有限元分析——杆系系统计算课件.ppt

1,杆系结构的有限元法主讲人：杨红林2014.07.25,2,目录一、杆系结构的概念与分析原理1、杆系结构定义2、杆系结构离散与单元分析3、平面杆单元的坐标变换4、整体刚度矩阵的组装5、整体刚度方程的求解二、杆系结构算例1、阶梯直杆算例2、桁架结构算例,3,一、杆系结构的概念与分析原理,1、杆系结构的定义由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构。,2、杆系结构的离散与分析,一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应设置节点，节点之间的杆件即构成单元。,如图为桁架结构,4,F,如图为阶梯直杆的离散,对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：,根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：,5,单元的刚度方程为：,其中,为节点力列阵；,为节点位移列阵。,3、平面杆单元的坐标变换工程实际中，整体坐标系和局部坐标系要相互转化。如下进行推导分析：,6,平面杆单元的坐标变换,局部坐标系中的节点位移为：,整体坐标系中的节点位移为：,两个坐标系下的等价变换关系为：,7,写成矩阵形式为：,为坐标变换矩阵，即,下面推导整体坐标系下的刚度方程，根据势能变分原理可得单元势能为：,8,为整体坐标系下的单元刚度矩阵，为整体坐标系下的节点力列阵，即：,由最小势能原理，对待定的节点位移列阵取极小值，可得到整体坐标系下的刚度方程,4、整体刚度矩阵的组装将所得到的各单元的刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵，即K=K1+K2+K3+K4+K5+。组装步骤如下：（1）计算局部坐标系下各个单元的刚度矩阵；（2）计算各单元从局部坐标系到整体坐标系的转换矩阵；（3）计算整体坐标系下各单元刚度矩阵；（4）“对号入座”组装成整体刚度矩阵。5、整体刚度方程的求解由于整体刚度矩阵是奇异的，它的行列式为零，不能立即求逆；整体分,9,若结构的某些节点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小。例如整体刚度方程为：,去行去列法,析时，结构处于自由状态，在节点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移，不能通过平衡方程唯一地解出节点位移，故需处理边界条件。方法有删行删列法、分块法、对角元素置一法、乘大数法。,边界条件为：，根据边界条件去行去列，如上图，,10,二、杆系结构算例,1、阶梯直杆算例,算例一：求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：,则去行去列后有：,这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。,11,图1：三连杆结构的受力状况,1）节点编号和单元划分,图2：各单元的节点位移和外力,2）计算各单元的单元刚度方程单元的刚度方程为：,单元的刚度方程为：,单元的刚度方程为：,3）组装各单元刚度方程整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。,12,就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即,由已知得：,为支座的支反力。,将材料参数和几何尺寸参数代入得：,4）处理边界条件并求解结构的位移边界条件为：,并将已知的节点位移和节点力代入得：,13,求解上述方程，有：,5）求支反力由上面的方程，可得支反力为：,6）求各个单元的应变和应力根据应力和应变的定义可得：,14,这样求得各个单元的应力与应变。,15,算例二：所示的四杆桁架结构，各杆的弹性模量和横截面积都为,，试求解该结构的节点位移，单元应力和支反力。,2、桁架结构算例,16,四杆桁架结构,（1）结构的离散化及编号对结构进行离散，单元编号和节点编号，有关单元和节点的信息见表。,四杆桁架结构节点及坐标,2019/12/13,17,可编辑,18,四杆桁架结构的单元编号及对应节点,各单元的长度及轴线方向余弦,（2）各个单元的矩阵描述在整体坐标系下对节点位移和单元刚度矩阵进行表达，各单元经坐标变换后的刚度矩阵如下：,19,20,（3）建立整体刚度矩阵将各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成整体刚度矩阵；同时将所有节点载荷进行组装。,刚度矩阵：,节点位移：,节点力：,21,整体刚度方程为：,（4）边界条件的处理及刚度方程求解边界位移条件为：,化简后有：,22,对该方程进行求解，有,则所有的节点位移为：,（5）各单元应力的计算,同理，可求出其他单元的应力,23,（6）支反力的计算根据整体刚度方程，可求得结果为,24,算例三：五杆桁架结构，各杆的弹性模量与截面积为E=pa，A=，P=2000N，求结构的节点位移、支反力和单元应力。,五杆桁架结构,（1）结构离散与编号结构离散后进行节点编号与单元编号，有关节点与单元的信息见下表。,桁架结构节点及坐标,25,桁架结构的单元及对应编号,各单元长度及方向余弦,（2）单元分析求出各杆单元的坐标转换矩阵及刚度矩阵,T1,=,26,=,T2,=20,K2,=,T3,=,T4,=,T5,K1,=,27,K3,=,K4,=20,K5,=,（3）整体分析将各单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵。刚度矩阵：K=K1+K2+K3+K4+K5节点位移：q=,28,节点力：p=,整体刚度方程为,=,（4）刚度方程求解边界