（应用数学专业论文）模糊环境下两阶段生产计划问题的研究.pdf

摘要 摘要 本论文分为两部分基于可信性理论和两阶段模糊优化方法，第一部分首先 提出一类新的两阶段生产计划期望值模型，并且研究了模型的性质其次，我们设 计了一个基于模糊模拟和遗传算法的启发式算法来求解两阶段生产计划问题论文 第二部分建立一类基于最小风险准则的两阶段生产计划模型，然后，我们讨论了模 型的逼近方法并且证明了其逼近方法的收敛性最后，我们设计了一个基于逼近方 法、神经网络和模拟退火的启发式算法求解这个两阶段最小风险生产计划模型 本文的主要工作可归纳为以下三方面； 提出了一类新的两阶段生产计划期望值模型并且研究了模型的性质； 设计了一个基于模糊模拟和遗传算法的启发式算法用于求解两阶段生产计划 期望值模型； 建立了一类基于最小风险准则的两阶段生产计划模型并且讨论了其逼近方法 的收敛性然后设计了基于逼近方法、神经网络和模拟退火的启发式算法用 于求解这个两阶段最小风险生产计划模型 关键词两阶段生产计划；期望值准则；最小风险准则；遗传算法；模拟退火 a b s t r a c t a b s t r a c t t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w op a r t s b a s e do nc r e d i b i l i t yt h e o r ya n dt w o - s t a g e f u z z yo p t i m i z a t i o nm e t h o d ，t h ef i r s tp a r tf i r s t l yp r e s e n t s an e wc l a s so ft w o - s t a g e p r o d u c t i o np l a n n i n ge x p e c t e dv a l u em o d e la n ds t u d i e si t sp r o p e r t i e s t h e nw ed e - s i g nah e u r i s t i ca l g o r i t h m ，w h i c hc o m b i n e sf u z z ys i m u l a t i o n sa n dg e n e t i ca l g o r i t h m t os o l v et h i st w o - s t a g ep r o d u c t i o np l a n n i n gp r o b l e m t h es e c o n dp a r to ft h et h e - s i sc o n s t r u c t san e wc l a s so fm i n i m u m - r i s kt w o - s t a g ep r o d u c t i o np l a n n i n gm o d e l ， t h e nd e a l sw i t ht h ea p p r o x i m a t i o no fp r o d u c t i o np l a n n i n gp r o b l e m ，a n dd i s c u s s e s t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d f i n a l l y , ah e u r i s t i ca l g o r i t h m ，w h i c h c o m b i n e sa p p r o x i m a t i o na p p r o a c h ，n e u r a ln e t w o r ka n ds i m u l a t e da n n e a l i n g ，i sd e - s i g n e dt os o l v et h i st w o - s t a g em i n i m u m - r i s kp r o d u c t i o np l a n n i n gm o d e l t h em a j o rw o r k sc a nb es u m m a r i z e da st h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ： p r e s e n tan e wc l a s so ft w o - s t a g ep r o d u c t i o np l a n n i n ge x p e c t e dv a l u em o d e l a n ds t u d i e si t sp r o p e r t i e s ； d e s i g nah e u r i s t i ca l g o r i t h m ，w h i c hc o m b i n e sf u z z ys i m u l a t i o n sa n dg e n e t i c a l g o r i t h mt os o l v et h i st w o - s t a g ep r o d u c t i o np l a n n i n ge x p e c t e dv a l u em o d e l ； p r o p o s ean e wc l a s so ft w o - s t a g em i n i m u m - r i s kp r o d u c t i o np l a n n i n gm o d e l a n dd i s c u s si t sa p p r o x i m a t i o nm e t h o d t h e nah e u r i s t i ca l g o r i t h m ，w h i c h c o m b i n e sa p p r o x i m a t i o na p p r o a c h ，n e u r a ln e t w o r ka n ds i m u l a t e da n n e a l i n g ， i sd e s i g n e dt os o l v et h i st w o - s t a g em i n i m u m - r i s kp r o d u c t i o np l a n n i n gm o d e l k e y w o r d st w o - s t a g ep r o d u c t i o np l a n n i n g ；e x p e c t e dv a l u ec r i t e r i o n ；m i n i m u m - r i s kc r i t e r i o n ；g e n e t i ca l g o r i t h m ；s i m u l a t e da n n e a h n g i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：毳l 蛰至叠日期：皿年二l 月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在 年月一日解密后适用本授权声明。 2 、不保密目。 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：迦卑年l 月l 日 日期：4 午卓旁鬈二日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1问题的提出及研究现状 生产是关系人类衣食住行最基本的活动之一，同时也是一切社会财富的源泉 众所周知，只有不断从事各种各样的生产活动，人类才能进步，社会才能发展随 着社会生产力水平不断提高，人们所从事的生产活动也在不断的变化和发展过 去，人们的生产活动只是局限在物质资料的生产与加工，现在，由于社会经济的飞 速发展和人们消费水平的不断提高，生产的概念正逐渐地扩大到人们日常生活的 各个方面长期以来，由于经济的全球化，消费者需求的多样化，原材料价格的不 断上涨以及市场竞争的日趋激烈，传统的生产方式面临严峻的挑战因此，无论是 农业生产还是工业生产，人们追求的目标都是以有限的资源希望获得最大的经济 效益和社会效益当前，寻求新型高效的生产方式已经成为人类高度关注的问题 在这种背景下，生产计划问题的研究正吸引着越来越多的学者，各种各样的生产计 划方式，如物料需求计划( m a t e r i a lr e q u i r e m e n t sp l a n n i n g ，m r p ) 、农业计划问 题( a g r i c u l t u r a lp l a n n i n gp r o b l e m s ，a p p ) 、聚合生产计划( a g g r e g a t ep r o d u c t i o n p l a n n i n g ，a p p ) 、汇编定货生产( a s s e m b l e - t o - o r d e r ，a t o ) 等相继出现 随着社会和经济的不断发展，生产计划也逐渐受到生产者的高度重视由于在 现实的生产管理中，我们经常会遇到各种各样的不确定性现象，这些生产中的不确 定性很大程度的影响着生产计划的合理制定众所周知，生产管理系统是包含人力 和物力( 原材料、机器设备等) 的个综合系统这样一个复杂的生产系统中含有大 量的不确定性因素原材料的价格、产品的价格、市场的需求以及劳动者的能力 等假如我们在生产系统中不考虑这些因素，那么建模时常常需要作大量的假定在 这样的假定前提下进行生产所得的结果，往往与实际的情形有一定的差距，有时甚 至相距很大，最终我们不可能得到一个合理可靠的结果生产者为了使所研究的问 题尽量接近实际情况，必须考虑生产系统中的这些不确定性因素生产系统中的不 确定现象常常表现为随机现象和模糊现象其中概率论是以随机变量为工具来研究 随机现象随着概率论的发展，人们开始研究将概率论和数学规划相结合的随机规 河北大学理学硕士学位论文 划随机规划因其完好的理论性和实用性已经渗透到生产和生活的各个方面 1 - 3 ， 在实践中正发挥着越来越大的作用随机规划中的两阶段规划即带有补偿的随机规 划问题因其对所给决策能做出“补偿”而更有其应用价值，尤其是在生产计划问题 中更为突出随机性是生产计划问题的一个主要特点，因此合理和准确的生产计划 很大程度上依赖于随机性的存在由于在生产计划问题的建模和求解中考虑随机性 并非易事，因此随机的生产计划问题正吸引着越来越多的学者例如，h o d g e s 和 m o o r e 【4 】4 提出了一类带有随机需求的混合产品问题。b a k i r 和b y r n e 【5 5 研究了 随机两阶段生产计划模型并且在随机环境下考虑了一个多产品多属期的生产计划问 题在众多学者的努力下，短短的几十年，随机生产计划的研究已经得到了长足的 发展。但是后来人们发现随机理论还不能够完全的描述生产计划的所有方面，在现 实的生产计划中还存在着另一种不确定现象模糊现象现实的生产系统中人 类对客观事物的认识水平在一定程度上影响着生产计划合理而准确的制定人类是 生产系统中不可缺少的重要组成部分，而人类对事物的认识都带有一定的模糊性， 因此我们在制定生产计划时就不得不考虑人类观察认识问题所具有的模糊性在这 样的现实情况下，自从1 9 6 5 年z a d e h 【6 】6 首先提出模糊集概念，模糊集理论迅速发 展并在现实生活中的应用越来越广泛进而在1 9 7 5 年k a u f m a n n 【7 】提出了模糊变 量的概念，使得模糊集理论得到了进一步的完善与此同时，为了建立模糊集理论 的基础，z a d e h 8 】引入了可能性理论，使得模糊理论更加的完善和坚实同时，可 能性理论又经许多学者，如n a h m i a s 9 1 ，d u b o i s 和p r a d e 1 0 1 得到了迅速的发展 与此同时，人们开始研究模糊环境下的数学规划问题b e l l m a n 和z a d e h 【1 1 】首 先提出了模糊数学规划，他们的工作使得模糊环境下的数学规划得以迅速发展例 如，z i m m e r m a n n 【1 2 】首先提出了模糊多目标线性规划，l i u 和1 w a m u r a 【1 3 提出 了另外一种模糊规划模型机会约束规划，其中模糊事件的机会被定义为约束 满足的可能性程度在众多学者的共同努力下，模糊规划得到了迅速的发展由于 模糊性是生产系统的一个主要特点，因此大量的学者利用模糊规划理论从不同的方 面来研究生产计划问题，并且得到了许多有意义的模型以及各种求解模型的算法 随着模糊规划的逐渐发展和成熟，模糊环境下的生产计划问题也吸引着越来越多的 学者例如，s h i h 【1 4 应用三种模糊线性规划模型来解决运输计划问题，w a n g 和 第1 章绪论 一i i i f a n g 1 5 】提出了一种解决多目标聚合生产计划问题的模糊线性规划方法，w a n g 和 l i a n g 1 6 】应用可能性线性优化方法来解决聚合生产计划问题模糊规划问题无论 从理论上还是从应用上都得到了全面的发展，同时也使得模糊环境下的生产计划问 题正在逐步走向成熟 1 2 本文的主要内容 随着模糊理论的发展和完善，模糊现象几乎渗透到了所有的科学和技术领域， 尤其在生产计划问题中，模糊性的存在很大程度地影响着生产计划的合理决策因 此，模糊生产计划问题正在吸引着越来越多的学者，使得模糊环境下的生产计划问 题迅速发展起来以前的研究几乎都是建立在可能性理论基础上，大量的学者利用 可能性理论研究了各种各样的模糊生产计划模型，并且使得模糊环境下的生产计划 问题得到迅速的发展和丰富然而，近来大量的研究表明【1 7 - 1 9 】，在模糊理论中 可信性无论在理论上还是在应用上都起着重要的作用更进一步地，基于可信性理 论，l i u 【2 0 提出了一类新的模糊优化两阶段模糊优化或带有“补偿”的模糊 优化本文正是在此类新的两阶段模糊优化理论框架下，提出了两类新的两阶段模 糊多产品多周期生产计划模型两阶段多产品多周期生产计划期望值模型和两 阶段多产品多周期生产计划最小风险模型 在第2 章中，我们介绍了关于可信性理论的一些基本概念以及新的两阶段模 糊优化理论，并且把它们作为两阶段模糊多产品多周期生产计划问题建模和求解的 理论基础从而使得我们研究的问题有一个可靠的理论保证，也为以后的发展奠定 了良好的基础 在第3 章中，我们首先提出了一类新的两阶段模糊多产品多周期生产计划期 望值模型并且研究了它的一些基本性质其次，我们设计了一个基于模糊模拟和遗 传算法的启发式算法来解决这个两阶段多产品多周期生产计划问题最后，我们还 给出了一个具体的实例来验证所给算法的可行性和有效性 在第4 章中，我们建立了另一类新的两阶段模糊多产品多周期生产计划最小 风险模型，并且讨论处理了这个问题的逼近并且证明了其逼近的收敛性最后，我 们设计了一个基于逼近方法、神经网络和模拟退火的启发式算法求解了这个两阶段 ： 河北大学理学硕士学位论文 多产品多周期生产计划问题最后，我们同样也给出了一个具体的实例来验证所给 算法的可行性和有效性 最后，我们对本文所研究的内容做了简短的总结并且根据当前的研究现状对 以后的研究做了进一步的展望。 垂 第2 章两阶段模糊优化 _nl 一一m 一 。鼍! ! ! 皇 第2 章两阶段模糊优化 本章主要介绍可信性理论中的一些基本概念以及两阶段模糊优化理论或带有 补偿的模糊优化理论目的是为以后章节提供一个理论基础 2 1 基本概念 下面我们介绍可能性测度的概念 定义2 1 给定一个论域f ，p ( r ) 是r 的幂集，p o s 是一个定义在p ( r ) 上的 集函数p o s 称为一个可能性测度 2 1 ，2 2 】，如果满足下面的条件： p o s1 ) p o s ( 咖) = 0 ，p o s ( r ) = 1 ； p o s2 ) p o s ( u i j a ) = s u p p o s ( a 1 【) 对于任意的尹( r ) 的子集 a , l i j ) ，其中， 是任意的指标集 三元组( r ，尹( r ) ，p o s ) 被称为可能性空间，也被n a h m i a s 【9 称为模式空间 利用可能性测度p o s ，我们还可以定义另一个集函数n e c n e c ( a ) = 1 一p o s ( a c ) ，a p c r ) 定义2 2 集函数n e c 定义在p ( r ) 上，称为个必要性测度，如果满足下面 的条件： n e c1 ) n e c ( ) = 0 ，n e c ( r ) = 1 ； n e c2 ) n e c ( n j a ) = i ；n 。fn e c ( a i ) 对于任意的p ( r ) 的子集 a ii i j ) ，其中 j 是任意的指标集 最近，基于可能性测度，l i u 和l i u 【1 8 定义了一个自对偶集函数c r ，我们有 如下定义： 定义2 3 设( f ，p ( r ) ，p o s ) 是可能性空间，如果定义集函数c r 为 c r ( a ) = 互1 ( 1 + p 。s ( a ) 一p 。s ( a 。) ) ，a p ( f ) 则称集函数c r 为可信性测度，其中小是集合a 的补集 5 河北大学理学硕士学位论文 我们容易验证可信性测度c r 有下面的性质： c r1 ) c r ( ) = 0 ，c r ( r ) = 1 ； c r2 ) 单调性：如果a ，b p ( r ) ，且acb ，则c r ( a ) c r ( b ) ； c r3 ) 自对偶性；对于所有的a p ( r ) ，都有c r ( a ) + c r ( a c ) = 1 ； c r4 ) 次可加性：对任意的a ，b p ( r ) ，有c r ( aub ) c r ( a ) + c r ( b ) 三元组( r ，p ( r ) ，c r ) 被称为可信性空间 2 3 】 通过可信性空间，l i u 定义了一个重要的概念模糊向量进一步地，模 糊向量为可信性理论的发展奠定了坚实地基础我们定义如下s 定义2 4 设( r ，p ( r ) ，c r ) 是一个可信性空间如果= ( 1 ，矗) 是一个从 r 到实数空间咿的集函数，则称是定义在可信性空间上的模糊向量特别地， 当住= 1 时，称为模糊变量 对于任意的( t l ，k ) 舻，的可能性分布定义如下【2 3 】 纵( t 1 ，t n ) = m i n 2 c r 7i 1 ( 7 ) = t l ，厶( 7 ) = t n ，1 同时，它也称为是模糊变量毒1 ，矗的联合可能性分布，记为z e ”一，矗( t 1 ，如) 随机变量的独立性是概率论中的一个重要的概念，同样模糊变量的独立性在 可信性理论中也是十分重要的如果模糊变量是相互独立的，那么它们的边缘可能 性分布函数就可以决定它们的联合可能性分布函数因此，我们定义模糊变量的相 互独立如下 定义2 5 设荨1 ，n 是定义在可信性空间( r ，p ( r ) ，c r ) 上的模糊变量，则 称它们是相互独立的如果对于任意的( 亡1 ，t n ) 舻有 p o s 7i 1 ( ，y ) = t l ，矗( ，y ) = 屯) 21 m 、。i 气n n p o s 7i6 ( 7 ) = ) 基于可信性测度，模糊变量的期望值算子定义如下 定义2 6 ( 【1 8 】) 设是定义在可信性空间( r ，p ( r ) ，c r ) 上的一个模糊变量 的期望值定义为 ，o or o e 嘲= c r 7i 毒( ，y ) r d r 一c r 7i ( 7 ) r ) d r j 0j 一 第2 覃两阶段模糊优化 其中m i n 正产c r 7i ( 7 ) r d r ，c r 7 i ( 7 ) r ) 、7 z k q ( ”) 2 呼 s t q t ( ，y ) 秒 w ( ，y ) 可= 九( 7 ) 一t ( 7 ) z ( 2 1 0 ) 可0 从以上的讨论我们可以看出第一阶段和第二阶段是有一定区别的n 。1 向量 z 表示第一阶段的决策，而第二阶段的决策是由n 2x1 向量y 表示与z 相应的第一 阶段向量c ，b 和矩阵a 的维数分别为佗1 1 ，仇1x1 和m 1 n 1 在第二阶段中，一部分 模糊事件，y f 有相应的实现值对于一个给定的实现值，y ，第二阶段问题中的数据 g ( ，y ) ，t ( ，y ) ，( 7 ) 和h ( 7 ) 都变成已知了，其中口( ，y ) ，t ( ，y ) ，w ( ，y ) 和危( 7 ) 的维数分别为 n 2 l ，7 1 1 2 t t l ，r r t 2 x ? 1 2 ，m 2 1 模糊向量f ( ，y ) = ( q t ( ，y ) ，舻( ，y ) ，m ( 7 ) ，2 ( ，y ) ， 乃( ，y ) ，：( ，y ) ) 是n = n 2 + m 2 + ( m 2 n 1 ) + ( m 2 n 2 ) 维的，它是由第二阶 段问题中口( ，y ) ，t n ) ，( ，y ) 和h ( ，y ) 各自的模糊分量组合在一起共同构成的模糊向 量，其中暇( 7 ) 是矩阵w 的第i 行，正( ，y ) 是矩阵t 的第i 行正如刚才上面所 述，当一个模糊事件7 有实现值时，第二阶段问题的数据q ，h ，w 和t 就变成已知 的，然后我们必须做出第二阶段的决策可为了强调y 对2 和，y 的依赖性，第二阶 段的决策y 有时也可以表示为秒( 7 ) 或可( z ，7 ) 但是可对7 的依赖性完全不同于 模糊参数g ，h ，w 和t 对7 的依赖性可( 7 ) 不是7 的函数，而是仅仅表示对于7 的不同实现值决策y 是不相同的 河北大学理学硕士学位论文 第3 章两阶段模糊生产计划期望值模型 在这一章里，我们将给出两阶段模糊多产品多周期生产计划期望值模型，然后 讨论模型的一些基本性质，最后设计一个启发式算法来解决我们提出的生产计划问 题并且利用一个数值例子来验证算法的可行性和有效性本章部分内容取自于作者 的论文 2 5 】 3 1 模型的建立 在这节里，我们将给出模糊环境里的两阶段多产品多周期生产计划期望值模 型的数学描述在给出该模型以前，我们首先介绍这个生产系统的主要特点和一些 有关的规定以下所述内容b a k i r 和b y r n e 5 】在随机的生产系统中也有所描述 首先，在这个生产系统中将要生产种产品，其次，生产产品的多少要视 市场的需求并且使得在t 周期内所用生产费用最小而定每周期内每种产品的需 求带有不确定性，这里我们通过一个带有已知可能性分布的模糊变量来描述 模型中用到的利润和费用参数包括生产利润，库存和缺货费用其中的一些 费用参数是模糊变量 这个生产系统是一个流动型的然而由于机器的运行顺序有所不同导致该系 统也不是一个纯流动型的 这个生产系统中有k 个机器中心，并且每个机器中心只有一台机器所有 的产品都是同一条生产线，并且可以跳过某个机器中心，但是每个机器中心只允许 访问一次 我们忽略两个机器中心之间的互相转化时间 我们假设在每个机器中心的处理时间是确定的在每个机器中心每种产品的 生产时间中包括机器中心的处理时间 为了建立两阶段模糊多产品多周期生产计划期望值模型，我们将采用下面的 指标、参数和决策变量 z 证：在周期t 内生产产品i 的数量； 1 0 - 第3 苹两阶段模糊生产计划期望值模型 c 托：在周期t 内产品i 的单位净生产利润或收益； 珐：在第t 个周期末产品i 的正库存量； 乞：在第t 个周期末产品i 的负库存量或缺货量； 菇：在周期t 内产品i 正库存的单位费用； 甄：在周期t 内产品i 负库存的单位费用或缺货的单位费用； a i j c ：产品i 在机器中心k 的处理时间； d i t ：在周期t 内产品i 的需求量； m q 。：在周期亡内机器中心k 的生产能力； ：一个补偿单位矩阵 我们使用上面的记号，可以建立以下的两阶段模糊产品t 周期的生产计划 优化模型 i l l a x z = 乏。 竺。z 以】一最【圣。竺。q i ( x m ) 】 s t 冬a 飙m c u (31)0z 社 r 。 i = 1 ，n ，t = 1 ，t ，k = 1 ，k ， 这里对于任意的t 和i ， q ：( z n ，) = r a i n 吼t ( 7 ) 厶t s t w 厶t = a z n + w 厶t 一1 一反t ( ，y ) i n = i 轰一i if 叠，、 ( ，y ) = 菇( 7 ) 一甄( ，y ) 、讥二， 砬0 ，坛0 ，口老( ，y ) 0 ，蛞( ，y ) 0 i = 1 ，n ，t = 1 ，t 这里是问题( 3 2 ) 中的模糊变量系数求解模型( 3 1 ) 和( 3 2 ) 包括确定应该生产 哪种产品且这种产品应该生产多少在第t 个周期末剩余的产品可以在下个周期继 续使用，并且这个多周期模型中的周期之间是相互联系的但是，在周期t 内的缺 货和第t 一1 个周期内的缺货没有任何关系也就是说，缺货的积压是不允许的 为了本章以后的叙述方便，我们引入下面的记号 ， ， 、 = 【c n ，c 2 亡，c n t ) ， ( q 。( z 。，f ) ) ? = ( q ；( z l t ，专) ，q 。2 ( z 2 t ，) ，q y ( z t ，) ) ， 并且类似地可以得到( o 七) r ，( 口t ) 丁，( 厶) t ，( x t ) r 和( 也) r ，然后上面的两阶段模糊优化 河北大学理学硕士学位论文 模型可以重新表示成以下的形式 m a xz = 乏1 ( q ) ? 既一e e 【乏1q 。( 轨，) 】 s t ，a k 、) t x t m e 舰(33)0轨 r 7 亡= 1 ，t ，恐= 1 ，k ， 这里对于任意的t ， q 。( z t ，) = m i n ( 吼) ? ( ，y ) 厶 s t w 厶= a z t + w 7 厶一1 一d ( 7 ) 五= ) v ：矿- v q t ( 7( ，y ) 一酊( ，y ) ( 3 4 ) ) = 矿( ，y ) 一酊( ，y ) v 1 7 p 0 ，f 0 ，矿( ，y ) 0 ，酊( ，y ) 0 t = 1 ，t 3 2 模型的性质 在这一节我们主要研究两阶段模糊生产计划模型的一些基本性质，目的是为 以后的研究作进一步的铺垫 假设决策向量既必须满足下面确定的约束条件 ( 8 惫) t x t m q t ，盈0 在开始讨论问题( 3 3 ) 和( 3 4 ) 之前，我们有必要介绍有关x t 的其它限制设 k 表示对模糊事件- y 的几乎每个可能的实现值使得问题( 3 4 ) 都有一个可行解的所 有那些鼠构成的集合如果我们定义第二阶段价值函数如下 q ( 毒( 7 ) ) = 武- i - n , 一厶l 厶= a 观+ 厶- 1 一屯厶。翥羹妻薯磊暮鑫厶， 那么k 可以表示为 k = z 。iz t 9 f 2 ，c r 7iq t ( z 。，f ( 7 ) ) o o ) = 1 ) 其中k 称为诱导限制，并且f 是由模糊需求和一些模糊费用系数组合在一起共同构 成的模糊向量但是在这个多产品多周期生产计划模型中，我们注意到q ( 钆，( 7 ) ) o o 总是成立的其实从方程( 3 4 ) 中可以看到，当a 玩+ 磊一1 c f t ( 7 ) 时，也即产 品的生产量大于或等于需求时，我们得到q 。( 观，善( ，y ) ) = m i n ( 矿) t n ) 口；同样地， 1 2 - 第3 章两阶段模糊生产计划期望值模型 i i ii i 我们可以看到，当a x t - i - 厶一1 c f t ( ，y ) 时，也即产品的生产量小于需求时，我们 得到q ( 钆，( ，y ) ) = m i n ( 酊) t ( 7 ) f 也就是说，在我们建立的模型中，k = 跪 为了以后的使用方便，在本节的其余部分我们用q t ( 轧，7 ) 代替第二阶段价值 函数q ( 娩，喜( 7 ) ) 下面我们开始讨论两阶段模糊多产品多周期生产计划问题( 3 3 ) 和( 3 4 ) 的一 些基本性质 命题3 1 诱导限制k 是一个闭凸集 证明我们首先证明k 是一个凸集设砖，砰k ，并且我们有下面的式子 r 1 = 7iq t ( z ；，7 ) + ) ，r 2 = ，ylq t ( z ；，7 ) + ) 然后我们得到c r ( r 1 ) = c r ( r 2 ) = 1 于是从c r ( r ) = 1 一c r ( r m ) 可以得到 c r ( r ) = 0 ，m = 1 ，2 另外，由下面的不等式 0 c r ( r iur ) c r ( 巧) uc r ( r ；) ， 一 - ， 一 、 ，、，j 我们有c r ( 巧ur ；) = 0 ，即有以下的式子 c r ( r 1nf 2 ) = 1 一c r ( r iur ；) = 1 对于任意的7 f 1nf 2 ，存在露，覃使得下面的式子成立 w 露= a x - i - w 驻1 一比( ，y ) ，露0 ， w 露= a x ；+ w 疆1 一d t n ) ，孽0 一o 、，一 因此，对于任意的入( 0 ，1 ) ，我们有 d 露- i - ( 1 一入) 露 = a 入z ；+ ( 1 一入) z ； + wp 让l - i - ( 1 一a ) 甚1 一也( 7 ) 并且 入露+ ( 1 一a ) 露0 ，入n 1 + ( 1 一入) 班l 0 因此，我们可以得到 q t ( 入z ；- i - ( 1 一a ) z ；，y ) - i - c o ， 1 3 河北大学理学硕士学位论文 也就是说明 r a = 7iq , ( a x ；+ ( 1 一入) z ；，y ) 0 ，且 | j w 五一( a 晚+ 五一1 一也( 加) ) i l p 其中”l l 是驼上的欧几里德范数，具体定义如下 l ( 忍，z n ) l l = 右+ + 盈， ( 施，瓴) 跪。 第3 章两阶段模糊生产计划期望值模型 于是 0 屯= x tl1 1 w 厶一( a x t + w h 一1 一d t ( 7 0 ) ) l i p 2 ，v i , o ) 是反的一个邻域由于l i r az = 筑，存在z p g k ，使得 m + 因此，存在俨0 使得 q ( z p ，9 o ) o o w 驴= a z p + e 翌一d t ( y o ) ， 这与假设产生矛盾因此我们得到也k 命题得证 下面的命题给出了第二阶段价值函数q t ( 钆，7 ) 的基本性质，这里假设它不是 一0 0 当我们研究补偿函数q ( z ) 的逼近时会用到该命题的结论 命题3 2 第二阶段价值函数q t ( 轨，7 ) 有下面的性质： ( 1 ) q t ( x t ，y ) 是关于d t n ) 的凸函数； ( 2 ) q ，y ) 是关于x t k 的凸函数； ( 3 ) q ( 现，y ) 是关于口t ( 7 ) 的凹函数 证明我们首先证明结论( 1 ) 假设对于d t = 田= 也( ，y 1 ) 和d t = 田= 唬( 他) ， ( 霹) + 和( 譬) + 是以下第二阶段问题 q t ( 砚，y ) = i 蹲nq t i , 8 t 五= a x t + 厶一1 一也( ，y ) ( 3 5 ) 厶0 ，厶一1 0 的最优解然后，对于任意的a ( 0 ，1 ) ，当也= 霹且回= 入砚+ ( 1 入) 霹时，则 a ( 霹) 。+ ( 1 一入) ( 露) + 是问题( 3 5 ) 的一个可行解当也= 以时，设( p ) 。是问题 ( 3 5 ) 的一个最优解那么我们可以得到 q ( 现，a t ) = q 2 r ( p ) + 谚( 入( 露) + + ( 1 一入) ( 露) + ) = a q t ( 啪+ ( 1 一入) 谚( 露) + = a q t ( 砚，d ) + ( 1 一；g q t ( 玩，霹) ， 由上可知我们证明了结论( 1 ) 一1 5 河北大学理学硕士学位论文 i ii i 现在我们来证明第二个结论通过命题3 1 我们知道诱导限制k 是一个凸 集假设z ，z ；k ，并且 r 1 = ，ylq t ( z ；，7 ) + o o ) ，r 2 = ，ylq t ( z ；，y ) + 。) 则c r ( r 1 ) = c r ( r 2 ) = 1 通过命题3 1 的证明，我们可以得到c r ( r 1nr 2 ) = 1 因 此，对于任意的- y r 1nf 2 ，和入( 0 ，1 ) ，我们有下面的不等式 q t ( 入z ；+ ( 1 一入) z ；，y ) i q t ( z ；，7 ) + ( 1 一入) q 。( z ；，7 ) 假设，y r 1nr 2 ，对于砚= z 和轨= z ；，( 口) 和( 露) + 是下面第二阶段优化问 题 q t ( 魏，7 ) = m ，i n 醪( ，y ) 厶 s t 五= a x t + w 厶一1 一也( ，y ) ( 3 6 ) 磊0 ，i t 一1 0 的最优解然后对于任意的a ( 0 ，1 ) ，当耽= z 且z = a z ；+ ( 1 一a ) z ；时， a ( 露) + + ( 1 一a ) ( 露) 是问题( 3 6 ) 的一个可行解当玩= z 时，设( p ) + 是问题 ( 3 6 ) 的一个最优解那么我们可以得到 q t ( x a ，7 ) = 谚( 7 ) ( p ) + 谚( ，y ) ( a ( 口) + ( 1 一入) ( 露) + ) = a 萨( ，y ) ( 露) + + ( 1 一a ) q t ( ，y ) ( 露) + = a q t ( z ，y ) + ( 1 一入) q t ( z ，一y ) ， 因此，由上可知我们证明了结论( 2 ) 最后，我们证明第三条结论假设对于q t = 西= 口t ( ，y 1 ) 和q t = 簖= g t ) ， ( 霹) 和( 露) 是以下第二阶段问题 q ( 舰，y ) = m ，i nq i r ( 7 ) 厶 s t w i , = a x t + 厶一1 一也 ( 3 7 ) 厶0 ，厶一1 0 的最优解然后，对于任意的入( 0 ，1 ) ，有吼_ - - - 谚= 入爵+ ( 1 一入) 谚进而对于 g t = 谚，问题( 3 8 ) 的任意可行解厶也是当g t = 口 且吼= 爵时，问题( 3 8 ) 的可 行解因此，我们有 ( 矗) 丁厶= a ( 口 ) 丁厶+ ( 1 一入) ( 酵) r 厶 a ( 西) t ( 霹) + + ( 1 一入) ( 谚) t ( 露) = 入q t ( 兢，q i ) + ( 1 一入) q t ( x t ，露) ， 1 昏 第3 章两阶段模糊生产计划期望值模型 i 1 i i_1m,m l 我们从上式可以得到 q 。( 死，靠) 入q 。( 钆，西) + ( 1 一a ) q t ( 矾，藓) 因此，我们得到结论( 3 ) 3 3 模型的求解 在3 1 小节里，我们可以看出带有补偿的模糊优化一般是一个非凸的优化问 题，因此在通常情况下传统的优化方法不能得到全局最优解为了避免陷入局部最 优，我们将设计一个包含模糊模拟和遗传算法的启发式算法来解决这个优化问题 实践表明遗传算法已经成功解决了许多复杂的优化问题并且已经受到了众多学者的 青睐如果想了解更多关于