（理论物理专业论文）旋转囚禁bec中有限涡流的理论研究.pdf

摘要 在旋转的玻色爱因斯坦凝聚中会形成弯曲的涡流。本文以前人工作为基础，将 实空间从两维扩展至三维，并用解析的方式研究了当系统能量最小时有限个数 涡 流的构型，并且对有限涡流线弯曲有所探讨。涡流能量是关于驱动角频率的函数， 对涡流能量进行计算可以自洽地给出涡流个数、弯曲程度、构型和涡芯的宽度。数 值结果表明： 1 涡流构型为最常规多边形时，涡流的能量最小；而在角频率足够大时，对于许多 个涡流组成的涡流晶格，六边形比正方形更稳定。 2 五 l 时，沿着z 轴方向，弯曲的涡流线比直的涡流线更稳定。 3 边界效应明显：对于有限边界的涡流密度计算值小于把边界看作是无限时估计得 到的涡流密度值，在大范围内随着涡流角频率增加，涡芯增大。 关键词：玻色爱因斯坦凝聚，涡流，有限尺寸，弯曲 中图分类号：0 4 1 2 1 i i a b s t r a c t t h em i n i m a le n e r g yc o n f i g u r a t i o n so ff i n i t en v - b o d yv o r t i c e si n ar o t a t i n gt r a p p e d b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t ei ss t u d i e da n a l 两c a l l yb ye x t e n d i n gt h ep r e v i o n sw o r k , a n d t a k i n 2i n t oa c c o u n tt h ef i n i t es i z ee f f e c t so n ：d i r e c d o na n dt h eb e a d i n go ff i n i t ev o r t e x l i n e s t h ec a l c u l a t i o no f t h ee n e r g yo f t h ev o r t i c e sa saf u n c t i o no f t h em m f i o nf r e q u e n c y o f t h e t r a pg i v e st h en u m b e r s ，c u r v a t u r e s ，c o n f i g u r a t i o n so f v o r t i c e sa n d w i d t h so f v o r t e x c o r e ss e l f - c o n s i s t e n t l y t h eh u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t ： ( 1 ) f o rs e v e r a lv o r t i c e s ，t h es i m p l e s tr e g u l a rp o l y n o m i a l o ft h es e v e r a lv o r t e x c o n f i g u r a t i o n si se n e r g e t i c a l l yf a v o r e d ；w h i l ef o rm a n yv o r t i c e sa tal a r g ee n o u g hr o t a t i o n f r e q u e n c y , t h eh e x a g o n a lv o r t e xl a t t i c ei sm o r es t a b l et h a ns q u a r el a t t i c e ( 2 ) b e n d i n gi sm o r es t a b l et h e ns t r a i g h tv o r t e xl i n ea l o n gt h e za x i sf o r 2 , 1 ；a n dt h e v o r t e xc o n f i g u r a t i o ni nt h ex yp l a n eh a sal i n l ee x p a n s i o nb yi n c r e a s i n gz ( 3 ) t h eb o u n d a r ye f f e c ti so b v i o u s ，t h a ti st h ec a l c u l a t e dv o r t e xd e n s i t yf o rf i n i t e b o u n d a r yi sl e s st h a no n ee s t i m a t e df o ri n f i n i t eb o u n d a r y , a n dt h ev o r t e xc o r ei n c r e a s e s w i t hi n c r e a s i n gr o t a t i o n 矗e q u e n c yi nl a r g er a n g e k e yw o r d s ：b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e c ) ，v o r t e x , f i n i t es i z e ，b e n d i n g z t f l ：0 4 1 2 1 1 1 1 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中作了明确 的声明并表示了谢意。 作者签名： 论文使用授权声明 日期 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后 遵守此规定。 作者签名：导师签名：日期 第一章引言 1 9 9 5 年首次在实验上实现玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ， 简称b e c ) 。b e c 体系的实验和理论研究立即成为了科学界最热门的课题之一。近年 来，冷原子分子体系凝聚体性质的实验研究又有了新的令人激动的进展。涡流 ( v o r t e x ) 是探测凝聚体超流的最直接表现。本文是关于凝聚体中涡流问题在实验 及理论方面的简单介绍及我们自己的一些工作结果。 1 1b e c 研究的简单回顾 玻色一爱因斯坦凝聚( b e g ) 是爱因斯坦在7 0 多年前预言的一种新物态。这里的 “凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原予突然“凝聚”到同 一状态( 一般是基态) 。即处于不同状态的原予“凝聚”到了同一种状态。形象地说， 这就像让无数原子“齐声歌唱”，其行为就好像一个玻色子的放大，可以想象着给 我们理解微观世界带来了什么。这一物质形态具有的奇特性质，在芯片技术、精密 测量、纳米技术和量子光学等领域都有美好的应用前景。现在全世界已经有数十个 室验室实现了8 种元素的b e g 。主要是碱金属，还有氦原予和钙等。 1 9 2 4 年印度物理学家玻色提出了不可分辨的个全同粒子的新观念，使得每个 光子的能量满足爱因斯坦的光量子假设，也满足玻尔兹曼的最大几率分布统计假设， 这个光子理想气体的观点可以说是彻底解决了普朗克黑体辐射的半经验公式的问 题。玻色将论文寄给爱因斯坦。爱因斯坦意识到玻色工作的重要性，立即着手这 问题的研究，并于1 9 2 4 和1 9 2 5 年发表两篇文章，将玻色对光子( 粒子数不守恒) 的 统计方法推广到原子( 粒子数守恒) 。预言当这类原子的温度足够低时，会有相变一 新的物质状态产生，b p 所有的原子会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是 我们所说的玻色一爱因斯坦凝聚。 1 9 3 8 年l a n d a u 提出液氦( h e 4 ) 超流本质上是量子统计现象，是b e c 的反映，并 计算出临界温度为3 2 k 。从此b e g 开始受到重视。从那时起，物理学家都希望能在 实验上观察到这种物理现象，但由于找不到合适的实验体系和实验技术的限制，玻色 一爱因斯坦凝聚的早期实验研究进展缓慢。 2 0 世纪9 0 年代以来，由于大家所熟知的三位物理学家( c h u ( 朱棣文) ，c o h e n ， p h i l l i p s ) 的杰出工作，激光冷却与囚禁中性原子技术得到了极大发展，为玻色一爱 因斯坦凝聚奇迹的实现提供了条件。 1 9 9 5 年实验观察气相原子的玻色一爱因斯坦凝聚终于实现了。第一批实现b e g 的几个研究小组分别来自美国科罗拉多大学实验天体物理联合研究所( j i l a ) 、美国 莱斯大学( b r a d l e y 小组) 、麻省理工学院( m i t ) ( d a v i s 等人) 这三个实验室宣告了 实验观察玻色一爱因斯坦凝聚的实现，在物理界引起了强烈反响，是玻色一爱因斯坦凝 聚研究历史上的一个重要里程碑。 此后，有关b e c 的研究迅速发展，观察到了一系列新的现象。如b e c 中的相干 性、约瑟夫森效应、涡流、超冷费米原子气体。其中许多是当年爱园斯垣和玻色未 曾想象过的，b e c 导致了诸多领域现代物理学家的关注。 1 2 涡流研究的实验以及理论回顾 涡流( 两维空间，2 d ) 和涡流线( 三维空间，3 d ) 是在玻色爱因斯坦凝聚( b e c ) 中利用激光转动被囚禁的b e c 而形成的。 不同的转动激光的角频率( q ) 可以得到具有不同涡流数目( n 。) 的构型，即 涡流组成了不同结构的有限晶格。在过去的几年里，囚禁的b e c 中的涡流实验涉及 到从研究单个涡流 卜4 和涡流环 5 - 6 3 到研究涡流晶格 7 - 1 1 。许多的理论研究在 以g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 平均场模型为基础的多体物理领域中展开，采用一个宏 观波函数甲( r ) = q u c r ) l e 带【f ) ，并且限定在对其速度场为哥= h v m 的强约束下( 综 述可以参考文献 1 2 3 ，一些基本概念可以参考文献 1 3 ) 。对于涡流稳定性的理论研 究，之前的工作是局限于单个涡流的情况，或者从解析的方法 1 4 - 1 6 ，或者解析与 数值方法并用 1 7 - 1 9 。具有涡流晶格 2 0 一2 6 的囚禁b e c 以及涡流晶格的旋量、多 成分的凝聚 2 7 2 9 3 的静态与动态性质的研究已经在理论方面广泛的展开。涡流晶格 的融化 3 1 ，3 2 和涡流排列的条纹 3 3 ，3 4 也在被研究中。非线性动力学 3 5 - 3 9 的理 论方法帮助我们理解涡流晶格的形成过程在短的 3 3 和长的寿命 1 0 1 中。在一个特 定的q 下不同的时间中，一个u 或者s 型的涡流( 弯曲、从中心延伸) 已经被观察 刭 4 0 ，4 1 3 。对于弯曲的涡流，通过数值的方法 4 2 ，4 3 ，以及文献 4 4 中的解析方 法，研究涡流形状、构型和能量图 4 5 4 6 。为了描述最终稳定的状态，有一些理 论上的尝试，大部分的注意力在采用数值的方法研究有限涡流数量和有限凝聚范围 的效果上。然而，涡流线的总能量方程当考虑到涡流线的形状所带来的效果后是越 来越复杂。本篇论文的目的是用解析的方法，清楚地理解具有有限个涡流以及具有 在砂平面和z 方向有限的弯曲b e c 旋转体稳定态在角频率是q 时的构型。 对于研究系统平衡态的性质，在解析表达式中一个有效的方法是以变分法为基 础解g p 方程。利用h e a v i s i d e 阶梯方程或者线性方程来粗略的逼近涡芯中的密度分 布的简单方法已经被用于研究涡流在旋转b e c 中的性质了。然而这些初期的研究仍 然在w i g n e r s e i t z 近似的框架中，一个采用t a n h 函数去逼近涡芯密度变化的更好 2 尝试波函数已经表现出在研究2 d 中的实际构型的能力。一个拓展的数值工作提供了 数学的框架 4 5 。我们现在的工作将继承这个直观的图像，将最初的2 d 结论拓展到 具有有限个涡流数目和有限弯曲涡流长度的3 d 系统中。换句话说，凝聚体是被限制 在一个椭球中，z 方向的有限尺寸和弯曲的涡流均将影响到x y 平面上的涡流构型。 在凝聚的区域中，我们将涡流线作为沿着z 轴方向弯曲的在x y 平面不同的位置上具 有不同的长度、芯宽度和曲率的线段。我们考虑在零温度下t h o m a s - f e r m i ( t f ) 体 系中的b e c ，即相互作用的能量相对于势能非常大。凝聚体在变化的角频率q 下旋 转。对于相对较低的q ，凝聚体包含若干个涡流。通过比较不同结构的不同局部能 量最小值，我们能够决定他们实际的个数和构型。当q 较大时，对应生成的涡流数 量很多( z 1 0 2 ) 。 通过计算。个有限的涡流，并且考虑到巧平面和旋转轴z 方向的有限尺寸效 应，表明：( 1 ) 三角形单元比正方形单元能量上更稳定；( 2 ) 弯曲涡流线在能量上 更具优势，在平面上的涡流构型当z 增加时有所扩展，尤其是当五 n 。与 q 的关系图与数值模拟相吻合。 1 3 本文的安排 本文的安排如下：在第二部分中，给出了b e c 的一种尝试波函数。通过变分法， 得到包括涡流的自能和相互能量的能量方程的解析解；第三部分计算出不同结构的 最小能量来决定涡流的数目、涡流的构型、涡流之间的距离6 、涡流的曲率_ j 以及 涡芯的半宽度。这些物理量都是驱动角频率q 的函数，数值模拟结果与现有实验 较好地相一致；第四部分是结论。 第二章模型与理论处理 被囚禁的旋转着的b e c 其哈密顿密度为： 托2 击| ( 一i h v 一- 零l f l r r ) i 2 + 瓯z t ( r ) 一丢m q 2 s 2 一p l l ( r ) l = 2 + 昙擘l ( r ) 4 ， ( 1 ) 对于球形势阱( a = 1 ) 和椭球势阱( a 1 ) ，囚禁势为 巩。t = a u 主( s 2 + 入2 。2 ) 玻色子之间的相互作用通过常数g 来描述：g = 4 z 2 n ”p ，。其中( t s c 为s 波散 射长度。 涡芯的密度分布i 面( r ) | 2 为h e a v i s i d e 阶梯形式【2 1 】或者线性形式【2 2 】对于描述这 个系统过于简单。我们采用c a s t i nc t a 1 1 2 0 1 构建的方法，将密度表示成： 叭r ) | 2 刮虬和炉垂魄n h 2 丁 s - - s j 。 ( 2 ) ，= l ” 其中5 f 表示第，个涡流在x - y 平面的位置，i 表示涡芯的半宽度，这两者都是作为 交分的参数。l 耍。l 。( 1 ) 1 2 垒等( 1 一萨一云2 ) 是无涡流时【2 l 】b e c 的t f 密度，表现为 一个缓慢交化的包络。这里5 ；走，5 兰击：以凝聚的t f 半径为单位。 r t f = 【纠( 埘。王1 1 1 2 ，且i = 只r f ( 1 一q 2 ) 1 2 和岛= 飓p x 。q = l _ i 是以l 为单 位的旋转频率，弯曲的涡流线和无涡流的b e c 的化学势分别为p 和p o ，见下恧的( 3 ) 式，由归一化条件n = f d a r l o ( r ) 1 2 ，我们得到阳= 毒忍以( 1 5 a 尸) 2 胪， p = n a r n 晒是无量纲相互作用参数，吐幻= 、危m 岫是囚禁势特征长度。在 t f 近似下，粒子数趋于无限大，粒子之间的相互作用占主导作用。因为在大部分 的实验中r 8 竺1 0 一，p 是一个有限的大数。 通过弓l 入第j 个涡流的弯曲率幻，弯曲的涡流线能够被涡流的位移场u i r ) 描述， 它表明涡流从它初始位置的偏移：”( r ) 2 鸯( 1 一t 一霹铲) 对于轴对称系统： 4 u r ) 5 十姐( r ) ，其中酶= 码r ：。当杆( r ) r r f 时，相位咖的般形式是： = 移d + 害l ( 幻s + 钐) ，其中易是以涡芯为中心的笛卡尔坐标系的相对极角， 妒是以囚禁中心为极轴中心的系统极角，因为轴对称o o = 0 。我们将看见弯曲 涡流比直的涡流更稳定的。当a 1 ，而且相位砖s 将在降低总涡流能量上起到 一个非常重要的角色。对于位移场的小涡流1 1 ( t ) 且白b ，弯曲可以被看作是一 个弹性的变形，因而涡流线弯曲的张力是。r = 施i m ( r ) l 。i n 警 4 7 】，其中 8 n = 、刀i 7 丽。对应的弹性能量具有简单的形式6 “( r ) = 7 ( 爱) 2 4 8 1 ，通过对哈 密顿式( 1 ) 添加这个弹性能量顼，替换波函数( 2 ) ，我们获得化学势： ( 3 ) 推导( 3 ) 式的过程里，我们用到了涡流的位置而= 卺和涡流的半径曷= 老以在 x y 平面凝聚的t f 半径为单位。无量纲参数定义为= ( 1 + 田警l n 警) 一1 2 ，回 到对于岛= o 直的涡流线勺= 1 。当考虑到有限尺寸效应和弯曲效应时，归一化积 分和能量积分在椭圆体庐+ f 2 嘉2 1 中进行。通过分开波函数的相位和模，加入 弹性能量，可以得到 俺：釜 嘉一m 2 叩卯 州i = 1 白+ 詈筹) + 登( v 盼隅，) 】 一勰r ) 1 2 【券一( 笔) 2 1 i l 警+ 磅s 】 + 阮z t ( r ) 一p 】l ( r ) | 2 + 去9 i 皿( r ) 1 4 ( 4 ) 把方程( 2 ) 带入方程( 4 ) ，我们能够计算在形式 e = p o + 拦1 f 勺) + 筠，：1y ( 勺，) 掣 一 卸 p 孝 一 盈 乃 触 2n 门p 5一 h 卜 op = 舻 下系统每个粒子的总能量。这里自拒l i ，1 勺) 通过对涡流7 在哈密顿卺厦力柽4 卜 积分，j 和j 涡流之间的相互作用能v ( s ，叩) 由交叉项；，姆够：如- 推导出 来，i v o j l 2 项的积分在涡流的中心发散。通常是在再2 毛+ n 处截断由于 o 邑l ，对于而 。( 1 0 )丽一u 翮爵驴户u w 我们能够算出第? 个涡流的矗0 和，的值。通过方程( 3 ) ，化学势p 仅能够在每个涡 流的向，和王 都预先确定了的情况下才能够得到。所以，计算是解具有未知积分上 限的积分方程精，在考虑到对化学势p 的自洽计算后，驱动力q 的最小能量方程依 赖于涡流数量，、涡流构型、涡流间距离刍、涡流核半宽度专f 和弯益参数豫。假设 无量纲的涡流晶格的弯曲率是k ，通过式子锄= 勘爿。，可以得到 u ( r j ) z 丢舷k 而碍。这意味着涡流的弯曲发生在凝聚的边界上。在下每中，我们 将计算最小g r o s s - p i t a e v s k i i 能量e ( n v ，b ，蟹f ，岛) 作为q 的函数变化的情况。 8 第三章结果与讨论 涡流的许多实验都是在适当的凝聚体粒子数下进行的，在下面的计算中，我们 分别考虑了p = 1 0 0 ，5 0 0 ，1 0 0 0 的情况。原则上，形成涡流格子要求元胞在空间上无限 的扩展。在我们所考虑的有限的涡流和凝聚尺寸情形下，涡流格子的概念对大量涡 流来说是一个很好的近似。 因为我们考虑两个涡流的相互作用，计算量是按涡流的数量以几何级数增长的。 为了克服这个困难，我们首先考虑了几个涡流的情形，这种情形与格子的概念几乎 不相关，但计算起来更简单，因此能够在更大的参数范围内对体系构型进行更深入 的研究。接着在小的参数范围内，对于固定的六边形元胞构型，分别在多而有限的 涡流数目情况下研究，涡流的数目的改变对旋转频率的影响。 在图1 和图2 中的曲线分别显示了总能量e 和相互作用能v 与两个相邻的涡流的 距离b 之间的关系。自能矿决定了定态的构形。对不同的q ，最小的e 对应一系列 札，b 和乒。当距离足够近时，相互作用会出现对数发散。在有限距离下只有排斥 作甩，由于边界条件的影响，在超过某一个距离后，相互作用会变成一个轻微的吸 引作用。 7 7 7 7 e 卜厂 、 o s l1 5： v b 图1 其中图1 中总能量e 和距离b 分别以a q 和墨作单位，给定参数 q = o 4 7 ，五= l ，p = l o o 。图2 中相互作用能矿和距离6 分别以壳q 和墨作单位，给定 参数与图1 相同，也为q = 0 4 7 ，五= 1 ，p = 1 0 0 。 9 o o o o o o v b 图2 3 1 临界频率( 玑5 1 ) 临界频率g 被定义成一个旋转频率，在此频率之上，单独的涡流能得到比没有 涡流凝聚体更低的能量解 2 0 】。从在j ，= o 的条件w = 0 ，我们得到 k “上= ( s q 4 0 6 1 0 ( 1 5 ) , p ) 一2 鼍3 1 n ( 2 a 自一2 十t n 2 对于不同的p = 1 0 0 ，5 0 0 ，1 0 0 0 ，计算可得到知上= 0 5 2 0 ，0 , 3 , 5 2 ，0 2 8 9 ；另一个给出 的频率【2 0 】是在频率q 蚍b 之上，涡流有局部能量最小值。从在j ，；0 的条件 d 夕笔2 0 ，这等价于曦鼬弦上2 弘。劫j ( 1 融p ) q ，5 f 3 n ( 1 胡一5 2 十1 n 司，因 此对于不同的p = 1 0 0 ，5 0 0 ，1 0 0 0 ，有q 毹n 5 叫= 0 3 4 6 ，0 2 1 7 ，0 , 1 7 5 。在极限 专。下，q 一= g 与【1 2 】中所预测的一样。临界频率非常接近 2 0 】和 4 5 】提到 的值。 3 2 几个涡流的情形( 见= 2 7 ) 在旋转频率q 下，存在玑个涡流时体系的局部能量最小值可以通过三维变分办 法来计算。交分参数分别是t f 单位的石，涡流的曲率朋铂涡芯的半宽度f 。因为我 们考虑的情形都是规则的涡流晶格，涡流的位置完全由它们的间距决定。比较一定 数目下的涡流( 从2 到7 ) 构型下体系的局部能量最小值，最小的一个就是体系的整 体能量最小值，它决定了在给定的旋转频率q 下实际的涡流数目、构型和曲率。 为了得到在不同的驱动频率q 下凝聚体中涡流的数目，在图3 中，我们分别画出 1 0 了在m = 2 ，3 ，4 ，5 和不同的驱动频率q 下，体系的整体能量与涡流间距i 的关系图。 其中给定参数五= 1 2 ，p = 2 5 0 。其中q = 0 2 1 0 的实点线( 从下至上) 分别表示为 m = 2 ，3 ，4 ，5 的情形。 o2 0 s oe0 2 0 鲔e0 2 0 铀0o 2 0e o 9 e o e0 2 0 s 0 o2 0 5 0 口 t 麓 隆 辫 。 妙 切 昏o 2 s e 圣一o 2 y o 0 o 埠e q - 0 、 o 口 o 2 8 go 2 0 讣o 靳j0 2 - o0 o eo ，2 0 g o 0 ，铀，# b f i g ，3 ：l o c a le n e r g y ( n e 黻m i n i m a ) i nu n i to f 壳w 上v st h e d i s t a n c ebi nu n i to fr 上w i t ha = l 2 ，p = 2 5 0i nt h ed i f f e r e n t d r i v i n gf o r c e sq i nt h ee v e l 5 rr e g i o n ，t h et h i c kl i n e ，t h i nl i n e ， s m a l ld o t l i n ea n dl a r g ed o t - l i n ea r ec o r r e s p o n d i n gt o 眠= 2 ， 3 。4 ，a n d5 ，r e s p e c t i v e l y 图3 中每一个分离的矩形区域对应不同的驱动频率q 下体系的情形。因此，每个 矩形区域中最低的点( 也就是整个体系能量最小值) 不仅告诉了我们在此旋转频率q 下，b e c 体系所包含的涡流数目，还自洽地决定了在固定的构型下涡流的分离情况。 不断增加旋转频率q ，重复上述过程，我们发现涡流会随着q 的增加一个接着一个 地出现。另外，对于有肌个涡流的情形，只有当体系的局部最小能同时又是整个体 系的最小能时，它才会小于体系在l ，+ 1 和l ，一1 时的局部能量最小值。 对于涡流数目大于3 的情况，因为外部的势场和驱动都是轴对称的，只允许两个 不同的构型。它们分别在图4 7 中画出【4 9 】。从图4 ，5 和6 ，对于m = 4 ，5 ，6 ，它们的 构型分别都有一个涡流位于中央，其余涡流在一个圆周上环绕。对于任何的旋转频 率q ，在相同的p 下，这种构型都有比另外一种构型更高的局部能量最小值，因此 不够稳定。而这种情况在涡流数目不少于7 个的时候出现例外，这时候中央没有涡流 的构型是一个最稳定的构型。 i s f i g 。4 ：l e r ：f o u rv o r t i c e sf o r m i n gas q u a r e r i g h t ：o n e v o r t e xi nt h ec e n t e ra n dt , h r e ev o r t i c e sf o r m i n ga ne c t u i l a t e r m t r i a n g l e e n e r g yd i f f e r e n c eb e t w e e nl e f ta n dr i g h t e = e l e n = - 0 0 3 1 h w 上w i t ha = 1 ，p = 5 0 0a n dq = 0 2 6 f i g 。5 ：l e f t ：f i v ev o r t i c e sf o r m i n gap e n t a g o n a ll a t t i c e ， r i g h t ：o n ev o r t e xi nt h ec e n t e ra n df o u rv o r t i c e sf o r m n g as q u a r e e n e r g yd i f f e r e n c eb e t w e e nl e f ta n dr i g h ta e 。 - 0 0 2 9 r 甜上诵t h 入= 1 ，p = 5 0 0a n dq = 0 2 9 1 2 f i g ，8 ：l e f t ：s i xv o r t i c e sf o r m i n gah e x a g o n a ll a t t i c e r i g h t ： o n ev o r t e xi nt h ec e n t e ra n dt h r e ev o r t i c c 嚣f o r m i n gg i ne q u i - l a t e r a lt r i a n g l e e n e r g yd i f f e r e n c eb e t w e e nl e f ta n dr i g h t l x e = - - 0 1 2 2 h 一, 上w i t ha = 1 jp = 5 0 0a n dq = 0 。3 5 。 f i g 。7 ：l e f t ：s e v e nv o r t i c e so nac i x - | c l e 。r i g h t ：o n e 、, o l t j e x i nt h ec e n t e ra n ds i xv o r t i c e si n8h e x a g o n a ll a t t i c e e n e r g y d i f f e r e n c eb e t w e e nl e f t , m a dr i g h t e = + o 。0 t 6 h w 上w i t ha = 1 ，p = 5 0 0a n dq = o 6 1 。 对于。；7 ，具有一个位于中心的涡流的构型形成的六边形如图7 ( 右图) ， 比七个涡流围绕成一圈的构型如图7 ( 左图) 的局部能量最小值要更低，稳定的构 型表明涡流在均衡状态下将形成由最少数目的涡流组成的正多边形格子。 3 3 多个t 呙t l l l 情况( 甄21 0 ) 我们假设局部能量的最小值和系统全局能量的最小值之闯的关系对于多个涡流 是一样的，所以我们能够通过比较k 1 个和藏，+ 1 个而不考虑其他涡流数目的涡 流，决定系统温流的数目冠，( 尽管曲率爵j 和涡芯半宽度f 的计算是自洽的) ，这样 节约了计算时间。 对于最终稳定的状态，我们被局限于计算冈好完全填入晶格的涡流的b e c 。我们 仅研究三角形状的品格，为了逼近现实情况，考虑到涡流的有限数目、有限尺寸和 弯曲。通过比较凝聚体中不同涡流数目的局部能量最小值，我们在图8 中，画出在 不同的p 情况下，作为q 的函数的涡流数目。这个结果与实验和数值结果相一致。 明显地，在相同的旋转频率下，更大的凝聚体更容易得到更多的涡流数。 在图9 中，我们表示了涡流平均半宽度( 以r 上为单位) 随旋转频率q 的交化 而变化。当q 比较小时，q 的增加使得的降低与一般的估计趋势一致。然而当q 比 较大时，q 增加反而亦增加，表明了边界效应的影响。当，增加时( 兢，n i 表 示涡流数目m ，与粒子数目n 的比) ，在涡流扩展到凝聚体的边缘时，粒子密度非常 小，涡芯半宽度i ；趋向于增加。进步说，涡流的有限个数和边界的有限效应都能 导致在能量最小的计算中， i r i v j 。 f i g ，8 ：e s t i m a t e dn u m b e ro fv o r t i c e si nb e c sv st h ed i m e n s i o n l e s sr o t a t i o nf r e q u e n c s qw i t h = 1 2 t h el o n g - d a s h e d ：s o l i da n ds h o r t - d e , s h e dl i n e sa r ec o l y e s p o n d i n gt o p = 1 0 0 5 0 0 ，a n d1 0 0 0 ，r e s p e c t i v e l y 1 4 o 。0 0 2 o 0 0 1 o 0 0 1 q f i g 9 ：t h ea v e r a g ev o _ r t e xc o r ew i d t hfi nu n i to f 露lv st h e r o t a t i o nf r e q u e z t c yqw i t h 入= l ，p = 5 0 0 3 4 弯曲效应 为了使系统的能量最小化，在囚禁的凝聚体中，涡流沿着z 方向的曲率应该不 等于零。在其他不变的情况下，弯曲涡流比直的涡流的能量更低。在圈1 0 中，我 门 画出了涡流的形状。进一步说，围绕囚禁势中心的涡流弯曲与 2 0 的模拟相一致。 尽管当我们研究弯曲的涡流线时，他们的间距b 比直的涡流线的移要略微大些，仍 然有：7 【琏6 2 j ，这正是涡流有限数目和有限尺寸的效应。 z r r y 行 2 1 飞 k 1 y 皇 x l k y f i g 。1 0 ：s h a p eo ft h ev o r t e xl i n e sa l o n gt h ez d i r e c t i o ni l lu n i t o fr t fi nt h ex - a x i sw i t hy = 0 ，q = 0 8 ，a = 0 3 ，p = 1 0 0 0 ， a n db = 1 3 第j 个涡流的曲率是岛2 巧码足，无量纲平均涡流线曲率是 k 芎击拦1 玛，其中工。是涡流晶格在囚禁势中心附近的排列数量。图1 3 中，我们表示了涡流线平均无维曲率对应旋转频率u 的变化。曲率一开始是 增加的，随后在计算的范围内当v 增加时降低。这表明只有当涡流数目很小或者足 够大时，直的涡流线才能是比较好的近似。当然，涡流的弯曲出现在边界上，位置 既在涡流线的末尾，又在掌f 值最大的地方。 1 k q f i g 1 1 ：t h ed i m e n s i o n l e s sc u r v a t u r eo fv o r t e x 王i | ：l e s kv 8 t h er o t a t i o nf r e q u e n c yq w i t ha = 1 2 ，p = 5 0 0 1 6 第四章结论 本文研究了在三维的玻色一爱因斯坦凝聚中涡流的构型。采用简单的变分法，在 现有结果 4 9 的基础上，重点研究涡流的曲率、有限个数和有限尺寸效应。本文计 算出作为旋转频率函数的涡流其最小能量的构型，得到涡流的数目、三维的构型和 涡流线自洽的曲率。涡流有限尺寸和有限个数的效应表明：计算的涡流数日比以砂 平面面积和单个涡流在x y 平面中占据的面积比值估计出来的数目要小。当a 1 时，由涡流的弯曲效应导致的涡流晶格的略微扩展使得计算的涡流数目与以彬平面 面积和单个涡流在平面中占据的面积比值估计出来的涡流数目之间的差减小。 本文解释了弯曲的涡流线和三角构型的涡流晶格的实验观察结果。本文的研究 方法为合适地决定系统某个重要的性质，比如在不同旋转频率下考虑涡流线数量和 形状的效果时的涡流数目、曲率和构型，提供了一个有效而简单的工具。对涡流晶 格的形成和g r o s s p i t a e v s k i i 方程在三维囚禁且旋转的玻色一爱因斯坦凝聚体中的 理论有待进一步的研究。 1 7 参考文献 【l 】m r ，m a t t h e w se la 1 ，p h y s r e v l e t t 8 3 ，2 4 9 8 ( 1 9 9 9 ) ， 【2 】k w m a d i s o n ，ec h e v y , w w o h l l e b e n ，a n dj d a l i b a r d ，p h y s r e v l e t t 8 4 ，8 0 6 ( 2 0 0 0 ) f 3 】b pa n d e r s o n ，p c h a l j a n ，c e w i e m a n ，a n de a c o m e l l ，p h y s r e v l e 幢8 5 ，2 8 5 7 ( 2 0 0 0 ) ， 【4 】e h o d b y , c th e e h e n b l a i k n e r , s a h o p k i n s ，o m m a r a 9 6 ，a n dc j f o o t , p h y s r e v l e t t 8 8 ， 0 1 0 4 0 5 ( 2 0 0 2 ) 【5 】b p a n d e r s o ne ta 1 ，p h y s r e v l e f t8 6 ，2 9 2 6 ( 2 0 0 i ) ， 【6 】z d u a o n ，m b u d d e ，c s l o w e ，a n dl v h a u ，s c i e n c e2 9 3 ，6 6 3 ( 2 0 0 1 ) 【7 】k wm a d i s o n ，f c h e v y , vb r e l i n ，a n dj d a l i b a r d ，p h y s ，r e v l e t t 8 6 ，4 4 4 3 ( 2 0 0 1 ) 【8 】p c h a l j a n , i c o d d i r g t o n ，pe n g e l s ，a n de a c o m e l l ，p h y s r e v l e t t 8 7 ，2 1 0 4 0 3 ( 2 0 0 1 ) 【9 】j r a b o - s h a e e r , c r a m a n ，j m v o g e l s ，a n dw k e t t e r l e ，s c i e n c e2 9 2 ，4 7 6 ( 2 0 0 1 ) 【1 0 1p e n g e l s ，i c o d d i n g t o r t , p fc h a l j a n ，vs c h w e i k h a r d , a n de a c o m e l l ，p h y s r e v l e t t 9 0 ， 1 7 0 4 0 5 ( 2 0 0 3 ) 【l l 】l c o d d i n g t o n ，p e n g e l s , v s c h w e i k h a r d ，a n d e a c o m e l l ，p h y s r e v l e t t 9 1 ，1 0 0 4 0 2 ( 2 0 0 3 ) 1 2 】a l f e a e r a n d a a s v i d z i n s k y , j p h ”：c o n d e n s 。m a r e r l 3 ，r 1 3 5 ( 2 0 0 1 ) 【1 3 ) a j l e g g e t t ，r e v m o d p h y s 7 3 ，3 0 7 ( 2 0 0 1 ) 【1 4 】d s ，r o k h s a r , p h y s r e v l e t t 7 9 ，2 1 6 4 ( 1 9 9 7 ) 【1 5 】a a g v i d z i n s k y a n d a l f e r e r ，p h y s r e v a 5 8 ，3 1 6 8 ( 1 9 9 8 ) 1 6 l a l f e a e gj l o w t e m p p h y s 1 1 3 ，1 8 9 ( 1 9 9 8 ) 【1 7 】ed a l f o y oa n ds s t r i n g a d ，p h y s r e v a5 3 ，2 4 7 7 ( 1 9 9 6 ) 1 s 】凡j ，d o d d ，k ，b u r n e t t , m e d w a r d s ，a n dc wc l a r k , p h y s r e v a5 6 ，5 8 7 ( 1 9 9 7 ) 【1 9 】j j g a r c l a - r i p o l la n dv m p & e z - g a r c i a , p h y s r e v a6 0 ，4 8 6 4 ( 1 9 9 9 ) 【2 0 】y c a s t i na n dr d u m ，e u r p h y s j d7 ，3 9 9 ( 1 9 9 9 ) 【2 1 1a l f e t t e r , p h y s r e v a6 4 ，0 6 3 6 0 8 ( 2 0 0 1 ) 【2 2 】u r f i s c h e ra n dgb a y m ，p h y s r e v l e 仕9 0 ，1 4 0 4 0 2 ( 2 0 0 3 ) ， 【2 3 1t - l h o ，p l a y s r e v l e t t 9 7 ，0 6 0 4 0 3 ( 2 0 0 1 ) 【2 4 】m c o z z i n ia n ds s t f i n g a r i ，p h y s r e v a6 7 , 0 4 1 6 0 2 ( r ) ( 2 0 0 3 ) 【2 5 1 g b a y m ，p h y s r e v l e a 9 1 ，1 1 0 4 0 2 ( 2 0 0 3 ) 2 6 】d a b u t t sa n dd s r o k s h a r , n a t u r e ( l o n d o n ) 3 9 7 ，3 2 7 ( 1 9 9 9 ) 【2 7 】e j m u e l l e ra n dt - l h o ，p h y s r e v l e t t 8 8 ，1 8 0 4 0 3 ( 2 0 0 2 ) 【2 8 l t k i t a , t - m i z u s h i m a , a n d k m a c h i d a , p h y s ，r e v a 6 6 ，0 6 1 6 0 1 ( r ) ( 2 0 0 2 ) 2 9 】kk a s a m a t s u ，m t s u b o t 丑a n dm u e d a , p h y s r e v a6 6 ，0 5 3 6 0 6 ( 2 0 0 2 ) 【3 0 1t p s i m u l a , s m m ，v i