（电子科学与技术专业论文）基于活动轮廓的图像分割方法研究.pdf

国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 a b s t r a c t i m a g es e g m e n t a t i o ni sac l a s s i c a la n dc r u c i a lp r o b l e mi nt h ef i e l do fc o m p u t e r v i s i o na n di m a g eu n d e r s t a n d i n g b e c a u s eo fe x t r a c t i n g o n l yl o c a li n f o r m a t i o nw i t h d i s c o n n e c t e db o u n d a r yo ft h es e g m e n t e dr e g i o n , a n dl a c ko fa b i l i t yt oi n t e g r a t ep r i o r k n o w l e d g ea b o u tt h es e g m e n t e do b j e c t s ，c l a s s i c a ln o m o d e lb a s e di m a g es e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e sc a n n o ts a t i s f yt h er e q u i r e m e n t so fc o m ple xi m a g ev i s i o na p p1i c a t i o n s t 1 1 e s e g m e n t a t i o nm e t h o do fg e o m e t r ya c t i v ec o n t o u r ( g a c ) b a s e do nl e v e ls e th a sa n i n t u i t i o n i s t i cp h y s i c a le n e r g ym o d e la n dh a sas t a b l en u m e r i c a lr e a l i z a t i o n ，b e s i d e si t c a nd e s c r i b et h et o p o l o g yc h a n g e 。o ft h ec o n t o u r n a t u r a l l ya n du s er e s t r i c t i o n i n f o r m a t i o ne a s i l y ，s oi th a sa p p l y i n gw i d e l yi nt h ei m a g es e g m e n t a t i o nf i e l d ，n l i sp a p e rm a i n l ys t u d yi m a g es e g m e n t a t i o no fa c t i v ec o n t o u rm o d e lb a s e do n l e v e ls e t a f t e rr e v i e w i n gt h ed e v e l o p m e n to ft h ea c t i v ec o n t o u rm o d e l c u r v ee v o l u t i o n a n d1 e v e ls e tm e t h o da l ep r e s e n t e d ，t h e nw ep r o v e dt h a tt h el e v e ls e tm e t h o dh a sas t a b l e n u m e r i c a lr e a l i z a t i o na n dc a nd e s c r i b et h et o p o l o g yc h a n g eo ft h ec o n t o u rn a t u r a l l y ，i n a d d i t i o nw ei n t r o d u c el e v e ls e to fv a r i a t i o n a lm e t h o d w ei n t r o d u c et w od i f f e r e n tg a cm o d e l si nt h i sp a p e r ：l ic h u n m i n gm o d e lw h i c h i sb a s e do ng r a d i e n ti n f o r m a t i o na n dc h a n v e s em o d e l ( c vm o d e l ) w h i c h i sb a s e d o nr e g i o ni n f o r m a t i o n b a s e do nt h ed r a w b a c k sa n d a d v a n t a g e so ft h e s et w om o d e l s ，w e i m p r o v et h ec - vm o d e lb ya d d i n gp e n a l i z i n ge n e r g yt e r mo fs i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o n , a tt h es a m et i m e ，m e n d i n gt h ee x t e r n a le n e r g yt e r mw h i c hb a s e do nr e g i o ni n f o r m a t i o n , t h e nt h er e - i n i t i a l i z a t i o no ft h el e v e ls e tc a na c c o m p l i s hi nt h em o d e le v o l u t i o n a n dt h e d e g r e eo ft h es e g m e n t m i o nr e s u l td e p e n do nt h ep a r a m e t e r sd e c l i n e f i n a l l y , i nt h i sp a p e rw ep r o p o s eac o m p r e h e n s i v eo p t i m i z e dm u l t i - p h f l s e sc - v m o d e l ，t h i sm o d e li sb a s e do ng r a d i e n ti n _ f o r m a t i o na n dr e g i o ni n f o r m a t i o n a n da d d s p e n a l i z i n ge n e r g yt e r mo fs i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o n ，w h e nu s e di nt h es a ri m a g e s e g m e n t a t i o n ，t h er e s u l ts h o w st h a tt h em o d e lh a sas t r o n g e rr o b u s t i l y k e yw o r d s ：i m a g es e g m e n t a t i o n ，l e v e ls e tm e t h o d ，v a r i a t i o n a lm e t h o d ， a c t i v ec o n t o u rm o d e l ，c - vm o d e l 第i i 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 表目录 表1 1 图像分割算法分类表3 表1 2 参数活动轮廓模型与几何活动轮廓模型比较表5 表3 1c v 模型与改进模型的实验结果比较3 7 表4 1 三种模型的定性比较4 5 第1 l i 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 图目录 图1 1 图像分割在图像工程中的位置l 图1 2 论文框架图9 图2 1 水平集函数示意图l o 图2 2 燃烧火焰演化模型1 1 图2 3 晶体生长过程。：1 2 图2 4 水平集方法曲线演化1 5 图2 5 熵守恒解示意图。1 6 图2 6 变分水平集方法处理流程2 l 图3 1 合成图像的分割2 7 图3 2 加噪图像的分割2 7 图3 3 油罐分割结果2 8 图3 4s a r 图像河流提取2 8 图3 5 简化的m u m f o r d s h a h 图像分割模型2 9 图3 6c v 模型对合成图像的分割3 2 图3 7 不同参数下的分割结果。3 2 图3 8c v 模型对细胞图像的分割。3 3 图3 9c v 模型对光学图像海陆分割3 3 图3 1 0c v 模型与改进模型的实验对比3 7 图3 1 l 改进模型的抗噪性能实验3 7 图3 1 2 改进模型与其他模型的分割对比3 8 图4 1 图像中的t 型结构4 0 图4 2 四相水平集4 1 图4 3 程序流程图4 3 图4 4 四灰度块图像实验结果4 3 图4 5 与其他模型的比较4 3 图4 6 两灰度目标图像实验结果。，4 4 图4 7 与其他模型的比较4 4 图4 8 不同噪声的实验结果4 5 图4 9 对含噪声图像的分割4 5 图4 1 0 对坦克与装甲车s a p , 图像的分割4 6 图4 1l 对农田s a r 图像的分割4 7 第1 v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：基王适盘缝鏖的图篮佥劐友洼珏壅 学位论文作者签名： 0 代表曲线凸处，k 0 代表曲线凹处。这些 问题的略图如下： ( a ) l a u d a u 模型( b ) m a r k s t e i n 模型 图2 2 燃烧火焰演化模型 可以看出，两种进化模型中，第一种将速率看成一个常数，而第二种将进化速率看成一个 信赖于曲线曲率的量，后者显然更接近于实际情况。 在晶生长问题中，雪花的树枝状长钉部份由与曲率有关的表面冻结率决定【4 5 1 。考虑一个 固体冰球在一冷却室中生长，在边界上每一点的生长速率都通过g i b b s t h o m a s 关系 y ( 功= t m 1 8 k ( x ) 】而依赖于曲率，其中t m 是一恒定的融化温度。这种情况下，待延展的表 面温度越低，曲率越大，则生长越快。这样，表面将分裂成独立的分支，如下图： 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 图2 3 晶体生长过程 我们在研究曲线的演化问题时，只考虑简单曲线的演化，即没有交点的闭合曲线。下面对 上述问题进行一般性描述：假设给定一个闭合的、不相交的初始曲线和一个方程y ( 七) ，其中， 后是该曲线的曲率，该曲线沿着它的梯度矢量场以速度v ( k ) 流动，我们要计算其位置。假设 演化的曲线为： c ( p ，f ) = 【x ( p ，f ) ，y ( p ，f ) 】 ( 2 1 ) 其中是p 任意参数变化量，为时间参数。设曲线的内单位法向量为甩，曲率为k ，则曲线沿法 向的演化可用如下偏微分方程表示： c ( p ，0 ) = c o ( p ) ( 2 2 ) 式中，c o ( p ) 为初始闭合轮廓线，矿( 七) 表示由曲线曲率构造的速度函数。在f 时刻，曲线的参 数化坐标g = b ，以】为： 叫饼 ( 南 ， 秽 饼 ( 南 将【o ，p 】进行m 个等间隔划分，每个间隔长为印，得到m + 1 个点只= f 卸，i = 0 ，m 。把 时间划分成长为，的等间隔。每个点i a p 在每一步的时间n a t 的图像数据为演化前沿上的一个 第1 2 页 以 ，一彰 ) 一一 尼 口一+ ，l ci： 矿 一一等 配一所 拈 国防科学技术大学研究生院工学硕十学位论文 标识点( ，一帕) ，则需要从前一步的点推算出新的值( # n ，一”) 。首先，用邻近点来估计每 个标识点的参数导数，基于泰勒公式的中心差分估计给出如下公式： ( 机警川1 p 警 蛾学川1 弦学 类似的，时间导数可用前向差分估计给出： 坚型) 二坐鲣型二型 l _ 一- j - _ _ 三_ 一- _ = 三一一二l 二：- 三一 m&m& 将上述方程代入演化方程，就可得到： ( 矿n ，一川) ) _ ( 硝) ) + 缸而乒硒萨鬈( 蒯一谢， 0 ，在c 内， 式中，缈= = o ，在c 上，v q , r ：q , 得梯度。 【 o ，在c 外。 设p 是闭合曲线c 的弧长参数，根据水平集函数的定义，伊沿着曲线c 的方向的变化量为 零，即= o = 纯+ 哆蚱= ( v 妒，q ) 。这样，v 矽就垂直于闭合曲线c 的切线c ，因此，v a 和c 的法线同向。假设函数9 位于c 内部的部分为负，外部为正，则水平集c 的内向单位法向 量就是： 以：一皇 ( 2 6 ) 肛一商 屹雨) 将式( 2 2 ) 和式( 2 6 ) 代入式( 2 5 ) ，可得 蓄t d t 9 - - v n = - v g , v 尚卅m 取上式的左右两项，可得 警州七) m = o ( 2 7 ) 这样，给定闭合曲线的演化偏微分方程( 2 2 ) 以及任意水平集函数似力：编( c o ) = o ， 方程( 2 7 ) 可以保证水平集函数妒( x ，y ，f ) 随时间的演化满足 缈( c 【( p ，f ) ，f 】) = o ) 的条件，即伊的 零水平集始终是演化曲线c ( p ，f ) ，方程( 2 7 ) 称为曲线演化方程( 2 2 ) 的欧氏表达，方程( 2 7 ) 是一种汉密尔顿雅克比( h a m i l t o n j a c o b i ) 类型的偏微分方程【6 1 。从方程( 2 7 ) 可以看出它 是在物理域中的固定坐标系统下的曲线演化，因此具有以下三个优点：由于潜在的坐标系为 固定，离散的各点不发生运动，从而保证可以避免困扰拉格朗日数值方法的不稳定性问题产生。 拓扑结构的变化可以自然地被处理，这是因为水平集表面= 0 不需要简单连接。可以扩 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 展到任意高维的情况。以上也即是水平集方法的优点。 c ( p ，f ) 的曲率可以很方便地用水平集函数计算出： 拈v 尚= 盟嚣务丝 亿趵 l v 驴i( 诈+ 驴；) 谢2 上式中织，纺，分别为水平集函数沿相应方向的一阶或二阶导数。 一般的情况下，水平集函数满足缈( _ 0 ) = d ( x ) ，其中d ( x ) 为从x 到曲线c 的符号距离函 数。若x 在c 外，则用正号表示，若x 在c 内则用负号表示。每一个9 的水平集沿着它的梯度 矢量场以速度v ( k ) 运动，梯度v 认x ，t ) 是水平集通过x 处的法向。 一般速度函数矿( 尼) 一般可以构造为如下形式： 曲率演化：矿( 尼) = 一c k ，占为一常数，演化时，曲线上每点的演化速度即为此点的曲率大 小乘上一个常数，且其演化方向为此点的法线方向。那么曲线将演化为一个圆，最后归于消失。 常数演化：v ( k ) = ，为一常数。由式可知，曲线上任意点的演化速度与演化方向相 同，那么演化将向同一方向收缩或发散，可能会出现分裂或合并从而形成尖角，但最终都会归 于消失。 图像分割模型：矿( 后) = g ( o ( - c k + v o ) ，一般取g ( ，) = l ( 1 + 1 w 1 ) ，w 为图像的梯度，即用 图像的梯度倒数作为速度函数的加权，那么在梯度为零的地方，演化数度取决于曲线的曲率， 而在存在梯度的地方即边缘处，演化速度将衰减到0 ，相应于曲线上的点将停止演化，最后， 曲线将停止在图像中目标的边缘处。在一些文献中，演化速度又称为以下三种：与曲率相关 的所谓扩散项起到保持曲线的光滑性的作用即k ；对流项为曲线演化提供动力支持即： 速度衰减因子使速度在边缘轮廓处停止。 ( a ) 常量演化( b ) 曲率演化( c ) 分割模型 图2 4 水平集方法曲线演化 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 2 3 2 水平集方法的数值实现 为了利用水平集方法实现曲线演化，有必要采用适当的数值计算方法。水平集方法的数值 计算实现的关键是如何高效稳定地将定义于连续空间的偏微分方程( 2 7 ) 以离散形式表达出 来。 由于水平集函数在演化过程中始终保持为一个函数，因此，我们可以用离散网格来表达水 平集函数伊( x ，y ，r ) 。设离散网格的间隔为h ，且在行时刻，结点( f ，j f ) 处的水平集函数为仍， 则硝，：) = q p ( i h ，乃，n a t ) 。这里址是时间步长，则方程( 2 7 ) 可以离散化为 ! 茎z 三专! 生2 + 了，i 。，程i o ? jf ：o ， “i 。 ( 2 9 ) 式中，k 譬表示刀时刻扩展速度函数蚝姒位于网格点( f ，_ ) 处的值。要指出的是，上式中缈( x ，y ，f ) 的有限数值差分u 粥必须采取适当的形式，以避免常量演化中导致的水平集函数奇异性问 题。方程( 2 7 ) 为h a m i l t o n j a c o b i 类型的偏微分方程，一般情况下，其数值解法应用的是“熵 守恒 理论【6 】，即曲线不会同时两次经过平面上的一点。 ( a ) 燕尾形解 ( b ) 熵守恒解 图2 5 熵守恒解示意图 下面介绍熵守恒解的原理及方法，方程( 2 7 ) 可以重写为： 仍+ h ( q a ，吼) = 0 ( 2 1 0 ) 这样的方程称为h a m i l t o n j a c o b i 方程【引，日( ) 称为哈密顿算子。考虑如下的一维 h a m i l t o n ，j a c o b i 方程： 坼+ 旧( 甜) 】，= 0 ( 2 1 1 ) 上式称为双曲线守衡定律。当占= 0i ；ih ( u ) = 一( 1 + “2 ) 2 时，u = 纯满足守衡定律，由于s - - - 0 演 化时前沿可能产生尖角，由此我们知道由初始的平滑函数可能会演化出不连续的情况。然而， 通过使用一个积分形式的守衡定律，可以允许不连续的解。考虑一个闭合区间【a , b 】。对上面 第1 6 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 式子两边同时积分可得到： 一j 壬i 。“( x ，m = h u ( a ，t ) - h u ( b ，r ) 】 ( 2 1 2 ) u l 如果甜满足上述积分方程，则认为它是守衡定律的一个弱解【l o 】。此处“不必满足可微条件。 通过设计数值算法来逼近运动方程的积分形式而不是微分形式，这样u 不必为一个平滑的函 数，演化时前沿产生尖角的问题被绕开了。 令珥”为点砌在时间n a t 处的“值，如果存在一个函数g ( u 2 ) ，上述方法可写为如下形式： 掣：一趔丛崞- g 幽q u i _ 1 , u i + lj ，w h e r e 如：脚) ( 2 1 3 ) |h 很明显，只要服从等式g ( u ，材) = h ( u ) ，上式逼近双曲线守衡定律。这样，任何能满足守衡定 律的差分格式都能给出一个弱解。如何保证方法挑选出满足熵条件的弱解呢? 必须加以进一步 的限制，即单调性。上式称为三点有限差分格式，即：谚肿d = ，( 础，谚，蜊) ，如果f 为它 所有参数的递增函数，则它为单调的。 满足熵条件的弱解的格式满足守衡定律与单调性【1 0 1 ，这样，我们只需检查单调性和守衡 定律，就可以验证一个格式是否满足熵条件。l a x f f i e n d f i c h s 格式【4 6 1 是用中心差分逼近产生的 一种简单格式： 垡：! 二丝! 盥盥2 ：一盟( 2 1 4 ) a th 很容易可以验证上述格式满足单调性，令：g ( 甜z ) = 一老( 吻一u i ) + 三【日( 屹) + 日( m ) 】，则格 式满足守恒定律。加上附加限制，厅 1 ，这种格式就可以对方程珥+ 【日 ) l = 0 产生一个弱 解。因此求解出z f 后再积分便可得到妒。然而，还有一个更加简单的办法。在极限情况占兮0 下， 可以重写前沿演化方程如下为仍+ h ( d c 矽d x ) = 0 ，其中h ( u ) = - ( 1 + u 2 ) “2 。对时间参数用前向 差分格式，有谚”1 = 谚- a t h ( u ) 。日用数值通量函数g 来逼近： 科肿1 ) = 拜”) 一纰【( 谚刖一础) 肛，、y r n ( n ) 一西“) 肛】 ( 2 1 5 ) g 在上面已定义。该格式能产生满足熵条件的弱解，如果占0 ，我们可以使用前向有限差分 方法来逼近曲线曲率。“熵守恒”原理应用在偏微分方程的求解上，就是偏微分方程的迟滞解 方法f 4 7 】。在图像分割中9 为一二维函数。引入如下符号代表对缈的有限差分算子，分别代表不 同方向的前向、后向和中心差分： 第1 7 页 国防科学技术大学研究生院1 ：学硕士学位论文 p 苫= 够，一仍一l ，p 苫= 仍+ l ，一够，p 孑= ( 仍“一够- l ) 2 ， d w - y = 仍一纪，一l ，p 了= 仍。+ l 一仍，p 孑= ( 够+ 1 一纪一1 ) 2 方程( 2 7 ) 的近似解为： 竹d = 粥+ a t m a x ( v , ，o ) v + + r a i n ( v , ，o ) v 一 ( 2 1 6 ) 式中： 矿2 e 粼( 叼，0 ) 2 + 幽( 叼，0 ) 2 + m 烈叼，o ) 2 + m i n ( 踏0 ) 2 ：i ( 2 1 7 ) v 一= 1 1 1 i n ( 叼，o ) 2 + 懈( 叼，o ) 2 + m i n ( 叼，o ) 2 + m 觚( 叼，o ) 2 v 2 实际应用中速度函数可分为三项之和，即： 矿= v p r o p + + ( 2 1 8 ) 式中，= 是常量扩张速度( 气压力) ；= 一础是曲率速度；= u ( x ，夕，f ) 刀是水平 对流速度u ( x ，y ，) = “( x ，y ，f ) ，v ( x ，y ，) 】，则方程( 2 7 ) 的近似解为： 彬d = 叱+ 出 _ e m a x ( ( v o ) u ，o ) v + 4 - m i n ( ( 吼，o ) v 一 二墨磐鬻二嚣篇j 晓 一 m a x ( 蟛，0 ) 彤+ m i n ( 彬，o ) 硝 + 占墨小耽) 2 + ( 纠0 y ) 2 v 2 这种差分方法称为逆向有限差分法( u p w i n df i n i t ed i f f e r e n c e ) 。 通过式( 2 1 9 ) ，就可以利用迭代法来不断更新水平集函数，更新完成后，利用轮廓线检 测方法，提取更新后的水平集函数的零水平集，即可得更新后的闭合活动轮廓线。另外，闭合 活动轮廓线的曲率可以直接采用中心差分方法来数值计算，即采用咙和础来近似；而内向 单位法矢量可以按下式计算： = 酌 q 2 0 ) 其中： 刀关些：丝墅+ 丝型，l l 。拟+ 方( 彤) 2 + ( 踏) 2 ( ) 2 + ( 鳄y ( 2 2 1 ) + 些垒丝) _ + 些坠 r = = = = = = = = = = = = = = 十= = = = = = = = = = = = = = = ( 叼) 2 + ( 昭) 2 ( 叼) 2 + ( 叼) 2 第1 8 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 ( 1 ) 在迭代过程中，为了防止轮廓曲线发生位置“漂移 ，水平集函数应保持为符号距 离函数，然而由于采用数值解法，方程( 2 7 ) 的解并不总能保持为符号距离函数，因此需要 不断地对水平集函数进行校正，即进行重新初始化的过程，以使它保持为符号距离函数。符号 距离函数构造的快慢将直接影响到曲线演化的速度，同时符号距离函数构造的准确性将影响曲 线演化的稳定性，所以能快速准确的构造符号距离函数是很关键的。通常取由初始闭合曲线c o 生成的符号距离函数。设p ( x ，y ，f = o ) ，( x ，y ) r 2 是s d f ，则 驴( x ，y ，t = 0 ) = d ( z ，y ) ( 2 2 2 ) 式中，d ( x ，y ) 是点( x ，y ) 到初始曲线c ( t = 0 ) 的距离，其符号根据点( x ，y ) 在闭合曲线c ( t = 0 ) 的 内外部而定，如果( x ，y ) 位于c ( t = 0 ) 的内部，则取正号( 或负号) ，反之取负号( 或正号) ， 对于任意曲线，其符号距离函数的计算量比较大，因此，如何快速计算稳定的任意曲线的s d f ， 对于提高水平集方法的效率和稳定性非常重要。 ( 2 ) 演化方程( 2 7 ) 仅仅是从零水平集推导而来，一般速度函数v ( d 只在零水平集定义， 其他水平集没有定义，然而，单位法矢量和曲率在所有的水平集都有定义，因此，演化水平集 函数缈时，需要一种方法将矿( 尼) 扩展到所有的水平集，变为扩展的速度场( 忌) ，例如，由 图像的边缘信息所定义的边缘力，只是在零水平集才有定义，因此需要将零水平集的图像力扩 展到p 的整个定义域。然而，许多扩展速度场的方法常常导致水平集函数缈不再保持为s d f ， 从而引起单位法矢量和曲率计算的误差。因此，如何选择合适的方法扩展速度场，也是实现水 平集方法需要仔细考虑的问题。 ( 3 ) 在几何活动轮廓线的实际应用中，常常利用常量演化对活动轮廓线产生大尺度的变 形作用，然而，常量演化可能使平滑的水平集函数产生尖角，一旦形成尖角，对水平集函数缈 的进一步的演化就不确定了，因为在尖角位置，单位法矢量的方向不确定。因此，对缈的有限 数值差分f ，粥必须采取适当形式以满足“熵守恒 定理，避免常量演化中的奇异性出现。 ( 4 ) 迭代时间的选择，为了满足迭代的稳定性与精确性，迭代时间步长受一定的限制， 即满足出h 1 。 2 4 1 变分法 2 4 变分水平集方法 第1 9 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 变分水平集【4 8 】【4 9 1 是首先建立一个能量模型，并在能量模型中的内、外部能量都使用水平 集函数表示，再利用变分法极小化这个能量函数，便可得到水平集演化的偏微分方程。 变分法【5 0 l ( c a l c u l u so fv a r i a t i o n s ，v a r i a t i o n a lc a l c u l u s 或v a r i a t i o n a lm e t h o d s ) 也称变分 学，是1 7 世纪末开始发展起来的数学分析的一个分支，它是研究依赖于某些位置函数的积分 型泛函极值的普遍方法。简言之，求泛函极值的方法称为变分法。求泛函极值的问题称为变分 问题( v a r i a t i o n a lp r o b l e m ) 。变分法是泛函分析的一个重要组成部分，但变分法出现在前， 而泛函分析出现在后。 定义：令f ：x - 9 , r 是h i l b e r t 空间x 中的一个泛函，设x x ，若下式 咖l m i m 学= 面d 雕叫枷 ( 2 2 3 ) 极限存在，则称它为泛函f 在x 处沿1 ，的方向导数。进一步，若f ( x ；v ) 是关于 ，的有界线性泛 函，则称f 是g a t e a u x 可微的。由h i l b e r t 空间中的有限线性泛函定理可知，存在函数“x ， 使得f ( x ；y ) = 。称“是泛函f 的g a t e a u x 导数，又叫一阶变分，记为“= f ( z ) 。若x 是 泛函f ( x ) 的极小解，那么对所有的函数1 ，x ，都有f 7 ( x ，1 ，) = 0 。 考虑函数f ) = j f a l ( x , y ，甜，v “) a x a y ，其中z 4 x , y ，“，v 甜) 是关于变量( x ，y ) q ，甜，v “的 连续可微函数，且三( x ，y ，甜，v “) r ( 力) = 厂：i i y ( - ，j ，) 1 2 出a y o o 。则泛函f ) 的一阶变分如 下： f 铷) = x , y , u , v u ) 一瓦ol i o 印l 、x 戊“，v ”) 一o 砂( o d g l ( x , y , u , v u ) ) ( 2 2 4 ) 式中，p = 驯缸，q = 驯砂。方程， ) = o 称为欧拉一拉格朗日( e u l e r - l a g r a n g e ) 方程。 2 4 2 梯度下降流 一般地，泛函f 在“( x ) 处沿v 方向的方向导数可以表示为( f 7 ( 材) ，v ) = p ( 甜) 池，其中 f 似) 是f 的g a t e a u x 导数( 一阶变分) 。由柯西一许瓦兹不等式知道，当1 ，= 一f ) 时，上述 积分取得最小，即泛函f 的变化最快的方向是1 ，= 一f ) ，这个方向就称为泛函f 的最快下降 方向，即引入时间变量f ( f o ) ，称娑= - f ) 为梯度下降流方程，它描述了函数甜o ) 朝着泛 o t 函f 局部极小值的变化。 在水平集方法表示的曲线演化中，同样可以定义模型关于水平集函数的能量泛函 第2 0 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 e ( 缈( x ，y ”，应用变分法及梯度下降流方程，极小化能量泛函得到偏微分方程： 偿o - - e 矿= - ：e 铆( 2 2 5 ) 【驴( x ，y ，r ) i f = o = ( x ，y ) ( z ，y ) 为给定的初始条件，迭代求解上述偏微分方程，收敛时得到的u ( x ，y ) 即为所求的演化 模型的能量函数 欧拉拉格朗f l 方程 楱型的解分割结果 有限差分法 图2 6 变分水平集方法处理流程 相对于传统的纯粹的p d e 驱动的水平集图像分割方法，基于变分水平集的图像分割方法 由于应用能量函数表达模型，使其物理意义更加直观，且可以在能量函数中自然地融入附加约 束信息，如基于图像区域或边缘的约束信息，从而使模型具有更强的鲁棒性。 2 5 本章小结 本章主要介绍了曲线演化理论及其水平集方法，简要阐述了参数化曲线演化方法存在的缺 陷，即复杂性和无法处理拓扑变化，重点说明了水平集方法的几个优点：曲线演化表达的简 单性；处理拓扑变化的自然性；有稳定的数值实现方式。然后介绍了一种水平集的稳定数 值解法一熵守恒解法，水平集方法又可以分为基于偏微分方程的和基于能量函数形式的，其中 基于能量函数的模型具有物理意义直观，易于加入约束条件等优点，其求解方法一般是应用变 分法将积分能量函数转化为一偏微分方程，在应用梯度下降流方程将其转换为关于水平集函数 与时间的偏微分方程，最后迭代求解该方程，便可得到一个解，即为分割结果。 第2 l 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 第三章基于变分水平集方法的几何活动轮廓模型 3 1 引言 基于变分水平集方法的几何活动轮廓模型是目前广泛研究的一种图像分割方法。该方法利 用轮廓曲线的几何特性，建立轮廓曲线运动( 变形) 的能量函数，应用水平集函数隐含表达曲 线的运动，最小化这个能量函数，使轮廓曲线逐渐逼近图像中目标边界，并利用变分法将水平 集函数的演化方程转化成求解数值偏微分方程的问题。 几何活动轮廓模型可分为基于梯度信息的模型f 1 2 】f 1 3 】和基于区域信息的模型【1 4 】【1 6 】，变分水 平集方法的两个典型模型是：李纯明等提出的“不需要重新初始化的变分水平集模型。c h a r t 和v e s e 提出的基于简化的m u m f o r d s h a h ( m s ) 模型的c - v 模型。前者属于基于梯度信息的 模型，对图像边界具有较好的局部化作用；后者是基于区域的活动轮廓模型，适用于模糊边界 或不连续边界等场合，并且对初始轮廓曲线位置不敏感。用不同的轮廓曲线能量函数引导轮廓 曲线运动，能得到不同的图像分割结果。如何设计有效的轮廓曲线能量函数，获得正确的或所 需要的图像分割结果，是当前基于变分水平集方法的几何活动轮廓模型图像分割方法研究的热 点和难点。 统计活动轮廓模型( 亦称多区域竞争模型) 是应用统计学构造的活动轮廓模型，也是属于 基于区域信息的模型，它假设轮廓曲线内外区域的灰度分布满足一定的概率模型，得到基于区 域统计信息的能量函数，利用区域竞争曲线演化模型推导出曲线演化偏微分方程，实现图像分 割。该方法可以同时提取出多类目标，能量函数和曲线演化方程是相对独立的，对于不同类型 的图像可选用不同的概率模型。 本节首先简要回顾上述两个模型，借鉴统计活动轮廓的处理方法，并引入符号距离约束项， 对c v 模型进行改进，通过与李纯明，c v 模型的比较，改进模型具有一定的优势。 3 2 基于梯度信息的活动轮廓模型一李纯明模型 李纯明提出了一种不需要重新初始化的活动轮廓模型【1 3 1 ，模型中加入了约束信息项，使 得水平集函数在演化过程中始终满足符号距离函数，所以不需要进行重新初始化步骤；该模型 的停止函数由图像的梯度信息构造，因此是基于梯度信息的模型，它对于具有较明确边缘的图 像分割效果较好。 3 2 1 边缘指示函数 在曲线演化理论中，其演化速度函数为矿( 尼) = g ( ，) ( 七+ 圪) 我们了解到，要使演化曲线最终 第2 2 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 停止在图像边缘处，那么矿( c ) = 0 ，即当轮廓线位于边缘处时，其演化速度为0 ，那么既是 g ( c ) = 0 ，也就是说函数g ( o 在目标边缘处其值为0 ，在图像平滑区域处，其值接近1 ，由此 我们引入边缘指示函数： 定义1 令g ( ，) ：【0 ，佃) 寸【o ，1 】表示边缘指示函数。该函数为一严格单调递减函数，当 ，专o 。时，g ( ，) 专o 。一种常用的边缘定位函数为： 到川卜南 。1 ) 其中，表示一个小的正实数，厂表示边缘检测算子的模，刀1 。对于光学图像而言，由于 图像中含有高斯噪声，一般用一个低通滤波器平滑噪声，即：l 厂i = l v q 奉j ( x ，y ) i ，其中 q c 毛y ，= 面1 e x p 一等) 为高斯核函数，符号“木”表示卷积算子，那么就有： g ( ，) = i + p i v g ，二* i ( 一x , y ) r ( 3 2 ) 对于s a r 图像而言，采用r o e w a 算子洲，i 厂i = i i = 乓一+ 屯。 r o e w a 算子是一种基于多边缘模型的边缘检测算子，比较符合实际的s a r 图像，因而 得到了广泛的应用。r o e w a 算子本质上是一种基于线性最小均方误差的指数平滑滤波器， 使用这种滤波器计算出的均值不是算术均值，而是根据经过指数加权处理后的均值。一维情形 下，该滤波器的表达式为： f ( x ) = c e x p 一口怫 ( 3 3 ) 其中，c 是归一化常数，口是滤波系数。该滤波器具有可分性，因而可很容易地将其扩展到二 维空间厂似力= 八力f ) 。 在离散情况下，厂( 力可通过一个因果滤波器石o ) 和非因果滤波器五( x ) 实现： m )