（计算数学专业论文）几类约束矩阵方程问题及其迭代解法.pdf

摘要 约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵 方程的解。约束条件不同，或矩阵方程不同，则得到不同的约束矩阵方 程问题。 约束矩阵方程问题在结构设计、参数识别、生物学、电学、分子光谱 学、固体力学、自动控制理论、振动理论、有限元、线性最优控制等领 域都有着重要应用。 本篇硕士论文主要研究了下列问题的迭代算法： 问题i 给定a ，b r 刖4 ，求x s ，使得 a x = b 问题设问题i 相容，且其解结合为s e ，给定x o r “”，求j s f ， 使得 忙一刊，= 恕肛一k l i ， 其中s 为r 默”中满足某约束条件的矩阵集合。 本文主要研究成果如下： 1 当s 是正交( 反) 对称矩阵集合时，首先利用这类矩阵的结构和特 征性质，采用正交投影构造了问题i 的迭代算法，然后利用这类矩阵和 ( 反) 对称矩阵的关系证明了算法的收敛性，同时给出了算法的收敛速 度估计。当方程相容时，算法收敛于问题i 的极小范数解。对算法稍加 修改后，得到了问题i i 的迭代算法。最后给出了数值算例，验证了算法 的有效性。 2 当s 是对称正交( 反) 对称矩阵集合时，首先采用了正交投影构造 了问题i 的迭代算法，然后通过对问题i 中的矩阵方程a x = b 做等价变 换，证明了算法的收敛性，同时给出了算法的收敛速度估计。当方程相 容时，算法收敛于问题i 的极小范数解。对算法稍加修改后，得到了问 题i i 的迭代算法。最后给出了数值算例，验证了算法的有效性。 3 当s 是反对称正交( 反) 对称矩阵集合时，构造了问题i 的迭代算 法，证明了算法的收敛性，给出了算法的收敛速度估计。当方程相容时， 算法收敛于问题i 的极小范数解。对算法稍加修改后，得到了问题i i 的 迭代算法。最后给出了数值算例，验证了算法的有效性。 关键词：约束矩阵方程；极小范数解；最佳逼近解；正交投影迭代法 a b s t r a c t t h ec o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e mi st of i n ds o l u t i o n so fam a t r i x e q u a t i o ni nas e to fm a t r i c e sw h i c hs a t i s f i e ss o m ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n s w h e nt h ec o n s t r a i n e dc o n d i t i o n sa r ed i f f e r e n t ，o rt h em a t r i xe q u a t i o n sa r e d i f f e r e n t ，w ec a ng e td i f f e r e n tc o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m s t h ec o n s t r a i n e dm a t r i x e q u a t i o np r o b l e m sh a v eb e e nw i d e l yu s e di n s t r u c t u r a ld e s i g n ，p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ，b i o l o g y ，e l e c t r i c i t y ，m o l e c u l a r s p e c t r o s c o p y ，s o l i dm e c h a n i c s ，a u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r y ，v i b r a t i o nt h e o r y ， f i n i t ee l e m e n t s ，l i n e a ro p t i m a lc o n t r o la n ds oo n t h ei t e r a t i v em e t h o d so ft h ef o l l o w i n gp r o b l e m sw h i c hw i l lb em a i n l y d i s c u s s e di nt h em st h e s i s ： p r o b l e mig i v e na ，b r ”，f i n d x s ，s u c ht h a t a x = b p r o b l e mi iw h e np r o b l e mic o n s i s t e n t ，l e ts ，d e n o t et h es e to fi t s s o l u t i o n s ，g i v e nx 0 r “，f i n dx s f ，s u c ht h a t 8 j x 。i l ，= 卿0 x x 。l l ， w h e r esi sas u b s e to fr ”“s a t i s f y i n gs o m ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n s t h em a i na c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 w h e nsi st h es e to f o r t h o 一( a n t i - ) s y m m e t r i cm a t r i c e s ，t h e o r t h o g o n a lp r o j e c t i o ni t e r a t i o nf o rt h es o l u t i o n so fp r o b l e mib yu s i n gt h e c h a r a c t e ra n dc o n s t r u c t i o no ft h i sk i n do fm a t r i c e si s g i v e n t h e nt h e c o n v e r g e n c eo ft h em e t h o di sp r o v e db yu s i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i s k i n do fm a t r i c e sa n d ( a n t i 一) s y m m e t r i cm a t r i c e s ，a n dt h ee s t i m a t i o no ft h e c o n v e r g e n c er a t ei sg i v e n i ft h ee q u a t i o ni sc o n s i s t e n t ，t h el e a s t - n o r m s o l u t i o no fp r e b l e mic a nb eo b t a i n e db yt h em e t h o d t h ei t e r a t i v em e t h o d o fp r o b l e mi ic a na l s ob eo b t a i n e dw i t ht h ea b o v em e t h o dw h i c ho n l yn e e d t ob em a d es l i g h tc h a n g e s f i n a l l yt h en u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e n ，s ot h e e f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h mi sv e r i f i e d 2 w h e nsi st h es e to fs y m m e t r i co r t h o 一( a n t i - ) s y m m e t r i cm a t r i c e s ， t h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o ni t e r a t i o nf o rt h es o l u t i o n so fp r o b l e mii sg i v e na t f i r s t t h e nt h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o di s p r o v e db ym a k i n g s o m e e q u i v a l e n c et r a n s f o r m a t i o no ft h em a t r i xe q u a t i o na x = bi np r o b l e mi ，a n d t h ee s t i m a t i o no ft h ec o n v e r g e n c er a t ei sg i v e n i ft h ee q u a t i o ni sc o n s i s t e n t ， t h el e a s t - n o r ms o l u t i o no fp r e b l e mic a nb eo b t a i n e db yt h em e t h o d t h e i t e r a t i v em e t h o do fp r o b l e mi ic a na l s ob eo b t a i n e dw i t ht h ea b o v em e t h o d w h i c ho n l yn e e dt ob em a d es l i g h tc h a n g e s f i n a l l yt h en u m e r i c a le x a m p l e i sg i v e n ，s ot h ee f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h mi sv e r i f i e d n 3 w h e nsi st h es e to f a n t i s y m m e t r i co r t h o ( a n t i - ) s y m m e t r i c m a t r i c e s ，t h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o ni t e r a t i o nf o rt h es o l u t i o n so fp r o b l e m ii sg i v e n ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o di sp r o v e d ，t h ee s t i m a t i o no ft h e c o n v e r g e n c er a t ei sg i v e n i ft h ee q u a t i o ni sc o n s i s t e n t ，t h el e a s t - n o r m s o l u t i o no fp r e b l e mic a nb eo b t a i n e db yt h em e t h o d t h ei t e r a t i v em e t h o d o fp r o b l e mi ic a na l s ob eo b t a i n e dw i t ht h ea b o v em e t h o dw h i c ho n l yn e e d t ob em a d es l i g h tc h a n g e s f i n a l l yt h en u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e n ，s ot h e e f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h i ni sv e r i f i e d k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n ：l e a s t - n o r ms o l u t i o n ：o p t i m a l a p p r o x i m a t i o n s o l u t i o nl o r t h o g o n a ip r o j e c t i o n i e r a t i o n m e t h o d i i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者答名：每砖 日期：。7 年j 月功日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国 科学技术信息研究所将本论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社 会公众提供信息服务。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密吼 ( 请在以上相应方框内打“4 ) 作者躲毒卉 刷噬氆修气，侈 日期：0 1 年箩月。日 ：口7 年厂月弦日 1 1 课题研究背景 第一章绪论 约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵 方程的解。约束条件不同，或矩阵方程不同，则得到不同的约束矩阵方 程问题。约束矩阵方程问题在固体力学、结构设计、参数识别、振动理 论、自动控制理论、线性最优控制、有限元、生物学、电学、分子光谱 学等领域都有重要应用。 ， 近年来，约束矩阵方程问题的研究己取得了一系列丰硕的成果。研究 所涉及的约束矩阵集合有对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩阵、中心 反对称矩阵、自反矩阵、反自反矩阵、双对称矩阵、对称次反对称矩阵、 正定矩阵、半正定矩阵、对称半正定矩阵、正交矩阵、非负矩阵等【lj 。 所使用的方法主要有奇异值分解( s v d ) 【2 ，”、广义奇异值分解( g s v d ) 4 , 5 1 、 标准相关分解( c c d ) 1 6 】、商奇异值分解( q s v d ) 1 7j 、s c h u r 分解、c h o 1es k y 分解等。 迄今为止，经过国内外专家、学者的不断深入探讨，约束矩阵方程问 题的研究已经取得了一系列丰硕的成果。bje r h a m m a r 8 】在19 51 年利用广 义逆得到了a x = b 有一般解的充要条件和通解表达式。此后，很多学者 对矩阵方程a x = b 进行了大量的研究，做了大量的工作，解决了它的一 些约束解及其最佳逼近问题，例如：19 8 4 年张磊【9 】在对称正定矩阵集合 类中就矩阵方程肛= b 的反问题进行了研究，得到了问题可解的充要条 件和通解表达式；l9 8 6 年蒋正新、陆启韶【1 0 】讨论了谱约束下的最佳逼近 问题；19 8 7 年h en kd o n 】利用矩阵的拉直算子得到了矩阵方程a x = b 具 有对称解的充要条件和通解表达式；a ll w r ig h t 2 j 于19 8 8 年在对称半正 定矩阵集合类中研究了矩阵反问题从= 曰；19 9 4 年胡锡炎和张磊副研究 了子空间上对称半正定矩阵集合类中的矩阵反问题a x = b ，得到了可解 的条件及解的表达式；2 0 0 0 - 2 0 0 2 年胡锡炎、张磊和周富照【1 4 。17 】在中心 对称矩阵、中心反对称矩阵、对称正交对称矩阵、对称正交反对称矩阵、 反对称正交对称矩阵、反对称正交反对称矩阵中讨论了逆特征值、最小 二乘等问题。此外，张忠志、彭振赞、彭亚新、龚丽莎、郭孔华等人对 于矩阵方程a x = b 的研究成果还有很多，可参看文献 18 2 2 。 自19 51 年以来，矩阵方程似= 曰得到了极为广泛的研究，研究方法 主要是直接解法，即利用特殊矩阵的结构分析、矩阵分解等方法来给出 问题的有解条件以及求解的计算表达式，其优点是问题的有解条件和求 解的计算式看起来都很直观，缺点是有些问题的有解条件和求解表达式 过于复杂。2 0 0 4 年，彭亚新【2 0 】构造了一类迭代方法，其优点是不必预先 验证所讨论的方程在约束矩阵类中是否相容，而直接在迭代过程中自动 判断所讨论的问题是否有解，并在有解时，从理论上可证明在有限步内 迭代出所求问题的一个解；其缺点是无法对所构造的迭代方法作收敛速 率分析。20 0 7 年郭孔华 2 2 】提出了一类正交投影迭代方法，得到了矩阵方 程魃= b 的一般解、对称解、反对称解、中心对称解、中心反对称解、 自反解、反自反解、双对称解、对称次反对称解、反对称次对称解和双 反对称解，该迭代方法能在矩阵方程相容的条件下求出方程的极小范数 解并能计算出其收敛速率的估计式，但是对于矩阵方程似= b 在其他矩 阵约束下的迭代解并未给出，比如：正交对称解、正交反对称解、对称 正交对称解、对称正交反对称解、反对称正交对称解、反对称正交反对 称解。 1 2 本文主要工作 本文研究了如下问题的迭代算法： 问题i 给定a b r m 。“，求x s ，使得 a x = b 问题设问题i 相容，且其解结合为s f ，给定x o r “”，求j s e ， 使得 忙一川，= 恕怯一x 。忆 其中s 为尺删4 中满足某约束条件的矩阵集合。 1 当s 是所有正交( 反) 对称矩阵集合时，本文第二章利用这类矩阵 的结构和特征性质，采用正交投影构造了解决问题i 的迭代算法，然后 利用这类矩阵和( 反) 对称矩阵的关系证明了算法的收敛性，同时给出 了算法的收敛速度估计。当方程相容时，算法收敛于问题i 的极小范数 解。对算法稍加修改后，同样可求出问题1 i 的最佳逼近解。最后给出了 数值算例，验证了算法的有效性。 2 当s 是所有对称正交( 反) 对称矩阵集合时，本文第三章采用了正 交投影构造了解决问题i 的迭代算法，然后通过对问题i 中的矩阵方程 a x = b 做等价变换，证明了算法的收敛性，同时给出了算法的收敛速度 估计。当方程相容时，算法收敛于问题i 的极小范数解。对算法稍加修 改后，同样可求出问题i i 的最佳逼近解。最后给出了数值算例，验证了 算法的有效性。 3 当s 是所有反对称正交( 反) 对称矩阵集合时，本文第四章构造了 解决问题i 的迭代算法，并证明了算法的收敛性，同时给出了算法的收 2 敛速度估计。当方程相容时，算法收敛于问题i 的极小范数解。对算法 稍加修改后，同样可求出问题i i 的最佳逼近解。最后给出了数值算例， 验证了算法的有效性。 1 3 符号定义 令r 拟“表示所有m 刀实矩阵集合，s r 肼”表示所有n ，l 实对称矩阵集 合，a s r “表示所有，l ，l 实反对称矩阵集合，r ，表示所有，l n 可逆方阵 集合，o r 删”表示所有n 以正交矩阵的集合，s o r 删”表示所有力n 对称正交 矩阵集合，r ；s ”表示所有_ ，lxn 正交对称矩阵集合，r 篡表示所有刀n 正交 反对称矩阵集合，s r 7 “表示所有n 刀对称正交对称矩阵集合，阴尺岔”表示 所有刀刀对称正交反对称矩阵集合，a s r ；。”表示所有力n 反对称j 下交对称 矩阵集合，州尺表示所有刀以反对称正交反对称矩阵集合。a r 表示矩阵 a 的转置矩阵。在r 刷“中定义内积( 彳，b ) = 护忙7 彳) ，表示由内积导出的范 数，即f r o b e l 3 ius 范数，a 固b 表示矩阵么与曰的k r o t i e c k e r 积，v e c ( a ) 表 示矩阵彳的拉直。z 。表示珂阶单位矩阵，记e ，为，。的第i 列o = 1 , 2 ，甩) ， s 。= k 。，- l ，e 1 ) r 职”。 3 第二章求矩阵方程正交( 反) 对称解的迭代方法 2 1 引言 定义2 1 【2 3 1给定矩阵p s o r 及x r 椰，若( p x ) r = p x ，称x 为p 正交对称矩阵，所有p 正交对称矩阵的全体记为尺箸；若( 麒) r = 一p x ，称 x 为p 正交反对称矩阵，所有p 正交反对称矩阵的全体记为尺雕n x l l 。易知， 尺雕n x n ，r 嚣是尺职“的子空间。 本章主要研究如下问题的迭代算法： 问题2 1给定彳b r 删”，求x s ，使得 a x = b( 2 1 ) 问题2 2 设问题2 1 相容，且其解集合为s e ，给定x o r 雕“，求 j s ，使得 忙一k = 恕悟一x 。i i f ( 2 2 ) 其中s 分别为r t , s ”和尺荡：。 对于矩阵方程朋= b ，很多文献如 2 4 1 一 3 9 都对它进行了大量的研 究，这些文献中利用传统的矩阵分解等方法讨论了它的对称解、反对称 解、自反矩阵解、反自反矩阵解、中心对称解、中心反对称解、双对称 解、对称次反对称解及其最佳逼近等问题。对于正交对称和正交反对称 矩阵，当正交矩阵p = i 。时，正交对称矩阵便为对称矩阵，正交反对称矩 阵便为反对称矩阵。文献【2 0 】率先采用迭代法讨论了当p = 厶时问题2 1 和问题2 2 的解；文献【2 2 1 提出正交投影迭代方法，研究了当p = i 。时问题 2 1 和问题2 2 的解。本章采用正交投影构造了求矩阵方程a x 墨b 的正交 对称、正交反对称解及其最佳逼近解的迭代算法。 2 2 s 为尺篙”时问题2 1 和2 2 的迭代算法及其收敛性证明 引理2 1若矩阵x r 雕”，则x + p x7 p r 筹，x - p x7 p r 嚣。 证明p ( x + p x7 p ) = p x + x7 p = x r p + p x = ( p ( x + p x7 尸炉，故p ( x + p x7 p ) = o ) ( x + p x r 尸妒，即x + p x r p r ；s 。同样可i y 明x p x r p 月腓n x n 。 首先我们给出当s 为r ；s ”时求解问题2 1 的算法： 算法2 1 ( 1 ) 令b o = b ，x o = 0 4 博铲错t2 蔫掣m 叫2 ， 0 朋1b + 4 p 曰：么爿i 。 ( 3 ) 令x t = 口ta r b i + p 8 ：彳p ) ，仗= 0 , 1 ，2 ，) ( 4 ) 如果鲥t = o ，迭代中止，否则，令x = x l + 麟，似= 0 , 1 ，2 ，) ( 5 ) 令b 川= b t 一彳似i = 岛一似川， = 0 , 1 ，2 ，) ，转步骤( 2 ) 引理2 2矩阵方程, i x = b 有p 正交对称解的充分必要条件是矩阵方 程m x = b 有对称解，其中m = a p 。 证明设x 是方程似= b 的p 正交对称解，令x = p y ，由于( p x ) 7 ：p x ，于是有l ，r = y ，且a ( p y ) = b ，即方程m x = b 有对称解y ；反之，如 果方程m x ：b 有对称解】，令x = p y ，x 是j 下交对称矩阵，满足方程 引理2 3 【】矩阵方程m x = b 有对称解的充要条件是m m + b = b 且 m b r = b m r 。 引理2 4若矩阵方程a x = b 有尸正交对称解，则在算法2 1 里，对 任意的k = 0 , 1 ，2 ，我们有彳噬= b k p a r ，r ( 峨) 尺( 么) ，r ( 反) g 尺似) ，其中 证明根据算法2 1 的步骤( 5 ) 可知，对任意k = 0 , 1 ，2 ，有 么p 彰= a p b r a p x ：a r ，b t p a r = b o p a r 一么y t p a r 再由引理2 3 有a p b r = a p b r = b p a r = b o p a7 ，又因为x i 为正交对称矩 阵，所以p x = ( p x i ) r 即以；= x i p ，所以a p x a r = 以k 删r ，从而有a p b r = b t p a r 。 另一方面，当矩阵方程, i x = b 有解时，必有b o = b r ( a ) ，从而对任 意七= 0 , 1 ，2 ，有& + ，拳玩一允k + 。r ( a ) ，故对任意七= 0 , 1 ，2 ，都有尺慨) r ( 彳) 。 同样可证明r 慨) r ( m ) 。 定义2 2 【2 2 1 设矩阵a ，b r 荆 ，如果( a ，b ) = 0 ，即t r ( b r 彳) = 0 ，则称矩 阵a ，b 相互正交。 引理2 5 算法2 1 中的吒使得l i 色+ 。犯达到极小，并使得b 川和a h x t 相 互正交。 证明根据算法2 1 ，我们有 0 b 。l l = ( b 。一口。彳0 r b 。+ p 曰；么p l b 。一口。a ( a7 b 。+ p b ；4 p = l b , i 二一2 a 七b 。，彳0 r b 。+ 噬彳尸) ) + 口舭07 b k + 噬4 尸犯 5 从上式可知，0 曰川l | ，达到极小的充要条件是 口七 ：蝗丝竺堕! 竺型 陋丁b k + 脚；彳砸 在算法2 1 中，若选口。= 即b 川和a a x i 相互正交。 引理2 6 证明 ，g = 0 , 1 2 ) la r b 。小f , ( s l a p s a e ) l 阻r b + 么脚彳难 可推得 ( b k + la z l e i ) = 0 ， 在算法2 1 中，我们有0 b 川旺= b 旺一肛麟。旺。 根据算法2 1 的步骤( 5 ) 可知，b 。= 色+ ，+ 彳从。，因此，f l b 。旺 = l i b + 么麟。旺，根据引理2 5 ，b k + l 和a a x 。相互i e 交， + 恤腊。幢。因此，f 陋川眩= 0 b 。砟一忙艏。旺，证毕。 定义2 3 【2 2 】设矩阵a ，b r ，如果角汐满足c o s o = 万) ，则称p 为矩阵a ，b 的夹角。 可得b = l l b k + 。幢 髂，( o 口s 0 彳i i ，i i b 0 ， 、。一。一 定理2 1若问题2 1 有p 正交对称解，则算法2 1 必定收敛 设 q 盯2 o r r 是矩阵a 的所有奇异值，那么算法2 1 的收敛速率不低于 一o 5 n ( 1 - 甜 证明记矩阵么的奇异值分解为 a = u l d l k 7 ( 2 3 ) 这里u 。，k 是正交矩阵，d l = ( 言三) ，= 讲曙b ，吼，q ) ，令m = 彳p ，则 m = u d 。k 7 p = u 。d 。p ky ，令= u 1 ，d 2 = d i ，吒茹尸k ，则m - - u 2 d 2 曙，其 中u ：，是正交矩阵，。：= ( 言趵，= d i a g ( o ，吼，q ) ，由引理2 4 有尺慨) r 0 ) ，尺慨) r ( m ) ，a p b r = b 。p a r ，故可令g ，= u - b k ，g 2 ；畦峨， 则b 。= q g 。z l r = u 2 g ：哆，这里g = g f ，g ：厂，g 2 = g - ，j i l ：) r ，g f ，j l f r ”， ( f = 1 , 2 ，1 ) ，g f = h ，= 0 ，i ，。 记口为矩阵b 。和a a x i 的夹角，则有 n( 风，么必t ) c 0 s 肚面茼 ( 毋，彳0 r b k + 朋；胛 6 圳b | ，| | 朋r b k + 彳噬彳硎 8 a r b 。i i 彳咫m 圳l f a a7 b 。+ a e b ：a 尸i ， 舻b 幢+ 护佛风p a r 彳尸) i ，u a a r b k + a e a ：a 尸| i a r b 。肛帜讲w u g 。_ 7 肛崂g 。肛t f ( g i d i d t g 。) = 0 彳朋f 眩= i p ：d ：曙砭g ；u ；旺= 慨g ：l l ：= 护( g ：d ；d ：g ；) = 吼= i | g l i | ，= | | g 2 峙= 陲船f ) j d ；g i g ：2 o 孤h 1 朋r 眈k = i u 。d 。k r k d - u f u 。g 。k r l j ，= i l d 。d ：a 。| | ，= ( t y ( g t d i a ：g i 9 7 f l 盯? 么朋：彳叫l ，= l u ：d 2 v v 2 g i u i u ： 方程 相容 故c o s o 注意到 仃可 d ：h i h 7 g i g j + r ， g f g _ + ，厅， 纠( g t g t t 4 i f 厅， ：( t r ( d r g ：d i d ：g r d ：疹 9 盈幢= l i b m 旺+ i i a 醚。睡，我们有l i 见+ 。l l ，= 从上式可知，算法2 1 必定收敛 理 的 p 理 ， 慨i i ，s i n os 慨| | ， 且收敛速率不小于 - o 5 n ( ，一卦 ， 2 7 【2 0 】若线性方程组蚴= 6 存在解y 。er ( m7 ) ，则y o 必为该线性 唯一的极小范数解。 正交对称矩阵定义容易证明 2 8矩阵方程肛tb 有正交对称解的充要条件是矩阵方程组 ( 2 4 ) 定理2 2若问题2 1 相容，则算法2 1 收敛到问题2 1 的极小范数 7 h 闽 i一， 、j 7 f 厅厅 ，纠 骖 gd q w!： 7 f b u dg 瑚 t 一2 、一、 ，础 l 一2 、0j 7 f 忍厶 瑚 l 一2 一、， 忆，问 哆 吖 砂l r l 一2 、， 衫一砰 一 问 鲥m 引组由引 口p篇 解。 证明根据定理2 1 ，如果问题2 1 相容，利用算法2 1 ，我们必可 得到问题2 1 的一个解x + ，而且解x 可表示为x = a 7 y + p y r 彳尸。 下面我们证明x 也是问题2 1 的唯一极小范数解。 记v e c ( x ) ：z ，v e c ( x + ) = z ，m 贸( y ) = j ，。，v e c ( 】，r ) = 少：，v e c ( b ) = b ，v e c ( b7 ) = 如， 那么矩阵方程a x = b 等价于下面的线性方程组 暖a p h 朗 5 ) lp i 肛 “ 注意到x = w c 伍+ ) = 眦o r 】，+ 尸y7 彳p ) = o7 pl 尸7 。o 力r ：| j = 三三二l r ；： r ( ( 三三二p r 由引理2 7 可知，x + 是线性方程组( 2 5 ) 的唯一的极小范数解，再 由拉直映射的同构性质可知，x 是问题2 1 的唯一的极小范数解。 下面我们讨论当s 为尺箸时问题2 2 的算法。 引理2 9 设e 尺篙”，f 尺篇，则护忙7 f ) = 0 ，即正交对称阵和正交 反对称阵是相互正交的。 证明由题设可得e = p e7 p ，e r = p e p ，f = 一p f r p ，f r = 一p f p ，驴忙7 f ) = 一t r ( p e p p f7 p ) = 一护陋r ) = 一护陋r ) = 一驴仁r f ) ，故驴仁r ，) = o ，即正交对称阵 和正交反对称阵是相互正交的。 若问题2 1 相容，易知s f 为一非空闭凸集，因此对给定的矩阵k r 艄n ，必存在唯一的膏s e 使得| 防一x o l l ，= 艘0 x x 。l | ，。下面我们给出求 j & 的迭代方法。 若& 非空且k r 篙4 ，则对任意x s e ，有a x = b a ( x - x o ) = b 一朋o 。 令x = x x o ，b 。= b a x o ，那么求解问题2 2 等价于求相容矩阵方 程a x = b 的极小范数解牙。，而殳可利用算法2 1 算出，从而问题2 2 的解可表示为j ：舅。+ 托。 若s e 非空但不是一个j 下交对称阵时，由引理2 9 可知， “x 一- ，ou ：= l l x 一( 学+ 学 0 二= 8 x 一半0 二+ 因而，对任意，有从= 鹏彳卜半 = b - a 半 8 令x = x 一半，b + = 口一4 学， 那么求解问题2 2 等价 于求相容矩阵方程a x = b 的极小范数i e 交对称解牙，而岩可利用算法 2 1 算出， 从而问题2 2 的解可表示为j ：殳+ + 兰d 型笠掣。 数值实例2 1 本数值实例是在m a tla b7 0 下编程求解的。 设爿： b = 9 1 9 1 27 0 9 5 20 0 3 1 22 1 1 9 2 6 8 1 7 l 5 0 9 5 3 3 1 9 8 58 0 0 9 19 1 5 1 65 3 2 9 59 0 0 3 27 8 1 9 8 9 3 7 5 29 1 7 8 9 2 1 0 3 57 0 0 0 39 1 2 1 57 6 7 5 1 3 1 7 5 39 8 1 9 89 0 5 8 2 8 9 1 2 34 3 3 3 38 9 7 1 3 9 3 1 5 23 1 5 1 89 1 8 7 27 0 0 0 27 9 2 9 88 0 8 7 8 0 9 0 9 89 2 7 8l7 15 5 55 7 6 5 2 9 5 3 0 5 2 7 6 6 9 o 7 1 3 23 1 9 1 88 0 0 0 3 0 4 1 7 21 6 4 1 43 8 5 3 2 6 1 7 1 3 5 8 4 8 6 1 21 7 9 8 2 2 2 0 2 5 2 35 6 9 9 9 4l1 9 2 8 6 0 5 8 3 4 1 21 0 1 6 7 7 65 8 3 0 7 33 6 9 5 7 56 3 2 3 8 51 2 9 0 9 5 i 7 7 1 2 2 41 1 0 7 7 8 55 2 8 4 2 41 4 3 4 5 87 4 2 0 9 71 8 2 1 7 1 6 5 8 6 8 5 98 6 5 4 2 88 2 5 3 6 5 6 2 6 2 7 7 6 7 8 0 2 5l7 3 4 3 0 5 6 8 2 5 3 381 9 0 4 57 2 9 5 3 45 0 8 5 0 0 4 5 1 4 5 51 6 2 7 9 2 4 2 5 2 2 7 88 7 13 7 55 6 18 3l7 4 0 4 7 7 6 7 8 6 4 61 0 8 0 9 4 3 2 1 0 6 1 23 2 7 0 6 12 6 3 6 1 91 9 9 1 9 62 3 0 6 1 5 3 7 8 4 6 8 ( 1 ) 求问题2 1 的极小范数解。 ( 2 ) 求问题2 2 的最佳逼近解，其中 x o = p 2 3 3 0 5 02 3 2 0 00 6 2 8 80 0 1 2 95 7 6 0 6 9 10 0 24 3 3 2 38 3 7 6 70 2 8 7 13 2 7 9 4 2 2 8 3 72 2 8 3 42 2 2 8 32 3 8 7 48 3 9 3 7 2 2 8 3 73 3 3 7 22 2 8 3 73 4 8 4 73 9 4 8 0 4 5 8 6 72 2 9 3 71 3 3 3 49 3 7 1 22 4 6 5 7 3 4 8 5 22 3 8 4 73 4 9 5 02 3 6 4 72 4 7 5 6 lo0 olo 0 ol 0o0 0 0o o 0o 3 1 3 2 4 1 8 3 7 3 0 2 9 3 7 0 9 8 7 6 2 4 8 5 7 2 4 7 5 6 00 0 0o 0 00 0 一lo o ol0 ool ( 1 ) 下面用算法2 1 求问题2 1 的极小范数解。在迭代过程中，取 譬= 1 o e - l o 作为迭代过程中止的条件，即当i l 鲥。8 ，。 记秒为矩阵毋和a a x t 的夹角，则有 训= 揣= 爵等鬻 酬，| l 州r b k一彳胎二彳矶 反盼8 么朋引 慨| l 削7 b 。一4 朋： a r b 。卜护以p a 7 彳p ) 0 b 。”| l 朋r b 。- a p b r i a r b 。肛慨讲【，似g 。k r 旺= d r g 。旺= t r ( g r d , d r g 。) = = 耖：d ：曙圪g ；【，列：= l | d ：g ；旺掌护( g ：d ；皿g ；) = l i b 。| | ，= | | g i | l ， 0 a a r b 。| i ， = | f g 2 | f ，= 粥霄：f ，窆 、扫i i d , o , r g , i i ，：p 旧b d - d 。d r g ，) ) ： 8 彳耐彳硎，= i | d 2 嘭d ：i | ，：p ；g 2 d ；d ：嘭d ：疹： 故c o s p ， g ，g f + g i g j + ，= l j 蛐_ h , h 7i ) 注意到 l l 彳纠l ， a j g 9 7 o ：h , h f 盯? g ，g - ) 2 o - ? ( 盯? g ，g - l f f 细? l o = 1 , 2 ，刀) ， g ： t 域。 缃行 蛐厂) _ 0 b 。0 ：= = | | b 。+ 。0 二+ l l a n o 。0 ：， 我们有 、， 仃一盯 2 ， 毋 匕m 蓬硝 2 r r 奄 m m 旺 r 七 l 一2 一、， 矗l 仃 ，瑚 鲥 ，渊 斟 l 一2 、j 7 f 厅矗 4 f 盯 ，商 生砰 一 2 r 盯 捌埘一，斟 2 i 仃 l i b 川，= 慨l | ，s i n 0 慨| | ， 从上式可知，算法2 2 必定收敛，且收敛速率不d 于- 0 5 1 n ( 1 一筹) o 由p 正交反对称矩阵定义容易证明 引理2 15矩阵方程似= b 有正交反对称解的充要条件是矩阵方程 组 a 4 x 麟= r b 尸：一曰 ( 2 相容。 定理2 4若问题2 1 相容，则算法2 2 收敛到问题2 1 的极小范数 解。 证明根据定理2 3 ，如果问题2 1 相容，利用算法2 2 ，我们必可 得到问题2 1 的一个解x ，而且解x 可表示为x = a7 y p y7 a p 。 下面我们证明x 也是问题2 1 的唯一极小范数解。 记v e 4 x ) - - x ，馏c 伍) = x ，v e c p ) = m ，v e c ( y r ) = j ，：，v e c 佃) = 6 】，v e c ( b7 ) = 6 2 ， 那么矩阵方程a x = b 等价于下面的线性方程组 置pa p h 纠 7 ， i 一li6 i 注意到x 。= 聊伍) = 眦o 7 y 一尸y 7 彳尸) = o r9 ，一尸7 。p ) r l 誓j = 瞄彳耽卜l l i 么o , 埘1 由引理2 7 可知，x 是线性方程组( 2 7 ) 的唯一的极小范数解，再 由拉直映射的同构性质可知，x 是问题2 1 的唯一的极小范数解。 下面我们讨论当s 为尺黧时问题2 2 的算法。 若问题2 1 相容，易知s ，为一非空闭凸集，因此对给定的矩阵 x o r ，必存在唯一的j & 使得f p x o i ，= m x m i n f 弦一z 。| | ，。下面我们给出 求j s f 的迭代方法。 若s 非空且托r 麓，则对任意x s ，有a x = b 彳似- x o ) = b 一朋o 。 令x = x - x o ，b = b 一允k ，那么求解问题2 2 等价于求相容矩阵方 程肛= b 的极小范数解舅。，而殳可利用算法2 2 算出，从而问题2 2 的 解可表示为膏= j + 咒。 1 2 若s 非空但氙不是一个正交反对称阵时，由引理2 9 可知， u j 一彳。u ：= l l 彳一( 半+ 半) l i 二= i i x 一半l i ：+ l l 半0 2 因而，对任意，有似= 鹏彳卜学 = b - a 学 令x = x t x o - p x r p ，b = 曰一彳半， 那么求解问题2 2 等价 于求相容矩阵方程似= b + 的极小范数i e 交反对称解膏+ ，而霄可利用算 法2 2 算出， 从而问题2 2 的解可表示为j ：j + 些d ! 笠二衅。 数值实例2 2 本数值实例是在m a t 1a b7 0 下编程求解的。 b = f 9 1 9 1 27 0 9 5 20 0 3 1 22 1 1 9 26 8