的特点1确界定理：构造数集，使其具有某种性质，并将这种性质传递到数集的确界，使确界之后的数不可能具备该性质。2区间套定理：从构造过程中，使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间，再从第二个区间推到第三个区间。如此继续下去，直到将这个性质聚到区间套所共有的点的任意附近。3紧致性定理：从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由紧致性定理得出子列，也即紧致性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。4有限覆盖定理：在分析问题过程中，往往可以从局部性质推向整体性质，特别是将有限覆盖与反证法相结合，往往可以推出矛盾。5柯西收敛定理：完全人数列本身出发，由于它给出的是极限存在的充分必要条件，不需要先假定极限的存在，相比极限的定义来说，这是一个很大的进步。四在证明过程中发现的结论1从用有限覆盖定理证明紧致性定理和用确界定理