（金融学专业论文）嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及应用研究.pdf

t ) -lliiiyiiiull8ii15i19i17lll t h er e s e a r c ho ft h em o d e lo f a s s e ts h a r ep r i c i n ge m b e d d e dw i t h r a n d o mi n t e r e s tr a t e b y d e n gl i n b e ( h u n a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fe c o n o m i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a n u n i v e r s i t y s u p e r v i s o r a s s o c i a t ep r o f e s s o rl uf a n g x i a n n o v e m b e r , 2 0 1 0 ， 7 一 ；u， 导下独立进行研究所 外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密c i ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密z 、 名：叩渺篙墨搿，月f 日 导师签名：晕缈日期7 。年【f 月f6 日 l l 、 ， 7plj 硕士学位论文 摘要 资产份额定价法是寿险定价法的主要方法之一，由于资产份额定价法与保险 人的预期利润目标相关联而得到保险人的青睐，广泛应用于寿险领域，近年来随 着学者的深入研究其应用已经扩展到非寿险领域。但是资产份额定价法还存在缺 陷，如资产份额法不能反映波动因素( 利率等) 对保费的影响。随着保险业的发 展，经济形势的复杂化，与投资因素紧密关联的新型险种( 如分红保险、万能寿 险、投资连结保险等) 陆续出现，如何利用资产份额法对这些新型险种定价，反 映投资收益率对定价利率假设的影响，进而提供投资决策成为改进资产份额定价 法的动力。 本文从资产份额定价法的基本原理出发，分析资产份额定价法的构成要素及 影响这些要素的因素，进而总结出目前资产份额定价法的优点和值得改进的地 方：不能反映波动因子( 投资收益率等) 对保费的影响，以及不能给保险人提供 投资决策。本文通过结合相关的保险投资原理，运用倒向随机微分方程对传统资 产份额定价法进行改进，构建了反映投资因素的资产份额定价模型，使得资产份 额定价法更加完善且更具有实用价值：即在给定初始资产份额和保费的情况下可 以预测未来的资产份额，并且可以在当期做出投资决策；或是在给定初始资产份 额和未来预期的资产份额目标的前提下，可以计算当期应该收取的保费和当期投 资于有风险资产及无风险资产的投资额。最后本文将使用e x c e l 以及m a t l a b 软 件演示了改进后的资产份额定价法在保费厘定、以及在投资决策中的运用。 关键词：资产份额定价法；资产收益率；波动利率；倒向随机微分方程； i i 、 户 ；0 j 0w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ei 1 1 吼l i a n c ei n d u s t r ya n dt h ec o m p l i c a t i o no ft h ee c o n o m y , s o m ei n n o v a t i v ep o l i c i e sh a v ea p p e a r e d , t a k i n gp a r t i c i p a t i n gi n s u r a n c ea n du n i v e r s a ll i f e i n s u r r n c ef o re x a m p l e t h ep r i c i n go ft h e s en e wp o l i c i e sm u s tt a k et h er a n d o mi n t e r e s t i n t oa c c o u n t s o ，h o wt ou s ea s s e ts h a r ep r i c i n gm e t h o dt oc a l c u l a t et h ep r e m i u ma n dt h e n t og i v ee x p r e s st ot h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n v e s t m e n ta n dt h ep r e m i u mb e c o m et h e i m p e t u st oi n v o l v et h et r a d i t i o n a la s s e ts h a r ep r i c i n g t h ep a p e ri sb a s e do nt h ep r i n c i p l eo ft h ea s s e ts h a r ep r i c i n g f i r s t l y , t h ep a p e r a n a l y s e st h ef a c t o r si n c l u d e di nt h ea s s e ts h a r ep r i c i n gf o r m u l aa n dt h e nf i n d so u tt h e a d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo ft h em e t h o d t h ed i s a d v a n t a g eo ft h ea s s e ts h a r ep r i c i n g m e t h o di st h a ti tc a l ln o tr e f l e c tt h ee f f e c to f t h er a n d o mf a c t o ro nt h ep r e m i u m s e c o n d l y , i no r d e rt om a k et h ea s s e ts h a r ep r i c i n gm o r ep e r f e c ta n dm o r eu s e f u l ，t h ep a p e ri m p r o v e s t h et r a d i t i o n a la s s e ts h a r ep r i c i n gb a s e do ns o m ep r i n c i p l es u c ha si n v e s t m e n to f i n s u r a n c ea n db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( b s d e s ) ，a n dt h e nt w o i n f e r e n c e sa r es h o w e di nt h ee n do fc h a p t e r3 a c c o r d i n gt oi n f e r e n c e1 ，w ec a nc a l c u l a t e t h ea s s e ts h a l n e x tp e r i o da n dm a k ei n v e s t m e n ts t r a t e g ya tt h eb e g i n n i n go ft h ep e r i o di f t h eo r i g i na s s e ts h a r ea n dt h ep r e m i u ma r eg i v e n , a n da c c o r d i n gt oi n f e r e n c e2 ，w ec a n c a l c u l a t et h ep r e m i u ma n dm a k ei n v e s t m e n ts t r a t e g yi fw ek n o wt h eh ea s s e ts h a r ea t b e g i n 血培a n dt h ea s s e ts h a r en e x tp e r i o d f i n a l l y , t h ep a p e ru s e se x c e la n dm a t l a bt o d e m o n s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h ei m p r o v e da s s e ts h a r ep r i c i n g ，s u c ha si t sa c c u r a c yi n p r e m i u mp r i c i n g a n di t sv a l i d i t yt om a k ei n v e s t m e n ts t r a t e g y k e yw o r d s ：a s s e ts h a r e # c i n g ；t h ey i e l do ft h ea s s e t ；r a n d o mi n t e r e s tr a t e ； b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ； h i 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 插图索引v i 附表索引v i i 第1 章绪论1 1 1 选题背景及意义1 1 2 国内外研究综述2 1 2 1 国外研究综述2 1 2 2 国内研究综述3 1 3 研究内容及思路4 第2 章资产份额定价法原理及构成因素6 2 1 资产份额定价原理6 2 1 1 资产份额与资产份额定价法6 2 1 2 资产份额定价基础8 2 1 3 资产份额定价的基本步骤9 2 2 资产份额定价法构成因素分析1 0 2 2 1 死亡率因素1o 2 2 2 利率因素一1 2 2 2 3 退保率因素13 2 2 4 费用率因素1 5 2 3 资产份额定价法优缺点分析1 6 2 3 1 资产份额定价法优点1 6 2 3 2 资产份额定价法缺点16 第3 章嵌入波动利率的资产份额定价模型构建1 9 3 1 模型准备19 3 1 1 保险投资基础1 9 i v 、 嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及戍用研究 3 1 2 倒向随机微分方程一2 0 3 2 模型假设2 4 3 3 模型构建2 5 第4 章嵌入波动利率的资产份额定价模型应用3 5 4 1 推论一的模拟运用3 6 4 2 推论二的模拟分析3 8 结论4 1 参考文献4 3 驾【谢4 6 附录a 攻读学位期间研究项目于科研成果4 7 附录b 死亡率变化对终身寿险净保费的影响原始数据4 8 附录c 利率变化对终身寿险净保费的影响原始数据4 9 附录d 计算波动率的m a t l a b 代码5 0 v 、 硕士学位论文 插图索引 图2 1 死亡率变化对终身寿险净保费的影响1 2 图2 2 利率变化对终身寿险净保费的影响1 4 v i v i l l1 15 3 5 3 9 硕十学位论文 1 1 选题背景及意义 第1 章绪论 我国保险业起步较晚，相关的保险理论及精算技术都滞后于西方发达国家， 对于保险公司的精算人员来说其主要的工作是：保险费率的厘定和定价、提取准 备金和安排再保险分出和分入业务、研究破产概率等，其中保险定价的好坏和保 费的高低与保险公司的承保能力、偿付能力、盈利能力、竞争能力直接相关。目 前，以寿险行业为例，保险产品的定价主要还是以传统的净保费加成法为主，而 西方发达国家已经将资产份额定价法广泛运用于寿险产品定价，因为这种方法更 具科学性和合理性，并且在一定假设前提下也可运用于非寿险领域，此法为保险 人合理制定保险费率、提取准备金、公司利润的评估提供精算技术保障，经过实 践检验是值得在我国保险业推行的保险定价方法。但是，我国保险业对资产份额 定价法的研究很少，仅有的一些研究也只是对资产份额法进行初步探索和基本理 论的宣传，而保险精算实务界并未重视和应用此法。 借助计算机的普及和技术的进步，资产份额定价法在西方发达国家得到了广 泛运用，并表现出种种优点，但是各种精算教材对资产份额定价法的重视程度并 不相同，以s o 的教材精算数学为例，在1 9 8 6 年版中，在资产份额定价法 的例子中并没有考虑到退保因素，直到在1 9 9 7 年版的精算数学中，资产份 额定价法的例子中才考虑到退保因素。由于早期对资产份额定价法的研究比较成 熟，因而不可避免的出现了成熟学科的特征：缺乏创新。随着保险业的发展，经 济形势的复杂化，传统保障型产品并不能完全满足投保人和被保险人的需求，与 投资收益率紧密相关的新型险种如变额寿险、分红保险、万能寿险等陆续出现， 对保险人的精算定价水平提出更高的要求，即能够反映具有波动性质的投资收益 率对保费的影响。同时，新的经营理念要求保险公司对市场形势引起足够的关注， 要更加注重投资的收益对整个公司的影响，但是遗憾的是迄今为止，影响利率的 投资收益率因素在资产份额定价法中并没有得到充分考虑，更提不上通过保费的 制定能够给保险公司提供投资决策。 本文试图结合保险投资、倒向随机微分方程等理论知识，基于传统资产份额 嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及应用研究 定价法研究的基础之上，通过一定假设前提以及数学推导，对传统资产份额定价 法作进一步改进，充分关注保险人预期投资决策目标，考虑投资收益的波动性对 保险定价的影响，通过对改进后模型的实例分析，体现其优势。本文通过改进传 统的资产份额定价法，一定程度上弥补了其缺陷，拓展了传统资产份额模型的应 用范围，具有一定的理论与实践意义。 1 2 国内外研究综述 1 2 1 国外研究综述 国际上关于资产份额定价法的研究主要在上世纪5 0 n 9 0 年代，9 0 年代末对资 产份额定价法的研究已经成熟并且已经形成了比较完善的定价公式。9 0 年代之后 的学者主要是研究如何运用资产份额定价法来对保险公司的经营进行分析和预 测，而对资产份额定价法改进的研究较少。h a r w o o dp o s s e r ( 1 9 5 1 ) ，演示了如 何将资产份额定价法用于估计保险公司分红产品的现金流，预测未来可能获得的 利润，但受限于计算技术，只能通过设定一些假设来得到结果【1 1 。a n d e r s o n 、j a m e s c h ( 1 9 5 9 ) 利用资产份额定价法计算非分红产品的毛保费和利润，并讨论了两 者之间的关系，并提出计算毛保费和利润时需要考虑的因素：利率因素、退保因 素、死亡率因素、费用因素等，分析了资产份额定价法的优势【2 1 。c h a r l e sh ( 1 9 7 0 ) 指出由于受限于计算水平，资产份额的计算只能基于经验假设，指出对假设条件 进行深入研究的重要性【3 1 。另外一批学者对资产份额定价法作了应用拓展： r o b e r tt 、j a c k s o n ( 1 9 5 9 ) 用资产份额法计算红利，为如何利用资产份额定价法 分配红利开创新方、法【4 l ；d o n a l dr 、s o n d e r g e l d ( 1 9 6 2 ) 利用f a c k l e r 准备金计算 方法对资产份额法计提准备金方法进行改进1 5 1 ；e r n i ef r a n k ( 1 9 7 3 ) 利用在一系 列精算假设下，用资产份额定价法分析了保费收入和利润之间的关系1 5 1 ；e d w a r d s c h e n ( 1 9 7 3 ) 阐述了如何运用资产份额定价法计算万能保险的保费和准备金【6 i ； p e r t o nj 、h u f f m a n ( 1 9 7 8 ) 简化了资产份额的计算流程，使资产份额定价法更 具有可操作性【7 1 。a t k i n s o n 、d a v i db ( 1 9 9 8 ) 详细阐述了资产份额定价法在保险 定价的应用研究以及可能的发展前景f 8 】。s h o l o mf e l d b l u m ( 1 9 9 6 ) 阐述了如何 运用资产份额定价法对财险和意外险定价，并分析了定价各种精算假设，比较了 其与寿险、健康险定价用的精算假设的不同，开创了资产份额定价法运用于非寿 2 硕上学位论文 险定价研究的先河1 9 j 。r o b e r te w i n a w e r ( 2 0 0 3 ) 分析了资产份额定价法的不 足，提出利率及死亡率等波动因子对定价的影响重大，提出资产份额定价法应该 考虑这些因子对保费的影响1 1 0 】。b a c i n e l l o ( 2 0 0 5 ) 提出了用递归算法解决纯保费 与资产份额相互决定的难题“。 近年来，随着金融及数学理论的发展和完善，金融研究方法和数学处理技巧 也运用到精算保险领域，且相互渗透。f i s c h e rb l a n k 和m y r o ns c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 利用数学方法发展了期权定价理论，奠定了欧式期权定价的基础【1 2 l 。b i s m u t ( 1 9 7 8 ) 首次提出线性情况的倒向随机微分方程( b a c kw a r ds t o c h a s t i c d i - f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) ，这是随机微分方程史上的一大进步【”1 。著名经济学家 d u f f l e 和e p s t e i n ( 1 9 9 2 ) 由研究随机效用问题而独立得到倒向随机微分方程【2 l ， k a r o u iel ，p e n gs & q u e n e zmc ( 1 9 9 7 ) 研究了倒向随机微分方程在投资决 策中的应用。由于保险投资收益与保险定价的利率假设的密切关系1 1 4 1 ，许多学者 通过研究保险投资问题来研究随机利率与保险定价关系：r a l f k o r n ( 2 0 0 4 ) ( 2 0 0 5 ) 讨论了关于保险公司在一定保费规模和w o r s t c a s es c e n a r i o 的最佳组 合投资收益问题，并为投资者如何考虑风险资产提供了相应的投资策略，同时应 用随机动态规划理论来解决此问题1 1 5 】。a l b e r t of l o r e a n i ( 2 0 0 7 ) 考虑了加入随机 利率和债券投资对分红保险定价的影响，并指出分红保险产品的价格很大程度上 依赖于未来的投资组合收益，但是没有指出保费与投资策略之间具体的关系。 m i l l i m a n ，i n c ( 2 0 0 8 ) 研究了在嵌入期权寿险产品以及年金保险产品精算假设 及定价问题，指出随机因子是精算假设中应该重点考虑的因素，并指出利率因子 对寿险产品及年金产品定价的重要影响【1 6 1 。 1 2 2 国内研究综述 国内对资产份额定价法研究比较晚。李秀芳在2 0 0 0 年出版的寿险精算实务 首次引入了资产份额定价法，从各个方面详细阐述了资产份额定价法，并且分析 了利率、死亡率等各因素对同一保单的现金流影响，并且在此书中提出了分析资 产份额定价法的一个保险合同计算实例，而后在2 0 0 6 年的新版的寿险精算实务 中在前本书的基础之上提出了资产份额的缺陷，不能给保险公司提供投资决策 等，但是并没有给出解决问题的方法【1 7 1 。郭雁等人( 2 0 0 0 ) 利用e x c e l 软件通过 一个具体的实例演示了如何分析和计算寿险保费，具体来说就是为了达到预期的 3 嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及应用研究 利润目标、或者预期的投资报酬率目标( 在e x c e l 软件工具中通过设置完成) ，利 用该软件的计算功能可以得到该寿险产品的最低的保险费率，该方法改变了提高 了保险费率的计算速度，但是该方法存在一个缺陷，也就是不能反映某一参数的 变化对保险费率的影响1 1 8 】。石玉风( 2 0 0 5 ) ( 2 0 0 6 ) 简要阐述了资产份额定价模型， 以数理角度构建了动态资产份额定价模型【1 9 2 0 。黄向阳( 2 0 0 7 ) 以s o a 精算教材 为例简要分析了资产份额定价法的现状，指出传统的资产份额定价法缺乏创新， 为了适应保险市场新兴保险产品的出现，为了使资产份额定价法更好地服务于保 险公司，倡导研究人员应该在新的经济形势下运用随机控制理论对资产份额定价 法进行改进研列2 。另外，与本文基础理念相关的文献有：周桦( 2 0 0 8 ) 通过分 析分红保险中的固定利率、资产份额对保费的影响，研究了分红保险纯投资账户 的定价问题1 2 2 1 。钟凡( 2 0 0 9 ) 分析了投资收益与寿险经营绩效的关联，并在r m p 假说的基础上指出定价决策与投资收益有密切联系【2 3 】；狄美华( 2 0 0 9 ) 年阐述了 特殊形式的倒向随机微分方程在金融市场中的应用【2 4 1 ；金志明( 2 0 0 9 ) 分析了我 国前两个降息周期对寿险市场的影响，并分析了本轮降息对寿险公司定价的影 响，提出寿险公司在产品定价方面的策略【2 5 l ；李良温【2 6 1 ( 2 0 1 0 ) 以及邓西贝( 2 0 1 0 ) 分别阐述了寿险预定利率市场化对寿险公司经营、产品开发、定价的影响【2 7 1 。 1 3 研究内容及思路 本文在目前的研究现状下，通过参阅国内外相关文献，依据保险投资的相关 知识、运用数学方法，嵌入波动利率因子重新构建了资产份额定价模型，对传统 资产份额定价法进行改进，得出两条推论，最后通过实例及模拟分析对推论的应 用进行研究。论文主要包括以下几部分： 第一章绪论阐述本文的选题背景及写作意义，对国内外关于资产份额定价 法、嵌入随机因子的保险定价及倒向随机微分方程应用进行文献综述，介绍本文 研究内容和思路。 第二章资产份额定价法原理及构成因素阐述资产份额定价法原理，分析 资产份额定价法的各个构成因素，并指出资产份额定价法的优势和缺陷，即不能 体现利率( 投资收益率) 、死亡率等具有波动性质的因子对保费的影响。 第三章嵌入波动利率的资产份额定价模型构建依据保险投资及倒向随机 4 硕士学位论文 微分方程的基本知识及相关理论，在一定假设条件的前提下，通过数学推导，在 传统资产份额定价公式的基础上嵌入波动利率，完成模型的构建，并得到两条推 论，扩展了传统资产份额法的应用。 第四章嵌入波动利率的资产份额定价模型应用利用e x c e l 以及m a t l a b 软 件，通过数据模拟，分析了改进后的资产份额定价法在保费厘定、以及提供投资 决策方面的优势。 最后是结论，指出本文的创新之处及不足。 嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及戍用研究 第2 章资产份额定价法原理及构成因素 精算理论主要包括保险产品的开发与定价、保险准备金评估以及保险准备金 提取、再保险计划安排，以及保险公司的整体财务风险的控制等四个方面。其中 产品开发与定价是其中最重要一环，因为产品开发与定价是否合理不仅关系到保 险人保险业务的开展，而且关系到保险人的偿付能力以及盈利能力，甚至关系到 保险人在整个行业的竞争地位。资产份额定价法最早运用在寿险定价领域，在 1 9 6 0 年之后流行于寿险定价领域，随着资产份额定价法的不断发展和完善，在 一定精算假设前提下，资产份额定价法也运用于非寿险定价领域。本章从寿险定 价角度阐述资产份额定价法的基本原理并对其定价公式中的各构成因素进行分 析。 2 1 资产份额定价原理 2 1 1 资产份额与资产份额定价法 资产份额代表的是单位保额有效保单的资产。保险人首先对发行时间相同的 大量保单进行资产的规划，勾画出这类保单不同时间点上的保费、费用、死亡给 付、退保给付、红利给付等，用利率进行积累，这些用利率积累后的现金流就是 每个时间点上的资产。其中，资产用资产份额表示，负债用期末准备金表示，盈 余就是两者之差，需要说明的是这两者都是针对有效保单的。 本文后面讨论的公式都是以单位保额有效保单为基础。其中单位保额一般定 义为1 0 0 0 元死亡保险给付，这个基础同样适用于现金价值和准备金因子。有效保 单是指某一时点的保险人正在承担的保单单位数，需要注意的是：有效保单是一 个时点指标。未来单位保额的有效保单在生存因素与利率因素的综合调整下会减 少，特别是当利率和失效率很高的情况下。例如：同一份保单第2 年的单位保额 有效保单的1 元利润与第1 0 年的单位保额有效保单的l 元利润是无法相比的。同时 另外一个需要关注的是承保的单位保额保单，承保的单位保额保单与单位保额有 效保单与的关系是：承保的单位保额与保单生存概率相乘就是单位保额的有效保 单。 6 硕士学位论文 资产份额定价法是寿险定价的主要方法之一，它可以分析一份寿险保单从生 效到期满整个生命周期的盈利能力。其具体方法是根据构成总保费的几个基本因 素( 利率、死亡率、退保率、费用率、准备金、现金价值等) ，在保险公司预期 利润目标下，根据以往的经验选取一个合适的保费代入资产份额公式检验，如果 选取的保费所计算得到的利润与预期利润差距较大，则更换另一保费代入检验， 如此反复，直到选取的保费得到的利润结果与预期利润目标差距最小，此时得到 的保费就是最终的总保费。由于这种方法与资产份额有密切的联系，因而称为资 产份额定价法。资产份额类似于一个账户，分为贷方和借方，贷方为各年的保费 收入和投资收入，借方为死亡给付、生存给付、退保金、红利以及费用等支出。 资产份额即为年末的账户余额，每张有效保单的账户余额可以根据保单保额除以 年末有效保单得出。资产份额定价法的具体计算公式为： 七+ la s p ( 7 五= 【 彳s + g ( 1 一c 丘) 一e k1 ( 1 + f ) 一g ! & 一g ：；l 七+ 1c 矿 ( 2 1 ) 其中： 。a s 表示保单签发后第k 个保单年度初的资产份额 g 表示毛保费 c 量 表示在时点k ，营业费用占毛保费的比例 pk 表示在时点k 支付的固定费用 川c v 表示在第k + 1 个保单年度退保的在年末支付的退保金额，即保单现金 价值 9 1 表示的 + 七) 被保险人在o + k + 1 ) 之前死亡的概率 g 墨 表示的o + 七) 被保险人在 + k + 1 ) 之前退保的概率 p 殳i表示o + 七) 的被保险人在 + 后+ 1 ) 之前既不死亡也不退保的概率 由p ! ：= 1 一口：匕一g ：得至u ： + l 彳s 爿 a s + g o q ) 一吼】( 1 + f ) 一g 盟( 1 一摩+ l a s ) 一g 雯( t + l c y l “a s ) 7 嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及虑用研究 2 1 2 资产份额定价基础 在精算实务中，利用资产份额定价法对保险产品定价是一件极富挑战的工 作。因为资产份额定价法要求在一系列精算假设上进行，其中包括利率假设、死 亡率假设、退保率假设、以及费用率假设等；同时要求得到的保险费率必须能够 反映出多种多样的、有时甚至是相互矛盾的被保险人、管理层、股东等的要求； 另外还要受到监管部门的监管，受到整个保险公司的偿付能力的限制。类似于其 它的寿险定价方法，资产份额定价法的定价过程必须遵循几个基本原则：充足性 原则、公平性原则、合理性原则、可行性原则、稳定性原则、弹性原则。 影响资产份额定价假设的因素很多，主要分为四类：( 1 ) 经济和社会环境因 素：与保险资金运用相关的无风险资产( 银行存款、债券) 、风险资产( 股票、 不动产) 的利率波动将会对利率假设产生影响；同时整个社会的经济状况影响社 会的退保率以及伤残率，如经济的衰退将会导致退保率以及伤残率的增长；产品 及市场的状况随人口及其结构变化而变化；计算机技术的发展为产品开发及网上 营销提供良好的条件。( 2 ) 公司的特点：不同的寿险公司会有不同的定价假设的 选择，这是因为每个寿险公司的经营思想不尽相同，根据这些思想决定的定价假 设自然不同，如公司对利润目标的关注程度公司对保费收入增长的关注程度 公司对股东权益的关注程度公司对风险的态度公司对待长、短期目标的偏 向公司类型、公司的投资思想公司选择的定价方法和以及定价公式限制了 定价假设的选择。( 3 ) 整个市场的特点。( 4 ) 保险产品的特点。 资产份额定价法需要遵循寿险定价所遵循的一些数理性质： ( 1 ) 无欺性即保费不能超过最高保额。x 是保险标的的随机风险，p ( x ) 是 保费，m a x ( x ) 为保险标的最大风险，则： p ( x ) m a x 【x ) ( 2 ) 其次性x 是保险标的的随机风险，c 为任意常数。 p ( c x ) = c p ( x ) ( 3 ) 可加性与次可加性x 、y 是相互独立的两个随机风险 p ( x + 】，) = p ( x ) + pp ) 8 硕上学位论文 p ( x + 】，) o 为常数，即x g + f ) 一x g ) 是期望为 0 ，方差为c 2 t 的正态分布； ( 3 ) x ( f ) 是f 的连续函数。 则随机过程江( f ) ，f o ) 是布朗运动或维纳过程。当c = l 时，称口o ) ，f 0 ) 为标准 布朗运动，记为 b o ) ，0 ，此时如果x ( o ) = o ，x ( ，) n ( o ，f ) 。标准布朗运动的 概率密度函数为： z g ) = 击p 一云厶) “ ( 3 3 ) 定义2 ： b ( ，) ，o ) 为在概率空间( q ，f ，p ) y _ f 佝a 维布朗运动，用矽，表示由 b g ) ，s ， 所产生的仃代数： 2 l 嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及应用研究 p 。= 盯 b g ) ，仃s f ( 3 4 ) 随机过程墨= x p ，) 称为是矽，适应的，即对于每一个，【0 ，o o 】，x ( ) 是关于矽， 可测的随机变量。关于适应的随机过程，可以理解为：p ，代表了全部信息的集 合。置= x 0 ，f ) 是可测的适应过程，是指在任何的当前时刻气，置= x ，) 在 当前时刻以前的行为是确定的，但是在f 。之后的行为是不确定的，即行为的随 机性表现在将来时刻，而现在时刻之前的行为不具有随机性。 这里给i i l b s d e 典型的数学结构： 卜旺( ，) = ( x ( f ) y ( f 一r o ) u b ( t ) v o ，r ( 3 5 ) ix ( f ) = 孝 “7 其中彳仃) 在t 时刻的目标孝必须是p ，可测的平方可积的随机向量，即 孝r ( q ，p ；r 朋) 。当然，目标孝随机向量也可以取为常数，即给定一个确定的 预期目标。其中x o ) 和】，( f ) 是两个同时求解的适应过程。通过给定一些条件，可 以求出方程的解，其意味着通过给定将来时刻丁时刻的一个随机目标善，可以计 算出要达到这一目标，现在时刻，o 时随机过程x ( r ) 和】，o ) 的起点。以下以一个 简单的例子说明b s d e 在经济领域中的应用： 设一个自融资金且无消费的单身汉，丁为其成家的日期，他计划在丁时结婚， 自己财产要达到善元，他在【o ，t 】期间的决策是：在，时刻将他财产x ( f ) 之中的 】，( f ) 用于购买股票，剩下的x o ) 一】，( f ) 用于购买债券，问他在 0 ，t 】期间如何做出 投资决策，才能达到自己的目标x ( f ) = 孝。根据前面的叙述和说明，这一问题可 以简化为求解下列b s d e 的问题： f 鼎= 詈区o ) 一螂埘o ) ( 3 6 ) i - x 仃) = 孝 内 为了对方程组( 3 6 ) 求解，不加证明的给出以下定理： 定理1 - ( 解存在的唯一性定理) 设x o ) 和】，o ) 是舻，适应的平方可积的随机 过程，孝是给定的矽，可测的平方可积的随机向量，并且对任意的墨o ) 和x ：( f ) 以 】，：( f ) i 】 则b s d e ( 3 5 ) 存在唯一解伍( ，) ，】，( f ) ) 。也就是说如果似。( ，l i ( ，) ) 和伍：( f l 匕( f ) ) 同时为方程( 3 5 ) 的解，必有以下方程组成立： r7 le ，i x 。0 ) - x ：( f ) 1 2 防= o ! ( 3 7 ) i 7 1e i y lo ) 一l ( ，) 1 2 衍= o l 0 运用到方程( 3 6 ) 也就是说，如果单身汉想要达到未来成冢时刻丁的目标，那 么现在时刻，= o 的决策只有一个阻( o ) ，】，( 0 ) 】，决定现在时刻的总投入为x ( o ) ，并 且将其中的j ，( o ) 购买股票。 定理2 ：当b s d e 中厂似( f l 】，o ) ) 满足以下特定形式时，b s d e 有显性解： ，( f l 】，o ) ) = 口，x ( f ) + 6 ，】，( ，) + g ， ( 3 8 ) 其中，g ，为r 上的矽，适应的平方可积的随机过程。其实，这种特定形式在 应用中是常见的，且在实际应用中，x ( o 、r ( o 、g ，、a ，以及也是有界的，那 么b s d e _ 哆( 1 ) - - g ，x ( f ) + 6 ，】，( f ) + g ，一】，6 ) d b ( f l v o f r ( 3 9 ) ix ( ，) = 孝 。 存在唯一解： x q ) - - e 乒仃) 一t ；f 六z g ) 凼p ， c 3 。， 其中，z g ) 是i t 6 方程 燃) = z ( s ) ( a s d s + 仇如g n s 蚓 ( 3 1 1 ) l - z ( t ) - - 1 u j u 从上面的分析不难看出倒向随机微分方程处理问题的实质是：尽管在现在 时刻，投资者无法预测将来某时刻的获利情况，因为，将来是否获利以及获利多 嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及应用研究 少都是未知，是个随机变量。但是根据b s d e 的思想，通过对b s d e 求解，投资 者可以确切计算出现在时刻要如何决策来实现将来时刻的预期目标。也就是根据 b s d e 的求解结果可以确定现在时刻的投资决策：现在时刻的总投入，同时还可 以确定投资于风险资产的投入部分，可以达到将来时刻的预期目标。 3 2 模型假设 第二章分析了传统资产份额定价法及其缺陷，资产份额定价法中应该更好地 反映投资收益情况，并能够给保险人提供投资决策。为了研究方便起见，也为了 与传统资产份额定价法进行对比分析，主要是研究一个保单年度到下一个保单年 度之间投资决策也就是说：研究如何对第k 个保单年度初的资产份额与收取的保 费扣除各种费用后的资金合理的运用，来达到第k + 1 个保单年度初的预期的资产 份额目标。达到下一期的资产份额目标可以看做是对当期资产份额的套期保值。 保险人为了达到自身的资产负债匹配目标与偿付能力要求会有一个预期的利润 目标和各种费用目标。保险人为了实现这些目标，对于现在时刻的资产份额以及 所收取的保费扣除各种费用后会有一个决策，而倒向随机微分方程恰恰与这一定 价的思维方式吻合，为了更好进行模型构建，结合倒向随机微分方程和相关金融 理论给出以下假设： 1 、沿用资产份额定价法的所有变量，并且完全沿用资产份额定价法的符号 表达方式，假定保费收取以及各种费用均于保单年度初发生，退保以及各种给付 均发生于保单年度末。 2 、假定保险人的投资组合由两类投资资产构成：一类是有固定收益率的无 风险资产，另外一类是由带有市场随机波动风险的有风险资产构成，可以是有风 险的投资组合；不考虑市场交易成本费用；假定投资的资本市场是信息完全的， 也就是不存在套利机会。 3 、另外根据模型构建的需要加入一些参数，并在此给出其定义，后文不再 赘述，其中，为具有固定收益投资资产的无风险收益率，有风险资产投资的收益 率为u ，仃为其收益率的波动性，且设有风险投资资产的价格变动是服从一维标 准的布朗运动，同时假设在随机风险波动允许的范围内，有风险投资资产的收益 率大于无风险投资资产的收益率，即u ，。假设无风险投资资产的价格为p o l 6 f ) 2 4 硕十学位论文 有风险投资资产的价格为p ( f ) ，且有风险投资资产的价格可以是某一有风险的投 资组合的价格结果，并且在保单有效期间，( 0 ，丁) 有p ( f ) p 仃) ，这一假设意味 着有风险投资资产在未来时刻是升值的。假设时刻f = k 时有风险投资资产的价 格p 伍) = l 。 4 、结合上面的假设，第k 个保单年度初到第k + 1 个保单年度初的可用于实 现预期资产目标的投资资产为：第k 个保单年度初的资产份额。a s 加上已经收取 的保费g 扣除费用后的余额，也就是。a s + g 一( g c k + 吼) ，假设进行投资t 时刻 的价格为。a s + g 一( g c + 场o ) ，记之为v 0 ) ，则： u ( f ) = 【。a s + g 一( 1 了c k + 气) 】p o ) ( 3 1 2 ) 这里称u o ) 为在，时刻的投资资产的资产额，且f ( 0 ，t ) ，而u ( r ) 在七+ 1 时刻需 要达到预期的资产额为u r ( f ) ，即预期的资产目标。设u r o ) 是p ，可测的平方可 积的随机变量。假设，o ) 为投资有风险投资资产的额度，那么无风险投资资产的 投资资产额度为u ( ，) 一，o ) 。 3 3 模型构建 在此结合b s d e 的思维方式强调u r o ) 的倒向性，即u r ( f ) 中的f 是指丁时 刻的预期资产目标的实现，是通过在f 投入【。a s + g g o k + 吼) 1 p ( f ) 经过变化而 得到的。这种变化来源于投资无风险资产的资产u r ( f ) 一1 0 ) 以及投资风险资产的 资产，o ) 的共同变动而达到的，即： d ur ( ，) = d r ( f ) 一，( f ) ) + d o ) ( 3 1 3 ) 其中： d u o ) 表示的是总投资资产总额的变化量，d ( u o ) 一，( f ) ) 为无风险投资 资产的资产额的变化量，讲( f ) 为投资有风险投资资产的资产变化量。并且有： d o ) = u o + 引( f p bo ) ( 3 1 4 ) 嵌入波动利率的资产份额定价模型构建及应用研究 d r ( f ) 一，( ，”= ， r ( f ) 一，( ，) ( 3 1 5 ) 则总投资额的变化量为： d u ro ) = d ( u r o ) 一，o ) ) + 刃