公司投资问题.doc

公司的投资问题摘 要本文解决的是企业投资中最佳投资决策问题.,根据对题目不同条件下问题的区别与联系的分析,分别建立相关联的求解模型. 对于问题一: 分析所给条件,以每次投资的利润总和为目标函数建立线性规划模型,求解得到第五年末所得最大利润为174140.5万元. 并对结果中已达投资上限的项目增加1万元的投资额做灵敏度分析(分析结果见表5-4-1). 对于问题二: 考虑项目同时投资的影响,用对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值的三次指数平滑法建立预测模型,得到2006年的到期利润率及风险损失率预测结果如下(具体结果见表6-3-1和6-3-2):项目1234567820060.17800.14570.23200.45930.89070.830911.2672-0.7437风险率0.03100.06000.12630.07741.11960.95398.50652.2216项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、8345656820060.48280.48440.82613.19432.64060.30690.1495风险率0.14410.04160.63561.29360.96911.03841.4999对于问题三: 增加新投资规定的约束条件,并考虑项目是否独立投资在问题一的模型上建立新的线性规划模型,求解得到第五年末所得最大利润为224435.6万元. 对于问题四: 在问题三的模型上建立一个总的风险最小、利润最高的双目标规划模型,然后增加一个使得最大风险小于风险上限的约束条件,使模型转化为目标单一化的模型,求解得到第五年末所得最大利润为182579.7万元. 对于问题五: 新增银行存贷问题,只用在模型四的基础上增加或改变相应的条件建立问题五的模型,求解得到第五年末所得最大利润为237657万元,五年中每年初的在银行的存贷款情况见下表: 第一年第二年第三年第四年第五年存入10600贷款76124存入84078.26存入965.65存入145067.6关键词: 时间序列 三次指数平滑法 双目标规划 1. 问题重述1.1问题背景:在企业的投资中,经常会遇到最佳投资决策问题. 我们需要对投资成本及利润进行比较分析给出最佳的投资方案,这其中可能还涉及到投资风险等问题. 这类问题的解决对企业的经营及发展都有重要意义,在经济学中,对此类问题的研究很多,而在此,我们需要尝试以数学的分析方法和角度建立模型解决问题. 1.2题目所给信息:题中中某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金,市场上有8个投资项目(如股票、债券、房地产、)可供公司作投资选择. 其中项目1、项目2每年初投资,当年年末回收本利(本金和利润);项目3、项目4每年初投资,要到第二年末才可回收本利;项目5、项目6每年初投资,要到第三年末才可回收本利;项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利;项目8只能在第三年年初投资,到第五年末回收本利. 另外,给出了下面五种情形的信息: 情形一,公司财务分析人员给出一组实验数据见题中表1;情形二,公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据,发现: 在具体对这些项目投资时,实际还会出现项目之间相互影响等情况. 8个项目独立投资的往年数据见题中表2. 同时对项目3和项目4投资的往年数据;同时对项目5和项目6投资的往年数据;同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见题中表3. (注: 同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目);情形三,未来5年的投资计划中,还包含一些其他情况,对投资项目1,公司管理层争取到一笔资金捐赠,若在项目1中投资超过20000万,则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠,用于当年对各项目的投资. 项目5的投资额固定,为500万,可重复投资. 各投资项目的投资上限见题中表4; 情形四,考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金投资若干种项目时,总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量;情形五,为了降低投资风险,公司可拿一部分资金存银行,为了获得更高的收益,公司可在银行贷款进行投资. 1.3本文需解决的问题有:问题一: 在情形一下,根据实验数据表1确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？问题二: 在情形二下,根据往年数据表2与往年数据表3,预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率. 问题三: 在情形三下,根据问题二预测结果,确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？ 问题四: 在情形四下,考虑投资风险,问题三的投资问题应该如何决策？问题五: 在情形五下,公司又应该如何对5年的投资进行决策?2. 模型的假设与符号说明2.1模型的假设假设1: 除题目所给投资之间相互有影响外其他项目间不存在相互影响;假设2: 假设在预测五年内风险损失率保持不变;假设3: 前一年对项目的投资对这一年的投资不产生影响;假设4: 不考虑在投资时其他费用的开支;假设5: 在投资的五年内市场发展趋于稳定;假设6: 在问题5中存款都为一年期的定期存款和贷款,且银行利率在一段时间内保持不变. 2.2符号说明符号符号说明总投资资金20亿投资的年限号,项目号,项目预计到期利润率第年初投资项目的金额数项目的投资上限第年初可以用于投资的金额第年末回收的本金和利润时间序列三次平滑的加权系数次指数平滑值,预测的时间间隔实际情况下第年项目预计到期利润率独立投资时第年项目预计到期利润率同时投资的项目同时投资项目3和项目4时的到期利润率,同时投资项目5和项目6时的到期利润率,同时投资项目5、项目6和项目8时的到期利润率,第年初投资项目1获得的捐赠实际情况项目的风险利润损失率独立投资时项目的风险利润损失率同时投资项目3和项目4时的风险利润损失率,同时投资项目5和项目6时的风险利润损失率,同时投资项目5、项目6和项目8时的风险利润损失率,给定的风险上限,第年的存款额第年的贷款额一年期的存款年利率3.25%,参考中国银行官网一年期的贷款年利率6.13%,参考中国银行官网第年可用于投资的银行款项3. 问题分析在公司企业的投资管理问题中,要使投资效益达到最高,必须综合考虑各种因素,这就包括项目的到期利润率及限定的投资上限还有各项目的投资特点及风险等,只有这样,才能给出最优的投资方案.在本文中,我们将投资上限理解为一段时间投入各项目的资金不超过该项目的投资上限,当一部分资金回收后仍可继续投资. 下面我们就对每个具体问题作相应分析,给出求解的最佳方案. 3.1问题一的分析 要根据所给实验数据表一,确定5年内如何安排投资可使得第五年末所得利润最大.为此,我们决定以每次投资的利润总和为目标函数建立线性规划模型. 再根据题目所给信息确定三个约束条件: 一,投资上限的约束;二,投资年限的约束;三,每年投资各项目的总额要不大于上一年份产生的利润和剩余本金. 这样就建立了问题一的线性规划模型,然后用Lingo软件对其求解,并对结果中已达投资上限的项目增加1万元投资额做灵敏度分析. 3.2问题二的分析 考虑项目之间的相互影响,给出了往年各项目独立投资及某些项目之间相互影响下的投资的数据表,要我们根据往年数据,预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率. 首先,根据题意我们定义: 项目的到期利润率=到期利润投资额. 然后,我们需要定义两种条件下的各项目的风险损失率,根据题中表2与表3的数据我们知道项目投资有收益也有亏损,存在亏损是一种风险,不能实现预期收益率也是风险,因此,我们定义: 项目的风险损失率=历年项目到期利润率的方差. 到期利润率的方差越大,表明该项目的实际收益绕预期收益率的波动程度较大,从而不能实现预期收益率的可能性越大,投资风险也越大. 接着,我们分析表中的数据特征,发现它们是随时间变化的数据序列,所以我们决定用时间序列分析. 又考虑到历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的,所以我们选用更切合实际的方法,即对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值的指数平滑法. 根据数据分布特点,我们用三次的指数平滑法建立模型,并用MATLAB软件编程对表2和表3的各项目数据进行分析预测. 其中三次指数平滑法模型的流程图如下: 图3-2: 模型二的算法流程图3.3问题三的分析 要求根据问题二的预测结果及5年投资计划中的一些新情况确定投资计划,使第五年末所得利润最大. 相比第一问,此问的初始条件即项目的到期利润率和投资上限发生了变化,它们是问题二的预测结果. 另外,问题三要考虑项目投资是否独立的情况. 除此之外,项目1和项目5也有了新的投资规定. 经过上面的分析,我们发现,尽管问题一和三有不同,但我们仍可以用问题一的模型分析问题三,只需要在模型一的基础上做相应的变化,增加新投资规定的约束条件,并考虑项目是否独立投资建立新的线性规划模型. 最后,用Lingo软件对其求解. 3.4问题四的分析首先,我们定义以投资额乘以风险度作为风险的度量.因为投资越分散,总的风险越小,我们将总体风险用所投资的项目中最大的一个风险来度量. 另外,我们将考虑投资风险去安排投资的决策标准定为: 固定风险使得利润最大化. 然后,考虑投资的两个相关特征到期利润率、风险利润损失率,结合每种投资项目之间的关系这三类信息分析,辨识出有效的投资组合后,在问题三的模型上建立一个总的风险最小、利润最高的双目标规划模型. 为了便于求解,我们给定风险上限,增加一个使得最大风险小于风险上限的约束条件,使模型转化为目标单一化的模型. 最后,利用Lingo软件求解. 另外,在结果分析中,我们考虑到不同投资者的风险、收益的偏好程度不同: 有的希望固化风险,利润最大化;有的希望固化利润,风险最小化;有的则希望平衡风险、利润. 因此,我们在以风险上限为偏好指标,对不同投资偏好者给出不同的投资建立. 3.5问题五的分析 为了降低投资风险,公司可拿一部分资金存入银行,为了获得更高的收益,公司可在银行贷款进行投资.所以此问涉及银行存贷问题,由于实际生活中存贷关系较为多样,考虑起来比较复杂,为了使接下来的问题解决不过于复杂,我们假设存款和贷款是整存整取的,即都在每年的年初存款(贷款),且存款和贷款的年限都以一年为期.并在中国人民银行官方网站上查得: 一年期的存款年利率为3.25 %,一年期的贷款年利率为6.31%. 在上面的假设下,根据题意就有如下改变: 每年的贷款会使当年初的投资金额增加;每年的存款会使当年初的投资金额减少;下一年先得把上一年的贷款还上,把存款取出,再进行存款和取款.另外,总利润还应包含存款获利与贷款损失的差值. 最后,我们在模型四的基础上增加或改变相应的条件即可建立问题五的模型. 同样运用Lingo软件求解,得到新条件下的五年投资计划. 4. 数据分析把题目所给数据信息分类整理: 整理一: 将题中表1各投资项目的预计到期利润率及投资上限绘制成下面的图,即: 图4-1: 各投资项目的预计到期利润率及投资上限关联图从题目我们可以知道,为了获得最大的利润,项目的到期利润率越高越好. 但从上图看出: 由于许多项目虽然其到期利润率高,但投资上限低,例如项目6的到期利润率为0.5,但其最多只能投20000万元,所以必须综合考虑这两种因素. 整理二: 考虑到部分项目的投资方案比较特别,本利回收的期限也各不相同,所以,不仅仅要考虑上面的两种因素,还得考虑每种项目的投资特点. 为此,我们提出了项目最高年利润的概念,即最高年利润=项目的投资上限到期利润率收回本利的年数,这样,最高年利润就在同等条件下衡量了项目的投资回报情况,也便于我们对项目的投资前景作估计. 下面就是根据给出的定义式,算出并绘制的题中表1各项目最高年利润柱状图,即: 图4-2: 各项目最高年利润柱状图由图中可以看出项目7的最高年利润最大,项目1其次,故我们估计要使五年末的利润最大,项目7和1的投资应该加大.又因为项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利,项目1则可年年投资当年末收回本利,所以要增大利润,应该要年年投资项目1,第二年投资项目7,且投资额都应加大. 整理三: 定义项目的到期利润率=到期利润投资额,用此公式对题中表2与表3的数据进行计算整理后,得到20年间各投资项目独立投资时历年的到期利润率及一些投资项目同时投资时历年的到期利润率,供以后的数据预测使用,具体结果见下面两个表: 表4-1: 各投资项目独立投资时历年的到期利润率 项目年份1234567819860.15950.02190.31070.1581-1.82791.85273.23791.799919870.16750.02380.43590.19410.6743-0.21202.10001.945819880.15160.11120.38110.1641-0.6035-1.34097.28632.300619890.14830.09600.13200.23942.00320.66912.6132-1.775719900.15470.06890.53710.20413.58521.3710-3.2187-0.511819910.17270.12190.42680.21370.7418-1.43852.86360.431419920.13040.11950.24230.18011.61010.2004-9.54454.225219930.21350.17480.45810.32141.64730.94755.61744.064719940.08580.16220.37290.23911.3885-0.3611-5.78081.501319950.15090.18100.20290.17411.39260.306113.51673.028319960.13480.19300.54920.33611.37811.3683-3.15781.011419970.14720.15210.23330.29420.69900.751518.44862.494019980.18430.18960.25130.33170.73701.3867-4.2770-1.198119990.10370.18550.25560.3082-0.16141.4925-4.8448-1.371720000.14450.21070.51920.25981.03991.29992.82965.186020010.18170.24580.51640.32101.21551.3099-9.60762.673620020.14700.19730.26770.34120.64831.045717.5468-2.139420030.10390.18120.26400.37000.92911.1080NaN3.901920040.19080.18040.31830.4159NaNNaNNaNNaN20050.13080.1548NaNNaNNaNNaNNaNNaN表4-2: 一些投资项目同时投资时历年的到期利润率 项目年份同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、8345656819860.23820.46670.33130.87361.53450.8431-0.629919870.43160.44870.40230.5373-0.51622.76772.747419880.49090.42890.07413.15930.80190.4133-0.745619890.32370.41160.08530.60510.74420.20962.644219900.29390.47050.0966-1.0626-0.1370-0.7665-0.302319910.45760.48561.48931.46862.98000.89151.149619920.67540.43820.05470.16530.8173-0.02722.394019930.47210.48190.9247-0.65520.5672-0.05254.050419940.32550.4587-0.19340.38031.43983.00872.321019950.53960.39301.24510.01090.70580.42421.653819960.63910.32320.18200.2019-0.51061.51492.584719970.30960.4485-0.01672.1279-0.57830.78331.706419980.73190.39390.97240.36191.01590.87192.603019990.56240.43641.9492-0.6544-0.24832.0649-0.543920000.26360.39111.00631.69440.88070.38742.389520010.52090.38211.3142-1.08411.7369-0.7481-1.006420020.61670.45310.28503.31100.61500.16880.826320030.46500.44191.27851.54932.18360.91680.711120040.47090.4745NaNNaNNaNNaNNaN5问题一的解答针对问题一我们建立了线性规划的模型一.5.1模型一的建立5.1.1确定目标函数为了求得5年所得的最大利润,我们以每次投资的利润的总和建立目标函数,即: 5.1.2确定约束条件约束一,投资上限的约束: 约束二,投资年限的约束: 第一年可以投项目1,2,3,4,5,6;第二年可以投项目1,2,3,4,5,6,7;第三年可以投项目1,2,3,4,5,6,8;第四年可以投项目1,2,3,4;第五年可以投项目1,2.由此可得到项目与年限的投资关联表,其中1表示该年可以投资此项目,0表示该年不可投资此项目,即: 表5-1-1: 项目与年限的投资关联表 项目号年号12345678111111100211111110311111101411110000511000000约束三,每年投资各项目的总额要不大于上一年份产生的利润和剩余本金: 先求每年末回收的本利. 第一年末可以回收本利的项目有: 1,2.,即: 第二年末可以回收本利的项目有: 3,4,1,2,即: 第三年末可以回收本利的项目有: 5,6,3,4,1,2,即: 第四年末可以收回本利的项目有: 5,6,3,4,1,2,即: 故第年初的投资总额满足: 综上所述,得到问题一的最优化模型: 5.2模型一的求解根据建立的模型用Lingo软件代入数据求解(源程序参见附录一)得到第五年末所得最大利润为174140.5万元,具体的5年投资安排情况见下表: 表5-2: 模型一的求解结果(单位: 万元) 项目号年号12345678第一年51545.453000038454,55300003000020000-第二年-300002000040000-第三年-6168.183000020000-30000第四年-35004000030000-第五年55218.5930000-注: “-”表示该年不投资该项目5.3结果分析:由上面的求解结果可以看出: 项目1、2、3、4投资时有的没有达到投资上限,而项目5、6、7、8只要投资就是以投资上限投资. 将此结果与数据分析中的图1对比分析可知道: 这种现象产生的原因可能与项目的到期利润率有较大关系而与投资上限的大小没有必要关系,从图1中我们明显看出项目5、6、7、8的到期利润率较其他项目高很多,此时以最大投资上限投资回收的利润高,而当到期利润率小到一定值时就不仅仅要考虑投资上限,还要考虑其他因素的综合影响. 5.4灵敏度分析:经过结果分析后我们发现: 当投资达到最大利润时,某些项目已经达到了投资上限,如果投资没有上限,即增加已达到投资上限的项目的投资额,利润会不会增加呢？为此,我们用Lingo软件对结果进行灵敏度分析,对已达到投资上限的项目增加1万元的投资额,总的利润的增加情况见下表: 表5-4-1: 问题一的灵敏度分析结果(单位: 元) 项目号年号12345678第一年-158.7-279.4242825-第二年-75625212.5-第三年-5301030-1530第四年-290490-第五年-100-注: “-”表示该年不投资该项目或该项目的原投资额没有达到上限由上表可以看出: 总利润的多少与某些项目的投资上限有关,当这些项目的投资额增加时,总利润也会增加,但增加的数目差距较大. 例如在第三年投资项目8时增加一万的投资额,将会使总的利润增加1530元,这个增利是相当可观的;但若在第二年投资项目5时增加1万元的投资额,总利润仅增加75元. 由此我们可以知道: 适当的增加某些项目如项目6和项目8的投资上限,可能带来更大的收益,公司在做财务预算时应当考虑这点. 6问题二的解答针对问题二我们建立了时间序列的三次指数平滑模型,即模型二.6.1模型的准备三次指数平滑法是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值. 根据对此方法的了解我们发现,加权系数与初始值的选择对三次指数平滑的结果可能比较关键. 加权系数的选择: 在进行指数平滑时,加权系数的选择是很重要的. 的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比重. 值越大,新数据所占的比重就愈大,原预测值所占的比重就愈小,反之亦然. 新预测值是根据预测误差对原预测值进行修正而得到的. 的大小则体现了修正的幅度,值愈大,修正幅度愈大;值愈小,修正幅度也愈小. 值应根据时间序列的具体性质在01 之间选择. 具体如何选择一般可遵循下列原则: 原则一,如果时间序列波动不大,比较平稳,则应取小一点,如(0.10.5). 以减少修正幅度,使预测模型能包含较长时间序列的信息;原则二,如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向,则应取大一点,如(0.60.8). 使预测模型灵敏度高一些,以便迅速跟上数据的变化. 初始值的确定: 用指数平滑法进行预测,除了选择合适的外,还要确定三个指数平滑值的初始值. 这三个初始值是由预测者估计或指定的. 当时间序列的数据较多,比如在20 个以上时,初始值对以后的预测值影响很少,可选用第一期数据为初始值. 如果时间序列的数据较少,在20个以下时,初始值对以后的预测值影响很大,这时,就必须认真研究如何正确确定初始值. 一般以最初几期实际值的平均值作为初始值. 6.2模型二的建立指数平滑值的计算公式为:其中加权系数满足: 预测模型的常数项、一次项、二次项系数、满足以下式子: 综上,以第期指数平滑值作为期预测值得到三次指数平滑法的预测模型为: 6.3模型二的求解由上述模型编写相应的MATLAB程序(源程序参见附录二),通过不断调整加权系数的值进行最优预测模型的探寻. 最后,我们发现时得到的预测模型最好,此时的预测模型的到期利润率及风险损失率的预测结果见下表: 表6-3-1: 问题二预测模型独立投资的预测结果项目1234567820060.17800.14570.23200.45930.89070.830911.2672-0.743720070.15050.12280.18500.44200.98710.7611-0.56081.781020080.17780.12700.19960.47330.93880.712610.3359-0.501120090.15740.10890.16390.45971.01430.65171.49651.392020100.17790.11140.17480.48220.98070.60909.6607-0.3126风险利润损失率0.03100.06000.12630.07741.11960.95398.50652.2216表6-3-2: 问题二预测模型的同时投资的预测结果项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、8345656820060.48280.48440.82613.19432.64060.30690.149520070.45630.51110.30004.07822.0994-0.5087-0.280720080.46960.50500.64313.79372.81910.1196-0.003420090.44910.52550.24144.45862.4135-0.4847-0.312120100.45870.52110.49264.24062.9478-0.0071-0.0901风险利润损失率0.14410.04160.63561.29360.96911.03841.49996.4结果分析:分析一: 对建立的三次指数平滑模型的预测结果进行检验. 分别绘制出这20年独立投资和同时投资时,每个项目的模型预测到期利润率与实际的到期利润率的曲线,即为下面的图6-4-1和图6-4-2,并求出其残差的平均值(预测值与实际值的相对平均误差): 独立投资时预测模型的残差平均值为0.3387;同时投资时预测模型的残差平均值为0.1963.图6-4-1: 独立投资的预测检验图6-4-2: 同时投资的预测检验根据上面的检验结果,我们可以看出,三次指数平滑法建立的预测模型的预测结果还是较好的,预测误差的平均值都比较低,所以预测是满足条件的. 分析二: 对各项目单独投资与同时投资的利润率比较分析分别对有同时投资的项目绘制单独投资与同时投资的比较分析图,然后进行分析. 图6-4-3: 项目3、4单独投资与同时投资时未来5年利润率的比较分析图又上图可知:在项目3和项目4单独投资与同时投资时,项目3、4同时投资时明显比在各自单独投资时的利润率要大.同时由我们将求得的项目3、4的风险损失率比较可知,同时投资项目3、4的风险损失率比单独投资时要低.所以我们在接下来的考虑如何安排投资时尽量同时投资项目3和项目4.图6-4-4: 项目5、6单独投资与同时投资时未来5年利润率的比较分析由上图可知:在项目5和项目6单独投资与同时投资时,单独投资项目5未来5年的利润率比同时投资时项目5的利润率要高,但是项目6在同时投资时比单独投资时的利润率要高.且项目6同时投资时升高的利润率比项目5同时投资时的减少的利润率要高.图6-4-5: 项目5、6、8单独投资与同时投资时未来5年利润率的比较分析图由上图可知:在项目5、项目6和项目8单独投资与同时投资时,项目5同时投资时未来5年的利润率都要比单独投资时的利润率要高.项目6同时投资时未来5年的利润率比单独投资时的利润率要低.项目8在未来5年同时投资时的利润率有时比单独投资时低,单第三年的利润率要比单独投资时高.分析三: 分析预测模型预测的五年的到期利润率及风险损失率. 一,分别分析独立投资和同时投资的预测结果我们发现: 项目1、2、3、4、5的到期利润率的波动相对较小,而项目7、8的到期利润率的波动相对较大,且存在亏损情况. 为了得到最大的利润,应该尽量多投资到期利润率稳定较高且风险低的项目4、6,而避免投资到期利润率不稳定且亏损率高的项目8.二,联合比较分析独立投资和同时投资的预测结果我们发现: 项目3、4同时投资比独立投资的总体利润率高;项目5、6同时投资比项目5、6、8同时投资好,也比它们独立投资好. 为了得到最大利润,安排五年投资计划时应该尽量同时投资项目3、4和项目5、6. 7问题三的解答针对问题三我们建立了新的线性规划模型,即模型三.7.1模型三的建立7.1.1确定目标函数考虑到项目1投资超过20000万可获得1%的资金捐赠,这也算是一种收益,故在模型一的基础上目标函数变为: 7.1.2确定约束条件与问题一相同的约束条件在此不作重复说明. 新约束一: 由于此问考虑独立投资与同时投资的不同,所以原模型中项目预计到期利润率变为第年投资项目的实际利润率,它以下分为两种情况,一， 项目独立投资,则有;二， 项目同时投资,则以表示同时投资的项目,化简上式得新约束二: 项目5的投资额固定为500万,可重复投资,故: 新约束三: 项目1投资超过20000万可获得该投资金额1%的捐赠,即第年初投资项目1获得的捐赠满足新约束四: 项目1投资超过20000万可获得1%的资金捐赠,这笔资金可用于当年的其他项目的投资,故7.1.3综上所述,得到问题三的模型: 7.2模型三的求解根据建立的模型用Lingo软件代入数据求解(源程序参见附录三)得到第五年末所得最大利润为224435.6万元,具体的5年投资安排情况见下表: 表7-2: 模型三的求解结果(单位: 万元) 项目号年号12345678第一年6000060000-30000-40000-第二年6000020622-30000-40000-第三年55922.6-30000-40000-第四年6000060000-30000-第五年6000060000-注: “-”表示该年不投资该项目7.3结果分析:将上面的求解结果结合问题二的预测结果分析得: 收益见效快的项目1、2的投资金额大多处于允许的最大投资额,这就使得在下一年有足够的可用资金去做更多投资,获得更多利益;每年都投资了项目1,这是由于项目1投资过2亿就有1%的捐赠;较多的选择了项目6、4,投资,可能是因为这两个的利润率都比较高且较稳定;没有选择项目7、8可能是由于出现亏损情况且利润率不是很高. 8问题四的解答针对问题四我们建立了又一个线性规划模型,即模型四.8.1模型的准备根据实际情况及题意要求,我们分析投资应满足一下准则: 准则一: 如果两种投资组合具有相同的风险损失率和不同的到期利润率,投资者应选择到期利润率高的组合;准则二: 若两种组合到期利润率相等,则选择风险小的组合;准则三: 若一组合比另一组合有较小的风险和较高的到期利润率. 则选择这一组合. 8.2模型四的建立8.2.1确定目标函数根据之前的分析,我们知道风险=投资额风险利润损失率,即: . 以模型三位基础建立一个总的风险最小、利润最高的双目标规划模型,其目标函数如下: 这是一个双目标的规划问题,要使总的风险最小又使利润最高,但这两点本身是矛盾的. 而投资者在权衡风险和利润两方面时,希望选择一个令自己满意的投资组合. 若给定风险上限,使得最大的一个风险,则可以找到最佳的投资方案,即得到简化的单目标模型: 8.2.2确定约束条件经过问题分析我们知道,问题四只用在问题三模型的基础上加上风险的约束即可得到新的约束条件. 而风险的约束同样要分为独立投资与同时投资两种情况,即: 独立投资: ;同时投资: . 在简化模型的过程中新增的约束条件为: 8.2.3综上所述,得到问题四的模型: 8.3模型四的求解根据建立的模型用Lingo软件求解(源程序参见附录四),取风险上限,得到第五年末所得最大利润为182579.7万元,具体的5年投资安排情况见下表: 表8-3: 模型四的求解结果(单位: 万元) 项目号年号12345678第一年600006000035000-40000-第二年2000016551.23-16708.93-40000-第三年20000-17500-40000-第四年6000038700-30000-第五年6000031000-注: “-”表示该年不投资该项目8.4结果分析:将上述结果与问题三没考虑风险的结果对比发现: 大体的项目选择是相同的,但投资额变化较大,这主要是与项目的投资风险利润率有关,风险相对高的项目投资额应较少. 为了分析风险上限与利润的关系,画出利润随着值变化的规律,见下面图8-3-1: 图8-4: 风险对利润率的影响从图中我们可以发现: 1， 在时,利润会随着值的增加迅速增长,这说明风险很小时,利润也会非常小,但只要风险每增加一点,利润都会增加的很多;2， 在这一段,利润增长的速度变得缓慢了,但是仍在增长,而且较后面一段速度快;3， 在后,我们发现利润增长变得异常缓慢,而且在中间过程中还出现了下降的情况,从这里可以推断,投资者不会把值选在这一段. 通过上面的分析,此公司应该将值选在这一段,至于具体选什么值就根据投资者的投资偏好了: 对于那些喜欢冒险的投资者可选高风险但高利润的值;对于那些比较保守的投资者可选风险低但利润不高的值. 9问题五的解答针对问题五我们建立了模型五.9.1模型五的建立9.1.1 确定目标函数根据问题分析我们知道,总利润还应包含存款获利与贷款损失的差值,即: 所以,模型四的目标函数变为: 9.1.2确定约束条件问题分析中已经知道: 每年的贷款会使当年初的投资金额增加,即每年年初可用于投资项目的钱要加上贷款部分;每年的存款会使当年初的投资金额减少,即每年年初可用于投资项目的钱要减去存款部分;下一年先得把上一年的贷款还上,把存款取出,再进行存款和取款. 所以,我们先算出初始值,即第1年可用于投资的银行款项: . 再写出第年可用于投资的银行款项的递推式: 最后得到每年可用于投资的金额的表达式: 9.1.3综上所述,得到问题五的模型为: 9.2模型五的求解根据建立的模型用Lingo软件求解(源程序参见附录五),得到第五年末所得最大利润为237657万元,具体的5年投资安排情况见下表: 表9-2-1: 模型五的求解结果(单位: 万元) 项目号年号12345678第一年6000060000-30000-40000-第二年6000060000-30000-40000-第三年6000060000-30000-40000-第四年6000060000-30000-第五年6000060000-注: “-”表示该年不投资该项目这种投资方案的的投资风险为,五年中每年初的在银行的存贷款情况见下表: 表9-2-2: 五年中每年初的在银行的存贷款情况(单位: 万元)第一年第二年第三年第四年第五年存入10600贷款76124存入84078.26存入965.65存入145067.69.3结果分析:从上面结果发现: 收益见效快的项目1、2仍基本处于投资上限,使得有足够的可用资金去做更多投资,获得更多利益;而受益见效慢且利润率波动较大的项目7、8仍不见投资. 在增加了银行存贷情况后,五年的投资安排较问题四的不同在于: 只要投资就是达到投资上限,这与增加了银行贷款有较大关系,因为增加银行贷款基本可以满足投资最大化. 另外,从五年的银行存贷情况来看,除了第二年基本每年的资金都不仅够周转还有剩余的资金可存入银行. 此方案的投资风险为0.4,不低也不是很高,基本符合投资的要求. 在现实生活中我们可以根据投资者的偏好选择风险不同的投资. 10. 模型的评价10.1模型优点:优点一: 问题一中我们建立了时间序列的三次指数平滑法模型,对利润率进行了模拟,并对模型的可行性进行了检,预测结果比较可靠. 优点二: 在估计风险损失率时我们将到期利润率的方差作为风险损失率,定义以投资额乘以风险度作为风险的度量,使模型简化.优点三: 模型四我们建立的是多目标函数,考虑到利润和风险需要兼顾,我们通过改变投资风险的相关指标,使利润达到最大化,得到了比较好的投资方案的同时简化了计算;优点四:从模型一到模型五我们一步步将现实情况下在投资方面的情况考虑将来,模型一步一步向前推进,有利于对每个问题很好的分析和解答. 10.2模型缺点缺点一: 模型没有考虑利润率在项目投资期限内的变化以及投资金额不同时同时投资间相互的影响不同的情况.缺点二:在问题五中考虑银行贷款和存款其实是一个相当复杂的过程,存在活期定期,存取的时间不同年利率也不同,我们为了简化计算处理得比较理想,这个处理不是很符合现实生活中的投资决策. 11. 模型的改进及推广11.1模型改进改进一: 考虑各种贷款和存款的实际情形,使模型更加的适用.改进二: 改进预测模型,使用预测效果更好的非平稳时间序列预测模型,进一步提升预测效果.改进三:对有关经济活动进行仔细的研究,找出其他因素对投资的影响,最后综合各种因素建立模型.11.2模型推广本文所建立的模型对企业及个人投资管理、风险预测等方面有着一定的借鉴意义,为其获得最大利润提供参考,在经济领域有着广泛的应用.同时还可以用于其他资源的合理安排等.参考文献1 宋来忠,王志明,数学建模与实验,北京:科学出版社,2005.2 运筹学教材编写组编,运筹学(3版),北京:清华大学出版社,2005.63 张志涌,杨祖缨,matlab教程R2011a,北京:航空航天大学出版社,2011.7附录附录一: 模型一求解的Lingo源程序model:title 公司投资问题分析;sets: year/1.5/;!年份; project/1.8/:p,g;!项目; cost(year,project):x;!投资;endsetsdata: p=0.1,0.11,0.25,0.27,0.45,0.5,0.8,0.55;!利润率; g=60000,30000,40000,30000,30000,20000,40000,30000;!项目投资上限;enddata!各年份可投资项目限制;for(project(i):x(1,i)=if(i#gt#6,0,x(1,i);