（基础数学专业论文）fuzzy拓扑线性空间的进一步研究.pdf

摘要 f u z z y 拓扑线性空间理论是f u z z y 分析学中重要的研究方向本文对局部凸 f u z z y 拓扑线性空间，局部有界f u z z y 拓扑线性空间、局部半凸f u z z y 拓扑线性空 间及f u z z y 线性拓扑空间上的f u z z y 线性序同态作了较为系统的研究主要内容如 下： 1 讨论了局部凸f u z z y 拓扑线性空间两个定义( k a t s a r a s 【1 6 】与吴，李 4 a ，4 5 1 ) 之间的关系，并指出吴和李意义下的局部凸f u z z y 拓扑线性空间是k a t s a x a s 意义 下的局部凸f u z z y 拓扑线性空间的特例引进了集合的。层次结构”和“广义f u z z y 半范数”的概念，并证明了每个k a t s a x a s 意义下的局部凸f u z z y 线性拓扑可由一 族广义f u z z y 半范数确定借助广义f u z z y 半范数研究了k a t s a r a s 意义下局部凸 f u z z y 拓扑线性空间的某些性质，如分离性、f u z z y 集的有界性等 2 给出了局部有界f u z z y 拓扑线性空间的新定义，并将吴，方意义下的局部有 界f u z z y 拓扑线性空间称为( q l ) 型局部有界f u z z y 拓扑线性空间研究了这两种 局部有界f u z z y 拓扑线性空间之间的关系结果表明( q l ) 型局部有界f u z z y 拓扑 线性空间是局部有界f u z z y 拓扑线性空间的特例引进了“广义f u z z y 亚范数族” 的概念，并证明出每个局部有界f u z z y 线性拓扑可由一族广义f u z z y 亚范数确定 3 在方，严所引进的半凸f u z z y 集基础上，给出了局部半凸f u z z y 拓扑线性空 间的新定义，并将方，严意义下的局部半凸f u z z y 拓扑线性空间称为( q l ) 型局部 半凸f u z z y 拓扑线性空间研究这两种局部半凸f u z z y 拓扑线性空间之阔的关系。 证明了( q l ) 型局部半凸f u z z y 拓扑线性空间是局部半凸f u z z y 拓扑线性空间的特 例引进了“广义f u z z y 拟半范数”和“广义f 【l z z y 拟p 一范数”概念，并证明了每 个局部半凸f u z z y 拓扑线性空间可由一族广义f u z z y 拟半范数和广义f u z z y 拟西 范数来表征 4 证明了k a t s a r a s 与吴，方所给两种有界f u z z y 集的定义是等价的进一步， 给出了有界f u z z y 线性序同态的新定义，并将方锦暄所定义。有界f u z z y 线性序同 2 0 0 4 级南京师范大学基础数学张慧博士论文 态”重新命名为“层层有界f u z z y 线性序同态”研究了这两种f u z z y 线性序同态 有界性之间的关系，且也讨论了f u z z y 线性序同态的有界性及连续性之间的关系 5 引进并研究了k a t s a r a s 意义下的局部凸f u z z y 拓扑线性空间的投影拓扑和 投影极限；讨论了f u z z y 拓扑线性空间的归纳拓扑，得到了由单一f u z z y 线性序同 态确定的归纳拓扑的重域基刻画 关键词：局部凸f u z z y 拓扑线性空间；局部有界f u z z y 拓扑线性空间；局部半凸 f u z z y 拓扑线性空间；f u z z y 线性序同态 圣里壁兰丝鱼童堑苎叁兰丝茎兰：堡苎堡圭篁圭 v a b s t r a c t t h e t h e o r y o f f u z z y t o p o l o g i c a l v e c t o rs p a c e s i s a n i m p o r t a n t f i e l d o f f u z z ya 肛a l y 一 8 i 8 t h i sp a p e ra n a l y s i sa n ds y s t e m a t i c a l l ys t u d i e st h et h e o r yi nl o c a l l yc o n v e xf u z z y t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ；l o c a l l yb o u n d e df u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ；l o c a l l y s e m i - c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ；f u z z yl i n e a ro r d e r - h o m o m o r p h i s m s t h em a i nc o n t e n ti sa sf o l l o w s ： 1 w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt w od e f i n i t i o n so fl o c a l l yc o n v e xf u z z yt o p o - l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ( k a t s a r a s 【1 6 】a n dw u ，l i 4 4 ，4 5 】) ，a n dp o i n to u tt h a tt h el o c a l l y c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e si nt h es e n s eo fw ua n dl ia r eas p e c i a ls u b - c l a s so ft h a ti nt h es e n s eo fk a t s a r a s w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so f “h i b e r a r c h y ” o fas e ta n d “g e n e r a l i z e df u z z ys e m i - n o r m ”，a n dp r o v et h a te v e r yl o c a l l yc o n - v e xf u z z yv e c t o rt o p o l o g yi nt h es e n s eo fk a t s a r 越c a nb ed e t e r m i n e db yaf a 埘l y o fg e n e r a l i z e df u z z ys e m i - n o r m s w es t u d ys o m e p r o p e r t i e so ft h el o c a l l yc o n v e x f u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e si nt h es e n s eo fk a t s a r a 8b yu s i n gg e n e r a l i z e df u z z y s e m i n o r m s u c ha 8s e p a r a b i l i t y , b o u n d e d n e s so ff u z z ys e t sa n ds oo n 2 w ei n t r o d u c ean e wd e f i n i t i o no fl o c a l l yb o u n d e df u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o r s p a c e s ，a n dr e n a m el o c a l l yb o u n d e dv e c t o rs p a c e si nt h es e n s eo fw ua n df a n ga s l o c a l l yb o u n d e df u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e so f ( q l ) 一t y p e ，w es t u d yt h et w o d e f i n i t i o n so fl o c a l l yb o u n d e df u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s o u rr e s u l t ss h o w t h a tt h el o c a l l yb o u n d e dv e c t o rs p a c e so f ( q l ) 一t y p ea r ea s p e c i a ls u b c l a s so fl o c a l l y b o u n d e df u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so f ”g e n e r a l i z e d f u z z ym e t a - n o r m “a n dp r o v et h a te v e r yl o c a l l yb o u n d e df u z z yv e c t o rt o p o l o g yc a l l b ed e t e r m i n e db ya f a m i l yo fg e n e r a l i z e df u z z ym e t a r n o r m s 3 o nt h eb a i s i so fs e m i - c o n v e xf u z z ys e t si n t r o d u c e db yf a n ga n dy a h ，w e g i v ean e wd e f i n i t i o no fl o c a l l ys e m i - c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ，a n d r e n a m el o c a l l ys e m i - c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e si nt h es e n s eo ff a n g a d ny a ha sl o c a l l ys e m i - c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e so f ( q l ) 一t y p e w e 圣里望兰丝童童堑丝叁兰i 窒堡丝兰：堡苎堡圭篁圭 们 s t u d y t h et w od e f i n i t i o n so fl o c a l l ys e m i - c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ，a n d r e v e a lt h a tt h el o c a l l ys e 吡i - c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e so ff q l ) 一t y p ea r e as p e c i a ls u b c l a s so fl o c a l l ys e r l l i - c o n v g xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s l a s t ，w e i n t r o d u c et h ec o n c e p t so f 。f u z z yp s e u d os e m i - n o r m s ”a n d “g e n e r a l i z e df u z z yp p s e u d o n o r m ”，a n dp r o v et h a te v e r yl o c a l l ys e m i - c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o r s p a c e sc a nb ec h a r a c t e r i z e db yaf a a = n i l yo fg e n e r a l i z e df u z z yp s e u d os e m i - n o r m sa n d g e n e r a l i z e df u z z y 函- p s e u d o n o r m s 4 w es h o wt h a tt h et w od e f i n i t i o n so ft h eb o u n d e df u z z ys e ta r ee q u i v a - l e n t ( k a t s a r a sa n dw u ，f a n g ) m o r e o v e r ，w eg i v ean e wd e f i n i t i o no fb o u n d e d - n e s so ff u z z yl i n e a ro r d e r - h o m o m o r p h i s m ，a n dr e n a m e 。t h eb o u n d e df u z z yl i n e a r o r d e r - h o m o m o r p h i s m ”d e f i n e db yf a n ga s “t h eb o u n d e df u z z yl i n e a ro r d e r - h o m o m o r p h i s mi ne a c hs t r a t u m ”w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e s et w o b o u n d e d n e s s e so ff u z z yl i n e a ro r d e r - h o m o m o r p h i s m ，a n da l s od i s c u s st h er e l a t i o n s b e t w e e nb o u n d e d n e s sa n dc o n t i n u i t yo ff u z z yl i n e a ro r d e r - h o m o m o r p h i s m 5 w ei n t r o d u c ea n ds t u d yp r o j e c t i v et o p o l o g i e s ，p r o j e c t i v el i m i to fl o c a h yc o n - v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e si nt h es e n s eo fk a t s a r a s ；w ei n v e s t i g a t ei n d u c - f i v et o p o l o g i e so ff u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ，a n do b t m nac h a r a c t e r i z a t i o no f i n d u c t i v et o p o l o g i e sd e t e r m i n e db yas i n g l ef u z z yl i n e a ro r d e r - h o m o m o r p h i s m k e y w o r d s ：l o c a l l y c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ；l o c a u yb o u n d e df u z z y t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ；l o c a l l ys e m i - c o n v e xf u z z yt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ；f u z z y l i n e a ro r d e r - h o m o m o r p h i s m s 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 ，本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经 发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢 意 作者签名： 日期 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定 作者签名： 日 期： 第一章引言 第一章引言 1 众所周知，拓扑空间及其性质将现代分析中以极限为基础的许多概念和理论推 广到非常广泛的抽象空间中然而，应用数学中所遇到的问题大多要求空间既能进 行极限运算，又能进行线性运算就是说，要在既有代数结构又有拓扑结构的空间 中研究虽然，泛函分析中讨论过线性赋范空间的理论，但是，随着研究的不断深 入，人们发现，研究比线性赋范间更为广泛的空问是非常必要的2 0 世纪4 0 年 代引进了线性拓扑空间( 或拓扑向量空间) 的概念，现在它已发展成为内容丰富的 现代分析的一个分支其概念和方法已广泛地渗透到现代纯粹和应用数学、理论物 理学，现代力学和现代工程理论的许多分支中另一方面，由于现代科技所面对的 系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现，而建立在经典集合论基础上的精确 数学与随机数学已不能很好地描述这些模糊性，更重要的是，随着电子计算机、控 制论、系统科学的迅速发展，使得精确性与模糊性这一矛盾更加激化这样，就必 须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法1 9 6 5 年，美国控制论专家、数学家 z a d e h 6 2 1 开创性地提出了模糊集合的概念，用模糊集合的理论找到解决模糊性对 象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过 去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补自此，模糊集合在自动 控制，系统分析、知识描述、图像识别等应用领域取得了巨大的成功另外，由于模 糊集合拓广了经典集合理论，于是，建立在模糊集合论基础上的各种数学结构应运 而生，经过海内外学者四十多年的努力，在f u z z y 拓扑学、f u z z y 分析学，f u z z y 代数、f u z z y 概率等诸多领域取得了非凡的进展值得一提的是，其中关于f u z z y 拓扑学的研究开展如火如荼 1 ，2 4 ，2 7 ，2 8 ，3 3 ，3 5 ，3 6 】随着f u z z y 拓扑学研究的不断深 入，开展f u z z y 拓扑线性空间的研究成为自然可以预见，以模糊性的处理为背景 建立起来的，融拓扑结构与线性结构为一体的f u z z y 拓扑线性空间的研究应具有广 阔的应用背景，对不同数学分支之间的相互渗透有重要的理论意义本文主要研究 f u z z y 拓扑线性空间，下面让我们先回顾一下f u z z y 拓扑学与f u z z y 拓扑线性空间 的研究进展“ 第一章引言 1 1f u z z y 拓扑学研究简单回顾 2 自1 9 6 8 年c l c h a n g 以l a z a d e h 的模糊集理论为骨架，在1 中引入f u z z y 拓扑空间的概念以来，f u z z y 拓扑学得到了迅速的发展，其中以c k w o n g 3 6 】的局 部化及b h u t t o n 1 l ，1 2 一致化研究工作尤为突出c k w o n g 在初期的推广性研 究中做了许多工作，并于1 9 7 4 年文【3 6 】中首次在f u z z y 拓扑空间中引进了f u z z y 点及其邻域的概念，讨论了f u z z y 点的收敛性和f u z z y 拓扑空间的局部性质尽 管他的f u z z y 点概念有一定的缺陷，如不以分明点为特殊f u z z y 点，其邻近构造 也未能反映f u z z y 拓扑学中邻近构造的新特性，但正是由此开始才把邻域工具在 f u z z y 拓扑学引起的重大矛盾充分地暴露了出来，使人们认识到在f u z z y 拓扑学中 必须摒弃邻域工具而另谋新路国外自1 9 7 5 年以后的一段时间里发表的文章大都 回避f u z z y 点的概念，形成f u z z y 拓扑学研究的无点化流派，其中以b h u t t o n 的 工作为代表在1 1 1 中，他引入了f u z z y 正规空间和f u z z y 单位区间的概念，用 取值于f u z z y 单位区间的连续函数刻画了f u z z y 正规空间，而对于f u z z y 单位区 间就其本身性质和它的推广的研究已有不少成果如刘应明在【1 8 ，2 2 关于f u z z y 单位区间紧性及良紧性的讨论；t e g a n t n e r 等在【8 l 中关于f u z z y 单位区间推广 为f u z z y 实直线的讨论；王戈平在【3 1 】中关于f u z z y 实直线的加法和有限积的讨 论，这些都取得了较大的成功但是，无点派的工作不涉及点，不可避免地会有许 多局限性1 9 7 7 年，蒲保明，刘应明在分析了c k w o n g 的p h z z y 点及其邻域系 理论的弊病之后，在他们的开创性论文 2 7 】中修改了f u z z y 点及其对一个f u z z y 集的从属关系的定义，首次打破传统的邻域方法，引入了突破性的重域概念，建立 了完整的m o o r e - s m i t h 收敛理论，为有点派的工作奠定了基础自此，有点化的研 究工作形成了比较完整的理论体系，在整个f u z z y 拓扑学研究中占据了核心地位 【1 7 ，1 9 - 2 1 ，2 6 1 2f u z z y 拓扑线性空间的研究梗概 f u z z y 拓扑线性空间的研究是从探究其定义的合理化开始的；早在1 9 7 7 年， a k k a t s a r a s 与d b l i u 【1 4 】以z a d e h 的f u z z y 集理论为基础，利用c l c h a n g 1 】 第一章引言 3 的f u z z y 拓扑概念，给出了f u z z y 拓扑线性空间的定义但由于这样定义的f u z z y 线性拓扑不具有平移不变性，因而使研究无法深入吴从忻【3 7 】，方锦喧【2 】先后 给出了f u z z y 拓扑线性空间的另外两种定义，他们以蒲保明，刘应明 2 7 】所引入 的f u z z y 点的邻域系为工具，研究这两种f u z z y 拓扑线性空间的有关性质但这两 种定义也有缺陷，就是对线性运算的连续性附加了更强的要求为了克服上述定义 的不足，1 9 8 1 年，a k k a t s a r a s 1 5 】利用r l o w e n 2 5 】的f u z z y 拓扑的概念，重 新定义了f u z z y 拓扑线性空间，以r h w a r r e n 提出的邻域系为工具，对所定义的 f u z z y 拓扑线性空间理论进行了探讨与此同时，吴从忻、方锦喧【3 8 】也对f u z z y 拓扑线性空间进行了再定义，以蒲保明，刘应明【2 7 】所引进的f u z z y 点的重域系为 工具，研究了所定义的f u z z y 拓扑线性空间的一系列性质，由于这种定义不仅在形 式上与分明拓扑线性空间接近，并且后继研究表明，在此框架下得到的结果也很丰 富，应该说这种定义是较合适的此外，吴，方还提出了若干合理的基本概念，如 平衡集，绝对凸的f u z z y 集，吸收集及q 一吸收f u z z y 集等，这些概念已被普遍接 受并一直沿用需要指出的是，吴，方【3 8 】的定义虽然与a k k a t s a r a s 1 5 】的定义 在形式上有所不同，但这两定义事实上是等价的【3 0 】，至于以上各种定义之间的关 系见方锦喧，王洪涛 3 】 在给出较为合适的f u z z y 拓扑线性空间定义之后，为了应用的需要，一些学者 又先后引入了局部凸f u z z y 拓扑线性空间；局部有界f u z z y 拓扑线性空间；局部半 凸f u z z y 拓扑线性空间及f u z z y 线性算子，取得了一系列有意义的成果为清楚起 见，我们将分两部分介绍： 1 2 1 几类f u z z y 拓扑线性空间 我们知道，局部凸拓扑线性空间理论研究是经典的拓扑线性空间理论中最重要 的部分，而且它的拓扑可以用半范数确定所以将其推广至f u z z y 拓扑线性空间框 架下研究有重要理论意义1 9 8 4 年，运用w a r r e n 3 4 提出的邻域基，k a t s a r a s 1 6 1 首先给出了局部凸f u z z y 拓扑线性空间的概念，即 定义a ，设( x ，莎) 是f u z z y 拓扑线性空间，着x 中存在由凸f u z z y 集构成0 的邻域基，则称( x ，矿) 是局部凸f u z z y 拓扑线性空间 第一章i l 言 4 并且在文中研究了这类局部凸f u z z y 拓扑线性空间的简单性质几乎同时，吴从忻 和李建华阻，4 5 】给出了局部凸f u z z y 拓扑线性空间的另一种概念，他们运用的是 由蒲和刘【2 7 】提出的重域基，即 定义b 设( x ，矿) 是f u z z y 拓扑线性空间，若存在由x 中凸f u z z y 集组成 的f u z z y 集族彩使得对任何a ( o ，1 】 缠i = un ：u 彩，r ( 1 一a ，1 1 是以的重域基，则称( x ，矿) 是局部凸f u z z y 拓扑线性空间 而此后许多关于局部凸f u z z y 拓扑线性空间的研究大都在吴。李意义下的局部凸 f u z z y 拓扑线性空间的框架下进行的值得指出的是，1 9 8 5 年吴从忻，方锦喧在文 3 9 】中的研究结果更加促进了吴，李意义下的局部凸f u z z y 拓扑线性空间的相关理 论的发展他们定义了一类重要的f u z z y 拓扑线性空间一( q l ) 型f u z z y 拓扑线性 空间，即 定义c 设( x ，少) 是f u z z y 拓扑线性空间，若存在一f u z z y 集族够= u ， 使得对任何a ( 0 ，1 】， 现= t u n7 - ：u 彩，r ( 1 一入，1 】) 为以的重域基，则称( x ，岁) 是( q l ) 型p u z z y 拓扑线性空间 并且利用映射族( l a s a l l e 意义下的伪范数) 刻画了( q l ) 型f u z z y 拓扑线性空间， 他们的工作使局部凸局部有界以及可赋范的f u z z y 拓扑线性空间在形式上与经典 拓扑线性空间理论协调起来成为可能令人振奋的是，吴从忻，马明在文f 4 9 中的 研究使这种可能变成了现实，他们利用一族f u z z y 半范数成功地刻画了吴和李意义 下的局部凸f u z z y 拓扑线性空间9 9 年，严从华和方锦喧【5 5 】又在吴和李意义下 的局部凸f u z z y 拓扑线性空间的概念基础上，给出了格值局部凸f u z z y 拓扑线性空 间( 局部凸l - f u z z y 拓扑线性空间) 的概念，成功地引入带有层次结构的l - f u z z y 拟范数，并利用它刻画了局部凸l - f u z z y 拓扑线性空间且初步研究了该空间的拓扑 性质使得局部凸l - f u z z y 拓扑线性空间在形式上也与经典的拓扑线性空间理论协 调起来另外，有些学者关于其他特殊的局部凸拓扑线性空间如桶空间，囿空间的 理论在f u z z y 拓扑线性空间中的推广也作了有意义的研究，参见 1 3 ，5 8 】 第一章引言 5 相应地，关于局部有界空间理论在f u z z y 拓扑线性空间框架下的研究也在有条 不紊地进行着1 9 8 5 年，吴从忻，方锦喧【4 0 】首先引入局部有界f u z z y 拓扑线性 空闻，定义如下z 定义d 若f u z z y 拓扑线性空间( x ，矿) 存在有界集u 使得枞( 0 ，1 】均为 以的重域，则称它为局部有界f u z z y 拓扑线性空间 在文中，他们指出所定义局部有界f u z z y 拓扑线性空间是( q l ) 型的f u z z y 拓 扑线性空间并证明了每个( q l ) 型局部有界f u z z y 拓扑线性空间可由一f u z z y 亚 范数刻画成功将局部有界拓扑线空间理论与经典拓扑线性空间协调起来 在局部凸f u z z y 拓扑线性空间进一步研究中，文【4 3 】引进并研究了局部p 一凸 f u z z y 拓扑线性空间，它是吴和李意义下局部凸f u z z y 拓扑线性空间的推广1 9 9 2 年方锦喧，严从华【4 】引进了半凸f u z z y 集的概念，并在此基础上，给出了一类比 局部p 一凸f u z z y 拓扑线性空间更广泛的空间一局部半凸f u z z y 拓扑线性空间的 定义；证明了它可用一族f u z z y 拟m 一范数 a ，0 1 一a ，则称z 重于 u ，记为z 乏u 令l ，i = l ，2 ) 总是代表h u t t o nm g e b r a s 【1 0 ，亦即具有逆序对 合对应7 的完全分配格，0 和1 分别是极小和极大元 定义2 1 1 1 5 】设a ，b i x 及k k 则a + b 和七a 分别定义成： ( a + b ) ( z ) = v a ( s ) a b ( t ) ：8 + t = z ， ( k a ) ( x ) = a ( x k ) ，k o ； ( 叫( 加 0 v z e x a ( z l ：嚣 特别对z ，y t , p t ( i x ) 又有 x a + 轨。= + y ) a a p ，z a = ( 七卫) 定义2 2 1 3 4 1 设( x ，少) 是f u z z y 拓扑空间，z x f u z z y 集u c x 称为z 的w 一邻域当且仅当存在g 少使得gcu 且g ( z ) = u ( z ) 0 z 的所有w 一邻域的全体称为该点的阢邻域系，记作 厂( 2 ) 定义2 3 1 1 5 设( x ，矿) 是f u z z y 拓扑空间，z x 设玩为。的若干一邻 域所形成的集族，若对每个a n w ( z ) 及o l 【0 a ( z ) ) ，存在u 玩使得uc a 且u ( x ) 口，则称玩为z 的一邻域基 定义2 4 2 7 设( x ，少) 是f u z z y 拓扑空间，张p t ( p ) f u z z y 集ucx 称为x a 的重域当且仅当存在g 矿使得。 乏gcu 。 的所有重域的全体称为该点的重域系，记作舶( 如) 定义2 5 1 2 7 1 设( x ，少) 是f u z z y 拓扑空间，如p t ( i x ) 设勿幺为z a 的若 9 第二章预备知识 干重域所形成的集族，若对任何a 虬( 以) 存在u 使得uca ，则称 为z 的重域基 定理2 1 【7 】设( x ，少) 是f u z z y 拓扑空间，z x ，u i x ，且历ci x ，则 ( 1 ) u 是z 的矿邻域当且仅当对任意a ( 1 一u ( z ) ，1 】，u 是z 的重域 ( 2 ) 留是。的w - 邻域基当仅当对任何a