（凝聚态物理专业论文）一维光子晶体的能带特性研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位毕业论文 摘要 光子晶体是近年来出现的一种新的光学材料。它以光子禁带和光子局域 的存在为主要特征，是由不同折射率的介质周期性排列而成的人工结构，具 有能够抑制自发辐射和控制光传输等特性，在光通讯、微波通讯、集成光学 等领域有重要的应用前景。一维光子晶体结构简单、易于制备，同时具备二 维、三维光子晶体的性质，极有可能成为全光通信领域中的关键材料，因此 具有较高的理论意义和广泛的应用价值。 本论文的主要内容如下： 1 第一章系统地阐述了光子晶体产生的历史背景，物理基础及其主要特 征。对光子晶体的制各方法、理论研究方法做了分析比较。列举了光子晶体 的几个应用领域和目前光子晶体的几个主要研究领域，明确了本论文的研究 目的。 2 第二章从麦克斯韦方程出发，推导了光在光子晶体中传播的基本微分 方程和一维光学传输矩阵理论。该理论计算量小，精确度高，可以用来计算 光子晶体的能带特性。 3 第三章讨论了含负折射率材料的光子晶体的能带特性。从色散关系出 发，通过数值模拟计算研究了由正折射率材料和负折射率材料交替组成的一 维光子晶体的能带结构与光子晶体的结构参数之间的关系。结果表明：当两 种材料的光学厚度相同时，含负折射率的光子晶体的带隙比传统的光予晶体 带隙大得多，并且具有狭窄的透射带，讨论了带隙的存在与折射率比值的关 系，与传统光子晶体的透射谱进行了比较。 4 第四章讨论了在光子晶体异质结构中引入非线性缺陷后，系统的光学 响应。考虑了光通过含有非线性缺陷的一维光子晶体异质结构的情况，对缺 陷层的介电函数采取艿函数近似的方法，得到了具有非线性缺陷的一维光子 晶体异质结构中的光学响应表达式。结果表明：非线性缺陷存在时，在光学 响应中会出现双稳态、多稳态等特性，讨论了双稳态及其多稳态的形成条件， 并与考虑缺陷层厚度时的结论进行了比较，为构造零闽值的激光器和非线性 光学器件的初步设计提供了有益的理论参考。 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 关键词：负折射率材料一维光子晶体带隙结构 透射谱非线性缺陷双稳态光学响应 ：些生蔓查兰壁主堂堡望些笙圭 a b s t r a c t p h o t o n i cc r y s t a li san e wt y p eo fa n m c i a lm i c r o s t n l c t u r e dm a t e r i a lw i t h c h a r a c t e r i s t i co fp h o t o n i cb a l l d g 印( p b g ) s t r u c t l l r ea n dl o c a lm o d e a n di t h a s p e c u l i a ra b i l i t yo fm h i b i t i n gs p o n t a n e o u sr a d i a t i o no fa t o m sa n dc o m r o l l i i l gl i g h t p m p a g a t i o n nw i l lb e 谢d e 】yu s e di 1 1m e 五e l d so fo p l i c a lc 鲫姗u n i c a t i o n ， m i c r o w a v e c o m m u i l i c a t i o n ， i m e g r a t i o no 砸c a l a n d m a l l y o t h e r s o n e d i m e n s i o n a l ( 1 d ) p h o t o n i cc r y s t a lc a l lb em a d ee a s i l yd u et oi t ss i m p l e s 订u c t t l r ea 1 】dh a st h ep r c l p e n i e so f2 da n d3 dp h o t o n i cc r y s t a l 8 t h i sn o v e l o p d c a lm a t e r i a i sw i i lp r o b a b l yb ec r u c i a lc o m p o n e n t si nt l l e 五e l do fo p t i c a l c o m m u n i c a t i o n ，s o 也e 商g v 8 mn l e o r e t i c mr e s e 盯c h e sa r ey a j u a b l e 锄dw i d e 印p l i c a t i o np e r s p e c t i v c sa r ee x p e c t e d t h e 戳l m m a r yo f 也ed i s s e m t i o ni sa sf b l l o w s ： 1 t h el l i s t o r i c a lb 蜥u n d ，吐坞p h y s i c a lf o l m l a t i o na n dn l c 曲i n p 柏p e n i e s ( p h o 砸eb 锄d g a p sa n d 洳i l i cl o 髑a i z 醛o n ) o fp l 蜘芏l ；cc r y s t a l sa r e m t r d d u c e d i n c h a p t e ri d i 髓r c n td e s i g nn l e t h o d sa l l dd i 凰r e m 也o o r e t i c a lr e s e a r c h m e 也o d sa r ea l s ocomp黜d址妊s c h a p 绝矗f i n a i 坟p o s s i b l e 砥! 主z 8 t 主o n 缸dm a 主nr e s e 盯c hf i e l d s i np h o t 0 i cc r y 删a r el i s t e d so t l l a tw ec a i l sett h ea i l no f t h e p r e s e n t 出e s i s 2 w jd e d u c e 也eb 嬲i cd i 廊f e n t i a l equanon o fl i 曲ts p r e a d i n g i nphotoilic c r y s t a l 缸l dm et 1 【e o r yo f0 n ed m l e n s i o i l a lo p t i c a l 订a n s f e ri n a 啊x 丘o m 也e m a x 啪l l se q u a t i o ni nc h a p t e r r i h st l l e o r yh a ss m a l lc a l c u l a t i o nq u 蹦6 母a i l d l l i g hp r e c i s i o ni nc “c l l l 蕊o na i l dm a y cal叫atep h o t o i 武b a n dg a p propertieso fp h o t o n i cc l y s t a l s 3 t h ec h a r a c 僦葛o fb a l l ds m l c t i l l 屯i i i oncdi|nensiollalp h o t o n i cc r y s t a l s c o 吡l i n i n gn e g a t i v c r e 触c l i o n m a t c r i a l sa r e disc哪sed i nc h a p t c riiithe贼iiilp r o p 咖e so f o n e - d i i n e l l s i 衄a lp h o t o i l i cb 越dg a p 姗c n 聃s 也a ti n c l u d el a y e r so f n e g a t i v er e 疗a c 吐o nm a t 耐a la r ea i l a j y z e d 劬mm ee x p l i c i td i s p e r s i o ne q u a t i o n t h er c s u h ss h o wt l l a tm ep h o t o n i cc r y s t a l s c o m a i l l i n gn c g a t i v er e 矗a c t i o n 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 m a t e r i a l sh a v ew i d e rp h o t o n i cb a n dg a p sw h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h ec a s eo f t r a d i t i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l sw i mn a r m wt r a n s m i s s i o nb a n d sw h e nt h et w ol a y e r s h a v et h es a m eo p t i c a lt h i c k n e s s t h er e l a t i o n sb e t w e e na p p e a r i n go fs t o pb a n d s a 芏l dm er a t i oo fr e f h c t i o ni n d e xa r ed i s c u s s e d ，t l l et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e si nt h e 铆ot y p ep h o t o 工l i cc r y s t a l sa r ec o m p a r e d ，w h i c hm i g h ts u p p l yab e n e f i c i a l r e f 宅r e n c ef o r 血eu s a g eo ft l l en e g a t i v em a t 鲥a lt od e s i g na n df a b r i c a t e t h e l l i 曲- q u a l 酊r e n e c t o ra 1 1 dt h em u l t i c h a n n e l f i l t e r s 4 o p t i c a lr e s p o n s eo fp h o t o n i cc r y s t a lh e t e r j u n c t i o ns t n l c t u r e w i t ha n o n l i n e a rd e f c c ti sd i s c u s s e di nc l l a p t e r w ec o n s i d e rt h eg e n e r a lp r o b l e mo f e l e c t r o n m g n e t i cw a v ep r o p a g a t i o nt h r o u g ho n e d i m e n s i o n a lp h o t o i l i cc r y s t a l h e t e 巧u n c t i o ns t m c t u r e 、v i n lan o n l i n e a rd e f t ，o b t a i n a j l e x p r e s s i o n f o rt h e o p t i c a lr e s p o n s eo fs u c hd i e l e c t r i cs u p e r l a t t i c e sw h e nt h en o n l i n e a ri m p l l r i t y m e l e c t r i cc o n g t a n ti si n 占f i l 丑c 垃o na p p r o x i m a t i o n t h er e s l l l t ss h o wt l l a to n c e t b en o m i n e a rm e d i 眦s a n d 耐d 嫱db e t w e e n 钾吣p h o t o n i ca y s t 8 l sa n d 也es y s t e m e x l l i b i t sb i s t a b i l 时a n dm u j t i s 怕b i l i 吼d i s c u s sm ec o n d i t i o n sf 斫血eo n s e to f b i s 协b i l j 巧a n dn l u t 6 s t 曲m t y ac o m p a r i s o nb e 噼e e nt h e艿缸l c t i o n a p p r o x i i n a t i o na n d l en o m i n e a rl a y e ro ff i i l i t e 、】l ，i d ld i s p l a y sq u a l i t 撕v e l y s i m i l 盯b c h a v i o r ，w h i c h 皿曲ts u p p l yab e n e 矗c i a lr e f e r e n c ef o rn l ed e s i g nz e r o t h r e s h o l dl a s e ra n dn o m 协e a ro 谢c a le l 锄e n t s k e yw o r d s ：n e g a t i v er e ：丘a c t i o nm a t e r i a l s ；o n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i c c u s t a l s ；b a n dg 印咖c t l 】r e s ；t r a n s m i s s i o ns p e c t n j m n o n l i n e a rd e f e c t ；b i s t a b i l i t y ；o p t i c a lr e s p o n s e 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 出【2 j ：光子晶体可以抑制自发辐射。爱因斯坦曾经认为自发辐射是不可控制 的，它将不可避免的与受激辐射和受激吸收共存。现在利用光子晶体可以改 变这一论断。我们知道，自发辐射的几率与光子所在频率的态的数目成正比。 当原子被放在一个光予晶体里面，而它自发辐射的光频率正好落在光子禁带 中时，该频率的光子态的数目为零，因此自发辐射几率为零，自发辐射也被 抑制。反过来，光子晶体也可以增强自发辐射，只要增加该频率光子态的数 目便可实现。如在光子晶体中加入杂质，光子禁带中会出现品质因子非常高 的杂质态，具有很大的态密度，这样便可以实现自发辐射的增强( 图1 4 1 ) 。 l | | | 丝 光 子 ( b ) 态 密 度 光 子 ( c ) 态 密 度 频率 频率 频率 图1 4 1 光子禁带对原子自发辐射的影响示意图 ( a ) 在自由空间；( b ) 在有缺陷的光子晶体中( 自发辐射被抑制) ；( c ) 在有缺陷的光 子晶体中( 自发辐射被增强) 光子晶体的另一个主要特征是光予局域。j 1 0 n 于1 9 8 7 年提出1 3 j ：在一 种经过精心设计的无序介电材料组成的超晶格( 相当于现在所称的光予晶 体) 中，光子里现出很强的a d c r s o n 局域，如果在光予晶体中引入某种程度 的缺陷，和缺陷态频率吻合的光子有可能被局域位置，一旦其偏离缺陷处光 就迅速衰减。当光子晶体理想无缺陷时，根据其边界条件的周期性要求，不 存在光的衰减模式。但是一旦晶体原有的对称性被破坏，在光子晶体的禁带 中央就可能出现频宽极窄的缺陷态。 光子晶体和半导体的物理特性有很多相似的可比拟之处，我们要想深入 地了解光在光子晶体中的传播行为可以将光子晶体中光子的运动和半导体 中电子的运动进行比较： 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 半导体 光子晶体 结构 周期性势场不同介电常数的周期分布 电子的输运行为电磁波( 光) 在晶体中的传播行为 研究对象 费米子玻色子 薛定谔方程 麦克斯韦方程 本征方程 一婺v ：+ 矿p 杪：e 妒 _ v 2 e + v ( v ，e ) 号f p ) e = 等啦 2 m 本征矢波函数：标量 电场强度、磁场强度：矢量 自旋角动量 上 1 2 电子禁带光予禁带 特征 缺陷态在缺陷处的局域模式 尺度原子尺寸电磁波( 光) 波长 从表中可以看出；光子晶体与半导体在构成的物理思想上有惊人的相似 之处，因此我们把半导体的研究方法移植到光子晶体中去。 5 光子晶体的理论研究方法 光子晶体提出来之后，人们迅速在理论上和实验研究上给予高度重视， 并且两者同时得到很快的进展。在理论上，人们最初利用标量波理论陋m 】 进行计算，即单独考虑光场的某一个分量，忽略了各个场量在麦克斯韦方程 中的耦合，因此理论结果和实验结果有很大的差别。随后，人们发展了几种 矢量波方法，如平面波展开法、时域有限差分法、传输矩阵法等。计算表明， 这些方法的计算结果与实验结果在一定程度上保持一致，这是因为麦克斯韦 方程精确地描述了光场的存在形式，并且光子之间不像电子那样存在相互作 用，在理论上不存在近似。 近些年来，光子晶体的理论研究取得了令人瞩目的进展，在众多的理论 研究方法中，下面列举几种使用比较广泛的计算方法。 ( 1 ) 平面波展开法 6 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 这是光子晶体的计算中使用最早的一种，也是用的最多的一种方法。它 是应用布洛赫定理把介电函数的电场或磁场用平面波展开，将麦克斯韦方程 组化成个本征方程，求解本征方程即可得到光子能带，这种光子晶体的能 带计算方法实际上是套用了电子能带的方法，并在平面波展开方法的基础上 进一步套用了缀加平面波方法1 1 “、紧束缚方法1 16 】等，在处理有缺陷的情况时， 若采用平面波方法，则要用超原胞，需要很大数目的平面波。紧束缚方法可 以克服这个困难，这种方法的优点是思路清晰，易于编程；缺点是计算量正 比于所用波数的立方，因此对于光子晶体的结构复杂或处理有缺陷的体系需 要大量的平面波，可能因为计算能力的限制而不能计算或者难以准确计算。 如果介电函数不是常数而随频率变化，就没有一个确定的本征方程形式，而 且有可能在展开中出现发散导致根本无法求解。 ( 2 ) 传输矩阵法 这种方法最早由p e n d r y 和m a c k i n n o n 发展起来的，并十分成功的应用 于l e e d 实验分析和有缺陷的光子晶体中【1 7 - 体l 。其实质上，是把电场或磁场 在实空间格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，同样变成求 解本征值问题。传输矩阵表示某一层面格点的场强与近邻的另一层面格点场 强的关系，它假设构成空间中同一个格点层面上有相同的态和相同的频率， 这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到整个晶体空间。这种方 法对介电函数随频率变化的金属系统特别有效，由于传输矩阵小，矩阵元少， 计算量较前者大大降低，只与实空间格点数的平方成正比，精确度也非常好， 而且还可以计算反射系数和透射系数。 ( 3 ) 多重散射法 这种方法将具有带隙结构的光予晶体作为散射体置于开放系统中，当电 磁波与散射体相互作用时，研究目标的散射、吸收和透射特性等。入射电磁 波与物体作用要产生散射波，散射波与入射波之和满足媒质不连续面上切向 分量连续的边界条件，因此在物体所在区域直接计算入射波和散射波之和的 总场更为方便。将电磁场量分别向一阶b e s s e lh a n k e l 函数作展开，又因为麦 克斯韦方程是线性的，故总场散射场和入射场部分都分别满足麦克斯韦方 程，通过求解展开系数可求解散射波幅，传输系数等。这种方法对某些特殊 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 问题的效果还是不错的。 ( 4 ) 时域有限差分法 这种方法直接把含时间变量的麦克斯韦方程在y e e 氏网格空间中转化为 差分方程【l 。在这种差分格式中，每个网格点上的电场或磁场分量仅与它相 邻的磁场或电场分量及上一时间步该点的场值有关，在每一时间步计算网格 空间各点的电场和磁场分量，随着时间步的推进，即能直接模拟电磁波的传 播及其与物体的相互作用过程。由于在差分格式中被模拟空间电磁性质的参 量是按空间网格给出的。因此，只需对相应空间点设定适当的参数，对介质 的非均匀性、各相异性、色散特性和非线性等结构均能很容易地进行精确模 拟。这种方法的优点是简单直观，容易编程，且大大减少计算量，节省计算 机内存。 ( 5 ) n 阶( o r d e r - n ) 法 这是引自电子能带理论的紧束缚近似的一种方法，由y e e 在1 9 9 6 年提 出的时域有限差分法( f i ) t d ) 发展来的。基本思想是：从定义初始时刻的 一组场强出发，根据布里渊区的边界条件，利用麦克斯韦方程组可以求出场 强随时间的变化，从而最终解得系统的能带结构。具体做法：通过傅立叶变 换先将麦克斯韦方程组变化到倒格子空间，用差分形式约简方程组，然后再 作傅立叶变换，又将其变换到实空间，得到一组被简化了的时间域的有限差 分方程。这样，原方程可以通过一系列在空间和时间上都离散的格点之间的 关系来描述，计算量大大降低，只与组成系统的独立分量的数日n 成正比。 但是在处理a m d e r s o n 局域和光予禁带中的缺陷态等问题时，计算量剧增， 这种情况下传输矩阵法比较方便。 上述的理论计算方法只是给定的光子晶体的结构组成后才能定量定性 地得出准确的结论。虽然我们知道几个参量( 如介电函数比、填充比、晶格 结构等) 对光子禁带有影响，但“到底是什么物理机制在光子禁带的形成中 起了决定作用? ”也就是怎样从物理上定性、定量或者半定量地分析和设计 光子禁带? 尚未有正确答案。例如，如果要得到一定频率范围内的光子禁带， 我们应该找什么样的光子晶体结构组成呢? 由于这方面的研究迄今不过十 余年，所以还有大量的工作需要人们去做。 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 6 光子晶体的应用 自从光子晶体诞生以来，科学工作者们把更多的目光放在了光子晶体在 光纤通讯、微波通讯、光子集成器件等光学领域的应用。现在，在实验室里 已经进行了大量地可行性应用设计，这里概括为如下几个方面： ( 1 ) 制作高性能反射镜、偏振片、超棱镜等光路器件 利用光子晶体禁带对落在禁带频率内的光子具有比较高的反射率，可以 制成高性能反射镜。与传统的反射镜相比，利用光子晶体制成的反射镜可以 做到反射率高，可以近似达到1 0 0 ，并且能量吸收低，反射光子的频段及 频宽可以灵活设计，方便应用。高性能反射镜在现实中具有重要的应用价值， 光子晶体的实际应用开发，也是从这里开始的。以光子晶体为基底制成的微 波天线【2 0 】，迈出了光子晶体实际应用的第一步。 光子晶体对不同模式( t e 或t m ) 的波，禁带的分布不同，对于同一频 率的不同模式的入射波，既可能反射也可能透射，利用这一差异，可以制作 光子晶体偏振片。传统的偏振片工作频段窄，对入射角度要求较高，极大的 限制了偏振片的灵活使用，光子晶体制作的偏振片正好弥补了这些不足，给 偏振片的应用带来了光明的前景。近年来，利用二维光子晶体设计偏振片得 到了许多好的结果【2 ”。 当入射光通过光予晶体时，出射方向会发生一定的偏离，对于不同入射 频率的光。偏离角度不同。由此可制作光子晶体超棱镜。它的分辨率可比一 般的棱镜高出上千倍，体积反而是传统的百分之一。例如对波长1 o 微米和 0 9 微米的两束光，传统的棱镜几乎不可能将它们分开。但是采用光子晶体 超棱镜可以将它们分开到6 0 度口2 2 3 】，这对光通讯中的信息处理具有重要意 义。 ( 2 ) 制作优质滤波器 利用光子晶体的光子频率禁带特性和光子局域特性可以实现对光子极 优良的滤波性能口4 之6 】。利用光子晶体的宽禁带特性可以制作宽带阻滤波器， 滤波带宽可以做的比较大，钻石结构的光子晶体的滤波带宽可以做到中心频 率的2 0 【1 2 】，而由s g u p t a 等人提出的金属一介质复合型光子晶体可以将从 低频( 频率接近0 h z ) 直到红外波段的电磁波完全滤掉【2 7 】。 9 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 另外研究发现，当光予晶体中的某些单元被取消而造成缺陷时，就会使 得光子晶体的光子频率禁带出现一些可穿透窗口，即光子频率禁带内的某些 频率模式的光会毫无损失地穿过光子晶体，称该频率模式为光子晶体缺陷 模。利用光子晶体缺陷模这一特性，可以制作高品质的极窄带选频滤波器【2 8 1 。 ( 3 ) 制作高效发光二极管、低阂值激光器等 在光子晶体中引入缺陷，可以产生谐振腔，可以抑制和增强光子晶体的 自发辐射【2 ”，利用这一特性，可以增强某一频率模式的光辐射，而抑制周围 附近频率模式的光，由此可以制得单色性和方向性都很好得高效发光二极管 【3 0 1 。 同样，在激光器中引入光子晶体可以实现低阈值振荡，当光子晶体的禁 带频率和激光工作物质的自发辐射频率时，激光器中的自发辐射被抑制，这 样以来，因自发辐射引起的损耗会大大降低，从而使激光器的阈值变得很低 【2 8 1 。 ( 4 ) 制作光子晶体光纤和光子晶体激光器 在传统的光纤中，光在中心氧化硅核中传播。通常，为了提高其折射率 系数采取掺杂的办法以增加传输效率，但不同的掺杂物只能对一种频率的光 有效。但光子晶体光纤的出现弥补了这个缺陷。并且极大地降低了光纤拐弯 时的能量损失。 简单的说，在光子晶体内部引入线缺陷可以制作光予晶体光纤，根据具 体制作原理的不同又可简单地分为空气包层光纤、改进的全内反射光子晶体 光纤、光子晶体禁带传播的光子晶体光纤【3 l 】。英国b a l h 大学的研究人员用 二维光予晶体成功研制成新型光纤：由几百个传统的氧化硅棒和氧化硅毛细 管依次绑在一起组成六角阵列，然后在2 0 0 0 摄氏度下烧结而形成。直径约 4 0 微米、蜂窝结构的亚微米空气孔就形成了。为了导光，在光纤中人为引入 额外空气孔，这个额外的空气孔就是导光通道。如图( 1 6 ，1 ) 所示，与传统的 光纤完全不同，在这里传播的光是在空气孔中而非氧化硅中，可导波的范围 很大。光子晶体光纤具有非常大的应用潜力，由于相当的光功率在空气中传 输，意昧着可以用气体作传感；而由于部分光在空气中传输，这会降低传输 损耗；拥有大模场面积的光纤可以传输非常大的光功率，而不用激发不必要 l o 曲卓师范大学硕士学位毕业论文 的非线性效应；而短波长的反常色散使短波长也可以产生孤子，同时利用这 一点。超宽连续谱也已经实现，光纤并且具有非常大的色散补偿能力，适用 于超宽带的波分复用( w d m ) 系统。 图16 1 ：不同结构的光子晶体光纤 另外，在光子晶体构成中含有非线性材料或者具有非线性缺陷材料时， 能够引起一定的非线性效应，现在研究发现了该材料中同样可以得到二波混 频和光学双稳等非线性效应【矧，由此可以得到光子晶体光限幅、光开关等微 光学器件【3 3 】。光子晶体还可以制作军事上应用的光子晶体天线、光予延迟线、 制造假目标、实现隐身等。 光子晶体的应用正在逐步被开发，并将一步步走向实用化，我们相信光 子晶体地应用将给当前的电子信息时代带来前所未有的冲击，将带来光信息 革命的新时代。 7 光子晶体的制备 光子晶体在自然界是存在的，例如用来装饰的蛋白石( 0 p a l ) ，还有一种 深海老鼠身上的毛以及一种特殊的蝴蝶翅膀上的粉，它们在不同的角度反射 不同波长的光。通过研究发现它们都是由大小均匀的微米、亚微米量级的结 构密集堆积而成的。参见图1 7 1 。但是，这些都是粗糙的光子晶体，因为它 们没有形成完全的禁带。通过m 蜢、e l l 方程的求解可以发现，完全禁带的形 成与大小同两种材料的折射率的差、填充比以及排列方式有着密切的联系。 一般说来，两种材料的折射率差值越大，就越有可能形成光子禁带，当两种 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 材料的折射率差大于2 的情况，可以形成完全禁带。在自然界尚未曾发现此 类的晶体。因而实验研究使用的光子晶体必须经过人工制各。 ( a ) 蝴蝶翅膀上面的粉的反射光( b ) 蝴蝶翅膀上的粉的微结构 ( c ) 海老鼠的毛( d ) 海老鼠毛的微结构 图1 7 1 自然界中的光子晶体 在光予晶体的实验制作上，已经从最初的精密机械加工发展到现在的溶 胶一凝胶、激光全息等多种方法，其尺寸也逐渐从微波段发展到了可见光波 阶段。目前，制备光子晶体的方法主要有以下几种。 ( 1 ) 精密机械加工法 精密机械加工法以半导体工业成熟的技术为基础，是制备光子晶体最为 稳定可靠的方法。微波波段的光子晶体由于其晶格常数在厘米至毫米数量 级，用机械加工的方法可以比较容易地制作。精密机械加工法适于制备二维 光子晶体，也可以用于制备三维光子晶体，并可用于制作一些实际的光学元 件，比如：滤波器，光波导，探测器等。为了获得亚毫米和远红外波段的光 子晶体，常需要采用激光刻蚀、电子束刻蚀、反应离子束刻蚀等先进的半导 体微加工制作技术。这种方法缺点在于工艺复杂、造价昂贵：受现有半导体 1 2 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 技术水平的限制；并且在制各红外和可见光波段的三维光子晶体、晶体掺杂、 引入缺陷等方面都存在问题。 第一块三维光子晶体是e y 如l o n o v i t c h 采用精密机械加工法在l9 9 1 年实 现的，如图1 7 2 所示【3 4 】。这种结构的光子晶体工作频率多落在微波波段。 目前还没有制造工作于短波长、尤其是工作于可见光波段的钻石结构光子晶 体的实用方法。 图1 7 2 e y a b l o n o v i c t h 制作光子晶体示意图 注：每个孔沿三个方向打 孔，三个方向互成1 2 0 0 ，与中间法线方向成3 5 2 6 0( 2 ) 层层叠加法 “层层叠加( 1 a y e r b y _ l a y e r ) ”法，是由0 z b a y 等人首先提出来的阱舶】。 即先利用刻蚀技术获得一维结构，再层层叠加构成三维光子晶体，每四层相 互重复，结构如图1 7 t 3 所示。这种技术为三维晶体的制造提供了一个可行的途径，但关键是如何制备出带隙在可见光和近红外范围的结构。1 9 9 9 年， n o d a 等人用此法得到带隙1 3 1 5 5j 删的光子晶体，这被认为是层层叠加法 制各光子晶体的转折【l l 】。这种方法可得到高质量的具有完全带隙的光子晶 体，并可比较容易地控制晶体缺陷，但其制造工艺烦琐，成本太高，目前还 不能大规模生产，制造更多层的光子晶体仍很困难，当结构周期降到亚微米 后，用此方法制作光学波段的三维光子晶体结构也存在很大挑战。 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 个光栅的激光衍射图叠加，结合离子蚀刻方法制作了二维的六角周期结构 例。2 0 0 0 年，c 柚1 p b e l l 等将四束三倍频n d ：y a g ( = 3 5 5 r 1 1 1 1 ) 激光从非共面 的四个方向干涉形成三维图象，再将环氧树脂上未曝光部分溶掉，制成一个 厚约1 0 6 0 册，1 4 8 0 # 肋层能长期保留的三维f c c 光子晶体结构【3 9 l 。s h o i i 等用五束h e c d ( = 4 4 2 n m ) 激光连续照射感光树脂，得到5 0 0 肼 5 0 0 # 肋x1 5 0 ，柳的光子晶体结构1 40 j 。2 0 0 1 年，k o n d o 等研制出一套简单的适 合多束飞秒激光脉冲干涉制作光子晶体结构的光学装置，其主要元件是个 衍射分束器，这套装置可以通过灵活地改变干涉光束数而制备出、二、三 维光子晶体1 4 1 1 。2 0 0 3 年，d i v i i a n s k y 等制作出一个中间开孔，周围有三个光 栅和孔都成1 2 0 度角的屏蔽板，当入射光通过后，可形成四束激光干涉，制 各三维光子晶体结构。、这个简单的屏蔽板使整套光学系统比以前b e r g e r 、 c 锄b e l i 、s h o i 八等使用的光学系统在校准性和稳定性方面更好【3 7 】。同年， 中山大学的王霞等用四柬5 1 4n m 可见光干涉也制备出具有f c c 结构的三维 光子晶体，使用可见光的优点是便于控制干涉图样，观察最佳实验结果【4 2 】。 在最新的2 0 0 4 年6 月出版的h l a t u r e 上，m i n 甜l a 0q i 等发表文章报道，他 们采用一种新颖的“l a y c r b y 1 a y e r ”法已成功制备出具有点缺陷的三维光子晶 体结构【4 3 】，这克服了激光全息法不易制备出带有缺陷的光子晶体结构的不 足。 激光全息法不仅能够制备出具有微周期的聚合物结构，而且用它们作为 模板，还可以制造出具有高折射率比值的完全带隙结构。因此，激光全息是 一种有潜力的微加工技术，近几年来引起了科技工作者极大的兴趣。 除了以上介绍的几种方法，光子晶体的制作方法还有很多种，目前比较 受关注的还有多光子聚合( 主要是双光子聚合) 法和分子生物组装法等等【4 4 】。 相信随着新方法的不断涌现和原有技术的不断进步，光子晶体的制作工艺会 越来越成熟和完善。 8 本论文的研究目的 光子晶体奇特的控制光的传播状态、抑制自发辐射，引入缺陷后产生光 子局域等，使它有希望成为未来光子产业的基础材料。目前世界范围内对光 子晶体的研究主要从以下四个方向展开： 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 l 、理论上设计具有更大完全带隙的光子晶体结构： 2 、实验上制备可见光和近红外波段光子晶体； 3 、探讨光子晶体带隙所产生的新物理效应和新现象； 4 、开发光子晶体的实际应用。 本文的研究目的是：理论上设计不同结构的光子晶体和研究光子晶体带 隙所产生的新物理效应和新现象。我们主要在一、三方面做了大量的工作， 并取得了令人满意的研究结果，部分结果已发表在一些核心期刊上。 本论文主要从以下两个方面对一维光子晶体进行了数值研究： 1 讨论了含负折射率材料的光子晶体的能带特性。从色散关系出发，通 过数值模拟计算研究了由正折射率材料和负折射率材料交替组成的一维光 子晶体的能带结构与光子晶体的结构参数之间的关系。结果表明：当两种材 料的光学厚度相同时，含负折射率的光子晶体的带隙比传统的光予晶体带隙 大得多，并且具有狭窄的透射带，讨论了带隙的存在与折射率比值的关系， 与传统光子晶体的透射谱进行了比较。 2 讨论了在光子晶体异质结构中引入非线性缺陷后系统的光学响应，考 虑了光通过含有非线性缺陷的一维光子晶体异质结构的情况，对缺陷层的介 电函数采取6 函数近似的方法，得到了具有非线性缺陷的一维光子晶体异质 结构中的光学响应表达式。结果表明：非线性缺陷存在时，在光学响应中会 出现双稳态、多稳态等特性，讨论了双稳态及其多稳态的形成条件，并与考 虑缺陷层厚度时的结论进行了比较，为构造零闽值的激光器和非线性光学器 件的初步设计提供了有益的理论参考。 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 第二章光在光子晶体中的传播规律 光子晶体研究的最基础工作就是研究光在光子晶体中的传播规律。光予 晶体从本征方程到其他相关概念都与电子晶体相似，所以求解光子晶体可以 套用固体能带理论的方法。研究光子晶体的实质是研究光在周期介质中的规 律，可以从光学的角度进行计算。麦克斯韦方程从根本上决定了光场在光子 晶体内的传播规律，在具体计算中可以采用在第一章中提到的几种理论方 法。由于本论文是利用光学传输矩阵理论进行计算的，所以本章从光学的角 度，根据麦氏方程推导了光在光子晶体中传播的基本微分方程，并进步对 一维光学传输矩阵理论进行了推导5 4 。 l 光在光予晶体中传播的基本微分方程 光是种电磁波，所以光在光子晶体中的存在特性可由麦克斯韦方程组 准确描述， j 舀 v i 豆= 一二竺 ( 2 11 ) v 霄= 詈+ 了 v d = 口 ( 2 1 2 ) ( 2 1 + 3 ) 审b = o ( 2 1 4 ) 考虑一个平面时谐电磁波觚分层介质内传播通过。我们知道任何平面 波，不论其偏振如何，都可以分解成砸和z m 两个波，并且垂直分量和平行 分量在突变面处的边界条件是相互独立的，所以这两个波也相互无关。此外， 如果把麦克斯韦方程中五和日、f 和同时相互对调，则方程保持不变。这 样，有关掰波的任何定理，均可由z e 波的相应结果经此置换而立即导出。 因此，这里仅以7 e 波为例。 取入射面为粥平面，z 是分层层次方向。对于z e 波，e ，= e 。= o ，麦 克斯韦方程组化为下列六个标量方程： 克斯韦方程组化为下列六个标量方程： 塑堑苎垄兰堕主堂垡望些堕查 孥一盟：o 缸却 ( 2 1 ，5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) 上述方程表明，q ，日：和e 只是y 和z 的函数。由( 2 1 。5 ) ，( 2 1 。9 ) 和( 2 。l ，1 0 ) 得到： 式中 等+ 等耐瑶e = 掣警 玎：掣，：竺：孥 c 如 令e ( y ，= ) = y ( y ) u ( ：) 代入( 2 1 1 1 ) 得： ( 2 1 1 2 ) 专等= 一吉参。鳄+ 掣古警 眩， 从方程( 2 1 1 3 ) 可以看出，方程左边一项只是y 的函数，而右边各项仅与，= 有关。因此只有当两边等于莱一常数一f 时，( 2 1 1 3 ) 式才能成立： ；窘一砘 害一掣争喇u 搿u出2如出 ” 1 8 ( 2 1 1 4 ) ( 2 。1 1 5 ) i f e 丝c o + = 堕出盟国 一 一 盟砂坠钯 e 0 = i | q 也 ? 晋型。 坐。迥i堡妙 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 令 则由( 2 1 1 4 ) 式可得： 因而e 的形式为： k 2 = 瑶a 2 y = 常数e 。k 掣 e = u ( z ) g 。“9 一“ 同理，由( 2 。1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) 可以锝出： 玛= 矿( z ) g 钿“ ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) 日；= 矿( z ) b 栅一“ ( 2 1 1 9 ) 由( 2 ，1 5 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) 知，u ，y 和这三个振幅函数有下列关 系： 矿，：概( 占一鸟u u = y1 j 进而可得： 堡一旦幽型+ 爵( 矿一d ：) u ；o 彘 如出 。、 害一芝掣铷肛。出2 如出 ” 对予掰波，同理可得： 害一业望罂十霹( d ：) 【，；o 玉1 凌 彘 一 。 窑攀譬蝴 胡嘲 沈2 出如 ” 1 9 ( 2 1 2 0 ) ( 2 。i 2 1 ) ( 2 1 2 2 ) ( 2 1 2 3 ) ( 2 1 2 4 ) 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 2 传输特征矩阵的推导 如图2 2 1 所示，光从介质a 向介质b 入射，经由介质b 后进入介质c ， 以t e 波( 电场极化的情况) 为例，考虑斜入射的普遍情况，并且仅考虑各 项同性介质的情况。在分界面l 和2 处，入射光场和透射光场都在图中详细 地标出。 ：p 介质8 i e e i 厂f 分界面1 介质b 分界面2 介质c 图2 2 1 光在不同，r 质面上的反、透射光场 当介质中无自由电荷或传导电流时，根据电磁场边界条件，在分界面l 处，根据两侧的电场e 和磁场h 在切向分量是连续的，可以得到： 与= 昱i i + e r l = e f l + 点，2 ( 2 2 1 ) q = q 1c o s g l 一耳1c o s b l = e 1c o s q 2 一7 r 2c o s 口，2 ( 2 2 2 ) 对界面2 ，岛，蜴也有类似公式。界面1 上的透射场日，( x ，_ y ，z = 0 ) 与 冥面2 上的入射场e ：0 ，y ，x = 有： e 1 = e l o p 一u 峨7 i ；。( 2 2 3 ) 巨2 = e 1 0 p 一1 。+ i ：日= e l p 一“= e l p 五( 2 ，2 4 ) 式中菇= 一t = 一竺6 c o s 岛( 绣= 瞑。= 毋：) 表示波矢为丢的平面波在介质层 c 中垂直横跨过两个界面时的相位差。 同理有： 6 t 驴上 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 彰2 = e ，2 8 以 利用h = 肛账2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 式可写为 c o s 皖e 2 一二s i n 瓦码 仉 一切6s i n 瓯局+ c o s 玩圩2 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 玩2 按压c o s “ 写为矩阵形式即为： ( 盏) 2l 一，i 釜瓦一衰：玩j ( 爰 c ：2 ， 上面方程中，作用矩阵即为该介质层的传输特征矩阵，与介质有关的参 数皆为该层介质的参数。 3 光在一维光子晶体中的传输特征矩阵 对于由多层不同介质周期组成的一维光子晶体，如图3 1 1 所示，可逐 层应用( 2 2 7 ) 式的单介质层传输方程。对第n 层介质，设其左界面的场矢 量为晶、日。，右界面的场矢量为+ 、士0 则有： ( 聍m 。 铉) ( 2 3 1 ) 式中，虬是第n 层介质的传输特征矩阵a 同样，对第n 一1 层矩阵，应用( 2 - 3 ，1 ) 式可得： ( 麓 - 虮。( 未 c z ，刀 由上两式可得： 隅p 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 透射谱相比较，在偶数倍 女。的附近区域，它们具有完全不同的透射谱，对 于传统的光子晶体，其透射谱是一段有振荡的透射区；而对于含负折射率材 料的光子晶体，其透射迅速单调减小，形成狭窄的透射带。可以利用这个特 征构造含负折射率材料的多通道滤波器，其滤波效果跟光子晶体的长度有 关，长度越长，滤波效果越好。 4 本章小结 利用色散关系对含有负折射率材料的一维光子晶体的能带特性进行了 研究，与传统的一维光子晶体相比发现，当两种介质的光学厚度相