（应用数学专业论文）时滞微分方程组的数值hopf分支分析.pdf

摘要 时滞微分系统普遍存在于从自然界到人类社会、从自然科学与工程技术到社会科 学的各个学科领域内，深入研究时滞微分系统的动力学特性不仅对认识这些方程本身 具有重要的意义，也会对其它学科领域的研究起到促进作用，其理论与数值研究都是 十分重要的 分支行为往往是由系统中的奇异行为引起的，常发生在依赖于参数的系统中h o p f 分支是一类重要的分支行为，其描述了当参数历经临界点时，系统从平衡状态衍生出 周期解的现象对系统h o p f 分支的研究包括分支的存在性、分支的参数值、分支的稳 定性等 本文主要研究求解依赖于参数的非线性时滞微分系统 y ( f ) = 厂( j ，( f ) ，y ( t - 1 ) ，口) ，y r 4 ，口r 的r u n g e - k u t t a 方法对原系统的h o p f 分支的保持性问题 文中对f ( x ，y ，口) 作了如下假设：f ( x ，y ，口) c p “( 畎。豫4 r ，硬4 ) ，且存在口，以 及瑾的某个邻域8 ( a ) ，有f ( o , o , o t ) = 0 ，v 口ea ( a ) 由于所讨论的数值方法为隐式 r u n g e k u t t a 法，本文利用k r o n e c k e r 积给出其一般形式，并利用函数，y ，口) 的光 滑性及矩阵计算技巧得到数值方法特征方程的显式表达式，进而利用构造的辅助矩阵 与原系统特征方程的矩阵形式进行对比分析，获得了r u n g e - k u t t a 方法的特征根结 构最后利用映射的h o p f 分支理论，证明了若原系统在口处产生h o p f 分支，则当步 1 长h = 二咖z + ) 充分小时，r u n g e - k u t t a 方法也存在h o p f 分支，且分支参数满足 m = 口+ + o ( h ) ，p 为r u n g e k u t t a 方法的方法阶 关键词：时滞微分方程组；h o p f 分支；r u n g e k u t t a 方法 a b s t r a c t t h ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m sa r ew i d e l ya p p l i e di nv a r i o u sf i e l d st h a te x i s t e di nf r o m n a t u r a lw o r l dt oh u m a nb e i n gs o c i e t y , f r o mn a t u r a ls c i e n c ea n de n g i n e e r i n gt e c h n i q u et ot h e s o c i s c i e n c e i ti sm e a n i n g f u lb o t hf o rt h es y s t e m st h e m s e l v e sa n dt oi m p r o v et h es t u d i e s o no t h e rs c i e n c et oc a n - yo u tad e e p l yr e s e a r c ho nt h ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h e t h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a lr e s e a r c h e so nt h es y s t e m sa r ev e r yi m p o r t a n t h o p fb i f u r c a t i o n , a sak i n do fi m p o r t a n tb i f u r c a t i o nb e h a v i o r , i sg e n e r a l l yo c c u r r e d s i n c et h es i n g u l a rb e h a v i o ro ft h es y s t e m sw h i c hd e p e n do nt h ep a r a m e t e r s ，w h i c hd e s c r i b e s t h a t t h ep h e n o m e n o no ft h ep e r i o d i cs o l u t i o nd e r i v e df r o mt h ee q u i l i b r i u mw h e nt h e p a r a m e t e rp a s s e st h r o u g hs o m ec r i t i c a lv a l u e t h e r ea r et h r e eq u e s t i o n sw i l lb ed i s e u s s e d , t h ee x i s t e n c eo ft h eb i f u r e a t i o n , t h ed i r e c t i o no ft h eb i f u r c a t i o na n dt h eb i f u r c a t i o n p a r a m e t e rv a l u e c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hp a r a m e t e r y ( f ) = 厂( y o ) ，y ( t - 1 ) ，口) ，y r 8 ，口r( 1 ) a n dt h ec o r r e s p o n d i n gr u n g e k u t t am e t h o d i nt h i sd i s s e r t a t i o nw ew i l lc o n s i d e rt h a t w h e t h e rt h en u m e r i c a ls o l u t i o nd e f i n e db yt h er u n g e - k u t t am e t h o dc o u l d p r e s e r v et h eh o p f b i f u r c a t i o no f t h eo r i g i n a ls y s t e m ( 1 ) o rn o t w ea s s l u n et h a t f ( x ，y ，盯) c + 1 ( 酞4 豫”x r ，r ”) ，a n dt h e r ee x i s t sa n 口a n di t s s o m en e i g h b o r h o o d8 ( a ) ，t h e r eh o l d sf ( o , o ，口) = 0 ，v e t 占( 口) w eu s ek r o n c c k e r p r o d u c tt og i v eo u tt h eg e n e r a lf o r mo f t h er u n g e - k u t t am e t h o ds i n c ei ti si m p l i c i t ，a n db y t a k i n ga d v a n t a g e so ft h es m o o t h n e s so ff u n c t i o nf ( 工，) 口) a n dt h es k i l l so fm a t r i x c o m p u t i n g ，w ef i n a l l yo b t a i nt h ee x p l i c i tf o r mo ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n f u r t h e r m o r e ， b yt h ed i r e c tc o m p a r i s o na n da n a l y s i sb e t w e e nt h ea u x i l i a r ym a t r i xw ei n t r o d u c e da n dt h e m a t r i xw h i c hf o r m st h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h eo r i g i n a ls y s t e m , w eo b t a i nt h e c h a r a c t e r i s t i cs t r u c t u r eo ft h er u n g e - k u t t ad i s e r e f i z a t i o n f i n a l l y , w e , b yu s i n go ft h eh o p f b i f u r c a t i o nt h e o r yo f m a p ，p r o v e dt h a ti f t h es y s t e m ( 1 ) h a sah o p f b i f u r c a t i o na t 口，t h e n t h e r ew i l lb eah o p fb i f u r c a t i o no c c u r si nt h er u n g e - k u t t am e t h o dw h e nt h es t e ps i z e l = 二( m z + ) i ss m a l le n o u g h , m o r e o v e rt h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r 口 = 口+ o ( h 9 ) ， w i t l lpi st h eo r d e ro f t h er u n g e - k u t t am e t h o d k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；h o p f b i f u r c a t i o n ；n u m e r i c a lm e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：遗厶。筮。日期：迦2 ： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：遁堡垒盘、指导教师签名： 日 期：塑丑：j 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 磐 第一章绪论 描写客观世界中特定的系统状态随时间的发展( 演化) 过程的微分方程( 组) ，称为 微分动力系统如果系统状态的发展( 演化) 不仅依赖于系统当前的状态，同时也依赖 于过去某些时刻或时间区段的状态，则称此类动力系统为时滞微分动力系统，描写此 类系统的微分方程则称为时滞微分方程与常微分动力系统相比较，它描述客观事物 要更深刻，更丰富 从自然界到人类社会，从自然科学、工程技术到社会科学，时间滞后现象无处不 在，因而在各个学科领域内都存在着大量的时滞微分动力系统问题，例如星系演化“1 、 光学嘲、机械嘲、传染病动力学啪、航空航天、燃烧力学附、植物学嘲、神经网络”、 激光、电子电路、信息技术，甚至在经济学领域叫包括商业销售问题、运输调度问题嗍、 工业生产管理等 深入研究时滞微分系统的动力学特性不仅对认识这些系统本身具有重要的意义， 也会对自然科学、工程技术和社会科学等研究领域的研究起到促进作用 时滞微分方程因其时滞项的存在，与常微分方程相比，其描述客观事物更精确由 于科学的发展，在各个学科领域内，人们对被控系统动力学行为的要求越来越精确化， 因而时滞系统的时滞项也就显出其重要的地位以往忽略时滞项的解决方法虽然也解 决了很多难题，但是已经越来越不满足现实生活的需要 考虑时滞微分方程 j y ( f ) = f ( t ，y o ) ，) ，o f ) ) ，t t o 1 y ( f ) ；哟) ，t f 。 其中f 为时滞，y e r 4 时滞量可以依赖于时间t 和现在的状态，因而可以记为 f = r ( t ，) ，o ) ) 若f 为正的常数，则称方程为常时滞微分方程( 微分一差分方程) 如果 方程的右端函数不显含t ，则称此时滞微分方程是自治的 上述微分方程是比较普遍的，也是学者们早期关注的对象，并取得了一系列的成 果这些成果形成的理论部分汇集成著作“o ，读者可以从中了解和学习方程的基本理 论，以便掌握这一领域的研究方向和主流 分支( b i f u r c a t i o n ) 理论是动力系统理论的一个很重要的研究方向微分动力系 统的分支行为是一类非线性现象，它往往是由系统中的奇异行为引起的，反映的是流 形的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变化，其形态也是多种多样的由于它不仅 在数学理论上而且在实际应用上都有较大的意义，因而一直受到数学家的广泛关注， 在某些方面甚至可以追溯到p o i n a r d 时代近半个世纪以来，对时滞微分方程分支理 论的研究已有很大的进展“” 1 在各种分支现象中，h o p f 分支问题是时滞微分系统分支理论研究的主要问题之 一所谓一个系统产生h o p f 分支，即当参数经历某一临界值时，系统奇点的稳定性发 生翻转，在奇点附近出现周期解的现象h o p f 分支所解决的问题包括以下三个方面 ( 1 ) 分支的存在性，即是否存在周期解； ( 2 ) 分支方向，即在参数空间的什么范围内存在分支； ( 3 ) 分支的稳定性，即如果存在周期解，其稳定性如何 关于这三个方面的问题研究的文献很多“”，然而，主要研究方法不是很多，归 纳起来不外乎如下六类“1 ： 1 中心流形定理和规范型理论： 2 离散l y a p u n o v 泛函和不变流形理论； 3 弧长路径跟踪算法； 4 特征函数法； 5 多尺度法和i h b 方法； 6 摄动一增量法 与常微分方程相比，时滞微分方程的初值函数并非简单的初值，它在刻画一种变 化过程时既考虑了现在又考虑了历史一般来说，对于时滞微分方程，很难求出其解 析解的表达式，而数值解的研究可以极大地丰富解析解的相关理论，因此，时滞微分 方程的数值处理方法研究广受学者关注 事实上，求解时滞微分方程的数值解时，基本上都沿用已有的常微分方程数值方 法“，但是困难在于怎样处理时滞项因此，学者们大都采用常见的单步法 ( r u n g e - k u t t a 法) 或是线性多步法并用某种插值程序处理时滞项来求解时滞微分方 程 国际上对时滞微分方程的数值处理兴起于二十世纪七十年代中期，在这之前只有 少数的几篇论文发表，随后，更多的学者对这类方程产生兴趣，在二十世纪八十年代 掀起一个研究高潮并得到了很多可喜的成果，在一些著作中，常有针对时滞微分方程 数值方法的各类稳定性研究“7 “ 国内的学者在二十世纪九十年代才初步涉足这个领域，但是也有一定的成果刘 明珠。”教授是早期进入这一研究领域的学者之一，并为时滞微分方程数值分析做出了 奠基性的工作 在数值求解时滞微分方程时，数值离散格式能否保持原方程解的动力学行为性质 是一项值得研究的课题，越来越受到相关学者的重视近年来，与数值方法的稳定性 研究工作相比较，虽然此类工作开展较少，但也有部分重要结果公开发表潞堋 例如一阶时滞微分方程 y = 一_ y ( f 一1 ) ( 1 - y 2 0 ) ) ( 1 1 ) 已知当参数五= 鲁时，该方程的零解经历h o p f 分支 z k o t o o ”利用中心流形约化和n e i m a r k s a c k e r 分支定理研究了e u l e r - 方法对该时 2 滞微分方程h o p f 分支的保持性问题，证明了在a = 2 m s i n 互i 三i 三百处有数值h o p f 分 支产生，并且 a = 要+ d ( ) ，_ j i = 三，埘z + f o r d 和w u l f 在文汹明中，研究了d 分划法对用线性多步法得到的线性时滞微分 方程 j ，7 ( f ) = a y ( t - 1 ) ，t 0 ，y r 离散格式的特征根对原方程特征根的逼近问题，同时也说明了只要步长足够小，对有 h o p f 分支的上述方程，其离散形式也具有h o p f 分支，并且原方程的h o p f 分支值与 离散方程的h o p f 分支值矗满足五= + d ( h ) f o r d 和w u l f 嘲也用e u l e r 法对一阶时滞微分方程 j y 7 ( f ) 2 厂o ，y o ) ，y ( t f ) ) ，f f o ，( 1 2 ) 【y ( f ) = 口，( f ) ， - - t t so ，f 0 的h o p f 分支进行了研究，证明了如果原方程在五= 处产生h o p f 分支，则当步长 h = 三伽z + ) 充分小时，数值方法得到的数值h o p f 分支值为 = 2 + d ( 矗) 国内的学者张春蕊对这方面的关注较多 张春蕊汹1 着重研究了r u n g e - k u t t a 法对具有h o p f 分支的时滞l o g i s t i c 微分方程 式的数值逼近问题，并证明了r u n g e - k u t t a 法得出的数值解在 五= 一三+ d ( ) ，o = 去，州z + ) 处也产生h o p f 分支 而且张春蕊嘲也曾利用e u l e r 法研究过含参数二维时滞微分方程组 y o ) = ，( j ，( f ) y ( t - 1 ) ，a ) ，y r 2 的数值h o p f 分支，并证明了如果原方程在五= 处产生h o p f 分支，则数值方法得到 的h o p f 分支值为 = - i - o ( h ) 张春蕊伽还在其博士论文中利用r u n g e - k u t t a 方法研究了一阶时滞微分方程( 1 2 ) 的数值h o p f 分支，并证明了在原系统h o p f 分支存在的条件下，其数值h o p f 分支也存 在并且分支值满足五= + o ( h ) ，其中p 为r u n g e - k u t t a 方法的方法阶而且研究了 特殊的r u n g e - k u t t a 方法一一梯形方法对一阶时滞微分方程( 1 i ) 零解的数值稳定性 分析，求出了数值h o p f 分支值，并证明分支值以方法阶2 逼近原方程的h o p f 分支值 而且用线性多步法对具有h o p f 分支的方程( 1 2 ) 进行了分析，并证明在原方程h o p f 分支存在的条件下，其数值h o p f 分支也存在并且数值h o p f 分支满足五= r + d ( 矿) ， 其中p 为线性多步法的方法阶并且文中有对二维时滞微分方程组的研究，由于方程 组的维数较低，故所采用的方法是将其特征方程展为方程式，进而利用研究一阶时滞 微分方程的方法进行研究 综观已有的文献，学者们在研究数值格式对时滞微分方程分支问题的保持性问题 时，经常用e u l e r 法、口一方法和r u n g e k u t t a 法、线性多步法等，对时滞微分方程式 的h o p f 分支问题的保持性研究取得了很大的成果，但是关于高维时滞微分方程组的 h o p f 分支问题的文章却仅见于o ”，作者用e u l e r 法研究了时滞微分方程组的数值h o p f 分支问题然而。关于r u n g e - k u t t a 法对时滞微分方程组的h o p f 分支的保持性研究， 却并未见相关的文章公开发表本文将对这一问题展开研究工作 4 第二章预备知识 2 1 时滞微分方程基本理论 考虑自治的单时滞微分方程 ；黔嚣呐。吖卜m ”呦- - g 曩0 泣， 【y ( f ) = ( f ) ， s f s 7 其中( f ) 是给定的连续初值函数，y r “，f o 为常时滞量，f ：r “r ”一r “满足 作变换t = r s ，可把( 2 1 1 ) 化为自变量为j 、时滞量为1 的方程 i dy ) = f 匆细) + r b y ( r ( s 1 ) ) + ( y ) ，) ，( f o 1 ) ) ) ( 2 1 3 ) 注意到变换r = 钾对时滞微分方程解的性质不产生实质性影响，可见对于方程( 2 1 1 ) 的研究不妨假定时滞量f = 1 因此，在本文中出特别声明之外，总是假定f ：1 删= 融挚 亿， 则节( 印为卜1 ，o 】上的厅一有界变差矩阵值函数再令c r ，= ( y ( 卜l ，o 】，彤) 为卜1 ，o 】到职一 上的p 次可微连续映射构成的b a n a c h 空间，当p = o 时，记为c = c ( 卜1 ，0 】，酞) 其中， 范数l | i i 定义为 = 旦戮i 矿( 酬，v c 此处i 1 表示孵上某取定的范数 印= 勿( 即徊) 再定义咒( 矽) = 川+ 回，v 曰 一l ，o 】，则只c ，v t r 利用以上记号，可以将方 ，0 ) = 4 y ( f ) + b y ( t 一1 ) ( 2 1 5 ) 改写为如下滞后型泛函微分方程 y o ) = 如 ( 2 1 6 ) 则( 2 1 1 ) 可以写作 y ) = 上写+ ，( 五) ( 2 。1 。7 ) 线性滞后型泛函微分方程( 2 1 6 ) 的解定义了c 上的c o 半群 r o ) ，t 0 ) ，其无穷小生成 子彳：c 斗c 的定义如下 争= 矿 d ( 彳) = 矿c t ( 卜1 ，o 】，r 一) ：矿，( o ) = d 叩( 护) ( 曰) = 三以 2 1 8 另外，算子彳的谱由点谱构成，即盯( 彳) = 巳( 彳) ，且2 ( 彳) 的充要条件是：存在 q c r “、 o ，使得( 盯一工( p ”，) ) f = o ，这也就是说五需要满足 a ( 2 ) ：= d e t ( m 一工 ”i ) ) = d e t ( a i - a b e 一。) = o ( 2 i 9 ) 通常称( 2 i 9 ) 为时滞微分方程( 2 i 5 ) 的特征方程蚴 关于时滞微分方程( 2 i 5 ) 的特征值的分布，有如下引理 引理2 1 n 町对v r 酞，( 2 1 9 ) 至多有有限个根位于半( 复) 平面r e 五 r 2 2 时滞微分方程的h o p f 分支 考虑单参数的时滞微分方程 ，o ) = 彳( 盯) y o ) + 由( c z ) y ( f 一1 ) + ，o ，( f ) ，y ( t 1 ) ，口) ，t 0 ( 2 2 1 ) 其中f ( x , y ，口) ：r “x r 4 x r r 存在口及口。的某个邻域占 + ) ，满足，( o 0 ，口) = o ， o j ( o ，o , o o = o ，q 厂( o ，o ，搿) = 0 ，v c t 8 ( a 。) ，( 2 2 1 ) 可以写成 ，( f ) = 乞只+ 厂o ，口) ( 2 2 2 ) 这里 k ：c ( 【一l ，o 】，甜) 专r 4 由r i e s z 表示定理，存在分量均为有界变差函数的丹”矩阵 巩，口) ：卜l ，o 】呻孵 使得对所有矿c ( 一1 ，o 】，r 4 ) 6 厶= d ，7 ( 口，口m ( 印 ( 2 2 3 ) 则方程( 2 2 1 ) 的特征方程为 d a ( m - a ( a ) - b ( a ) e - 2 1 = o ( 2 2 4 ) 如果方程( 2 2 4 ) 的解满足下列条件： ( a 1 ) 存在口及口的某个邻域s ( a ) ，使得方程( 2 3 4 ) 有一对简单的共轭复根记 为 力q ) = ，7 q ) 士f 0 ) ，v a e 8 ( a ) 并且方程的所有其他根都有严格的负实部， ( f i 2 ) 刁( o ) = 0 ，口( o ) = m o o ， ( a 3 ) r ( o ) o 我们称当参数口历经o r 时系统( 2 2 1 ) 在零点处产生一个h o p f 分支 关于分支点附近的动力学行为参见“删 2 3 离散动力系统的h o p f 分支理论 定义2 3 形是e 中的开集，映射g ：w _ e 是连续可微的，则称g ，9 2 , 9 3 ，为一 个离散动力系统，也简称为离散动力系统g 若芽w 使得g ( 习= i ，则称i 为离散动力系统g 的不动点 设映射 工卜g ( x ，口) r “，口r ，弹2 ( 0 , o c + ) 是函数g 的不动点，即g ( o ，瑾) = 0 函数g 关于口的某个邻域艿( 盯+ ) 满足：当 口e j ) 时 ( a 1 ) g ( o ，口) = 0 ； ( a 2 ) 占( 口) = 皿g o , a ) ，d c t ( m 占 ) ) = 0 有一对简单共轭复根 2 = r ( c e ) e * 2 a 抽， 且， ) = l ， + ) o ，o ( a ) = o o ，其它特征值按模小于l ； ( a 3 7 ) 伊1 ( k = l ，2 ，3 ，4 ) 则称当参数球经历口时，映射g 在零点处产生h o p f 分支 7 关于离散系统的分支点附近的动力学行为参见嘶“1 2 4 矩阵k r o n e c k e r 积咖 在文中，还涉及一些代数知识，在本节做如下的简单介绍 定义2 4 设4 = ( 呀) r ，口= ( ) r ”，用表示4 的每个元素和b 数乘丽 1 6 v a f j m p x n q 矩阵，其块形式如下 一o b = 口l l b0 1 2 b c l l b a 2 l ba 2 2 b n 2 n 曰 ；i； a = l ba , , 2 b d m 曰 r ”。m 4 固b 称为a 和b 的k r o n e c k e r 积，也称为直积或张量积 注意，一般一固b 曰。彳，即矩阵的k r o n e c k e r 积不满足交换律 设x = ( 五，工2 ，矗) 7 ，_ ) ，= ( y i ，y 2 ，y 。) 7 r ”，根据k r o n e c k e r 积定义，有 x y 7 = 而y l而y 2x l y 。 工2 m 屯y 2 x 2 y 4 x n hx r y l x 。y t = x o y 7 通常称砂7 为向量工与y 的外积， k r o n e c k e r 积有如下性质。 1 ( d 爿) 圆b = a 固( 岱8 ) ，v 口r ，爿r 删”，曰r 9 ； 2 ( 4 + 口) o c = o c + b o c ，v ，b r ，c e r 脚； 3 彳o ( b + c ) = 4 0 b - i - 4 0 c ，v 爿r - x , b ，c r 耐。； 4 ( a o b x c o d ) = a c o b d ，w r “”，b r ”，c r “，d r ” 第三章r u n g e - k u t t a 方法对时滞微分方程组h o p f 分支的保持性 3 1 时滞微分方程组的h o p f 分支 考虑时滞微分方程组 y ( f ) = ，( ) ，o ) y ( t 一1 ) ，口) ，t 0 ( 3 1 1 ) 其中y e r 4 ，口e r 对方程( 3 1 1 ) 的基本假设为 ( h 1 ) 函数f ( x ，y ，口) c 川( r “x r 4 x r ，瞅) ，且存在口，以及口的某个邻域 占 ) ，有f ( o ，0 ，口) = 0 ，v 口艿( 口) 记昙，( o ，o , c t ) = a ( c t ) ，- - 吴 ，口) = 6 ) ，6 ) 均为n 栉实矩阵函数 o v y f ( o 0 a ( c t ) 利用上述记号可将方程( 3 1 1 ) 改写为如下形式 y ( f ) = 4 ( 口) y ( f ) + 6 ( 口) y ( f 一1 ) + ，( y ( f ) ，y ( t - o ，口) ( 3 1 2 ) 其中，f 为关于x , y 的非线性函数，满足f ( o ，o , o t ) = o ，且 d ( ) f o ，y ，口) l h o 0 ) = o ，v a e a ( a ) 从而( 3 1 2 ) 的线性化方程可以写作 ) ，( f ) = 口( c r ) y ( f ) + 6 ( 口) y ( f 1 ) ( 3 1 3 ) 其特征方程为 d e t d ( 2 ，口) = 0 ( 3 1 4 ) 喜中d ( 旯，c ￥) = ，t 一d ( 仃) 一b ( a ) e - 4 进一步假设方程( 3 1 1 ) 在口= 口处产生h o p f 分支，即 ，( h 2 ) 对v o t a ( a ) ，d e t d ( 2 ，口) = 0 有一对简单共轭复根屯( 口) = ，7 似) f 国 ) ， 且存在， 0 使d e t d ( 2 ，动= 0 的其它根a ( 口) 满足r e 2 ( a ) 0 ； 9 ( h 4 ) 矿五) 0 上述条件( h i ) 一( h 4 ) 保证当参数口经历口时，方程( 3 1 1 ) 在零解处产生一个h o p f 分 支 3 2 求解时滞微分方程的r u n g e - k u t t a 方法 采用j 磊p 阶r u n g e - k u t t a 方法p ，4 ，c ) 求时滞微分方程( 3 1 1 ) ( ；三，优z + ) m 的数值格式如下”1 j 1 4 = 以+ 口f 厂( ，彤一，口) ，i = l ，3 ，4 ： ( 3 2 1 ) j y 。= y 。+ b j f ( y ；，一，a ) j - j 其中喜= ，骞= 勺且有嘉屯巧一= 妻，七= ，2 ，一 由假设条件( h 1 ) ，对v 口6 ( a 。1 ，可将离散化( 3 2 1 ) 重新写作 甲= 以+ j i 主勺( 口以) 巧+ b ( a ) u - m + e ) ，1 f s “ ( 3 2 2 ) j = 以+ 岛( 口 ) 巧+ b ( o c ) y 7 1 + e ) 户l 其中，e = f ( f ，巧- - m9 口) 由于e 至少是二次的，则可舍去高阶项，得到r _ k 方法( 3 2 1 ) 的线性主部为 而( 3 2 3 a ) 可记为 i ”= 以+ j i 杰( 口( 口) f + b ( o o y 7 4 ) ，f ：1 ，s - 1 只+ ，= 只+ 窆( 口 ) 垮+ 6 ( 口) 夥一“) ，i y “= 占o ) _ + 甬一o 【4 ( 口) y 。+ 6 ( 口) 固y - ”】 其中占= ( 1 ，1 ) 7 ，a ( a ) ，b ( a ) r “。 丫 ( 3 2 3 a ) ( 3 2 3 b ) 令以= f l y , 4 ) 7 ，( 垮) 7 ，( f ) 7 ，只7 ) 7 ，以= ( ，日二，日：，) 7 ，则可将方程( 3 2 3 ) 改写为 l o k + l = g ( j ，膏，k “，口) 开0 ( 3 2 4 ) 这里g ( u ，v ，口) 是一个r 。“r ”。“。“r 寸r “。”1 的映射，在方程中新向量 k 。是隐式给出的，但是可以将方程整理为如下形式 d x + l = e x , 其中 d = pd dl ( ，+ 1 ) d ，e = md l ( j + 1 ) d o l ( 。o 0 k l + i ) d ( 3 2 5 ) p = 卜笼地誓l ，q = t ? 2 ， m 而彘射= 一矗彘。甜 式中d 代表q ( 1 + 1 h ( j + i ) 方程( 3 2 5 ) 进一步写为以。= 且k ( 行o ) ，即 以+ 。= d 4 五瓦 其具有特征方程 d e t ( , z l o + 1 x “) - d 一1 e ) = o ( 3 2 6 ) 这等价于 d c t ( 五d - e ) = 0 即 d e t h 砸三z 嚣刀篙纵篇2 = 0 营拟r 鬈h b 鸳蕊- 刀h b ：并篆澄捌= o i五“f 一 1o 口( 口) 】10 6 ( 口) 名“【( 兄一1 ) l 】j 营a e t ( 嚣 - h b ! 。跏a ( a ) - 一h b 鬻1高廿。 慨2 i 旯“ 0 6 ( 口)( a 1 ) l j 为了隶解方稗( 3 2 7 ) 。现给出以下引理 q 5 l 埋3 2 r ”砹矩拌以。，占。，c 。，上。为兴矩陴 l 。若4 非奇异，则d e t ( 芸三 = d c t ( 4 ) d 呱。一c h 。1 口) 2 。若。非奇异，则d e t ( 尝三 = d e t ( 。) d c t ( 爿一b d 。1 c ) 证明参见p 5 8 利用引理3 2 1 可得 融p k 一! 圆4 ( 酬一竽 6 ( 货) 一。1 ia “ - h b lo a ( a ) - h b 20 6 ( 口)( a - 1 ) i j = d e t ( 2 - 1 ) i 。 d e t ( 3 , ” i 。- h a o a ( a ) - h a o b ( a ) + a 。l ( 旯一1 ) 一1 l ( 五“ - h b 7 圆日( 盯) 卜h b 7 。6 ( 口) ) ) = o 即 d e t ( a 4 k 一五”m 固口( 口) 一m 。6 ) + 击a 。i 。( - 2 m h b r 固a ( 口) - h b r 。b ) ) ) = 。 ( 3 2 8 ) 可见离散格式( 3 2 3 ) 的特征方程可以简化为( 3 2 8 ) ，为了对( 3 2 8 ) 的根结构进行分 析，引入以下辅助方程 d e t d ( ，口， ) = 0 ( 3 2 9 ) 其中 d ( g ，盯，_ j 1 ) = g ( | j 1 ) 【l h a o a ( c t ) - e - 9 “0 6 ( 口) 卜a o 【6 7 0 a ( a ) + e - b 7 0 6 ( 口) ， g ( 砷：盟，并规定g ( o ) ：1 3 3 离散格式的特征根结构 我们首先分析辅助方程的根结构，为此先证明如下引理 引理3 3 1a i r “。，为r 中的单位阵，t r ，则有 + qa 2 a 。 qi t i + a 2 q q啦i z i + q 1 2 = ( d e t d ) “d e t ( z i + 芝a i ) i m l 证明应用数学归纳法 当n = l 时，自然成立 设等式对栉成立，下证对n + l 成立 = d e t z i + a 1 口i q i z i + a l q p i = d e t ( t ) d e t 啦 i z i + a 2 口2 如 p i + a 2 d q “ + l i z i + a + i 弘i + q + a ma 2 口。 q + “t i + a 2 q ii； q + q + i吧l u i + a = ( d e t ( u o ) 4 d e t ( z i + q ) 推论3 3 一l i 。r a d e t d ( g ，口，h ) - - d e t ( u z , 一o 【矿固口( 印+ e 一”b 7 。6 ( 口) ) = ( d e t ( 卢l ) ) 。1 d e t ( z 。一4 ( 口) 一p 一，6 ( 口) 1 ( 3 3 1 ) 证明d e t ( ，t 0 一a 圆p 7o 口以) + p 一场7 圆联口) 】) = d e t 眦：嚣警：卜i e - b , a ( o o j 蒙b 2 b ( a ) 茗 l l i !； l 一一l ；i l j 【d 缸) 6 2 d ) 【岛6 )包6 ) j f = d e t ，以一b l a ( o o - e - ”岛6 ) - t 、a ( a ) 一e - “b l b ( a ) ； 一b l a ( a ) 一e - 4 b l b ( o t ) 一b e a ( 口) 一矿如6 ( 口) u i 一6 2 口( 口) 一e - 6 2 6 ( 口) ； 一6 2 口( 口) 一e - 4 b 2 b ( a ) 吃4 ) 一e - b ( a ) - 6 j 4 ( 盯) 一6 j 6 ( 口) 。； 以一也d ( 口) 一e - b ( a ) 应用引理3 3 1 ，则有 d e t ( u i 一吾固【6 7 。口( c r ) + e ”b 7 。6 ( 口) 】1 = ( d e t ( l ) ) “d e t l u i 一窆岛口( 口) 一矿一窆岛6 ( 口) ) 讧l i - i ： = ( d e 肌l ) ) 1d e t ( u 。- a ( 盯) - e - 6 ( 口) ) 即等式( 3 3 1 ) 成立 此外，若定义d ( 声，口) = 驻臻d ，口，h ) ，则 - u 舰d e t d ( y 感h ) = ( d e t l ) ) 1 d e t ( k d 一4 ( 口) 一e u b ( a ) ) = ( d e t ( ) ) ”1d e t d ( t ，盯) = d e t d ( f l ，口) 引理3 3 2 删设 ，( 功= d e t ( 工) 为n 次可微函数，则有 厂8 ( 工) = d e t “l l ( 工) q 2 ( z ) q i ( x ) u 2 1 ( 工) u 2 2 ( x ) u 2 k ( x ) u k l ( x )u k l ( 石) 甜址( 工) u l l ( 功2 ( 曲u l k ( 力 “2 1 0 )2 2 0 ) u 2 i ( 工) u k l ( 力i i k l ( 工) ( 曲 2 懒荟。高与d e t 硝( 工) 碗( 功“& ( x ) “刍( 工) 乏( 力“磊 “磊( 曲心堙0 ) 引理3 3 3 已知函数 = d e t d ( 拦 其中，d ( i l ) r ，d r ，且有l i m d ( h ) = d ，则 月一 慨d 1 ( ) 烛d f ( _ 1 1 ) 叫，口，0 ) = d c t il i m 垒塑二亟 i = 1i + o h 1 4 “。 ： 以 根据引理3 3 2 和3 3 3 ，可以得到如下引理 引理3 3 4 如下定义的函数 批刚，- 麓盎弛础：美 关于参数，口，h 是p 次连续可微的 证明函数关于肌口的可微性显而易见m ，o r ，j j i ) 关于h 的可微性亦只需证明函数在 h = 0 处是可微的 由引理3 3 3 有函数m ( u ，口，| j i ) 在h = o 处的导数 叫 ，则) ：烛堂堂型幽毕型垫翌垒型 “w 一 - - z d e t h md 1 ，口，_ 1 1 ) i 赎口 ，口，_ 1 1 ) l i m d i ( u , o