（基础数学专业论文）小度数cayley图的同构问题研究.pdf

j 堕壅适盔堂堡主兰垡丝塞主奎塑墨 中文摘要 摘要，设s 为有限群g 的不含单位元1 的子集且s = s - 1 = s 1ls 毋群g 关于s 的c a y l e y 图c a y ( g ，s ) 是个以g 为顶点集合，以“9 ，阳 ig g ，8 s 为边集合的图给定群g 的不含单位元l 的子集s 如果对于g 的任意不含单位 元1 的子集s ，都有c a y ( g ，s ) 竺c a y ( g ，t ) 当且仅当= t ，其中r r a u t ( g ) ， 那么称s 为g 的c i - 子集，并称c a y ( g ，s ) 为c i 图设r n 为正整数称群 g 为m - c i 一群，如果g 的每个满足s o = s 和】s 1 m 的子集s 都是c i 一 子集，而称群g 为弱m - c i 一群，如果g 的每个满足s _ 1 = s 和l s ism 的 生成子集s 都是c i 一子集特别地，称j g | - c i 群g 为c i - 群c a y l e y 图的 c i 性质是c a y l e y 图同构研究中的重要问题之一至今已有许多学者对这个问题 做了大量的工作本文工作就是围绕c a y l e y 图的c i 性质展开的设p 为奇素 数，我们首先证明了每个2 矿阶群都是弱3 - c i 群应用该结果，我们还给出了 2 p 2 阶连通3 度c a y l e y 图的分类其次，设g 为4 p 阶群，s 为g 的不含单 位元1 的生成子集且s o = s ，旧s 3 我们证明了c a y l e y 图c a y ( g ，s ) 是 非c i 的当且仅当g = ( a ，bia 2 p = b 2 = 1 ，b - i “6 = a - i ) ，且s o = 6 ，a ，n 1 ) 或 b ，蚰，b - 1 或 b ，( ，( 1 2 吣，其中a a u t ( g ) 最后，我们证明广义四元数群 q 。= ( “，bn “= l ，b 2 = “”，b - i ( 1 b = n “) ( ，2 ) 的每个连通4 度c a y l e y 图同 构于c a v ( q 。， f l ，矿1 ，b ，b o ) 或c a y ( q 4 。， b ，b 一，( 1 b ，( “厶) 。) ) 进一步，当n = 2 时，这两个图都同构于完全二部图峨小当n 2 时，这两个图互不同构由于 q 4 。不能被一个元素或一个对合和一个阶大于2 的元素生成，所以q h 是弱4 - c i - 群 关键词：c a y l e y 图；c i - 群；弱3 - c i - 群；弱4 - c i - 群 分类号：0 1 5 7 5 ；0 1 5 2 5 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c 叮 a b s t r a c t a b s t a c t ：l e t g b ea f i n i t e g r o u pa n d l e t s b eas u b s e t o f gs u c h t h a t l s a n dsi ss y m m e t r i c ，t h a ti s ，s 一1 = s 一1s s i se q u a lt os t h ec a y l e yg r a p h c a y ( c ，s ) o ng w i t hr e s p e c tt osi sd e f i n e da st h eg r a p hw i t hv e r t e xs e tga n d e d g es e t “g ，九 fg ，h g ，g h 一1 s ) i f f o ra n ys u b s e tso f gn o tc o n t a i n i n g t h e i d e n t i t ye l e m e n t1 ，c a y ( g ，s ) i si s o m o r p h i ct oc a y ( g ，t ) i fa n do n l yi fs o = t f o rs o m eo l a u t ( g ) ，t h e nsi sc a l l e dac i s u b s e to fg ，a n dc a y ( g ，s ) i sc a l l e da c i - g r a p hf o r ap o s i t i v ei n t e g e rm ，gi sc a l l e da 4 2m - c i - g r o u pp r o v i d e dt h a te v e r y s u b s e t ，s a ys ，o fgs a t i s 研n gs 一1 = sa n dl s i mi sac i s u b s e t ，a n di fe v e r y g e n e r a t i n gs u b s e ts o fg s a t i s f y i n gs 。= sa n dl sj 曼mi sac i - s u b s e t ，t h e ng i s c a l l e daw e a k l ym - c i - g r o u pi np a r t i c u l a r ，ai c l c i - g r o u pgi sc a l l e dac i - g r o u p t h ec i - p r o p e r t yo fc a y l e yg r a p h 8i so n eo ft h ei m p o r t a n tp r o b l e m si nt h e s t u d y i n go ft h ei s o m o r p h i s mo fc a y l e yg r a p h s i nt h eh t e r a t u r e ，t h e r ea r eal o t o fw o r kh a v eb e e nd o n eo i lt h i sp r o b l e ma n di nt h i sp a p e r ，w es h a l lc o n s i d e rt h e w e a k l ym - c i - p r o p e r t yf o rs o i i t ec l a s s e so fg r o u p sw i t hm = 3 o r4 l e tpb e a no d dp r i m ef i r s t ，i ti sp r o v e dt h a te v e r yg r o u po fo r d e r2 矿i saw e a k l y3 - c i - g r o u p a sa l la p p l i c a t i o n a l lc o n n e c t e dc u b i cc a y l e yg r a p h so fo r d e r2 p 2a r e c l a s s i f i e d s e c o n d ，l e tg b eag r o u po fo r d e r4 pa n dsag e n e r a t i n gs u b s e to f gs u c ht h a tl 譬s ，s “= sa t t di s l 3 i ti f ；s h o w nt h a tt h ec a y l e yg r a p h c a y ( g ，s ) i sn o n c ii f a n do n l yi f g = ( a ，ba 2 p = 6 2 = 1 ，6 叫。0 6 = o _ 1 ) a n d s o = 6 ，n ，a - 1 ) ， 6 1 6 n ，b a _ 1 ) o r 协a p ，a 2 ”f o r8 0 m eq a u t ( g ) f i n a l l y , w e p r o v et h a te v e r yc o m m c t e dt e t r a v a l e n tc a y l e yg r a p ho ft h eg e n e r a l i z e dq u a t e m i o n g r o u pq h = ( bia 2 “= 1 ，b 2 = a n ，6 _ 1 曲= a - i ) 22 ) i si s o m o r p h i ct o c a y ( q “， n ，a ，b ，6 - 1 ) ) o rc a y ( q 4 ，f b ，b ，a b ，( 曲) “) f u r t h e r m o r e ，i f n = 2 t h e nt h e s et w og r a p l l s & r ei s o m o r p h i ct ot h ec o m p l e t eb i p a r t i t eg r a p hk 4 4a n di f 2 ，t h e nt h e ya x en o n - i s o m o r p h i c s i n c e c a n n o tb eg e n e r a t e db ya ne l e m e n t o ra ni n v o l u t i o nt o g e t h e rw i t ha ne l e m e n to fo r d e rg r e a t e rt h a n2 i 乞f o l l o w st h a t q 伽i saw e a k l y4 - c i - g r o u p k e y w o r d s ：c a y l e yg r a p h ；c i - g r o u p ；w e a k l y3 - c i - g r o u p ；w e a k l y4 - c i - g r o u p c l a s s n o ：0 1 5 7 5 ：0 1 5 2 5 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定特 授权j e 京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名t导师签名； 签字日期：年月日签字日期：年月 日 北京变通大学硕士学位论文独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 致谢 本文是在我的导师冯衍全教授的悉心指导下完成的两年多来，冯老师在学 习，生活、做人等许多方面给了给了我极大的关心、指导和帮助在此，向冯老师 表示衷心的感谢 同时，也要对研究生期问和我一起学习生活的同窗好友们说一声：谢谢! 他们 是：周垂香，周进鑫，张翠，李艳涛，王秀云，姬强等特别要感谢周进鑫师兄对我 的鼓励和帮助 最后，真诚地感谢各位专家在百忙中审阅我的论文我愿意认真听取专家的 宝贵意见，以使本文更加完善并在今后的学习及科研工作中不断改进 北京交通大学硬士学位论文 第一章绪论 1 研究背景 第一章绪论 众所周知，群以它高度的抽象性和广泛的应用性在众多的自然科学领域中扮 演着重要的角色，其中以群作用最为活跃，而群在图上的作用则是群作用的一个 重要方面r f r u c h t 在1 9 3 8 年证明了对于任意给定的抽象群，都存在一个图以 它为自同构群，这个重要的工作揭开了这个领域的帷幕而wt t u t t e r 的著名 文章：af a n f i l yo fc u b i c a lg r a p h s ( 载p r o c c m n b r p h i l s o c ，4 3 ( 1 9 4 7 ) 4 5 9 - 4 7 4 ) ， 则可以看作是群对图的第一个精彩的应用但是，对于这个领域的广泛的研究是 在1 9 6 0 年代以后尤其是近三十年来，在这方面出现了很多重要的工作 在群与图研究中，图的对称性一直是个热门问题它主要通过图的自同构群 具有某些传递性来描述，这些图类的典型代表有c a y l e y 图等设x = c a y ( g ，s ) 是群g 关于子集s 的c a y l e y 有向图设q a u t ( g ) 则容易验证n 是由 c a y ( c ，s ) 到c a y ( g ，s o ) 的图同构群g 的c a y l e y 有向图之问的这类同构是由 群g 自同构诱导出来的，我们称之为甲凡同构，但反过来如何呢? 事实上，完全 可能出现下列情形：对于g 的任两个子集s 和t ，c a y ( c ，s ) 竺c a y ( g ，丁) ，但不 存在n a u t ( g ) ，使得s “= t 例如；设g = ( ，b ) 筌蜀，取s = “，( z 0 1 ， t = n 2 ，f j 2 ，那么c a y ( c ，s ) 垡4 c 4 兰c a y ( g ，t ) ，但对任意n a u t ( g ) ，都不会 有s 。= t 因此，c a y l e y 图的同构问题的研究就这样产生了 历史上对c a y l e y 图同构问题的研究起源于1 9 6 7 年a d a m 提出的一个猜想： 每个有限循环群都是d c i - 群，尽管这个猜想在1 9 7 0 年就被否定，但它毕竟是近 三十年来对c i 一群和d c i 一群研究探索的起点般说来，c a y l e y 图的同构问题十 分是复杂的首先，要探索同个群的不同c a y l e y 图之间何时同构；其次，不同群 的c a y l e y 图之问也可能有同构的情形( 个极端的例子n 点完全图是任一r l , 阶群的c a y l e y 图) 1 】到目前为止，人们的研究多局限在前一个问题上，而且多限 于研究所谓的c i - 性质上然而已知的c i - 群和d c i - 群是非常稀少的【2 - 4 】，到目 前为止，人们的主要研究集中在群的m - d c i - 性、m - c i - 性【孓7 】以及弱m - d c i - 性、弱m - c i - 性7 - 9 现在我们知道，对于d c i - 群、c i - 群和弱d c i - 性、弱c i - 性已经有了大量的 研究结果，但大部分都集中在交换群、循环群及单群的研究上 1 】譬如a d a m 在 1 9 7 0 年证明了对于素数p ，巧是d c i - 群，后来又证明了z w ( 其中q 也是素数) ， z 妇也是d c i - 群等等事实上，对于什么样的循环群是c i 群的问题，今天我们 已经完全解决今天我们还只证明了以下这些群是c i 群：初等交换p 群瑶、瑶， 四元数群q 8 、交错群a 、二面体群d 2 ，、其中p 为素觌另外，g r o y l e 在1 9 8 7 年m c o n d e r 在1 9 9 7 年到1 9 9 8 年，用计算机搜寻又找到了一些阶较小的c i - 群 r o y l e 决定了所有阶3 l 的c i 一群【1 】还值得一提的是李才恒和p r a e g e rj ! | 4 n - ? 有限c i 一群的必要条件，特别地，c i - 群都是可解群 1o 】文献 7 ，8 】证明了a b e l 群是弱2 - d c i - 群，还刻画了m - c i 一交换群( m = 4 ，5 ) 冯衍全等 1 1 】对有限交换 弱m - c i 一群g 进行了研究，其中m 为g 的极小生成元集的势 2 基本概念与结论 为方便起见，本节先介绍本文常用的一些基本概念与结论 本论文所讨论的图都是有限简单无向图，并且都是连通的对于一个图x ，我 们分别用y ( x ) ，e ( x ) ，j 4 ( x ) ，a u t ( x ) 表示它的顶点集合，边集合，弧集合和 全自同构群事实上，一个有限简单图x 是指一个顶点效有限且无环无重边的 图，即顶点集合v ( x ) 有限，边集合e ( x ) c v 2 ：= “u ，v l u ，口y ，u ) 通常记做 x = ( v e ) 当把一条无向边 口，” 等同于两条有向边( u ，f ) 和( ”，u ) 时，x 称为 无向图 对于图x = ( k e ) ，如果有另一个图x = ( ，f ) 满足：存在y 到 的一个双射o - ，使得 u ，口 e 甘 4 ，矿 e ，则称图x 与图x 同构，记做 x 竺，我们较常讨论的是顶点集合相同的两个图的同构问题，即v = v ，这 时图x = ( v e ) 与图x 7 = ( k ) 同构当且仅当，存在a s y m ( v ) ，使得 f u ，u l e 督 1 ，t ，4 f 特别，图x 到自身上的同构映射称为图x 的自同 构而图x 的全体自同构在置换乘法下构成一个群，称为图x 的全自同构群，记 作a u t ( x ) a u t ( x ) 的子群统称为x 的自同构群显然互相同构的两个图具有相 同的全自同构群 本文主要研究具有某些对称性的图，而图的各种对称性往往通过其自同构的 某种传递性描述一个图x 如果a u t ( x ) 作用在其顶点集合y ( x ) ( 或边集合 同) ) 上传递，则称为点传递图( 或边传递图) 图x 的争弧是有序的s + 1 个顶点元组，口1 ，) ，使得址与y i + l ( 1 i s ) 相邻且v i l l 钵1 ，这里s 是正整数图x 称之为s 弧传递的，如果自同 构群a u t ( x ) 在x 的s 弧集合上传递特别地有，0 - 弧传递称之为点传递，1 弧 传递称之为弧传递或对称对称图x 称之为弘正则的，如果对于x 的任意两个 s - 弧，存在唯一的x 的自同构，将其一8 弧映射到另一s - 弧也就是说，自同 构群a u t ( x ) 在x 的s - 弧集合上作用正则从而，如果一个图是p 正则的，它的 自同构群在它的s 弧集合上传递，且固定每一个8 一弧的都是单位对于图x 的 全自同构群a u t ( x ) 的子群g ，显然g 中作用 不变的元素集合构成g 的一个 子群，通常称为g 关于点 的点稳定化子，记作g 。令q 为一集合，则n 上的 置换群g 称之为正则的。如果对于每一个口q ，口的点稳定化子g 。为单位；g 北京变通大学硕士学位论文第一章绪论 称之为正则的，如果它是半正则且传递g 称之为s - 正则的，如果它在x 的所有 的8 一弧集合上作用正则 我们注意到，由图得到的全自同构群在图的对称性研究中扮演着重要的角色 反过来，通过有限群也容易构造具有对称性的图作为本文盼主要研究对象c a y l e y 图就是这样的图 定义1 2 1 设g 是有限群，s 是g 的不含单位元素的非空子集，我们如下定义 群g 关于子集s 的c a y l e y ( 有向) 图x = c a y ( g ，s ) ： v ( x ) = g e ( x ) = “g ，s g ) l g g ，j s 给定g g ，定义r ( a ) ：z x g ，z g 为g 上的一个置换则r ( g ) = 兄( 9 ) ig g 为g 上同构于g 的置换群，称为g 的右正则表示 对于c a y l e y 图。下面的事实是基本的 命题1 2 2 【2 1 设x = c8 = y ( g ，s ) 是群g 关于s 的c a y l e y 有向图，则我们有 下面的结论： ( 1 ) h u t ( x ) 包含g 的右正则表示为其子群，因此x 是点传递图； ( 2 ) x 连通当且仅当g = ( s ； ( 3 ) x 是无向图当且仅当s - 1 = s ，这里我们把一条无向边 g ， 等同于两条有 向边( 9 ，h ) 和( ，9 ) c a y | e y 图都是点传递的，但反之不然事实上，有如下基本命题： 命题1 2 3 ( 有向) 图x = e ) 同构于群g 的c a y l 盯( 有向) 图当且仅当 a u t ( x ) 包含个同构于群g 的正则子群 接下来我们引入点传递图x 的块图的概念设日是x 的点传递自同构 群，y ( x ) 的个非空子集且如果满足对所有的h h ，bnb “等于b 或o 则称b 为h 的一个块如果1 1 是正整数则是c i - 群当且仅当下述之一成立， ( 1 ) n = 2 。m ，其中a = 0 ，1 ，2 且m 没有甲方因子的奇数 ( 2 ) n = 8 ，9 或1 8 3 本文的主要研究工作 本文主要研究有限群上小度数c 萄：l e y 图的弱m - c i - 性( m = 3 ，4 ) 全文共分 为四章 第一章为绪论，主要介绍了本文相关工作的背景知识及其一些基本命题 设p 为奇素数，在第二章中我们证明了每个2 p 2 阶群都是弱3 - c i 一群应用 该结果，我们还给出了2 矿阶连通3 度c a y l e y 图的分类 设p 为奇素数，g 为和阶群，s 为g 的不含单位元1 的生成子集且s - 1 = s ， f s i 3 第三章证明了c a y l e y 图c a y ( c ，s ) 是非c i 的当且仅当g = ( a ，b a 2 p = b 2 = 1 b - 1 a b = - 1 ) ，且s 。= d ，“，a “ 或 b b a ，妇。 或 6 ，扩，2 6 ，其中 n a u k g ) 最后，在第四章中，我们证明了广义四元数群q | 。= ( a bn 2 n = 1 b 2 = “”，b - l “ = “) ( n22 ) 的每个连通4 度c a y l e ) 7 图同构于c r ( 口。“，“，b ，6 - 1 或c a y ( q a 。， 6 ，b ，a b ，( a b ) “ ) 进一步，当n = 2 时，这两个图都同构于完全二 部图心a 当n 2 时，这两个图互不同构由于q 4 。不能被一个元素或一个对 合和一个阶大于2 的元素生成，所以q “是弱4 - c i - 群 6 a ! 室奎塑盔兰堕主兰垡堡茎墨三童翌堕登塑里生旦! ：丝星座旦 第二章劫2 阶群的弱3 - c i - 性及应用 设p 为奇索数本章证明了每个2 p 2 阶群都是弱3 - c i - 群，应用该结果，我们 还给出了2 矿阶连通3 度c a y l e y 图的分类 1 预备知识 本节介绍一些将会在下文中用到的基本命题，对于群g 的一个子群髫，以 c g ( h ) 和 k ( 日) 分别表示h 在g 中的中心化子和正规化子那么c c ( h ) 为 。( 日) 的一个正规子群 命题2 1 1 1商群n c ( h ) c a ( h ) 同构于日的自同构群a u t ( h ) 的一个子 群 命题2 1 2 - 【9 】二面体群玩 3 ) 的二元生成子集是c i - 子集，从而矾是弱 2 - d c i 一群 命题2 1 3 f 8 】有限循环群是垂c i _ 群 下面的结果是b a b a i 的关于c i - 子集的判别准则 命题2 1 4 2 2 】设g 为有限群，s 为g 的不含单位元索的子集设x = c a y ( c ，s ) ，a = a u t ( x ) ，则s 为g 的c i 一子集当且仅当对任意的一s g ，若 c r ( c ) a 一1 a ，则存在q a 使得口r ( g ) 一1 = d r ( g ) n ，这里s g 表示g 上 的对称群 下面的命题决定了2 p 2 阶二面体群上的连通3 度c a e y 图的正规性 命题2 1 5 i 2 0 】设p 为奇素数，x = c a y ( d 2 p 2 ，s ) 为d 卸，= ( o ，b 1 扩2 = b 2 = 1 ， a 6 = a - 1 ) 的连通3 度c a y l e y 图令a = a u t ( x ) ，a 1 为1 在a 中的点稳定 子群，则x 正规且a i 竺磊，t = 1 ，2 ，3 进一步，t = 3 当且仅当3p 一1 且 x 兰c 8 y ( 2 b , b a ，b a 。 ) ，这里k 2 一k + l = 0 ( m o d 矿) ，此对，x 与k 的选取无 关 22 p 2 阶群的弱3 - c i - 性 本节的主要目的是证明下面的定理 定理2 2 1 每个妒0 为奇素数) 阶群都是弱3 - c i - 群 证明：设g 为2 矿阶群，s 为g 的不含单位元的生成子集且s _ 1 = s 为完 成定理的证明，仅须证明当i s l 3 时，s 为c i - 子集显然，l s l 1 7 i ! 塞壅堕盔堂堡主兰堡垒塞篁三童! 芝堕壁塑塑兰坠墼鏖旦 设i s i = 2 ，则s 或者由两个对合组成，或者由一个阶大于2 的元素及其逆组 成前者。可得g 是一个二面体群，从而由命题2 1 2 可得s 为c i 一子集若后者 发生，则g 是一个循环群，由命题2 1 3 可得s 也为c i 一子集 以下设】s i = 3 ，则s 中必含有一个对合，设为z 若g 为交换群，则由于 p 2 ，z 为g 的唯一的对合因此可得s = z ，y ，y - 1 ，其中y 的阶大于2 由 g = ( s ) 为2 p 2 阶群，必有整除y 的阶这说明g 型z 2 一由命题2 1 3 可得s 为c 1 一子集下面假设g 为非交换群，则由初等群论知识。可知g 同构于下列之 一= g 1 0 ) = ( ，b i 矿= f 1 2 = 1 ，b - l a b = a - i ) ， g 2 ) = ( ，ba p = 扩= c 2 = 陋，6 1 = i ，c - a c = 口_ ，c - 1 6 c = b - 1 ) ，o ) g 3 扫) = ( a ，b i 扩= 扩= c 2 = i ，陋，b 】= c 】= 1 ，c - 1 6 c ；6 - 1 ) 令x = c a y ( g ，s ) ，a = a u t ( x ) ，a 1 为1 在j 4 中的点稳定子群 情形l ：g = g 1 ( p ) 此时。由命题2 ，1 5 有n ( c ) 旦a 且a i 型z r ，t = 1 ，2 ，3 若t = 1 ，则a = r ( g ) 由命题2 1 4 易知s 为c l - 子集设t = 3 ，则p 3 且i a i = 3 i r ( g ) | 任取 a e s c 若r ( g f ) 4 r ( g ，) ，必有月( g ) “月( g ) = a 从而3i a l = l r ( g ) 4 r ( g ) i = i n ( c ) l l n ( c ) 4 i i n ( c ) n 兄( g ) 4 l ，导致3i | r ( g ) i = 2 p 2 ，矛盾于p 3 因此 月( g ) 4 = 月( g ) ，由命题2 1 1 可知s 为c i 一子集 现在设t = 2 ，则f a i = l a l lj r ( g ) l = 4 俨注意n ( c ) 里a 设p 为4 的s y l o w 2 子群使得a - 茎q 那么，a = q n ( c ) ，从而q = ( q n j r ( g ) ) a - = z 2 z 2 ，取 p = ( 兄( “) ) ( “g 1 0 ) ) ，则p 为a 的s y l o wp - 子群因n ( c ) 兰g = gl 0 ) 为二 面体群，所以p 为n ( c ) 的特征子群由n ( c ) 里a ，可得p 望a 显然p c _ ( p ) 若p = c a ( p ) ，则由命题2 1 1 可得a p a u t ( p ) 竺z p ( p i ) 从而a j d 竺乙导 致q 型z 4 ，矛盾因此p 3 ，则a u t ( c j ( 2 矿) ) 鲁g 2 ) 岛 ( 6 ) g ( 2 p 2 ) = ca _ y ( a 3 ( p ) ， c ，曲，( 曲) _ 1 ) ) ，a u t ( c d 2 矿) ) 竺c 3 ( p ) 趁 以上诸图互不同构 证明：设a = a u t ( x ) 易见，s 中含有一个2 阶元，设为z 若g 为交换群， 则由于p 2 ，z 为g 的唯一的对合可设s = z ，y ，y - l ，其中y 的阶大于2 由 g = ( s ) 为2 护阶群，必有，整除y 的阶这说明g = ( “) 兰z 2 p 2 由文【2 0 】的定 理2 4 可知x 正规如果x 是对称的，那么a u t ( c ，s ) 在s 上传递，可知s 由3 个对合组成，矛盾从而a l = a u t ( z 2 矿，s ) z 2 容易验证映射n l ：n 一_ 1 诱导 出z 2 p 2 的一个2 阶自同构，且n l 不动z 而对换y 和y 所以a 1 = ( n 1 ) 竺z 2 且 a = r ( c ) ( 0 1 ) 任取g g ，贝09 。i “( 。) 。- = ( g 。i 1 ) 。- = g 。- = g a 一1 = g n ( 。) 一1 由此可知，o i l r ( “) o l = r ( 从而r ( 扩) 与o j 可换，即r ( a p 2 ) n - 为2 阶元 易见r ( n 2 ) “( 。”) 。= r ( a 2 ) 因此日= ( r ( c 1 2 ) ，r ( “矿) m ) 竺d 2 矿若h i 1 ，则 日l = a i ，从而nj h ，导致h = a ，矛盾因此h j = 1 ，从而h 在v ( x ) 上正 则这说明x 也是h 的c a y l e y 图因此可以假设g 非交换，因而g 为( + ) 中群 之一 若g = g 2 ( p ) 或g 3 ( p ) 、则由定理2 2 1 证明中的情形2 和情形3 ，知x 同构于c a y ( c 2 0 , ) ， c ，m ，c h ) = g ( 2 矿) ，c a y ( c 3 ( p ) ， f _ “b ，( a b ) 。 ) = 饶( 2 p 2 ) 或c a y ( g 3 0 ) ，kc u b ，( c n 6 ) - 1 ) ) 由文 2 0 】的引理2 3 中最后一段的证明，可知 g ( 2 矿) 兰c a y ( c 3 ( p ) ， c ，c a b ，( c a b ) _ 1 ) ，从而x 竺g ( 2 矿) 或g ( 2 p 2 ) 由文 【2 0 】的引理2 2 证明，易见c t ( 2 矿) 妇 3 ) 是g 2 p ) 的正规的对称c a y l e y 图且 a u t ( g ( 2 矿) ) 竺g 2 p ) xs 3 ，而a u k 既( 2 3 2 ) ) 兰g 2 ( 3 ) d 1 2 对于图岛( 2 p 2 ) ，由 文f 2 0 】引理2 3 ( 1 ) 有l a u t ( g ( 2 矿) ) i = 8 矿设a - 为点1 在a u t ( g ( 2 矿) ) 中的点 稳定子群则i l i = 4 易见映射伪：o n ，b b ，c c 可诱导出g 3 p ) 的 一个二阶自同构且稳定 c ，n 6 ，( n 6 ) - 1 ，故卢1 a ，又易证映射阮：o 一一6 ；f ， 钞一e a j b i ( i ，j 名) 是图g ( 驴) 个二阶自同构且点型稳定 c ，曲，( 0 6 ) 1 ) 所以，卢l 岛且a l = ( 历：岛) 兰z 2 z 2 至此。我们得到了定理中的( 5 ) 和( 6 ) 下面令g = g 1 ) 此时，若x 是对称的，则由文 2 0 1 的推论2 5 可得定理 中的情形( 1 ) ( 注意p 2 ) 以下假设x 非对称由文【2 0 】的定理2 4 可知x 正规 从而a l = a u t ( d 妒，s ) z 2 由于g i ( p ) 中2 阶元彼此共轭，故不妨设z = b 先设s 中含有阶大于2 的元素此时，由g - ( 功= ( s ) ，可知s = b ，o 。) ， 其中( i ，p ) = 1 易见映射n 2 ：b b ，a 一a 诱导出g l 的一个自同构所 以s 掣 6 ，a ，i i - ! ) 从而得到图q ( 2 矿) 容易验证映射口3 ：b 一6 ，o 一- 1 诱 导出g 1 0 ) 的个自同构，且n 3 不动b 而对换。和口所以a u t ( q ( 2 矿) ) 兰 1 0 j e 壅窒堕盔兰堡主堂垡堡塞墨三童笙堕登笪塑墨g ：丝垦壅旦 g ，) x 劬) 此即为定理中的情形( 2 ) 现在设s 由3 个2 阶元组成，不妨设s = 埘，b a j ，b a t 分i a ，i = 2 或1 两种 情形讨论首先，设a l = ( a 4 ) 鲁z 2 由于o l 一不动s 中一个元素而对换其余两个元 素，不妨设d 4 不动b a 2 由于g ，0 ) 中2 阶元彼此共轭，所以存在口a u t ( c - 0 ) ) 使得( 6 r = b ，这样，不妨令= 6 6 酽，b a = t 从而o - 。0 4 口a u t ( g 1 白) ) 不动 而对换6 r ，和d 易见o - _ 1 q 4 0 - 诱导出( “) 兰z 萨的一个2 阶自同构，而 a u t ( ( ) ) 垒z p ( ，一1 ) 中2 阶元唯一，故必有扩1 “”= a 从而b e t 5 = b a 这样可 令s = f 6 1b a 。，b a l ) 由于g = ( s ) ，知( s ，p ) = 1 易见映射：b b ，a 5 一f e 诱 导出g l p ) 的一个自同构所以s 全 6 ，b a ，b a - 1 此即为定理中的情形( 3 ) ，其次， 令a l = 1 由于g 1 0 ) 中2 阶元彼此共轭，所以s 兰 厶b a2 ，b t t j 由g j ( p ) = ( s ) ， 可知( i ，p ) = 1 易见映射n ：b b ，一a 诱导出g 1 ( p ) 的一个自同构所以 s 望 b ，b a ，b a 由前面的分析可知k 2 一k + 1 0 ( r o o dp 2 ) 且k 一l ( m o dp 2 ) 从而得到了图a ( 2 矿，走) 再由定理2 2 1 知g 1 0 ) 为弱3 - c i 一张这样，对任意不 同的k l ，2 z ，：，c 4 ( 2 p 2 ，乜) 兰q ( 2 矿，k 2 ) 当且仅当存在o a u t ( g j 0 ) ) ，使得 b ，b a ，b a h o = 协b a ，b a 也 经验证，可知图q ( 2 ，j 2 ，“) 竺g ( 2 矿，五2 ) 当且仅当 下列之一成立：h k 2 = l ( m o dp 2 ) ，l + k = l ( m o dp 2 ) ，k l ( k 2 1 ) = 一l ( m o d 矿) ， 2 ( k i 1 ) = 一l ( m o dp 2 ) 或i 十也一如= 0 ( m o d 矿) 此即为定理中的情形( 4 ) 由于c 1 ( 2 p 2 ) 是1 一正则的，所以e l ( 2 p 2 ) 不和其余图同构又由定理2 2 1 知 每个2 ，j 2 ( 为奇素数) 阶群都是弱3 一c i 一群，可以验证( 2 ) ( 4 ) 中的图互不同构通 过比较图的自同构群，可知( 5 ) - ( 6 ) 中的图互不同构并且( 2 ) 一( 4 ) 中的图与( 5 ) ( 6 ) 中的图互不同构，定理证毕 口 i i 塞塞壅丕芏塑主芏垡堡塞星三童塑堕壁盟塑兰旦! ：丝 第三章4 p 阶群的弱3 - c i - 性 设p 为奇素数本章的主要目的是决定4 p 阶群的弱3 - c i - 性设g 为如阶 群，s 为g 的不含单位元1 的生成子集且s - 1 = s ，蚓3 我们证明了c a y l e y 图c a y ( c ，s ) 是非c i 的当且仅当g = ( n bia 2 p = 6 2 = 1 ，bi a b = 1 1 1 ) 且 s ”= f 6 ，a ，a “ 或 6 ，h ，饥。) 或 6 “p ，n 2 ，其中，t a u t ( g ) 1 预备知识 本节给出一些预备性的命题这些命题将在证明主要定理时用到 命题3 1 1 f 2 3 】设p 是素数，x = c a y ( c ，s ) 是上的连通3 度弧传递c a y l e y 图，则x 同构于三维立方体图。3 下面的命题给出了4 p 为奇素数) 阶二面体群上的非正规c a y j e y 图 命题3 1 2 ， 2 1 1 设p 为奇素数，x = c a y ( 口扣，s ) 为皿，= f 1 bl “2 9 = 沪= l ，驴= n 一) 的连通3 度c g y l e y 图，则x 非正规当且仅当s 皇 6 ，f t 6 ，6 ) 下面的命题给出了所有4 p ( p 为奇索数) 阶非交换群，由初等群论可知 命题3 1 3 设p 为奇素数，在同构意义下，共有以下4 个妇阶非交换群： g i ( p ) = 虬b l0 2 1 = 护= 1 b - j “6 = r l - i ) ： g 2 扣) = ( 嵋b 1 “”= 1 ，b 2 = “p ，b - j a b = 。) ； g 3 扫) = ( “，b i 矿= b 4 = 1 ，b - 。a b = ( f 。， 2 il ( m o dp ) ) 0 3 ) ； g 4 ( 3 ) = ( “，bj = 泸= ( n b ) 2 = 1 ) 兰a 4 2 主要结论 下面的定理是本章的主要结论 定理3 2 1 设g 是一个如0 是奇素数) 阶群s 为g 的生成子集满足1 s ， s - 1 = s ，l s i 3 ，则c8 = y l e y 图c a y ( c ，s ) 是非c i 的当且仅当g = g l b ) 且s 等 价于 b ，口，a “ 或f 6 ，b a ，b a - 1 或 b ，矿，2 6 ) 证在本定理的证明中，我们恒假设s l = ( 6 ，a ，a - i ) 岛= 6 ，b a ，b a - 1 ) ，岛= p ，矿，0 2 6 ) 首先来证充分性易见，s l ，品和岛都为g 1 ( p ) 的生成子集所以，图 c a y ( c l p ) ，8 1 ) ，c8 _ y ( c l ( 力，岛) 和c a y ( g l 扣) ，岛) 都是连通的由于s 由一个对 合和两个2 p 阶元组成，而岛和s 3 分别由3 个对合组成，所以也不存在g 1 0 ) 的自同构n 使得四= 岛或岛又a v e 品且扩为g l 加) 的中心元而岛中不含 g - ( p ) 的中心元，故也不存在岛0 ) 的白同构d 使得露= 岛 北京交通大学硕士学位论文 第三章4 p 阶群的弱3 - c i 性 先来证明c a y ( g 1 p ) ，岛) 和c a y ( c 1 白) ，) 同构定义g 1 p ) 上的一个映 射 ：对任意的0 i 2 p 一1 ，0 j 1 ，若a ( a ) ( 0 2 ) ，则( a i b j ) i ，= 6 f “；若a ( a 2 ) ，则( a i b j ) a = a - i b j 容易验证，1 是1 - 1 映射对任意的 0 i 2 p 一1 ，0 j 1 ，在图c a y ( g l ) ，岛) 中，f ，邻域为n a ( a 1 护) = 一b j ”，a - l - i “，a l - i 6 f “ 若a ( 舻) ，则a 。隹( 2 ) 显然，隹( n 2 ) 由于( r ，) ( r 2 ) 兰z 2 ，( f - 。7 ( r 2 ) 且“1 - 。( a 2 )从而( i j ) i , = ”且 【n i ( a 护) 】，1 = a - l b i ，“1 + 州，a i - i b j + 1 易见，【1 ( a