（计算数学专业论文）双变量基本超几何级数.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 通过级数重排的方法，本论文利用以s e a r s 变换为代表的基本超几何级数公式 系统地研究了双变量基本超几何级数变换及退化公式其具体内容如下： 1 利用s e a r s 变换与级数重排相结合的技巧，建立了十个类型为西譬：和西接2 的g c l a u s e n 级数的广义变换公式并应用所得公式，进一步给出了级数西。1 ：2 2 ：，圣援， 西0 1 3 1 3 1 和圣o 。3 ，2 4 的变换公式，退化公式以及求和公式这些结论不但包含了原有双变 量经典超几何级数的结果相应的q 一级数形式，而且一部分结论即使在经典超几何 级数的意义下也属于新的公式 2 作为上一章工作的继续和延伸，考察了另外两种类型的口一c l a u s e n 级数西嚣：和 西瑶：的广义变换公式通过对参数适当特殊化，建立了一系列关于垂猫，垂猢， 圣2 2 1 4 、西i 嚣，圣 琶和垂怒的二重级数恒等式这些内容丰富的结果，证明了s e a r s 变换确实是研究q - c l a u s e n 级数的有效工具 3 利用基本的求和公式和变换公式，研究了几类带有任意序列的广义双变量g - 级数 恒等式据此，推导出了多个q - k a m p d ef 6 r i e t 函数类型的退化公式和求和公式 其中的某些结果可以看作 2 0 ，e q 1 3 和【2 1 ，e q s 2 1 ，2 1 0 ，3 8 的口模拟形式 关键词：基本超几何级数；q - g a u s s 求和定理；q - c h u - v a n d e r m o n d e 卷积公 式；q - p f a f f - s a a l s c h i i t z 公式；s e a r s 变换；k a m p d ef d r i e t 函数 双变量基本超几何级数 b i v a r i a t eb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s a b s t r a c t b yc o m b i n i n gs e r i e sr e a r r a n g e m e m ，b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e st r a n s f o r m a t i o n s ，s u c h a ss e a r st r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a e t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e sd o u b l eb a s i ch y p e r g e o m e t r i c s e r i e si d e n t i t i e s t h ec o n t e n t sa r ea sf o u o w s ： 1 b ya p p l y i n gs e a r st r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a ea n ds e r i e sr e a r r a n g e m e n tt e c h n i q u e ，w ee s - t a b l i s h s e v e r a lg e n e r a lt r a n s f o r m a t i o nt h e o r e m sr e l a t e dt oq - c l a n s e ns e r i e s 西o l ：s l w ；aa n d 西o l ：2 2 ：；a m o r e o v e r ，w es h o wm a n yt r a n s f o r m a t i o n ，r e d u c t i o na n ds u m m a t i o nf o m u l a e o n 垂0 1 2 2 2 2 ，垂0 1 2 2 3 3 ，圣2 嚣a n d 圣2 器a ss p e c i a lc a s e s t h e s ei d e n t i t i e sn o to n l yp r o v i d eaf i i l l c o v e r a g eo ft h eq - a n a l o g u e so ft h ed o u b l ec l a s s i c a lh y p e r g e o m e t r i cs e r i e sr e s u l t s ，b u ta l s o i n c l u d es e v e r a ln e wf o r 瑚u l 舱 2 a sc o n t i n u a t i o no ft h ew o r ki nt h ef i r s tc h a p t e r ，w e 印p l yt h es e a r st r a n s f o r m a t i o n s a g a i nt od e a lw i t hg e n e r a lt r a n s f o r m a t i o n so i lo t h e rt w ot y p eq - c l a u s e ns e r i e s ，2 2 ：0 1 ；aa n d z 1 1 ：2 1 ；p a f u r t h e r m o r e s e v e r a ld o u b l es e r i e si d e n t i t i e sf o r 圣2 2 0 1 2 1 ，圣器2 ，圣2 2 0 3 1 4 ，垂 i ；，西 趁a n d 圣1 1 2 1 4 3a r ed e r i v e dt h r o u g ha p p r o p r i a t ep a r a m e t e rs p e c i a l i z a t i o n t h ev a r i e t yo ft h er e s u l t s o b t a i n e ds h o wt h a tt h es e a r st r a n s f o r m a t i o n sa r ei n d e e dp o w e r f u lf o rs t u d y i n gq - c l a u s e n s e r i e s 3 w ep r e s e n ts e v e r a lc l a s s e so fd o u b l es e r i e si d e n t i t i e sb yu s i n gs u m m a t i o nt h e o r e m sa n d t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a e a n dw ea l s os h o wh o wt h e s eg e n e r a lr e s u l t sw o u l da p p l yt o y i e l ds o m er e d u c t i o na n ds u m m a t i o nf o r m u l a ef o rq - k a m p 6d ef 6 r i e tf u n c t i o n s s o m e o ft h e s eq - s e r i e si d e n t i t i e sm a yb ec o n s i d e r e da sq - a n a l o g u e so ft h er e s u l t st h a ta p p e a r e d i n 2 0 ，e q 1 3 】a n d 【2 1 ，e q s 2 1 ，2 1 0 ，3 8 】 k e y w o r d s ：b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ；q - g a u s ss u m m a t i o nt h e o r e m ；q c h u - v a n d e r m o n d ec o n v o l u t i o nf o r m u l a ；q - p f a i f - s a a l s c h i i t zf o r m u l a ；s e a r st r a n s - f o r m a t i o n s ；k a m p 6d ef d r i e tf u n c t i o n s 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是作者本人在导师指导下进 行的研究工作及取得研究成果尽作者所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已经发表或撰写的研 究成果，也不包含为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证 书所使用过的材料与作者共同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：霆煮；堑日期：鱼2 配! 笸：至夕 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定。，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复e 口件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文 作者签名； 导师签名： 年月日 大连理工大学博士学位论文 0 前言 1 8 1 2 年，c f g a u s s 在他投给g b t t i n g e n 呈冢科学院的著名文苹【3 2 】里研究7f 面的无穷级数 ，+ 瓮。+ 谢z 2 + 等酱等擀冉， 其中分母里没有零因子出现，也就是c 0 ，- 1 ，- 2 ，通常我们称它为g a u s s 级数或 一般超几何级数，并引入下面的记号 。卟2 小薹瓣以 ( o 叭) 其中( n ) 。= a ( a + 1 ) ( a + n 一1 ) 称为a 的n 次升阶乘g a u s s 在同一篇文章中还给 出了下面的求和公式 ：f 1 l = r ( c ) r ( c - a - b ) r ( c 一。) r ( c b ) r e ( c 一口一b 1 0 ， 这个公式通常被称为g a u s s 求和定理( g a u s s 求和公式) 从不同的角度出发，众多学者对g a u s s 级数做了各种推广 首先，t c l a u s e nf 2 5 1 用增加参数个数的方法扩展g a u s s 级数概念，并研究了含三个 分子参数和两个分母参数的一类级数其后，a c d i x o n ，j d o u g a l l ，l s a a s c h i i t z 、 f j w w h i p p l e 等开展了对广义超几何级数的研究并陆续给出很多著名的求和定理， 关于他们的具体工作可参考文献w n b a i l e y 1 1 和l j s l a t e r 6 9 】 在g a u s s 的文章发表3 3 年后，e h e m e 3 5 - 3 7 研究了下面的级数 ：小孙q b 。 - 薹燃以h q ， 其中c 0 ，一1 ，- 2 ，一，( 矿；q ) o = 1 ，( q a ；g ) 。= ( 1 一q a ) ( 1 一口1 ) ( 1 一q n + a - 1 ) ，n = 1 ，2 ，- 1 双变量基本超几何级数 注意到h 。1 之二生= n ，因此当口一1 时，上面的级数2 砂1 趋向g a u s s 级数，这 时称( 0 0 2 ) 是g a u s s 级数( 0 0 1 ) 的q 一模拟考虑到口时，又称它为基本超几何级数 或铲级数 h e m e 系统地研究了基本超几何级数2 j 1 1 ，不但给出了g a u s s 求和公式的q 一模拟， 而且得到了一些关于级数2 毋。的变换公式之后，他又研究了q 一二项式定理、j a e o b i 三 重积恒等式以及有关幂级数、r 函数和b e t a 函数的一些公式的g 一模拟受到h e i n e 工 作的启发，在1 9 世纪后期，j t h o m a e 【7 8 与l j r o g e r s 6 2 ，6 3 1 开始了在这一领域的 研究 f h j a c k s o n 将其毕生的精力投入到了对基本超几何级数的研究中，他 3 9 - - 4 1 】 研究了口积分、q - 微分理论并推导出了由d i x o n 、d o u g a l l 、s a a l s c h t i t z 、w h i p p l e 及其他人发现的超几何级数求和公式和变换公式的俨模拟在上世纪三四十年代， b a i l e y 【1 1 1 5 】在超几何级数和基本超几何级数领域做出了突出贡献，其最重要的结果 是发现了b a i l e y 变换，双边级数6 妒6 的封闭求和公式并将j a c k s o n s8 7 求和公式以 及w a t s o n sv e r yw e l l - p o i s e d8 妒7 变换公式推广到非终止形式到二十世纪五十年代， d ，b s e a r s 、l c a r l i t z 、w h a h n 和l j s l a t e r 等对基本超几何级数的发展做出了杰 出的贡献s e a r s 推导出级数3 妒2 ，平衡的级数4 九和v e r yw e l l - p o i s e d 级数。+ 1 “的变 换公式而w a t s o n 和s l a t e r 则从c o o u r 积分的观点发展了基本超几何级数理论 p a p p e l l 于1 8 8 0 年从另个方面对g a u s s 函数进行推广，提出了双变量超几何级 数的概念他系统地研究了四类含有两个自变量的双重和级数并与j k a m p d ef 6 r i e t 合作在1 9 2 6 年出版了这方面的专著 1 0 】 1 9 2 1 年，k 锄嘶d ef d r i e t 又将双变量级数推广到广义双变量超几何级数，后人将 其命名为k a m p d ef d r i e t 函数定义 1 0 ，4 8 ，7 6 如下t f 。a ：r ；s 。 智：麓；舒；：；铥0 j ，乏；i x , y = 熹。黯糖黩黼籍， 级数的收敛条件可参考s r i v a s t a v a - d a o u s tf 7 4 和h a ie ta 1 【3 4 】满足条件入+ r = 3 和 p + “= 2 的k a m p d ef d r i e t 函数，称为双变量c l a u s e n 级数f 5 2 ，5 3 】它是双变量超几 何级数中最为熟知的研究对象涉及更多变量的超几何级数可参考l a u r i c e l l a 5 5 】 无论是单变量的经典超几何级数还是单变量的基本超几何级数，变换公式和求和 公式都起着非常重要的作用然而，对于双变量和多变量的超几何级数，只有一些零散 的结果r n j a m 8 8 首先得到一个特殊的姥智( 1 ，1 ) 级数的求和公式，lc a r l i t z 1 9 】 推出级数唰1 ：2 = ：2 ；2 2 ( 1 ，1 ) 的一个求和公式h m s r i v a s t a v a 【t o 将这两个公式推广到g 级数 形式并在文献 t 3 中对它们作了更深入地研究r p s i g h a l 6 7 得到了关于f u = 1 ：。2 ；2 ( 、1 ，1 ) 2 大连理工大学博士学位论文 和冠鬻( 1 ，1 ) 的两个变换公式，随即，s p s i n 曲 6 8 研究了其相应的q 模拟形式 另外，p w k a r l s s o nf 5 2 ，5 3 】利用级数变换与积分表示的方法得到了参数或自变 量满足一定条件的c l a u s e n 级数的退化和变换公式最近，p a l e ee ta 1 得到了一个 关于双变量k m d ef 6 r i e t 函数的有意义的变换公式f 5 6 ，p 3 1 5 受到这个公式的启 发，k a 出s o ne ta 1 54 运用积分表示的方法得到了与l e ee ta 1 的结果密切相关的双变 量超几何级数变换公式其后，c h u - s r i v a s t a v a1 2 4 利用基本的形式幂级数方法和级数 重排相结合的技巧，不但推广了k a r l s s o ne ta 的结果，而且成功地建立了这些结论相 应的g - 级数形式 大部分双变量超几何级数恒等式的发现来源于对物理量子论f 8 0 】中角动量的野 系数问题的研究9 - j 系数( 也称为l s - j j 系数) ，在角动量中起着非常重要的作用【1 6 ，8 5 1 9 0 系数可以表示为3 0 系数，的系数、超几何级数、超几何级数类型的正交多项式的形 式等等现在已经有很多关于叼系数与多变量超几何级数的公式，其中相对简洁漂亮 的是由a l i j a u s k a s - j u c y s 【4 】得到的一个三重和级数形式的表达式j u c y s - b a n d z a i t i s 47 1 独立地发现了这个公式，并作了更深入的研究 但是从多变量超几何级数出发研究不同类型的结构复杂的三重和级数的计算比较 繁琐，因此，专家猜测是否存在9 - j 系数的双重和级数的表达形式? 后来发现，当只考 虑单的( s i n g l y ) s t r e t c h e d9 - j 系数( 即即系数中的个参数是其中另外两个参数的和) ， 则相应的大多数的三重和式可转化为简单且易处理的双重和式s j a l i a u s k a s 【5 】利 用这些双重和式推导出了很多双变量超几何级数的变换公式并考虑了相应的q 一级数 形式根据即系数的对称性和它对应的三重和级数的不对称性，s n p i t r ee t0 2 ， 5 9 1 给出了一系列关于级数醒：嚣( 1 ，1 ) 的新的退化公式和求和公式( 包含了j a i n 的结果) 利用同样的方法，j v a n d e r j e u g te ta 1 【8 1 】对9 - j 系数做了更深入的研究，又推导出 了一批关于级数髫( 1 ，1 ) 和瑶髫( 1 ，1 ) 的退化公式和求和公式( 包含了c a r l i t z 的结 果) 最近， w c c h a ne ta 1 和k y c h e r te ta l 利用二次变换与求和定理得到了多 个带有任意序列的广义双变量级数变换公式，并由此推导出了新的a p p e l l ，k a m p d e f 6 r i e t 和l a u r i c e u a 类型的超几何级数恒等式有关广义的双变量超几何级数，还可参考 h ，e x t o n 的专著 2 9 1 ，文献a g a r w a l 【2 ，3 】，b u s c h m a n - s r i v a s t a v a 1 8 ，j a i n 4 5 l ，k a r l s s o n 5 1 1 和s r i v a s t a v a - j a i nf 7 7 等等 本文共分三章，其主要内容如摘要所述 3 大连理工大学博士学位论文 1 类型为圣冀：和西准：的q - c l a u s e n 级数 最简单的双变量超几何级数是由a p p e u 在1 8 8 0 年首先提出的，我们现在也将其 称为a p p e l l 函数b a i l e y 曾在其著作【1 1 ，c h a p t e r9 】中对a p p e u 函数做了简单概括 s r i v a s t a v a 与k a r l s s o n 7 6 1 收集了很多广义的双变量超几何级数即k m p 6d ef 自i e t 函 数的恒等式在双变量超几何级数领域研究相对较多的是双变量c l a u s e n 级数，尤其 是关于f 磁、f 嘴这两种情况，有关文献可参考s i g h a l 6 7 】，k a r l s s o n 【5 0 ，5 3 】，v a nd e r j e u 昏 5 9 ，8 0 ，8 1 】等等但是到目前为止，涉及双变量基本超几何级数的文献只有为数 不多的几篇，可参考c h u - s r i v a s t a v a 【2 4 ，s i n g h 【6 8 】和v a nd e rj e u g t 【7 9 等人的文章 在本章中，我们首先利用s e a r s 变换与级数重排的方法，建立了十个带有任意序 列q 的非终止型，半终止型以及终止型的广义双变量基本超几何级数的变换公式然 后对其中的q 取特殊值，从而可以得到许多关于西0 1 2 2 2 2 ，面摇， i i i 和蛋0 1 3 1 4 2 的恒等 式 1 1 双变量基本超几何级数 在本节，我们介绍一些关于双变量基本超几何级数的概念 对于两个参量z 和g ，q - 移位升阶乘定义为 ( ；g ) o = 1 与( 。；g ) 。= ( 1 - q k z ) ，n = 1 川2 一 k = 0 当i q j 1 时，我们可定义下面的无限乘积形式： ( 霸g ) * = 血( i - q x ) 和p ；g h = 石( 再x ；再q ) o 忑o ，当n z k = 0 、 7 一 此外，为了简洁方便，我们引入下面的紧凑记号： a ，b ，c ，口k ：= ( o ；口) 。( 6 ；g h ( 。；g k 5 双变量基本超几何级数 其中等式右端的分母没有零因子出现，也就是分母参数 k ) 一，都不等于q m ，m n o ， 如果b l b 2 b 。= q a o a l 畔且z = q ，我们称基本超几何级数1 + r 以为平衡的如 果o o ，n 1 ，。r 中至少有一个是q m 的形式，m n 0 ，并且q 0 那么，我们称基本 超几何级数l 押九为终止的( t e r m i n a t i n g ) 如果r = s 且a i b = q a o ，i = 1 ，2 ，r ，我们 称基本超几何级数1 + ，九为w e l l - p o i s e d 特别地，如果有口l = q 瓦i 和a 2 = 一q v 俪，那 么我们称级数l + r 九是v e r yw e l l - p o i s e d 我们仅列举了几个基本定义，对于其它的记号和术语，请参考g a s p e r - r a h m a n 的 专著f 3 3 】 s r i v a s t a v a - k a d s s o n 7 6 ，p 3 4 9 1 给出了q - k a m p dd ef 6 r i e t 函数的定义： 西x ：r ；8 院卢i , - - - 豁a 6 l ，l , - - - ，, k a r ；缸：怒q ”：z ，引 = 熹糍黩鞣般糍毪罴茅 ( 1 1 2 a ) ( 1 1 2 b ) 不难验证双变量基本超几何级数圣：繇在满足条件t ，互n o ，i x l 1 ， 1 且i q l 1 时是收敛的 如果求和下标m 和n 均为终止( t e r m i n a t i n g ) 或非终止( n o n - t e r m i n a t i n g ) 的，相应 地我们称级数圣篓r 。；8 为终止型或非终止型如果求和下标m 和n 中有一个为终止的， 而另外一个为非终止的，我们称西：茹r ；s 为半终止型 1 2 非终止型双变量级数圣茂： 定理1 1 ( 变换公式) ：对任意的复数序列 n 0 ) ，下面的级数变换公式成立 丽 d , d e 研a b c ；丽q o o 妻赢禁溉绷l r 蛳蚴(1z1a)ij【d o ，d e 吣q 】o o厶( 8 ；g ) t 州( 。；g ) ；( g ； 一。7 ”一7=o q ) i ( q ；q ) j a b c ) =塞(：)4酾a,eb,ec；qi(deabc；q)3 q ( 1 2 r l b ) 在这里，我们假设上面两个级数是绝对收敛的 证明：利用k u m m e r i t h o m a e - w h i p p l e 变换的q 一模拟【3 3 ，i i i - 9 。也卜爱州c；磊d e = 面 d a , 丽d e b c ；q ”s 庐：卜z bd e e c 妇降羽， ( 1 2 2 ) 堡沁 百 叶 r ， d卜 c l = 司 皴憧 阿 一 几 ， 髭 脚h 本 m 基脚0 k 九 l 义 。 定 大连理工大学博士学位论文 我们日j 糈【1 2 1 a ) 中的双重和级数整理为 薹蒜s 卟兔：旧别 = 一，t 2 ( j ) q l j d ，a , q j d e b c ；帅q o o 砸2a , e b , e c z - , q ) a d ；q ) j q j dq i d e a b c ； q j d e b c 耐羽 、1 ， l， 驯o 。”2“。口j 一d。a,debc；一qoo。丽flo)蕊(deabc；q)j。【a。，,eb,ec旧aiddeabc；q)jdd。bc；qb 3 w 2 q j a e b c x j ( 口； n ， 【e ， p j =陬da,debc；qo。亳q玎(：)酾a,eb,ec；qli(deabc；q)j n 上式恰好为双重和式( 1 2 1 b ) ，这就证明了上面的定理 口 在定理1 1 中，令 叫) = 蒜糍以 ( 1 2 3 ) 我们就可以得到一个非常广义的关于两个非终止型双变量级数圣：i 嚣和西臀磐i 的变 换公式 如果在证明上面定理的过程中，不利用( 1 2 2 ) ，而利用h a l l 变换c 3 3 ，i i i - l o 。c z 吼爱e 。fq ；别= 镰鬻砒心c , e c , 蜘d e ，a b el 口； ，z q 我们就能建立另外一个广义变换公式 定理1 2 ( 变换公式) ：对任意的复数序列 n ( j ) ) ，下面的级数变换公式成立 匹 4 e,de，abc；q。oo。g玎而)(ia讹；q)i(b啪；q)i(；c；q)if。dke、deac d e b c ； q ) i ( q ；q ) j n 。) ( 1 胁) 【c ， ， ，j i ，一n ( d i g ) 件( 。；g ) ( 口； n k “u 7l 1 。8 = 毫器羰黔雠蔬， z 胁， 5 名两面硒；荔- i 丽丽 ( 1 2 。5 b ) 这里我们假设上面两个级数是绝对收敛的 通过对q 取特殊值( 1 2 3 ) ，定理1 2 产生了一个关于两个非终止型双变量级数 垂：i 嚣和垂箍：+ 。的变换公式 下面我们对定理1 1 和定理1 2 中的n ( j ) 取特殊值，再结合已知的公式，建立一 系列双变量基本韶几何级数恒等式 7 双变量基本超几何级数 例1 1 ：征定埋1 1 甲，取 蚴= 哗辫( 南) ， 则( 1 2 1 b ) 式可重新改写为 壹( ：) 糍d e l b c ；q ；壹黼qd e l b c ；q ( 器) ，(1z6)： 台l n ，【q ，e 台【g ，。 叩7 ”7 然后利用q - g a u s s 求和定理 3 3 ，i i - 8 。妒， 0 2 = 黼 ( 1 z r ) 计算( 1 2 6 ) 式中关于j 求和的部分最后经过一些简单的计算，我们就得到下面的退 化公式 命题1 2 ( 退化公式 5 9 ，e q 4 】的q - 模拟) ： 噬帷。，d 。a 刁箱一。，如? 晰l = 骺麓鬻t 九卜 a , e 如b 嗍, e c , d d e e b 。c 针b 1 旧 进一步作替换卢一d 6 ，则上面的级数4 咖3 转化为一个3 j 1 2 级数利用h a l l 变换公式 ( 1 2 4 ) 对其作变换 a 如 。一。，b 影函l 州a = 鼍象黼s 。 们鬈? 最。b e ，叫， 我们就可以从命题1 2 推导出另外一个退化公式 推论1 3 ( 退化公式【5 9 ，e q 2 s 的q 一模拟) ： 西餐巾? 吼d 住肚d b , ；1 ；躬d e 0 i o a b ，c , 1 e 细l = 丽 e c , 瓣d e a 丽b ；q o os 咖。 d 0 鬈? 昂6 | q ；e 叫 在上式中再令吖= 1 ，就得到封闭求和公式【5 0 ，e q 2 】和【5 9 ，e q 2 9 的q 一模拟 西。1：3i；31j?。!；。；d7aa,。d。bk,；17c；q：。de，l。a，b，c，。=；瓣 8 大连理工大学博士学位论文 蚴) = 像畿瓣， 然后利用命题1 2 重新改写相应的( 1 2 i b ) 啦引蕊：吣。洲b 礁, o t ，鼬0 7 0 ：d a y , i = 瓦 e 刁c , d i e 磊a b 丽, d ；q o ot 九 d 幺，d d 。曲b , ，c a , 卢c 口lg ；e t -c 12 再瓦面瓦五i 4 锄【d ，4 d e 曲，卢l g 8 c j 经过化简后，我们可得到下面的退化公式； 命题1 4 ( 退化公式【8 1 ，e q 1 3 的q 一模拟) ： 嘣e 吼劭篱雠0 1 0 d e a 了b c8 l = 黼a 妒。 鬈蛳d b , 删c a , e pm c 看迓一步职行殊僵a d c ，则从简越1 4 我们骺得到将双变量级数退化为3 2 级数的 一个退化公式 例1 3 ：在定理1 1 中，令 a = q - n , e 卅1 州和蚴= 臀( a 1 南) ， 然后对求和下标作替换一k + n 一 ，我们可将( 1 2 1 b ) 重新改写如下： c l z j b ，丽 d a , d e b c ；q c 。考警娄眨鼍嘉娶篙高塞挚 。 x(堂)瓣qn+iaot q n - 、 o o “7 ：口i lq ：口l 利用q - g a u s s 求和公式( 1 2 7 ) 计算后一个求和项 。妒zr 层旷q n - - 训1 1 a ；百q - n + i a = 群等， 经过简单计算我们有下面的表达式： ( 卢；q ) n ( 7 ；口) 。( q 卢；g ) 。( n 1 ；口) 。( q - n a 、n ( d ；口) 。( o ；g ) ( 口一n o p 7 ；口) o 。卢 t 妒sh # 。- 讯n b d g l - q l - w n c d , q 叫- h a 7 7 所 q ；q n + l 割 最后将4 九一级数进行逆变换( 即求和指标一n 一奄) ，我们可以得到下面的命题 9 双变量基本超几何级数 命题1 5 ( 退化公式【5 9 ，e q 5 的q 一模拟) ： 拱1 ：i ；3 1kq l - q - n 。, 啪b , c ；删苫一g 。，。q ，q - ，n 。垆 =丽db,dc；qn面ct,3,厩al石；qoo4 毋s 防卢, 砌d 川b ci d b c ；d bd c 叫瞄纠。妞，n p 鲥。”。【 ， ，卵1 理j j 特别地，令p d 6 ，一d c ，上式中的4 3 一级数可化衙为一个2 庐1 一级效然后通过 q - c h u - v a n d e r m o n d e 卷积公式【3 3 ，i i - 6 。咖， q 一”，glq ；g = 。n ( c i 而a ；q ) n ( 1 2 8 ) 计算级数2 1 ，我们可以得到下面的封闭求和公式 推论1 6 ( 求和公式 5 9 ，e q 删的q - 模拟) ： 圣0 l ：3 l ；3 1 i - - d ：口q 1 - 一n 。6 b c , c d ；9 ”4 d n b ；8 7 q9 ：q o , ，q - o ，。1 4 2 l = 丽 d b 瓣, d c , q 孤d a ；丽q n 臀瑞器( 护 类似地，当a q c 7 且p d l b 时，我们可从命题1 5 得到另外一个双变量基本超几 何级数的封闭求和公式 推论1 7 ( 求和公式 5 9 ，e q 3 5 】的g 一模拟) ： 喵峨q 1 - q - n 毗, b , 旭c ；r d , d b 一4 磋9 “嘲 = 鬻糍俨 例1 4 ：在定理1 1 中，取特殊值 c = q n d 和呦= 藻糕q j ， 然后利用命题1 5 计算相应的( 1 2 1 b ) 式 西o ：3 ：3l 一： q 一”，p ；o ，e b ，q - 1 e d ；q ：d a ，g l l ：l i l i q - n e b ：q b a b e ；8 ；0 ，0 ，1 l 一【g 一“e b a ，q - n e b 卢；q 】。 e a ，q n d ；q c ” iq n ，d o ，q b a e ，q b p el 2 矿砀丽i 历夏丽 e , q n d a ；q o o4 【q l - n a ，q d e ，q b a f l e j 经过整理，我们推导出下面的退化公式 1 0 大连理工大学博士学位论文 命题1 8 ( 退化公式) ： 蚋1 ：1 ；4 2 匠咖：pq 。- - 飞n ，。轧舀层。：q - n e ，。卅 = 6 “i i a i , 丽q d e ；q n2。fi；!：；矬t曲a【q。-zn一,。d。a，,。qdba。，e。,。qb芦p。el 。； 如果将上式的级数4 九进行逆变换，就得到了退化公式( 8 i ，e q 1 4 j 的q 一模拟形式： 砖1 ：3 1 ；i 4 2 二? 0 6 。, ；q n 出q 。- - 一n 叫。影“曲品层9 ：。q ，- h 。e ，曲ia ( t 2 9 a ) = = 1 ：；：；i ；i ! ；i ? 1 ；! ；f ；斋t 毋s 【。q 。- 一n 。, a ，, 。q ，- 。n e 。d ，, 。q 。- ，n 。e 一。b 。a ，p 。p | a ；司( t z 。n ) a = q - n 和刚= 咝等挈越( 害) 【，y ；g j ，d 然后对相应的( 1 2 1 b ) 中关于i 求和的项作s e a r s 变换 3 a ，i i i - 1 3 ： 。卟一，蚓州“翱= 器。p2 广c 叫bd | 口；q ， n z 舯， 则我们可将( 1 2 1 b ) 中的表达式重新整理为 酾(db；q)n黼(醴)。s小“叫ecdebe；dz6 小口 ( g h 急( q ；口) j ( 1 ；口) j ”2 【e ，q 卜”j 6 d 1 2 碡( d 飚b ；q 豌) n 台。阶 q - 1 口1 n , b _ 1 6 , e 旭c ；q 面 i 矿磊塑高等岩蓦铲( 生字) ：! ! 丝! ! ! ! 垃望! ! ：堕丝! 尘箜 k 鱼二：! ! 基f 蔓! l ( ! 生i ! 基( ! 二：塑! 塑! 1 2 1 一 ( d e b c ；口hh ，q - n 邡；g 】。急( q ；q ) i ( e ；q ) i ( q 1 一b d ；g ) t ( g n 两d ；百) ” 其中关于j 求和项的计算我们用到了求和公式( 1 2 7 ) 最后，进行参数替换b = d b ，c 喜卢和e 掌1 ，我们得到了下面的双变量级数退化 a ； 命题1 9 ( 退化公式【5 9 ，e q 6 】的g 模拟) ： 啪垤州：9 一秒一。q ，- 僧a ”叩 =cn【db，,qbe；qg】n：1；!-!：!尝t妒s97n,，db,i6，,q-heqbce； e b c ； q l - n q - n e b 6 c 119 ；g 【d ， g 】。i e ，g 】o 。4 。【 7 ，6 ， q j 1 1 双变量基本超几何级数 例i 6 ：最后在定理1 1 中，取 c = q n d 和蚴= 譬糌( 器) 然后根据命题1 9 重新改写相应的( 1 2 1 b ) 啪* 疏叩瓜r 旭g 一髻；5 ：d 。j o y 7 鼍 = 按糍q l a l d ；滁q n d 滩l a ；t 小”卅q 州d t e 加, d ，缈k ig 旷“e b ，一 q 】。 e ig 】o o ”5i，y o l 经过化简，我们能建立下面的双变量级数退化公式 命题1 1 0 ( 退化公式 8 1 ，e q 1 5 】的q - 模拟) ： 啪啦蚰9 0 善感够a ：r 偿朋例 = 器：q a b 器e ；钨瓣( 生d ) “t s 卜酬q 吼d d e 名搿k i9 1 i q ) n 【e ，e 0 6 ；鲥o 。“。【 ，d ，了 o 特别地若令p 一7 ，上式就转化为封闭求和公式i s l ，e q 2 9 】的q 一模拟； 啪啦蚰a n , q _ , t e l a b ；d a , d 6 ；q ：q - n e a z 6 j e l o , o , 饲 f ! 丝囤! 【! ! ：! 丝! k ( 妒6 c g h e ，e a b ；鲥。 1 3 半终止型双变量级数西：耋立 定理1 3 ( 变换公式) ：对任意的复数序列f n ，下面的级数变换公式成立 砉薹高群糍t 警) 蚴台名。( d ；g ) 州( c ；口) t ( 刚) 地；口) j d b “ ：垒娑墼子! 掣幽! 掣鱼：挚f ! 巫 竺堑! ( c ；n 丢孑毛墨( d ；g ) “o 瞳1 一”。c i 口；g j i ( g ；g ) j ( 形6 ；q b 。 在这里，我们假设上面两个级数是绝对收敛的 1 2 ( 1 3 1 a ) ( 1 3 1 b ) 一盔垄望三盔兰堡主堂垡堡塞 f 铷。n ( 、j 。) 两锄卜害q a b db 了q n + j c d = 薹蔷鬻。妒。阮q l - n a ci 叫 ：掣! 塑生手乒关堡! 五掣挈二：! ! 五( 竺! ! 五旦塑。； ( c ；q ) n 盘急( d ；口) 川k 卜“o c ，q ；口k ( q ；q ) j ( d b ；q 刊) j 上式恰好为( 1 3 1 b ) ，定理证明完毕 现将变换公式( 1 2 ，1 0 ) 进行逆变换，我们有另外一个s e 螂变换； 。屯f 9 一“害2j 。；。”罢 = 1 宅：；：； ( c ) n 3 d ? 2 。 q - n , ，q l - ，n d , c ，ai 。；譬1 口 ( 1 3 2 ) 如果在上个定理的证明过程中，利用变换公式( 1 3 2 ) ，我们能得到下面的定理 定理1 4 ( 变换公式) ：对任意的复数序列u ) ) ，下面的级数变换公式成立 端娄争矗蔫麟淼( 譬) 蚴 = ( ；) ”砉薹臀襻端磊糍( 挚 这里我们假定上面的两个级数绝对收敛 例1 7 ：在定理1 3 中，取特例 蚴= 号毪垃( 字) 。 ( 1 3 ，3 a ) ( 1 3 3 b ) 然后再次利用( 1 2 1 0 ) 改写相应的( 1 3 1 b ) 中关于j 求和的项，我们重新得到了下面的 等式 命题1 1 1 ( 变换公式s p s i n g h 6 s ，e q 3 2 】) ： 圣! ；i i j ? 9 一“，c ? 6 ；9 一”芸8 7 6 ；g ：o q ，n c d a o b ，, a ”p = 端翁当鹕2 ：i ；3 2 匠譬乏名6 。q 一- m , 所1 3 , b ；& ：丞； 双变量基本超几何级数 例1 8 征疋埋1 4 甲，取 呦= 鼍鬻地( 字) ， 然后通过( 1 3 2 ) 整理相应的( 1 3 3 b ) 式中关于j 求和的项 a 西。h m , 州q n - 如d 玩pq ；警 - b m q n 垆- i d 吲b , 一 r 。3 ；q m 。妒：矿q 。- 哪m , q 似l - r 旷a 7 。 b p 7l 口；丁q l - n + i f l 我们重新得到了下面的变换公式 命题1 1 2 ( 变换公式l i e v e n s