（系统工程专业论文）具有有限模糊类型的静态贝叶斯博弈模型及其应用研究.pdf

中文摘要中又摘要 本文分析了模糊环境下的不完全信息博弈问题，通过假设不完全信息博弈中 参与人的可能类型为模糊变量，建立了模糊类型的静态贝叶斯博弈模型为了分 析该博弈的特点，本文首先提出模糊映射的概念，它可以看成模糊环境下决策问 题中建立的目标函数首先研究了模糊映射期望值函数关于自变量的连续性和凸 性条件，并将得到的结论用于模糊环境下的贝叶斯博弈问题的研究通过给出类 型、策略、推断等定义，构造有限类型静态模糊贝叶斯博弈模型，分析了博弈均 衡的特点，并给出了均衡存在的一个充分条件机制设计考虑的是如何设计博弈 规则使得参与人之间的自利行为最终导致目标的实现本文进一步将得到的结论 用于模糊环境下的机制设计理论研究，提出模糊贝叶斯纳什实施的概念为了更 好地说明，在每个主要结论后面都构建了相应的应用模型。考虑了具有模糊销售 能力的销售商订货批量模型；具有模糊效率的不完全信息下古诺竞争博弈模型和 模糊环境下的生产数量合同选择模型等 关键词；不完全信息，静态模糊贝叶斯博弈，模糊映射，模糊变量，机制设计 a b s t r a c t t 址st h e s i 8s t u d i e san e w 虹n do fg a m e d t hf u z z yi n c o m p l e t ei i l = f o m l a t i o n i n t h i st h e s i s ，w ec l l a u r a c t e r 溉t h ep o s 8 i b l et y p 鹤o ft h ep l a t y 凹8i 1 1t h ei n c o m p l e t e i i l f o m a t i o ng a 玎舱a sf u z z y 、，8 血a b l e 8a n db i l i l das t a t i cb a | y e s i a ng a m e 胤hf u z z y t y p e s 。r i ba n a l y 8 i ss u c hg a m e ，f i r s t l yt h ed 娟n i t i o no ff u z 万m a p p i i l gi 8p r o p 0 8 e d t h e nt h ec o n t i n u 姆a n dc o 侧锣o ft h ee x p e c t e dv 蛆u e m c t i o n0 faf 1 1 z z y m a p p i n g 甜es t u d i e d t h e 8 er e 8 u l t sa 舱l l s e dt oa n a l y s i st h eb a 蹦i a ng 锄e _ i na f u z 巧e n 访r o n m e n t b y 西v i n gt h ed e f i n i t i o 璐0 ff u z z yt y p e ，8 t r a t e g ya n db e l i e f ， t h e8 t a t i cf u z z yb a y e s i a ng a m e 丽t h 丘n i t e 咖ei sd e f l n e d t h ec 1 1 盯a c t e r i z a t i o n o ft h ee q u i i i b r i u l no ft h i sg a m ei sc o l l s i d e r e d ，a n das u m c i e i l tc 0 1 1 d i t i o nf o rt h e e ) ( i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u mi s 百v e n m 葩h a l l i s md e s i g i li 8a w a yt od e s i g l lt h er u l e 0 fag a m e8 u c ht h a tp l a y 竹s s e l 6 s h n e s s1 e 敬kt ot h ew e l f a r e0 ft h eg r o u p i nt h i s t h e s i s ，t h em e c h a n i s md e s i g np r o b l e mm l d e raf u z 珂e i i v i r o 咖e n ti s8 t u d i e da n d t h ed e 丘n i t i o no fs t a t i cf u z z yb a y e s i a nn a s hi m p l e m e n ti s p r o p o s e d r i j dc l a r i 缸 t h i st h e s i sc o 瑚i d e r st h r e em o d e l sf o ra p p l i c a t i o n ：r e t a i l e r so p t i m i z a t i o np r o b l e m 丽t hf u z z ys e l l i n ga b i l i t y ；ac o u m o tc o m p e t i t i o nm o d e l 丽t hf u z 巧e 伍c i e n c y u n d e ra s y m m e t r i ci n f o r m a t i o na n dt h ep r o d u c t i o nc o n t r a c ts e l e c t i o nm o d e lu n d e r af u z z ye i m r o n m e n t k e ”叼r d s ：i n c o m p l e t ei n f o 衄a t i o n ，s t a t i cn z z yb a 渺i a ng 锄，f 、l z z ym a p p i n g ，f u z z yv 打i a b l e ，m e d l a n i s md e s i g i l 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丞津大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：王戍签字日期：丑f 午乡月牛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解薹津大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权玉望盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 王戍 签字日期：她刁年彳月午日 导师签名： 签字日期函刁年石月午日 1 1 选题背景及意义 第一章绪论 1 1 1 博弈论的发展 博弈论，又称对策论，是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优决策 问题的理论作为一门正式学科，博弈论的发展始于2 0 世纪4 0 年代，近些年 来，博弈论在经济与管理领域中的应用越来越受到重视为当代经济理论的发展 开辟了新的天地1 9 9 4 年度，诺贝尔经济学奖授予了三位博弈论专家t n a u s h 、 h a r s a n 姐和s e l t e n ；1 9 9 6 年又把诺贝尔经济学奖授予了对博弈论应用方面做出杰 出贡献的m i 玎l e e s 和v i 幽e r y ；2 0 0 1 年诺贝尔经济学奖荣归对于与博弈论密不可 分的信息经济学做出杰出贡献的学者灿【e r l o f 、s p e n c e 和s t i g l i t z 对一门学科 给予如此高的褒奖，这在人类科学技术史上是极为罕见的，它表明了博弈论这门 学科在经济管理学中占有极其重要的理论地位 博弈论除在经济理论上具有极其重要的作用之外，它在管理学的理论与应 用上也极为重要博弈论的理论与模型在现代企业经营中的成功应用，是现代企 业、公司经营成功的重要原因镁财富杂志表明世界5 0 0 强企业中，有4 0 的大公司都认为它们的成功归于公司经营管理中对于博弈论的巧妙运用因而博 弈论理论与应用对于我国企业、公司参与世界范围内的竞争，具有重要的现实意 义 1 1 2 不完全信息假设 新古典经济学有一个重要的假设，那便是完全信息的假设，这是对现实的一 种高度抽象，它意味着市场的每一个参与者对商品的所有信息都了如指掌，即信 息是完全的然而，在现实世界中，个人搜集、获得以及处理信息都是需要花费 成本的，在信息的传递过程中也会出现噪音，信息有可能会失真 人们发现，完全信息假设使得新古典主义者对计划经济体制的批评显得难 以自圆其说新古典主义者认为计划经济体制不可能有效处理合理配置资源所 需的各种信息只有市场这只功能强大的无形之手才能有效地配置资源然而， 一个随之而来的质疑则是；新古典主义者对计划经济体制的批评根本无从谈起， 因为如果像新古典传统所假设的那样信息是完全的，那么计划经济体制也就同 样处在信息充分的世界里，于是，对计划经济体制难以有效利用信息的批评自然 就不存在。只要信息是完全的，计划经济体制并不会比市场经济体制做得差显 1 第一章绪论 然，新古典经济学若要批评计划经济体制的缺陷就必须首先抛弃完全信息的假 设才行信息经济学正是通过抛弃完全信息假设而超越新古典传统的这一基本 假设的改变导致了经济学理论的重大发展，它促发了契约理论和机制设计理论的 产生，为企业理论、拍卖理论、公司金融学、公共经济学、规制经济学、产业组 织学、政治经济学、比较经济学等学科领域提供了崭新的分析框架此外，一旦 承认信息是不完全的，那么组织内部如何有效地利用信息，不同的组织形式在信 息效率方面有何差异就自然成为一个新的研究方向，因而组织经济学也成为了一 个热门的研究领域如今，信息经济学几乎渗透到了经济学的各个领域，并且受 到极大地重视多位经济学家先后共三次因信息经济学方面的贡献而获得诺贝尔 经济学奖，他们是1 9 8 2 年的获奖者s t i g l e r 和上面提到的1 9 9 6 年度和2 0 0 1 年 度的经济学奖获得者 本文通过对不完全信息博弈的研究，对博弈论和信息经济学的进一步发展具 有一定的理论意义，并对处理实际生活中的不完全信息问题具有指导意义 1 2 国内外研究现状 1 2 1不完全信息问题研究方法 对不完全信息的研究形成了一门新的学科。信息经济学首先，信息经济学 抛弃了新古典传统的完全信息的假设，其次不完全信息中的一种特殊情形是不对 称信息在抛弃了完全信息假设后，真正使信息经济学确立理论地位的正是始于 a k r l o f 的不对称信息问题地研究1 9 7 0 年a k e r l o f 【l 】的论文“柠檬”市场：质 量、不确定与市场机制的发表宣告了信息经济学真正进入了一个全新的发展阶 段 所有的不对称信息问题都将涉及一个概念：私人信息( p r i v 砒ei 1 1 f o n i l a t i o n ) 通俗地说，所谓私人信息就是指在订立契约时或契约执行过程中有些信息是一 方知道而另一方却并不清楚的例如，参加健康保险的投保人知道自己眼下的身 体状况，有无家庭遗传病史，是否将从事某种对人体有害的职业等等，而这些情 况是保险公司无法一一掌握的，或者说，局外人想要获得这些私人信息的成本会 很高【鲥，4 上】有时，我们也称这些私人信息是被拥有它们的个人所观察到的， 但对于其他人而言则是不可观察的与私人信息相对的概念是公共信息( p u b l i c i 1 1 f o m a t i o n ) ，也就是从都能够观察到或能够掌握的信息私人信息的存在使一部 分人比其他人拥有更多的信息，行为人之间的这种信息占有上的不同被称为信息 不对称( i n f o m a t i o na u s y 瑚m e t 巧) 如果信息拥有程度不同的行为人之间不发生契约关系，那么所谓的信息不对 2 第一章绪论 称问题也就无从谈起然而，现实中有太多的契约关系是与信息不对称联系在一 起的，例如上面提到的健康保险合同的订立在信息经济学或激励理论研究中， 通常对交易双方根据谁拥有私人信息来进行区分，拥有私人信息的一方被称为代 理人【均1 ( a g e n t ) ，而处于信息劣势的一方则被叫做委托人( p r i i l c i p 址) ，任何一项交 易总是与特定的契约( c o n t r a c t ) 联系在一起的因此，我们也常常将不对称信息 情况下的交易视为委托人与代理人之间签订某种契约 在经济学领域，一般认为信息经济学是对不对称信息博弈论在经济学上的应 用，或者说信息经济学是博弈论的一个应用分支对不对称信息问题的研究可以 从以下两个角度进行分类【l 。】， 从不对称信息发生的时间来看，发生在当事人签约之前，则称为事前不对称 信息，研究事前不对称信息博弈的模型称为逆向选择( a d v e r s es e l e c t i o n ) 模型； 发生在签约之后，则称为事后不对称信息。研究事后不对称信息的博弈模型称为 道德风险( m o r a lh a z 盯d ) 模型事前信息不对称包括逆向选择模型、信号传递模 型与信息甄别模型；而事后的信息不对称要包括隐藏行动的道德风险模型与隐藏 信息的道德风险模型 从不对称信息的内容看，不对称信息可能是指某些参与人的行动，也可能是 某些参与人的知识，研究不可观测行动的模型称为隐藏行动( h i d d e na u c t i o n ) 模 型，研究不可观测知识的模型称为隐藏知识( 1 1 i d d e nl 【i l o w l e d g e ) 模型( 或隐藏信 息模型) 可以将对不对称信息问题的主要研究分为以下5 类； 逆向选择模型，逆向选择( a d v e r 8 es e l e c t i o n ) 是一种事前信息不对称在一 个不完全信息博弈中，代理人知道自己的类型，委托人不知道；委托人和代理人 签订合同，也就是说委托人在签订合同时不知道代理人的类型，问题是选择什么 样的合同来获得代理人的信息比如在旧车市场上，买者对产品质量不如卖者知 道的多i 上】；在签订医疗保险合同之前，保险公司不知道投保人的健康状况【4 上】；公 司在招聘员工时，雇主不知道雇员的工作能力【删l ；在银行与贷款人签订合同之 前，银行不知道贷款人的项目风险【“】等 信息传递模型s 在逆向选择情况下，拥有信息优势的一方( 代理人) 为了显示 自己的类型，向委托人传递某种信息，然后双方签订合同比如在公司招聘中， 雇员通过显示自己的教育水平或从业经历来传递有关自己工作能力的信号，雇主 根据雇员的教育水平来签订招聘合同 的，弱j ；在产品市场上。卖方通过出示产品 的质量保证期或权威的标准认证来显示产品的质量 信息甄别模型；在存在逆向选择的情况下，委托人提供多个合同供代理人选 择，代理人根据自己的类型选择一个适合自己的合同，并根据合同条约选择自己 3 第一章绪论 的行动比如，保险公司不知道投保人的风险类型，因此针对不同类型的投保人 设计了一系列不同的保险合同，投保人根据自己的风险特征选择相应的保险合 同；垄断者不知道消费者的类型，但是通过价格歧视对消费者做出甄别，以获得 所有的剩余 隐藏行动的道德风险：在签约之后，代理人选择自己的行动，并且和自然状 态一起决定一些可观测的结果；委托人和代理人之间的信息不对称在于，委托人 只能观测到结果，却不能直接观测其行动本身比如董事会与经理人之间，董事 会不能完全了解经理人的经营行为，比如工作是否努力，是否积极实施对公司有 利的措施，董事会只能了解公司的产出【删，4 u 】隐藏行动的道德风险是委托代理 理论所关注的主要问题，委托人的问题是设计个激励合同以诱使代理人从自身 利益出发选择对代理人最有利的行动类似的委托代理问题还有：医疗保险公司 领域的道德风险问题【4 b 】；经理通过一定的安排使得员工努力工作i 删；债权人通 过一定的合同条款，促使贷款人积极规避项目风险【4 化公民作为委托人，如何 使他们的代理人政府官员廉洁奉公；等等 隐藏信息的道德风险：在签约之后，委托人可以观测到代理人的行动与最后 的产出，但是观测不到自然的选择，代理人知道自然的选择，但是可能向委托人 隐藏关于自然选择的信息或知识比如在一个公司里，销售人员了解市场的需求 及客户的特征，但是经理不了解；经理的问题是设计一个激励合同使销售人员有 动力针对不同的顾客选择不同的销售策略 1 2 2 不完全信息处理方式 在现实环境中，参与人经常缺乏关于博弈局势的完全信息，正如h a r s a l l l y i i 场j 指出的，参与人可能缺少关于其他参与人收益甚至是自己收益的完全信息现阶 段，从博弈论角度对不完全信息的处理主要有三大类 首先是h a 鹪a n 姐f 上】通过将私人信息定义为参与人的类型，并通过h a r s a l l 班 转换，将不完全信息问题转换为不完美信息的博弈问题进行研究，系统地给出了 研究不完全信息的博弈模型：贝叶斯博弈a 啪a n n 【】和m y e r s o n 【2 4 】等进一 步发展了贝叶斯博弈 其次是将不完全信息引起的收益看成随机变量，从这个角度出发b l a u 唑 c a s s i d y 等【，】和c h a r n e s 等【苓】讨论了具有随机收益的博弈问题的解决方法 b e r g 【4 】，e i n - d o ra n dk a n t e r 【10 】和r ，o b e r t s1 3 3 】等分析了具有随机收益的双矩 阵博弈模型 再者是关于模糊环境下的博弈问题，因为在实际应用中会遇到一些类型很 难度量的情况，比如经常遇到的委托人的能力水平、努力程度、投保人对身体健 4 第一章绪论 康状况的认识等，所以前面两类对不完全信息处理方法就不再适用随着模糊理 论的发展，为处理这类问题提供了有利的工具自从z a d e h 【】首先提出模糊 集的概念，模糊理论开始发展并被广泛应用于现实问题的分析中为了度量个 模糊事件， z a d e h 【j b 】在1 9 7 8 年给出了可能性测度的概念，并被一些学者，如 n a h 嘶硒【2 8 1 ，k a u f h l a n 和g u p t af 1 4 1 ，z i m m e r m a n nf 3 8 】，d u b 豳和p r a d e 【9 】还 有l i u 【“】等，进一步发展因为可能性测度不具有自对偶性质，所以l i u 和 l i u 【埘】给出一个自对偶的测度：可信性测度并且在可信性测度的基础上定义 了模糊变量l i u 在文献 2 1 】中给出了可信性理论的框架 具有模糊收益的博弈问题越来越引起注意，例如，c 锄p o s 【o 】首先研究了 具有模糊收益的二人零和矩阵博弈问题；x u 等【0 4 】将收益看成模糊变量并定义 了三个均衡策略此外还有n i s l l i z a l 【i 和s 成聊a 【3 0 ，3 1 ，32 1 ，m a e d a 【2 2 ，2 3 】等， 通过各种去模糊化方法处理模糊收益的博弈问题 1 3 本文主要工作和创新点 本文考虑一类特殊的不完全信息问题，例如，考察世界杯足球比赛，每支球 队的综合实力用模糊变量来描述，而任意两只球队抽到一个小组只能用概率事件 来描述；如果给定已知两个球队进行比赛，那么它是符合具有模糊收益的博弈模 型；如果在抽签分组前就考虑比赛的可能结果，就要考虑抽签的随机性，那么前 面两种对不完全信息的处理方式就不适合在不完全信息古诺博弈问题中，厂商 的效率通常被看成为取值为高或低的随机变量，这里高与低都是模糊概念，处理 成某个具体的值显然不合理本文将如何处理具有这种不完全信息类型的博弈问 题称之为模糊环境下的不完全信息博弈问题 本文处理的思路可以概括为以下几点t 首先提出了模糊映射的概念，分析了 模糊映射期望值函数的数学性质，为分析模糊环境下的不完全信息静态博弈提供 理论基础其次，通过假设参与人的类型为模糊变量，将模糊环境下的不完全信 息博弈转化为具有模糊类型的静态贝叶斯博弈参考h a r s a n y i 的分析方法，我 们定义了静态模糊贝叶斯博弈及其策略、模糊贝叶斯均衡等概念，并给出了均衡 存在定理及其证明 根据机制设计的有关理论，每一个博弈的均衡都可以用来作为一个机制来实 施社会配置本文尝试将得到的模糊贝叶斯均衡运用到机制设计理论中，提出模 糊贝叶斯纳什实施的概念，并证明了相应的显示原理 为了更好地说明，本文在每个主要结论后面都给出了相应的应用模型考虑 了具有模糊销售能力的销售商订货批量模型；具有模糊效率的不完全信息下古诺 5 第一章绪论 竞争博弈模型和模糊环境下的生产批量合同选择模型等 文章的结构分为五大部分，第一部分介绍了选题背景、国内外不完全信息博 弈的研究现状以及本文的重点工作第二部分介绍文中涉及领域的基本概念和方 法第三部分提出了模糊映射的概念，并分析了模糊映射的数学性质第四部分 介绍了具有模糊类型的不完全信息静态博弈，给出了策略、均衡的概念以及均衡 存在定理的证明第五部分将得到的模糊贝叶斯均衡运用到机制设计理论，提出 模糊贝叶斯纳什实施的概念，并证明了显示原理 本文的主要创新点如下t ( 1 ) 本文首先提出模糊环境下的不完全信息博弈问题，对它的研究丰富了博 弈论和信息经济学的内容 ( 2 ) 通过给出模糊映射的概念，分析模糊映射的数学性质，避免了传统的模 糊环境下求解只能给出数值解的弊端，为分析模糊环境下的决策和对策问题提供 了理论基础 ( 3 ) 通过假设参与人的类型为模糊变量，分析模糊类型的静态贝叶斯博弈来 分析模糊环境下的不完全信息静态博弈 ( 4 ) 创造性地给出了模糊贝叶斯纳什实施的概念，为模糊环境下的机制设计 分析提供一种参考方法 6 第二章基础知识 这一章介绍本文中所涉及的基础理论，包括静态贝叶斯博弈和可信性理论 2 1 静态贝叶斯博弈 本文研究模糊环境下的不完全信息博弈问题，对它的研究方法主要参考了 h a r s a n y i 【1 2 】对一般不完全信息的处理方式，首先在本节介绍静态贝叶斯博弈理 论，相关内容可以参考文献【1 1 ，12 】 2 1 1 不完全信息 如果在一个博弈中，某些参与人不知道其他参与人的收益，则称这个博弈是 不完全信息博弈，具有不完全信息的博弈也称为贝叶斯博弈，很多博弈在一定程 度上都存在信息不完全问题为了更好地介绍贝叶斯博弈，可以通过讨论一个包 括两个企业的行业博弈来说明假定这个行业有一个在位者( 参与人1 ) 和一个 潜在的进入者( 参与人2 ) 参与人1 决定是否建立一个新工厂，同时参与人2 决 定是否进入该行业假定参与人2 不知道参与人1 建厂的成本是3 还是l ，但参 与人1 知道这个博弈的收益可以用图2 1 来表示参与人2 的收益取决于 建厂 不建厂 参与人1 的建厂成本为 高时的支付 参与人l 的建厂成本为 低时的支付 图2 1 ：不同建厂成本对应的矩阵博弈 参与人1 是否建厂，而不是直接取决于参与人1 的成本当且仅当参与人1 不 建厂时，参与人2 进入是有利可图的此外，值得注意的是在这个博弈中，参与 人1 有一个优势策略。成本低则建厂；成本高则不建厂令p 1 代表参与人2 认 为参与人1 为高成本的先验概率因为当且仅当参与人1 为低成本时他才会建 厂，因此只要p 1 0 5 ，参与人2 就会进入；而当p 1 0 为了完整地描述贝叶斯博弈，我们还必须说明每一个参与人i 的纯策略空间 & 和收益函数“t ( s 1 ，p 1 ，氏) 由于每个人的策略选择都取决于他的类 型，我们可以用s ( 代表类型为仇的参与人i 的行动选择如果参与人i 知道 8 第二章基础知识 其他参与人的策略 勺( ) b 和是其相应类型的函数，参与人i 就可以用条件概率 p ( p ii 来计算对应于每一个选择的期望效用从而找出最优反映策略& ( 2 1 3 贝叶斯均衡 在一个不完全信息博弈中，如果每一个参与人的类型哦有限，且参与人 类型的先验分布为p ，相应策略空间为& ，给定策略组合s ( ) = ( s t ( ) ，s 一( ) ) 和 s ：( ) ，令( s ：( ) ，s t ( ) ) 代表当参与人i 选择s ：( ) 而其他参与人选择s t ( ) ，且令 ( s ：( 以) ，s t ( 口一i ) ) = ( s 1 ( p 1 ) ，s i 一1 ( 仇1 ) ，s ：( 巩) ，s 件1 ( 巩+ 1 ) ，s ( p j ) ) 代表策略在口= ( 仇，p 一) 的值那么策略组合s ( ) 是个贝叶斯均衡，如果对于 每一个参与人 均有 s 疋) a r g 。膦丢若p ( 帆m ，s - 舻枷以i ) 2 2 可信性理论 模糊数学的发展为处理模糊现象提供了有利工具，它最早是由z a d e h 【5 训在 1 9 6 5 年提出模糊集的概念，由于现实生活中模糊现象的普遍存在性，此后模糊 数学得到了不断发展，现阶段对模糊数学的研究建立了一套公理化体系本文以 l i u 和l i u 【蝤】提出的可信性理论为框架，分析模糊环境下的不完全信息博弈问 题本节着重介绍可信性测度、模糊变量、模糊变量的期望值等概念 定义2 1 ( z a d e h 【】) 设u 为论域，a 为u 的一个子集，对任意的z 以定义 芦五：矿_ 【0 ，1 】 p a ( z ) 在z 处的值反映了元素z 属于a 的程度我们称集合五为模糊集合，称 肛a ( z ) 为a 的隶属函数p 五( z ) 的值越大，元素z 属于a 的程度也就越高 定义2 2 ( n a h m i a s 【2 8 】) 设e 为非空集合，p ( e ) 是e 的幂集若非负集函数 p o s ) 满足 ( i ) p o s e ) = l ； ( i i ) p 0 8 0 ) = o ； ( i i i ) 对p ( e ) 中的任意集合 a ) 罂1 ，有p o s _ u 罄1 a ) = s u p ip o s a ) ， 9 第二章基础知识 则集函数p 0 8 称为可能性测度，称三元组( e ，p ( e ) ，p 0 s ) 为可能性空间( 模式空 间) 定义2 3 ( l i u 【1 6 1 ) 设( e i ，p ( e ) ，p o s i ) ，t = 1 ，2 ，佗为可能性空间如果 e = e 1 e 2 e n ， 并且对于每个a p ( e ) ， p 0 8 a ) = s u pp o s l 口1 ) 八p o s 2 如) 八八p o s n p n ) ， ( p l ，眈，) a 则称( e ，p ( e ) ，p 0 8 ) 为乘积可能性空间，并记 p o s = p 0 8 1ap o s 2 八八p o s n 由于在可测空间( e ，p ( e ) ) 上给出的可能性测度p o s ) 不满足自对偶性质， 为了给出更完善的公理化体系，l i u 和l i u1 1 8 】给出了可信性测度c r ) 为了 使得给出的测度满足自对偶性质，建立了如下几条公理 公理1 c r e ) = 1 ； 公理2 c r 是单调递增的，即对任意acb ，有c r a ) c r 【b ) ； 公理3 c r 是自对偶的，即对任意a p ( e ) ，要满足c r = ( 2 c r a ) ) 1 得到一个测度p o s ) ，很容易验证它是一个可能性测 度假设下面讨论中的可能性测度都是由对应空间上的可信性测度导出 定义2 6 ( z h o u 和l i u 【3 7 】) 令( e ，p ( e ) ，c r ) 为一个可信性空间，集合e + = p eic r p ) o ) 叫做可信性空间( e ，p ( e ) ，c r ) 的核 定义2 7 ( l i uf 2 1 】) 模糊变量是一个从可信性空间( e ，尹( e ) ，c r ) 到实数集上 的映射 定义2 8 ( l i u 和l i u ( 18 1 ) 令，：渺一瓣是个可测函数，毫是分别定义在 ( e i ，p ( e t ) ，c r ) 上的模糊变量，i = 1 ，2 ，n 那么，= ，( l ，已，n ) 是定 义在乘积空间( e ，p ( e ) ，c r ) 上的模糊变量，并且对任意( p 1 ，如，靠) e ，有 ( p 1 ，如，如) = ，( 1 ( p 1 ) ，已( 如) ，厶( p n ) ) 定义2 9 ( l i u 【2 1 】) 令是定义在可信性空间( e ，p ( e ) ，c r ) 上模糊变量，那么 它的隶属函数段( z ) 可以由可信性测度导出 ，生( z ) = ( 2 c r = z ) ) 八1 ，、矿。跪 ( 2 一1 ) 显然地胜( z ) = p 0 8 = z ) ，并且对任意b 虢，8 u p 蜒b 比( z ) = p 0 8 口 ( p ) b ) 在本文中，用符号专( e + ) 来表示集合 zi 胀( z ) o ) 定义2 1 0 如果一个模糊变量满足对任意，y ( 0 ，1 】，集合t z 况l 心( z ) ，y ， 是驼中的非空有界子集，那么，称这个模糊变量是有界的 定义2 1 1 ( l i u 和g a of 2 0 】) 模糊变量6 ，已，称为是独立的，当且仅当 c r o ，有6 + 譬b ，所以有胀( 6 + e ) r 绺( z ) ，y ，必有r 扫+ ，而o = 8 u p rj7 a ) ，所以 口6 + 对任意 0 都成立，所以o 6 同理对任意 o ，有口+ g 簪a ，所以有8 u p 。口托胜( z ) 0 ，有d 一芒d ，所以有心( d 一) o ，有c s 隹c ，所以有s u p c c - 胀 ) 7 ，所以心( c 一) 罱) ) 2 身r 罱一。心( r ) 胜cz，=三一z，三三摹5，u e 1 5 ，2 ， c 2 7 ， 第二章基础知识 定义2 1 7 模糊映射是从一个拓扑空间x 到模糊变量集合的映射 虽然是在本文首先提出模糊映射的概念，但是这类映射早就出现在很多关于 模糊环境下决策问题研究的文献中，这里举个简单的例子来加以说明 例2 2 一个企业的生产效率往往很难度量，如果简单地考虑企业的生产边际成 本，那么根据专家经验和历史数据，用一个模糊变量来刻画是合理的，假设 是定义在可信性空间( e ，p ( 9 ) ，c r ) 上，那么企业生产g 单位的产品需要花费的 变动成本c ( 口) 可以定义为 c ( g ) = 必， 显然必也是定义在可信性空间( e ，p ( e ) ，c r ) 上那么变动成本c ( 口) 就可以看 成是从蹰到定义在( e ，p ( e ) ，c r ) 上全体模糊变量集合上的模糊映射。 在第三章将给出模糊映射更一般的形似，并讨论它的一些数学性质 1 5 第三章模糊映射期望值函数的连续性和凸性分析 这一章分析模糊映射的性质，这为分析模糊环境下的不完全信息博弈问题提 供了理论基础 在考虑模糊环境下的最优决策问题时，给出的目标函数通常带有若干个模糊 参数在这里，我们用模糊变量来刻画这些参数，并将这类“函数定义为模糊 映射为了给模糊环境下做决策建立准则，我们研究了模糊映射的一些性质因 为函数的连续性和凸性分析在优化理论中起着很重要的作用，所以在本章重点分 析模糊映射期望值函数的连续性和凸性性质可以证明在假设模糊映射对应函数 的连续性和涉及模糊变量的独立性等条件下，模糊映射期望值函数的这些性质都 能很好的继承对应函数的性质为了进一步说明问题，在本章中考虑了具有模糊 销售能力的零售商最优订货决策问题 3 1 模糊映射期望值函数 在实际决策过程中，经常会碰到函数中的参数具有模糊不确定的情况通 常考虑的方法是用这个参数的期望值或者用最有可能的取值代入到方程进行分 析，这种做法的缺陷是会丢失很多关于变量的信息所以，如果用模糊变量直接 代入到方程进行分析就能更加准确地描述问题例如，在函数，( z ) = z + 6 中， 如果参数6 是模糊不确定的，可以考虑用模糊变量来描述它，那么这个函数就 可以用模糊映射，( z ，f ) = z + 来表示为了分析这个映射的性质，本文同时引 入了多元函数，( z ，牡) = z + u ，也就是将参数6 用一个变量乱来替代这样做的 好处是将对模糊映射性质的分析转化为对多元函数的分析 更一般的，用厂( e ，p ( e t ) ，c k ) 来表示定义在可信性空间( e ，p ( 9 i ) ，c r f ) 上的全体有界模糊变量的集合，i 1 ，2 ，n ) 令& 厂( e i ，p ( e ) ，c r t ) ，= ( 1 ，已，厶) 为模糊向量，x 是一个拓扑空间，函数，：x n ：】已( e t ) _ 冗 是一个有界可测函数那么，( 茁，毒) = ，( z ，毒，已，厶) 可以看成是从空间x 到 厂( e ，p ( e ) ，c r ) 的模糊映射，其中e = 兀：1e l ，c r = 八笔1c r i 此外，本文用e 【，( 2 ，专) 】，u ( z ，；7 ) 和，l ，专；，y ) 分别表示模糊映射，( z ，) 的期望值函数、，y 乐观值函数以及7 悲观值函数，其中7 ( o ，1 】也就是说对任 意的x ，e 【厂( 如，) 】、，u ( z o ，；7 ) 和，工( 跏，毒；7 ) 分别是模糊变量，( z o ，墓) 的期望值、7 乐观值和7 悲观值 在分析模糊映射期望值函数的性质之前，先来讨论模糊变量函数的一些性 质，可以证明有如下结论 1 6 第三章模糊映射期望值函数的连续性和凸性分析 定理3 1 假设是定义在( e t ，p ( e i ) ，c r ) 上的一系列独立的具有上半连续隶 属函数的模糊变量 = 1 ，2 ，佗，：舻_ 跪是个可测函数如果，( z ) 分别关 于以在已( e ) 上单调，i = 1 ，2 ，他，那么对任意7 ( o ，1 】，有下面的结论； ( i ) ，u 健) ( ，y ) = ，( g ( ，y ) ，g ( ，y ) ，g ( ，y ) ) ，其中，如果 厂( z l ，勋，如) 关于苁 单调非减，那么( ，y ) = ( 7 ) ，否则n ) = 管( ，y ) ；、 ( i i ) ，工馐) ( 7 ) = ，0 y ( 7 ) ，谬( 7 ) ，g n ) ) ，其中，如果，( 名。，z 2 ，z n ) 关于 戤单调非减，那么( 7 ) = 毋( 7 ) ，否则( ，y ) = n ) 证明，不失一般性，假设，关于前面个变量单调非减，关于后佗一七个变量单调 非增，那么问题就转化为证明 ，( 专) ( 们= ，代y ( 7 ) ，谬( 7 ) ，擘( 7 ) ，氨。( 7 ) ，甓( ，y ) ) 一 ( 孓1 ) 和 ，( 毒) ( ，y ) = ，( 皆( ，y ) ，学( ，y ) ，砖( 7 ) ，盛。( ，y ) ，g ( ，y ) ) 洚2 ) 对所有，y ( o ，1 】都成立 对任意7 ( o ，l 】，因为毛之间相互独立，根据z a d e h 扩展原理 3 6 】，有 谢( 黝，蒜k ) i 丢) p 爪) ( r ) r ，( e p ( ，y ) ，镌7 ( 7 ) ，n ) ，魂l ( 一r ) ，走丢h ) ) 。、“ 幢m f 。潲m + 1 ，( 等( ，y ) ，彦( ，y ) ，彰( 7 ) ，文，( 7 ) 舞( 7 ) ) 那么，根据t 乐观值的定义有 叫( 口艘，现) ，锯小) ，砖) p 旭) r ) 7 r ，( ，n ) ，y ( ，y ) ，f _ i ，( 1 ) ，l 旬l ( ，y ) ，砖( ，y ) ) 第三章 模糊映射期望值函数的连续性和凸性分析 所以，必定会存在2 = ( z ：，呓，z 二) ，使得 ，( 刃) ，( g ( ，y ) ，彰( ，y ) 。，彦( ，y ) ，文，( ，y ) 。，砖( ，y ) ) 并且心( 矿) ，y 根据函数，( z ) 的单调性，可以推出肯定存在某个z 七并且 ( ，y ) 或者i 七并且 ( 7 ) 则有 心( z ) 2 璁蚝( 。；) 心( z ：) o 考虑模糊映射 ， ，- ，已，6 ) = m a x z ，矗 1 仇( z ) + 已( 6 + 现 ) ) 期望值函数的连续性，其中z o ，。) 首先，建立多元函数 ，( z ，u 1 ，u 2 ，乱3 ) = m a x o ，u 3 u l 9 1 ( z ) + u 2 ( 3 + 夕2 ( z ) ) ，【z ，u 1 ，u 2 ，乱3 ) 2 2m a x t o ，u 3 j - u l 9 1 【z j + u 2 。【3 十! 沱【z ) ) ， 其中z o ，+ 。) ，“1 f l ( e + ) = ( o ，2 ) ，抛已( e + ) = ( 1 ，3 ) ，坳6 ( e + ) = ( 2 ，4 ) 显然函数，( z ，u 1 ，地，u 3 ) 分别关于u i 在邑( e + ) 单调递增，其中i 1 ，2 ，3 ) 因为对每一个铭：矗( e + ) ，呓( 9 + ) 和磁岛( e + ) ，m a x 如，心；) 关于z 连 续因此函数，( z ，札i ，u ：，u ：) 关于z 是下半连续的根据注3 2 ，可以得到对任意 7 ( o ，1 】，u ，1 ，已，岛；，y ) ，l ( z ，6 ，已，岛；7 ) 和e l 厂( z ，矗，已，6 ) 】关于z 是下半 第三章模糊映射期望值函数的连续性和凸性分析 一，( 4 7 ) ( 2 一，y ) 9 1 ( z ) + ( 3 一，y ) ( 9 2 ) + 4 7 ) ，z 0 ，r 可以理解为代理人风险厌恶程度因为一个人的风险厌恶程 度通常是模糊不确定的，并且很难计算，所以用一个正的模糊变量矗来刻画就 显得更合理令 川= 等，= 竿 容易验证对每个如冗，沙( z o ，让) 关于u 是单调递减的，对每一个咖 o ，u ( z ，咖) 是个凹函数根据注3 4 ，可以推出e u ( z ，矗) 】是个凹函数 2 2 z 1 2 = 第三章模糊映射期望值函数的连续性和凸性分析 3 3 模糊环境下零售商最优订货决策问题 这一节作为应用分析考虑零售商经常遇到的优化问题，零售商向个供应商