（机械设计及理论专业论文）金属成形过程无网格模拟方法研究.pdf

摘要 摘要 金属成形技术在金属零件的制造过程中起着十分重要的作用。它不仅具有生 产效率高、产品质量稳定、原材料消耗少的优点，而且还可以有效地改善工件的 组织性能。随着计算机技术的发展和数值计算方法的日益完善，应用有限元法己 在模拟金属塑性成形过程中取得了广泛的应用。它对于预测各种过程参数对金属 流动的影响，减少试模次数，缩短模具设计周期，降低产品成本具有重大意义。 金属成形过程是一个复杂的物理过程，涉及到几何非线性、物理非线性和接 触非线性。由于有限元法是种基于网格的数值方法，当工件变形到一定程度时， 有限元网格将产生畸变现象，此时必须对畸变网格进行网格重划分。而网格重划 分不仅耗时、计算精度受损，而且对于三维网格重划分技术至今仍是个世界性难 题。当网格变形达到一定程度时，甚至导致计算无法进行下去。此时，这种基于网 格的有限元方法面临着一些难以处理的问题。 无网格方法作为一种较为新颖的数值方法，经过十余年的发展，已经逐渐应 用于金属成形过程的模拟，并且取得了一定的成果。无网格方法基于离散节点的 近似，避免了有限元方法对于网格的依赖，在涉及到网格畸变的大变形问题分析 中具有一定的优势，并且在数据准备和后处理方面也比有限元方法灵活简单。 无网格法的种类十分繁多，它们之间的区别主要在于使用的试函数和微分方 程等效形式的不同。但它们都有着的共同特点：建立近似函数时不需要借助网格， 而是基于函数逼近近似而非插值特性。本文根据金属成形过程中的大变形的特点， 采用了无网格再生核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，r k p m ) 来模拟分 析。r k p m 方法通过引入校正函数和具有紧支域的光滑连续核函数并借鉴小波分 析中的多尺度分析技术，使其消除了无网格光滑质点流体动力学方法( s m o o t h e d p a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) 中所谓的弹性不稳定( t e n s i l ei n s t a b i l i t y ) ，而且具有 其他无网格方法不具备的优点：变时一频特性和多分辨率。 本文根据金属成形仿真过程中有限元分析方法的局限性，把无网格方法引入 到金属成形仿真过程中，根据金属成形过程的大变性特性，把刚塑性理论和无网 格再生核质点分析方法相结合，分析研究了刚塑性无网格方法的分析体系，并探 讨研究了金属成形无网格法模拟分析过程中关键问题的处理。最后分别用无网格 广东工业大学工学硕士论文 法与传统有限元方法来模拟圆环镦粗数值算例，通过最后两种方法的计算结果相 比较，验证出了无网格方法在金属成形模拟分析过程中的可行性及其优越性。 关键词：金属成形；无网格法；有限元法；数值模拟；刚塑性；再生核质点法( r k p m ) a b s t r a c t a b s t r a c t t h e t e c h n o l o g y o fm e t a l f o r m i n gp r o e e s sp l a y s a n i m p o r t a n t r o l ei n m a n u f a c t u r i n gm a c h i n ep a r t i t sa d v a n t a g e sa r en o to n l yi ni t sh i g hp r o d u c t i v i t y ， s t a b l eq u a l i t y ，l o wc o s to fr a wa n dp r o c e s s e dm a t e r i a l s ，b u ta l s oi ni t sc h a r a c t e r i s t i e s o fi m p r o v i n gt h em i c r o s t r u c t u r ep e r f o r m a n c ed r a m a t i c a l l y w i t ht h ed e v e l o p m e n to f c o m p u t e rt e c h n o l o g ya n dc o m p u t a t i o n a lm e t h o d s ，t h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) g a i n e dg r e a ta c h i e v e m e n ta n di sa p p l i e dw i l d l y i nm e t a lf o r m i n gp r o e e s s i n g i ti sa s i g n i f i c a n i c et od o p i n go u tt h ei n f l u e n c eo fm a n yk i n d so fp r o c e s s e dp a r a m e t e r so n m e t a lf l o w ，d e c r e a s et h et i m e so ft e s t i n gm o d e l ，r e d u c et h em o d e ld e s i g nc y c l e s ，c u t d o w nt h ep r o d u c tc o s t t h em e t a lf o r m i n gi sav e r yc o m p l e xp h y s i c a lp r o c e s s ，i n c l u d i n gn o n l i n e a r g e o m e t r y ，p h y s i c a la n dc o n t a c te t c b u tt h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o di san u m e r i c a l m e t h o db a s e do nm e s h w h e nt h ew o r k l ： i e c eh a sal a r g ef o r m i n g ，t h em e s hw i l lb e d i s t o r t e d r e m e s hp r o c e s sf o rt h ed i s t o r t e dm e s hi sn e c e s s a r yi no r d e rt oc o n t i n u et h e s i m u l a t i o n r e m e s hp r o c e s si sn o to n l yav e r yt i m ec o n s u m i n gp r o c e s s b u ta l s om a k e s t h ec o m p u t a t i o na c c u r a c yl o s t i ti sa l s oav e r yd i f f i c u l tp r o b l e me s p e c i a l l yt ot h r e e d i m e n s i o n sr e m e s ht e c h n i q u e i ft h em e s hi sd i s t o r t e ds e r i o u s l y ，t h ec o m p u t a t i o n p r o c e s se v e n c a nn o tb ec o n t i n u e d a tt h i st i m e ，t h ef e m b a s e do nm e s hw i l lb ef a c e d w i t hs o m ep r o p l e m sw h i c hi sd i f f i c u l tt od e a lw i t h an e wn u m e r i c a lm e t h o d - - - m e s h l e s sm e t h o dw h i c hu n d e r g o so n l ym o r et h e nt e n y e a r sd e v e l o p m e n th a sb e e ng r a d u a l l ya p p l i e di nm e t a lf o r m i n gp r o e e s s i n ga n da l s o g e t saf e wa c h i e v e m e n t m e s h l e s hm e t h o da p p r o x i m a t eb a s e do nd i s c r e t en o d e s ，s oi t c a na v o i dt od e p e n d i n go nt h em e s hl i k ef e m w h e nw es o l v et h el a r g ef o r m i n g p r o b l e mw i t hd i s t o r t e dm e s hs e r i o u s l y ，i tw i l ls h o wa d v a n t a g e i ti s a l s oa g i l e ra n d s i m p l e rt h a nf e md u r i n gp r e p a r i n gd a t ea n dp o s t p r o c e s s e r t h ek i n do fm e s h l e s sm e t h o di sv a r i o u s t h ep r i m a r yd i f f e r e n to ft h e mi st h a t t h e ya d o p td i f f e r e n ta p p r o x i m a t ef u n c t i o n sa n dd i f f e r e n tw a y so fe q u i v a l e n ti n t e g r a li n d i f f e r e n t i a l 、c o e f f i c i e n tf u c t i o n s b u tt h e ya r ea l s om a n yc o m m o n ：e s t a b l i s h i n g a p p r o x i m a t ef u n c t i o nw i t hn om e s h ，b a s i e do na p p r o a c hf u c t i o nb u ti n s e r tr u c t i o n i n 1 1 1 广东工业大学工学硕士论文 t h i sp a p e rr k p mi s a p p l i e di nm e t a l l a r g ef o r m i n gp r o e e s s r k p mc o n m a i n s e m e n d a t i o nf u c t i o na n ds m o o t h e dc o n t i n u u mk e r n e lr u c t i o nw i t hc o m p a c t l ya r e a sa n d b o r r o w e dt h em u l t is c a l e t e c h n o l o g yf o r mw a v e l e t s s oi t r e m o v et h et e n s i l e i n s t a b i l i t yi ns p ha n dh a sa d v a n t a g ew h i c ho t h e rm e t h o d sd on o th a v e ：c h a n g e a b l e c h a r a c t e r i s t i co ft i m e f r e q u e n c ya n dal a r g en u m b e ro fp i x e l s t od e a lw i t ht h ep r o p l e mw h e ns i m u l a t i n gm e t a ll a r g ef o r m i n g p r o e e s sw i t hf e m ， ar i g i d p l a s t i cm e s h l e s sm e t h o di s i n t r o d u c e dt ot h e s i m u l a t i n gp r o c e s si nt h i s p a p e r a n daa n a l y s i ss y s t e mb a s e do nr i g i dp l a s t i cm e s h l e s sm e t h o di sa l s od e d u c e d s o m ec a r i t i c a lp r o b l e mh a sb e e nd i s c u s s e d a tt h ee n dan u m e r c i a le x a m p l e ss o l v e d w i t ht h et w om e t h o d sp r o v e dt h a tm e s h l e s sm e t h o di sae f f i c i e n c ym e t h o da n di tc a n d e a lw i t ht h ep r o b l e mi nm e t a ll a r g ef o r m i n gp r o c e s s i n gw e l l k e yw o r d s ：m e t a lf o r m i n gp r o e e s s ；m e s h l e s sm e t h o d ；f e m ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ； r i g i dp l a s t i c ；r k p m 广东工业大学工学硕士学位论文 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个 人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中 特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，不包含本人或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得 的，论文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 5 4 论文作者签字： 指导教师签字： 五。驴年6 月弓e t 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 金属成形过程也通常指金属的塑性成形过程，它是指金属坯料在一定的工模 具外力作用下发生塑性变形，并被加工成棒材、板材、管材以及各种机器零件、 构件或日用器具的一种少、无切削的金属加工方法。它不仅具有生产效率高、产 品质量稳定、原材料消耗少的优点，而且还可以有效的改善金属坯料内部的组织 结构，提高金属坯料的性能和质量，因而被广泛的应用于机械、电子电器、航空 航天、船舶、兵器等工业生产部f - j 【1 1 。 目前，金属成形工艺和模具设计主要依据经验数据和简单的理论计算。当今 激烈的市场竞争使得产品的更新更加频繁，开发的周期越来越短，使用的新材料 更难以加工，且需要精密塑性体积成形的锻件形状更加复杂，而允许用于进行实 验研究的时间被大大的缩短。如果采用传统的设计方法，金属塑性成形工艺和模 具设计的质量和周期均难以得到保证。因此，需要采用有效的研究方法和手段对 上述问题进行系统和精确地分析。近几十年来，随着计算机技术的迅速发展和数 值计算方法的日益完善，有限元数值模拟技术在塑性加工中的应用蓬勃发展，应 用范围也越来越广。从板料成形到体积成形，从正向模拟对成形结果的预测到反 向模拟对预成形件的设计，从同时考虑变形和热传导的热力祸合分析到对工件微 观组织的预测，都显示了该技术在塑性加工领域中的重要地位和作用。从塑性有 限元模拟技术的发展看，它己经走出了单纯为理论分析而进行模拟的探索阶段， 成为金属塑性成形问题中广泛应用的数值分析方法【2 】。 但由于有限元法对工件的分析过程中都要进行网格划分，当工件的变形很大 时就会出现网格畸变和网格移动的现象，这时就避免不了对畸变网格进行再划分， 虽然二维问题中的网格再划分技术取得了较大的进展，但网格再划分过程不仅耗 时也给计算精度带来了很大的损失【3 1 。与基于网格的数值方法相比，只需节点信 息就可建立离散方程的无网格方法，在模拟金属大变形问题时可以彻底或者部分 的消除网格，前处理简单，对于大变形问题可以完全抛开网格重构，在数值计算 中有独特的优点。所以把无网格方法引入到金属精密塑性体积成形过程中对解决 广东工业大学工学硕士学位论文 有限元方法模拟时遇到的网格重构问题将变的很有意义。研究材料特性、变形速 度、温度、摩擦条件、坯料形状及尺寸、模具形状等因素对成形过程的影响；获 得各变形阶段的金属流动规律以及工件内部的应力、应变和温度分析；分析微观 结构的变化；预测缺陷的生成和扩展等。为塑性加工过程中工艺参数的优化、工 件精度的控制和模具c a d c a m 提供可靠的分析数据，促进精密塑性成形技术的 发展。 1 2 无网格法的国内外研究现状 无网格法 4 1 的研究始于2 0 世纪7 0 年代针对不规则网格的有限插分法的研究。 1 9 7 7 年，l u c y 和g i n g o l d 等人分别提出了光滑质点流体动力学( s m o o t h e dp a r t i c l e h y d r o d y n a m i c ss p h ) 方法，在s p h 方法中，引入节点星的概念，应用每一个星所 包含的节点个数及位置信息，通过星中心点处的局部泰勒展开式来构造星的局部 近似场函数，这一方法被广泛应用于计算物理以及天体领域的星球运动及星球间 碰撞的模拟。人们常常把s p h 作为无网格技术的最初成功应用 5 1 。 l a n c a s t e 和s a l k a u s k a s l 6 1 在研究曲面插值时，通过引入移动最d x - - 乘法插值思 想和具有奇异性的权函数，将标准最小二乘法插值进行推广，提出了移动最d x - - 乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d ，m l s ) 。但是直到进入2 0 世纪，移动最小二乘法 才被应用于边值问题的求解。n a y r o l e s 等1 7 1 将移动最d x - - 乘法应用于边值问题的 求解，提出了散射单元法( d e m ) 。在他的方法中，节点虽可以像有限元法一样进 行布置，但其采用了最小二乘法来建立试函数而不是基于单元的形函数；由于其 区域积分上的困难，美国西北大学的k r o n g a u z 和b e l y t s c h k o 【8 1 提出了改进了的 d e m 法。b e l y t s c h k o f 9 】在l a n c a s t e r 、s a l k a u s k a s 和n a y r o l e s 等人的基础上进行了 三点改进： ( 1 ) 在计算形函数导数时保留了被n a y r o l e s 忽略的所有项； ( 2 ) 采用高阶高斯积分完成区域积分； ( 3 ) 引入l a g r a n g i a n 乘子法施加本质边界条件。 从而提出了无单元伽辽金方法( e f g ) ，掀起了无网格法的研究高潮。这类方 法比s p h 方法计算费用高，但具有较好的稳定性。 l i u 等m 1 基于再生核( r e p r o d u c i n gk e m e l ) 函数及小波变换理论提出了另一种 类型的无网格法，这一技术被称为再生核质点法( r k p m ) ，该方法允许使用形函数 2 第一章绪论 通过核函数变换的方法从而达到积分的目的。在研究问题域内利用尺寸因子可以 改变核函数的大小，因此它可以满足类似有限元方法中的确定单元和单元重划的 需要。接着他利用小波分析的伸缩尺度平移，多分辨率等特点，提出了多尺度再 生核质点法( m s r k p m ) 矛i 小波质点法( w p m ) ，并实现了该方法的自适应分析。 1 9 9 5 年美国t e x a s 大学的o d e n 和d u a a e “1 2 l 提出了基于云团概念的 h p c l o u d s 无单元法( h p c m ) ，该方法利用最小二乘原理建立单元分解函数，进行 场量的近似表达，再通过g a l e r k i n 变分，建立离散数学模型，这种方法适合进行 自适应分析，波兰学者l i s z k a 等提出了h p 无网格云团法( h p m c m ) ，不同于h p c m 之处是它采用的是配点形式，无需背景网格作为积分域，是一种纯无网格的方法， 其主要思想是借助二阶泰勒展开级数表述场量近似和m l s m ，并对应用力学问题 进行了研究。 1 9 9 5 年美国的b a b u s k a 和m e l e n k h 】提出了单位分解法( p u m ) 。其基本思想 是应用具有单位分解的形函数将局部定义的近似解相互连接，构造出主题场函数 的近似解。 1 9 9 6 年西班牙数值分析中心的o n a t 和i d e l s o h n 等【1 5 】提出了有限点法( f p m ) ， 该法采用基于高斯权函数带权正交最小二乘法插值函数，应用配点法，把控制方 程离散成非积分的形式，再结合广义有限差分法，成功地解决了扩散对流问题。 a t l u r i 及z h u 1 4 】在局部边界积分方程( l b i e ) 的基础上，采用微分方程的局部 对称弱形式，运用移动最小二乘法构造局部域上的试函数和权函数，把在全求解 域上的g a l e r k i n 方程简化为在各子域上的局部g a l e r k i n 方程进行求解，从而导出 了不用网格的一种新无网格法一无网格局部伽辽金法( m l p g m ) 。这一方法可看作 是一种特殊形式的子域法。该法与d e m ，e f g 的主要区别在于采用了局部对称 积分形式，使得数值积分在子域上完成，而后两者在全域上进行数值积分。但该 法在数值积分时仍需积分网格，且导出的总体方程系数为非对称矩阵。 国内对无网格法的研究始于1 9 9 5 年，特别是近几年，其发展势头强劲，受国 家自然科学基金的资助，许多专家和学者纷纷对无网格法展开研究，并取得了不 小的成果。1 9 9 5 年，清华大学的周维亘教授对无网格法进行了基本理论阐述，并 结合数值流形法进行了断裂力学的应用研究，在国内首次将其应用于岩土工程问 题中；寇晓东，周维亘结合“九五 科技攻关项目，对无网格法的基本理论及无 广东工业大学工学硕士学位论文 网格法实现追踪开裂的方法进行了较为详细深入的研究，利用无网格法便于追踪 结构的特点，提出了一种拱坝三维开裂分析的近似方法。清华大学工程力学的陆 明万和张雄等于1 9 9 6 年开始研究无网格法。由国家自然科学基金资助，取得了许 多的研究成果。刘欣、朱德惫对无网格法进行了较为深入的研究，提出了一种按 四象限法则来确定覆盖大小的方法，并对边界奇异项半解析无网格法进行了初步 探讨，提出了流形覆盖思想的无网格法。庞作会，葛修润等对无网格伽辽金法进 行了改进和推广研究，将该法用于边坡开挖问题，所得的结果和f e m 计算结果 十分接近，这说明e f g 求解边坡开挖问题是可行的；他们还进行了涉及一些接触 问题的研究。湖南大学的龙述尧受国家自然科学基金资助对无网格局部边界积分 方程方法进行了研究，提出了弹性力学平面问题的局部p e t r o v g a l e r k i n 方法，该 方法可以推广到求解非线性问题及非均匀介质的力学问题中去，计算结果证明该 方法是一种具有收敛快、精度高、简便有效的通用方法，在工程中具有广阔的应 用前景。孟闻远，卓家寿对无网格法进行了评述。陈建，吴林志等采用无网格法 计算了含边沿裂纹功能梯度材料板的应力强度因子。张湘伟，蔡永昌【5 】提出了一 种改进的无网格法，它通过采用s h e p a r d 形函数( 0 阶m l s 形函数) 对节点的覆盖 位移加权求和来简化整体近似位移函数的构造，且能避免e f g 求解节点形函数时 矩阵求逆及相乘计算，数值算例表明，这种改进的方法收敛快，精度高，与标准 的e f g 相比其计算时间大幅度减少。清华大学的陆万明等学者则进行了小波伽辽 金方法方面的研究，该法是利用小波级数作为场量的近似被动，通过g a l e r k i n 变 分对偏微分方程进行数值离散，它在处理局部化现象和发展型方程的自适应分析 方面具有特殊的优越性【1 6 】。 目前已经提出了近二十种无网格方法【4 】，它们之间的区别主要在于使用的试 函数和微分方程等效形式的不同。它们的共同特点是：建立近似函数时不需要借助 网格，基于函数逼近近似而非插值，这也是无网格方和有限元法之间的主要区别。 采用定义在离散点上具有紧支特性的函数来构造近似函数，而不用定义在全域上 的级数展开形式这是无网格法与经典加权余量法主要区别。 无网格具有以下优点： ( 1 ) 无网格法近似函数没有网格依赖性，减少了因网格畸变而引起的求解难， 适用于处理大变形和需要动态调整节点位置的各类应用问题： 4 第一章绪论 ( 2 ) 无网格法的基函数可以包含能够反映待求问题特性的函数系列，适用各类 具有高梯度、奇异性等特殊性质的应用问题； ( 3 ) 采用紧支函数的无网格法和有限元方法一样具有带状系数矩阵的特点，适 用于求解大型科学与工程问题； ( 4 ) 无网格方法可以方便进行自适应分析； ( 5 ) 无网格方法的前处理方便，只需要处理节点信息，计算结果光滑连续，不 必进行应力光顺化等处理。 1 3 无网格方法在塑性成形过程模拟中的应用现状 无网格方法经过二十余年的发展，开始应用于各种工程领域，其中在塑性成 形领域中取得了一定的进展。c h e n 等【1 6 】利用r k p m 法建立了满足一致性条件的 形函数，基于变分原理的l a g r a n g i a n 离散形式和理想塑性材料假设，模拟了环压、 冷墩粗及圆坯的延伸等金属成形过程。b o n e t 1 7 1 等s p h 法的缺点，通过对核函数 进行修正以满足一致性条件，利用罚函数法施加本质边界条件，将s p h 法用于理 想塑性材料的平面应变墩粗和锻造等金属成形过程。l i 等 1 8 1 对金属成形过程的接 触问题提出了新的算法，分析了非线性问题中高斯积分和节点积分的缺陷，提出 了“应力点积分，并用e f g 方法模拟了弹塑性材料的平面应变墩粗过程和挤压 过程。x i o n g 等【1 9 1 采用r k p m 方法模拟求解刚塑性微压缩材料的轧制过程，并将 计算结果与刚塑性有限元结果和实验数据比较，验证了r k p m 法用于刚塑性可压 缩材料的可行性。g u o 等 2 0 1 采用无网格配点法对刚塑性微压缩材料的平面应变徽 粗和反挤压过程进行了分析。a l f a r o 2 1 】等采用a sh a p e 自然单元法对于金属塑性 成形过程进行了分析，进而对于三维反向挤压进行了分析。娄路亮【2 2 】阅将e f g 方法用于模拟金属嫩粗过程，显示了无网格方法在解决需要网格重划的大变形问 题上的优越性。赵国群 2 3 1 等基于刚塑性材料假设，采用变换法施加本质边界条件， 反正切摩擦力模型处理摩擦力边界条件对典型墩粗过程进行了分析。卿启湘 2 4 1 以 棒材通过锥形模的拉拔成形为例，对拉拔过程进行了e f g 数值模拟李长生【2 5 】等 利用s p h 法分析了平面应变情况下微压缩材料的金属塑性变形问题，利用不同的 研究域的附加节点方法得到了应变速率场和应力场的分布。崔青玲【2 6 】等采用再生 核质点法模拟了金属墩粗过程、三维稳态板坯立轧过程、平板轧制过程。综上所 述，在塑性成形过程的无网格模拟中常用的近似方案主要有核函数近似及再生核 广东工业大学工学硕七学位论文 质点近似、移动最小二乘近似、以及自然临近插值近似。材料模型主要有弹塑性 材料、刚塑性材料以及微压缩材料三种假设。另外，微分方程的离散方案主要有 伽辽金法、配点法以及最小二乘法 3 1 。 1 4 论文的研究思路 本论文首先通过详细论述无网格法的基本原理，在当前国内外学者有关该方 法研究的基础上，结合金属成形仿真过程中有限元分析方法的局限性，把无网格 方法引入到金属成形仿真过程中。根据金属成形过程的大变性特性，把刚塑性力 学基本理论和无网格再生核质点分析方法相结合，推导了刚塑性无网格方法的分 析体系，并研究探讨了金属成形过程分析体系中关键问题的处理。通过数值算例 的计算结果与传统的有限元方法相比较，验证该方法的有效性和优越性。 1 5 本文的研究内容 本论文的主要研究工作有以下几点： ( 1 ) 对无网格法的基本理论进行全面论述。系统研究了其近似场函数的构造 方法以及总体控制方程的形成过程。 ( 2 ) 对无网格再生核质点法的理论作了详细的阐述推导。从紧支近似函数的 构造、离散方案的确定、权函数的选取、数值积分方法的确定以及边界条件的处 理等方面对现有无网格法进行系统地阐述与分析。 ( 3 ) 利用罚函数法满足本质边界条件，即在能量泛函中添加速度边晃惩罚项， 得到刚塑性可压缩材料体积成形的r k p m 控制方程，建立了基于刚塑性模型的再 生核质点法。 ( 4 ) 对金属成形仿真过程中遇到的关键技术作了全面的分析；重点讨论了金 属塑性成形过程中过程中的动态边界的处理、初边值条件的处理、速度场的迭代 收敛控制方法等问题。最后以圆环墩粗数值算例分别用有限元和无网格法来求解 计算，并对两种计算结果加以比较。 6 第二章无网格法的基本理论 第二章无网格法的基本理论 2 1 引言 有限元法是基于网格的数值方法。它在分析涉及特大变形( 如加工成形、高速 碰撞、流固祸合) 、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难，同时，复杂 二维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。近年来，无网格法1 2 0 1 得到了 迅速发展受到了国际计算力学界的高度重视。不同于有限元法，无网格法的近似 函数是建立在一系列离散点( 节点) 上的，不需要借助于网格，克服了有限元法 对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。同时 无网格法的前处理过程也比有限元法更为简单。图2 1 给出了有限元法和无网格 法基本思想的区别。 ( a ) 有限元法 ( b ) 无阿格法 ( a ) f i n i t ee l e m e n tm e t h o d( b ) m e s h l e s sm e t h o d 图2 1 有限元法和无网格法的区别 f i g u r e 2 - 1t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nf e ma n dm m 本章系统论述了现有各种无网格法的基木格式，阐明了无网格法相对于其它 数值方法的特点。 2 2 无网格法的基本知识 无网格法的研究主要包含以下几个方面的内容：紧支近似函数的构造、离散 方案的确定、权函数的选取、数值积分方法的确定、边界条件的处理等。下面将 分别对其进行介绍 2 7 1 。 2 2 1 紧支近似函数 2 2 1 1 光滑粒子动力学( s p h ) 近似 光滑粒子动力学( s p h ) 近似是最早的一种无网格近似。它在积分域上的近 广东工业大学工学硕士学位论文 似函数为 “( x ) = l w ( x 一；) “( ；) d f z ( 2 1 ) 式中，材6 ( x ) 表示位移近似函数；w ( x x i ) 为权函数或核函数；x 和x 为计算 域中任意两点的坐标；h 是权函数影响域尺寸。式( 2 1 ) 是s p h 近似的积分形式， 在数值计算中，需要将其离散化为 豁6 ( x ) = w ( x - - x ，a v , ( 2 2 ) 1 = 1 式中，为为计算域中节点，的坐标；n 为点影响域中的节点数目；a v , 为节 点，权函数影响域的度量( 一维时表示距离，二维时表示面积) ；u ，为计算域中 节点，的位移。式( 2 2 ) 可改写为 “( x j 2 e ，：。n d ( x ) 甜，( 2 3 ) 式( 2 3 ) 中位移近似函数的表达形式与有限元近似函数相似，其中 ，( x ) = w ( x x i ) 厶k 称为形函数。 2 2 1 2 再生核( r k ) 近似 l i u 等在s p h 近似的基础上，通过式( 2 1 ) 增加修正函数，提出了再生核( r k ) 近似，确保了有限积分的一致收敛性，并提出了再生核质点方法( r k p m ) ，成功 解决了许多领域如固体力学、结构力学等方面的问题。此修正函数改善了s p h 近 似在边界附近的线性一致收敛性。用修正函数表示的积分形式为 “( x ) = l c ( z ，；) 吣一；) 甜( x ) a a ( 2 4 ) 式中，c ( x ，x ) 为修正函数；h 是权函数影响域尺寸。修正函数可以通过令式 ( 2 4 ) 满足一致性条件来求得。l i u 等建议将修正函数取为多项式基函数的线性组 合，即 c ( x ，曲= b 2p ( x - x ) ( 2 5 ) 式中，p 为多项式基函数向量，6 ( x ) = 【6 l ( x ) ，如( x ) ，( x ) r 为相应的系数向 量，它可由s p h 近似的重构条件求出。 第二章无网格法的基本理论 将式( 2 4 ) 的积分方程离散化，u ( x ) 可以用周围粒子的近似表示为 u h ( x ) = c ( x ，_ ) w ( z 一为h k = ，( x ) u l ( 2 6 ) 此处，0 ) 是r k p m 的形函数 ，( x ) = c ( x ，x 1 ) w ( x x ，) 圪 ( 2 7 ) 2 2 1 3 移动最小二乘( m l s ) 近似 在s p h 方法中，s w e g l e 等曾指出，当采用b 样条函数或者高斯函数，不仅 在自由边界附近计算精度比较低，发生拉应力不稳现象，还会出现压缩失稳现象。 所以，b e l y t s c h k o 等提出了基于移动最d , - 乘( m l s ) 的近似函数 u h ( x ) = m ( x ) u l = ( x ) “ ( 2 8 ) ，= 1 式中，n ( x ) 是形函数 n ( x ) = p ( x ) 2a 。1 ( x ) b ( x ) ( 2 9 ) 式中， a = p 7 w ( x ) p ( 2 9 a ) b = p 7 形( x ) ( 2 9 b ) 式( 2 9 ) 中，p 是由基函数向量p 构成的矩阵，w ( x ) 是由权函数构成的矩阵。 对于m l s 近似的过程，将在第四章中作具体介绍。不难看出，这里的形函 数是受权函数和基函数的影响的，因此，只要选定适当的基函数和权函数，即可 对问题进行求解。 2 2 1 4 单位分解( p u ) 近似 基于m l s 近似，d u a r t e 等提出了新的近似函数，称为单位分解近似。其近 似函数表达式为 棚 缸“( x ) = m ( x ) 【”，+ 匆，吼( x ) ( 2 1 0 ) 式中，等号右端括号内第二项b i l q 。( x ) 为附加项；q ，( x ) 称为附加基，可以 是一个任意大于k 阶的基函数；m 为附加基的项数。它的加入是为了改善运算和 加速收敛。是附加项的系数。 9 广东t 业大学工学硕士学位论文 在此基础上，p u 近似还有一种改进形式 甜6 ( x ) = 5 qn 1 甜，+ ? 岛，吼( x ) ( 2 11 ) ，= l= 1t = l 这里，k 为形函数的阶数，吼( x ) 仅仅是一个加速函数。一般地，z ：r 6 。 2 2 2 离散原理 加权残量法是求解偏微分方程的一种有效方法，也是无网格法离散思想的基 础。 考虑弹性力学问题： 仃 + 屯= o 在域q 内 巧o n j = ；t 在边界r ，上 ( 2 1 2 ) “，= “， 在边界r 。上 其中屯为体力矢量，乃为边界r ，上的外法线单位矢量，t t 为边界r ，上的指定 面力矢量，虿为边界r 。上的指定位移矢量，为应力张量，甜，为位移矢量。用于 求解控制方程( 2 1 2 ) 的加权残量方程为 l v ，( 仃扩，+ 屯) d q + r ，1 ；：( 仃扩_ 一；t ) d r + r 。i ，( “，一一u ；d f = o ( 2 3 ) 式中m ，t 和虿为权函数。将前面讨论的近似函数( x ) = 甜? ( x ) 代入加权残量 方程( 2 1 3 ) 中，并选用不同的权函数即可得到不同的无网格方法。 2 2 2 1 迦辽金( g a l e r k i n ) 法 在g a l e r k i n 法中权函数和近似函数取自同一函数空间，即式( 2 1 3 ) o e 权函数取 为 v l ( x ) ：兰m ( x ) ，v a ( x ) ：一哆( x ) ，；，( x ) ：o ( 2 1 4 a ) 在许多情况下，由g a l e r k i n 法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，且计算 精度比较高，许多无网格法都采用g a l e r k i n 法来建立求解方程，如无网格迦辽金 法( e f g m ) 、单位分解法( p u m ) 、h p 云团法等都是基于g a l e r k i n 法的。 但其需要布置背景网格进行数值积分。无网格近似函数一般不是多项式，为 了保证精度必须使用较高阶的高斯积分，因此计算量比较大。有关基于g a l e r k i n 1 0 第二章无网格法的基本理论 法的无网格法( e f g m ) ，将在下一节中举例说明。 2 2 2 2 配点法 在配点法中，权函数取为万函数，即v ( x ) = 8 ( x - x , ) ( f = 1 ，2 ，) 。此时仅 要求平衡方程在域内节点处严格满足，边界条件在边界节点处严格满足。由配点 法导出的无网格法不需要背景网格，是一种纯无网格方法，且计算量小，效率高， 但其精度低，稳定性差。 2 2 2 3 最小二乘配点法 在配点法中，控制方程( 2 1 3 ) 只在所有域内节点处严格满足，而没有在边 界节点处和域内其它点处满足。最小二乘配点无网格法 2 4 1 要求控制方程不仅在所 有节点处满足，还要在m 个指定的辅助点处满足，即权函数取为：u ( x ) = 8 ( x 一薯) ( f = 1 ，2 ，+ 虬) 。在该方法中方程数多于未知数，需要用最小二乘法求解。因 此控制方程的残差实际上是在最小二乘意义上予以消除的。为了保证解的精度， 边界条件必须在边界点处严格满足。与配点法相比，该方法大大提高了解的精度， 而且继承了配点法高效的优点。 2 2 2 4 加权最, j 、- - 乘法 加权最小二乘法在加权最小二乘法中，方程和边界条件的残差是在加权最小 二乘意义上消除的。权函数为v = a ( ，+ o ) a 材，一v i ( x ) = 0 t c 3 ( - - 一u ，) a 。， e ( x ) = 膨( 刀一；) a “，其中口和分别为用于施加位移边界条件和力边界条件 的罚函数。对弹性力学问题可取为= 1 0 5 ，口= e ( 1 - v 2 ) 1 2 。为了避免数值积 分，提高计算效率，张雄等用被积函数在一些离散点处的值之和来代替式( 2 1 3 ) 中的积分，即 乒l 譬( ，+ 1 ) 2 + 兰( 乃一；) 2 + 兰口( 甜，一磊f ) 2i ：o c 2 “b ， l “r 陋1i = i- l 其中n 为节点总数，虬为辅助点总数，为边界i ，上的节点数，帆为边 界1 1 ，上的节点数。 广东工业大学工学硕士学位论文 2 2 3权函数 无网格法与有限元法的区别在于去除了网格结构，用与权函数相关的函数构 造求解对象的位移近似函数和形函数，形成与权函数有关的系统刚度，建立系统 方程组求解问题。求解域内节点处的位移、应力和应变等可以通过权函数对求解 域中任意点的位移、应力和应变等产生不同程度的影响。 权函数选择是否得当，直接影响问题求解的效果。假设有权函数w ( x x ，) ，x 是求解域内任意点对应的坐标，x 1 是求解域内节点i 对应的节点坐标，权函数的 选择应满足下列条件： ( 1 ) 半正定性，即在影响域内满足w ( x x 1 ) 0 ； ( 2 ) 紧支性，即在影响域外满足w ( x x ，) = 0 ； ( 3 ) 归一性，即j q w ( x - - _ ) d q = 1 。 ( 4 ) w 一_ ) 是距离刃= i x - - x 1 i l 的单调递减函数； ( 5 ) 当影响域大小h 寸0 时，w ( x - x ，) 一万( 刃) ，5 ( 4 ) 是万函数。 根据权函数的特点，可以选出许多满足条件的函数作为权函数。如幂函数、 三次样条函数、四次样条函数等。 2 2 4 数值积分 2 2 4 1 主要数值积分算法 无网格法的数值积分是一个难点，因为它不能像有限元法那样按照网格单元 进行积分。目前采用的数值积分方法主要有节点积分算法、背景网格算法和有限 元网格算法等。 1 节点积分算法 对于函数的积分公式，直接作如下离散化处理，即 q 厂( x ) d f 2 = e f ( x ) 奶 ( 2 1 5 ) 式中，a z , 代表节点x