（材料物理与化学专业论文）声子晶体带结构和透射性质的研究.pdf

摘要 摘要 声波或弹性波在弹性常数周期性排列的复合媒质中的传播行为近年来引起了 人们广泛的兴趣，在这种材料中，由于声带隙的存在，使得其中的声波或弹性波 传播行为表现出一些特殊的性质。本论文从频带结构及其透射性质两个方面出发 对二维声子晶体的声性质进行了研究。 ( 1 ) 采用平面波方法计算了由弹性各向异性铅圆柱体按正方排列植入各向同 性高分子材料构成的二维声子晶体声频带结构，数值结果表明这种结构的声带隙 宽度会随铅圆柱体绕z 轴的旋转而改变； 进一步的计算给出了带隙宽度随系统的 填充率及铅柱体绕z 轴的旋转角的变化关系。 ( 2 ) 从压电效应与声波的耦合波出发，给出了包含压电材料的二维声子晶体 带结构计算方法，并以压电陶瓷一高分子材料构成的系统为例计算了这种系统的 频带结构，通过对计入及忽略压电效应时带结构的比较表明，在大填充率下这种 结构的绝对带隙宽度在存在压电效应时会增宽，但在小填充率下压电效应对带结 构的影响可以忽略不计。 ( 3 ) 给出了一种新的计算声子晶体透射系数的方法，并以二维固体一固体系 统为例，计算了声子晶体的透射系数谱，其结果能与带结构很好地吻合。通过对 二维铅一环氧树脂系统透射谱的分析，探讨了声子晶体透射谱的性质，得出了声 子晶体的声性质可以用有效弹性常数描述的结论。 ( 4 ) 从透射谱出发计算了二维铅圆柱体按正方排列平行植入环氧树脂所构成 的系统沿第一布里渊区两高对称方向的有效声速，其计算结果与由带结构直接计 算得出的结果一致；给出了对应最低两条带的有效声速随频率的变化关系，发现 在第一带隙以下，声子晶体的有效声速会随频率的增大而减小。 关键词：声子晶体，声频带结构，弹性各向异性，压电效应，透射谱，有效常数 a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h e r ei sag r o w i n gi n t e r e s ti nt h es t u d i e so fa c o u s t i co re l a s t i c w a v ep r o p a g a t i n gi nt h ep e r i o d i ce l a s t i cc o m p o s i t em a t e r i a l s b e c a u s eo ft h e e x i s t e n c eo ft h ef e q u e n c yb a n dg a p ，a c o u s t i co re i a s t i cw a v e si nt h i sk i n do f m a t e r i a l ss h o w s o m es p e c i a lp r o p e r t i e s i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w eh a v es t u d i e dt h e f t e q u e n c yb a n ds t r u c t u r ea n dt r a n s m i s s i o np r o p e r t yo ft h et w o d i m e n s i o n a lp h o n o n i c c r y s t a l ( 1 ) t h ep h o n o n i cb a n dg a p ( p b g ) s t r u c t u r eo fat w o d i m e n s i o n a lc o m p o s i t e m e d i u m ，w h i c hi sc o n s t i t u t e do fas q u a r ea r r a yo fp a r a l l e l ，e l a s t i ca n i s o t r o p i c ， c i r c u l a rp bc y l i n d e r si nt h ee i a s t i ci s o t r o p i cp o i y - v i n y i c h i o r i d ei si n v e s t i g a t e d t h e o r e t i c a l l yb a s e do nt h ep l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e w i d t ho ft h ep b g so ft h es y s t e mc a nb ec h a n g e db yr o t a t i n gt h ee m b e d d e dp b c y l i n d e r s ar e l a t i o n s h i pa m o n gt h ew i d t ho fp b g s ，t h er o t a t i o na n g l ea n dt h en i l i n g f r a c t i o ni sp r e s e n t e d ( 2 ) t h ee l a s t i cb a i l ds t r u c t u r eo fat w o - d i m e n s i o n a lp h o n o n i cc r y s t a lc o n t a i n i n g p i e z o e l e c t i 。i cm a t e r i a li si n v e s t i g a t e db yt h ep i a n e w a v e e x p a n s i o nm e t h o d n u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h a tf o r l a r g ef i l l i n gf r a c t i o n ，t h ef u l lb a n dg a po ft h i sk i n do f s y s t e mi se n l a r g e db yc o n s i d e r i n gt h ep i e z o e l e c t r i ce f f 色c t ，b u tf b rs m a l lf i l l i n g f r a c t i o n ，t h ei n f l u e n c eo ft h ep i e z o e l e c t r i ce f f e c ti ss os m a l l t h a ti tc a nb en e g i e c t e d ( 3 ) a ne m c i e n tn u m e r i c a im e t h o di sd e v e l o p e dt oc a l c u l a t et h et r a n s m i s s i o n c o e f n c i e n to ft h ep h o n o n i cc r y s t a l s b yt h i sm e t h o d ，t h et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so f at w o d i m e n s i o n a lp h o n o n i cc r y s t a l sa r ec a l c u l a t e db yan e wn u m e r i c a im e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r ao ft h es y s t e me x c e l l e n t l y 8 9 r e ew i t ht h eb a n ds t r u c t u r e so ft h ec o r r e s p o n d i n gs y s t e m f r o mt h et r a n s m i s s i o n s p e c t r a ，t h ep r o p e r t yo ft h ep e r m i t t e db a n d sa n dt h ee f k c t i v ev e l o c i t yo ft h ep h o n o n i c c r y s t a li si n v e s t i g a t e d ( 4 ) t h ee f f e c t i v ea c o u s t i cv e l o c i t ya l o n gt w oh i g h l ys y m m e t r i cd i r e c t i o n so ft h e n r s tb r i l l o u i z o n ei ss t u d i e di nat w o d i m e n s i o n a ls q u a r e i ya r r a n g e ds o i i d - s o i i d p h o n o n i cc r y s t a l t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee n b c t i v ee l a s t i cv e l o c i t ya n dt h ew a v e f r e q u e n c yo ft h et w ol o w e s tb a n d sa r ep r e s e n t e d ，w h i c hg i v e st h es a m er e s u l t sa s t h o s eo b t a i n e dd i r e c t l yf r o mt h eb a n ds t r u c t u r e n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ss h o wt h a tt h e e f f e c t i v ea c o u s t i cv e l o c i t yo ft h ep h o n o n i cc r y s t a ld e c r e a s e sw i t hf r e q u e n c y i n c r e a s i n gf o mz e r ot ot h eb a n de d g e k e yw o r d s ：p h o n o n i cc r y s t a l ，f t e q u e n c yb a n ds t r u c t u r e ，e l a s t i ca n i s o t r o p y ， p i e z o e i e c t r i ce f 先c t ，t r a n s m i s s i o ns p e c t r u m ，e “b c t i v ep a r a m e t e r i v 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签和j 乏春破l 日期：纠年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权华南理工大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， 不保密日。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 黼 吼甜年月日 导师签名：h 书也 日期：州珲月移日 第一章绪论 第一章绪论 1 1声子晶体的结构 声子晶体从严格意义上来说应该叫做周期性弹性复合材料，是由两种或两种 以上的弹性材料按周期性排列所组成的复合结构。由于考虑的是宏观弹性波在这 种复合结构中的传播特性，因而这里所说的“声子”并不是固体物理中所定义的 格波能量量子。其中的“晶体”一词取义于构成系统各组元的周期排列与天然晶 体中原子周期排列的类似性。 在天然晶体中，电子作为种物质波在晶体中的行为满足薛定谔方程和布洛 赫定理，由于波的布拉格散射，使得电子在一定的能量区域内会出现禁带，晶体 的导电行为因此表现出各种与此有关的特殊性，出现导体、绝缘体、和半导体之 分。我们知道电子波与经典波的共性在于其波动性，那么，寻找经典波如光波及 声波在周期结构中的行为与电子在晶体中行为的类似性质就成了一个有趣的物理 问题。 传统意义下的晶体的光学类比就是光子晶体，它由具有两种或两种以上具有 不同介电常数的宏观介质周期性排列而成，相当于晶体微结构的放大。而描述电 子在晶体中行为的薛定谔方程则以描述光波波动行为的麦克斯韦方程组来取代。 声子晶体则可以理解为光子晶体概念在弹性波领域内的一个延伸，它是以弹性常 数不同的宏观介质按周期排列构成的宏观结构。图1 1 给出了一维、二维及三维 声子，光子晶体的示意结构图。 ( a )( b )( c ) 图1 1 一维、二维及三维声子光子晶体结构示意图。 f 培1 - i1 1 l ec o n s t n l c t i o no f o n e - ，t w o a r i dt h r e e - d i m e n s i o 砌p h o n o n i c p h o t o n i c c f ) r s t a l 通过求解描述弹性波行为的弹性波方程可以确定弹性波在这种复合介质中的 华南理上人学博士学位论文 传播性质。因为其结构同天然晶体的类似性，光子晶体及声子晶体中的一些概念 及所用研究方法都可以从固体物理学中顺延过来。但相对天然晶体中电子波而言， 宏观介质中的光波是矢量波，而声波更是全矢量波( 即在弹性介质中同时存在横 波及纵波) ，因此对经典波在光子晶体及声子晶体中所遵循的规律进行研究可能为 波在周期性介质中的行为提供更进一步的理解。特别地，由于较大的晶格常数及 较长的声波波长，声子晶体中的局域本征模将为由晶格的无序所导致的波局域现 象提供直接测量的可能。 1 2 声子晶体的研究现状 虽然弹性波和声波在一维层状介质中的传播行为早在几十年前就得到了较为 系统的研究1 1 1 ，但具有二维及三维周期结构的声子晶体概念的提出则仅仅是十几 年前的事情。类比于光子晶体的研究，自m s k u s h w a h a 研究小组于1 9 9 3 年采 用平面波展开方法计算了二维固体一固体声子晶体的带结构【2 1 ( 与此同时，m s i g a l a 等也给出了二维系统的声频带结构【3 】) ，并且指出由于声带隙的存在，有可 能将其用于实现高精密仪器的无振环境及声学传感等领域以来，无论是声子晶体 的研究内容还是其所采用的计算方法都得到了长足的发展【2 7 3 1 。目前，声子晶体 的研究主要集中在频带结构及输运性质的计算【2 44 1 、缺陷态( 包括点缺陷、线缺 陷及面缺陷) 所引起的声波局域性质研究【4 5 d 9 1 ，以及声波在这种结构中的异常传 播及其有效常数描述【6 9 - 7 4 】等方面。 1 2 1 带结构及输运性质的计算 由于声子晶体许多潜在的应用，例如阻隔和滤除某些特殊频段的声波( 或弹性 波) ，都同声带隙有关，因此对声子晶体较早的研究工作主要集中在声带隙产生的 条件上。理论工作者们通过将各种具有不同弹性常数的常见声学材料如气体( 空 气) 、液体( 水，油、水银) 及固体( p l a s t i c ，e p o x y p o l y m e r ，a l ，p b ，a u ，s t e e l ，a u ) 等按各种不同晶格点阵形式组成气体液体一液体，气体【4 8 l 、气体，液体一固体【9 。2 5 】 及固体一固体【2 n 4 4 】等复合体系并进行了大量的计算工作。结果表明声子晶体的频 带结构主要受到材料的弹性常数、点阵结构、组成系统各组元的体积占有比( 也 叫填充率) 以及植入组元的形状及其取向( 对非圆或球对称情形而言) 等因素的 影响。对于二组元系统而言，在一定的晶格结构以及合适的组元体积比下，当两 种组元的密度反差较大时，对于固体一固体系统，高密度媒质作为分散相植入低 密度连续媒质中时较易形成带隙，而对于液体一液体系统则刚好相反1 3 8 】。在文献 2 6 中，k e e 等人撇开具体的材料，从更一般的角度研究了带隙同材料弹性参 数的关系，并且指出大的阻抗差比大的声速差更具优势形成带隙。同理论工作相 比，目前声子晶体的实验研究相对较少f 1 5 2 2 ，4 6 ，47 1 ，基于系统的易于构造性，主要 集中在对气体液体一固体系统的研究【1 。2 2 】，结果发现频率处于带隙中的声波穿过 2 第一章绪论 声子晶体片时，确实存在强烈衰减。 声子晶体带隙研究的另一个课题就是如何增加声带隙宽度。由于弹性波方程 求解上的复杂性，并且影响声予晶体带结构因素较多，因此很难给出在所有因素 同时作用下的最宽( 优) 带隙。目前文献给出的最优带隙都是在给定一些因素的 前提下，考虑一种或两种因素的适当调节所达到的局部最宽带隙的结构。如 c a b a l l e r o 在文献 2 1 及z h a n g 在文献 3 2 】中认为通过降低结构的元胞对称性可 以打开布里渊区高对称点的频率简并，从而有利于带隙的拓宽；l a i 在文献 1 4 中指出绝对带隙可以通过在二组元结构中注入空气而打开；g o f h u x 在文献 1 0 中计算了在不同填充率下，刚性方柱体植入空气基底所构成的二维系统在方柱体 绕z 轴旋转不同角度时的带结构，给出了最佳填充率和旋转角的组合；类似地， w u 在文献 8 中给出了水方柱体植入水银基底及水银方柱体植入水基底构成的 二维系统出现最优带隙的填充率及旋转角组合；在文献 3 0 中，k u a n g 等通过 分析二维钢一环氧树脂系统的带结构与植入柱体形状、晶格结构及系统填充率的 关系后指出，只有当植入柱体的形状及晶格满足一定关系时，带隙才能达到最大。 带隙的位置调节也是声子晶体的应用必须考虑的一个问题【i5 1 。由以上提及的 材料所构成的复合体系的带隙位置与基底材料的弹性常数及晶格常数有关。正如 文献 4 1 中指出，材料的晶格矢量k 与晶格常数a 的关系是k 1 a 。材料的 周期性结构产生k 与一k 的散射简并。但是，这种散射简并可以被布拉格散射所 消除，从而在k 的方向上，中心位于一瓜( a ) ，( k ik ) 的频率处产生 一个凹陷的能隙。式中r 是弹性波波速，是一个与晶格矢量方向有关的函数如 果在此频率范围所有的方向上都产生同样的频谱凹陷，我们就说此材料生成了一 个能隙。值得注意的是能隙频率与晶格常数是成反比关系。因此如要将声子晶体 应用于可听声的阻隔，除应有足够的带隙宽度外，其带隙位置必须较低，因为人 耳敏感的声频在2 0 h z 一2 0 k h z 之间，这也就要求相应声予晶体的晶格常数要较 大，这一点在实际中是很难实现的。一个有趣的方法是通过引进局域共振单元 36 ，4 卜4 4 l ( 用较软的材料包裹较重的核并植入较硬的基底中) ，利用局域共振机制， 将带隙推向可听声范围。研究指出，即使是由局域共振单元无规排列所形成的无 序系统，局域共振机制所形成的带隙仍然存在。这一工作为寻求可听声频率范围 内的复合隔声材料打开了新思路。 声子晶体中输运性质的研究是考虑有限系统对外界声激发的响应。前期研究 的主要工作集中于系统在外界输入波的作用下波反射和透射率性质计算 【15 。1 8 ，2 2 2 4 ，3 2 ，3 6 ，3 9 ，4 2 ，4 3 1 ，其结果用于同实验结果进行比较。研究发现，有限系统对外 界输入波的响应并不一定跟系统的带结构完全一致，也就是说外界的输入并不一 定能完全激发系统所有的本征模，这种不能被激发的模式被称为“哑带”i l 9 ，2 3j 。 近期的一些研究开始关注声子晶体在某些特殊频段的异常导波性质【7o ，”j 。 丝毫翌三盔兰堡圭耋堡鎏兰 1 2 2 缺陷态及声波导的研究 类比于光子晶体缺陷态的研究7 5 4 8 1 ，近年来人们开始关注声子晶体中缺陷态 的性质【4 5 5 9 】。研究发现，通过在具有完美结构的声子晶体中引入点缺陷4 5 5 0 】、线 缺陷5 1 5 7 域面缺陷5 引，会使其中的传播波出现局域现象，并且发现这种局域态的 性质可以通过改变缺陷的构形而加以控制，从而实现声波的窄带滤波、导波及弯 曲传播等a 在图l 一2 中给出二维声子晶体中的几种缺陷构形，其中( a ) 及( b ) 图1 2 二维声子晶体点缺陷及线缺陷构形。 f i g 1 2t l ec o 碰i g u r a t i o no ft l ep o i n t 锄dl 抽ed e f e c t s0 ft h et w o d i m e n s i o n a l p h o n o n i cc r ”t a l 为点缺陷，( c ) 及( d ) 为线缺陷。s i g a l a s 在文献 4 6 中指出了图l 一2 ( a ) 所示的点缺陷结构可用作声波的窄带滤波；w u 也在文献 4 7 中对此结构所导 致的局域态性质进行了研究，并给出了这种局域态性质同缺陷形状及大小的关系； k h e l i f 则在文献 5 0 中探索了这种点缺陷结构用作轴向导波材料的可行性：不 同于通常二维声子晶体频带计算时只考虑波在平面内传播的情况( 即取波矢k 的 第一章绪论 轴向分量k ：为零) ，文中通过分析不同k ：( 即波矢存在轴向分量) 的频带，发现 这种结构中存在一种沿z 方向传播而在x y 平面内局域的轴向导波模式。图1 2 ( b ) 给出了另外一种点缺陷模型，它同l 一2 ( a ) 的不同点在于其相邻缺陷引起 的局域模在水平方向存在耦合，因而提供了另一种导波机制【4 ”。图1 2 ( c ) 所 示的结构同传统意义的平面波导结构存在类似性，因而得到了较多的研究，在文 献 5 1 中首次对这种结构的声透射谱进行了计算，发现在其导波模式中存在带 隙，并认为这种带隙是由“波导”内壁的周期不平整所引起的。类似于光子晶体， 图1 2 ( d ) 所示的结构在声子晶体中也得到了研究m 5 4 5 ”，这种“拐弯”波导 在拐角处的波泄漏比传统波导因扭益所产生的泄漏要小得多，因而在光子晶体中， 这种结构有望应用于集成光路的制作【_ 7 8 】。在三维声子晶体中的缺陷及其所引起的 局域现象研究方面目前文献还相对较少i 邓j 粥，其中p s a r o b a s 等在文献 5 8 中研 究了三维铅球在环氧树脂基底中以面心立方排列，当其中一层铅球的半径不同时 所引起的局域现象；c h a n d r a 等则在文献 5 9 中报导了三维声子晶体线缺陷态 的理论计算结果。 1 2 3 有效弹性常数及声聚焦现象的研究。 复合材料的有效常数( 包括有效电导、有效熟导等) 研究可以说是一个具有 相当历史的课题。显而易见，忽视材料的内部结构，考虑复合材料作为一个整体 在外界激励下的响应，也就是说把复合材料当作均匀媒质从而用有效常数来描述 是相当方便和直观的。声子晶体在低频极限下的行为也得到了广泛的研究【6 4 西叭。 我们知道在低频极限下，传播波的波长相比散射体尺寸及晶格常数而言大得很多， 传播波分辨不出散射体的细节，因而可以忽视材料具体结构而将复合体当作一种 均匀媒质。目前已有几种方法可以计算出在低频极限下的有效常数( 有效速度) 。 r u f h 【6 0 l 采用有限元方法对空气泡周期地排列于水中所构成的系统进行了计算，给 出了系统有效声速同频率的关系：k a f e s a k il 6 u 等应用相干势近似( c p a ) 方法计 算了空气泡水系统的有效声速，c p a 近似的一个优势在于其还可以用于处理无 序系统 6 2 ，6 3 1 ，因此在他们的文章中还给出无序系统的比较结果；c e r v e r af 6 4 1 在采 用几种方法对由空气一铝柱构成的二维复合体在长波极限下的有效声速进行估计 后提出可以将其用作长声波的聚焦透镜。k r o k h i n l 6 8 】考虑到在长波条件下平面波 的特点，采用了一种基于平面波的方法较为精确地计算了空气一水系统在低频极 限下的有效声速，并给出了有效声速同系统填充率关系。 然而相对声子晶体而言，有意义的不仅仅是长波极限下的有效媒质近似。我 们知道声带隙的出现是声子晶体的本质意义所在，但基于布拉格散射而出现的带 隙频率的位鼹一般远远高于传统意义下的长波极限，另外近期的研究还发现声波 在声子晶体中传播时会出现异常的平面聚焦7 0 。72 1 、弯曲传播等现象【7 3 7 4 】，这些现 华南理工大学博士学位论文 象都出现在波长相对较短的区域。因此如果能够将有效媒质理论加以推广，用以 反映声子晶体在较高频率下的特有性质，将比长波极限下的有效媒质理论更有意 义。 从直观上来说，对任何未知结构的复合媒质，只要某一特殊频段的波在其中 的传播行为同某一假想的均匀媒质中的行为一致，我们就认为这一复合媒质的波 性质可以用对应的假想均匀媒质的参数来描述，而这一假想均匀媒质的参数也就 是对应复合媒质的有效常数。在光子晶体的研究中发现，处于某些特殊频段的光 波在由均匀媒质射向光子晶体时会出现异于常规的折射现象，人们由此定义了小 于l 及负的异常光折射指数。对于光子晶体在某些频段范围内具有负折射指数的 研究已在理论及实验上多次得到报导【8 0 8 4 1 ，圈1 3 给出了光由常规材料穿过界 面进入常规材料及负折射指数材料的传播示意图，从图中可以看到如果将( b ) 看 作是一种简单的光折射现象，并且认为光在界面上满足s n e l l 定律，则必须定义 一个负的折射率。负折射现象可使光在通过平面光子晶体界面时实现会聚 如图 ( c ) ，并且会聚斑点尺寸可以小于光波的波长，也就是说这种超棱镜可以比传统 球面镜具有更高的分辨率。 ( a ) ( c ) 图1 3 光由常规材料折射入( a ) 常规材料、( b ) 负折射指数材料的示意图； ( c ) 为平面聚焦现象。 f 培1 3s c h e m a t i cd i a g r a mo f l i g h tr e f r a c t i o n 矗d mn o r n l a lm a t e 矗a lt o ( a ) n 0 h n a la r l d ( b ) n e g a t i v ei n d e xm a t e r i a l ( c ) s c h e m a t i c a l l ys h o 、i lt l l es u p e r i e n s i n ge 髓c t m n o t o m i 在文献 8 3 中对光波在光子晶体的行为进行了详细的讨论，并 且通过比较光波在一维光栅、弱周期调制光子晶体及强周期调制光子晶体中行为， 对光在光子晶体中的异常行为进行了分析，指出对于传统意义上的光栅或在弱周 期调制的光子晶体( 填充率较小时) 中，由于传播波( 零级波) 及衍射波( 高阶 行射波) 的同时出现，即透射波在穿过界面时不能保持单一的传播方向，使得这 一波行为无法用有效常数来描述。但在强调制情况下( 填充率较大时) ，由于各级 散射波的强相互作用，使光子晶体的等频线( 面) 在某些频段内同均匀媒质中的 6 第一章绪论 相类似，因此在这些频段中有效折射率可以很好地定义，n o t o m i 称此为类折射现 象。 同光子晶体相类似，声子晶体中的声异常传播现象也有理论及实验研究【7 0 75 1 ， 但由于在均匀固体材料中同时存在三支色散关系( 一支纵波及两支简并的横波) ， 且在声子晶体存在纵波及横波的相互耦合，因而固体一固体声子晶体的带结构比 光子晶体的带结构更为复杂。其等频线( 面) 难以给出，因此目前对这种现象的 研究主要集中在固体材料植入液体材料中构成的声子晶体上。 需要指出的是，虽然声子晶体在长波极限以外的有效声速定义及其求法还值 得进一步探讨，但早在声子晶体概念提出之前，人们在探讨多孔媒质及胶体的声 性质时就已经用了这一定义，在文献 6 1 6 3 中所给出的声波双速度现象就是 在声波的波长同散射体的尺寸相当时才会出现。 另外一个比较重要的工作就是所谓的隧道效应，类似于电子及光波的隧道效 应，文献 7 9 从理论计算和实验测量上都验证了落于声带隙中的声波穿过有限 厚度声子晶体片所需时间同晶体厚度无关，即具有无穷的相速和群速，要注意这 一声速也是定义在长波极限以外。 1 2 4 其它 从结构上来看，声子晶体应该被称之为周期结构弹性复合媒质。对经典波在 类似这种结构中传播性质的研究要比声子晶体声波性质的研究早得多【 85 1 。这些 研究同声子晶体有着直接或间接的关系，一方面其研究方法及结论可以为声子晶 体的研究提供借鉴，另一方面又可以为声子晶体的研究开拓新的领域。近期对声 子晶体及光子晶体的研究也表现出一些新的动向：如在光子晶体及声子晶体中引 入声光8 6 l 、电光3 7 】等效应，以期发现一些新的物理现象或为声子晶体及光子晶体 开辟新的应用领域。 一、关于压电复合材料的研究。 压电材料在声纳、超声检测及医学成像等传感领域有着重要的应用舳母们，近 年来，从工程应用的角度出发，人们通过将压电晶体同高分子材料进行周期性组 合构成压电复合材料【8 9 。9 4 】，发现其机电耦合及机械性能均比传统的压电晶体片优 越得多。在压电复合材料的研究中，按照植入压电体的联通性，人们从结构上将 其进行了分类【8 9 ) ，如0 3 型表示压电体分散地( 对应0 维，即沿x y z 三个方向 均为有限) 分布在连续的基底( 对应3 维) 中，这同三维的声子晶体结构一致； 另外如1 3 型及2 2 型等压电复合体，其结构分别与二维及一维声子晶体相对 应。 同声子晶体的研究不同的是，在压电复合材料的研究中为简便起见往往并不 考虑其中的所有声波。例如在2 2 型压电复合材料 结构如图1 1 ( a ) 所示 华南理工大学博士学位论文 的动态理论中【9 0 1 ，其处理方法是将每一层中的声波( 考虑声波为x 及z 函数，即 认为波垂直y 方向传播，因此层中的声波为广义兰姆波) 分为对称及反对称兰姆 波两部分，考虑到对压电效应有贡献的只有反对称兰姆波部分，因此在处理中舍 去了反对称兰姆波部分。这样所得到的色散关系当然不同于声子晶体研究中所考 虑的“完全的”色散关系。即便如此，由于结构上的类似性，压电复合材料同声 子晶体无论在研究方法还是所得结论上都应该可以相互借鉴：w i l m 9 4 1 在研究1 3 型压电复合材料时引入了平面波处理方法计算了这种材料的“完全”带结构， 并在其后续的研究中【95 j 探讨了这种结构作为轴向声波导的可能性；但文献 9 5 中并未指出其中压电效应的作用究竟对这种结构的频带有多大的影响。从原则上 来说，这种影响在声波频率较高时不能忽略，更进一步来说，这种影响还会随压 电体的电学边界的条件不同而不同，其原因是二次压电效应受制于电学边界条件。 利用这一现象有可能设计出受控于电学边界条件的可调带隙声子晶体材料。 另外，从物理角度来说，由于压电晶体中存在声场同电场的耦合：一方面声 场的存在可以激发电场，另一方面电场作用于声波又得到“增劲的声波”。这种互 相作用在周期性结构中能产生一些非常有趣的物理现象。如应用具有正、负压电 系数的两种不同压电材料组成一维周期复合系统后，可以模拟离子晶体中的格波 同电磁场的相互作用【9 6 】；在由压电一非压电材料组成的有限周期复合系统中，可 以得到类似于电子通过稳定电场作用下的晶体时出现的s t a r k 1 a d d e r 共振等现象 【9 7 1 。 二、表面浮雕光栅的研究。 从结构上来说，光子声子晶体薄片更类似于具有一定厚度的衍射光栅。由此， 人们自然联想到将光栅理论中的结论推广到光子晶体及声子晶体中来。例如， n o t o m i 在文献 8 3 中将光子晶体中光的异常传播性质同光栅对光波的衍射性质 进行了详尽的对比，得出了光子晶体中的光传播特点同光通过光栅时的行为的异 同，并且指出在光子晶体的填充率较小时可以按光栅理论理解其中的光波传播行 为。近年来，对于光栅的研究已由标量傅立叶分析发展到了矢量波分析，并且经 过l i 【9 8 圳0 1 、傅【1 0 1 1 0 2 】等人的努力，表面浮雕光栅的衍射波计算理论已比较完善。 其主要思想是将具有一定厚度的光栅分成若干薄层，由于其结构沿横向的周期性， 每一层中的形式波解都可以在组基( 如平面波基) 中展开，利用在波各层边界 上的连续条件将各层中的波解联系起来就可以求得在给定入射时的反射及透射 波。这一思想完全可以推广到声子晶体，光子晶体中来。关于这一点我们将在第四 章中作详细的讨论。 三、光子晶体中非线性光学、声光及电光效应的研究。 在光子晶体中考虑光学非线性、声光及电光等二级效应是近来光子晶体研究 中的一个新思想，其中光子晶体非线性效应的研究开展得较早【l ”j ，主要是研究 8 第一苹绪论 在二维及三维结构中二次及三次谐波的增强效应。而光子晶体中的声光及电光效 应目前只有少量文献报导，在文献 8 6 中报导了二维轴向光子晶体光纤( 即具 有点缺陷的二维光子晶体) 中声光效应，并且认为这一现象是由缺陷处的较强声 局域现象所引起。在文献 8 7 中报导了二维轴向光子晶体光纤( 即具有点缺陷 的二维光子晶体) 中电光效应。声子晶体非线性效应现象的研究目前还未见报导， 其可能原因之一是声学非线性效应远比光学非线性效应复杂，原因之二是声学非 线性效应相对较小【1 0 4 】。但作为一种物理效应在理论上对其进行研究还是存在一 定价值的；从应用的角度来说这种研究也同样具有一定人价值：近期在超声医学 成像的研究中发现【1 0 5 1 ，对于生物体的某些组织而言，病变结构与正常结构的线 性弹性系数是一致的，但其非线性系数并不一定相同，也就是说非线性效应可能 为检验病变组织提供手段，但线性常数的检测却无能为力。 1 3 声子晶体带结构及透射谱的数值计算方法 目前在声子晶体带结构计算中主要用到平面波展开法【2 1 1 ，2 1 ，4 5 。4 7 ，57 1 、多重散 射法【3 7 。4 4 ，58 1 、有限差分时域法【1 5 。1 8 ，3 6 ，5 0 ，5 4 ，5 5 ，59 1 、变分法( v a r i a t i o n a lm e t h o d ) 【1 9 1 3 5 】 及集总质量法p 3 ，3 4 l 等，它们各有其优点及不足之处。其中平面波展开法由于其操 作简单及物理意义清晰而得到广泛的应用，它能处理由各种形状的散射体构成的 系统，其主要思想是将周期性的弹性常数及布洛赫波的周期性振幅表示成有限个 平面波的线性叠加形式，再代入弹性波方程得到一个关于频率及波矢的本征方程， 但同其用于电子能带的计算中一样，在声子晶体的计算中同样存在收敛性慢的问 题：当组成声子晶体各组元的弹性常数差较大或元胞的结构较复杂时，其所需平 面波的数量将急剧增多；另外，计算还表明，当用平面波方法处理固体一液体( 气 体) 混合系统时将得不到符合物理的结果，也就是说平面波不能处理固体一液体 ( 气体) 系统【l7 1 。相比平面波方法而言多重散射法具有收敛性好、计算速度快的 优点，它首先采用球谐函数作为基对散射体内外的波函数进行展开，然后利用边 界条件及布洛赫条件将散射体内外的波联系起来得到关于频率及波矢的本征方 程。由于球谐函数只有在球形边界上才有简单的形式，这也就决定了多重散射方 法只方便于计算由球形散射体构形的结构，而且由于弹性波方程只有在各向同性 媒质中才能作拉梅分解f l “】，因此基于拉梅分解的多重散射方法只适用于求解由 各向同性材料构成的系统。时域有限差分方法是一种实时模拟方法，即先将弹性 波方程在实空间及时域中进行差分，在某一时刻某一位置设置一个信号让其随时 间演化，并收集某些点在不同时刻的信号后再作傅立叶变换求得其频谱，除文献 1 7 中用它作带结构计算外，其它多用于透射系数的计算。变分法则是以样条 插值函数为基将波解进行展开，其优点是在高频下收敛性比平面波方法好，但它 同样不能用于固体一液体系统的计算【3 ”。集总质量方法用于声子晶体带结构的计 9 华南理工火学博士学位论文 算最先见于文献 3 3 中，最近文献 3 4 中也报导了这一方法，并用这一方法 计算了二维的大反差弹性常数系统并预言了这一系统中二维局域共振现象的存 在。 声子晶体透射谱的计算蟊前主要采用两种方法：多重散射法及有限差分时域 法。其中多重散射法由于上述的原因同样只能计算由声学各向同性球形散射体所 构成的系统：而有限差分时域方法则可以处理由各种形状散射体所构成的结构， 由于其采用的是实时模拟过程，因此其计算结果通常直接用于同实验结果对比。 用有限差分时域法求透射谱的方法很是特别，为了求声子晶体片夹在均匀媒质中 的透射谱，通常是先让信号在均匀媒质中演化一次，在信号收集点得到一组时序 信号，然后放入声子晶体让信号再演化一次，在收集点得到另一组信号，对这两 组信号分别作傅立叶变换后再求其比值即得透射谱。显然用这种方法无法直接求 反射谱，而且当考虑的系统过大时，这种计算方法将非常耗时。 1 4 本论文研究内容 由以上分析知道，无论从理论角度还是从应用的角度来看，在声子晶体研究 中还存在一些有待解决的问题。本文将从以下几个方面对声子晶体的带结构、透 射系数以及有效弹性常数进行研究： 针对目前声子晶体中大部分工作都集中在由声各向同性组元构成的复合体 上，本文在第二章中由一般性的弹性波方程( 而非拉梅方程) 出发，推导包含声 各向异性组元的声子晶体频带的平面波方法计算公式，然后计算包含各向异性组 元的声子晶体声频带结构，并探讨材料的各向异性对频带结构的影响，给出各向 异性组元的取向与声带隙的关系。 在本文的第三章中给出计算包含压电材料的声予晶体带结构计算方法，并以 压电陶瓷一高分子材料构成的系统为例计算这种系统的频带结构，通过对计入及 忽略压电效应两种情况下带结构的比较，讨论在这种系统中压电效应对带结构的 影响程度，讨论并给出压电效应可以被忽略的条件。 考虑到目前声子晶体透射系数计算方法上的不足，在本文的第四章中给出了 一种新的计算声予晶体透射系数的方法，用这种方法可以较为准确地计算二维固 体一固体声子晶体的透射系数谱。通过对二维铅一环氧树脂系统透射谱的分析， 探讨了声子晶体的声透射性质与均匀媒质的异同，并得出了声子晶体的透射性质 在很多方面与各向同性媒质一致的结论。 在第五章中采用第四章给出的声透射谱计算方法，通过对正方排列二维铅圆 柱体铅平行植入环氧树脂所构成系统的透射谱的分析，探讨了定义声子晶体在长 波极限以外的有效常数描述的可行性，得出了在长波极限以外某些特殊频率范围 可以将声子晶体看作有效媒质的结论，然后给出了当声频率处于这种系统第一带 1 0 第一章绪论 隙以下时有效声速的计算方法，并计算了沿布罩渊区两个高对称方向的有效声速 随声频率及系统填充率变化的规律。 最后结论部分总结了本文中得出的结论及下一步工作的思路。 第二章包含声各向异性组元声子晶体的带结构计耸 第二章包含声各向异性组元声子晶体的带结构计算 2 1 引言 在过去的十几年中，声子晶体因其所具有的特殊声性质而受到广泛的关注。 在这种具有周期性结构的弹性复合媒质中，理论和实验均证实了声带隙的存在， 频率处于声带隙中的声波将不能在声子晶体中存在。对波在这种材料中的传播性 质进行研究不仅是因为它所具有的潜在应用价值，而且在理论上也可能会因为弹 性波的全矢量性( 即同时存在横波及纵波两种波矢) 而变得更富含物理。 自k a s h w a l l a 首次采用平面波方法计算了二维声子晶体的频带结构，并且指出 这种存在声带隙的材料可以用于隔声及滤波以来【2 】，人们对各种不同结构及组元 材料的声子晶体进行了研究，试图找出声带隙的宽度、位置与声子晶体结构及材 料的关系。正如在绪论中所指出的，大量的研究表明，声带隙的宽度除与声子晶 体的构成材料有密切关系外，还同声子晶体系统的晶体结构及植入组元的形状及 取向有关，文献 3 0 在对具有各种晶格结构及各种形状的散射体构成的系统进 行研究后表明，在给定材料组成的系统中，在适当的填充率下所对应的最大声带 隙系统并非就是包含圆形散射体的系统。而在对原胞构造与带隙关系的研究中， c a b a l l e r o 在文献 2 1 及z h a n g 在文献【2 8 】中分别指出在一定的结构下通过在元 胞中的某些位置加入新的组元或改变某些格点处的植入组元的形状可以使带隙进 一步增大。 gg o u f a x 等在文献 1 0 中研究了如图2 1 所示的用刚性方形柱体按正方 结构排列在空气中所构成的二维声子晶体的带结构，图中引进了一个绕z 轴的旋 转自由度以表示方形柱体与其所构成晶格的相对取向，具体以方柱体的棱边与晶 格矢基矢的夹角0 表示。文中通过计算不同转角o 所对应的带结构，给出了带结构 与e 的关系及与最大带隙所对应的0 值，并且把这种带隙随e 的变化简单地归因于 刚性柱体对声波的阻隔效应，即刚性柱体的旋转会使声传播通道发生变化。类似 地，w u 也研究了这种效应对水方柱体植入水银所构成系统的影响【引，也得到了相 似的结论。事实上这种效应也可以从另外一个角度来理解，p s a r o b a s 曾在文献 2 4 中给出了声子晶体的带隙与单散射体对声波的散射结果的关系，认为声子 晶体的带隙形成可以从单散射结果找到依据，因而g o u f a x 及w u 的文献中所研究 的现象应该也可以归因于单个方柱体对波的散射依赖于柱体的取向。理解这一现 象