（电工理论与新技术专业论文）连续小波变换的开关电流电路实现.pdf

t h e i m p l e m e n t a t i o no f c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r mu s i n g s w i t c h e d c u r r e n tc i r c u i t c h e nj i a n b e ( c e n t r a ls o u t hu n i v e r s i t y ) 2 0 0 4 a t h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fe n g i n e e r e l e c t r i ct h e o r ya n dn e wt e c h n o l o g y i n t h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh ey i g a n g a n d s e n i o re n g i n e e rl u ol i p i n g m a y ，2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：俅蟹 日期：o ? ，年y 月2 多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 僧嶝 日期：| o ，年 日期：d ，年 主月) 日 岁月7 多日 连续小波变换的开关电流电路实现 摘要 小波变换是一种新型数学分析方法，被誉为数学“显微镜”，为了适应工程中 处理信号的实时性要求，采用硬件实现连续小波变换的研究迅速发展。作为开关 电容的替代技术，开关电流技术是一种基于电流模式的新的模拟取样数据处理技 术。开关电流电路具有一般电路不具有的优点，特别是完全与标准数字c m o s 工 艺兼容。开关电流集成电路作为新型的模拟电路，运行在电流模式状态下，具有 低电压、低功耗的特点。这类电路的设计方法具有系统化、模块化的特点，适合 连续小波变换系统这样的大规模集成电路的实现。 本文研究分析了小波变换的基本原理，开关电流电路综合理论与设计方法及 连续小波变换的模拟电路实现。首先，介绍小波变换的基本理论知识，针对小波 变换的时一频分析特性以及多分辨分析特性做了较为详细的介绍。对开关电流技 术进行深入系统的研究与探讨，介绍了开关电流电路的基本模块，如延迟单元模 块、积分器模块、微分器模块等，重点分析了双线性微分器模块。综合分析了国 内外研究学者就连续小波变换硬件实现所广泛使用的两大类主要方法：时域法和 频域法。提出用泰勒公式对连续小波函数进行展开，从而逼近被展开的小波函数， 采用开关电流电路双线性微分器模块实现硬件电路，最后以d o g 小波为例简述 其设计过程，仿真结果与理论预期值基本相符，表明了设计的可行性。 关键词：连续小波变换；开关电流技术；d o g 小波；秦勒公式；双线性微分器 u 工程硕士学位论文 a b s t r a c t t h ew a v e l e tt r a n s f o r m ( w t ) ，b e i n gc a l l e dm a t h e m a t i c a lm i c r o s c o p e ，h a sb e e n an e ws t y l em a t h e m a t i ca n a l y s i sm e t h o d f o rt h er e a l - t i m er e q u i r e m e n t so fs i g n a l p r o c e s s i n gi np r o j e c t ，t h es t u d yo fu s i n gh a r d w a r et or e a l i z ew a v e l e tt r a n s f o r ma r e d e v e l o p p e dr a p i d l y t h es w i t c h e d - c u r r e n tt e c h n i q u ei s ar e l a t i v e l yn e wa n a l o g s a m p l e d - d a t as i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n i q u et h a ta i m st or e p l a c es w i t c h e d - c a p a c i t o r s ( s c ) t h es w i t c h e d - c u r r e n tc i r c u i t sh a v ec o n s p i c u o u ss u p e r i o r i t yi nt h ec o m p a t i b i l i t y w i t hs t a n d a r dc m o s p r o c e s s a san e wt y p eo fa n a l o gc i r c u i t s ，t h es w i t c h e d - c u r r e n t ( s i ) c i r c u i tw o r k sa tt h es t a t u so fc u r r e n tm o d ea n dh a st h ec h a r a c t i c so fl o wv o l t a g e a n dl o w p o w e r t h ed e s i g n i n gm e t h o do ft h ec i r c u i t sh a st h ec h a r a c t i c so f s y s t e m a t i z a t i o na n dm o d u l a r i z a t i o n ，s oi ts u i t st h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ev l s ic i r c u i t o ft h ec o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r ms y s t e m t h ep a p e ra n a l y s e st h eb a s i cp r i n c i p l eo fw a v e l e tt r a n s f o r m ，s w i t c h e d c u r r e n t c i r c u i ts y n t h e s i st h e o r ya n dt h ed e s i g n i n gm e t h o da n dt h er e a l i z a t i o no fc o n t i n u o u su s i n g a n a l o gc i r c u i t f i r s t l y ，t h ek n o w l e d g ea b o u tt h ew a v e l e tt r a n s f o r mi si n t r o d u c e d t h e c h a r a c t e r i s t i co ft i m e f r e q u e n c ya n dm u l t i r e s o l u t i o na b o u tw a v e l e tt r a n s f o r mi s i n t r o d u c e di nd e t a i l t h e p a p e rh a s a d e e p a n d s y s t e m i c r e s e a r c ho nt h e s w i t c h e d - c u r r e n ta san e wt e c h n o l o g y t h eb a s i cu n i t so fs w i t c h e d c u r r e n ta r e a n a l y z e df o re m p h a s i s ，i n c l u d i n gd e l a y e rm o d u l e ，i n t e g r a t o rm o d u l ea n dd i f f e r e n t i a t o r m o d u l ee t c ，e s p e c i a l l yb i l i n e a rd i f f e r e n t i a t o rm o d u l e t h i sa r t i c l ec o m p r e h e n s i v e l y a n a l y z e st h em a i nt w om e t h o d sw h i c ha r et h et i m ed o m a i nm e t h o da n dt h ef r e q u e n c y d o m a i nm e t h o d t h e ya r ew i d e l yu s e di nt h er e a l i z a t i o no fc o n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r m t a y l o r sf o r m u l a i su s e dt ou n f o l dc o n t i n u o u sw a v e l e tf u n c t i o n t h e u n f o l d e df u n c t i o nc a nb ei m p l e m e n t e db ys w i t c h e d c u r r e n tb i l i n e a rd i f f e r e n t i a t o r m o d u l e t a k i n gt h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ed o gw a v e l e tf o re x a m p l e ，t h es i m u l a t i o n r e s u l t si n d i c a t et h ef e a s i b i l i t yo ft h ed e s i g n i n gm e t h o d k e y w o r d s ：c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ；s w i t c h e d c u r r e n tt e c h n i q u e ；d o gw a v e l e t t a y l o r sf o r m u l a ；b i l i n e a rd i f f e r e n t i a t o r i i i 连续小波变换的开关电流电路实现 目录 学位论文原创性声明和i 学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论1 1 1 选题背景及意义1 1 2 小波分析概述2 1 3 开关电流技术概述一3 1 4 主要研究内容及论文结构4 第2 章小波变换理论5 2 1 小波分析及小波变换的应用5 2 2f o u r i e r 级数与f o u r i e r 变换6 2 2 1f o u r i e r 级数6 2 2 2f o u r i e r 变换8 2 3 窗口f o u r i e r 变换( w f t ) 一9 2 4 小波和小波变换1 l 2 4 1 小波1 1 2 4 2 小波变换1 4 2 4 3 常见小波函数一15 2 5 本章小结1 7 第3 章开关电流电路理论1 8 3 1 开关电容技术简介1 8 3 1 1 开关电容电路的基本原理1 8 3 1 2 开关电容积分器2 0 3 2 开关电流电路2 1 3 2 1 开关电流电路的基本原理2 l 3 2 2 开关电流电路系统的主要模块2 2 3 2 2 1 延迟线模块2 2 3 2 2 2 积分器模块2 3 3 2 2 3 微分器模块2 5 3 4s 域和z 域之间的变换及频率翘曲处理2 8 i v 工程硕士学位论文 3 4 1s 域和s 域之间的变换2 8 3 4 2 频率翘曲处理3 0 3 5 本章小结3l 第4 章连续小波变换的泰勒逼近3 2 4 1 连续小波变换的时域和频域实现3 2 4 1 1 时域法实现c w t 3 2 4 1 2 频域法实现c w t 3 3 4 2 数学原理3 4 4 2 1 d o g 小波及泰勒公式一3 4 4 2 2 用麦克劳林公式展开d o g 小波3 5 4 3 模型建立和实现3 6 4 4 本章小结4 l 总结与展望一4 2 参考文献4 4 j i 炙谢4 7 附录a 攻读硕士学位期间所发表的论文4 8 附录b 攻读硕士学位期问参与和主持的项目4 9 v 工程硕士学位论文 第1 章绪论 开关电流( s i ) 技术是一种电流模式的模拟取样数据信号处理技术，具有不 需要浮置电容、工作电压低、功耗低、动态范围大等优点【l 】。小波变换是目前国 际上时频域分析应用领域最新且常用的有效工具，小波变换的算法具有线性和多 尺度分辨能力，在时频域均具有很好的局部性。这种良好的特性就使其成为分析 非平稳和瞬变信号的强有力工具，在图像、语音的分析处理、模式识别等信号处 理领域取得很好的应用【2 】。用开关电流技术实现小波变换的模拟电路较之于同样 实现小波变换的数字电路而言具有明显的优势：不需要a d c 转换器，处理速度 快，避免了两次a d 、d a 转换所引起的信号失真；采用模拟方法处理信号的频 率范围宽，可达高频率段，而功耗却不增加，而且便于制成一体化集成芯片。综 合上面所述，利用开关电流模拟电路硬件实现小波变换，能够为小波变换的实现 方面的研究和应用带来新的研究点，对促进小波分析理论的进一步发展和广泛应 用以及促使开关电流电路理论技术的应用都具有重要的意义和实际应用价值【3 】。 1 1 选题背景及意义 纵览发展至今的时频分析工具，小波变换由于其具有时频局部性和多分辨率 特性，获得了“数学显微镜的美誉，尤其擅长处理非平稳信号。由于小波变换 在工程应用研究中的优异表现，所以它在图像、语音的分析处理、模式识别等领 域应用广泛。开关电流技术属于电流模技术的范畴，最为突出的特点就是用离散 取样数据的方法处理连续时间信号，由于以电流模式为特性的开关电流电路能够 支持超大规模集成电路( v l s i ) 的实现，与之前使用的电压模式具备更好的性能， 因此开关电流技术是不断向深亚微米实现的集成电路制造工艺的必然选择。 同一般的电流模式电路一样，开关电流技术也具有高速、频带宽、线性好和 电压低的特点。另外，开关电流还具有自身突出特点：无需浮置电容、低压低耗、 动态范围大等。开关电流电路以电流信号为取样信号，减小了对电源供电电压值， 从而消除了电路给信号的动态范围带来的影响。它的基本原理是利用m o s 晶体 管和它的栅极氧化层电容搭接成的结构，保持漏极电流。这样的话，与开关电容 技术需要连接线性浮置电容来构成准确的电流比值关系不同，开关电流技术仅仅 改变m o s 管的尺寸之比，即宽长比( w l ) 即可实现所需的电流比值关系 4 4 j 。 由于v l s i 技术的不断发展和新技术层出不穷，低压低耗的电路设计备受高 技术性能的电子仪器设备研究人员的推崇。但是电源电压、阈值电压、比例调节 以及互连线路等成为约束低功耗设计的主要因素。对于现代集成电路制造而言， 及二者的混合电路通过现有的工艺水平制作在一个集成芯片上。但是，实际应用 的电流模集成电路广泛使用发展得较为成熟的开关电容技术，而这种电路使用的 电容是线性浮置的，它通常是用双层多晶硅制作，可惜双层多晶硅不仅会使得电 源电压下降缩小从而减小电容上的大电压振幅，影响电路的动态范围，而且材料 本身会限制集成电路向深亚微米这种更先进技术的发展。基于以上考虑，人们提 出了开关电流技术，它仍然是一种电流模技术，在模拟信号处理应用方面将是取 代开关电容技术的不二选择。 既然开关电流技术具有如此强大的发展前景和生命力，那么我们当然可以用 来实现工程应用中频繁使用的小波变换，由于离散小波变换的运算量比较大，又 不便于实时处理，这就地激发了人们对于研究开发模拟电路方法实现小波变换的 热情。综合各种已有的文献资料，与数字电路实现的离散小波变换相比较，模拟 电路方法有着如下显著特点：它不需要a d 和d a 二次转换，处理起来速度就高， 同时还防止了a d 、d a 转换带来信号失真的可能，它所处理的频率范围宽，既 能满足高频率段要求，又能在低压低耗下正常工作，更重要的是便于实现集成电 路片上系统( s o c ) 。 1 2 小波分析概述 小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴的数学分支。它是在傅立叶 ( f o u r i e r ) 分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅立叶分析存在很大的不同。 从微观上看，小波变换与f o u r i e r 变换的根本区别是由小波和正弦波的不同局部化 性质产生的。从宏观上看，傅立叶分析是整体域分析，用单独的时域或频域表示 信号的特征；而小波分析是局部化时频分析，它用时域和频域的联合表示信号的 特征。作为时频分析方法，小波分析比傅立叶分析有着许多本质性的进步。它能 够从信号中提取许多有用的信息，是各种信号处理方法( 如时频分析、多尺度分 析和子带编码) 的统一处理框架，它的快速算法为分析和解决实际问题带来极大 的方便，目前在语音、图像、图形、通信、地震、生物医学、机械震动、计算机 视觉等领域都有很好的应用。小波分析是目前国际公认的信号信息获取与处理领 域的高薪技术，是多学科关注的热点，是信号处理的前沿课题。 如果用f o u r i e r 变换对连续信号的频谱特性进行总体研究，那就需要获得并观 察信号在整个时域内的特点，未来的信号特点也是包含其内的，也就是f o u r i e r 变换对于时间上实现0 分辨率，对于频率上实现无穷分辨率。具体来说，那将出 现这样的情形，信号某个时间点的微小范围内的信息受到影响，将改变信号的整 个频谱特性，如图像、语音、地震等信号，当我们想要获取信号中的高频信息段 即急剧变化的部分，在使用f o u r i e r 变换处理这些特殊信号片断时，便很自然将其 2 工程硕士学位论文 平滑掉。如此看来，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中，只有f o u r i e r 变换是不够的，f o u r i e r 变换无法反映信号的局部时频特性，仅适合于处理平稳信 号。鉴于f o u r i e r 变换存在不能同时进行时频域局部分析的缺点，d g a b o r 提出了 一种加窗f o u r i e r 变换( w f t ) ，也称为g a b o r 变换。在信号的时间频率分析中， d g a b o r 注意到了f o u r i e r 变换的不足，因此提出了如何提取信号f o u r i e r 变换的 局部信息的方法。但g a b o r 变换的时频窗口是固定不变的，窗口不具有自适应性， 不适宜于分析多尺度信号过程和突变过程，并且其离散形式没有正交展开，因而 难于实现高效算法，这是g a b o r 变换的主要缺点。在非平稳信号的分析中，往往 希望存在一种变换函数，它能满足以下情形：出现高频率的信息时，时间间隔要 相对的小，以便给出比较好的精度；而出现低频率的信息时，时间间隔则要相对 的宽，以便给出完全的信息，换句话说，就是要有一个灵活可变的时间频率窗， 使得在高“中心频率”时，时频窗口宽度自动变窄：在低“中心频率”时，时频窗口 宽度自动变宽。1 9 8 1 年，m o r l e t 对f o u r i e r 变换和w f t 变换的不同特点及函数构 造进行了创造性的研究，首次提出了“小波分析”的概念，将其命名为m o r l e t 小 波，该小波在地质数据处理应用中取得极大成功。这些具体的工作实际上为小波 分析的形成奠定了基础。随着对小波分析研究的理论工作不断深入，这种分析方 法在许多领域都得以应用，目前小波分析与应用的研究主要集中在如何根据具体 应用的需要从而选择或者构造更好的小波基，寻找更有效和快速的算法等方面。 1 3 开关电流技术概述 根据v l s i 技术发展的要求，人们不再仅仅满足于模拟或者数字的单片集成， 渐渐开始研究和制造模数混合电路并把它们科学合理的安排在一个片上系统之 中。出于成本和设计考虑，为求电路更加完善、实用和功能复杂化，v l s i 技术发 展最终将落在对模数混合集成电路的研制上，然而我们将不得不面对这类集成电 路的在电路系统设计和制造上的诸多难题。 在过去的5 0 多年来，伴随着开关电容( s c ) 技术研究和应用的不断成熟， 现有的大量集成电路特别是模数混合的a d 互转的接口电路都普遍采用s c 电路。 然而，当技术发展和实际的需求迫使制造工艺向深亚微米尺寸升级，s c 技术的缺 陷也就慢慢暴露出来：首先，s c 电路必须要有浮置电容的环节，不能与现有的集 成电路中大量使用的互补型复合( m o s ) 管工艺做到融合；其次，根据低压低耗 的要求集成电路的直流偏置电压从5 v 下降了1 3 ，这种情况使得在s c 电路特别 是s c 滤波器中速度高且动态范围大的需求受到很大的约束。上个世纪九十年代 以来，许多科研工作者开始研究开关电流( s i ) 电路，s i 电路在信号处理中采用 模拟取样数据的方法并且是基于电流模式的，它的电路工艺与标准数字v l s i 兼 容。s i 电路系统的基本组成单元是由m o s 管和其氧化层连接的电容搭接而成的 连续小波变换的开关电流电路实现 电流存储电路，这种单元的性能指标决定了s i 电路系统是否能够很好实现自身功 能。以该单元电路为基础可以组成延迟模块、积分器模块、微分器模块等开关电 流电路标准模块，有机结合以上模块可以实现各种滤波器、a d c 转换器等应用电 路，目前s i 技术主要着眼于集成滤波器电路的设计包括高阶滤波器的应用研究。 总而言之，s i 电路与s c 电路都可用在滤波器、a d c 转换器等应用场合，二者的 最明显的区别是：其一，在信号的取样方面，前者取样电流，而后者取样电压； 其二，前者无需线性浮置电容，电路与标准数字v l s i 工艺兼容，而后者则不具 有此特点；其三，开关电流积分器电路不含运放，排除了运放的非理想特性给积 分器性能带来的影响。 1 4 主要研究内容及论文结构 论文主要研究连续小波变换的开关电流模拟电路的实现。通过对小波变换或 连续小波变换( c w t ) 实现理论与方法的研究，同时结合开关电流技术的电路单 元模块，在频域法实现连续小波变换的基础上提出泰勒公式逼近方法来实现连续 小波变换，进而用开关电流电路硬件实现。论文具体内容结构安排如下： 第1 章：绪论，主要介绍开关电流电路实现小波变换的研究背景、意义及国 内外发展概况。 第2 章：小波变换理论，简要介绍小波分析及小波变换的应用，在f o u r i e r 变换和窗口f o u r i e r 变换的基础上引出小波变换的原理和具备的优越特性。 第3 章：开关电流电路理论，详细介绍了开关电流电路的工作原理，各种主 要模块的构成及功能分析，同时介绍s 域和z 域的之间变换关系及频率翘曲处理。 第4 章：综合论述了小波变换的开关电流实现技术两大类方法：时域法和频 域法，在频域法的基础上提出利用泰勒公式逼近实现连续小波变换，利用数学领 域中功能强大的泰勒定理及麦克劳林公式在频域中逼近d o g 小波，并利用开关 电流技术系统化模块化的优势从电路级上实现该逼近函数，主要是通过d o g 小 波变换电路的设计仿真为例验证了这种设计方法韵可行性。 最后是论文的总结和展望，对本文研究的内容进行归纳和总结，并提出一些 研究中的不足，同时作出未来工作的展望。 4 工程硕士学位论文 第2 章小波变换理论 小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出 信号某些方面的特征。它在高频处，时频窗口高而窄，可以精确地定位突变信号； 而在低频处，时频窗口矮而宽，适应分析缓变信号的需要，这种特性被称为“变 焦”( z o o m ) ，因而小波又被叫做数学显微镜，这也是它受重视的重要原因之一。 小波变换是作为小波分析的重要手段，本章将简要说明小波分析及小波变换的应 用前景，又由于小波变换是建立在f o u r i e r 分析的基础上的，因此也将简述f o u r i e r 变换和短时f o u r i e r 变换的基本思想，之后介绍小波变换的定义和特点、性质，并 从信号处理的角度来看待小波变换，并列举几种在应用中常见的连续小波变换基 函数并简述主要特性。 2 1 小波分析及小波变换的应用 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是近十多年快速发展而形成的新兴学科，具有 深刻的理论意义和广泛的应用范围 6 - 1 2 j 。上个世纪8 0 年代初，m o r l e t 和a r e n 等 人首次提出了“小波 的概念。小波分析的出现和发展，源于许多不同科学领域 信号处理的需要。作为一种数学工具，小波分析已经广泛应用于信号分析、图象 处理、数值分析等方面，而这些应用中产生的问题进一步激发了人们研究小波分 析的兴趣，由此带来了小波分析的迅速发展。小波分析主要研究函数的表示，即 将函数分解为“基本函数之和，而“基本函数 是由一个小波函数经过尺度伸 缩和平移而得到的，这个小波函数具有很好的局部性和光滑性，使得人们通过分 解系数刻画函数时，可以分析函数的局部性质和整体性质。小波分析出现之前， 人们用f o u r i e r 基、h a a r 基来分解函数。f o u r i e r 基函数具有很好的光滑性，但局 部性很差：而h a a r 基的局部性虽然很好，但光滑性很差。小波基函数却兼有它们 的优点。在信号分析中，由于小波变换在时域和频域都有很好的局部特性，因此 在数据压缩和边缘检测方面，小波分析是一种非常有效的方法。小波分析正处于 迅速发展阶段，从事小波分析的人也越来越多，随着研究的进一步深入，小波分 析还将更加广泛和深入地应用在理论数学、应用数学、信号处理、图像处理与分 析、语音识别与合成、分形等方面，下面就小波变换的应用前景归纳： ( 1 ) 由于小波变换可以将信号或图像分层按小波基展开，所以可以根据图像 信号的性质以及事先给定的图像处理要求确定到底要展开到哪一级为止，从而不 仅能有效地控制计算量，满足实时处理的需要，而且可以方便地实现通常由子频 带、层次编码技术实现的累进传输编码( 即采取逐步浮现的方式传送多媒体图像) 。 这样一种工作方式在多媒体数据浏览、医学图片远程诊断中是非常有用的。 连续小波变换的开关电流电路实现 ( 2 ) 利用小波变换的放大、缩小和平移的数学显微镜功能，可以方便地产生 各种分辨率的图像，从而适应不同分辨率的图像i o 设备和不同传输速率的通信 系统。 ( 3 ) 利用小波变换能够比较精确地进行图像拼接，因此对较大的图像可以进 行分块处理，然后再进行拼接。这样能为图像的并行处理提供突破的方向。 ( 4 ) 基于零树小波的图像压缩算法，在非常宽的比特率范围内具有很高的编 码效率。除了具有很高的压缩效率之外，还提供了空间和质量的可缩放性，以及 对任意形状目标的编码。其空间可缩放性高达1 1 级，质量的可缩放性具有连续性。 小波公式以累进传输和时间上扩充静态图像分辨率金字塔的形式提供比特率可缩 放的编码。编码的位流也可以用于图像分辨率层次抽样。这种技术提供了分辨率 的可缩放性，以便处理在交互应用场合广泛的观察条件，以及把2 d 图像映射到 3 d 虚拟空间。 2 2f o u r i e r 级数与f o u r i e r 变换 在科学研究与工程技术应用研究中，f o u r i e r 变换是最有用的工具之一。而 f o u r i e r 变换通常是指f o u r i e r 级数和f o u r i e r 变换两种分析技术，为了更好的说明 小波变换，本节就从这两种分析原理入手。 2 2 1f o u r i e r 级数 现在，考虑定义在( o ，2 z r ) 上满足如下条件的可测函数或信号f ( t ) ： r 石) 1 2 d t o 在时间r = b 的附近使信 号f ( t ) 的f o u r i e r 变换局部化了，对v w r ，这种局部化完成的如此之好以致于达 到了对，( w ) 的精确分解，从而完整地给出了f ( t ) 的频谱的局部信息，这充分体现 了g a b o r 变换在时域的局部化思想。 下面讨论g a b o r 变换是如何实现在频率域的局部化的。为此，令 g ( a ；b ，w ；t ) = g o ( t - b ) e x p ( j w r ) ，那么g a b o r 变换可表示为： ( 何) ( 6 ，w ) = i ( ，) g ( a ；b , w ；t ) d t ( 2 1 7 ) ； 这个等式可理解为，g a b o r 变换( 可) ( 6 ，w ) 是对函数厂( ，) 开了一个由g a ( t ) 给出的窗 口，这也是称g a ( r ) 为窗函数的理由。将g ( a ；b ，w ；t ) 的f o u r i e r 变换记作：g ( a ；b ，w ；r 1 ) ， 则： g ( a ；b ，w ；叩) = e x p - a ( 0 一w ) 2 一弘研一川】 ( 2 18 ) 再由r ( r ) 中f o u r i e r 变换的p a r s e r v a l 恒等式，即对v ，g r ( r ) 总有公式： ( 厂，g ) = ( 2 1 9 ) 可将g a b o r 变换变形为： c 够叻2 万1 c f 颊6 ，w ；枞= 去f ( r ) e x p - a ( r - w ) 2 - j b ( o - w ) d r i 。2 御， ：_ e x p 万( - j b w ) ( 舒) ( w ，一6 ) 于是得： 少( f ) g 口( f 一6 ) 。e m d t = 三p 加_ 1 r f f ( r 1 ) 。g 。( 叼一w ) p 砌却 ( 2 2 1 ) 这说明，对于给定的观测时刻，：6 和固定的频率分量7 7 ：w ，除常数项1 犀p 加之外， 信号厂( ，) 在r = b 具有时间窗函数g o ( t ) 的g a b o r 变换与信号在7 = w 具有频率窗函 数g l ( 叼) 的g a b o r 变换是一致的，即两者给出的信息是一样的。只不过前者是时 域形式，而后者是频域形式。这体现了g a b o r 变换在时域和频域观测的等效性。 这便是g a b o r 变换能对信号进行时频分析的理论依据。 将g a b o r 变换中的高斯窗口函数根据需要置换成其他的函数，则可以产生各 种的加窗f o u r i e r 变换，但是根据h e i s e n b e r g 测不准原理，可以证明g a b o r 变换 是具有最小时频窗1 2 的f o u r i e r 变换，这表达出g a b o r 变换的某些最优性，当然， 这里还没有考虑时频窗1 2 形状的变化与信号时频分析的需要之间的关系。总之， 作为信号分析工具，g a b o r 变换和w f t 发展了f o u r i e r 变换，能够满足特殊信号 1 0 工程硕士学位论文 处理的某些需要。进一步的研究发现，当窗口函数选定之后，对w f t 和g a b o r 变换来说，时频窗口形状是固定的，它不能随着所要分析的信号成分是高频或是 低频信息而相应变化，而非平稳信号都包含丰富的频率成分，所以，它们对非平 稳信号的分析能力是很有限的。而小波变换就是对这种窗口固定的时频分析方法 的改进，在信号的分析领域取得了具有里程碑的技术进步。 2 4 小波和小波变换 w f t 中的窗口是固定的，不能够随信号不同时刻的频率不同而灵活调整时频 窗口，而小波变换就是对这种固定窗口的时频分析方法的改进，使信号的时频分 析技术领域取得了里程碑的进步。 2 4 1 小波 小波是函数空间l 2 ( r ) 中满足下述条件的一个函数或者信号g t ( t ) ： q = 爷如 2 2 ， 式( 2 2 2 ) 中r = r 一 o 表示非零实数全体。有时，y ( ，) 也称为小波母函数，前述 条件称为“容许性条件”。对于任意的实数对( 口，r ) ，参数a 必须为非零实数，称如 下形式的函数： 舻忑1 ay 仁a ) ，口 o ( 2 2 3 ) 为由小波母函数y ( ，) 生成的依赖于参数对( 口，f ) 的连续小波函数，简称为小波，其 中分别称口和f 为尺度参数和平移参数。关于小波要注意到如下两个要点： ( 1 ) 如果小波母函数l f ，( ，) 的f o u r i e r 变换甲( 计在原点w = 0 是连续的，那么， 容许性条件保证甲( o ) = 0 ，即i y ( f 矽= 0 。这说明函数i f ，( ，) 有“波动 的特点。另 ； 外，函数本身的要求又说明小波函数i f ，( f ) 只有在原点附近的波动才会明显偏离水 平轴，在远离原点的地方函数值将迅速“衰减 为零，整个波动趋于平静。这是 称函数g t ( t ) 为“小波”函数的基本原因。 ( 2 ) 对于任意的参数对( 口，f ) ，显然， p ( ) ( t ) d t = 0 ，但是，这时i g ( a , r ) ( r ) 却 是在x = r 的附近存在明显波动，而且，有明显波动的范围大小完全依赖于参数a 的 变化。当a = l 时，这个范围和原来的小波母函数l f ，( ，) 的范围是一致的；当a l 时， 这个范围比原来的小波母函数l f ，( f ) 的范围要大一些，小波的波形变矮变胖，而且， 当a 变得越来越大时，小波的波形变得越来越胖、越来越矮，整个函数的形状表 现出来的变化越来越缓慢；当0 口 0 且越 来越小时，小波的波形渐渐地接近于脉冲函数，整个函数的形状表现出来的变化 越来越快，颇有瞬息万变之态。小波函数l