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基于d s p 的c z t 谐波在线分析算法研究 核技术及应用专业 研究生李华指导教师郑高群 摘要 近年来，随着经济的发展，电力的需求不断增加。随之而来由非线性 负荷所产生的谐波对电力系统的污染也越来越严重。为了保证电能质量和 保护电气设备的安全，如何对电力谐波进行治理成为倍受关注的问题。其 中涉及对电力谐波在线监测方法以及谐波快速提取与精确分析算法的研 究。本文就是在实际参加“电力谐波在线监测系统”研究项目的基础上撰 写的。重点是讨论基于d s p 的线性调频z 变换( c z t ) 改进算法在电力谐 波分析中的应用。 文章首先介绍了关于电力谐波监测与分析的背景知识，以及目前最常 用的d f t 及f f t 谐波算法的实现方法与优缺点。在此基础上讨论了基于 f f t 的c z t 算法。该算法的突出优点是可以可调的高分辨率实现对指定频 带的谱分析，而缺点则是计算比较耗时。为此作者根据不周的应用需求， 提出了实序列重组、分段调制以及分段递推等三种能有效减少计算量、加 快计算速度的改进的c z t 算法。文章详细讨沦了改进算法的原理及在d s p 平台上的具体实现方法，并对各种算法的计算速度及计算量做了对比分析。 文章同时给出了典型应用实例的程序代码及流程框图。 这些改进的c z t 谐波解谱算法由于精度高、速度快，在基于d s p 的“电 力谐波在线监测系统”中用于谐波监测与分析，获得了很好的效果。 关键词：在线监测，谐波分析，d s p ，c z t ，重组算法，分段调制，分段递 推 s t u d yo nd s pb a s e dc z ta l g o r i t h m s f o ro nl i n eh a r m o n i ca n a l y z i n g p o s t g r a d u a t e ：l ih u at u t o r ：z h e n gg a o q u n a b s t r a c t r e c e n ty e a r s ，w i t ht h ee c o n o m yg r o w t h ，t h en e e d sf o re l e c t r i cp o w e ra r e i n c r e a s i n g w l l i l ea tt h es a m et i m e t h ep o w e rs y s t e mh a r m o n i cc o n t a r n i n a t i o n c r e a t e db yn o n l i n e a r1 0 a d sb e c a m em o r es e r i o u s t om a i n t a i np o w e rq u a l i t y a n dp r o t e c te l e c t r i ce q u i p m e n t ，t h ei s s u eo fh o wt os o l v et h ec o n t a m i n a t i o n p r o b l e mh a sb e e nac o m m o nc o n c e r n w h i c hi n v o l v e st h es t u d i e so nh o wt o m o n i t o ra n dm e a s u r eh a r m o n i c so n l i n ea n dt od e v e l o pn e wa l g o r i t h m sf o rf a s t a n da c c u r a t eh a r m o n i cs p e c t r u m sa n a l y z i n g t h ep a p e rw a sb a s e do nt h e “e l e c t r i cp o w e rh a r m o n i co n l i n em o n i t o r i n gs y s t e m ”r e s e a r c hp r o j a c t ，a n d w i l lf o c u so nt h ei m p r o v e m e n t sa n da p p l i c a t i o n so fc z ta l g o r i t h m sf o rf a s ta n d a c c u r a t eh a r m o n i ca n a l y z i n gi nt h ed s pb a s e dm o n i t o r i n gs y s t e m f i r s t l yp r e s e n t e di nt h ep a p e rw e r et h eb a c k g r o u n di n f o r m a t i o no fp o w e r s y s t e m h a r m o n i cm o n i t o r i n ga n da n a l y z i n g ， a n dt h e a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e so f t h ep o p u l a rd f t a n df f ta l g o r i t h m sf o rs p e c t r u me a l c u l a t i o n t h e nt h ef f tb a s e da l g o r i t h mo fc h i r p zt r a n s f o r mr c z t ) w a si n t r o d u e e d t h e c z ti sw e l ls u i t e df o rs o l v i n gs e l e c t e dn a r r o wb a n ds p e c t r u mw i t ha d j u s t a b l e h i 曲r e s o l u t i o n ，w h i l et h ec o m p u t i n gi st i m ec o n s u m i n g t h u st h r e ei m p r o v e d c z ta l g o r i t h m sf o rp a c k e dr e a ls i g n a l ，s e c t i o n e ds p e c t r u mm o d u l a t i o na n d s l i d i n gw i n d o wm e t h o dw e r ed e r i v e dt or e d u c ec a l c u l a t i o nt i m ea n ds p e e du p t h es p e c t r u ma n a l y z i n gf o rd i f f e r e n ta p p l i c a t i o n s t h ea l g o r i t h m sa n dt h e i r p r o g r a m m i n go r ld s pp l a t f o r mw e r ed i s c u s s e di nd e t a i l 哪心c a l c u l m i o nt i m e a n dc o m p u t i n gs p e e df o rv a r i o u sc a s e sw e r e1 i s t e df o rc o m p a r i s o n t h ef l o w d i a g r a m sa n dt h ed s pc o d e so f t y p i c a la p p l i c a t i o n sw e r ea l s og i v e n ， t h o s ei m p r o v e dc z ta l g o r i t h m sw e r ei m p l e m e n t e di nt h ed s pb a s e d h a r m o n i co n 1 i n em o n i t o r i n ga n da n a l y z i n gs y s t e ma n dw o r k e dw e l ld u et o t h e i rh i g hr e s o l u t i o na n df a s tc o m p u t i n gs p e e d k e y w o r d s ：o n l i n em o n i t o r i n g ，h a r m o n i ca n a l y z i n g ，d s p , c z t , a l g o r i t h mf o rp a c k e d d a t a , s e c t i o n e ds p e c t r u mm o d u l a t i o n ，s l i d i n gw i n d o wm e t h o d 2 第一章前言 1 1 电能质量简介 1 ，1 1 电能质量的重要性 电能是用途最广的能源之一，而电能质量与国民经济的各个部门和人民 h 常生活有着密切的关系和重要意义。所谓电能质量，是指将发电厂发出的电 能，看作一种商品，从而对它的各种技术指标做出规定，以判断其是否合格。 在理想的交流供电系统中，三相交流电压是平衡的，电压和电流的波形呈正 弦波无畸变状态。电能的质量，通常以供电电压的频率、偏移、波动、闪变、 问断、塌陷、尖降、谐波畸变、三相不平衡度和高频干扰等项指标来表征。 电能作为一种商品，具有它本身的特殊性。电能的生产和消费必须同时 进行，且电能的生产、传输和使用设备必须紧密地连接在同一电网上。因此， 作为电力部门的产品电能的质量，不仅取决于发电、输电和供电系统本 身，而且与成千上万的电力用户有关。要保证公用电网中电能的质量，必须 由电力生产部门和接入电网中的广大电力用户来共同努力。 1 1 2 改善电能质量的意义 从市场经济的商品质量这个普遍意义讲，了解电能质量，改善电能质量 足必不可少的。改善电能质量的意义主要在于： 1 】是保证电力系统安全( 包括用户设备的用电安全) 、稳定、经济运行 的必要条件，是电网运行水平高低的重要标志，同时也是电力企业用电管理水 平考核的重要指标； 2 ) 是提高国民经济总体效益、用电效益( 节能、降损) 和改善电气环境， 以及工业生产可持续发展的技术保证： 3 】是面向电力市场、适应竞争机制强有力的手段； 4 】通过建立和健全电能质量的全面管理，保障各行各业的正常用电秩 序，为千家万户提供安全可靠的电能。 1 13 电能质量研究的内容 目前我国对电能质量的研究主要集中在以下五个方面，并制定了相应的 国家标准： 1 ) 公用电网谐波( g b t 1 4 5 4 9 9 3 ) ； 2 ) 电压允许波动和闪变( g b t 1 2 3 2 3 2 0 0 0 ) ： 3 ) 三相电压允许不平衡度( g b t 1 5 5 4 3 1 9 9 5 ) ； 4 】电力系统频率允许偏差( g b t 1 5 9 4 5 1 9 9 5 ) ； 5 1 供电电压允许偏差( g b l 2 3 2 5 - 9 0 ) ； 在电能质量的多种指标中，受干扰性负荷影响，谐波是最为普遍的，这 是因为非线性负荷在快速增长，电网的谐波水平在不断提高。因此，在研究 电能质量的在线监测时，首先要研究的就是谐波的在线监测问题。 1 2 谐波产生的原因和影晌 电力系统谐波是重要的电能质量指标之一。当电力系统中谐波含量达到 一定程度时，将对电力设备带来严重危害，影响电力系统的正常运行。测量 和分析电力谐波，可对电网或某一用电区域的谐波情况有一个清晰定量的了 解，为监控电能质量和电能计费提供依据，更是谐波抑制的前提条件。 1 2 1 什么是谐波 谐波是指电网正弦电压或电流波形畸变后，其波形可以用傅立叶级数进 行分解，除5 0 h z 的基波外，还存在一系列频率为基波频率整数倍、幅值比 基波幅值小的正弦波，这一系列正弦波称为谐波。谐波频率与基波频率的比 值称为谐波次数。 1 2 2 谐波产生的原因 谐波产生的根本原因是非线性负载如高压直流输电系统、变频器、可控 整流器、电弧炉、电动机车等的应用，造成电网中的谐波污染、三相电压的 不对称性以及电压波动和闪变同趋严重。同时，由于上述负荷的存在，使得电 力系统中的供电电压即便是正弦波形，其电流波形也将偏离正弦波形而发生 畸变。因为非线性负载只在输入电压被控制的部分吸取电流，虽然这样可以 很好地提高效率，但却会在负载电流中引起谐波。 1 2 3 谐波的危害 电网谐波污染所产生的后果较为严重，概括起来主要有以下几个方面： 1 ) 可能使电力系统的继电保护和自动装置产生误动或拒动，直接危及电 网的安全运行； 2 ) 使各种电气设备产生附加损耗和发热，使电机产生机械振动及噪声： 3 ) 谐波电源在电网中流动，作为一种能量，最终要消耗在线路及各种电 气设备上，从而增加了损耗，影响电网及各种电气设备的经济运行； 4 ) 由于电网中谐波电流的存在，通过电磁感应、电容耦合以及电气传导 作用，对周围的通信系统产生干扰，从而降低信号的传输质量，破坏信号的 正常传递，甚至损坏通信设备； 5 ) 谐波使电网中广泛使用的各种仪表，如电压表、电流表、电度表等产 生误差； 6 ) 大大增加了电网中发生谐波谐振的可能，从而造成很高的过电流或过 电压而引发事故的危险性。 1 3 谐波的测量 1 3 1 原理 电力输电线路中的电压和电流的正弦信号受非线性负载的影响，电网的 波形会发生畸变，畸变后仍然为周期函数，且满足狄里赫利条件，可以用傅 立叶级数法把电压和电流分解成基波和一系列谐波的叠加，即 几) = + ( c o s ( n c a t ) + b ( s i n ( n c o t ) ) n = l = 4 + ( 4c o s ( n 删+ 纯) ) ( 1 1 ) 月= l 式中国= 等，t 为厂( f ) 的周期， 4 = ( 0专7 m 1 一t 1 2 ，2 巩= 吾p o ) c 。s o 科印 “= 彳2j 厂( f ) s i n 0 耐协 一，2 4 = + 砖为各频率成分的振幅， 仇：a r c t a n ( 一生) 为各频率成分的初相角 “n 也就是说，非正弦波是由直流分量4 0 、基波和一系列频率为基波频率整数倍 的正弦波( 谐波) 构成。 1 3 2 谐波测量的标准 近年来，出于安全生产及经济效益等因素的多重考虑，对电能质量特别 对谐波问题的测试与治理倍加关注，我国相应出台了电能质量公用电网谐 波gb t14 549 93 标准。 为了定量表示电网中正弦波形的畸变程度，采用以下的波形畸变指标： 1 ) 谐波含有率h a m o n i cr a t i o ( h r ) 周期性交流量中含有的第h 次谐波分量的方均根值与基波分量的方均根 值之比( 用百分数表示) 。 第h 次谐波电压含有率以h r u h 表示，第h 次谐波电流含有率以h r h 表 不。 ， 爿r = 导1 0 0 ( 1 2 ) u i ， h r i = 挚x 1 0 0 ( 1 3 ) l 式中矾和既分别为基波和第h 次谐波电压， 和厶分别为基波和第h 次谐 o 波电流。 2 ) 总谐波畸变率t o t a lh a r m o n i cd i s t o r t i o n ( t h d ) 周期性交流量中的所有谐波含量的方均根值与其基波分量的方均根值之 比( 用百分数表示) 。 电压总谐波畸变率以t h d u 表示，电流总谐波畸变率以t h d 。表示。 f 一 t h d u = ( 瑚) 2 1 0 0 ( 1 4 ) y ；2 f 一 嗍= 、f ( 脚 ) 2 1 0 0 ( 1 ，5 ) y ；2 防止谐波的危害，限制电力系统的谐波，就是要把上述指标限制在国家 标准的范围内。 公用电网谐波标准主要包括以下内容： 1 ) 国标要求保证电网中的电压总畸变率及各次谐波含有率必须控制在允 许的范围之内； 2 】对用户允许产生的谐波电流，提供了计算方法； 3 ) 对测量方法和测量仪器作出基本规定； 4 ) 对同次谐波随机性合成提供算法。 13 3 谐波测量方法 由于实际需要及技术发展，不断出现了各种各样的谐波分析仪器及装 嚣。若以实现方法区分，大体可以分为时域测量方法和频域测量方法两类。 下面分别对其各自的工作原理做简单介绍。 1 3 3 1 频域测量方法 频域测量方法的基本原理是使用模拟滤波器将输入信号的各次谐波分量 分离出来。滤波器的实际输出是输入信号和滤波器脉冲响应的卷积，在频域 中它相当于两个频率响应的乘积，因此从滤波器得到的信号为频谱。 1 3 3 2 时域测量方法 时域测量方法的基本原理是对信号进行离散化处理后，由离散傅立叶变 换( d f t ) 或快速傅立叶变换( f f t ) 计算各次谐波的幅值及相位等参数。时 域测量方法是比较常用的测量方法。 时域分析通常包括以下部分： 1 】抗混叠低通滤波器。由低通滤波器滤除信号中高于截止频率的频率分 量，使得对信号进行采样时满足采样定理。 2 ) 同步回路。用于产生同步采样脉冲，由于系统频率经常变化，为保证 在被测信号的一个周期l 内等间隔 3 ) 采样点，s h 和a d 的启动脉冲z 必须能够跟踪系统频率f 的变 化，即实现同步采样，保证丘= 顺成立。为了跟踪系统频率的变化，采用锁 相倍频技术产生启动s h 和a d 的控制脉冲，其原理见图1 1 。 l 匿蕊卜 赢h 霜j 悝霖h 孺；七 1 。r 一一 n2 正7 l 。 jn 分频器l _ ， l j 图1 1 锁相倍频回路原理图 s ，h a ，d 同步信号经过检零回路变成方波进入鉴相器，同压控振荡器的输出信号 频率( 经过分频器) 的相位进行比较，得到一反映相位误差的输出信号，经 过低通滤波器变成近似的直流电压，用以控制压控振荡器的频率。压控振荡 器的输出信号送脉冲分配器产生双脉冲，分别去控制s h 和a d 。 4 ) 采样和保持( s h ) ，将连续的信号离散。 5 ) 模数转换器( a d ) ，将离散化的信号转换成数字序列。 6 ) 窗口形状单元，对采样值进行加权处理的一种特殊对称函数，如矩形 窗、汉明窗和汉宁窗等。 7 ) 快速傅立叶变换处理，完成傅立叶变换运算，计算出晶，矗系数。 8 ) 算术处理单元。由a h ，b h 计算出各次谐波的幅角和相角。 1 3 4 谐波测量仪器 对于被测的谐波信号按其波动变化的快慢以及特性，可以分为四类：准 稳态谐波、波动谐波、快速变化谐波、间歇波或其它杂波。 在测量不同性质的谐波时对测量仪器的技术要求不同，因此应该根据谐 波的不同性质选择不同的仪器测量。 1 】对准稳态谐波可以不用连续采样分析( 即无时间间隔的连续采样) 。 如对供电系统的谐波作长期监测，主要考察其热效应而不是谐波的“瞬时” 效应。 2 1 对波动谐波需要连续采样实时分析。如对电弧炉供电电压及电流谐波 的监测等。 3 】对快速变化谐波一定需要连续采样实时分析，而且要求仪器有较高的 准确度。如对大功率的轧钢机谐波电流的测量。 目前的测量仪器在硬件设计上基本可以满足上面的要求，而用不同的软 件即可适应不同的测量要求。因此，软件的分析方法对于测量仪器是很重要 的。 13 5 分析方法 传统的谐波分析方法一般都是将离散化的被测信号用经典的d f t ( 离散 傅立叶变换) 或f f t ( 快速傅立叶变换) 处理，获取信号各次谐波的幅值、频率 和相位。 这种谐波分析方法存在以下不足： 1 1 基于d f t ( 或f f t ) 的谐波分析方法从理论上说是要对周期信号进行 整周期采样。由于电网的频率是慢变的( 例如：电力部标准允许1 的波) ，所 以不经特殊处理，要实现对波形的整周期分析是不可实现的。若进行处理的 数据长度不为信号的整周期，将会产生频谱泄漏。 2 】同时，采用f f t 计算时，要求采样序列为基2 的长度，即2 ”。但有 时为了采用基1 0 的时基以方便计时，或者为了使采样能与g p s 时钟的1 0 k h z 信号同步，采用了1 0 0 u s 的时基。对于5 0 h z 信号而言，其每周信号采样序列 的长度为2 0 0 个点。这时尽管可以采用在序列后补o 的方法，使序列长度达 到2 5 6 来满足f f t 对序列长度基2 的要求，但有时会对信号谱产生较大的影 响。 3 ) 上述方法仅适用于存在整数次谐波的场合。由于d f t 对频谱的分辨 能力限制为2 x d v t ，k ( t 为采样周期，k = 0 ，1 ，n 一1 ) 的整数倍，所以无法 检测出k 为非整数的谐波。而且，由于非整次谐波的存在，该方法还会在整 数倍次谐波的频谱中引入误差。 4 ) 在时域采样点数一定的情况下，频率分辨率，= 五，要提高系统 的频率分辨力，就只有提高系统的采样频率，这样对硬件的要求增高，增加 了硬件的成本。 1 4 基于d s p 的电力谐波在线监测系统 1 4 1 系统构成与基本工作原理 考虑到电力谐波的重要性，需要在电力系统的关键节点上安装专门的装 置，以对电网谐波进行实时监测。为此研发了基于d s p 的电力谐波在线监测 系统，如图1 2 所示。图中m l 、m 2 、m n 等为监测终端，它们能对其各自所 在电力网节点的电力谐波进行2 4 小时不间断的实时监测、分析与记录，并按 要求通过网络将相关数据发往监控工作站。工作人员可以通过工作站上的各 种图表、曲线、分析报告等直观、准确、快捷地了解到整个电网谐波分布情 况，从而为谐波源的跟踪和治理提供依据。 4 电力网 工作站 图1 2 基于d s p 的电力谐波在线监测系统 图1 3 为监测终端原理框图。它实际是以双d s p 为核心构成的一个高速、 多通道、同步数据采集、分析系统。工作时，系统在周期脉冲( 来自g p s 、 其它装置或系统本身) 触发下实现对多通道待测电流、电压信号的同步采样。 d s p 然后对采样数据进行加工和处理。由于d s p 具有很强的数据处理能力， 所以能保证以极高的速度，完成对多通道采集数据的高精度实时谐波谱计算。 通过监测终端的分布联网，系统可实现大容量、高速度与高精度的电力谐波 在线实时监测与分析。 图1 3 监测终端原理图 1 4 2 处理单元 在检测终端硬件处理单元中，以t i 公司高速的t m s c 5 4 0 9 芯片为核心 构成d s p 系统。c 5 4 0 9 芯片是低功耗的1 6 位定点d s p , 具有先进的修正哈佛 结构( 1 条程序总线、3 条数据总线、4 条地址总线) 、专门硬件逻辑c p u 、 片内存储器、片内外设和专用的指令集，能够满足数据高速处理的要求，较 单片机而言，使系统在实时性方面有很大提高。 1 5 谐波分析算法 传统的d f t 或f f t 算法在谐波分析中存在一些不足之处。因此，我们在 电力谐波在线监测系统中增加了c h i r p z ( c z t ) 解谱算法，并针对不同的应用 提出了几种改进的c z t 算法以提高解谱速度。 c z t 算法是一种适合在指定频段上实现高分辨局部解谱的变换方法。它 可以在不改变时域采样率或时域采样序列长度的情况下，实现对信号在窄带 上的频域密集采样，从而得到精细的频谱结构。 另外一点需要提及的是，由于实际电力系统中工频信号频率是随时变化 的，其变化大约在o 1 到1 o 之间，所以如果采样频率固定，则每周采样 点数将不固定；而如果每周采样点数固定，则采样频率不固定。应当说，采 用定点或定频各有其优缺点。当采用固定采样频率时，由于时基固定，可以 省掉锁相环( 见1 3 3 2 时域测量方法) ，所以系统硬件结构简单。由于这 时可采用基l o 的时基，因此采样数据的时间标定直观，计算方便。但由于此 时每周采样点数不固定，也不能保证其j 下好为基2 的长度，如果采用f f t 算 法，将带来较大的误差。而c z t 算法对时域采样点数没有限制这一优点正好 满足采样点数不固定的要求。使用c z t 算法不需要对时域采样序列进行补0 处理，因此可以在一定程度上提高系统的精度。 1 6 本文的工作 本文是在参加“电力谐波在线监测系统”研究项目的基础上撰写的。本 人的主要工作是研究基于d s p 的、适合在线测量与实时谱分析的电力谐波快 速、精确解谱算法。 论文共分五章。第一章介绍有关的电力谐波的背景知识。第二章主要介 绍常用的谐波分析算法，重点介绍了能够实现高分辨局部频谱快速分析的基 于f f t 的c h i r p z 变换的原理及实现方法。第三章和第四章是本文的重点。 其中第三章主要讨论几种改进的c z t 算法，包括可以通过一次变换快速求解 电力系统三相电流谐波谱的实序列重组c z t 算法、能一次求解多段频谱的分 段调制c z t 算法、以及适合于实时在线分析的分段递推c z t 算法等。第四 章主要介绍c z t 算法在d s p 平台上的实现。最后在第五章简单讨论在研究 中遇到的问题及解决方法。 对c z t 及其改进算法的原理及实现方法的讨论是本文的重点。这些改进 算法的提出也是本文的创新所在。 参考文献： 【1 】g b t 1 4 5 4 9 9 3 ，公众电网谐波 s 【2 】劭建昂，吴为麟电能质景的谐波测量与分析 j 能源工程2 0 0 3 1 【3 】杜广宇，陈小桥，万中田锁相倍频和准同步采样法在谐波测量中的应用 j 武 汉大学学报2 0 0 i i 0 1 8 第二章常用分析算法 本章主要介绍离散傅立叶变换( d f t ) ，以及利用d f t 的性质使算法 得到简化和加速的快速傅立叶变换( f f t ) ，并介绍了时间抽选( d i t ) 基 2f f t 算法。在此基础上，重点介绍了能适用于任意长度序列，具有可调频 谱分辨率的线性调频z 变换( c z t ) 局部解谱算法，以及利用圆周卷积和 f f t 实现的布鲁斯坦( b l u e s t e i n ) 快速c z t 算法。 21 离散傅立叶变换( d f t ) 2 1 1 d f t 的定义 对一个给定的信号x ( f ) ，我们可以用众多的方法来描述它，如x ( o 的函 数表达式，通过傅立叶变换所得到的x ( f ) 的频谱，即x ( ，q ) ，再如z o ) 的 相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基 本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最 为密切，我们时时可以感受到它们的存在。正因为如此，时间和频率也成 了描述信号行为的两个最重要的物理量。 对于一个序列x ( 聆) ，其复频域变换就是如下的z 变换： xg )( 2 1 ) 如果x ( z ) 在单位圆上收敛，显然，该单位园上的z 变换就是序列的傅 立叶变换 x ( e 7 。) = j ( z l ，= x ( n ) e ” ( 2r 2 ) 在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的工作时，对信号的要求 是：在时域和频域都应是离散的，且都应是有限长的。由此，我们定义有 限长序列x ( n ) ，0 至肝n l ，我们可以得到离散傅立叶变换( d f t ) ： x 【k = x k ”】。一：d ，。 一l = x ( n ) e 1 2 “”0 k n 一1 月；0 1 9 定义为：耳0 = e 川“ 上式可写为： 一1 x ) = x ( ) 阡玄0 k n - 1 n = 0 ( 2 3 ) 2 1 2 d f t 的性质 2 1 2 1 线性 若一o ) ，x 2 0 ) 都是n 点序列，其d f t 分别是x t ( k ) ，x ：伍) ，则 d 刀 甜。0 ) + b x ：0 ) 】= a x 。 ) + b x ：o ) ( 2 4 ) 21 _ 2 2 正交性 令矩阵 k = 妒叫 矿。 矽。 形。 形。 矿1 矽2 矿o 2 4 矿o ”一1 w 2 ( u 1 ) o一1w 2 ( ”一” 形( 一1 x 一1 = 瞄( o ) x 0 1 ，x ( n 一1 ) 】7 h = 4 0 i x 0 ) , ，x ( n l 矿 则d f t 的正变换可写成矩阵形式，即 x = w n x 由于 峨 步有 y n - i ( k ：m 2 门 鲁10m n ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 所以峨和是正交的，即w n 是正交矩阵，d f t 是正交变换。进一 w i w n = n i 或w 寻= 葛w ； d f t 的反变换可表示为 ( 2 ，1o ) 腑 矿 眦 x 。= w i 、xn = 专w ；xn 2 1 2 ，3 移位性质 将n 点序列x o ) 左移或右移掰个抽样周期，则 d f r b 0 + 巩) 】= w 一“x ( k ) d 刀k 0 一r e ) i = w “x ( k ) 2 1 2 4 奇、偶、虚、实对称性质 1 ) 若x 0 ) 为复序列，其d f t 为x ( k ) ，则 脚k 0 ) j = x ( _ 七) 2 ) 若x 0 ) 为实序列，则 x + ) = x ( _ | 】 ) = 工( j v k ) 如( 七) = x 。( _ 女) = x r ( 一k ) 爿j ) = 一置( _ 七) = 一( 一k ) i x ( k 】= i x ( n k 】 a r g 防= 一a r g 防卜t ) 】 3 ) 若x 0 ) 为实序列，且工o ) = z ( 实序列。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 b ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) f 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) f 2 1 8 ) 九) ，即x 0 ) 为实偶序列，则x ( k ) 是 4 ) 若z ( n ) = x ( 一) ，即z 0 ) 为奇序列，则x ) 是纯虚序列。 2 1 2 5 p a r s e v a i 定理 阱万1 乞n - i k = o 2 卜0 】2 = ? 再乞防g 1 2 h 卸 f 2 1 9 ) 该定理反映了信号在一个域及其对应的变换域中的能量守恒原理。 2 1 2 6 时域循环卷积 令x 0 ) ， 0 ) ，y 0 ) 都是n 点序列，其d f t 分别是z ) ，片 ) ，y o ) ， 若 y 0 ) = x ( ”) o 0 ) 2 1 则 若 则 y 传) = 五 归 ) y o ) = x 0 如0 ) r ( ) = ( t ) h ( k ) ( 2 。2 0 ) ( 2 2 1 ) 2 | 2 快速傅立叶变换f f t 2 2 1 定义 对点序列z ( 撑) ，根据d f t 定义求点z ( k ) 需要2 次复数乘法及 n ( n 一1 ) 次复数加法。实现一次复数乘法需要四次实数乘法和两次实数加 法，实现一次复数加法则需要两次实数加法。当很大时，其计算量相当 火，将非常耗时，因此难以做到实时解谱。 其实，在d f t 运算中包含有大量的重复运算。利用因子的周期性和 对称性，可以推导出一个高效的快速算法一一快速傅立叶变换( f a s tf o u r i e r t r a n s f o r i l l ，f f t ) 。 f f t 算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的 变换。有两神分解的办法。第一种称为“时域抽选法( d e c i m a t i o n - i n - t i r r l e ， d i t ) 。这种方法是将输入的序列的奇数点和偶数点分别抽选出来组成两个 2 点序列进行d f t ，产生的中间结果再通过j v 2 次的2 点d f t 合成， 得到我们所需的输出结果。 第二种方法称为频域抽选法( d e c i m a t i o n i n 宜e q u e n c y , d i f ) 。同样也是 将序列分为两组。不同的是输入序列先成对的进行n 2 次2 点d f t ，然后 再进行2 个2 点的d f t 。这样可以直接生成输出序列的奇数和偶数部分。 2 2 2 时域抽选算法( d e c i m a t i o n i n - t i m e d i t ) 通过研究为2 的整数幂的序列，可以很方便的证明时域抽选算法的 原理。 因为为偶整数，所以我们可以将x ( 胛) 分解成两个n 2 点序列来计算 x ( k ) ，其中一个序列由z 0 ) 的偶数点组成，而另一个序列则由x 0 ) 的奇数 点组成。由于x 似) 可以写成： x ) = x 0 矽 k = o ，l 一- ，一l n - - - - o 将z 0 ) 分解为偶数点和奇数点，因此可得到： z 网= z ( 刚秽+ x ( 枷 用变量 = 2 r 代替偶数 t ，用变量 = 2 r + l 代替奇数”，有 生i! 一l x 嘲：芝x ( 2 r ) 暇“+ 芝x ( 2 r + 1 ) 孵“) t ，= 0r = o ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 譬一知 = 石( 2 r ) ( 孵) 水+ 嚼艺x ( 2 ，+ 1 ) ( 暇) “ ( 2 2 4 ) r - - 0r = 0 因为 嚼= e 。2 胁= e 。2 州2 = ，2 ( 2 2 5 ) 所以上式可以写作： ( n 1 2 ) l( 1 2 、1 】_ x ( 2 r ) 咄：十蝶e x ( 2 ，+ 1 ) 嚼： r = or = o = g 胡+ 孵h 【蜘 ( 2 2 6 ) 上式中的每一个和式可以看作是一个n 2 点的d f t ，第一个和式是原序列 偶数点的n 2 点d f t ，而第二个和式是原序列奇数点的n 2 点d f t 。若 n 2 为偶数，我们可以认为上式中每一个n 2 点的d f t 可以分解为2 个 n 4 点的d f t 来进行，然后再把它们组合在一起得到n 2 点的d f t 。 下面以8 点的d f t 为例说明时域抽选算法的抽选过程。 1 ) 按奇数点、偶数点将输入序列分为两个4 点的d f t 。 2 ) 对4 点d f t 又按奇偶分为两个2 点d f t 。于是，8 点的d f t 可以 分解为四个2 点的d f t 。 3 ) 将两点d f t 带入，可以得到8 点f f t 的完全流程图： x ( o ) x ( 4 ) x ( 2 ) x ( 6 ) x o ) x ( 5 ) 工f 3 ) x ( 7 ) 时问抽选8 点f f t 完全分解流程图 2 2 3 计算方法 22 3 1 蝶形单元 在上图中有大量如图2 2 所示的运算结构，由于该运算结构的几何形状 像蝴蝶，故称“蝶形运算单元”。 第m 级 件0 + ”7 2 图2 2 基本蝶形计算流程图 蝶形运算单元的输入输出可以表示为： 一+ 。陋】- 陋】+ 暇一【】 一+ 。 冈= 一 口 + 阡玄州”一 用 因为蹄蛩“= e - j ( 2 9 i n ) 2 = e ”= 一l 所以因子睇“”可以写成 w ? ”1 = w ：“w ；= - w ； 所以上式可以简化为： 一。 1 = 一【口卜暇甲， 】 根据这一点，图2 _ 2 的蝶形运算可以简化为以下形式 乘法而不是两次。 第m 一1 级 m 级 图2 3简化蝶形计算流程图 ( 22 7 ) ( 2 2 8 ) 它只需要一次复数 利用简化的蝶形流程图，可以得到简化的f f t 流程，特别的是，复数乘法 的次数已经比图2 1 所需的次数减少一半。 磁 x o 】 肖归 砟】 砩 x o 】 x 即 x 团 x p 】 图2 4 时间抽选8 点f f t 简化流程图 2 2 3 2 位反转 由上图可以看出，变换后的输出序列x ( k ) 依照正序排列，但输入序列 x ( n ) 的排列次序并不是原来的自然顺序。这正是由于将x ( n ) 按奇、偶分开 所产生的。因此，在进行f f t 计算时，在上面的蝶型运算单元之前要进行 位反转。 如果我们将x ( 聆) 的序号”= o ，1 ，n 一1 写成二进制，如n = 8 ，那么可以 看到： 时域序列 频域序列 图2 5 位反转示意图 2 2 4 用f f t 计算卷积 如果o ) 和也0 ) 都是非周期信号，长度分别为n 和m ，则卷积函数 的长度为工，l = n + m 一1 。 快速卷积的步骤如下： 1 l 将序列长度为的输入序列置0 ) 扩展为序列长度为上的序列 石。_ ) ，其中前n 个点为信号值，后面的均为零； 删= 防：篓：! ! ： 2 ) 将序列长度为n 的输入序列x ：0 ) 扩展为序列长度为l 的序列 z ：。o ) ，其中前m 个点为信号值，后面的均为零： = 3 】分别对两组序列求得其f f t ： 五。 t 】：f 刀“。0 ) ) x ：。肚卜f f t x ：。0 ) 0 珂m 一1 m 甩l 一1 町u 引筇 训卵卅”饥科埘研肌埘州州 叭 m 删 州 桷 桐 蚋 柏 蚋 删 4 l 将两组f f t 结果相乘： r k 】_ x t 明x 2 。阵】 5 ) 对乘积进行i f f t 就得到了所需的卷积结果。 y ( n ) = f f t y e k i 只要补零后的重复序列严格符合采样频率一半的带限要求，计算结果 就是正确的。补零并不会造成信息的丢失，只会使f f t 的输出间隔减小。 但是补零过多反而会使n 过大，降低速度，使得f f t 计算卷积并不比原先 直接卷积来得快。 2 3 线性调频z 变换 线性调频z 变换又称c h i r p z 变换，简称c z t ，是一种从时域到z 平 面的复变换。该变换因使用的系统脉冲响应函数为一个随时问线性增长的 复指数序列，与雷达脉冲压缩所使用的线性调频信号相似而得名。 2 3 1 定义 设x ( ”) 为信号采样序列，其长度为，其z 变换为： n - i x ( z t ) = 工( 九) - z i “n = 0 ，1 ，疗，n l ( 2 2 9 ) n - 0 其中z ；为z 平面采样点，k = 0 , 1 ，k ，m l 。 如果沿z 平面上一段螺线作等分角采样如图2 6 所示，采样点 z = a w ，则这种变换就称作线性调频z 变换( c h i r p zt r a n s f o r m ，c z 1 1 ) ： x ( z 。) = x 0 ) z 一= x 如域1 ( 2 3 0 ) ： 矮 l 1 l 薪。缪 1 螺线向外延伸， 0 表示采样路径逆时针旋转，妒 0 表示采样路径顺时针 旋转。 如果取心= 1 ，= 1 ，即表示采样处在z 平面的单位圆上a 这时有： 2 t = 4 - w 一 = 4 e ”- ( w o e 9 ) “ 2 e j 日p j 一 ：b 加+ 社) ( 2 3 3 ) 下面为简单起见，将x ( z 。) 标记为x ( k ) 。于是( 2 3 0 ) 式可以写为： x ( ) = x ( n ) - g 州“舯 ( 2 3 4 ) 如果此时进一步有口= 0 ，p = 等，则4 = b j 坚n 。，表示采样点均匀分布在 整个单位圆上。此时( 2 3 4 ) 式变成 础) ：窆出沁1 争 序列x ( n ) 的c z t 就成了该序列的离散傅里叶变换( d f t ) 。因此可以认为， 离散傅里叶变换实际上只是c z t 的一种特例。 在电力谐波谱计算中，通常取乓= 1 ，w o = 1 ，即采样处在z 平面的单 位圆上。 2 3 2 基于f f t 的布鲁斯坦( b l u e s t e i n ) c z t 快速算法 按( 2 3 0 ) 式直接计算c z t ，其计算量与直接计算d f t 相似，需要n m 次复数乘法和( n 一1 ) m 次复数加法。当和肘都很大时，计算会相当费 时。为加快计算速度，可采用b l u e s t e i n 等式： n k = 妄【t 2 + ”2 一( 女n ) 2 】( 2 3 5 ) 上 将( 2 3 5 ) 式代入( 2 3 4 ) 式有： x ( ) = x ( n ) - a - “w “ 令 则有： g ( 肛) = x ( n ) 爿一”w 2 自( ) = w 2 r 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) g ( 七) t ( | 】 ) = g ( n ) h ( k 一丸) n = 0 n - 1 ”2( t 一 ) 2 = x 4 一”了r ( 2 ，3 9 ) 于是c z t 可以写成： 竺 x ( 丘) = 矽2g ( k ) + 矗( 女) = w2 _ y ( 七) ( 2 4 0 ) h一女一n+i 矿 n一 4 ) 胛 ( 工 m 一一 式中y ( k ) = g ( k ) + h ( k ) 表示序列g ( k ) 与h ( k ) 的时域圆周卷积。由于时域卷 积可以映射为频域的点积，因此( 2 4 0 ) 式中的y ( k ) 可以通过f f t 来快速 计算： y ( 七) = i f f t f f t g ( k )