合工大信号与系统课后习题答案.doc

第二章习题参考解答2.1 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。(1) 解 当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：， ， ，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应： (2) 解 (a)求冲激响应 ，当时，。特征方程 ，解得特征根为。所以： (2.1.2.1)通过原方程迭代知，代入式(2.1.2.1)中得： 解得， 代入式(2.1.2.1)： (2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以： (b)求阶跃响应通解为 特解形式为 ，代入原方程有 ， 即完全解为 通过原方程迭代之，由此可得 解得，。所以阶跃响应为： (3) 解 (4) 解 当t0时，原方程变为：。 (2.1.3.1) (2.1.3.2)将(2.1.3.1)、 (2.1.3.2)式代入原方程，比较两边的系数得： 阶跃响应：2.2 求下列离散序列的卷积和。(1) 解 用表格法求解 (2) 解 用表格法求解 (3) 和 如题图2.2.3所示 解 用表格法求解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 参见右图。当时：当时： 当时：当时：当时：(7) ， 解 参见右图：当时：当时： 当时： 当时： 当时： (8) ， 解 参见右图当时： 当时： 当时： 当时： (9) ， 解 (10) ， 解 或写作：2.3 求下列连续信号的卷积。(1) ， 解 参见右图：当时： 当时：当时：当时：当时：当时： (2) 和 如图2.3.2所示 解 当时：当时：当时： 当时： 当时： (3) ， 解 (4) ， 解 (5) ， 解 参见右图。当时：当时： 当时： 当时： (6) ， 解 (7) ， 解 (8) ， 解 (9) ， 解 2.4 试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。解 2.5 已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。(1) ； 解 ，(2) ； ，解 ， ，可定出 (3) ； ，解 ， ，可定出 2.6 某一阶电路如题图2.6所示，电路达到稳定状态后，开关S于时闭合，试求输出响应。解 由于电容器二端的电压在时不会发生突变，所以。根据电路可以立出时的微分方程： ， 整理得 齐次解：非齐次特解：设 代入原方程可定出 ， 则： 2.7 积分电路如题图2.7所示，已知激励信号为，试求零状态响应。解 根据电路可建立微分方程： 当时： 由可定出 ， 根据系统的时不变性知，当时： 当 时：2.8 求下列离散系统的零输入响应。(1) ； ，解 由， 可定出 ， (2) ； ，解 由， 可定出 .(3) ； ， 解 特征方程， 由 可定出 2.9 求下列离散系统的完全响应。(1) ； 解 齐次方程通解：非齐次方程特解： 代入原方程得： 由 可定出 (2) ； ， 解 齐次方程通解：非齐次方程特解： 代入原方程定出 由 可定出 2.10 试判断下列系统的稳定性和因果性。(1) 解 因果的；稳定的。(2) 解 因为冲激响应不满足绝对可和条件，所以是不稳定的；非因果的。(3) 解 稳定的，非因果的。(4) 解 不稳定的，因果的。(5) 解 不稳定的，因果的。(6) (为实数)解 时： 不稳定的，因果的； 时： 稳定的，因果的； 时： 不稳定的，因果的。(7) 解 不稳定的，非因果的。(8) 解 稳定的，非因果的。2.11 用方框图表示下列系统。(1) (2) (3) *2.12 根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应。(1) 解 当时： , 由原方程知当时：，由此可定出 (2) 解 当时： 齐次方程的通解为，由原方程迭代求解可得为： 由此可以定出 *2.13 根据系统的微分方程求系统的单位冲激响应。(1) 解 当时：，代入原方程可确定 (2) 解 当时： 代入原方程，比较两边系数得： *2.14 试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。(1) ；，解 (a)求强迫响应： 假设特解为：代入原方程，可定出； 则强迫响应 (a)求自由响应： 利用冲激平衡法可知： 可定出；所以完全解形式：，由定出即完全响应为：所以自由响应为：(b)求强迫响应： 假设特解为：代入原方程，可定出； 则强迫响应 (c)求零输入响应：由 可定出 (d)求零状态响应 零状态响应自由响应强迫响应零输入响应 综上所求，有： (2) ；，解法一 用z变换求解。方程两边进行z变换，则有： 解法二：时域解法。求强迫响应： 当时： 即为常值序列， 设特解为，代入原方程可定出当时：仅在激励作用下，由原方程知，即：特解在时均满足方程。求自由响应：完全解：由经迭代得：由可定出完全解中系数为： 则自由响应分量为：零输入响应： 由 可以定出： 零状态响应：*2.15 试证明线性时不变系统具有如下性质：(1) 若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为；(2) 若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为。证(1) 已知，根据系统的线性试不变性有： ；令，则有：证(2) 已知，根据系统的线性试不变性有： 令 则 ，所以 证毕。*2.16 考察题图2.16(a)所示系统，其中开平方运算取正根。(1) 求出和之间的关系；(2) 该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？(3) 若输入信号是题图2.16(b)所示的矩形脉冲(时间单位：秒)，求响应。解 (1) 由系统框图可得(2) 由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。又因为当输入为时，输出为），故系统是时不变的。 (3) 由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。*2.17 一个线性系统对的响应为，(1) 该系统是否为时不变系统？(2) 该系统是否是因果系统？(3) 若 a)；b)，求该系统对每个输入的响应。解 (1) 当时，输入为输出为当时，输入为输出为显然 ，是时变系统。(2) 当时，如显然，响应出现于激励之前，所以是非因果系统。(3) 因为不是LTI系统，所以输出响应不能用来计算。对于线性时变系统，输出响应可求解如下： 任意信号仍可分解为冲激函数的和，即有：因为（这里是的二元函数）由于系统为线性的，故有：对于此例有，当时： （注意：）即 当时： 第三章习题参考解答3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。解 (a) 解 (b) 解 (c) 解 (d) 3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。解 (a) 解 (b) 设， 由傅氏变换的微积分性质知： 解 (c) 利用傅氏变换性质知：解 (d) 或 解 (e) 解 (f) 3.3 若已知，试求下列信号的傅里叶变换。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 令 则有：, ， 3.4 在题图3.2(b)中取，将进行周期为的周期延拓，得到周期信号，如题图3.4(a)所示；取的个周期构成截取函数，如题图3.4(b)所示。(1) 求周期信号傅里叶级数系数；(2) 求周期信号的傅里叶变换；(3) 求截取信号的傅里叶变换。解 (1) 设单个三角波脉冲为，其傅里叶变换根据傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系知： (2) 由周期信号的傅里叶变换知： (3) 因为 3.5 绘出下列信号波形草图，并利用傅里叶变换的对偶性，求其傅里叶变换。(1) (2) 提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换解(1) ， 根据对偶知： 解(2) 3.6 已知的波形如题图3.6(a)所示，(1) 画出其导数及的波形图；(2) 利用时域微分性质，求的傅里叶变换； (3) 求题图3.6(b)所示梯形脉冲调制信号的频谱函数。 解(1) 及的波形如下：(2) (3) 3.7 求下列频谱函数的傅里叶逆变换。(1)解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (3.7.5.1) 又 (3.7.5.2)由(3.7.5.1)、(3.7.5.2)式可知： (6) 解 *3.8 设输入信号为，系统的频率特性为，求系统的零状态响应。解 3.9 理想低通滤波器的幅频特性为矩形函数，相频特性为线性函数，如题图3.9所示。现假设输入信号为的矩形脉冲，试求系统输出信号。 解 利用傅里叶变换的对称性，可以求得该系统的冲激响应为： ，令得： 其中： 3.10 在题图3.10(a)所示系统中，采样信号如图(b) 所示，是一个正负交替出现的冲激串，输入信号的频谱如图(c)所示。(1) 对于，画出和的频谱；(2) 对于，确定能够从中恢复的系统。 解(1) 由此可以绘出及的频谱图如下： (2) 从的频谱可以看出，由恢复的系统如图所示:3.11 在题图3.11(a)所示系统中，已知输入信号的傅里叶变换如题图(b)所示，系统的频率特性和分别如图(c)和图(d)所示，试求输出的傅里叶变换。解： 参见题图的标注。*3.12 在题图3.12(a)所示的滤波器中，。如果滤波器的频率特性函数满足： (，为常数)则称该滤波器为信号的匹配滤波器。(1) 若为图(b)所示的单个矩形脉冲，求其匹配滤波器的频率特性函数；(2) 证明图(c)所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器；(3) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应，并画出的波形；(4) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应，并画出的波形。解 (1) 解 (2) 参见图(c)标注. 又 ， 即与（）中有相同的函数形式。解 (3) ， 解 (4) (取) 为一三角波*3.13 求题3.1中和的功率谱密度函数。解 (1) 参见3-1题。首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式：周期信号的傅里叶变换为： 其中是傅里叶级数展开式系数。考虑截取信号：根据频域卷积定理，截取信号的傅里叶变换为： 当时，趋向于集中在处，其他地方为零值，所以功率谱密度函数为： 由于，所以： 由此可求题给信号的功率谱密度函数： 解 (2) *3.14 求题3.2中和的能量谱密度函数。解 设的能量谱密度函数为，。设的能量谱密度函数为，。*3.15 信号的最高频率为500Hz，当信号的最低频率分别为0，300Hz，400Hz时，试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率，并解释如何从采样后信号中恢复。解(1) ，所以 (2) ，取当代入式中可知，只有当不等式才能成立：，所以采样频率只能取Hz。(3) ， 当代入式中可知，当不等式成立：，所以最低采样频率。*3.16 正弦信号的振幅电平为V，现采用12位的量化器进行舍入式量化，求量化误差的方均根值和量化信噪比。解 ，；，；，；*3.17 绘出，的波形，并证明它们在0，1区间上是相互正交的。解 由三角函数和符号函数的意义可绘出的波形如图所示。显然： 即在0，1区间上满足正交的定义。*3.18 求信号的自相关函数。解 当： 当：第四章习题解答4.1 求下列离散周期信号的傅里叶级数系数。(1) 解 ，若取 则： (2) 解 若取： 则 (3) 解 ，若取 则： (4) ，周期解 (5) 解 (6) 解 4.2 已知周期信号的傅里叶级数系数及其周期，试确定信号。(1) ， 解 ，将此式与的定义式比较可知： 若取 则(2) ， 解 4.3 求下列序列的傅里叶变换。(1) 解 (2) 解 令 有： (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 4.4 利用傅里叶变换的性质求下列序列的傅里叶变换。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 4.5 已知的傅里叶变换为，求下列序列的傅里叶变换。(1) 解 ；(2) 解 ，(3) 解 (4) 解 4.6 已知离散信号的傅里叶变换为，求其对应的时域信号。(1) 解 (2) 解 和的定义式比较知： (3) 解 (4) 解 (5) 解 4.7 设两个离散LTI系统的频率响应分别为 将这两个系统级联后，求描述整个系统的差分方程。解 将这两系统级联后，求描述整个系统的差分方程级联后系统的频率响应为： 的频率响应为： 比较后得知级联后系统的差分方程为： 4.8 设一离散LTI系统的差分方程为，(1) 求该系统的频率响应；(2) 若系统的激励为，求系统的零状态响应。解 (1) 方程两边进傅里叶变换得： 解 (2) *4.9 设和是周期信号，且 ， 试证明离散时间调制特性，即证明其中。证明 令 类似可证： 证毕。*4.10 周期三角形序列如题图4.10(a)所示，其单个周期内的序列构成有限长序列、，如图(b)和图(c)所示。(1) 求的傅里叶变换；(2) 求的傅里叶变换(3) 求的傅里叶级数系数；(4) 证明傅里叶级数系数表示或的等间隔采样，即有： 或 N为周期解(1) 解(2) 解(3) 周期，解 (4) 由上面知： 而 比较知：*4.11 一个离散时间系统的单位冲激响应为，利用傅里叶变换求该系统对下列输入信号的响应。解 ， *4.12 如果为系统的输入，为系统的输出，对下面每组信号判断是否存在一个离散时间LTI系统，当输入为时，输出为？如果不存在，说明为什么。如果存在，它是否是唯一的？求出该LTI系统的频率响应。(1) ， 解 所以输人输出为非线性关系，则不存在一个LTI系统能满足此输人输出关系。(2) ， 解 ； 所以该输人输出关系可以对应一个频率响应为的LTI系统，且是唯一的。当然该输人输出关系也可以对应一个的非线性系统。 注意该题和(1)的区别，在题(2)中，所对应的LTI系统的输人输出关系可以用差分方程：描述，而在题(1)中，则找不到满足线性的时域方程。(3) ， 解 该输人输出关系可以对一个LTI系统，其频响可为：显然能产生这种输人输出关系的LTI系统不是唯一的，如则是另一个LTI系统。4.13 用闭式表达以