（油气田开发工程专业论文）幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度.pdf

大庆石油学院硕十研究生学位论文 p r e s s u r eg r a d i e n to fp o w e rl a wf l u i df l o w i n gi na n n u l u sw i t ht h ei n n e rc y l i n d e r e x e c u t i n gap l a n e t a r ym o t i o n a b s t r a e t u n d e rt h eb e h a v i o ro fp r o d u c t i o nb ys c r e wp u m p ，t h ep u m pr o dr o t a t e sn o to n l ya r o u n di t so w na x i sb u t a l s oa r o u n dt h ea x i so ft h eo i it u b e , f o rt h ee f f e c t so fi t ss e l f - w e i g h ta n dd e c e n t r a l i z a t i o n t h ef l o wo f p r o d u c e dl i q u i d i oa n n u l u sb e t w e e nt h ep u m pr o da n dt h eo i lt u b ec o u l db e r e g a r d e d a sf l o wo f n o n n e w t o n i a nf l u i di na n n u l u sw i t ht h ei n n e rc y l i n d e re x e c u t i n gap l a n e t a r ym o t i o n s o r e s e a r c ho nt h e p r e s s u r eg r a d i e n to ff l o wo fn o n n e w t o n i a nf l u i di na n n u l u sw i t ht h ei n n e rc y l i n d e re x e c u t i n gap l a n e t a r y m o t i o ni so fc e r t a i nt h e o r e t i c a li n s t r u c t i o ns i g n i f i c a n c ef o ro p t i m i z i n ga n dd e s i g n i n gt h ep a r a m e t e r so f p u m pi ns c r e wp u m pp r o d u c t i o nw e l l i nt h i sp a p e r , t h er b e o l o g i c a lp r o p e r t i e so ft h ep r o d u c e dl i q u i di ns c r e ”p u m pp r o d u c t i o nw e l lw e r e d e s c r i b e db yt h em o d e lo fp o w e r1 a wf l u i d t h ek i n e m a t i ce q u a t i o n so ff l o wo fp o w e rl a wf l u i di na n n u l u s w i t ht h ei b o e rc y l i n d e re x e c u t i n gap l a n e t a r ym o t i o nw e r et r a n s f o r m e db yt h em e t h o do fu n d e t e r m i n e d c o e f f i c i e n t ，a n dt h e nt h er e l a t i o ne x p r e s s i o n sa m o n gs t r e a mf u n c t i o n ，a x i a lv e l o c i t ya n dp r e s s u r eg r a d i e n t w e r e o b t a i n e d t h e m a t b e m a t i c a l m o d e lo f t h ep r e s s u r eg r a d i e n t o f f l o wo f p o w e r l a w f l u i d i n a n n u l u s w i t h t h ej n n e rc y l i n d e re x e c u t i n gap l a n e t a r ym o t i o nw a se s t a b l i s h e da n dt h e nc a l c u l a t e db yf i n i t ed i f i e f e n c e m e t h o d t h r o u g ht h ec o r r e l a t i o na n a l y s i sb e t w e e nt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n sa n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so f t h ep r e s s u r eg r a d i e n to ff l o wo fn e w t o n i a nf l u i d i na n n u l u sw i t ht h ei n n e rc y l i n d e re x e c u t i n gap l a n e t a r y m o t i o n i ti sk n o w nt h a tt h ef o r m u l aa n dt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o do ft h ep r e s s u r eg r a d i e n tg i v e ni u t h i sp a p e ra r ea c c u r a t e 1 1 1 ee f f e c t so ft h er o t a t i o na n dr e v o l u t i o nv e l o c i t i e so ft h ei n n e rc y l i n d e r , t h e e c c e n t r i c i t ya n dt h ef l u xo nt h ep r e s s u r eg r a d i e n tw e r ea n a l y z e dr e s p e c t i v e l yw h e nn e w t o n i a na n dp o w e r i a wf l u i df l o wi na n n u l u sw i t ht h ei n n e rc y l i n d e re x e c u t i n gap l a n e t a r ym o t i o n t h er e s u l t si n d i e a t et h a t f o r t h ef l o wo fn e w t o n i a nf l u i di na n n u l u sw i t ht h ei n n e rc y l i n d e re x e c u t i n gap l a n e t a r ym o t i o n t h e e c e e n t r i c i t ya n dt h ef l u xa l et h em a i ne f f e c t st ot h ep r e s s u r eg r a d i e n t , w h i l et h er o t a t i o na n dr e v o l u t i o n v e l o c i t i e sh a v en oe f f e c to ni t ；f o rt h ef l o wo f p o w e rl a wf l u i di na n n u l u sw i t ht h ei n n e rc y l i n d e re x e c u t i n g ap l a n e t a r ym o t i o n 。t h ee e e e n t r i c i t ya n dt h ef l u xa r et h em a i ne f f e c t st ot h ep r e s s u r eg r a d i e n t , w h i l et h e r o t a t i o na n dr e v o l u t i o nv e l o c i t i e sh a v el e s se f f e c to ni t k e yw o r d s ：p o w e rl a wf l u i d ；p r e s s u r eg r a d i e n t ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ；e c c e n t r i ca n n u l u s ；p l a n e t a r ym o t i o n i l l 大庆石油学院硕士研究生学位论吏 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意 作者签名：l 立i 整至色 日期： 迎五建：如 学位论文使用授权声明 本人完全了解大庆石油学院有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非 赢利日的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后 适用本规定。 学位论文作者签名： 吟德 动 导师签名：之一7 白前 日期：渺7 a 幻 日期： 土。67 2 ，2 o 创新点摘要 创新点摘要 1 首次利用待定系数法将幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的运动方程进 行了变换，得到了流函数、轴向速度与压力梯度之间的关系表达式，建立了给定流量情 况下幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度的数学模型； 2 利用有限差分法对该流动的压力梯度进行了数值计算，且与传统方法相比，具 有运算速度快和计算精度高的优点。 大庆石油学院坝士研究生学位论文 文献综述 关于流体在偏心环空中的流动，早在2 0 世纪4 0 年代就有人进行过研究。偏心环空 中最简单的流动便是c o u e t t e 流和p o i s e u i l l e 流，因此，对流体在偏心环空中的流动进行 分析也是始于这两种流动的。继而，又有人对偏心环空螺旋流进行了研究。直到今天， 又有一种新的流体运动，即流体在内管做行星运动的环空中的流动，引起了人们的极大 兴趣。下面详细综述一下流体在偏心环空中流动的一些研究进展。 偏心环空c o u e t t e 流是一种周向剪切流动，迄今为止，已有大量的文献对其流动规 律进行过讨论。1 9 6 8 年，r i t c h i e 1 l 对偏心环空c o u e t t e 流的稳定性作了分析，并给出了 稳定性参数t a y l o r 数的近似解，同时还给出了t a y l o r 数对偏心度的变化曲线。1 9 7 6 年， b a l l a l 和r i v l i n l 2 】在忽略惯性力的情况下给出了粘弹性流体偏心环空c o u e t t e 流的解析解， 并得到了作用在内外管壁上的合力、法向应力、切向应力以及扭矩的计算公式。1 9 8 3 年，赵学端和廖其奠等口i 用量级分析法，把n s 方程做了简化，从而得出了n e w t o n 流 体偏心环空c o u e t t e 流的速度、流量和压力公式。1 9 8 7 年，c h r i s t i e 和r a j a g o p a l 等一。对 二阶r i v l i n e r i c k s e n 流体的偏心环空c o u e t t e 流做了研究，他们的研究结果适合任何环 空尺寸，且考虑了质量力，但仅适合弱非n e w t o n 性流体。1 9 9 8 年，s i g i n e r 和b a k h t i y a r o v p j 分别在实验和理论上分析了偏心度对钻井液偏心环空c o u e t t e 流的影响，结果吻和较好。 2 0 0 4 年，s h u 和w a n g 等悃微积分和半隐式方法对三维n - s 方程进行了数值求解，并 将c o u e t t e 流的计算结果与c h o u ，s a n 和s z e r i t 8 】之前获得的结果进行了对比，结果吻 合较好。2 0 0 5 年，g r e c o v 和c l e r m o n t l 9 1 采用区域分解法和流管法对偏心环空c o u e t t e 流 在考虑惯性力和忽略惯性力两种情况下分别进行了研究。 偏心环空p o i s e u i l t e 流是一种轴向剪切流动，也有大量的文献对其流动规律进行过 讨论。1 9 6 1 年，张也影【1 0 】介绍了近似计算n e w t o n 流体偏心环空p o i s e u i l l e 流的流量公 式。1 9 6 3 年，s n y d e r “l 讨论了偏心环空p o i s e u i l l e 流的环空内外管壁上的应力分布。1 9 6 5 年，s n y d e r 和g o l d s t e i n 1 2 1 又用双极坐标变换法讨论了上述同一问题。1 9 7 5 年，b a l l a l 和r i v l i n l l 3 1 采用双极坐标系对流动缓慢的二阶r i v l i n e r i c k s e n 流体的偏心环空p o i s e u i l l e 流傲了分析，从而得出了作用于环空内管上的力矩。同年，b a l l a l 和r i v l i r t 1 4 l 对粘弹性 流体偏心环空p o i s e u i l l e 流做了进一步的讨论。1 9 8 3 年，吴疆( 1 5 j 从柱坐标系下的n s 方 程出发，对偏心环空p o i s e u i h e 流的流动规律做了分析，得出了适用于工程应用的流速、 流量和压降的计算公式。1 9 8 4 年，t o s u n i l 6 l 把偏心环空用变高度间隙代替，对钻井液的 偏心环空p o i s e u i l l e 流做了计算。1 9 8 7 年，l u o 和p e d e n i ”j 共同提出了一种求解偏心环 空p o i s e u i l l e 流的新方法。这种方法的基本思想是把偏心环空视为由无数个外径变化而 内径不变的同心环空组成，从而可把偏心环空问题化为同心环空问题。1 9 8 8 年，刘希圣 和樊洪海等【ig 】对幂律流体偏心环空p o i s e u i l l e 流做了理论分析和实验研究。同年，岳湘 安和陈家琅等 l9 j 对幂律流体在偏心环空中的轴向层流流动进行了研究，得出其速度分 文献综述 布。1 9 9 4 年，汪海阁和刘希圣【2 0 l 对同心环空中屈服假塑性流体轴向层流流场进行了分 析，建立了轴向速度、流量、压力梯度、剪切应力、剪切速率和视粘度等参数的数学表 达式。1 9 9 7 年，杨树入和申家年等川利用控制体积法对幂律流体偏，0 环空轴向层流流 动的基本方程进行了离散化处理，并用a d i 方法进行了求解。汪海阁和苏义脑【2 2 l 求解 了非n e w t o n 流体在同心环空中作轴向流动的解析解，并利用数值方法求解了偏心环空 中非n e w t o f i 流体轴向流动的数值解，在此基础上，利用多元参数回归分析的方法，建 立了非n e w t o n 流体在偏心环空中流动的压降计算经验模式。汪海阁和朱明亮 2 3 1 求解了 屈服假甥性流体在偏心环空中作轴向层流流动的适用于工程应用的二元速度分布，以及 平均流速、流量和压降的表达式。1 9 9 8 年，m e a r i c 和w a k e m a n i ”j 对粘弹性流体在偏心 环空中的轴向流动进行了数值求解。1 9 9 9 年，f a n g 和m a n g l i k 等睇5 l 研究了幂律流体偏 心环空p o i s e u i l l e 流的流动规律，结果发现环空偏心度以及流变参数是影响其速度以及 应力分布的主要因素，而内外管径比对两者的影响很小。2 0 0 1 年，韩式方1 2 6 t 用改进的 k a n t o r o v i c h 变分法和幂律流体模型相结合，并采用局部线性化的方法，提出了解决运动 方程中出现的非线性问题的方法，将计算智能解析方法应用于非线性问题，研究了幂律 流体管内非定常p o i s e u i l l e 流。2 0 0 2 年，贺成才1 27 1 给出了给定流量情况下偏心环空 p o i s e u i l l e 流求解压力梯度的简单数值计算方法。2 0 0 4 年，韩洪升和王德民等1 28 l 开展了 粘弹性流体在环空中流动的理论和实验研究，得出了粘弹性流体在抽油机井井简内的流 动规律及对抽油杆柱法向应力的影响规律，指出粘弹性流体的法向应力是造成拙油机井 杆管偏磨的主要原因。同年，m o s t a f a i y a n 和k h o d a b a n d e h l o u 等1 2 9 i 采用g i e s e k u s 模型得 到粘弹性流体在环空中轴向流动的近似解，并与精确解做了对比，结果吻合较好。2 0 0 5 年，杨元健p o l 采用变系数二阶流体模型分析了粘弹性流体p o i s e u i l l e 流和在内管做轴向 往复运动的偏心环空中的非定常流的速度、流量以及内管壁压力等的分布规律。2 0 0 6 年杨树人1 3 l 】采用o l d r o y d - m a x w e l l 流体模型，利用控制体积法对其在偏心环空中非定 常流的运动方程进行了数值求解，并详细分析了速度以及作用在内管上的径向力的影响 因素。 在前人对偏心环空c o u e t t e 流和p o i s e u i l l e 流流动规律的认识基础上，人们又对可以 看作是这两种流动迭加而成的偏心环空螺旋流进行了相关的讨论。1 9 8 5 年，z i d a n 和 h a s s a n l 3 2 1 用近似方法对粘弹性流体在偏心环空中的流动做了研究。郑应人p 3 】对b i n g h a m 流体在偏心环空中的螺旋流动做了研究，并得出其流场性质。1 9 8 9 年，u n e r 和o z g e n 等p 4 对幂律流体偏心环空螺旋流进行了研究，得到环空偏心度是影响流体轴向速度的主 要因素。1 9 9 0 年。崔海清和张海桥 3 习对石油工业中常用的h e r s c h e l b u c k l e y 流体的环空 螺旋流做了解析求解。与此同时，他们共同对幂律流体的圆管螺旋流做了解析求解，并 目还对其得到的结论做了室内实验验证，实验结果证明了他们得到的解析解是正确的 3 6 1 。1 9 9 2 年，刘希圣和崔海清给出了幂律流体在偏心环空中层流螺旋流动的近似解 法。1 9 9 4 年，张海桥和吴继周 3 8 ) 研究了幂律、b i n g h a m 流体在偏心环空中层流螺旋流的 流动规律与流动状态的判别。同年，崔海清f 3 9 i 用有限差分法对非n e w t o n 流体偏心环空 2 丈庆石油学院硕l 研究生学位论文 螺旋流进行了数值求解，分析了环空中二次流、轴向速度以及流量等的变化规律，并指 出了其影响因素。1 9 9 5 年张景富和李邦达1 4 0 1 引入当量间距的概念。给出了偏心环空 中b i n g h a m 流体层流螺旋流的流量、压降计算公式。同年，蒋世全和施太芹1 i a l l 分析计算 了钻井工程上偏心环空中内管转动的螺旋流动。1 9 9 6 年，雒贵明等【4 zj 深入研究了c a s s o n 流体偏心环空螺旋流层流流动规律，给出了c a s s o n 流体偏心环空层流螺旋流速度分布 及压降的计算方法，得出了方便现场应用的计算公式。1 9 9 8 年，h u s s a i n 和s h a f i f l 4 3 j 对 带有屈服应力的幂律流体在不规则偏心环空中的流动情况进行了分析。2 0 0 0 年，w a n 等m 对n e w t o n 流体和粘弹性流体的偏心环空螺旋流动进行了分析和研究。刘文红和张 宁生1 4 5 j 应用非n e w t o n 流体力学的基本原理建立了偏心环空螺旋流模型，对小井眼情况 下的环空压耗进行了计算。e s e u d i e r 和g o u l d s o n 等1 4 6 1 考虑惯性力影响情况下n e w t o n 流 体偏心环空螺旋流动时内管转速对速度分布的影响。结果发现在内管转速和偏心度较大 情况下，轴向速度与周向速度之间的相互影响很大。h u s s a i n 和s h a r i 一4 7 1 采用有限体积法 对h e r s c h e l b u l k l e y 流体同心和偏心环空螺旋流的流动规律进行了分析，并给出了环空 偏心度、内管转速影响下的轴向速度以及流函数分布图。2 0 0 2 年，e s c u d i e r 和o l i v e i r a 等1 4 s j 采用有限体积法对非n e w t o n 流体偏心环空螺旋流进行了数值求解，并分析了环 空偏心度和内管转速对速度分布的影响。同年，贺成才【4 9 l 提出直接利用线性化迭代法求 解幂律流体同心环空螺旋流的流场及压力梯度，大大提高了运算速度和计算精度。2 0 0 4 年，丁云杰等【5o l 用h e r s c h e l b u l k l e y 模式描述钻井液的流变性，提出了一种新的计算窄 间隙环空循环压耗的模型，将所建立的模型和传统方法的计算结果与实测数据比较表 明，该模型具有较高的精度。2 0 0 5 年，贺成才川根据l u o 和p e d e n 提出的方法。利用 数值计算语言m a t h c a d ，结合现代计算机技术对b i n g h a m 、幂律流体在偏心环空中的 流动进行了数值模拟，使大偏心、小流性指数、小流量情况下的计算结果更为精确。 随着人们对流体在偏心环空中流动规律的认识逐渐提高，又有一种新的流体流动进 入人们的视线，即流体在内管做行星运动的环空中流动。这种流动在采油工程中也常常 遇到，因此，又有相关的文献对其流动规律开始初步的探索。1 9 7 7 年，k a z a k i a 和r i v l i n p 副 研究粘弹性流体在偏心旋转圆柱间的流动及其相关问题时，给出了忽略惯性力影响时 n e w t o n 流体在内管做行星运动的环空中流动的解析解。1 9 9 6 年，崔海清和季海军 列通 过公式推导，证明了用流函数表示的非n e w t o n 流体在内管做行星运动的环空中流动的 运动方程在运动直角坐标系与绝对直角坐标系中的形式致。2 0 0 5 年，崔海清和季海军 等p 4 j 又对流体在内管做行星运动的环空中流动的二次流进行了计算与分析，并绘制了不 同因素影响下的流线图。蔡萌 5 5 l 利用有限差分法对幂律流体在内管做行星运动的环空中 的流动进行了数值计算，绘制并分析了不同因素影响下的流线图。季海军【5 6 1 进一步对幂 律流体在内管做行星运动的环空中的流动进行了数值计算，分析了速度、流函数以及流 量分布的影响因素，将其计算结果与k a z a k i a 和r i v l i n 得到的解析解进行了对比，结果 吻合较好：并通过实验验证了其建立的的控制方程和数值计算方法的证确性。同年，季 海军和张新等f 57 j 又在双极坐标系下建立了n e w t o n 流体在内、外管同时旋转的偏心环空 4 文献综述 中螺旋流动的稳定性参数的解析表达式，并以水为例，绘制了其在内外管同时旋转的偏 心环空中流动的稳定性参数的分布曲线，分析了环空偏心距、环空内外管转速对稳定性 参数分布的影响。刘东升f 5 8 又对幂律流体在内管做行星运动的环空中的流动的稳定性参 数进行了分析，得出其随偏心矩、内管自转和公转速度以及压力梯度的变化规律，并将 其数值解与解析解进行了对比，结果吻合较好。 大庆石油学院硕士研究生学位论文 引言 早在2 0 世纪3 0 年代，人们就开始了对螺杆泵的技术研究5 9 i 。到了2 0 世纪7 0 年代，在 螺杆泵研发技术方面已取得了较大的进展。螺杆泵是一种新型的输送液体的机械，其结 构简单，工作安全可靠，使用维修方便，流量平稳，压力稳定，并且有自吸能力、噪声 低、效率高、寿命长、重量轻、对介质适应性强等优点。正是基于以上优点，螺杆泵在 油田采油工程中正得到越来越广泛的应用。因此，分析螺杆泵采油井中采出液的流动规 律也显得尤为重要。 在螺杆泵采油工况下，由于抽油杆自重和偏心的影响，抽油杆不仅绕自身轴线自转， 还绕着油管的轴线公转，采出液在抽油杆和油管所形成的偏，1 5 环空中的流动可视为非 n e w t o n 流体在内管做行星运动的环空中的流动。因此，研究非n e w t o n 流体在内管做行 星运动的环空中流动的压力梯度对于螺杆泵采油井优化设计泵的工作参数具有理论指 导意义。 关于非n e w t o n 流体力学，人们已经有了较深的认识。多年来，人们致力于对环空 中的p o i s e u l l e 流和c o u e t t e 流流动规律的研究。近年来，又有较多的文献对非n e w t o n 流体环空螺旋流的流动规律做了理论分析和计算，但大多只是分析环空中的流场性质， 很少对压力梯度进行理论研究。这是因为理论上很难直接给出压力梯度的数学模型，又 由于非n e w t o n 流体本构方程的复杂性，使对其在偏心环空中流动的运动方程进行数值 计算遇到了很多困难。 综合现有相关文献可以看出，虽然人们对于流体在偏心环空中的流动规律的认识做 了大量的工作，但大多数文献只是针对环空中的速度、流量、流线图以及流态进行了分 析，很少对流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度进行分析，而在现场实际中， 往往还要求计算给定流量情况下环空中的压力梯度。由上，本文拟研究种新的给定流 量情况下非n e w t o n 流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度的数值计算方法， 开展以下工作： 1 建立幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度的数学模型； 2 采用有限差分法对幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度进行数 值计算； 3 通过n e w t o n 流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度的数值解与解析 解的对比分析，初步验证本文给出的压力梯度的计算公式和数值计算方法的正确性； 4 分析内管自转和公转速度、环空偏心度以及流量对幂律流体在内管做行星运动 的环空中流动的压力梯度的影响。 第一章幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度的数学模型 第一章幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度的数学 模型 1 1 假设条件 不可压缩幂律流体在无限长偏心环空中做等温层流流动。 环空内、外管半径分别为置和r ，其轴线相互平行且相距为e 。外管静。内管绕 其轴线以等角速度日自转，同时又绕外管的轴线以等角速度q 公转，即内管绕外管轴 线做行星运动，如图1 i 所示。 环空中流体的轴向流量q 恒定：作用于流体上的压力梯度为p ，且平行于环空内、 外管轴线。 忽略惯性力影响。 图i - i 环空内管做行星运动 1 2 非惯性直角坐标系下的基本方程 1 2 1 连续性方程 连续性方程是质量守恒原理在流体力学中的表述，因此，其表达式的形式并不受惯 性坐标系的限制。根据流体力学，微分形式的连续性方程为脚i 等+ v ( p 矿) = 0 1 ) a f ”7 这里，p 为流体密度；v 为流体质点的运动速度。由本章开头假设，环空内流体为不可 压缩流体，于是 6 大庆石油学院硕十研究生学位论文 坐：0 ( 1 - 2 ) 西 则微分形式的连续性方程变为 v v = 0( 1 - 3 ) 令y = 虬v ，w ，则非惯性直角坐标系( 工，y ，z ) 下幂律流体在内管做行星运动的环空 中流动的连续性方程为 坐+ a v ：0 ( 1 4 ) m 砂 1 2 2 运动方程 由于流体在偏心环空中做等温层流流动，并且忽略了惯性力影响，所以一般形式的 运动方程为【删 p f - i - 矿仃= 0 ( 1 5 ) 式中，一r 为流体所受的质量力；7 为c a u c h y 应力张量，其具体形式为 h = 一口i + t t 1 - 6 1 式中，p 为流体压力；1 为单位张量；r 为偏应力张量。 则惯性直角坐标系( 工，y ，z ) 下幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的运动方 程的分量形式为 p ) 一骞+ 等+ 等= 。 咖，) _ 多+ 誓+ 等= 。 p ) 一考+ 等+ 等= 。 ( 1 7 a ) ( 1 - 7 b ) ( 1 7 c ) 其中，是t 在直角坐标系中的物理分量：忽略了 x 7 ) ，f ( y ) ，且当( z ) = - = 一g 时，令 p = p s ( z ) 一詈= 一昙( p 办+ p ) ( 1 - 8 ) 这里，p 为压力梯度，h 为竖直高度，g 为重力加速度。 由非惯性直角坐标系( x ，y ，z ) 下运动方程的微分形式可知【6 ”，忽略惯性力后，幂律 流体在内管做行星运动的环空中流动的运动方程在非惯性直角坐标系( y ，z ) 和惯性直 角坐标系下( x ，y ，z7 ) 的形式一致5 3 1 。 由以上条件得非惯性直角坐标系( 五y ，z ) 下幂律流体在内管做行星运动的环空中流 动的运动方程的分量形式为 第一章幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度的数学模型 1 2 3 流变方程 一塑+ 监+ 堕：o 0 xd x 0 ， 一一o p + 堡+ 盟：o 砂 擞 砂 p + 丝+ 堡：o ( 1 9 a ) ( 1 9 b ) ( 1 9 c ) t 谓流体的流变方程是指描述流体切应力和应变速度之间关系的方程式。显然，沉 体的流变方程在非惯性直角坐标系( y ，z ) 下与惯性直角坐标系( x ，y ，z ) 下的形式一 致，其张量形式为 r = 7 7 4 ( 1 - l o ) 其中，4 为阶r i v l i n e r i c k s e n 张量，非惯性直角坐标系( 墨y ，z ) 下其分量形式为 = 2 譬 ( 1 1 l a ) 铲驴詈+ 塞 l l b ) 口l 。= q 。= _ o w ( 1 一l l e ) q - 2 暑： ( 1 1 l d ) q ，跏- ，= 警 ( 1 - l l e ) q 。= 0 ( 1 - l l f ) r 为粘度函数，对幂律流体，其表达式为 r = 七( ，2 ) ” ( 1 1 2 ) 这里，惫为稠度系数；以为流性指数；，2 为一阶r i v l i n - e r i c k s e n 张量的第二不变量，则 非惯性直角坐标系( x ，y ，z ) 下其表达式为 厶= 脚2 j = z ( 罢) 2 + 2 ( 考) 2 + ( 雾+ 昙 2 + ( 豢) 2 + ( 爹) 2 j 将式( 1 - 1 1 ) 代入式( 1 - l o ) 中得非惯性直角坐标系( 工，y ，z ) 下幂律流体在内管做行 大庆石油学院硕士研究生学位论文 星运动的环空中流动的流变方程的分量形式为 k 锄( ，2 ) 罢 。= 吲，2 ) 睁万o u ) k 吒= 帮( ，：) 芸 i 2 4 用流函数表示的运动方程 锄( ，2 ) 考 = 勺= 叩( ，2 ) 杀 f = 0 ( 1 1 4 a ) ( 1 1 4 b ) ( 1 1 4 c ) ( 1 1 4 d ) ( 1 1 4 e ) ( 1 1 4 f ) 由式( i - 4 ) 知存在流函数，令 甜：翌，v ：一丝 ( 1 1 5 ) 咖 西 将式( 1 ，1 5 ) 代入式( i 1 4 ) ，再代入( 1 - 9 ) 中，经整理得非惯性直角坐标系( 石，弘z ) 下幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的用流函数表示的运动方程为 机+ z 罢鼢妒) + 2 雾护矿) + ( 雾一窘 ( 等一害 + 4 岛啬= 。 ( 1 1 6 a ) p + 昙( 叩芸) + 兰( 玎竺) = 0 积c x鲫卵 这里， v 2 = 导+ 等 v 4 = 导+ z 嘉芬 1 2 5 用流函数表示的一阶r i v l i u e r i c k s e n 张量的第二不变量 ( 1 1 6 b ) ( 1 1 7 ) ( 1 一1 8 ) 将式( 1 - 1 5 ) 代入式( 1 - 1 3 ) 中得非惯性直角坐标系( 五y ，z ) 下用流函数表示的一阶 r i v l i n e r i c k s e n 张量的第二不变量为 9 第一章幂律流体在内管做行星运动的环空中流动的压力梯度的数学模型 眯豺+ ( 等一斟倒例1 - 1 2 6 定解条件 由流动的假设条件，可得到非惯性直角坐标系( j ，z ) 下幂律流体在内管做行星运 动的环空中流动的边界条件为 妒( ，只) = 0 ( 1 - 2 0 a ) 譬k h = 一c 4 r , s i n 舅 ( 1 - 2 0 b ) 加卜。“ 譬k 。= 曰尺c o s 8 , ( 1 2 0 c ) 融i “1 5 “。1 、 w ( ，咒) = o ( 1 - 2 0 d ) ( 矗，y o ) - - 孑 = c o n s t ( 1 2 0 e ) 翌k h = f - 2 r 。s i n8 2 (12000 yl “矗” 。 譬k 怫：一o r o c o s 0 2(1-209)lo 苏i ” w ( 矗，y o ) = 0 ( 1 - 2 0 1 1 ) 这罩的 ，只) 和( ，y o ) 分别代表环空内管和外管上流体质点的坐标；岛，岛如图1 - 1 所 示，其值为 最= a r c 协n 妻麓 ( 1 - 2 1 a 岛一戋 2 lb ) 其中，p 的值如图1 - 1 所示。 此外，为了确定式( 1 2 0 e ) 中的常数，还必须加一个压力p 的单值性条件： 叮挚s 5 0 ( 1 2 2 ) 上述线积分沿环空内包含内管的一封闭曲线进行。 1 3 非惯性双极坐标系下的运动方程 1 3 1 双极坐标系的引入 由于在直角坐标系下偏心环空的截面几何形状不规则，其边界条件的复杂性导致对 l o 大庆石油学院琐 ：研究生学位论义 其方程的求解很困难。为了计算简便，引入双极坐标系( 善，f ，z ) ，将求解区域由圆形区 域化为矩形区域。如图1 2 所示。 双极坐标和直角坐标的转换关系如下： x = c c h 告一c o s ，：c 墅圭 c h 善一c o s 其中，c ：坠! ：竺二! ：! ：二! ! 笠! 。 图i - 2 双极坐标系 0 z 2 n ( 1 2 3 a ) ( 1 2 3 b ) ( 1 2 3 e ) 1 , 3 2 用流函数表示的运动方程 利用直角坐标和双极坐标的转换关系式( 1 - 2 3 ) ，可得各阶偏导数的变换关系式为 旦=上摆毒(1-24a)0 x c a a 1 岳= 如争毒) ( 1 - 2 4 b ) 万2 石r 万托瓦j 蔷= 古巴生毒著+ z s c 妥+ 圭盘型毒著 ( 1 - 2 4 c ) 一曼二要堡! ! 堕堡垄塑篁壁堑墨堡塑塑墅窒! 堕垫塑竺塑塑璧箜墼兰堡型 这里， 等= 古陪坐毒+ s z 若劫c 去+ 圭笋毒一参1矿5 旧节磅妒_ 2 卵獗+ j 毒 2 旁l 茜=去卜等毒+毒杀+02)砑a2c+ d 著一毒) l 舐砂 2 l 鹫鸳暂暂叶叫a 善”。孑2 虿l v ：= 蔷+ 矿0 2 = 言2 妒2 九萨a 2 十参8 e i8 e 2 ( i 2 4 d ) ( 1 2 4 e ) ( 1 2 4 f ) ( 1 2 4 9 ) 参一兰o x z = - d 1 坐毒毒一。即去小2 。) ( 参一善) 1酽一 j 彳面# 虿_ 4 即丽+ 卜。2j l 毒一声 丢v 2 = 斟掣卉c g 2 “凄n s 掣九s ( c 2 训善弓2 1 面ov 2 矿1 掣豇s 时) 毒 2 + c 掣办c ) 妒1 v 4 书卅p 叫n z 掣善 可：+ 2 型 a 毒铲厅2 ( c 2 + 纠护j 根据以上关系表达式，变换式( 1 1 6 ) 得到非惯性双极坐标系( f ，f ，z ) 下幂律流体 在内管做行星运动的环空中流动的用流函数表示的运动方程为 o 2 ) 7 而+ t 掣十g2 卅舅黔2 妒) to 。d 亡t o 亡、 。 + t 掣+ ( c 2 叫嚣1 毒+ 机2 卅 + 2 掣掣宴+ 2 如2 。1 - - 引一v ：u , + 业型塑 键a 。l- 髦a 一笋牙o r 以( 挈一挈) | ( 警一擎) ， + 2 f 掣粤+ 生二三l 塑+ 2 0 ：) 鱼1 盟 _ a a a 48 j 、 。j8 驹8 8 1 2 大庆石油学院硕士研究生学位论文 + 舱) 2 + ( 圳舅+ z 掣袅 + 掣( 群o t 勺r 她j j 面肥) 2 倒悟 + ：掣岳+ 掣停一刻嚣= 。( 1 - 2 5 a )a 8 p 乞o 、e za z ) 8 妻- 妻 + 妾( 碍嚣 一p ( 1 - 2 5 b )琵p 琵j + 虿p 面一i 7 p 其中， c = c h 掌c o s f 一1 ，j = s h 孝s i n f ( 1 2 6 ) 特别地，对于幂律流体偏心环空c o u e a e 流，由于w = 0 ，p ；0 ，则描述流体运动 的动力学基本方程变为方程式( 1 - 2 5 a ) 。对于幂律流体偏心环空p o i s e u i l l e 流，由于在 ( 孝，f ) 平面不存在流动，函数p 可认为是常数，描述其流动的动力学基本方程变为方程 式( 1 - 2 5 b ) 。 对于n e w t o n 流体， r = i t ( 1 - 2 7 ) 这里，为n e w t o n 流体的动力粘度，它在定温度和压力下是常数。变化式( 1 - 2 5 ) ， 则得到非惯性双极坐标系下n e w t o n 流体在内管做行星运动的环空中流动的用流函数表 示的运动方程为1 4 0 ) ( 冉妒岬掣静) + z 掣静) m 2 卅弓2 删( 1 - 2 8 a ) v 2 w = 一p ： ( ! - 2 8 b ) uc 。s 。 此时方程( 1 - 2 8 a ) 和( 1 - 2 8 b ) 相互独立，也即非惯性双极坐标系( f ，f ，z ) 下n e w t o n 流体在内管做行星运动的环空中的流动是由互不影响的c o u e t t e 流和p o s e u i l l e 流迭加而 成。 1 3 3 用流函数表示的- - i f d r i v l i n e r i c k s e n 张量的第二不变量 利用直角坐标和双极坐标的转换关系，变换式( 1 1 9 ) 得到非惯性双极坐标系 g ，f ，z ) 下用流函数表示的一阶r i v l i n - e r i c k s e n 张量的第二不变量为 等獬+ ( 期+ 水 ( 警一辫4 四老 笙二兰j 墅塑塑堡i 堕兰塑堑星堡塑堕堑皇! 堕望塑垦垄塑堡堕堑兰堡垒 一z 掣詈一z 掣封+ 要c ( 警一割小2 ) 裘 骘骘。西凿i 。tr i 必，踣。j 1 。l 1j 否面 一型塑。塑型 8 a a 毛 1 3 4 定解条件 ( 1 。2 9 ) 利用式( 1 - 2 4 ) ，变化式( 1 - 2 0 ) 得到非惯性双极坐标系( f ，f ，z ) 下幂律流体在内管 做行星运动的环空中流动的边界条件为 偕，0 ) = 0 孰一簖 妒( 磊，f ) = 歹= c o n s t 孰2 藩i ( i 一3 0 a ) ( 1 3 0 b ) ( 1 3 0 c ) ( 1 3 0 d ) w ( 舌，f ) = 0( 1 3 0 e ) w 限，纠= 0( 1 - 3 0 f ) 另外，为了确定式( 1 3 0 c ) 中的常数，还需要流体压力p 的单值性条件： 叮扫f ：o ( 1 3 1 ) 矗。嘭7、? 其中， 要f掣vzg+(c 叫转1 粥 1 o 、“) 琵v 毕 + 虿荸习 孙舅一g 2 尝 一掣嚣 + o 叫( c s ) o _ z f 廿甓一文孝芬 1 一南p s 2 絮勘甜：掣篝 + z 掣嚣m 老小2 ) 陪鲁) 1 ，z ， 、il、，ij 叩，j 印虿 大庆石油学院嗍t 研究生学位论文 对于n e w t o n 流体，上式变为 嚣：一等c 坐铲+ ( c 2 ) 善- 2 缈l ， w 2 i 鸳 、 鹫i 1 4 压力梯度的数学模型 对流体在偏心环空