加配重复摆振动周期变化规律的研究.doc

邹德滨王艳辉张天洋曲光伟(大连理工大学物理与光电工程学院 ,辽宁 大连116023)( 收稿日期 : 2008205219)摘要通过理论分析和实验测量 ,研究加配重对复摆振动周期的影响 ,给出在加配重状态下复摆振动周期随回转轴位置变化的规律.关键词复摆 ;振动周期 ;回转轴 ;质心STUDY O N THE CHANGING RUL E OF VIBRATIO NPERIOD OF WEIGHTED COMPO UND PEND UL UMZou DebinWang Yan huiZhang TianyangQu Guang we i( School of Physi scs a nd Op toelect ro nic Technolo gy , Dalia n U niver sit y of Technolo gy , Dalia n , Liao ni ng 116023) AbstractB y t heo retical a nal ysi s a nd e xp e ri me nt al mea sure me nt s , t he i nf l ue nce of at t achi ng wei ght o n t he vi bratio n p e rio d of co mpo und p e ndul um ha s bee n st udied . The cha ngi ng r ule ofvi bratio n p e rio d wit h t he po sitio n of gyratio n a xi s ha s bee n give n .Key Wordsco mpo und p e ndul um ; vi bratio n p e rio d ;a xi s of gyratio n ; ba r yce nt re研究复摆摆动周期与回转轴到质心距离之间的关系是复摆实验的一项重要内容. 在加配重状 态下 ,由于复摆质心位置的改变 ,复摆摆动周期与 回转轴到质心距离之间的关系将发生变化 , 但这 种变化不是简单的曲线平移 ,配重对复摆摆动周期大小的影响随回转轴位置不同而不同. 为使学 生对复摆实验有一个更深刻的理解 ,本文将通过 理论分析和实验测量 ,对加配重后复摆周期的变 化规律进行研究.式中 , I 为复摆对回转轴 O 的转动惯量 ; g 为当地重力加速度. 当摆角较小时复摆作简谐振动 , 振动 周期为I22C + m hTO = 2( 2)m g h式中 , I C 为转轴通过质心且平行 O 轴时的转动惯I C = m R2 ,量. 设复摆对质心的回转半径为 R , 则式 ( 2) 可写为 42 42T222 )22 )O =(I C + m h=(m R+ mhm g hm g h理论分析( 3)如果在复摆上加质量为 m1 的配重时 , 由于转 动惯量具有叠加性 , 此时的振动周期为如图 1 所示的复 摆 , 设其质量为 m , 绕通过某点 O 的水 平轴 ( 回转轴) 在竖直平面内摆动. 轴 O 到质心 C 的距离为 h ;42T2222 )( )1 =m R + m h + m1 l4( m + m1 ) gh1其中 , l 为配重 P 到悬挂点 O 的距离 ; h1 为悬挂点O 到新质 心 G 的 距离 ( 见 图 2 ( a ) ) . 由式 ( 3 ) 和( 4) 得摆动时 O C与 铅 垂 线 的 夹 角 为, 在无阻尼情况下 , 复摆在重 力矩作用下的运动方程为T2m R 2 + m h2 ( m + m1 ) h 图 1O1( 5)=2222T 1mhm R + m h + m1 lI d + m g h si n = 02( 1)d t2根据悬挂点 O 所处位置的不同 , 下面分三种则有 TO l , 配重到质心 G 的距离为 h1 - l . 若以质心 G 为支点 , 由力矩平衡条件 可以推出( m + m1 ) h1 = m1 l + mh代入式 ( 4) 中得+ m h2由于m1 lm1 l2m1 l R2 - PC h -=( 9)m hm R 2 + m h2m h ( h2 + R2 )若 TO = T1 , 上式等于 0 , 设此时转轴到原质心2RC 的距离为 h 3 , 则有 h 3 =.P C当 h h 3 时 , 式 ( 9) 小于零 , m1 l 2m1 l,m h m R2 + m h2m1 l1 +则 TO T1 ; 当 h T1 .由理论推导可见 , 当在复摆某一位置加上配 重时 , 对复摆振动周期的影响随悬挂点位置的不同而不同. 如果悬挂点和配重在质心的同一侧 , 当 悬挂点在配重的上方时 , 振动周期减小 , 而当悬挂 点在配重的下方时 , 复摆的振动周期则增大 ; 如果 悬挂点和配重分居质心的两侧时 , 随着回转轴到质心距离 h 的增加 , 复摆的振动周期由 TO T1 ,经过 TO = T1 , 变到 TO 0由于 m1 l -m1 l= m1 l Rm R2 + m h2m h ( h2 + R2 )m h2 m1 l m1 l 即m R2 + m h2m h所以有 TO T1 .( 2) 配重和悬挂点在质心的同一侧且悬挂点 位于配重的下方 , 如图 2 ( b) 所示. 此时配重到 G的距离为 h1 + l. 以质心 G 为支点 , 由力矩平衡条 件得( m + m1 ) h1 = m h - m1 l代入式 ( 4) 中得实验验证上述结论可以通过实验结果来验证. 表 1 给出了未加配重时 , 对应不同的悬挂点复摆振动周 期的测量 数 据 , 其 中 , h 为 质 心 到 回 转 轴 的 距 离 ( 即摆长) . 表 1 中只给出复摆正挂时的实验数据 ,m1 l 1 - T2m hO= 16 . 9c m ,即悬挂 点 O 在配重的上方时 , TO T1 , 与理论结果一致.结论我们通过理论分析和实验测量 , 对加配重后复摆周期的变化规律进行了研究. 加配重后复摆 振动周期的变化取决于回转轴的位置 , 当悬挂点和配重在质心的同一侧时 , 悬挂点在配重的上方 ,振动周期 减小 , 悬 挂点 在 配 重 的 下 方 , 周 期 则 增 大 ; 当悬挂点和配重分居质心的两侧时 , 随着回转从前面的理论推导可知 ,悬挂点 O 在 G P之间时 , TO T1 . 实验测得当 2 . 0cm h 16 . 9cm 时 ,TO h 3 时 , TO T1 ; h T1 . 由 图 3 中 的 测 量 曲 线 可 以 看 出 , b 和 d 的 交 点 为轴到质心距离 h 的增加 , 复摆的振动周期由TO T1 , 经过 TO = T1 , 变到 TO T .1参 考 文 献( - 22 . 1 , 1 . 25106) 当 h -22 . 1cm 时 , TO - 22 . 1c m 时 , TO T1 , 两者符合较好. 1 余虹. 大学物理实验. 北京 :科学出版社 , 2007 . 152161 2 安爱仿 , 王玉清 , 任新成等. 加配重复摆振动周期的实验研 究. 大学物理 , 2003 , 22 ( 10) :2831h (cm)29 . 0028 . 0027 . 0026 . 0025 . 0024 . 0023 . 0022 . 00T1 ( s)1 . 265511 . 257991 . 250881 . 245071 . 239041 . 235051 . 231671 . 23003h (cm)21 . 0020 . 0015 . 0014 . 0013 . 0012 . 0011 . 0010 . 00T1 ( s)1 . 229331 . 229621 . 280631 . 302641 . 333491 . 371201 . 421471 . 48433h (cm)9 . 008 . 007 . 006 . 005 . 004 . 00T1 ( s)1 . 568641 . 682111 . 836942 . 066952 . 494953 . 15402h (cm)- 29 . 00- 28 . 00- 27 . 00- 26 . 00- 25 . 00- 24 . 00- 23 . 00- 22 . 00T1 ( s)1 . 311621 . 301421 . 291941 . 282711 . 274061 . 265661 . 257891 . 25106h (cm)- 21 . 00- 20 . 00- 19 . 00- 18 . 00- 17 . 00- 16 . 00- 15 . 00- 14 . 00T1 ( s)1 . 244391 . 238981 . 234461 . 230821 . 228841 . 227811 . 229171 . 23260h (cm)- 13 . 00- 12 . 00- 11 . 00- 1