（电力电子与电力传动专业论文）非完整控制系统的非线性控制策略研究.pdf

a b s t r a c t n o n h o l o n o m i cs y s t e m so r i g i n a t e 疗0 1 1 1c l a s s i c a lm e c h a n i c ss y s t e m si t se s s e n c e i s l a g r a n g es y s t e mw i t hl i n e a rc o n s t r a i n t sb e i n gn o n i n t e g r a b l es i n c en o n h o l o n o m i c c o n t r o ls y s t e m sa r en o n l i n e a rs y s t e m si ne s s e n c e 1 i n e a rc o n t r 0 1s t r a t e g i e sh a v e n tt h e a b i l i t yt os o l v et h ec o n t r o jp r o b l e m so f n o n h o l o n o m i c sc o n t r o 】s y s t e m ss m o o t ht i m e v a r i a n ts t a t ef e e d b a c kc a no n l ym a k et h es y s t e ma s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i z e d 、w h i c h c a l l tm a k et h es y s t e mg l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b i l i z e d t h eg o a lo fn o n h o l o n o m i c c o n t r o ls y s t e m sc a nb ed i v i d e da sm o t i o np l a n n i n g ，s t a b i l i z a t i o na n dt r a c k i n gc o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r w ee m p h a s i z et h er e s e a r c ho nt h es t a b i l i z a t i o na n dt r a c k i n gc o n t r o lo f n o n h o l o n o m i cc o n t r o ls y s t e m s ， n o n h o l o n o m i cc o n t r o ls y s t e m sa r ec o m p r e h e n s i v ec o n t r o ls y s t e m sw h i c hw i d e l y e x i s ti nt h er e a lw o r l d t h er e s e a r c h e si nt h i sf i e l dh a v et h e i rt h e o r ya n dp r a c t i c e m e a n i n g sl nt h i sp a p e l w eh a v ea c c o m p l i s h e dt h ef o l l o w i n gr e s e a r c h e s ： 1 n o n h o l o n o m i cc o n t r o l s y s t e m s a r es u m m a r i z e d f i r s t l y s o m e m a t h e m a t i c s m o d e l s ，d e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sa r ea n a l y z e d a n ds o m ed i f f i c u l t i e sa n d p r o b l e m so f n o n h o l o n o m i cc o n t r o ls y s t e m sa r ea l s og i v e n 2 n o n h o l o n o m i cd o u b l ei n t e g r a t o rm o d e 】i se q u i v a l e n c et oi n d u c t i o nm o t o r m o d e l i nt h ec a s eo fs i m p l et h r e e d i m e n s i o nn o n h o l o n o m i cc o n t r o ls y s t e m s w ea p p l y f i e l d o r i e n t e dc o n t r o lm o d e lo fm o t o rt on o n h o l o n o m i cc o n t r o l s y s t e m sa n d r e a l i z eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o na n dt r a c k i n gc o n t r o l 。 3 i n v a r i a n tm a n i f o l d o fd i 丘i r e n t i a l g e o m e t r y i s a p p l i e d t os t a b i l i z a t i o no f n o n h o l o n o m i cc o n t r 0 1s y s t e m st os o l v et h eh i g hd i m e n s i o nc o n t r o lp r o b l e m s s i n c ei n v a r i a n tm a n i f o l dh a si t so r i g i n a le x c e l l e n c et od e a lw i t hh i g hd i m e n s i o n p r o b l e m s i n v a r i a mm a r t i f o l d h a si t s s p e c i a ls i g n i f i c a n c e i nt h ec o n t r o lo f n o n h o l o n o m i cc o n t r o ls y s t e m s 4 s t a t eo b s e r v a t i o np r o b l e mh a si t ss i g n i f i c a n c ej nt h ec o n t r o lo fn o n h o l o n o m i c c o n t r o l s y s t e m s o u t p u t f e e d b a c kc o n t r o l p r o b l e m i sa c h a l l e n g et o p i c o f n o n h o l o n o m i cc o n t r o l s y s t e m sd y n a m i co u t p u t f e e d b a c kc o n t r o lb a s e do n o b s e r v e ri sa p p l i e dt or e a l i z eg l o b a l l yk - e x p o n e n t i a l l yg r a d u a l l yt r a c k i n gc o n t r 0 1 5v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o li s a p p l i e dt o n o n h o l o n o m i cc h a i n e ds y s t e ma n di t s r o b u s tp e r f o r m a n c ei s a n a l y z e d 。s i n c ev a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o ln e e da l l t h e s y s t e ms t a t e s t ob ek n o w n v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lb a s e do no b s e r v e rj s d e s i g n e dt or e a l i z eg l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b i l i z a t i o no f n o n h o l o n o m i cc o n t r 0 1 s y s t e m 6 r o b u s t b a c k s t e p p i n gc o n t r o l i s a p p l i e d t ou n c e r t a i nn o n h o l o n o m i cc h a i n e d s y s t e mt os o l v ei t su n c e r t a i n t yp r o b l e ma n d i t sr o b u s tp e r f o r m a n c ei sa n a l y z e dt o s o m e u n c e r t a i n t y ， k e y w o r d s ：n o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t ；l n v a r i a n t m a n i f o l d ；o b s e r v e r ；v a r i a b l e s t r u c t u r ec o n t r o l ；b a c k s t e p p i n g c o n t r o l ；r o b u s t ；d y n a m i cf e e d b a c k 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得基壅盘鲎或其他教育机褐的学位 或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 沦文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：家罩 签字日期： 2 口。弓年5 月佯日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨连盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘洼盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 彖军 签字日期： 2 0 d 弓年f 月牌日 导师签名： 字日期： 1 1 引言 第一章绪论 早在l5 0 年| j 仃，经典力学中就有关于非完整系统的研究2 ”，而关丁 这类系统控制问题的研究只是近十几年的事情。非完整系统来源于经典机 械系统，其本质是存在不可积分线性约束的l a g r a n g e 系统 1 , 1 2 1 l 。完整约束 ( 也称几何约束) 是指对于系统的位置或速度的约束可经过积分转变为广义 位置的约束：而非完整约束 1 2 2 1 ( 也称运动约束) 是指对于系统的速度的 约束不能经过积分转变为广义位置的约束。具有完整约束的控制系统称其 为完整控制系统；具有非完整约束的控制系统称其为非完整控制系统【2 】。 在当前的控制系统中，人们对非完 整系统的研究充满兴趣的原因可以归结 为：非完整特性广泛存在于现实世界 中：非完整系统本质上是非线性的，线 性控制方法对其显得无能为力。 作为一个典型的例子，考虑具有三 个轮子的移动机器人。假定轮子在地面 上滚动，其俯视如图1 1 所示。其中曰 图1 1 轮式移动机器人 为机器人中心线相对于x 轴的转角，( x ，y ) 为机器人的后轮轴中心q 相对 于原点的位置坐标。则简化后的运动可以用广义坐标向量q = ，y ，0 ) 描 述。 假定轮子沿轮轴方向无侧滑，即沿轮轴方向的侧滑速度为零。则q 点的速度与转角0 之间存在如下的约束关系 x c o s o + y s i n o = 0 ( 1 一1 ) 现在说明此约束不能通过积分化为广义坐标q = ( x ，y ，臼) 的约束形式。用 一l 一 盔鋈查耋堡圭堂堡重錾 反证法，假定可以化为广义坐标的约束，则存在可微函数f ( x ，y ，0 ) 使得 f ( x ，y ，0 ) = x c o s o + y s i n 0 由导数和微分的关系可得 妙( x ，y ，臼) = c o s t 蔽x + s i n o d y 再根据全微分的定义可得 一o f ：c o s 臼望：s i n 口望：o 融 。 却 。 a e 由a f 0 0 = 0 可知f ( x ，y ，臼) 与目无关，而这与式矽o x = c o s0 和 可a y = s i n o 矛盾。故式( 1 - 1 ) 的左边不能表示成广义坐标 q = ( x ，y ，口) 的全微分，即式( 1 - 1 ) 不能通过积分化为广义坐标 q = ( x ，y ，p ) 的约束形式。 对于完整系统来说，由于可以通过约束条件解出若干个状态变量，从 而可以将原来的系统简化为低维的无约束系统，故此类系统的分析和综合 没有太大的困难，在理论和应用研究方面以取得了满意的进展。但是，对 非完整系统而言，由于约束是不可积的，因而其镇定、规划和控制等问题 变得异常的困难和复杂。自从八十年代末期以来，随着机器人和自动驾驶 技术的发展，需要考虑受控对象与环境接触的非完整约束问题，从而大大 推动了非完整控制系统的发展。 非完整控制系统的控制对象可以分为3 i 1 ) 经典形式的非完整控制系统。如移动机器人，智能车辆，空间机器人 等，可见参考文献| 4 ”。 2 ) 除了经典形式之外，非完整控制系统还可以别的形式出现，如果机械 系统的运动具有某种对称性，即存在某种守衡量，而这种守衡量是不 可积的。最普遍的例子是角动量守衡时，若这种角动量函数不可积， 则系统即为非完整控制系统，可见参考文献。1 ”。 3 ) 同时具有运动的对称性和非完整约束的系统，例如轮式蛇型板和滑雪 一2 一 板均具有非完整约束和角动量守衡，可见参考文献 1 6 - 1 7 1 。 4 ) 在机械系统中，若控制器数目不足时，如果广义速度或加速度满足某 种约束，则可以将其归类为一阶不可积或：阶不可积非完整控制系 统，可见参考文献i ”。”。 非完整控制系统的难点不仪在于系统存在非完整特性，而且还在于系 统要达到什么样的控制目标。非完整控制系统控制的目标可以分为拉0 1 1 ) 非完整控制系统的镇定，包含平衡流形的镇定、路径轨迹的镇定和平 衡点的镇定，见参考文献 2 1 - 2 5 1 。 2 ) 非完整控制系统的运行规划，可以归结为设计适当的控制输入使得系 统沿某一轨迹从初始位置移动到另一目标位置，因此本质上是两点边 值问题，见参考文献 2 6 - 3 0 1 。 3 ) 非完整控制系统的路径跟踪，即使系统跟随已经规划好的路径，达到 精确的路径跟踪，见参考文献 3 1 - 3 2 】。 1 2 非完整控制系统的概念 运用l a g r a n g e 形式，非完整控制系统可用如下微分方程形式表示【3 3 】 象 荔 一考= ，7 c g ，五十b c q ，“ c t ：， ，( q ) g = 0 ( 1 3 ) 】) l ( q ，g ) = 及玑g ) 一职g ) 为系统的l a g r a n g e 方程，曰= g ，9 ：，吼 ，为 ”维7 。义坐标向量，g 为n 维广义速度向量，q 为一维广义加速度向量， t ( q ，g ) 为系统动能，w ( q ) 为系统势能： 2 ) ，( g ) 为m x ，7 满秩矩阵函数，上标7 为转置，兄为l a g r a n g e 乘予( 即 垂鎏盔堂堡耋堡鲨圣! 约束力) 且为mx 1 列向量； 3 ) b ( q 1 为m x r 满秩矩阵函数，“为作用于系统的外力或转矩且为，x l 列向量。 系统的动能定义为 t ( q ，审y = 妇7m ( q ) g l 其中m ( g ) 为正定对称矩阵。t ( q ，g ) 代入式( 1 2 ) 得 m ( q ) g + f ( q ，q ) = j 7 ( g ) 兄+ b ( q ) u ( 1 4 ) 于是，方程( 1 4 ) 和约束( 1 3 ) 就组成了非完整系统的数学模型，其中 删，= 警g 一三岣】+ 篝 不失一般性，调整j ( q ) 的结构向量使其最后m 列向量组成的矩阵可 逆，于是，( q ) 可表示为e ( g ) j 2 ( g ) ，其中j ( g ) 为m ( n - m ) 矩阵 函数，：( g ) 为m x m 局部可逆矩阵函数。定义聍( n m ) 矩阵函数 蚴- _ 锎，其中肭( 舻神砌叫) 单位矩阵，j ( q ) - i ( g v 阳) 为卅( 聆一m ) 局部光滑矩阵函数。很明显，c ( g ) 的列向量张成j ( g ) 的零 空间，即j ( q ) c ( q ) = 0 。假定j ( q ) 的m 个光滑行向量张成的分布为q ， 则其零化子q 1 有如下珂一m 个线性独立光滑向量张成 r ，= c f ( 口) ，= 1 ，”一聊 ( 1 - 5 ) h 。 钾 在给出非完整度之前，先给出李代数的几个概念 李腮 删 9 2 = 掣删一掣酬 迭代李括号：d d 靠，g ：( x ) = k ) ，以：，g ：o ) j - 4 - 李微分：l ，。，办( x ) ：翼却厂( x ) 0 譬 定义1 1 33 1 考虑如下局部分布的非减序列 n = q 1 ，。= n k 十s p a n x ，明lx n l ，y n k1 ) 存在个正整数k + 使得对于任意k k ，有n 。= n 。如果n 。= h 且k l 则称式( 1 3 ) 为 完全非完整，最小正整数k + 称为非完整度。 约束( 1 3 ) 定义了一个( 2 n 一朋) 维光滑流形： m = ( g ，g ) i j ( q ) q = 0 ) 流形m 在非完整系统的控制和镇定问题中起到了非常关键的作用。 定理1 1 1 假定对于时间t 0 ，控制输入函数“： 0 ，丁) 寸r7 有界并且可 测。如果对于由式( 1 3 ) 和式( 1 - 4 ) 组成的非完整系统初始条件满足： ( g 。，q o ) m ，则存在一个固定的解( 至少是局部的) 使得 ( g ( f ) ，g ( f ) ) m 。 定理1 2 ( 3 3 】对于f 0 ，假定u ( t ) = 0 ，由式( 1 - 3 ) 、( 1 - 4 ) 组成的非完整系 统的平衡流形可表示为 q r ”l f ( q ，0 ) - j 7 ( g ) 五= o , 2 r ”) 对于满足完全非完整条件的非完整控制系统，我们可以发现，非完整 系统的微分同胚状态变换和时不变光滑状态反馈对系统具有不变性，即系 统的完全非完整特性能够得到继承，非完整控制系统的这种不变性对于该 系统的控制设计具有特别重要的意义。 1 3 非完整控制系统的模型 非完整控制系统的来源是千差万别的，目前人们还不知道如何建立最 般的，适用于一切非完整控制系统的模型。当前建立了一些基本的非完 一5 一 垂鎏查堂堕主耋堡丝童 整控制系统的模型，这些模型大部分1 i 是直接基于系统的物理模型，而是 为了适应控制的设计t i t 系统状态和输出经过一定的坐标变换得到。f 面介 绍在当前广泛讨沦和研究的几种非完整控制系统的模型。按经典力学的概 念，可以将非完整控制系统的模型分为运动学模型和动力学模型。 1 3 1 运动学模型 非完整控制系统的一般运动学模型可以表示为 x = g i ( x ) v i + g 。( x ) v ( 1 6 ) 其中2 m 聆，x = ( x ，x 。) 7 为定义在r ”上的状态向量，v ， f = 1 ，m 为控制变量。假定g ，( z ) g ，o ) 满足可控性李代数条件【3 6 1 r a n l g 。( 功，g 卅( 砷，口吃，( 功，矗吨( 曲，棚( 功，哦( 功j = ” 其中1 ， 。在这种情况下，系统( 1 6 ) 为完全非完整，它等价于系 统( 1 - 6 ) 是完全可控的。系统( 1 6 ) 反映的是系统的运动速度的约束关 系，而没有力的因素，所以此模型称为运动学模型。 人们所研究的非完整控制系统的运动学模型主要集中在对链式模型和 幂式模型，链式模型对于控制的设计具有很大的优点，幂式模型在知道控 制的前提下可以迅速得到系统的运行状态。经过一定的坐标变换，模型 ( 1 6 ) 可以转变为链式模型或幂式模型。 链式模型最早有m u a r r y 和s a s t r y t ”i 提出，一个简单的双输入单链 模型可以表示为 氧= v l 吉2 = v 2 六= 眚：v 考。= 善。v l 一6 一 ( 1 7 ) 其巾舌= ( 舌，专，) 7 为状态量，v = ( v l ，v ，) 7 为控制量。 经过如1 下全局 垮标变换 可得幂式模型 工= 夤 x 2 = 夤 x ，= 一乞+ 专戋 x 。：氧一善乞十! 亭z 吉： x n = ( 一1 ) ”点+ 萎( 一1 ) 而1 ，善 j - 2l ，一1 ，： ( 1 8 ) ( 1 - 9 ) 链式模型和幂式模型是很重要的非完整系统模型，大部分非完整系统的模 型经过一定的坐标变换都可以转化为链式模型或幂式模型。文献1 给出 了非完整系统的运动学方程可以化为链式系统的充分条件，文献m 1 给出 了可以化为幂式系统的充分条件。当前很多非完整控制系统的研究都是基 于链式系统或幂式系统，而两种系统模型具有全局变换的不变性，因此为 进一步研究非完整控制系统提供了很好的研究条件，例如很多的移动机器 人，空削机器人和拖车的研究都是基于链式系统模型。 1 3 2 动力学模型 对于某些控制目标来说，可以运用运动学模型解决其控制问题，然而 寸 一一一书；一一 垂壁蠢耋堡圭耋堡垒耋 = 如果要考虑系统的运动同系统的力矩或力之间的关系，则运动学方程显得 无能为力，因此必须引入非完整控制系统的动力学方程。 动力学模型可以由运动学方程( 1 6 ) 联合动力关系项扩展得到 x = 9 1 ( x ) v l + g 。( x ) v 。， ( 1 1 0 ) v = “，江1 ，m ( 1 1 1 ) 其中2 l n o 为转子i 乜 “ m 心 一 i | = t | i y 阻，定义如下单位旋转矩阵 作如下全局坐标变换1 5 7 r = 无= = ：i ： = = p r 8 驴，“= = p r 8 i ， 其中6 i = e o ，口 得如f 模型 r j 旯= 一r 五+ r u( 2 7 ) i = f f l 方程( 2 - 7 ) 与方程( 2 - 5 ) 相比，只是多了一r a 和负载转矩两项，可把 其作为扰动项对待。 电机的控制问题在于寻求控制“( 或) 使得 l i m ( 一声) = o ，慨( c o 一) = 0 其中i i 为欧几里德范数，为目标参考量。 把转子磁通转变为极坐标形式如下 a = e 即阶f l f _ 一c o n s 纠p 输入电流作如f 变换 铲讣e 山“ 可得 = 一只卢+ r i 。 ( 2 - 8 ) p = r i ( 2 9 ) f = 毛 ( 2 1 0 ) 通过以上的变换实现了机械量和电磁量的解耦，通过i a 调节p ( p o ) ， 调节电机的输出转矩，相应的通过式( 2 - 6 ) 的第二式实现对速度的调 节。 把变结构控制方法应用于控制器的设计，选择滑模平面为 s 。= 一，s 2 = 一c o 应用变结构控制的设计原则ss o ，k 2 o 。为了实现和0 9 的渐近跟踪，假定+ 和彩有界 并且( 0 ) 0 。可以证明控制器式( 2 - 1 1 ) 可以实现电机转速和电磁量 的欧几里德范数渐近跟踪给定参考值，同时保证系统的内部稳定。 把( 2 1 1 ) 代入方程( 2 - 6 ) ，( 2 - 8 ) 可得系统闭环方程 s i = 一r s l ( 2 1 2 ) $ 2 = - - k 2 ( 1 + 抄+ 护一t ( 2 - 1 3 ) 为了证明闭环系统的稳定性，给出如下定义和定理。给定如下系统 x = f ( t ，x ) ，f ( t ，0 ) = 0 ，v t 0 。( 2 1 4 ) 其中x r ”，f ( t ，x ) 在t 上分段连续，在x 上满足局部l i p s c h i t z 条件。 定义2 1 如果存在y o 和七类函数( ) 使得侧七( j x ( 屯) i ) e x r ( t t on i ， 则称系统( 2 1 4 ) 是全局 一指数稳定。 定义2 2 ( 串级系统m 1 ) 考虑如下系统 e z = f t ( t , z ) + g ( t , z t , z 2 ) ( 2 _ 1 5 ) 【z ：= z ( f ，z ：) 其l j ：r ”，z 2 r ”，f ( t ，z ) 在( f ，z i ) 上连续可微，f 2 ( t ，z 2 ) ，g ( t ，z i ，z 2 ) 在 其变量上连续并且在( z 。，z ：) 上各自满足局部l i p s c h i z 条件。系统( 2 1 5 ) 可以分解为，和： f ：z ，= f ( t ，z ) ( 2 1 6 ) 受到如下系统状态的干扰 2 ：z 2 = z ( ，z 2 ) ( 2 - 1 7 ) 当系统2 渐近稳定以后，z ：趋于零，这意味着( 2 - 1 5 ) 中的z 动态渐近 趋于系统。因此我们希望和：的渐近稳定能够得到系统( 2 - 1 5 ) 的渐近稳定。然而实际上这是不成立的。如下定理给出了串级系统( 2 - 1 5 ) 满足g u a s ( 全局一致渐近稳定) 的条件。 定理2 1 【6 0 1 如果如下3 个假设条件成立，则串级系统( 2 - 1 5 ) 为g u a s ： 1 ) 假设：系统z ，= z ( f ，z ，) 为g u a s ，如果存在连续可微函数 g ( t ，z ) ：足x r ”斗r 满足 彬( z 。) v ( t ，z 。) z ，) ( 2 - 1 8 ) 旦匕+ 娑胞毛) o ，v 恢j i - ，7 ( 2 m ) o t + i 小，z i ) s o ，啪，7 2 1 9 a vf l i 水州啦1 ) ，v i t z , l l 叩 z 。) 其中彬( t ，z ) 和( f ，z ) 正定则函数，并且c 0 和，7 0 为常数； 2 ) 假设g ( t ，z ，z 2 ) ：如果g ( t ，z 。，z ：) 对所有f t o 满足 i g ( t ，z ，z ：) 1 i o , ( h i z ：| 1 ) + 臼：( i i z ：i i ) l i z ，1 ( 2 - 2 1 ) 其中0 ，0 2 ：r + 斗r + 为连续函数； 3 ) 假设：系统z ：= 六( r ，z ：) 为g u a s ，如果对所有r f 。 1 8 川z ：( f 。，f ，z ：( f 。) ) l 印k ( 1 1 z ：( f 。) i i ) ( 2 2 2 ) f 其中函数七( ) 为k - 类函数。 推论2 1 如果除了定理21 的假设外，和e ：同时全局k - 指数稳 定，则串级系统( 2 1 5 ) 全局 一指数稳定。 定理2 2 闭环系统( 2 - 12 ) 和( 2 - 13 ) 是全局 指数稳定的。 证明：假定电机系统系统负载f = 0 ，闭环系统( 2 - 1 2 ) 和( 2 - 1 3 ) 可以分 解为 i ：j2 = 一尼2 s 2 ( 2 2 3 ) 2 ：= 一r s 。 ( 2 2 4 ) 9 2 红芦s i s + 旁国+ 现在证明e 。，：和g 满足定理2 1 的三个假设条件 1 ) 假定l ：对于( 2 - 2 3 ) ，s 2 = - k 2 s 2 是g e s ( 同时也是g u a s ) 。由逆 l y a p u n o v 理论”4 1 可知存在满足条件( 2 18 ) 、( 2 1 9 ) 和( 2 - 2 0 ) 的 l y a p u n o v 函数y ； 2 ) 假设g ( t ，z ：) ：由于s 。按指数趋于零，可得i g l i 鼠( 慨 1 ) + 幺( 慨| | ) | | s 忆 3 ) 假设：可以很容易得到s ，= 一如为g e s 。 因此，由定理2 1 知系统( 2 - 1 2 ) 年n ( 2 1 3 ) 为g u a s 。由i 和e 2 为g e s ， 根据推论2 1 可得系统( 2 1 2 ) 和( 2 ，13 ) 为跟踪误差动态全局膏一指数 收敛。n 2 4 矢量控制在不完整系统控制中的应用 制。 卜面我们把矢量控制应用于轮式移动机器人的全局渐近跟踪和镇定控 为了设计的简便把式( 2 - 5 ) 改写为 一1 9 一 f j z = “ i y ：“7 h 其中舻i x 。x b 卜“= l ，“：r 把矢量控制应用于系统式( 2 - 2 5 ) ，可得如下定理。 定理2 3 ( 跟踪控制) 对于不完整系统式( 2 2 5 ) ，假定i 顶酬2 屈= ，令以8 x o t o x i x b ，设计如下滑模平面 s 、= $ 。一| b ：，s ：= y y 。 则摔制器可设计为 一七。_ + 成l 1 ，、l 瓦 吐j r 2 2 5 ) ( + ( 0 ) o ( 2 2 6 ) 其中k l , k ：为正常数。假定参考量有界并且大于0 ，y 有界。 根据以上条件可得：! 骢( 展一展) = o ，1 i m 。( y y ) = o ( 2 - 2 7 ) 证明：与矢量控制的坐标变换相应，定义如下极坐标变换： z = e r “ 台 = f l 。c 。o ，n s p , , 9 。 c z 一2 s ， 对输入量作如下变换： v 制玎 p ：9 ， 可得 p 。= v d ( 2 3 0 ) p 。屈= v 。 ( 2 3 1 ) y = v 。屈 ( 2 3 2 ) 堇三童叁星蕉劁垄i i 耋鳖篓劁圣丝圭墼蜜型 把控制器式( 2 - 2 6 ) 代入式( 2 3 0 ) ，式( 2 3 1 ) ，式( 2 3 2 ) 可得系统的闭环 方程如f s l = k , s 参考信号： ! 骤x ，一i ) = o ，! g 一葛) = o , ! l n o 一矿) = o 其中x ：，x ：和口+ 定理2 4 ( 镇定控制) 对于不完整系统式( 2 2 3 ) ，假定i 酬2 = ( 0 ) + ( o ) o ， 一后，( ，一i y l ) 1 即卜一参yj q - 3 3 ) l ，。 j l 螬x = o ，烛y 2 0 (234)t l y = 一k y ，屈= 一t ( 展一l y l ) ( 2 3 5 ) 为j - 汪明系统内部状态的稳定，我们必须证明成是有界的。下面我们证 2 1 垂逢叁堂丝圭耋童墼塞 n 2 压 v 山式( 2 - 3 5 ) 可得 以归。 ”舯) + 驰掣( 1 ”) 芹一k 因此由屈( 0 ) o ，可知对于t 0 ，0 0 ) 有屈( f ) 0 。 根据以上推导知 一y 一 生! ：羔! q ! ：限( o ) + 咎掣( 1 卜j ) 】z 肝，一尼 p 。趋于0 ，因此疋有界得证。根据屈寸0 ，我们可得_ ) c 寸0 ( 指数) 。口 由式( 2 3 4 ) 和式( 2 3 ) ，我们可推导得，对系统式( 2 - 2 ) 有 l i m 五= 0 ，l i m x ，= 0 ，l i m 0 = 0 t _ |-4beo + j - c m 2 5 仿真结果 根据式( 2 3 ) ，可得 x = x ac o s x o + o 5 x 。x bs i n x 6 + 0 5 y s i n x 6 t = x as i n x b o 5 吒c o s x b 一0 5 y c o