（基础数学专业论文）banach空间脉冲发展方程周期解的单调迭代方法.pdf

摘要 本文应用算子半群理论讨论了b a n a c h 空间x 中的脉冲发展方程： iu 心) + a u ( t ) = ，( t ，u ( t ) ) ，t 20 ，t t k ， l “i t 一咄= 厶( 秕( “) ) ，k = 1 ，2 ， 、 的廿周期m i l d 解的存在性主要结果有： 一、在用算予半群的增长指数描述的条件下，获得了线性脉冲发展方程的廿周期 m i l d 解的存在唯一性，正性及解的表示 二、在脉冲函数是序增的情形下，通过单调迭代方法，讨论了脉冲发展方程u 凋期 m i l d 解的存在性把以往无脉冲的情形的结果推广到了有脉冲的情形 三、在脉冲函数满足更广的单调条件和不假定上下解存在的情形下，利用上下解的 单调迭代方法，获得了脉冲发展方程周期m i l d 解的存在性结果应用到a 三0 ，即脉冲 常微分方程情形，所得的结果也是新的 四、将所得的抽象结果运用到了含脉冲的抛物型偏微分方程的边值问题上，从而获 得了该问题的湖期古典解的存在性结果 关键词：b a n a c h 空间；发展方程；脉冲函数；周期边值问题；g 半群；非紧性测度； 正规锥：m i l d 解 中图分类号：0 1 7 5 1 5 a b s t r a c t ( ) + a “( t ) = f ( t , u ( t ) ) ，t o ，t “， 1 u i _ “：厶( t ( ) ，后：l 2 ， 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： 垄：皇盘军日期：缉年上月 引言 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程，广义地说，是包含时间变 s t 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或其他自然科学中用来描 述随时间而演变的状态或过程r 狭义地说，它是指可以用半群方法化为一个b a n a c h 空 间中的抽象微分方程的c a u c h y f 司题来处理的那些数学物理方程波动方程、热传导方 程、s c h r s d i n g e r 方程、流体动力学方程组、k d v 方程、反应扩散方程等等以及由这些 方程通过适当的方式耦合起来的种种耦合方程组，都属于发展方程的范畴 许多实际问题的发展往往有这样的特征：在发展的某些阶段，会出现快速的变化，为 方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的持续期间而假设这个过 程是通过瞬时突变来完成的这种瞬时突变现象被称之为脉冲现象，脉冲现象作为一种 瞬时突变现象，在现代科技各个领域的实际问题中是普遍存在的，其数学模型往往可归结 为脉冲微分系统脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的 影响，能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律近年最新科学技术成果表明，这类系 统在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学、医学、经济领域均得到重要应 用 脉冲微分方程的研究始于1 9 6 0 年v d m i l m a n 和a d m y s h k i s 的工作【1 7 1 而自9 0 年代以来脉冲微分方程的研究引起了人们的重视和兴趣，对其研究日趋活跃，已逐渐形成 非线性微分系统研究领域的新热点作为非线性微分系统领域的一个新分支，已获得一 批新的重要研究成果【1 5 ，1 6 ，1 8 - 2 0 ，2 4 ，2 7 ，2 8 ，3 0 ，3 l 】 关于b a n a c h 空间中一阶脉冲常微分方程周期边值问题 l ( t ) = f ( t ，u o ) ) ，t j = 【0 ，u 】，t t k ， t ij 。= 厶( t ( t ) ) ，k = 1 ，2 ，p ， ( o 一1 ) i “( o ) = “p ) 解的存在性已有许多结果，见文【1 5 _ 1 7 ，1 9 】等然而，许多含时间t 的数学物理方程化为 抽象空间中的微分方程时，都含有无界闭算子项a ，是如下抽象发展方程的形式： ( t ) + a u ( t ) = f ( t ，u ) ) ，t r ( 0 2 ) 1 引言 其中a 生成x 中的g 半群，：r x x 连续，关于t 以u 为周期关于b a n a c h 空间 半线性发展方程周期问题解的存在性已有一些结果，见文【6 ，7 ，9 - 1 1 ，1 4 1 文嘲首次将 上下解的方法引入到有序b a n a c h 空间中的半线性发展方程，获得了半线性发展方程整 体解与正解的存在性文f 9 1 9 通过对线性方程周期解算子的估计，在非线性项s ( t ，t ) 关于 缸的l i p 连续的条件下，获得了发展方程周期解的存在唯一性，取消了以往对a 为解析 半群的生成元并有紧预解式的假定文【7 l 利用正算子半群理论与上下解方法，在 ( i )一a 生成的g 半群t ( t ) o 0 ) 为紧半群； ( i i ) k 为正则锥，半群t ( t ) 在t 0 上按算子范数连续； 这两种情形下讨论半线性发展方程( 0 - 2 ) 的u 凋期解的存在性 当v o ，w o ( z x ) n g ( z d ) ) 为方程( 0 - 2 ) 的下上u 解且满足下列条件( p ) 时 ( p ) 3 c 0 ，对 ，伽，w 0 】，当w 影时，有 b t ，t t ，( t ) ) 一( t ，t ，( t ) ) 2c ( w ( t ) 一 0 ) ) ，v t 【o ，c 川 获得了( 0 - 2 ) 的最大胡期m i l d 解和最小u 凋期m i l d 解的存在性；最近文【1 4 】在不使用 ( i ) 与( i i ) 的情形下利用半序理论与上下解的单调迭代方法在弱序列完备空间中讨论了半 线性发展方程( 0 - 2 ) 的整体解与周期解的存在性 关于脉冲发展方程周期问题，作者未见相关参考文献而对常微分方程( 0 - 1 ) 大都对 脉冲函数限制是单调递增的，如文 2 0 ，3 2 】 本文的主要目的是讨论脉冲发展方程 t ) + 螂) _ “屯叫) te r + , 睁“( o - 3 ) i u b 。= ( “( t ) ) ，k = 1 ，2 ， 的叫习期m i l d 解的存在性；其中0 t 1 t 2 t k 郴= 型n 刚i a m ( b i ) 正t - 1 z ，) ， 显然，0 口拶) 0 ，使l i t ( 0 1 1 m e 一“，t20 ，则称g 半群t ( t ) 0 o ) 指数稳定 记，= 【o ，叫，置为d ( 锄按图像范数| i 1 l = 1 1 0 + 0 a 0 构成的b a n a e h 空间 设h c ( i ，x ) ，z o x ，由熟知的结果1 6 1 ，x 中的线性发展方程初值问题 o ) + a 札o ) = ) t 6 厶 ( 1 1 ) l 让( 如) = f g o 当x o d ( a ) ，h c 1 ( ，x ) 时，方程( 1 1 ) 存在唯一古典解u e 1 ( j ，x ) n c ( z ，蜀) ，且 该解可以表示为： i t ( ) = t 一t o ) x o + t o s ) ( s ) d s ，t i ( 1 2 ) 对一般的x o x 及h c ( z ，x ) ，由( 1 2 ) 式确定的u ( t ) c ( ，x ) 不一定可微，是( 1 1 ) 方程的一种广义解，称为m i l d 解【6 】 同样，对半线性发展方程 ( t ) + a u ( t ) = f ( t ，缸( t ) ) ，t i ( 1 3 ) 若“c ( i ，x ) 满足积分方程 ， u ( t ) = t ( t t o ) z o + 7t ( t s ) ，( 5 ， ( s ) ) d s ，( 1 4 ) 则称u 为方程( 1 3 ) 在上j 的m i l d 解易见( 1 4 ) 成立的充要条件是：对每个实数g ，有： 一 u ( t ) = s ( t ) u ( o ) + s o s ) f ( s ，钍( 8 ) ) d s ，t i ， 其中s ( t ) = e - c t t ( t ) ( t 0 ) 为一( a + e ，) 生成的g 半群，：ix x x 连续 关于发展方程的基本性质见文f 6 】 7 2 脉冲线性发展方程周期解的存在性 一引言及预备知识 由于非线性发展方程与其对应的线性发展方程有着密切的关联为此本节讨论脉冲 线性发展方程周期解的存在性，借助逐段延拓的方法得到脉冲线性发展方程初值问题解 的存在性，进而在用半群增长指数描述的条件下，获得了脉冲线性发展方程周期解的存在 唯性，正性及解的表示，为研究脉冲非线性发展方程周期问题奠定了基础 设x 为b a n a c h 空间，考虑脉冲线性发展方程： t ，( 力+ a “o ) = o ) ， o 。“， ( 2 1 ) 、 ， la u l b “= 厶0 ( “) ) ，后n ， 的u 凋期解的存在性其中a ：d ( a ) 一x 为x 中的稠定闭线性算子，一a 生成x 中的g 半群t ( t ) o o ) u 0 ，h ：f o ，+ o 。) 一x 连续，以u 为周期厶：x x “l e “= “( 砖) 一“( 坛) 表示u ( t ) 在t = t k 处的跃度，( t 毒) ，u ( 坛) 分别表示乱( t ) 在t t k 处的右，左极限n ) 0 t l t 2 t k ，t k 一+ o o ( k - + o o ) 对正整数p ， 设t p u o 卅l ，o 叭j = 岛0 = 1 ，2 ，一，p ，死= i ，2 ，) ，即0 t t t 2 0 ，i i t ( t ) l f m e “，v t 2o ， 1 0 2 脉冲线性发展方程周期解的存在性 称为半群t ( t ) ( t 0 ) 的增长指数峋也可由下式确定 峋：l i m s u p l i t - _ ( o i l t _ + o o 若一a 生成的c o # 群指数稳定，则峋 0 由g e l f a n d 谱半径公式有，t ( w ) 的谱半径 r ( t ( u ) ) = l i m 硼亍币而= t i m 咖亍i 元五盯l i m 渺= e 所以r ( ( 1 + a 1 ) t c w ) ) i l + a l e u 。当1 1 + o , 1 e u w 1 时，1 p ( ( 1 + a 1 ) t ( u ) ) 因此，1 ) 当a l 0 时，若一a 生成的c 拌群t ( t ) ( t 0 ) 指数稳定，即v o 0 ，则 当击l i l ( 1 + a 1 ) 一u o 时定理2 1 的结论成立 2 ) 当一1 a l 0 时，若丢i n ( 1 + 0 1 ) 一1 ，丢l n ( 1 + a k ) 一峋，则对v h p c ( j , x ) ，周期边值问题( 2 3 ) 存在唯一的 = 1 m i l d 解 证明 先考虑脉冲线性初值问题 i t 。+ j 4 t t ) = = 。) ， 。j j 。k ， 1a u b 2 喇( t k ) + e ， k = l 川2 一，p ， 【( o ) = x o 当t j o = i o ，t l j 时，方程( 2 1 0 ) 等价于线性非脉冲发展方程初值问题 i ( f ) + a u ( t ) = 危( t ) ，t 而， l u ( o ) = x o 由非脉冲的有关结果，方程( 2 1 1 ) 有唯一的m i l d 解咖( t ) c ( z o ，x ) ： ( t ) = t ( t ) x o + t 0 一s ) h ( s ) d s j 0 特别地 ，l l t o ( t 1 ) = t ( t 1 ) x o + t ( t 1 一s ) 九( s ) d s x ，0 当t j l = ( t l ，t 2 】时，方程( 2 1 0 ) 等价于线性非脉冲发展方程初值问题 i ( t ) + a u ( t ) = ( ) ，t ， l ( t 1 + ) = 蜘( t 1 ) + a l 呦( t 1 ) + e 1 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 则方程( 2 1 3 ) 有唯一的m i l d 解u 1 ( t ) e c ( ，x ) ，且将( 2 1 2 ) 代入，u 1 0 ) 吲以表不为： h u l ( t ) = r o t 1 ) ( 1 + n 1 ) 坳0 1 ) + e l 】+ t ( t s ) h ( s ) d s j l 叫川 ( 1 + 训( t ( t 1 ) x o + f o “t ( t l 训s ) d s ) + e 1 + f 邢训州s ，t 1，t = ( 1 + 吐1 ) t ( t ) z o + ( i + a 1 ) t o s ) h ( s ) d s + t ( 亡一s ) ( 8 ) d s + t o t 1 ) e 1 j o j t l 特别地 ，“，功 u 1 ( t 2 ) = ( 1 + a 1 ) t ( t 2 ) z 0 4 - ( 1 + a 1 ) t ( t 2 - s ) h ( s ) d s + t ( t 2 一s ) h ( s ) d s + t ( t 2 一t 1 ) e 1 j 0 j t l 当t j 2 = ( t 2 ，t 3 】时，方程( 2 1 0 ) 等价于线性非脉冲发展方程初值问题 p ( 。) + a 札( ) = 啉。j 2 ，( 2 1 5 ) 、 ， 【t ( t 2 + ) = u l ( t a ) + a 2 u l ( t 2 ) + e 2 则方程( 2 1 5 ) 有唯一的m i l d 解坳o ) e ( 如，x ) ，且将( 2 1 4 ) 代入，t 2 ( t ) 可以表示为： u 2 ( t ) = t 一t 2 ) ( 1 + o 2 ) u 1 ( t 2 ) + e 2 】+ t ( t s ) h ( s ) d s = t ( 一如) ( 1 + 0 2 ) ( ( 1 + 1 ) 邢。胁”+ n 1 ) z “邢。_ s ) 坤) 山 + r 2 t 他训s ) d s + t d s ( 如一t 1 ) e 1 ) + e 2 + r t ( t s ) h ( s ) d s j + t ( 屯一s ) ( s ) ( 如一 l +l + t o 一 ) j “ j 缸 ：婴2 ( 1 圳t 知+ 垂( 1 圳f 1 t ( h m s + ( 1 恂) f t ( t - - 8 s ) d s2 婴( 1 + 班( 咖+ 珥( 1 + 啦) zt o - s ( s ) d s “1 + 啦) 上。t ( s ) d s + f 邢刊m ) d s + ( 1 + n 2 ) 邢一加- + t ( 卜如) e 2 归纳地，当t j k l = ( t k - , , t k 】= 3 ，4 ，p ) 时，方程( 2 1 0 ) 等价于线性非脉冲发展方 并芝孙吼t m j k 一- 1 , 址。 且其有唯一的m i l d 解“女一l ( t ) c ( 以一1 ，x ) ： ：k - 1 ( 1 扣1 刊，“_ s ) 琊) 由+ 筻k - 1 ( 1 + a j ) f 一。 = ( 1+ 啦) !一s ) ( s ) 由+ 一s t t + t + a 1 ) t ( t ) x o + h ( 1 t ( ti i t ( t ) h ( s ) d s i = 1i = 1 j 0 i = 1 j = i + l + t ( t s ) h ( s ) d s + i i ( 1 + 吩) t o 一屯) e t + t ( t t k 1 ) e k 一1 一 2 脉冲线性发展方程周期解的存在性 = = = = = = = = = = = = ! 竺! ! = = = = ! 竺竺! ! = 。! ! 。= ： = = ：= = = = ! ! ! ! 竺! = = = = ：= = 当t 以2 ( t k ，k + 1 】 ；4 ，5 ，p ) ( 这里t p + 1 = u ) 时，方程( 2 1 0 ) 等价于线性非脉冲发 ( 力+ 以“( 力： ( 力， t 五， 1u ( 矿) = “( 埘+ 。k u k - l ( 埘+ 。女，七：4 5 ，p 且其有唯一的m i l d 解u k ( t ) c ( 以，x ) ： k ( f ) = t ( t t - ) ( 1 + a k ) u k l ( t k ) + e i j + t ( t s ) ，l ( 8 ) d s =to一“)(t+口t)(fi(，十m)t(tt)跏+垂(，+啦)fottt=11 ( “一s ) ( s ) d s o、 i ； + 董k - 1 ( 1 + a j ) 厂1 弛叫郴) t kt ( t k - - s ) h ( s ) d s + k - 2 k - i ( 1 + a i ) t ( t k - 蜘+ ? 一t k - 1 ) ) + 岛1 + ，球一洲s ) d 。 + ( 1- 南) b + ? ( 靠一 ) 靠一1 ) + 岛j + t p 一曲 ( s ) 出 = 矗( 1 + 啦) t ( f 胁+ 矗( 1 + 啦) 厂1 t o 一。) 婚) 出+ k - 1 矗( 1 + a i ) 厂“1 t 一。) 联。) d s i = 1i = 1 j 0 一i = 1 = 1 4 - 1 j t + j ( t ( t 一8 ) h ( s ) d s + ( 1 + ) r ( 卜蜘+ t ( t t k ) e k f 咖( o 绯) ：一) | l 嘶( t ) t 而， t ， t 占 ( 2 1 6 ) 则u ( t ) p c ( j , x ) 为初值问题( 2 1 0 ) 的唯一m i l d 解 周期边值问题( 2 3 ) 的m i l d 解为初值问题( 2 1 0 ) 的初值满足：r 0 ：“) 的解即钍 满足方程 ( ，一i i ( 1 + 啦) t ( u ) ) 3 0 = ! 。 f o t 一啪( 棚s + 萎p - - 1 ，重。( ，+ q ) r “1 t p 一啪( s ) d s ( 2 1 7 ) + ! 砸一s ) ( s ) d 卧i i ( 1 + a j ) t ( w t o e , + t 一如) e p 。 p p、 l 由一_ “e 1 n ( 1 + 啦) - 1 ) 知：( 鱼( 1 + 啦) t ( u ) ) 重1 1 + 0 l e w 一l ，且丢l n ( 1 + a k ) 一峋，那么脉冲线性发展 j l = 1 方程的周期解算子b 为正算子 对一般的脉冲函数五：x x ( k l ，2 ，p ) ，v h p c ( j , x ) ，z o x ，对脉冲 ”线性”发展方程初值问题 iu t 0 ) + a u ( t ) = o ) ，t 正t “， a ui t = t 。= 厶似0 ) ) ， k = 1 ，2 ，弘( 2 1 8 ) lu ( o ) = 跏 类似定理2 2 ，用逐段延拓的方法初值问题( 2 1 8 ) 有唯一的m i l d 解，且1 1 ( t ) 可以表示为： 让( t ) = t o ) z o - t - t ( t s ) ( s ) d s + t ( t 一“) “( u ( t k ) ) jo o 三i 乙 对于一般脉冲函数i k ：x x = l ，2 ，p ) ，v h p a x ) ，对脉冲线性发展方程周 期边值问题 l u s o ) + a 1 1 ( t ) = 0 ) ，t zt “， a n i t ：“= 厶( u o ) ) ， 膏= 1 ，2 ，p ， ( 2 1 9 ) i “( o ) = t 正( “，) 引理2 1 设x 是b a n a c h 空间，一a 生成g 半群t ( t ) 0 ) 指数稳定，p b v p ( 2 1 9 ) 的m i l d 解u p c ( j , x ) 是积分方程 “( t ) = t ( t ) b z ( u ) + t ( t - s ) h ( s ) d s + t o - t ) l k ( u ( t k ) ) ，j jo o 三i 的解其中 脚h m ( 伽。 f 啦叫+ 。三t p 吨让) ) 1 4 2 脉冲线性发展方程周期解的存在性 证明 若u 是p b v p ( 2 1 9 ) 的m i l d 解，那么为初值问题( 2 1 8 ) 的初值满足： x o = “p ) 的解即“满足方程 知2 t ( w ) z o + 正t ( u s ) h ( s ) d s + t ( w - t k ) h ( u ( t i ) ) ( 2 2 0 ) 由于叫力指数稳定，即r ( r p ) ) l ，所以方程( 2 2 0 ) 有唯一解： z 。2 ( i - t ( u ) ) 一1 ot ( “，一s ) ( s l d s + 。e “。t ( u 一“) ( “) ) 垒岛( 让) 将x o 代入“( t ) ，即p b v p ( 2 1 9 ) 的m i l d 解为积分方程 u ( t ) = t ( t ) b s ( u ) + t ( t s ) h ( s ) d s + t ( t t d l k ( u ( t k ) ) 的解 定义算予p 3 ：p c ( j , x ) 一p c ( j , x ) ， 跏= t ( t ) b 3 ( ；+ f 邢- 8 ) 忡) 。篆。t o 叫厶) ) 则脉冲线性发展方程周期边值问题( 2 1 9 ) 的m i l d 解等价于算子方程 的不动点 u = b u 注2 对般的脉冲函数，方程( 2 1 9 ) 的解算子恳：p c ( j , x ) 一p c ( j , x ) 不是线 性算子但当t ( t ) o 0 ) 为正g 半群，厶( u ) 序增时，方程( 2 1 9 ) 的解算子b 为增算子 3 脉冲函数序增情形下周期解的存在性 一引言及预备知识 设x 是有序b a n a c h 空间，其正元锥为正规锥a 为x 中的稠定闭算子，一a 生 成x 中的g 半群t ( f ) ( t20 ) 我们用上下解的单调迭代方法去考虑x 中的脉冲发展方 程 r o ) + a ( 力= f ( t , u ( 力) 2 o “， ( 3 1 ) l t j t ；“= i k ( ( “) ) ， k n 的廿周期解的存在性( 本节假设一a 生成的岛半群r 0 ) o 0 ) 为正g 半群) 其中 ，：【0 ，+ o o ) x x 连续，关于t 以u 为周期 ：x x ( k = l ，2 ，p ) f b “= u ( 咭) 一u ( ) 表示“( t ) 在t = t k 处的跃度，其中“( 毒) ，”( ) 分别表示u ( t ) 在t = t t 处 的右，左极限( k n ) 0 t l t 2 t k ，“一+ o 。忙一+ ) 对正整数p ，设 t p u t p + l ，o 州= t j ( i ：1 ，2 ，一，p ，n = 1 ，2 ，- ) ，即0 t l t 2 0 ，i i t ( t ) l ism e “，v t o ) 称为半群t ( t ) 0 0 ) 的增长指数v o 也可由下式确定 峋：n m s u p h i i t _ ( t ) 1 1 若g 蜘，则一( a + c j ) 生成x 中指数稳定的c 0 半群为s ( t ) = e - - c t t ( t ) ( 亡o ) ，其增 长指数为一e + v o 取( 0 ，c 一) ，由增长指数的定义：9 m 0 ，使得 i i s ( 0 1 i 墨m e 一“，t 0 ( 3 4 ) 在x 中取等价范数： = s u pl l e “s ( t ) x l l ， ( 3 5 ) t 2 u 则有i i * 1 i 蚓m i i x l l 引理3 2 若常数c u o ，则- ( a + c i ) 生成指数稳定的c 拌群s ( t ) = e - c t t ( t ) 有下列不等式： i ( i s ) ) 。i f 丢丽 1 7 3 脉冲函数序增情形下周期解的存在性 证明 对，( o ，c 一均) ，算子s ( t ) 在空间( x ，i i ) 中的范数用i s 0 ) l 表示，则 由( 3 4 ) ( 3 5 ) 式，有 i s ( t ) z i = s u p | i e “s ( 8 ) s o ) z 0 = s u pe 一“e “4 + o s ( s + ) z 0 = e 一“s u p i e ”7 s ( r ) 0 冬e 一“忙i 故有i s o ) i e 一“ l ( t o ) 由微扰定理知，算子i s p ) 有有界逆算子：( ，一s ) ) = s ( n u ) ，其范数满足 l ( z - s 。i 萎卜日南南 由( o ，c u o ) 的任意性，有i s ( t ) i e - ( o 一”p ，i ( z s ) ) - 1 i i = 习专= 丽 一 ，ti。t)l。+。av(厶t)p 峋，则一( a + c i ) 生成了x 中指数稳定的正c 拌群8 ( t ) = e - c t t ( t ) 且s ( t ) 为紧半群记d = ，w o 】对v h d ，考虑x 中的脉冲线性发展方程 周期问题 jt 7 ( t ) + a u ( t ) + c u ( t ) = ( t ， ( t ) ) + c h ( t ) ，t zt “， a - i 。= i k ( h ( t k ) ) ，k = 1 ，2 ，p ， ( 3 6 ) i “( o ) = “p ) 对v t 【o ，叫，记l ( t ，。) = f ( t ，z ) + c x 由引理2 1 知，方程( 3 6 ) 的解为： t ( t ) = s ( t ) b 4 ( h ) + s ( t s ) 五( s ，危( s ) ) d s + 乏二s o t k ) l k ( h ( t i ) ) 垒q ( ) ， ( 3 7 ) j o o 五天t 其中b 4 ( h ) = ( 1 一s ( u ) ) 一1 【j s ( u s ) ，1 ( s ，h ( s ) ) d s + s ( u t k ) i k ( h ( t k ) ) 由，及厶的连续性，则q ：d p c ( j , x ) 连续若u d 为q 的不动点： = q ， 则“满足积分方程( 3 7 ) ，从而知t 为方程( 3 2 ) 的m i l d 解反之亦然故p b v p ( 3 2 ) 的 m i l d 解等价于q 的不动点 ( i ) 证q 是增算子，即v h l ，h 2 d ，当h l h 2 时，有q h l q h 2 对骱1 ，h 2 d ，当h l b 时，由条件( h 1 ) ，有 l ( t ，h i ( t ) ) = f ( t ， 1 ( t ) ) + c h i ( t ) f ( t ，h 2 ( t ) ) + c h 2 ( t ) = ，1 ( t ，h 2 ( ) ) ，t j 由条件( h 2 ) ，有 i k ( h l ( t h ) ) 五( 如( t 女) ) ，k = 1 ，2 ，p 由于s ( t ) 为指数稳定的正g 半群，由引理3 2 知：i s p ) 有有界逆算子，且可以展成 ( ，一s ( u ) ) = s ( 礼u ) ，显然( j s ) ) 。为正算子因此 ( 卜荆) 。1 m 鼬叫胁) d s + 善s ( w - - t k 啪) ) j (js和)4isps阢(s，k(s)出+sp一“m(“)l，j， l0：= j 即风( 1 ) b 4 他) ，从而s ( t ) b 4 ( h 1 ) s ( ) 疡( h 2 ) ，结合( 3 7 ) 式有q l q h 2 出篇弱f ( t , v o 冀：一廖喇 3 脉冲函数序增情形下周期解的存在性 令 ， 喵o ) + 以咖o ) + c v o ( t ) = 瓦o ) 正。“， ( 3 8 ) 【a v oh 5 纨，k _ l ，2 ，p 则 ， i - f ( t ) f ( t ，v o ( t ) ) + c v o ( t ) ，t 正t t k ， lg k h ( v o ( 埘) ，七= 1 ，2 ，p 由引理2 1 ，结合( 3 8 ) 式，得 州牡踯? + 触q 巧。m s + 。驴t - - t k k 9 ， s ( t ) b s ( 而+ s ( t 一8 ) ( s ，t j d ( s ) ) d s + s ( t t t ) z k ( v o ( t k ) ) ， j o o t t 其中风( - ) = p s p ) ) _ 1 s p 一曲元( 如+ s 一t t ) 州特别地： 目 珊p ) s p ) 岛( - ) + s 一s ) ，1 ( 毛v o ( s ) ) d 84 - s 一f k ) 厶( ( “) ) ( 3 1 0 ) j 0 l 一1 又由( 3 9 ) 式，得v o ( o ) = 尾( 无) 因为( o ) v o ( w ) ，结合( 3 1 0 ) 式，故有 岛( _ ) s ( ，一s ( u ) ) - 1 z 。s 一s ) ，l ( s ，咖( s ) ) d s + 砉s p 一厶( 埘) = 玩) 另一方面，由( 3 7 ) 式，有 q 嘶= s ( t ) b l ( 伽) + s ( t - s ) ( s ，v o ( 8 ) ) d s + 8 ( t 一“) 厶( 咖( “) ) ( 3 1 1 ) j o o t - t 由( 3 1 1 ) 式减去( 3 9 ) 式有 q v o ( t ) 一t b ( ) 2s ( ) ( 丑4 ( 如) 一b 5 ( - ) ) 0 ， 所以有蜘( t ) q v o ( t ) ， 同理可证：q o ( t ) 蛳( f ) 那么q ：d d 为连续增算子 ( i u ) q 在h ，t t 0 】存在不动点 豢警；：2 三f ( t 掣? 。) ，t 卸 o n = q v 一1 ，= q w 一1 ， 1 1 , = 1 ，2 ，( 3 1 2 ) 3 脉冲函数序增情形下周期解的存在性 由( i ) 及( i i ) ，且s u 0 知： 加1 1s t j 2s s s w n s1 0 2 w l 9 0 ( 3 1 3 ) 下证 ( t ) ) ， ”。( t ) ) 在t ，上处处收敛记g = ln n ) ，g o = 一，i 几n ) ，则 g 0 = 蜘 t j g ，g = q ( g o ) ( 一1 ) ( t ) = fs f f - 8 ) a ( 8 ，一1 ( 8 ) ) d s + s ( t t k ) i k ( v 一l ( “) ) ( 3 1 4 ) 则q ( 一1 ) 0 ) = s 0 ) 风( 一1 ) + ( 札1 ) ( t ) 先证对每个0 t u ，y ( t ) 垒 ( 一1 ) ( f ) l 一l c o 为x 中的相对紧集取0 0 ，使 0 厶( 一，( “) ) l i i 厶( 伽( “) ) 0 - i - n o i l l k (