（运筹学与控制论专业论文）基于分布理论的线性广义系统分析.pdf

t j ：! ：乙主 b yw a n gj u n j i e s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rx i n gw e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u l y2 0 0 8 - _ 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示诚挚 的谢意。 学位论文作者签名：衫蠡 签字日期：z 加略铜万虱 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口 学位论文作者签名：i 器奎 字 日期 ：即眸7 呵 两年口 导师签名：干牛 签字日期：7 叫吁 3 i - 东北大学硕士学位论文 摘要 基于分布理论的线性广义系统分析 摘要 广义系统是一类比正常系统更具有广泛形式的动力系统，存在于社会生产的诸多领 域。与常微分系统相比，线性广义系统具有很多独特的性质，这些特性又为线性广义系 统增添了很多特色。特别是，线性广义系统的解的结构中可能含有脉冲项，这样的能控 性和能观性问题都是科学家们研究的重点。 分布理论是数学的泛函分析中的一部分内容，它能够对大量的基于技术层面的操作 处理提供一种简单而严格的论证。分布理论的知识比较广泛，它包括了检测函数和分布 的定义、分布的微分、分布的收敛、分布的卷积分、暂时分布的傅立叶变换及拉普拉斯 变换。本文并未将其内容全部列入，只包括检测函数和分布的定义、分布的微分、分布 的卷积分和拉普拉斯变换。在很多应用数学知识的领域，特别是涉及微分方程内容的领 域，分布理论都是简化分析的很有利的工具。 本文研究的目标是：通过研究分布的微分、分布的卷积分和拉普拉斯变换，得到线 性时不变广义系统在约当标准型下的解，进而简化了以往求解的过程；同时得到线性时 变广义系统的快子系统的能观和能控判据；得到线性时变广义系统的分布形式的解，根 据此解的形式可以看出，系统自由响应状态下的初始值和控制输入的不相容性是激发脉 冲的一种原因，并依此解推导出线性时变广义系统的快子系统的脉冲能观和脉冲能控的 判据。 关键词：分布理论；线性广义系统；广义系统的解；能观性；能控性 - i i l 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t l i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e ma n a l y s i sb a s e do n d i s t r i b u t i o nt h e o r y a b s t r a c t d e s c r i p t o rs y s t e mi s ad y n a m i cs y s t e mw h i c hh a sm o r ee x t e n s i v ef o r m st h a nn o r m a l s y s t e m i te x i s t si nv a r i o u sf i e l d so fs o c i a lp r o d u c t i o n c o m p a r e dw i t ht h er e g u l a rd i f f e r e n t i a l s y s t e m ，l i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e mh a sm a n yu n i q u ep r o p e r t i e s ，w h i c ha l s oa d dal o to f c h a r a c t e r i s t i c so nl i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e m p a r t i c u l a r l y ，l i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e mm a yc o n t a i n t h ei m p u l s ei t e m si ni t ss o l u t i o ns t r u c t u r e i t sc o n t r o l l a b i l i t ya n d o b s e r v a b i l i t yp r o b l e m sh a v e a l r e a d ya t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fs c i e n t i s t sf o rd e c a d e s d i s t r i b u t i o ni sap a r to ft h ef u n c t i o n a la n a l y s i sk n o w l e d g e i tp r o v i d e ss i m p l ea n d r i g o r o u sj u s t i f i c a t i o n sf o ran u m b e ro ff o r m a lm a n i p u l a t i o n so f t e nf o u n di nt h et e c h n i c a l l i t e r a t u r e t h ek n o w l e d g eo fd i s t r i b u t i o ni n c l u d e st h ed e f i n i t i o no ft e s tf u n c t i o na n d d i s t r i b u t i o n ，t h ed i f f e r e n t i a t i o n , t h ec o n v e r g e n c e ，t h ec o n v o l u t i o n , f o u r i e rt r a n s f o r mo f t e m p e r e dd i s t r i b u t i o na n dl a p l a c et r a n s f o r m t h i st h e s i sb r i e f l yi n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o no f t e s tf u n c t i o na n dd i s t r i b u t i o n ，t h ed i f f e r e n t i a t i o n , t h ec o n v o l u t i o n ，a n dl a p l a c et r a n s f o n l l i n m a n ya r e a so fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，e s p e c i a l l yo n e si n v o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i t s u p p l i e sp o w e r f u lt o o l st h a tg r e a t l ys i m p l i f yt h ea n a l y s i s b a s eo nt h et h e o r e t i c a l k n o w l e d g e ，t h em a i nc o n t r i b u t i o no ft h et h e s i s c a nb e s u m m a r i z e da sf o l l o w s ：f as t ，w ec a ng e tt h ed i s t r i b u t i o n a ls o l u t i o nt ot h e l i n e a rt i m e i n v a r y i n gd e s c r i p t o rs y s t e mi nj o r d a nf o r m ，w h i c hs i m p l i f i e st h ep r o c e s so fs o l u t i o n t h e n ， w ec a no b t a i nt h e c o n t r o l l a b i l i t ya n do b s e r v a b i l i t yc r i t e r i o n o ft h el i n e a rt i m ev a r y i n g d e s c r i p t o rs y s t e mi ns t a n d a r dc a n o n i c a lf o r m f u r t h e r m o r e ，b a s e do n t h ed i s t r i b u t i o n a l s o l u t i o nt ot h el i n e a rt i m ev a r y i n gd e s c r i p t o rs y s t e mi nan e wf o r m ，w ec a na n a l y z et h e i n c o n s i s t e n c yb e t w e e ni n i t i a lv a l u ea n dc o n t r o li n p u te x c i t e si m p u l s ec l e a r l y i nt h ee n d , i m p u l s ec o n t r o l l a b i l i t ya n di m p u l s eo b s e r v a b i l i t yc r i t e r i o nf o rl i n e a rt i m ev a r y 迦d e s c r i p t o r s y s t e ma r ed e f i n e di nt h i st h e s i s k e y w o r d s ：d i s t r i b u t i o n ；l i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e m ；s o l u t i o no fd e s c r i p t o rs y s t e m ； o b s e r v a b i l i t y ；c o n t r o l l a b i l i t y i i i j ，- illllliillljliijil叫叫i1iilji 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘善暮 a b s t r a c t 。i i i 第1 章绪论1 1 1 广义系统的含义、表达形式和名称。1 1 1 1 广义系统的含义和表达形式l 1 1 2 广义系统的名称2 1 2 广义系统的几个特点3 1 3 广义系统的研究概况4 1 4 广义系统的研究方法。5 1 5 论文研究背景以及组织结构。6 第2 章分布理论7 2 1 分布理论的产生和历史背景7 2 2 检测函数和分布9 2 3 分布的微分l o 2 3 1 分布的微分的定义1 0 2 3 2 分布的微分的性质1 2 2 4 分布的卷积分1 3 2 4 1 分布的卷积分的定义1 3 2 4 2 分布的卷积分的定理1 4 2 5 分布的拉普拉斯变换16 第3 章基于分布理论的线性广义系统的解结构1 9 3 1 线性广义系统的发展1 9 3 2 基于分布理论的线性时不变广义系统2 0 3 2 1 研究问题描述2 0 3 2 2 主要结论及推导2 0 3 2 3 例题分析2 2 3 3 基于分布理论的线性时变广义系统2 2 3 3 1 研究问题描述2 2 3 3 2 主要结论及推导2 3 3 3 3 例题分析2 6 3 4 小结2 8 - 东北大学硕士学位论文 目录 第4 章基于分布理论的线性广义系统的能控性和能观性问题2 9 4 1 系统能控性和能观性概述2 9 4 2 线性时不变广义系统的能观性和能控性3 0 4 2 1 慢子系统的能观性和能控性3 0 4 2 2 快子系统的能观性和能控性3 l 4 3 线性时变广义系统的能观性和能控性3 2 4 3 1 慢子系统的能观性和能控性3 2 4 3 2 研究快子系统的能观性和能控性描述。3 3 4 3 3 主要结论及证明3 6 4 4 线性时变广义系统的快子系统的脉冲能观性和脉冲能控性3 8 4 4 1 研究描述及主要结果3 8 4 4 2 例题分析4 0 4 5 ，j 、结4 1 第5 章总结4 3 5 1 本文工作总结4 3 5 2 未来工作展望4 3 参考文献4 5 致谢4 9 v l 东北大学硕士学位论文笫1 章绪论 第1 章绪论 广义系统是一类比正常系统更具有广泛形式的动力系统，存在于社会生产的诸多领 域中，例如：电力系统、经济系统、机器人系统、电子网络和宇航系统等。人们熟知的 l e o n t i e f f 动态投入产出模型、h o p f i e l d 神经网络模型、多个机器人主体协调作业的动力 学模型以及具有非线性负载的电力系统模型等都是广义系统【1 1 。近年来，对广义系统的 能控性的研究在多方面取得了丰硕成果，尤其是在1 9 8 4 年，c o b b 总结了前人的工作【1 9 1 ， 在时域上系统而完整地建立了广义系统的能控性、能观性及其对偶性理论，从而使广义 系统能控性、能观性理论的研究趋于完善。 1 1 广义系统的含义、表达形式和名称 1 1 1 广义系统的含义和表达形式 广义系统的一般形式为 曩黧鬻糠。0 ， g 【，x ( f ) ，j ，( ，) ，“( ，) 】= r 一7 其中雅可比矩阵娑对任意f ，为奇异的，x o ) 为玎维半状态变量，“ ) 为所维控制输 入，y ( f ) 为厂维测量输出，f 和g 为适当维数的向量函数，j = t o ，+ 0 0 ) ，t o 0 。 一般是研究其显函数形式的广义系统 e o ) 戈0 ) = f t ，x o ) ，“o ) 】 y ( f ) ：g ( f ) ，“( f ) 】 ( 1 2 ) 其中e ( r ) 对任意f ，为奇异矩阵。 或其微分代数形式的广义系统 南( f ) = f l t ，五o ) ，x 2 ( t ) ，“( f ) 】 0 = f z t ，x a ( t ) ，x 2 ( t ) ，“o ) 】 ( 1 - 3 ) y 9 ) = g t ，五o ) ，砭p ) ，材( ，) 】 当雅可比矩阵誓非奇异时是指标为1 的广义系统，要奇异时是高指标的广义系 似2c 2 统。 二十多年来的研究重点则主要集中在线性定常广义系统 e x = a x + b ” ( 1 4 ) y = 、。 - 1 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 其中e 为奇异矩阵，即r a n k e = ，- 。e ，a r “”，b r 脓埘和c 只舢均为常数矩阵。 和某些线性时变广义系统 e o ) 文= 4 0 ) x + b o ) “ y ：c p ) x ( 1 5 ) 其中e ( r ) 对任意f 为奇异矩阵。以及与( 1 1 ) 至( 1 5 ) 相对应的离散形式的广义系统。 我们把既有微分关系又有代数关系的系统也称为广义系统。虽然从理论上讲有些广 义系统可以化为常微分系统。但是，当代数关系由非线性函数描述，或由线性关系描述 但维数较高时，就不容易把它化为常数微分系统了。另外，把微分代数系统直接当成广 义系统来处理不需经过任何变换，又可以保持系统的原有结构，对人们认识和分析系统 的特性也会方便些。所以，微分代数系统也是一类广义系统。 另外，系统( 1 1 ) 中带微分的式子中不含y ( f ) ，因而代数式子中的y ( f ) 为输出，但是 值得注意的是，当带微分的式子中也含有y ( f ) 时，代数式子中的j ，( f ) 就不是输出了。这 时就变成一个微分代数系统 f t ，x o ) ，少( f ) ，) o ) ，“0 ) 】= 0 g t ，x ( f ) ，y ( 咖( r ) 】_ 0 ( 1 6 ) 并且y ( f ) 与x p ) 一起构成广义系统的半状态变量 x ( f ) ，y ( f ) r 。 懒， 篙男为常鼢貅y 为而 麓嚣并可以看成一个 微分代数系统( 广义系统) ，并r y 不是输出了【1 1 。 1 1 2 广义系统的名称 由于对广义系统的研究发展很快，并且有不同领域的学者分别从不同的侧面去发 现、认识和研究其特性和规律，因而广义系统在不同的文献中有不同的名称，广义系统 主要有以下十多个名称【6 】 1 )s i n g u l a rs y s t e m s ； 2 ) d e s c r i p t o r ( v a r i a b l e ) s y s t e m s ； 3 ) s e m i s t a t es y s t e m s ； 4 ) g e n e r a l i z e ds t a t es p a c e s y s t e m s ； 5)differential a l g e b r a i cs y s t e m s ； 6 )s i n g u l a rs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m s 7 ) c o n s t r a i n e ds y s t e m s ； 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 8 ) i m p l i c i ts y s t e m s ； 9)degenerates y s t e m s ； 1o )e x t e n d e ds t a t es p a c es y s t e m s ； 1 1 ) d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no na m a n i f o l d ； 12 )n o n - c a n o n i cs y s t e m s 1 2 广义系统的几个特点 与常微分系统相比，广义系统具有很多独特的性质。下面以线性定常广义系统( 1 4 ) 为例来说明这些特点： ( 1 ) 从系统模型的特性来看，广义系统具有静动态混合型。在系统理论中总是把系统 分成静态和动态两大类，并且两者互相独立。但广义系统的研究结果表明，广义系统除 了具有动态特性( 由微分方程描述) ，和静态特性( 由代数方程描述) 之外，还具有动 态或静态系统都没有的独特性质( 如输入导数、脉冲等) ，因此，鉴于这些动态或静态 系统都不会出现的性质，我们认为，除了静态和动态两类模型之外，还应增加静动态混 合型作为系统的第三类数学模型。 ( 2 ) 从对系统初始值的要求来看，广义系统需要考虑相容条件，线性定常微分系统对 任意初始值都存在唯一解。但线性广义系统( 1 4 ) 对任意初始条件则不一定有解，有解也 不一定唯一。 ( 3 ) 从对控制函数的要求来看，广义系统需要更强的条件。在常微分系统中，只要输 入函数“( f ) 分段连续( 或者更弱) ，线性系统便对任意初始值存在唯一解；但线性广义 系统( 1 4 ) 存在唯一解不仅需要相容的初始条件，而且当存在脉冲解时还要求输入函数 甜( f ) 是h 次分段连续可微的( 其中h 为幂零矩阵的幂零指标) 。 ( 4 ) 从状态变量的自由度来看，广义系统没有完整的自由度。具有，l 维状态变量的常 微分系统具有圩个自由度，而具有力维状态变量的广义系统( 1 4 ) 则只有r a n k e ( 0 ，都有 1 = f ：6 ( x ) 出= f 艿( 曲出+ 厂6 ( x ) d x + 0 6 ( x ) 出= 广8 ( x ) d x j由喵d-暑七4-8 对于任何一个普通的连续函数妒( z ) ，通过利用中值定理就有 e 艿( x ) 9 ( x ) 出2l 6 ( x ) 妒( x ) 出。9 ( 善) l 艿( x ) 出 o 一 声 = 妒( ) 1 = 9 ( ) ( - e o ，3 n ( 6 ) ，当，l ( s ) 时均有， 忉( x ) 一9 一( x ) l f o ，使 r a n k m o ( t , ) ，m ( ) ，以一。( f 1 ) 】= 一 ( 4 2 3 ) 定理4 6 1 2 6 1 线性时变广义系统的慢子系统的能观性判据 对聆维连续时间线性时变系统的慢子系统，设4 0 ) 和c 1 ( f ) 对f 为 一1 ) 阶连续可微， 在定义如下一组矩阵 o o ) = c i o ) 一3 2 n n - i ( f ) = 4 0