（电力电子与电力传动专业论文）模糊控制及其在markov跳变非线性系统中的应用.pdf

a b s t r a c t a sa l la l t e r n a t i v em e t h o dt oc o n v e n t i o n a lc o n t r o la p p r o a c hf o rc o m p l e xc o n t r o l s y s t e m s ，f u z z yl o g i cc o n t r o lh a sr e c e i v e dm u c ha t t e n t i o ni nt h ep a s td e c a d e s i th a s b e e ns h o w nt h a tf u z z yl o g i cc o n t r o li so n eo ft h em o s tu s e f u lt e c h n i q u e sf o ru t i l i z i n g t h eq u a l i t a t i v ek n o w l e d g eo fas y s t e mt od e s i g nc o n t r o l l e r s ag r e a tn u m b e ro f i n d u s t r i a la p p l i c a t i o n sv i af u z z yl o g i cc o n t r o lh a v eb e e nr e p o r t e d a m o n gv a r i o u s m o d e l - b a s e df u z z yc o n t r o la p p r o a c h e s ，t h em e t h o db a s e do nt h et a k a g i - s u g e n o ( t - s ) f u z z ym o d e lh a sb e c o m ep o p u l a rt o d a y ，w h i c hg i v e sas i m p l ea n de f f e c t i v ew a yt o c o n t r o lc o m p l e xn o n l i n e a rs y s t e m s t h em a i nf e a t u r e so ft h i sa p p r o a c ha r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，an o n l i n e a rs y s t e mi sr e p r e s e n t e db yat - sf u z z ym o d e l ，i nw h i c hl o c a ld y n a m i c s i nd i f f e r e n ts t a t es p a c er e g i o n sa r er e p r e s e n t e db yl i n e a rm o d e l s t h e n ，t h eo v e r a l l m o d e lo ft h es y s t e mi sa c h i e v e db yaf u z z y b l e n d i n g ”o ft h e s ef u z z ym o d e l s b a s e d o nt h i s ，t h ec o n t r o ld e s i g nc a l lb ec a r r i e do u tb yt h es o c a l l e dp a r a l l e ld i s t r i b u t e d c o m p e n s a t i o n ( p d c ) s c h e m e m a r k o v i a nj u m ps y s t e m ( m j s ) i sac l a s so fr e a ls y s t e m s ，w h i c hh a v eb e e nw i d e l y u s e di nc o n t r o la n dc o m m u n i c a t i o ns y s t e m o v e rt h ep a s td e c a d e ，m a n yi m p o r t a n t i s s u e sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e df o rm a r k o v i a nj u m pl i n e a rs y s t e m s b u tf o rt h e r e a s o no ft h ed i f f i c u l t i e si nj u m p sa n dn o n l i n e a r , v e r yf e wr e s u l t sa r ea v a i l a b l ef o rt h e c o n t r o ld e s i g no fm a r k o v i a nj u m pn o n l i n e a rs y s t e m s ( m m s s ) t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hf u z z yc o n t r o la n di t sa p p l i c a t i o ni nm a r k o v i a nj u m p n o n l i n e a rs y s t e m s f i r s t l y , t h ed e v e l o p m e n to ft - sf u z z yc o n t r o li nr e c e n ty e a r si s r e v i e w e d t h e n ，b a s e do nac l a s so fp i e c e w i s el y a p u n o vf u n c t i o n s ，w eg i v ean e w c o n t r o l l e rd e s i g na p p r o a c hf o rt h ec o n t i n u o u sa f f i n et - sf u z z ys y s t e m s ，a n da n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sp r o v i d e d t h e n , t h eh 。c o n t r o lp r o b l e mo ft h ed i s c r e t e - t i m em a r k o v i a nj u m pn o n l i n e a r s y s t e m si sc o n s i d e r e d u s i n gt h et a k a g i - s u g e n oi f - s ) f u z z ym o d e l ，t h em a r k o v i a n j u m pn o n l i n e a rs y s t e mc a nb er e p r e s e n t e db yam a r k o v i a nj u m pf u z z ys y s t e m s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n si nt e r mo fl i n e a rm a t i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) a r ed e r i v e do n s t o c h a s t i c a l l ys t a b i l i t ya n dap r e s c r i b e dh 。p e r f o r m a n c e i nt h ec a s et h a tt h e r eh a sa m o d e - o b s e r v e ro rn o t , b o t ht h em o d e d e p e n d e n ta n dm o d e - i n d e p e n d e n tc o n t r o l l e r d e s i g na p p r o a c h e sb a s e do nl m it e c h n i q u ea r ep r o v i d e d i ti ss h o w nt h a tt h ea b o v e p r o b l e m sc a nb es o l v e di fas e to fc o u p l e dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sh a ss o l u t i o n s n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e dt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d s p r o p o s e db yt h i sd i s s e r t a t i o n k e yw o r d s ：f u z z ys y s t e m , f u z z yc o n t r o l ，m a r k o v i a n j u m ps y s t e m , h 。c o n t r o l ， r o b u s tc o n t r o l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人住导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文小特别加以标注和致谢之处外，论文- p 不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也小包含为获得叁鲞叁堂或其他教育枧构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位做作者签名：誊长壤 签字魄 沏6 年j2 月2 8 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁鲞盘堂司。以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向同家有芙部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 夺骥 导师签 签字日期：2 6 年j2 月2 日 签字日期：勿彳年夕月珊 天津大学博士学位论文 模糊控制及其在m a r k o v 跳变非线性系统中的应用 1 1 引言 第一章绪论 1 9 6 5 年，美国控制理论专家查德( l a z a d e h ) 发表了开创性的论文“模糊 集合论”，由此开创了模糊数学及其应用的新纪元 1 - 3 。笼统的说，模糊集合是一 种特别定义的集合，它可以用来描述模糊现象。有关模糊集合、模糊逻辑等的数 学理论，称之为模糊数学。 模糊性也是一种不确定性，但它不同于随机性，所以模糊理论不同于概率论。 模糊性通常是指对概念的定义以及语言意义上的不确定性。例如，“老人”、“温 度高”、“数量大等所含的不确定性即为模糊性。可见，模糊性主要是人为的主 观理解上的不确定性。而随机性则主要反映的是客观上的自然的不确定性，或者 是事件发生的偶然性。偶然性和模糊性具有本质上的不同，它们是不同情况下的 不确定性。例如，“明天有雨的不确定性是由今天的预测产生的，时间过去了， 到明天就变成确定的了。再有“掷一下骰子是4 点”的不确定性是根据投掷之前 的推测判断的，实际投掷后就成为了确定性时间了。但是“老人”、“温度高”等 的不确定性，即使时间过去了，即使做了实验，仍然是不确定的，这是由语言意 义模糊性的本质所确定的。 模糊集合是一种特别定义的集合，它与普通集合既有联系也有分别。对于普 通集合来说，任何一个元素要么属于该集合，要么不属于，非此即彼，界限分明， 绝无模棱两可。但对于模糊集合来说，一个元素可以是既属于又不属于，亦此亦 彼，界限模糊。例如，考察一个人是否为“老年人一时，当被考察对象年龄在 6 0 甚至7 0 岁以上时，大多都可以毫不犹豫地将其归入“老年人，当对象年龄 在5 0 甚至4 0 岁以下时，一般也可以很方便地将其排除在“老年人”以外。但是 当对象年龄在5 5 岁时呢? 在一些平均寿命为6 0 岁左右或更低的地区，可以被人 们认为是“老年人，而在某些平均寿命年龄在1 0 0 岁以上的长寿地区被认为是 “中年人”甚至“青年人也不为过。这就是关于“老”的连续值逻辑，是用人 为的量作为边界来划分属于还是不属于某个集合。 第一章绪论 模糊控制是模糊集合理论应用的一个重要方面。模糊数学用于控制始于 1 9 7 3 年【4 】，其后模糊数学得到了迅速的发展，主要研究方面在：模糊逻辑( 隶属 度函数，模糊推理，解模糊) ；模糊控制器的设计，模糊逻辑硬件设计；应用研 究等等。模糊控制系统的研究具有丰富的内容。9 0 年代以来，模糊控制系统【5 。5 】 的研究取得了一些比较突出的进展，如模糊系统的万能逼近特性，模糊状态方程 及稳定性研究，软计算技术等等，这些研究逐步丰富和发展了模糊系统的理论体 系。 1 2 模糊系统及其逼近特性 1 2 1 模糊系统简介 模糊系统是一种基于知识或基于规则的系统 1 6 - 1 8 】。它的核心就是出所谓的模 糊规则所组成的知识库。一个模糊规则就是一个用连续隶属度函数对所描述的某 些句子所做的陈述。 模糊系统是由模糊规则基、模糊推理、模糊化方法、解模糊化方法四部分组 成。设工u = u u n 墨置以为模糊系统的输入，j ，vc r 为模 糊系统的输出，那么，模糊系统构成由子空间u 到子空间矿上的一个映射。 广： ： ： ：岳二：= ：= = ：苫： - ： ：= 弋? ：? 巳y 二二： ： ： ： 。一 ： o ： ： ： ： -： ： 鲁面 l 兰竺兰 ilou ：至兰兰兰l _ 了r l 拘芦 鼍一旨i 嚣拓：oi ：一蔗曼j 酋i 卜 上的xil i i 匕i v y ：；： ；占； i ： i 亨 ! i -： ! -：二：二；： - l 一 ：工? 嚣：= 二二l o： 一： ： i - - - - - - - - - - 一二 图卜1 模糊系统的基本结构图 ( 1 ) 模糊规则基 模糊规则基是由若干模糊“如果一则”规则的总和组成，即 2 天津大学博士学位论文模糊控制及其在m a r k o v 跳变非线性系统中的应用 r = r 1 ，r 盯 其中每一条规则都是由下面形式的“i f t h e n 模糊语句构成 r ” ：i f 墨i s 群a n dx 2i s 鬈，i s 群，t h e nyi s 马。 模糊规则来源于人们离线或在线对控制过程的了解。人们通过直接观察控制 过程，或对控制过程建立数学模型仿真，对控制过程的特性能够有一个直观的认 识。虽然这种认识并不是很精确的数学表达，只是一些定性描述，但它能够反应 控制过程的本质，是人的智能的体现。在此基础上，人们往往能够成功地实施控 制。因此，建立在语言变量基础上的模糊控制规则，为表达人的控制行为和决策 过程提供了一条途径。 ( 2 ) 模糊推理 模糊推理是模糊逻辑系统和模糊控制的心脏，它根据模糊系统的输入和模糊 推理规则，经过模糊关系合成和模糊推理合成等逻辑运算，得出模糊系统的输出。 ( 3 ) 模糊化 模糊化方法的作用是将一个确定的点x - - - - ( 而，) u 映射成u 上的一个 模糊集合彳。映射方式至少有两种：单点模糊化和非单点模糊化。在有关模糊控 制的文献中，几乎所有的模糊化算子都是单点模糊化算子。应当指出有当输入信 号有噪声干扰的情况下，非单点模糊化算子比单点模糊化算子更适用。 ( 4 ) 反模糊化 因为在实际控制中，系统的输出是精确的量，不是模糊集，但模糊推理或系 统的输出是模糊集，而不是精确的量。所以，反模糊化的作用是将y 上的模糊集 合映射为一个确定的点y v 。通常采用的反模糊化有这几种形式：最大值模糊 化方法、重心模糊化方法、中心加权平均模糊化方法。 在模糊系统中，由于取用模糊推理规则、模糊化、模糊推理合成、反模糊化 的方法很多，每一组组合都会产生不同类型的模糊系统。 1 2 2 模糊系统分类 粗略的说，模糊系统可以依据其后件变量来划分为以下三种 1 2 - 1 3 】。 t y p ei ：( 语义类型的后件，m a m d a n i 模糊系统) r ”：i f 五i s 群a n d 恐i s 笔，矗i s 群，t h e nyi s c ”。 第一章绪论 t y p eu ：( 单点类型的后件，单点模糊系统) r ”： i f 五i s 群a n d 恐i s 笔，毛i s 群，t h e nyi sy ”。 t y p ei i i ：( 单点类型的后件，t a k a g i s u g e n o - k a n g ( t s k ) 模糊系统) r ”：i f 而i s 群a n dx 2i s 笔，i s 群， t h e ny = 瞄+ 吖而+ 噬而+ + 。 其中，x 孵”是前件变量，群和c ”是模糊集合，y ”是模糊单点，筇是后件 变量的系数。 1 2 3 模糊系统的函数逼近特性 模糊系统的函数逼近特性研究是9 0 年代以来模糊系统理论研究的重要方 向，同时也是模糊系统理论的一个重要分支【3 “3 1 。模糊系统关于连续系统的函数 逼近特性给模糊系统在系统辨识、控制方面提供了重要的理论基础。 关于几类特殊模糊系统的函数逼近特性近年来研究比较多，众多学者针对各 种不同模糊系统分别研究了其函数逼近特性，并指出了这些特殊的模糊系统是一 种万能逼近器。b u c k l e y 删对一类三维模糊系统进行分析，采用s t o n e w e i e s t r a s s 定理证明了这类模糊系统的逼近特性，并指出这类模糊控制器是“u n i v e r s a lf u z z y c o n t r o l l e r ”：w a n g 3 7 】采用g a u s s i a n 型隶属度函数，提出了一类f b f ，证明了一类 模糊系统的逼近特性；k o s k o ”】基于加型模糊系统( a d d i t i v ef u z z ys y s t e m ) ，采用有 限覆盖定理，构造性的证明了一类模糊系统的逼近特性；y i n g 4 1 1 ，z e n g 3 8 1 ， c a s t r 0 1 4 2 等对以上工作做出了相应的拓展。z e n g 基于梯形隶属度函数，采用类似 于w a n g 的f b f ，提出了一类模糊系统，这类模糊系统具有自己的较为特殊的性 质。c a s t r o 对以上的特殊模糊系统做出了一定的推广，提出较为一般性的模糊系 统，其结果相对普遍一些。 早期的函数逼近即万能逼近研究都是基于一类特殊的模糊系统。作为应用， 某些特殊的模糊系统是足够了，但作为模糊系统理论分析，这一点仍不完善。 c a s t r o 4 2 】在分析了前人结果的基础上，提出了一类较为一般的模糊系统，指出了 其万能逼近特性。但由于模糊系统本身具有三大环节，每个环节又具有不同的选 取方法，因此任何一种模糊系统都很难达到“一般”性。随着万能逼近理论的发 展，y i n 9 1 4 1 】首先研究了一般模糊系统作为万能逼近器的充分条件。充分条件的提 4 天津大学博士学位论文模糊控制及其在m a r k o v 跳变非线性系统中的应用 出与w a n g1 3 7 等人的证明较为类似，但换了一个角度来考虑这个问题，并且他提 出的模糊系统也具有一定的一般性。此后，y i n 9 1 4 3 】又分析了一类特殊模糊系统作 为万能逼近器的必要条件。但由于模糊系统本身结构的多样性，给模糊系统的理 论分析带来了一定的难度，尽管许多模糊系统的万能逼近特性容易被证明，但要 研究一般模糊系统的逼近特性仍存在一定的难度。y i n g 的方法，即分开研究其 充分条件和必要条件也是一种新思路。 1 3 模糊系统稳定性分析与t - s 模型的发展近况 稳定性分析是模糊控制的一个基本问趔孓8 1 。尽管模糊控制成效显著，拥有 大量成功的应用，但鉴于模糊控制系统的结构复杂性，控制环境的不确定性及对 系统功能结构和动态行为描述的特殊方式，其稳定性分析方法也远非传统的基于 精确数学模型的稳定性分析方法那样简单和成熟。早期的模糊控制稳定性分析， 有相平面，模糊关系矩阵，描述函数法，频率域圆判据，小增益理论等各种方法， 这些方法大都远未成熟，只能定性的分析模糊系统的稳定性，难以提供一种系统 有效的分析模糊系统的稳定性并设计控制烈1 6 1 。 近年来随着t - s 模型的研究，一种基于t - s 模糊模型的模糊系统的稳定性分 析取得了一定的进展【5 - 引。t a n a k a 6 】和他的合作者采用共同l y a p u n o v 函数，给出 了一个新的t - s 模糊模型的二次型稳定性分析的充分条件，给模糊模型的稳定性 分析提出了新的思路。之后，越来越多的学者开始展开了对t - s 模糊系统稳定性 分析的研究【1 9 - 2 4 f 2 6 】【2 8 】【4 8 】t 4 9 11 6 0 ，并试图找出更为宽松的稳定性分析和系统镇定 的充分条件。 近来，t a n a k a 等0 1 给出了模糊系统放松的稳定性分析和镇定的充分条件。 新的稳定性判据大大减少稳定性分析和设计控制器时的保守性。尤其是在有响应 速度要求，输入和输出受到限制等时，控制器设计的保守性能够大大减少。然而， t a n a k a 等在减少模糊子系统所带来的保守性时采用的是一种分析的方法。针对这 种情况，k i l n 等【19 】又给出了两个新的稳定性分析和控制器设计的充分条件。与 t a n a k a 等的方法不同，k i m 的方法并不是采用分析的方法来分析模糊子系统之 间的耦合，而是利用一个矩阵来处理各个子系统之间的耦合，最后转化为了线性 矩阵不等式的( l m i ) 的形式，能够方便的进行数值分析求出数值解。在k i m 的方 第一章绪论 法中，由于处理各个子系统的耦合的矩阵中的一些元素必须是对称矩阵，这也带 来了一定的保守性，因此文献 4 4 - 4 5 给出了更进一步的结果，允许其为非对称矩阵， 也减少了一定的保守性。直到最近，f a n g 等晰】又给出了新的t - s 模糊系统稳定 性分析和控制器设计的充分条件，并且证明了它相比较之前的结果更为宽松。 f a n g 等的结论也是目前t - s 模糊系统稳定性分析和控制器设计最为宽松的数值 方法。 以上的这些成果都是基于公共的l y a p u n o v 函数，对齐次型的t - s 模糊系统 研究所得出的成果。而仿射型t - s 模糊系统由于具有常数偏差项，通常必须使用 s p r o c e d u r e 来将非凸约束转化为凸约束，因此会导致双线性矩阵不等式( b m i ) 问 题 2 0 - 2 1 】。b m i 问题的数值求解是非常困难的，因此研究仿射型t - s 模糊系统的人 很少。近来，k i m 等 2 0 - 2 1 1 给出了两种方法，一种是采用迭代线性矩阵不等式( i l m i ) 的方法，另一种是采用微分几何的方法。与线性矩阵不等式相比，迭代线性矩阵 不等式的求解更为复杂，由于所求的问题可能是非凸的，因此更难以甚至无法求 得全局最优解。而微分几何的方法只适合于对象的非线性模型已知且能够进行输 入线性化的情况。但是看起来，k i m 等所给出的结果已经是目前最好的结果。 由于采用公共l y a p u n o v 函数所得到的结果仍然比较保守，一些学者试图采 用多l y a p u n o v 函数的方法来进一步降低稳定性分析和控制器设计时的保守性。 如c a o 等【鹕】将状态空间划分为一系列的子空间来设计分段二次稳定的控制律， 但所设计的控制律只有在满足正 墨 s 。0 及任意状态i ，_ ，f l ，都有 p x ( t + j ) = j i x ( s ) = f ，x ( s 1 ) = ，x ( ) = 0 = p x ( t + s ) = j l x ( s ) = i ) 。 定义1 1 和定义1 2 分别给出了离散时间马尔可夫过程和连续时间马尔可夫 过程的定义。由马尔可夫过程的定义可知，在事件的发展过程中，若每次状态的 转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是 无后效性的。 连续时间马尔可夫跳变系统中含有连续时问马尔可夫过程的参数，而离散时 间马尔可夫跳变系统中含有离散时间马尔可夫过程的参数。连续时间马尔可夫跳 变系统的模型如下： 天津大学博士学位论文 模糊控制及其在m a r k o v 跳变非线性系统中的应用 毫= f ( x t ，“，；) ，x o = x ( 0 ) ；r o = r ( o ) 其中：五贸”是系统的状态向量， t 倪”是控制输入，；是一个有限状态马尔 可夫跳变过程，取值为s = 1 ，2 ，n ) 。它的转移概率的定义如下 p u 全p r o b ( r t + a f = z l ，；= f ) 1 岔+ d ( 垃) ， f 孽 【1 + n _ f a t + o ( a t ) ，i = z 其中：f o ，丛竽：0 ，并且对于f 粤有张o ，称作其由f 时刻的模 娟厶t ” “ 式f 转移到f + 时刻的模式z 的转移概率，并且有= 一乃，。矩阵 t = 1 ，f 1 i - - 粥称作转移概率矩阵。 相应的，离散时间马尔可夫跳变系统的模型如下： 薯+ 1 = f ( x t ，i d t ，；) ，x o = x ( 0 ) ；r o = r ( o ) 其中：毗”是系统的状态向量，u t 9 t ”是控制输入，z f 是被调输出，参数，；为 在s = 1 ，2 ，n ) 中取值的离散时间马尔可夫过程，它的转移概率的定义如下 p i p 垒p r o b ( r t + l = 粤i ，；= i ) 并且有既0 ，p i t = 1 。矩阵p = 【见，】舀称作其状态转移矩阵。 目前，马尔可夫跳变系统已经被广泛的应用于制造系统和通信系统领域。马 尔可夫跳变系统的一个典型应用是在网络控制系统中。网络控制系统中，通常具 有时变的不确定时延，这种情况下设计使得系统渐近稳定的控制器会非常困难也 非常保守，采用跳变系统的理论可以设计使得系统随机稳定的控制器，降低了控 制器的保守性。在过去的十多年来，已经有了众多的关于马尔可夫跳变系统的结 果【9 1 1 2 引。有关马尔可夫跳变线性系统的稳定性 9 2 - 9 7 ，可观测性【1 0 0 ，可控性1 删， 日2 和风优化控制【1 0 3 1 ，鲁棒控制【1 叫【1 0 7 1 ，时滞控制【1 悼1 蛔已经有了众多的结果。 s h i 等【l 叫研究了具有固定时滞不确定离散时间马尔可夫跳变线性系统的鲁棒控 制。b o u k a s 等【1 0 8 】研究了具有模式相关时滞的不确定离散时间马尔可夫跳变线性 系统的鲁棒控制。f a r i a s 等【1 0 5 】研究了连续时间马尔可夫跳变线性系统的输出反 馈控制。c a o 等l 1 0 6 j 研究了连续时间马尔可夫跳变线性时滞系统的状态反馈控制。 第一章绪论 x u 等【1 1 2 1 研究了具有模式相关时滞的不确定连续时间马尔可夫跳变线性系统的 滤波器设计问题。s o u z a 等【1 1 9 。1 2 1 1 分别给出了不确定连续时间和离散时间马尔可 夫跳变线性系统的模式无关的控制器以及滤波器的设计方法。近来，y u g u a n g f a n g 等【1 1 0 】系统的总结了马尔可夫跳变线性系统的各种稳定性，可控性，可观测 性，可镇定性，以及它们之间的关系。这些都是大都是马尔可夫跳变线性系统的 一些结果，而对于马尔可夫跳变非线性系统( m 州s ) 的研究仍然很少。 近来，b o u k a s 掣1 2 6 】讨论了马尔可夫跳变非线性系统的也控制问题，所得 到的数值解是基于h a m i l t o n j a c o b i i s a a c 不等式。然而，得到不等式的数值或分 析的全局解仍然非常困难。由于模糊控制能够很好的解决系统中的非线性问题 1 2 5 ，近来一些学者采用模糊控制的方法来解决马尔可夫跳变非线性系统的问题。 如n a t a c h e 等【1 2 6 1 2 7 】采用一个切换t s 模糊系统来描述m j n s ，并且给出了系统模 式依赖的状态反馈鲁棒以控制器设计方法。s i n g 掣1 2 8 】讨论了研究了具有马尔可 夫跳变参数的连续模糊系统的输出反馈也控制。w u 等【1 2 9 】给出了具有马尔可夫 跳变参数的连续模糊系统的模式无关的鲁棒控制方法。然而，这些研究主要集中 在连续时间的m j n s 控制器设计问题，对于离散时间的m j n s 的控制问题，目前 还很少见到有关文献，这促使我们进行这方面的研究。 1 5 本论文主要的研究内容 本文给出了一种新的连续型t - s 模糊系统的基于分段l y a p u n o v 函数的控制 方法，并且讨论了不确定离散时间马尔可夫跳变非线性系统( m j n s ) 的模糊控制 问题。具体来说，有以下几部分工作： ( 1 ) 系统回顾并讨论了t - s 模糊系统稳定性分析及控制器设计近年来的研究 与发展。 ( 2 ) 采用一种分段l y a p u n o v 函数，给出了一种连续时间仿射t - s 模糊系统的 控制方法。 ( 3 ) 研究了不确定离散时间m j n s 的模式依赖( m o d e d e p e n d e n t ) 的状态反馈 控制器设计问题。首先，采用一个离散时间马尔可夫跳变模糊系统( m j f s ) 来描述这个不确定离散时间m j n s 。然后假定在系统跳变标识( 模式) 可以 l o 天津大学博士学位论文模糊控制及其在m a r k o v 跳变非线性系统中的应用 在线实时检测的情况，给出了一个能够使得离散时间m j n s 的闭环系统 鲁棒稳定且具有鼠范数界y 的状态反馈控制器存在的充分条件。模糊控 制器的设计可以通过求解一组耦合的线性矩阵不等式来获得。 ( 4 ) 在对离散时间m j n s 的模式依赖的状态反馈控制器的研究基础上，又考 虑了系统跳变标识无法在线实时检测的情况，给出了其模式无关 ( m o d e i n d e p e n d e n t ) 的鲁棒玩模糊控制器的设计方法。我们给出一个了 一个矩阵不等式的引理，消除了随机l y a p u n o v 函数矩阵与控制器矩阵参 数之间的耦合，控制器的设计可以同作求解一组耦合的线性矩阵不等式 来获得。相比过去一些马尔可夫跳变系统模式无关的控制方法，既将待 求的矩阵不等式转化为了l m i 的形式，又不像采用单一的l y a p u n o v 函 数那样给求解带来很大的保守性。 本论文共分为六章。 第一章为背景介绍以及选题意义，介绍了模糊系统和马尔可夫跳变系统的历 史、研究背景与研究成果。第二章系统介绍了t - s 模糊系统的稳定性分析以及控 制近年来取得的成果。 第三章至第五章为主要的研究结果。第三章我们基于一种分段l y a p u n o v 函 数，给出了一种连续时间仿射t - s 模糊系统的控制方法。 第四章对不确定离散时间马尔可夫跳变非线性系统进行了研究，我们假定系 统的跳变标识可以在线实时检测，给出了一个能够使得离散时间m j n s 的闭环系 统鲁棒稳定且具有鼠范数界y 的状态反馈控制器存在的充分条件。控制器的设 计可以通过求解一组耦合的线性矩阵不等式来获得。第五章也是对不确定离散时 间马尔可夫跳变非线性系统所进行的研究，不同的是我们考虑的是系统跳变标识 无法在线实时检测的情况，其鲁棒玩模糊控制器的设计方法。第三章至第五章 中，我们对所研究的结果都进行了数值仿真，验证了结果的有效性。 第六章对全文进行了总结。指出了存在的问题和进一步的研究方向。 最后列出了文中所引用的参考文献。 第二章t - s 模糊系统稳定性分析与控制 第二章t s 模糊系统稳定性分析与控制 自从z a d e h 提出模糊逻辑的概念以来【l - 3 1 ，模糊控制已经取得了巨大的成功。 特别是t s 模型模糊系统非常适合基于模型的非线性控制。目前，已有多种t s 模型获取的方法，包括通过输入输出数据，模糊聚类，t a y l o r 展开等 1 6 - 1 8 】。这种 基于模型的非线性控制，非线性系统的动态特性可以被模糊划分为多个局部模 型，因此模糊系统是一个分段光滑的非线性系统。模糊控制器的设计通常是采用 并行分布补偿算法( p d c ) 来为每一个模糊规则设计一个控制律，并且将其模糊 混合起来，所得到的总的模糊控制律不仅能够使得每个闭环模糊子系统稳定，而 且能够使得整个模糊系统稳定。 2 1t - s 模糊系统介绍 t - s 模糊控制系统是最有前途的模型模糊控制领域之一。通常，一个非线性 系统可以表示为采用一系列模糊i f t h e n 规则的t - s 模糊系统。根据模型的后 件部分是否带有常数偏差项，k i m 等将t - s 模糊系统分为齐次型和仿射型模糊系 统 2 0 - 2 2 】。 对于齐次型连续t - s 模糊系统，其模型如下： i f t h e nf o r m ： r ：i f2 l ( f ) i sm 1a n dz 2 ( f ) i sm 2 ，乙( f ) i sm i t h e ni ( f ) = 4 x o ) + b i u ( t ) ， m p m - o u t p u tf o r m ： 戈o ) = 曩( z ) 4 x o ) + 垦z ，o ) 】。 ( 2 1 ) 对于仿射型型连续t - s 模糊系统，其模型如下： i f t h e nf o r m ： 足：i f 刁( f ) i sm la n dz 2 ( t ) i sm j 2 ，z 。( f ) i s 心 t h e n 戈( f ) = 4 x ( f ) + b i u ( t ) + l z i ， 1 2 天津大学博士学位论文模糊控制及其在m a r k o v 跳变非线性系统中的应用 i n p u t o u t p u tf o r m ： 童( f ) = ( z ) 【4 x ( f ) + e “( f ) + 以】。 ( 2 - 2 ) f = l 其中，x ( t ) 吼”是状态向量，4 贸硝”和骂锨孵”是系统矩阵，材( ，) 是控制输入， z i ( t ) 是前件变量，肛是常数偏差项，m 。，m 2 心是模糊集合，吩：9 1 ”一贸+ ， f = l ，2 ，) 是是满足曩( z ) o ，o ) 和吩q ) = l 的隶属度函数。 i = l + 对应的，我们可以得到离散t - s 模糊系统。对于齐次型离散t - s 模糊系统， 其模型如下： i f t h e nf o r m - 墨：z l ( f ) i sm la n dz 2 ( t ) i sm 2 ，乙( f ) i s 心 t h e nx ( t + 1 ) = 4 z o ) + b i u ( t ) ， i n p u t - o u t p u tf o r m ： r x ( h 1 ) = 吃( z ) 4 x ( f ) + 忍甜( f ) 】。 ( 2 3 ) 对于仿射型离散t - s 模糊系统，其模型如下： i f t h e nf o r m ： 尽：i f 毛( f ) i sm la n dz 2 ( t ) i s 够2 ，乙( f ) i s 心 t h e nx ( t + 1 ) = 4 x ( f ) + b i u ( t ) + ，t i ， i n p u t - o u t p u tf o r m ： ， 石( ，+ 1 ) = 吩( z ) 4 x ( ，) + 尽甜( f ) + 肛】。 ( 2 4 ) 其中，x ( t ) 孵”是状态向量，4 贸肼”和忍班胁”是系统矩阵，“( f ) 是控制输入， z ，( f ) 是前件变量，鸬是常数偏差项，m i l ，m i 2 心是模糊集合，红：孵一吼+ ， f = 1 ，2 ， 是是满足岛( z ) 0 ，o ) 和赡( z ) = 1 的隶属度函数。 i = l 对仿射型t - s 模糊系统( 包括连续和离散) ，我们作如下的假设 2 2 】： 假设2 1 ：设t 是模糊规则中包含原点的规则的下标集合，即i 暑 占l 吃( o ) o ， 则对于f l ，其常数项以= 0 。 假设2 1 保证了原点x = o 是系统( 2 2 ) 和( 2 4 ) 的平衡点。 第二章t - s 模糊系统稳定性分析与控制 文献【1 8 】和 2 1 2 2 】介绍了齐次型模糊系统和仿射模糊系统的一些差别，对于 一个非线性系统，我们可以用台劳展开的方法将其在工作点展开，这种方法获得 的t - s 模糊模型一般是仿射型模糊模型。另一种方法是采用真值模型，这种方法 获得的t - s 模糊模型一般是齐次型模糊模型。 2 2t - s 模糊系统稳定性分析 2 2 1l y a p u n o v 稳定性理论 稳定性是控制系统能够正常运行的前提。稳定性是系统运行行为的一类重要 特征。对于t - s 模糊系统的稳定性分析，主要基于l y p t m o v 稳定性理论。我们首 先介绍连续非线性系统的l y a p u n o v 稳定性定理【8 1 - 8 2 。 引理2 1 ：考虑如下的自治系统， 童= 厂( x ) ；厂( 0 ) = 0 ；x 吼”； 且厂：u o 噼是定义在含有x = 0 的邻域u 上的连续函数。则如果存在一个标量 函数v t x ) ：互h 吼，v a x ) 可微( f ) ，和正常数口 0 ， 0 以及y 0 ，并 且满足 帆乙，, z l l x l l 2 - r ；( x ) - 0 ，并且满足 群p + p 4 0 ，并且满足 群雄一p 0 和常数 0 ，并且满足 4 p 4 一p 0弓( f t ) 以及 衫心一p 一 q = l 鸬心一“三 箕p 心一z 畸 q = l 疋p 地一f 畸 0 ) 。 以上4 个定理都是采用二次型公共p 矩阵对t - s 模糊系统进行稳定性分析， 由于这些定理都是线性矩阵不等式的形式，因此可以方便的使用m a t l a b 的鲁棒 控制工具箱来判断模糊系统的稳定性。 2 、基于多个p 矩阵 采用公共p 矩阵的稳定性分析方法，将l y p u n o v 函数限定为单一的二次型 l y p u n o v 函数，而实际上公共p 矩阵并不总是能够找到的，很多渐近稳定的非线 性系统无法找到一个公共p 矩阵。而有时虽然公共p 矩阵存在，但是基于公共p 矩阵设计出来的控制器将导致很大甚至系统无法忍受的增益。 另一方面，根据l y a p u n o v 逆定理也可以看出，渐近稳定的系统虽然必定存 在一个l y a p u n o v 函数，但是这个l y a p u n o v 函数未必是光滑的，更不一定是二 次型的形式。由于凸优化以及线性矩阵不等式算法的发展，基于公共p 矩阵的稳 定性分析和控制器设计方法大多把公共p 矩阵局限在二次型常数矩阵的情况，这 样必然带来一定的保守性。 1 6 天津大学博士学位论文模糊控制及其在m a r k o v 跳变非线性系统中的应用 如c a o 等将状态空间划分为一系列的子空间来设计分段二次稳定的控制律 【5 】，但所设计的控制律只有在满足正 0 ，f = 1 ，2 ，并且满足 一 4 只4 f 一只 0 1 i , j s ，。 需要指出的是，采用分段l y a p u n o v 函数来进行模糊系统的稳定性分析仍然 是比较方便的，通常也可以等价为一组l m i 的求解问题。通常使用的分段 l y a p u n o v 函数在其间断点上必须是非