（计算机应用技术专业论文）一个3×3矩阵谱问题及其darboux变换.pdf

摘要 非线性微分方程( 或方程组) 是描述物理现象的重要效学模型它是当代非线性科学研究 的一个重要领域发现和发展非线性微分方程( 或方程组) 新的求解方法、揭示解之间相互作 用的规律是非线性物理最前沿的研究课题 在求解非线性微分方程精确解这一领域中，d ”b o u x 变换方法被认为是最有效的方法之 一目前文献中研究较多的仍然是基于2 2 谱问题的方程族及其性质，它最大的缺陷在于其 涵盖的方程有限，无法涵盖诸如h n l s 等相对复杂的高阶非线性方程本文在前人的工作基 础上，构造了一个新的与3 3 谱问题有关的的l “对，通过对此l “对的研究，发现了它 的某些价值从该l “对出发，本文导出了它所对应的梯队，发现该梯队中不仅包含k d v 、 m k d v 、n l s 等熟知的方程，也包含了h n l s 等复杂的高阶方程根据谱问题的规范变换， 成功的构造出了该3 3 谱问题的d a r b o u x 变换，并通过计算机代数系统求出了该l “对所 对应的非线性发展方程的精确解 关键词：l “对，梯队，d a r b o u x 变换，高阶n l s 方程 a b 8 t r a c t n o n l i n e a rd i 舶r n 乞“e q u a t i o n ( 8 ) ( n d e ) i 8a ni i p o r c a n tr n a t h e m 8 t i c a lm o d e lf o rd 船c r i b i n g p 姆8 蕊露略珏。黼n 勰d 搬i m p 锵t 黼t 蠡e l d 融t h e n 搬n p 。r 8 科s t 砸yo f 靓o n l i n e a r s e 溏n e e 错澉 唧l o r i n ga n dd 制谫o p i n gn e wn l e t h o d st o8 0 l v en d ea m ds n gt h ei n t 蚶a c t i v el a w 8a r n o n g 七h e $ 。l i t o n8 0 l 轾踟琳巍。珏eo f 瓣b r e 的蛾韬p i c s 呈n 证es 铀豳鼯o ft 轴b o 瞳通e 搬p 酶s l c s i nc h e 舶l do f 最n d i n gt h ee x p l i c i t8 0 l u t i o n so fn o n i i n e a rd i 行e r e n t i a le q u 8 c i o n s 。d 村b o u x # r 粕s - 岛r m 酏协nb 强g a r d e da so n eo ft h em o s te 攫e c t i v ew 8 榉b u ti nm a n ys 挑d i e s ，t h ea t t e h t i o ni s m a i n l yp a i dt oaf 妇i l yo fe q u a t i o n 8a b o u t2 2s p e c 协a lp r o b k m8 n di t sc h a r a c e 唧s t h em a i n d e 蠡c i 雠姆珏鹌诹如砒i t n ti n c l 淑es u c h h t i v e l yc o m p l e xh 遮h o r d 档n o n l i b e 村d 滴甜e n t 嘲 e q u a t i o n ss u c h 删h n l s s u g g e s t e db yp 删i o u sw o r k ，曲i st h e s i 8c o n s t r u c e san e wl 8 ) 【p a i rr e _ l 醚酣豫3 x3s p e c 捃采p r 豳l e m 。飘l r o 粥赵穗e i n 毫e n 蕊v e8 t u 曲o f 魄i s l 娃p 妇，i t s 黼鼬b l 谳括 烈s od i s c a v e r e d b ys t u d y i n 嚣t h i sl a xp a i r lt h i 8t h e s i se d u c e $ a nh i 啊a r c h y t h i sh i e r a r c h yi n c l u d e s 建懿o n l y 王( 癌v ，瑶k d v ，n 己s8 蝴。辐艚c o m m o ne 强蘸i o 黼，b ta l s os o m ec o 糯p i e xh 埝h ，o 斑髓e q 枉a 璐j u 雠u k eh n l s w i t ht h eh e l po ft h eg a u g et r a i l 8 f o r m a 乞i o no fs p e c t r a lp r o b l e m ，c h 塔p 卵e r s 瑚e e 稿$ 斑n g r u c 蛀勰穗ed 越b o 珏xt 8 曩s 赫 蕊8 t 主。n 醚t h - 氇3 3s p 群0 r 采w o b 耘m 。b e s i d e s ，过 g e t st h ee x p u c i ts 0 1 u t i o 工l so ft h en o n l i n e a re v o l u t i 6 i ie q u 砒i o n 8w h i c hc o r r 悄p o n dt 。t h i sl a xp a i r w i 班矗e 珏e 冷o fc o m p u t 档砖g e b r 鑫 es y s 诧m 掰印担， k e y 、v o r d 8 ：l a xp a 珉h i e r a r c hy d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n h i g h o r d e rn l se q u a t i o n 前言 近三十年来，新技术问题及相应的理论研究，例如激光、超导、晶格、位错、等离子体物 理、凝聚态物理及流体力学、地球科学、生命科学等许多领域都会遇到非线性渡因而使得对 刻画这些非线性渡的模型方程的求解问题成为一个重要的研究课题因为人们只有通过非线性 波方程( 组) 的解，才能正确了解并认识相应的非线性波及其特性显然计算相关模型方程的 精确解更具有着特殊的意义，通过精确解可以看出每个参数对解得影响，可以弄清相应模型的 结构，便于作理论分析数十年来，构造非线性波方程的精确解的方法不断发展并取得了突破 性的进展，其中求解某类非线性渡方程精确解的反散射方法被认为是二十世纪非线性科学 的主要进展之一 b a c k l u n d 变换 2 及齐次平衡法【3 】也一直都是很有价值的方法，这些方法 多年来得到了广泛的发展和应用 近年来，随着符号计算的处理方法的出现，对求非线性微分方程精确解的方法研究又成为 一个活跃的研究领域。涌现出了许多“直接方法”或叶数方法”( 4 卜1 1 5 】在求解非线性微分 方程多孤子解的方法中，d w b o u x 变换是最有效的方法之一一 ”1 该方法在孤立于理论和 可积系统理论的研究中，越来越为人们所重视，并得到迅速发展d a r b o u x 变换的基本思想 是利用非线性微分方程的l a x 对和常微分方程的谱理论，把非线性微分方程精确解的求解过 程化为纯的代数过程在已知种子解的条件下，新解是通过代数运算而得到，并且这个过程可 以继续地进行下去，直到得到n 孤子解但是不同的非线性微分方程具有不同的变换公式， 这为建立统一的计算方法带来了不便目前，d a r b o l l ) c 变换已成为研究的热点但是诸多文献 研究较多的仍然是基于2 2 谱问题的梯队及其性质，它在方程的涵盖面上有一定的的缺陷， 譬如它无法涵盖诸如h n l s 一| 2 4 】等相对复杂的高阶非线性方程在文献【2 3 】所提出的l a x 对的启发下，构造了一个新的与3 3 谱问题有关的l “对，通过对此l “对的深入研究，发 现丁其应用价值本文导出了该l “对所对应的梯队，该梯队中不仅包含了k d v 、m k d v 、 n l s 等我们所熟知的重要方程，还包含了了h n l s 等复杂的高阶方程此外，本文还成功的构 造出了该梯队的d a r b o u x 变换，并求出了其精确解 全文共分为两章：第一章简要介绍了d a r b o u x 变换的基本原理；第二章针对该3 3 谱 问题进行了详细的推导和一系列证明，推出了对应的梯队，从该梯队中引出了一系列重要的方 程，导出了该谱同题的d a r b 。u x 变换，求得了精确解，并应用此方法求解了m k d v 方程 i i 第一章d a r b o u x 变换的基本原理 1 _ 1d a r b o u x 变换和l a ) 对 1 8 8 2 年，g d a r b o l l 】c 研究了一个二阶线性常微分方程的特征值问题 一曲。一( z ) 咖= a 妒( 1 1 ) 式中“( $ ) 是给定的函数，称为势函数，a 是常数，称为谱参数d a r b o “发现下面事实：假设 u ( 。) 和( z ，a ) 是满足( 1 1 ) 的两个函数对任意给定的a o ，令，( 。) = ( 。，a o ) 0 ，即：，( z ) 是( 1 1 ) 当a = a o 的一个解，则由下式定义的面，孑 ， 日= “+ 2 ( i n ，) $ ( z ，o ) = 。( z ，t ) 一j ；( z ，o ) ( 1 2 ) j 也一定满足( 1 1 ) 同样形式的方程 一西。：一面( z ) 声= a 西( 1 3 ) 所以由( 1 2 ) 定义的n ( g ) 和i ( 。， ) 也是方程( 1 1 ) 的解变换( 1 2 ) 将满足( 1 1 ) 的一组函 数( u ，) 变换为满足同一方程的另一组函数( 日，$ ) ，称( 1 2 ) 为原始的d 口b o u x 变换从变换 u 日，口一西发现，该变换只涉及了微分和代数运算，而且计算的过程可以重复进行，这种性 质为求非线性微分方程的多孤子解奠定了基础 l “对是由p d l b 最早提出的，其定义是 l 给定一个线性算子工满足谱方程埘= ，( 是谱参数) 2 设参数a 与t 无关，即k = 0 3 满足方程，也= a ，其中a 是一个算子 若要求同时满足条件1 和3 ，则l a 满足以下算子方程 l t = a l 一工a 三( a ，l 】 该方程称为l “方程la 叫作l a x 对在本文中l “对都是以矩阵的形式给出的 设非线性发展方程具有如下形式的l “对 毋。= u 毋，庐= y ( 1 4 ) 如果下列条件恒成立 巩一k 一眦明= o ( 1 5 ) 】 其中盼明= c r y y c ，则称方程( 1 4 ) 是完全可积的( 其中以矿与无关) 根据线性偏微 分方程组的初等理论可知，对给定的初始条件t = t o ，z = 踟= 西0 方程组( 1 4 ) 的解存在且 唯一这时矿和y 可为i v 方阵，或元列向量方程( 1 5 ) 有时也称为零曲率条件或完 全可积条件 其中 且 1 2( 1 + 1 ) 维a k n s 系统的d a r b o u x 变换 滢：二茹奎 j = ( ：! 。) ，p = ( ：) 一( ；三) a = o j ( z ，) 舻一 j = 0 b = 6 ，( z ，) a ” ，暑0 g = 勺( z ，t ) a “一 ( 1 6 ) 式中p ，“q ，b ，勺u = 1 ，2 ，n ) 是关于。，t 的复值或实值函数 是复参数，称为谱参数 设( 1 6 ) 是完全可积的，则可积条件( 1 5 ) 对一切的a 成立，写成分量形式，得 ia z = p c q b ， i 2 b z = 肌+ 2 a b 一2 p a ， ( 1 7 ) i ( k = 玑一2 a e + 2 q a l 由于( 1 7 ) 的每个方程的两端都是 的多项式，将每个方程的两端按a 的幂次展开并比较 的 各次幂的系数，得 及 6 0 = c o = 0 q ，。= p 勺一q 虬，( 0 j 曼n ) b + 1 = ；b ，；+ p ，( o j 兰忆一i ) 勺+ l = 一勺芦+ q q ，( o j n 一1 ) 2 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 砜 砜 + 一 r h “ = f | m 吼 ，ci【 将( 1 8 ) 看成是a ，b ，g 的系数应该满足的微分方程，通过逐次积分和代数运算可以求得q ，b ，勺， 0 j n 它们实际上是ng 的微分多项式，即是p ，g 及其关于z 的导数的多项式( 1 9 ) 就 是( 2 2 ) a k n s 系统( 1 6 ) 所描述的发展方程 当j = 1 ，2 ，3 时，容易计算得 n o = 口o ( ) ，= o o = 0 ， 0 1 = 0 1 0 ) ，6 1 = a o ( t 细，c l = a 0 0 ) 口， n 2 = 一 o o ( ) p q + a 2 0 ) ， b 2 = 一 o o ( t ) m + q 1 ( t ) n c 2 = 一 a 。( t ) q ；+ q l ( t ) q ， ( 11 0 ) n 3 = 一扣o ( t ) ( 瑚；一p q z ) 一 a 1 ( t ) p q + 0 3 0 ) ， 6 3 = 一扣o ( t ) ( p 。一2 p 2 口) + 扣1 ( t ) p z + n 2 ( t ) p ， c 3 = 一扣0 0 ) ( q 。一2 p 口2 ) 一 口1 ( 亡) q 。+ 理2 ( ) q 其中“o ( ) ，0 1 ( t ) ，n 2 ( ) ，0 3 ( t ) 是t 的任意函数由此可以给出一些最常见、最重要的例子 例l当n = 3 ，p = u ，q = 一l ，n o = 一4 ，n 1 = d 2 = a 3 = oh 寸， 8 3 一u t6 3 = 一u m z ，c 3 = 2 u ， ( 1 9 ) 化为k d v 方程 毗+ “一+ 6 “u r = o 例2当n = 3 ，p = u ，q = 一u ，口o = 一4 ，血1 = 2 = 3 = o 时， 口3 = of6 3 = 一2 一2 3 ，口3 = # + 2 址3 ( 1 9 ) 化为m k d v 方程 “t + 蛳+ 6 u 2 u z = o 例3 当n = 2 ，p = u ，口= 一面，o o = 一2 i ，a 1 = 。2 = 0 时， 。2 = 一 i 训2 ，蛇= 一i u z ，c 2 = 一i 面z ( 1 9 ) 化为非线性s c i l r 甜i n g e r 方程 。u e = u z + 2 1 u 1 2 u 3 我们看到，对，b ，c j ( j = o ，l ，2 ，3 ) 是p q 及其关于。的导数的多项式，它们的系数可以 是t 的函数可以证明对于一般的，也是成立的 引理1 1 ( 1 8 ) 所给出的q ，6 j ，白( j = l ，2 ，n ) 是n 口的微分多项式 由于 唧，b ，勺) 是p ，口的微分多项式，可以归纳定义 d 陋，乱6 p ，乩母( p ，训，使之浦足递 推关系( 1 8 ) 及条件胡【o ，o 】- l ，霹 o ，o 】_ o ，( 1sjsn ) 显然，这些( n ，6 7 ，日) 由p ，口及其关 于。的导数唯一确定，从( 1 8 ) 可以得到如下引理： 引理1 2 对任意p ，甄有 鳄 o ，口】= o ，哿【p o 】= o ， 。? 曲，0 】= 。? 【o ，训= o ，( 1 j 墨凡) ( 1 1 1 ) 而且对任意满足( 1 8 ) 的 q ，b ，勺) ，存在( t ) ( o 兰j 蔓n ) ，使得 k 陋，q 】= e n 一，( ) 霹眵，q 1 ， 自 “陋，鲥= 三q k 一，( t ) 哆f p ，q 】，( l 1 2 ) k c b b ，训= q 一j ( t ) c ? 陋，q 】 为了解决更多的非线性偏微分方程的求解问题，很自然的要将2 2 的l “对推广到j v 矩阵的情况，即讨论形如 f 屯= 己厂聋= j 圣+ p 垄， 卧喜垆空 ( 1 1 3 ) 的l “对，其中j 是的常值对角阵( 对角元素互不相同) p ( 置t ) ，嵋( z ，t ) ，( o 墨j n ) 都是v 的矩阵，且p ( z ，t ) 的对角元素全部是零，a 是谱参数( 1 1 3 ) 的可积条件仍为 巩一k 一盼卅= o ，把它表示成分量的形式，有 只一巧，。胪一+ f z k + 1 】 一j + p 码】 一，= o ( 1 1 4 ) 在( 1 1 4 ) 中比较a 的各次幂的系数得到下列方程组 im 】= o ， i u k + 1 】一k 口+ 【只巧】= o ，( o j 茎n 一1 )( 1 1 5 ) 1 只一k ，：+ 旧碥 - o 一 解方程缀( 1 1 5 ) 褥 f 馏7 7 = o ， 嘴k 旧吁玎p ” ( 0 曼j n ) ( l 1 6 ) l 【z 鬈罕a 一苫7 = 暇磅j 。，o s j n 1 ) 及 最= 篙一防j 。 ， ( 1 1 7 ) 其中矿出a 9 表示由矩阵y 的对角线元素构戚的对角阵，矿o ，表示y p “g ，冀对角线元索 为o 筑f 1 1 6 ) 中解出码( 。j 一1 ) ，掰( 1 i 7 ) 是( 1 1 劫群捕述的发展方程，对于一觳秘强 可以用数学归纳法证明k 的各个元素也是p 的个元索的微分多项式，于是( 1 1 7 ) 给出的关于 p 翡各个分量静个信微分方程缓戳后常爱磙网米记( 1 ，1 7 ) 孛的碥，面弦 p | 是p 斡关 于。的微分多项斌，其系数还可能与有关 对于一个和# 无关酹对角阵拼，我们记( 1 1 6 ) 的满足碥 o = k ，w 【o j = o ，( 1 墨j n ) 的解 为 曙畔捌= 码 所以( 1 1 6 ) 的通解可以袭示为 磙| p l = 嘤j 防q 】。 ( 1 1 8 ) ，舞0 这里n 。，d 。为( 码 p 】) 所相成的积分常数，它们是和z 无关的对角阵，但可以是t 的函 数。 假 殳一个偏微分方税( 组) 为如下形式 冀孛q 碍鞋是擎一懿函数戏矩薄篷懿函数，鲡暴宅意a k n s 彩式懿l “对 f 聋m = 矿毋； j 聋十p 乎， 虻泐：登驴匈 疆删 l ，= 0 其孛文只码漾熬夔莲懿条停，当p 是* 鳇透当懿徽努多瑗式瓣，( 1 ，1 9 ) 纛l 。2 0 ) 蘸可菝条箨 是等价的，则称方程( 1 1 9 ) 具有l m 对( 1 2 0 ) ，而( 1 1 7 ) 就是发展方程( 1 1 9 ) 我们把( 1 ，2 0 ) 的 菲毒异酶短阵勰蛋馥为基零磐。若瑕设p 懿务个 辩燕) 元褰是互鞠猿立戆，郄么 ( 1 1 9 ) 怒关于p 的各个非对角元索的一个微分方程组，则称a k n s 系统( 1 2 0 ) 摄无约化的 下鬻讨论茏约铯戆a k n s 系统辩d 8 r b o 变接。 5 茹纛 圳 其中户是对角元素为。的适当的函数矩阵，则称变换( p 中) 一( 卢，画) 为无约化a k n s 最= e 掣一防 。 ( 1 2 2 ) 巨篇：誊 z 。， 此式对于( 12 0 ) 的任意解都成立，比较a 的一次系数和零次系数得 由( 1 2 1 ) 的第二式得 s ；+ 【s ，j s + p 3 = o ( 1 2 5 ) nn b a “一( a 一s ) 圣= ( ( a j s ) 空) = ( 一s ) 巧a “一圣一& 聋 ( 1 2 6 ) j = 0，= d 比较 卅1 ， ，a 的系数的 f 弼= ， 2 b + ，= 嵋+ ，+ 髟s s u l 6 ( 1 2 7 ) 同时得到 从( 1 2 7 ) 中解得 则( 1 2 8 ) 变成如下的形式 & = 碥s s k 最= s s 1 一，j = o j = o 定理1 1 ，一s 是( 1 1 3 ) 的d a r b o u x 阵，当且仅当s 满足 fs + s ，s + p j = o ， 2 。 l & + 【s ，巧s “一 = o lj = o 并且在a ，一s 作为d ”b o u x 阵的变换下，户= p + 司 ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) ( 1 ，3 1 ) 从以上的论证中可以看出，构造d ”b o u x 阵的关键在于构造矩阵s 下面给出一种s 的 构造方法 设p 是( 1 1 7 ) 的解，取完全不同的复数a 1 ，a 1 ，记a = 出叼( a 1 ，a 1 ， ) ，令 是( 1 1 3 ) 当a = b 时得列向量解，日= ( 1 ，h 2 ， ) ，当d e t 日o ，令 s = 日a 日- 。， ，一s = a ，一日a 甘( 1 3 2 ) 则有如下定理 定理1 2 由( 1 3 2 ) 定义的盯一s 是( 12 0 ) 的d w b 。u x 阵 我们已经知道，( 户，髟) 满足相同的递推关系及形式相同的发展方程，也就是说，( p u ) 满足( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) ，而( 卢，髟) 也满足相同的两套方程，应而巧也可以表示为户的微分多项 式，其表达式在形式上与( 1 1 8 ) 相同，即 蟊旧= 让， p ，吗】 ( 1 3 3 ) j = 0 下面将要说明， 讯f 户】的表达式不仅在形式上与( 1 1 8 ) 相同，而且其系数丘0 ，靠也与 。o ，a n 相同，从而p 和p 所满足的是同一个发展方程( 1 1 6 ) 则有如下的结论成立 7 ss 吩 ， + 峙 j j j j 弼 曰 ，_jc，l 定理1 3 设 嵋) 为满足( 1 1 6 ) 的关于p 的微分多项式，p 是( 1 1 7 ) 的解如果a j s 是( 1 2 0 ) 的d a r b o u 】【阵，p = p + m 剐，则户和p 满足相同的方程( 1 1 7 ) ( 以上两定理得证 明见文献【1 6 1 ) 对于a k n s 系统中的发展方程( 1 1 7 ) ，上面给出的d b o u x 变换都将发展方程的解映成同 一方程的解由户= p + j 1 剐，毒= ( a ，一s ) 圣所定义的d a r b o u x 变换( 只壬) 一( 户，画) 可以是 同一的代数的方法继续进行下去，可以得到a k n s 系统的解的无穷序列( p 1 圣) 一( 户，圣) 一 f 声毒) 一 1 3高次d a r b o u x 变换 前面讨论的是一次d a r b o u x 变换，即d a r b o u x 阵关于a 是线性的本节考虑a 的多项式 形式的d a r b o u x 阵，并利用二次d a r b o u x 阵的对称性得到著名的可换性定理显然，连续作r 回一次的d a r b o u x 变换，就会得出r 次的d ”b o u x 变换，但也可以直接作出显示表示的r 次 d 盯b o u x 阵在讨论一次d a r b o u x 时，由s 日= 日a 可构造出d a r b o l l ) c 阵d ( z ，t ，a ) = a j s ， 并且s 日= 日a 等价于d ( z ， ) 峨= 0 ，这里饥是l “对在 = a ，时的列向量的解，且 d e c ( ， ) o 现在将这个事实推广到 的r 次多项式的情形，即讨论显示表达的形如 d 扛，t ，a ) = d ，一j ( 。，t ) ，d o = ， ( 1 3 4 ) ，；0 的d a r b o u x 阵 取，个复数a 1 ，托，a ，再取a = ，0 = 1 ，r ) 记 b = 它是r r 方阵，方程组 等价于 并且可以写成 h 1 2 1 la 2 2 r a _ v r ， 薪1 r d ( 石，t ，九) 风= o ，( t = 1 ，一，r ) f 1 3 5 ) r 一1 研一j ( z ，) 联m = 一m ；，( 江l ，r ) ( 1 3 6 ) 耷0 ( d ，d r _ l ，d 1 ) f r = 一( m 1 ，一， ， ，) ( 1 3 7 ) 8 的形式，这是关于d 的系数( d r ，d t 一一一，d 1 ) 的线性代数方程组，在条件d e tf r 0 时它存 在唯一的解( d ，研一h - ，d 1 ) ，所以当d e t 耳0 时存在唯一的阶短阵d ( 。，t ，a 。) = 0 ，0 = 1 ，r ) 为了表示d 是由 1 ，圯， ，作出的，我们将它记为d ( h 1 ，圯， ，a ) 有 下面的定理 定理1 4 给定r 个复数 l ，a 2 ，a r ，设h 是a = “= 1 ，r ) 时l “对( 1 2 0 ) 的列向量解，f r 如( 1 3 5 ) 所定义如果d e t b o ，则有： 1 ，存在唯一的形如( 1 3 4 ) 的矩阵d ( 1 ， 2 ， v ，a ) ，使得 d ( 1 2 ， _ v r ，a ) ，= o ，( i = l ， ，r ) ( 1 3 8 ) 并且d ( l ， 2 ， ，a ) 是( 1 2 0 ) 的r 次d w b o u x 阵 2 如果d e t 耳一1 0 ，则上述r 次d a r b o u x 阵分解为一次d a r b o l l ) c 阵和( r 一1 ) 次d a r b o u x 阵的乘积： d ( h 1 ， 2 ， = d ( d ( 1 d ( l ，h 2 ， 1 ) + 1 ，一，d ( 1 ， ( r 一1 ) ， ，) ，a ) ( 1 3 9 ) 式中第一因子为一次d a r b o u x 阵，第二个因子为r 一1 次d a r b o u x 阵 y - 3 一般的d ( 1 ，b ， v ， ) 可分解为r 个一次d b o u x 阵之积 4 p = p 一【工d 1 】是方程( 1 1 7 ) 的解 根据以上的结论，我们可以从解( p 西( a ) ) 出发，以a ；1 ) 1 ，a 好为参数，以撑= 垂( 九) f 1 作d a r b o u x 变换，得到解( p ( ”，圣( 1 ( a ) ) ，这里f 1 是个常值列向量；再选取a ”，a 好 和，对( p ( ”，垂( 1 ( a ) ) 作d a r b o u x 变换，得到解( p ( 1 - 2 1 ，中( 1 t 2 ( a ) ) 同样，从解( p 壬( a ) ) 出 发，以 l ”，为参数作d a r b 。u x 变换，得( p ( “，中( 2 ( ) ) ，再以 l ”，为参数作d a r b o u x 变 换，得( p ( 2 ，”，西( 2 t 1 ) ( a ) ) 由此可得如下定理 定理1 5 ( 可换性定理) ( p ( 1 ，剞，圣( 1 ，2 ) ( a ) ) = ( p ( 2 ，壬( 2 ，1 ) ( a ) )( 1 4 0 ) 9 hp 妒 姥一 这里 第二章一个3 3 矩阵谱问题及其达布变换 2 1l a ) 【对及方程族 文献【2 3 】通过变换将h n l s 方程转化为了复的m k d v 方程，并给出了它的l “对 垂= ( 空，空2 ，垂3 ) 7 丸= 晒，吼= 脚 v = 一4 t a 3 a 1 + 4 ( 2 一i u l 2 ) a 2 + 2 诂a a 3 一e 山+ e ( ：一u u 。) 4 5 f 2 1 、 f 2 2 1 其中，是z 、t 的复值或实值函数，“+ 表示“的共轭，a 是复参数，称为谱参数e 是与 z 、t 、a 无关的常数 这里 而 受该文启发，我们构造3 3 矩阵谱问题的l a x 对 垂= ( 奎j ，圣2 ，多3 ) r 屯= 矿垂，垄= y 圣 m ”l ，y = ( ) ，s t aj = 蟛( z ，t ) “ = o ( 2 4 ) 、， “矿认 o m 叫 m o 吖 ， = 矿 担 唾乖 2 p z 铲嵋o o o，00 ； l 0 o a，11 ， l | i如 u 矿o ：叫引 o o 叫 fi o o | i 也 o o 屹 、二、，l ：。忙 i | 山 o：莘地姒。啦 ，_li、 | | 矿 其中u l ，2 ，”1 ，啦，k ( t ，j = 1 ，2 ，3 ，k = 1 ，n ) 是z ，t 的复值或实值函数 是谱参数( 2 4 ) 魏毒黎条箨是 对一留豹a 戒立 阢一k + 以矿 一。 将阢矿带入( 2 5 ) t 比较 各次幕系数，褥到关予蜡的遵推关系 嘴：= u 。踏一”。嗜 噬；一赴罐一n t 堵， 嘴+ 1 - 击嘴：+ 如t 瞄一去“t 睹一击”- 睹 嗡：一。t 蹬一”。嗜， 唆：一u t 瞠1 一“。蟛， 嗡“- 去瞄：+ 去”，嵫一去u t 睹一击”瞄 蹬+ 1 = 去磷：一如蟛一壶弛磺+ 去啦蹬， 睹十1 = 击瞄：一击抛瞄一击“。堙+ 击“。瞄， 罐：；现磁+ “：蟛一n ；蹬一奶秽， 秘方氆簇 蛳= 赡：一姚堙+ 珏l 嗡+ 1 路 豫f 呔：+ n 2 眩一n 2 删一”2 咯1 札f 唆：咱眩+ u 。谢+ ”t 蟛 强p 唆：+ 砚眩一。嗡一毪嗡 ( 2 ：5 ) f 2 6 ) 当取不隧躲僮时，逶过以上递推关系我船可以褥出一缀谢并褥到与之对应的方程 族通谶计算并合理取值，可以得到以下结果 当；l 辞 增= 碟一馏= 馏= 谢= 蟛= o ， 蹬= 蟛；乱 ，馏= 一觚( 磅常数) ， 睹) = 皑= 嗤一噬= 噱= o ， 谁4 l ，嚼= 一4 a 1 ，嗡一4 a 抛，蹬一4 口u 2 l l 代入( 2 6 ) 得； “1 1 篇一4 a u l ， 2 ，e = 一4 n 札2 ， ， 口】，l = 一4 0 如。，”2 ，f = 一4 0 。，。，7 ) 当n = 2 时j 蟋一蹬= 蹬= 蹭= 蹬：蹬。， u ? 一吲? = 4 0 f ，k 留；一4 。l ( a 为常数) 蟠一蜉= 蟠= 碜= 镶。， w g 一一4 d “l ，v 塞一一4 a ”l ，v 嚣= 一4 a t 睦，v 盘：一4 0 “2 ， “一2 i 。1 。，k 譬1 2 i a 虮“2 ，i 赏一2 i 。口1 砚，k 孑；2 i 。“2 口l ， 嘴一2 l 轴，堙2 l 蝴。蜉。2 缸抛，未蟛；2 t 蚍，。， 叫辫一2 i 。( 1 ”2 + u 2 嘶) 筏a 2 8 ) 得： u 1 ，。= 一2 0 i ( 1 ，一2 蜥一2 “l “2 ”1 ) ， 地， = 2 穗珏2 ，一2 钍l 口l 一2 珏l 强2 硷) ， l ，= 一2 。i ( 1 。一2 缸2 一2 “l 砚 。) ， ( 2 8 ) 地，i = 2 盛i 扣2 。2 2 “l 口；一2 “2 口i 砚) 当# = 3 豺： 瞪一堪= 嘴= 堵一馏；嗖。o ， 臂一嗜= 4 a i ，蜡= 一4 洲西为常数) ， 晴一啦! = 嗖= 嗖= 堪；o ； 嗡一蚰喘1 一4 帆，皤= 一4 a 也，嗖：一4 q 堙一2 1 8 e l 铑，嫂一2 l l | 2 ，缨一2 l 鼬啦，堙。2 i 鳓# l ， 睹一一2 。“l m 嗜。2 i a 1 m 睹= 2 t 2 。睹。2 d “2 ，。 罐字= 一2 a 缸l 睨+ 2 。1 ) ， p 譬篇a ( u 1 置一。2 札i ，# ) ，p 譬嚣d ( 雌! 扯2 # 一2 “1 。) ， 嗡一a ( 口l 抛# 一抛口1 。) ，嗡；o ( u l 毗，。一u 。) ， 咕= q l ，。一2 u 也一2 u 1 2 口1 ) ，喽= 口( 口1 $ 。一2 u 2 u 一2 1 口1 吨) 叫 = q ( u 2 ，$ 。一2 u 1 谴一2 u 2 u l u 2 ) ，v 窖= 盘m 2 ，。一2 u i ”1 2 u l u 2 2 ) 叫 = a ( 啦“1 ，z 一缸1 口2 ，z + u 2 口l ，一 1 u 2 ，：) 代入( 2 6 ) 得 u 1 ，t = a ( “1 z # 一3 u l “2 ”l ，。一3 u 2 ”1 “l ，z 一6 u l 2 “l 芦) u 2 ， = o ( 让2 m 一3 u 1 2 ”2 ，z 一3 u 1 2 u 2 ，z 一6 乱2 ”1 2 ) 们，t = o ( 1 ，m 一3 u 1 口2 i z 一3 1 2 口1 ，z 一6 “2 ”1 ”l ，z ) ，t = o ( 2 ，m 一3 ”1 ”2 “2 。一3 “2 ”1 ”2 + z 一6 1 t 匕”2 ，z ) 当a ，u 1 ，u 2 ，口l ，口2 取不同值时，由( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 可导出一系列经典的方程 例1 在( 2 9 ) 中取= 一1 ，u 1 = 让，“2 ；o ，= o ， 2 = 一1 ，可得k d v 方程 毗+ u + 6 u u z = 0 例2 在( 2 9 ) 中取a = 一l ，”1 = u ，“2 = 0 ，”l = 0 ， 2 = 一“，可得m k d v 方程 毗+ u 础+ 6 u 2 u 。= o ( 2 9 ) r 例3 在( 2 8 ) 中取= 一1 出1 = u ，“2 ；o ，”1 = o ，= 一“+ ，可得非线性s c h r d d i n g e r 方程 i 毗= u ：+ 2 l u l 2 u 例4 在( 2 9 ) 中取a = i ，“l = ，“2 = 一，”1 = u ，= 一u 4 ，可得方程 方程( 2 1 0 ) 正是高阶n l s 方程 在变换 下的形式【5 u = i ( 。+ 3 u 川：+ 6 i u l 2 u 。) q t + 去口x x + l q l 2 口+ ( 毂x x + 6 l q l 2 q x + 3 口i q i 曼x ) = o ( 五) = q ( x ，t ) e x p ( ( x 一去) ) ，z = x 一丧i ，忙t 1巾7r f 2 1 0 1 这里 2 2d a r b o l 脒变换 容易看出，方程( 2 7 ) 的解为平凡解，其解可蕊表示成鲡下的形式 健l = t ( 。一4 8 ) ，珏2 = 挲嶝一4 盘妨，”l = ( 互一每蝴) ，”2 然g 一4 醴) 我f 门首先研究( 2 8 ) 的d ”b o u x 变换，它所对皮的l “对如下： 或= 脚，蛾；w ，( 2 1 2 ) 壬= ( 萨f ，圣。，奶) 7 纠 。( 4 j a 2 十2 “1 。2 )a ( 2 “1 u 2 ) 伐( 一4 u 1 一2 i u l ，z ) 矿= l8 ( 2 如l 现)o ( 4 l 2 + 2 i 珏2 啦) 农( 一4 现a 一2 f 口l ，；) l n ( 一4 t 毪a 十2 2 ，。)a ( 一4 珏2 a + 2 u 2 ，)盘( 一4 a 2 2 ( “l 口2 + 地u 1 ) ) ， 凑方程( 2 。8 ) 戆d b o 诖x 交换，拜寻援d 口b o u x 蓐f ，满足 茹= r 圣 f 2 1 3 1 且经此变换后的函满足 霞= 痧毒，磊一矿善，2 。1 4 ) 其中疗，矿是3 3 的矩阵，且驴，伊与c ，矿恩有相同的形式，即只是将矿，y 中的( u l ，“2 ， i ，口2 ) 换或了f 啦，啦，蛾，蟊) 即 逝( 2 ，i o ) 黎( 2 ，1 4 ) 胃得 痧= ( 冀+ r 酗) ? 一1 ，矿然( 噩+ r y ) ? 一2 。 ( 2 。1 5 ) 磊+ r 移兰痧置+ ? 矿= 扩f 1 4 ( 2 1 妨 。戡毗瞅。地 ，fllltil、 一一 拶 假设t 具有如下的形式 0 1 2 a + b 1 2 0 2 2 a + 6 2 2 0 3 2 + b 2 f 2 1 7 1 其中o ，j ，札，( ，j = 1 ，2 ，3 ) 是。，t 的函数将( 2 1 7 ) 代入( 2 1 6 ) 第一式，然后比较”( j = 2 ，1 ，o ) 的系数可得 0 1 3 = 8 = a 3 1 = 0 3 2 = 0 ， 0 1 l ，= 0 1 2 ，z = 0 2 1 ，# = 口2 2 ，z = 0 3 3 ，z = 0 0 1 1 “1 + 0 1 2 ”1 + 2 曲1 3 + 0 1 3 。一0 3 3 砺= 0 0 2 1 “1 + 0 2 2 ”1 + 2 i 6 2 3 + 0 2 3 z 0 3 3 砒= 0 一o l i 啦+ 。3 3 u 2 2 曲3 l + 口3 1 t 一。2 l 啦= o 0 1 2 啦+ 0 3 3 u 2 2 i 6 3 2 + 0 3 2 z 0 2 2 如= 0 取0 1 1 = 0 2 2 = 0 3 3 = 1 ，0 1 2 = 0 2 1 = 0 可得 f 2 1 8 1 m = “l + 2 曲1 3 ，如= u 2 2 曲3 2 ，仉= ”l + 2 i 6 0 3 ，t 如= u 2 2 6 3 1( 2 1 9 ) 设( ) = ( 1 ( ) ，2 ( b ) ，如( ) ) 7 ，妒( ) = ( 母1 ( a ，) ，砂2 ( ) ，怕( ) ) 7 ，x ( b ) = ( x 1 ( b ) ， ) ( 2 ( a ，) ，x 3 ( ) ) 7 是( 2 1 2 ) 式的3 个基本解我们将其简写成= ( ，2 ，3 ) 7 ，母= ( 母，锄，怕) 7 x = ( x 1 ，x 2 ，x 3 ) 7 ，由( 2 1 3 ) 式可得t 函! 雕驯封 垂= i 孔1 为2 孔3ll 2 妒2x 2i 正1 码2 乃3 3 砂3x 3 一定存在嘭”，q 2 ( j = 1 ，2 ，3 ) 满足 孔 马 乃 庐1 庐l 毋l + 蜀2 也十五3 廿3 + 巧1 + 乃2 曲2 + 如3 曲3 + 砖” + 乃2 2 + 2 b 毋3 + 7 1 1 ) 方程( 2 2 1 ) 可进一步写成 孔1 + a ： 乃1 + q ： 乃l + o ： 孔l 母1 + n 2 妒2 + 噩3 讥 噩l 谚1 + 孔2 妒2 + 如3 妒3 乃1 妒1 + 乃2 也+ 乃3 咖 + 0 + 七 + q n l x 乃1 x 死1 x + 孔2 x + 正2 x + 乃2 x + 丑3 x 3 + 如3 x 3 + 乃3 x 3 ( 2 2 0 ) = 0 = 0 = 0 f 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 3 3，正 = 、 邮蛸峭 + + + a a i m n 抛如+ + + a a u n ； o 0 0 ，。 = r 乩刨划 枷彬 母一 十+ 似 r 0 封 乩抛哟 n ，+ + “西 + + + b n n 6 b ，i_l_jfli_l e 0 0 0 = = | in 死强 2 2 2 醚。醚醚， + + +in 如n 譬菇蔫1 妒= 篙糌畿 。 丑1 t 1 2 2 乃3 + n 2 马3 马1 + 孔3 咒1 乃2 = 丑3 乃2 乃l + 丑2 正1 乃3 + n 1 死3 乃2 ( 2 2 4 ) 又因为d e t t 是关于a 的3 次多项式，所以d e t t 可以表示成 下面证明，经变换( 2 1 3 ) 后的毒满足碗= 护$ ，且其中的驴与c 厂具有相同的形式，即d 只是将矿中的( “1 ，“2 ，u 1 ，姐) 换成了( 订1 ，啦，矾，如) 定理2 1 ：由( 2 1 5 ) 式定义的d