（应用数学专业论文）akns系列的darboux变换的行列式表示和可积曲面的构造.pdf

a k n s 系巍昀d a r b o u x 变换酶行癸式表承襁虿积瀚匿的构造 张玲 枣嚣越学技术文学数学系 摘要 本文烹簧磅宠a b l o w i t z k a u p - n e w e l l s e g u r ( a k n s 藤蘩静n 囊d a r b o u x 交换霸静厅歹鼙式裘 示和非线性s c h r 6 d l n g e r 方程( n l s ) 的解对应的可积曲面对于2 2 阶a k n s 系列来说，i 1 藏 d a r b o u x 变换( d t ) 娥一个2 2 阶缎阵，其中它的每一个元素都可以表示成( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 行列戏我们应用鞴的行列式表添得到n 重d a r b o u x 变换生成的特征函数的行列式表达 式。遴一步，我船秘稳薤露数行爨装静形式绘穗了n l s 方程n 孤子鍪委穰n 壤期簿对庭 曲面的解析形式，并x 于周期解对应曲面的性质进行分桥，从而对瞌线( 或曲爵) 在d a r b o u x 变换下的规律有一邂的了解 2 d e t e r m i n a n tr e p r e s e n t a t i o no fd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nf o rt h e a k n ss y s t e ma n dc o n f o r m a t i o no fi n t e g e r a b l es u r f a c e z h a n gl i n g u n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yo fc h i n a a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t hd e t e r m i n a n tr e p r e s e n t a t i o no fd a r b o u xt r a n s f o r m 矗f o ra b l o w i t z k a u p n e w e l l - s e g u r ( a k n s ) s y s t e ma n di n t e g e r a b l es u r f a c e sc o r r e s p o n d i n gt os o l u t i o n so f n o n l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o n ( n l s ) f o rt h e2 2a k n ss y s t e m ，t h en - f o l dd ti sa l s oa2 2m a t r i x ， w h o s ee l e m e n t sa r ee x p r e s s e db y ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) d e t e r m i n a n t s u s i n gt h e s ef o r m u l a e ，t h e d e t e r m i n a n te x p r e s s i o n so fe i g e n f u n c t i o n sg e n e r a t e db yt h en - f o l dd ta x eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ， w eg i v eo u tt h ee x p l i c i tf o r m so ft h en s o l i t o n8 u r f a c e sa n ds u r f a c e sc o r r e s p o n d i n gt op e r i o d i c s o l u t i o n so fn l se q u a t i o nb yd e t e r m i n a n to fe i g e n f u n c t i o n sa n dc a r r yt h r o u g hl o t so fa n a l y s i s e s t os u r f a c e sc o r r e s p o n d i n gt op e r i o d i cs o l u t i o n s ，t h e nw eg e tt ok n o ws o m ec h a n g i n gr u l e so fc u y v e s u n d e rn - f o l dd t 致谢 本文是在我砖导努程艺教授务嚣劲松刹教授娉悉心强导下完成姆。从 论文的选题、论证别最后成文，两位老师都投入了大量的心血、给予 了热情的鼓励和亲切的指导。在三年的攻读硕士期间，两位老师在学 习上给予了我很大的帮助，使得我获得了较为全面妁可积系统的理论 知识壤载完成学曼。我还要感谢李矮神教授冬季孝达教授，在我学习 的过程中，始终离不开两位老师的精心指导和真诚帮助。特别在论文 定稿前，贺老师和李老师为我详细审枇和修改。在此，向四位老师表示 诚挚的感谢和崇高的敬意! 作者还要感谢数学系诸镶老师鼹关心扣鼓励。感谢小组人瑟富有 成效的讨论和平时在学习和生活上给予的大力支持和帮助。 最后，还要感谢我的父母和家人几串洙默默的奉献和对我的鼎立 支待，我方鼹以矮烈完成学照。 攻读硕士学位期间所做的王作 ( i ) 贺劲松，张玲，程艺，李鲻神，a k n s 系列d a r b o u x 炎换的行列式 的表示，中国料学a 辑( 2 0 0 6 ) ，已接受。 ( 2 ) 张玲，贺劲松，程艺，李蠲神，n l s 方糕经激n 重d a r b o u x 交 换生成的周期解对应妁憾函分析，如完成，静携投稿。 2 0 0 6 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 目录 第3 页 1 前言 l 前言 孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，它是应用数学和数学物理的一个重要组成 部分，孤立子往往也称为孤立波，是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性的解以 及与之相应的物理现象，用物理语言来说，这些性质是：( 1 ) 能量比较集中于一个狭小的区 域；( 2 ) 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象( 即波形和波速能够恢复到原状) 可以 说孤立子具备了粒子和波的许多性能，它既反映一类非常稳定的自然现象，例如江河中的 某一类水波、光纤中的光信号传播等等，体现了一大类非线性相互作用的若干特征，并为许 多应用问题( 如光孤子通讯) 提供了提示另方面，这一理论又为非线性偏微分方程提供 了求显示解的方法，因而受到物理界的充分重视 求解微分方程是古老而在理论和实际上有很重要的研究课题，显式解，特别是行波解 可以很好的描述各种物理现象，如震动、传播波等由于非线性方程的复杂性，至今仍有大 量的重要的方程无法求出精确解，即使已经求出精确解，也各有各的技巧，至今尚无一般的 求解方法其中对于许多孤立子方程，已经有一系列构造精确解的方法，如反散射法 1 】， b a 出l u n d 变换法【2 ，3 】，d a r b o u x 变换法 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，h i r o t a 双线性法 1 】，延拓 法f 1 2 ，1 3 】，p a i n l e v 6 分析法 1 4 ，1 5 】及l i e 群法 1 6 ，1 7 等随着各种求解方法的不断出现， 不但过去一些难以求解的方程得到解决，而且也发现许多非线性方程的有意义的新解近 年来随着计算机的发展和符号运算如m a p l e 和m a t h e m a t i c a 的出现直接构造非线性方程的 解也受到人们的重视 我们最常见的有反散射方法和b 址k l u n d 变换反散射方法是最早被发现可以用来求孤 立子方程精确解的方法，利用非线性偏微分方程的l a x 对和常微分方程的谱理论，把c a u c h y 问题化为求解线性积分方程，在退化核的情况下给出显式的解，将孤立子方程看成是完全可 积系统时，完全可积系统的作用变量和角变量与散射数据s t 相对应b a c k l u n d 变换是以 已知解为种子，导出一个完全可积的偏微分方程组，从而给出一个新解在具体实施过程 中，还可以利用多个有一定关系的已知解给出一个新解的显式表达式，称为“非线性迭加 公式”我们将反散射方法看作非线性的傅立叶分析，它与b i c k l u n d 变换中的非线性迭加原 则呼应1 9 8 0 年，a b l o w i t z ，r a m a n i 和s e g u r 发现，可反散射求解的偏微分方程，用精确 约化得到的常微分方程都具有p a i n l e v 6 性质，由此他们提出这样的一个猜测：一个非线性 偏微分方程可反散射求解当且仅当约化得到每个常微分方程都是p 型的，这种猜测给出了 可积性检验的一种“探测器”1 9 8 3 年，w e i s s ，q 阻b o r 和c a r n e v a l e 通过推广常微分方程的 p a i n l e v 6 性质，提出了偏微分方程p a i n l e v 6 性质与可积性的联系，使之能有效地用于研究许 多非线性系统地可积性做为2 副产品”，并可由此得到非线性方程的l a x 对和b c k l u n d 变 换 当积分方程的核非退化时，用反散射方法求解的显式表达式是很难的，b a c k l u n d 变换 过程中的非线性迭加公式也只是在相当特殊的情况下才能出现到7 0 年代后期【4 ，5 ，6 ，7 ，8 ， 9 ，1 0 ，1 1 】，人们又注意到，d a r b o u x 在一个世纪以前所提供的处理二阶常微分方程谱问题的 2 0 0 6 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 目泉 第4 页 l 前言 一个方法，对于非线性偏微分方程的显式求解有很重要的作用，从而该方法在孤立子和可积 系统理论的研究中，越来越为人们所注意，并得到迅速发展，这便是d a r b o u x 变换法我们 首先关注一下关于二阶线性常微分谱问题d a r b o u x 定理的引进，考虑s t u r m - l i o u v i u e 方程 一皿黜+ u 皿= a 皿( 1 - 1 】 我们把( 1 1 ) 在 ： l 点的解表示为田l ，皿l = 中1 ( z ， 1 ) ，定义a l 为皿l 的对数导数： 口l = 垣l 。m i l 方程( 1 ，1 ) 的任意解经过d a r b o u x 变换m 皿 1 得到的新解定义为 叩 - ( 丢肛妒訾皿= 驾半 ( 1 2 ) 其中( 皿1 ，皿) = 皿1 皿。一毋l 。皿为一般的w r o n s k k m 行列式 定理1 1 ( d a r b o u x 定理) 函数皿 1 满足微分方程 对应于皿 1 】的位势为 皿。【1 + u 【1 】皿 1 】= 皿 1 】 ( 1 3 ) “一2 孬d 2 1 n 皿1 ( 1 4 ) 换言之d a r b o u x 定理断言s t u r m l i o u v i l l e 方程( 1 1 ) 在d a r b o u x 变换皿 皿 1 ，u u 1 】下是协变的d a r b o u x 定理的的重要性在于为从可解方程( 1 1 ) 出发得到另一个可解方 程( 1 3 ) 提供了可能性事实上，我们只要改变方程( 1 2 ) 中的m 便能得到方程( 1 3 ) 的很多 解，d a v b o u x 变换可以再次引用到方程( 1 3 ) 产生新的可解的s t u r m - l i o u v i l l e 方程，我们可 以重复操作任意次此过程的第二步我们有 雪 2 = ( 芝一器) ( 未一要地 ( 1 _ 5 ) 其中皿2 1 】是方程( 1 3 ) 关于 = a 2 的解，它由方程( 1 1 ) 的解皿。( z ，沁) 生成 皿2 1 】= 皿h 一里皿2 ( 1 | 6 ) 线性s t u r m l i o u v i l l e 方程对应于皿 2 】的位势为 u 【2 】2 “ 1 _ 2 南1 n 皿2 1 】_ u 一2 壶1 ( 皿1 ，皿2 ) ( 1 - 7 ) 当d a r b o u x 变换重复n 次，公式( 1 7 ) 也可以被推广，它可以不通过迭代过程中得到的新的可 解的s t u r m - l i o u v i l l e 方程的解而直接由最初的方程( 1 1 ) 的解表示出来令在a = 1 ，a 时，方程( 1 1 ) 对应的解分别为皿h t ，皿我们定义关于k 个函数，l ，厶的w r o n s k i a n 行列式w 为 w ( 1 ， ) = d e t a ，锄= d 如 - t 3 一f j j ， ，j = l ，2 ， 关于这个推广我们给出c r u m 定理 1 8 ，它是c r u m 推广的d a r b o u x 定理： 2 0 0 6 年5 月中国科学技术大学礤士学位论文 目录 第5 页 1 前言 定理1 2 ( c r u m 定理) 函数 满足微分方程 它的位势为 叩l = 鬻措 一垃。 】十u 【 皿【 = a 皿 1 u = u - 2 暴h ( 虬，吲 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 对于非线性偏微分方程求精确解来说，d a r b o u x 变换是一个很有效的方法，我们以k d v 方程为例说明d a r b o u x 定理 9 可以被应用到孤立子理论中来。构造d a r b o u x 变换关键要注 意相应的谱问题拥有的各种共变性，寻找一种保持相应的l a x 对不变的规范变换对于可 积方程来说，d a r b o u x 变换的基本思想是通过与l a x 对相关联的线性微分方程的解来构造 可积非缵陛方程的解例由一个平凡解u = 0 出发，首次d a x b o u x 变换和连续做n 次d a r b o u x 变换可分别得到方程的单孤子解和多孤子解在1 8 8 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 在研究浅水 波问题时发现了k d v 方程 u t = 6 u u z 一“m ( 1 1 1 ) k d v 方程可以被表示成下面的形式 陋，创= 6 u u 。一 其中算子为 l = 一磋+ u ( 嚣，t ) ，a = 一4 磋+ 6 u o + 3 u 。 所以k d v 方程也可以被表示成下面的形式 0 t l = 汪，棚， 通常称为l a x 表示方程( 1 - 1 3 ) 等价于下面得偏微分方程的相容性条件 五田= 皿，皿t = a 皿， 即为 一皿翻：十屯= a 皿， 皿t = 一4 平踟+ 6 $ + 3 u 皿 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 这个等价意昧着 ( 巩三一【工，捌) 雪= 0 ( 1 1 7 ) 对于固定的t ，o i l 一 l ，捌是与a 无关的函数 a t 一6 u u 。+ “一的一个乘法算子显然 ( 1 1 5 ，1 1 6 ) 的与谱参数 有关的解也满足方程( 1 ，1 3 ) 方程( 1 1 5 ) 关于d a r b o u x 变换( 1 2 ，1 4 ) 2 0 0 6 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 目录 第6 甄 踮前言 是协变的并且可以证明方程( 1 1 6 ) 也是同样成立的方程( 1 1 5 ，1 1 6 ) 的协变性质为我们从解 方程( 1 1 5 ，1 1 6 ) 得到的已知解“( 墨) 出发构造k d v 方程的新解提供了依据w a h l q u i s t 首 次提出 2 4 ：对于给定的n 次d a r b o u x 变换后的解为 f = u 一2 璀i n w ( q ? l ，一，皿) ( 1 1 8 ) 其中雪l ，雪是方程( 1 1 5 ，1 1 6 ) 的线性无关解 通过d a r b o u x 变换的n 次迭代求解孤立子方程是非常复杂的，在此我们避免n 次迭代直 接通过n 重d a r b o u x 变换得到孤子解的行列式表示近而得到特征函数的行列式表达式， 即得到从“种子”解出发的经过n 重d a r b o u x 变换生成的特征函数的解析表达式，下面再 应用s y m 公式 1 0 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ) 和特征函数的行列式的表达式构造可积曲面 可积曲面的构造是d a r b o u x 变换与几何问题的结合，其实在研究经典的微分几何中出 现过许多著名的可积方程，如人们熟知的s i n e - g o r d o n 方程，它是来源于描述负常曲率曲面 的研究中在当时，发现了s i n e - g o r d o n 方程和其它可积方程的许多可积性的特征，即有清 楚的几何解释( 比如，b 出：k l u n d 变换) 。一个负常曲率曲面对应于s i n e - g o r d o n 方程的一个 非零解，而b g c k l u n d 变换给出了从一个负常曲率曲面到另一个负常曲率曲面的构造方法， 以及从s i n e - g o r d o n 方程的一个非零解到另一个非零解的做法，这些都是很有意义的结果 孤子理论的出发点( l a x 表示或z a k h a r o v s h a b a t 表示) 也有显然的几何来源，这个非线性方 程的表达式是以两个线性方程 西，= m e ，吼= ( 1 i 9 ) 的相容性条件 舰一风+ 阻，n 】_ 0( 1 , 2 0 ) 给出的在微分几何中，它就是g a u s s - c o d a z z i 方程用来描绘活动标架线性方程的相容性条 件在表达式中谱参数a 描述保持它们性质的曲面变形：谱参数 乍亭变形参数，从而可 积盐面形成了族 令曲面f = ( f l ，f 2 ，毋) ：z - r 3 是从整环” r 2 到三维欧氏空间的一个嵌入， ( u ，u ) ，且令( 1 2 0 ) 中的m ( u ，”，”，n ( u ， ，a ) s u ( 2 ) ，其中 c 是谱参数，西( u ，”，a ) 是方程( 1 1 9 ) 的解，则曲面函数f s u ( 2 ) 定义一个嵌入函数 2 2 】， f = o l 圣一1 m 垂+ a 2 圣一1 西+ a 3 西一1 羔圣+ o 锰u 圣一1 f 圣+ n 5 u 圣一1 圣+ 圣一1 矿西 其中a h 一，0 5 是常量且u s u ( 2 ) 是一常数矩阵当n 1 = n 2 = 0 3 = a 4 = 0 5 = u = 0 时， 对应着a s y m 1 0 ，1 9 ，2 0 ，2 1 】给出的结果，这个嵌入函数在大多数情况下为 。1 扣f 溻i f l 仙+ f 2 _ ! 鬟) 咖 。t ， 本文的目的是构造a k n s 系列的n 重d a r b o u x 变换的行列式表示，并且通过n 重d a r b o u x 变换得到特征函数的行列式表示，并由此研究n 次d a r b o u x 变换的孤立子解和周期 2 0 0 0 年5 月 中国科学技术大学硕士学位论文 目隶 第7 页 1 前言 解，再根据s y m 公式和特征函数的行列式表达式研究相应的曲线和曲面在d a x b o u x 变换下 的性质本文作了如下安排：在第二节中我们对a k n s 系列和它的d a r b o u x 变换作了一个 简单的介绍在第三节我们给出n 重d a r b o u x 变换的行列式表示我们在第四节给出n l s 方程n 孤子解和n 孤子曲面的行列式表达式并给出n 孤子曲面的图形m = 1 ，2 ，3 ) 第五节 是对n l s 方程的n 重d a r b o m x 变换生成的周期解进行了讨论我们在第六节中对周期解对 应的曲面和曲线的性质进行了一系列的分析最后是结论和附图 2 0 0 6 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 目录2 第8 页 a k n s 系列覆其d a r b o u x 变换 2a k n s 系列及其d a r b o u x 变换 首先，我们对a k n s 系列给出一个简单的介绍，a k n s 系列的l a x 对 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 此处a ，b 和c 是关于q 和r 的微分多项式。a k n s 系列方程是特征函数借助l a x 对( 2 1 ) 和 ( 2 2 ) 的相容性条件“= 纯得到的这个系列包含几个大家熟悉的可积方程，它们分别是在 不同的约化条件下得到的，比方说n l s 方程，k o r t e w e g - d ev r i e s ( k d v ) 方程，m o d i f i e dk d v 方程m k d v ) ，s i n e - g o r d o n 方程( s g ) 等等具体来说，令a = 一2 a 2 + i l q l 2 ，b = 2 q ) 、+ i q s ， c = 一2 q a + 蝣，则得到n l s 方程 虬+ 舶。+ 2 q 矿= 0 ( 2 3 ) 它是a k n s 系列在约化条件q = 一广下得到的，”，表示复共轭又如且= ! 筹， _ b = g = 气芋，q = 一r = 半时，得到s i n e - g o r d o n 方程 a k n s 系列的d a r b o u x 变换实际上是关于l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的一种特殊的规范变换 扩】= t ，( 2 5 ) 因为非奇异变换t 将谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 变为 圳= m 【1 ， ( 2 6 ) = 1 】 ( 2 7 ) 从而得到 m 【1 】= 砖t 一1 + 丑m t ，( 2 8 ) 1 = 砚t 一1 + t l n t ( 2 9 ) 通过交叉微分( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，我们得到 叫“一5 1 + 眦 1 1 【1 1 】= t ( m t m + m ，n i ) t 一1 ( 2 1 0 ) 庐 在 、 q 认 8 - r a g ，一 i l j | m l i | i 以 2 0 0 6 年5 月 目录 中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 2a k n s 女列厦其d a r b o u x 变换 由于t 的非奇异性，故零曲率方程舰一肌+ 眦 = 0 与删”一 ”+ m 吐呐= 0 是 等价的，这也就意味着它们所对应的孤立子方程在规范变换意义下是等价的要使的a k n s 系统在规范变换( 2 5 ) 下不变，我n 要求m 【l l 和【1 1 于m 和n 有相同的形式，同时规范变 换t 将m ，n 中的位势q ，r 映为m 【“，【1 】中的一，r 【“，我们进行多次d a r b o u x 变 换产生一系列新解q ，r n 通常这个t 要取为参数a 的多项式，一般可从 的一次项 开始，即为 t = 矗x + 岛，矗= a 1 b 1 ) ，磊= a 。b ) c z t t ， 从( 2 8 ) 中我们得 ( 笼) a + ( c 0 a i s 巩b s ) = 一n 2 ig 1 ，三。) 一；a ( 二二) + ( ：芝：耋) a + ( ；：芝：) 一【一t a 2 ( ：) 一t aa ：) + ( r 而d l lq 0 1 ) a + r b ：) ， 比较的系数，我们得到： b l = c l = 0 ，a l 。= 0 ，d 1 3 = 0 ， 一2 i b + g f l 】d 1 一q a l = 0 ，2 i c + r 1 l a l r d l = 0 ， 口8 = 口 1 j c r b ，k = q f l j d q a ， c s = r i l 口一r d d s = r 1 坫一q c 我们取。：d ，：1 时一次d 。b 。u x 变换的形式为： t = j s ( 2 1 2 ) 其中i 是2 2 单位矩阵。从( 2 8 ) 中我们得 一s ：+ c a ，一s ，c t a + ( ：；) ，= c t a 。+ o 。，一0 ”) ，c x ，一s ， 比较 的各次幂的系数，得 ( r o l ，= ( ：抄盼吼 2 0 0 6 年5 月中国科学技术大学砸士学位论文第1 0 黄 目录 2a k n s 系列及其d a r b o u x 变换 即 口f q = q 一2 i s 】2 ， r 【1 】= r + 2 i s l 2 ，s = f 8 1 18 1 2 1 8 2 18 2 2 从常数项，得一岛一s ( ：) = 一( r o ，譬1 ) s ，即 是s ( ：) = 一( ：) s t c s 盯。s a s s 2 ， c z s ， 设h 是l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的非奇异矩阵解，令s = 日a 日一，可以验证s = h a h _ 1 满足 ( 2 1 3 ) 从而得到我们常见得一次d a r b o u x 变换的形式 t = a i - h a h - 1 , a = ( ：羔) 仁 其中z 是z z 单位矩阵，日= ( 2 勘f 2 2 1 其中 = c h ，= ( 羔) ，t = ，z 是l “对 ( 2 _ 1 ) 和( 2 2 ) 对应着特征值 1 和 2 的特征函数易验证t ( 沁) ( ，i ) = o ，i = 1 ，2 设 倒= ( = ( 乏) 是l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的一个关于特征值a 的列向量解，即为a k n s 系列的特征函数考 虑到我们在下文中要用不同特征值的特征函数的行列式来表示n 重d a r b o u x 变换，我们需 要先介绍2 “个特征函数 。、 a ：a ( h ) ：f n 1 1 2 其中儿为其特征值，如果m ，则札k ，女= 1 ，2 ，3 ，2 n 另外，对应于不同特征 值的特征函数是线性无关的，即如果m 则a 和厶是线性无关的n 重d a r b o u x 变换 ( 记为靠) 是d a r b o u x 变换重复n 次的结果 2 0 0 6 年5 月 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 1 页 ! 兰! ! 垒兰! ! ! 竺兰! 兰至兰! ! 兰兰竺 3a k n s 系列的n 重d a r b o u x 变换 本节的中心任务是构造a k n s 的n 重d a x b o u x 变换晶的行列式表示，我们需要项g 进几个相关引理 引理3 1 ( 推广的s y l v e s t e r 恒等式【2 3 1 ) 令b = ( b 钿) 。，其中岛口= a w 如 bo 嘶 b = ( b ) d 。1 ，k = ( h p h 。d ，n = ( ) d d 非退化， 1 p ，q 曼扎，d l 的情形，当n = 1 时，c 1 和d 1 的表达式跟定理中给出 的表达式不同，由定理的证明过程显见 - i s 妇1 ，1 1 ，1 2 1 ，1 1 ，2 i 止2 沁，2 1 d 1 n = l 时，单孤子曲面参数的表达式为 f i = 2 ( s 一箍) l f 2 - i s诂 l ，1 1 2a 1 1 1 2 厶l ，2 2 2 ，2 2 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 42 3 ) n 孤子曲面及其曲面的性质已经有人进行了过一些探讨【1 9 ，2 1 ，我们在此不再做深入的研 究和叙述，当给出一些不同情形下的图形( 见附录g r a p h 4 1 一g r a p h 4 6 ) ，显然我们的结果与 文献 1 9 ，2 l 】中的是一致的 2 0 0 6 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第3 0 页 ! 兰! ! 翌! ! 兰兰! 兰呈竺! 兰兰兰圭兰兰! ! ! 兰兰竺望竺竺 5n l s 方程n 重d a r b o u x 变换生成的n l s 方程的周期解 设n l s 方程( 4 1 ) 的“种子”解为 d = c e t pf 5 1 1 它同时也是( 4 1 ) 的周期解，其中p = a s + b t ，o ，b ，c r 将“种子”解( 5 1 ) 代入方程( 4 1 ) 我们得到参数o ，6 ，c 闯的关系 c 2 = ；( b + 0 2 ) ( 5 2 ) 这个关系使得我们讨论的问题的参数减少了一个，在此讨论过程中我们认定参数q c r 在g = c e i p 情形下我们得到也( ) 和庐2 ( a ) 有下列的形式 l ( ) = c e ( g + ) ， 血( a ) = i ( ；+ q ( ) + a ) e i ( - 州枷 其中 。1 1 _ _ 。1 。_ - _ _ _ _ _ 。一 c - ( ) = c 2 + ( + ；) 2 ，c 2 ( ) = c t ( 。) = 厨，也( 0 ) = 一w ，( 0 ) = 丢c l ( 划脚= 丽a ，丢鳓) 1 - = o = 2 c l ( 。) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 2 a o ) q ( ) ，d ( ) = c 1 ( ) s + c 2 ( ) t ( 5 5 ) 。卢虿j d ( 驴( s 刈) 卢下_ ( 5 _ 6 ) 蒜，却k 。= 南伸州旷南弦 ( 5 7 ) 这里 = f + 切是特征值尽管c 1 ( a ) 是拥有两个不同分支的多值函数，因为对于复数z ：= c 2 + n + g ) 2 ，有( 、茅) + i k ：z = ( 、，历) k ：o 的结论成立，k 表示不同的分支，即c i ( ”) = c t ( ) 从而畦( + ) = c 2 ( ) ，扩( ”) = d ( a ) 这对于我们下面的结论很重要，因为它打破了 取纯虚 数和实数的局限。( ) ：f 卸n 1 和妒( a ) ：f 一粥n o1 是n l s 方程的l a x 对的特征 2 ( ) 毋 ( a + ) 值 对应的特征函数为了得到有意义的新解，我们应用线性方程的迭加性得到 对应的 新的特征函数 ( a ) ：f 妒- ( 1 ) 一端( 1 + 1 ：f “l ( 1 1 ( 5 8 ) 2 ( ) + 钟( + ) 胁( ) 则 m ，= ( 兰篡：0 篡0 ：善芸篇：) = ( 篡；) 慨。， 、7 c e 一( + 4 ( ) ) + i ( g + c l ( 入) 十 ) e ( 一e + 8 ( ) ，、h 2 ( ) 2 嘲年5 月 中国科学技术大学硕士学位论文 第3 1 页 目录 5n l s 方程量d a r b o u x 变换生成的n l s 方程的周期牌 对于n l s 方程，对应于2 n 个特征值 2 t = a 羹_ l 的奇次特征函数为 一( = 小：；) = h l ( a 2 k - 1 ) ) ，) 2 ( a 2 k = 犯k 一一，) c e 。( 洲k _ i ) ) + i ( g + e l ( a 2 , - i ) ) + 2 k - i 矿( 一 + 舭：” c e i ( + d ( 1 2 一1 ) ) + i ( 墨+ q ( a 2 一1 ) + a 2 k 一1 ) e t ( 一+ d ( 2 一1 ) ) 偶次特征函数为 k ：f 一拖- 1 ) 。n 。h o1 ： 亿女_ 1 ) 1 ( a 2 ) f c e 。+ d 1 1 2 一1 卜谢2 ( 1 2 一1 ) ) + i ( + k l i t 把 一1 + c i ，。( a 2 一1 ) ) e t ( 一g + 血( 2 一1 ) 一忱( 2 一1 ) ) 、 c e 4 ( + d 1 ( 2 b 一1 卜出( 3 2 一1 】) 一i ( 暑+ l i 卵2 k _ l + c i r 。( 2 k 一1 ) ) e t ( 一l + d l ( 2 一1 ) 一t 出( 2 一1 ) ) a 是n 重d a r b o u x 变换的生成函数，k = 1 ，2 ，2 n 其中 c 1 ( a 2 一1 ) 2 一+ ( a 2 k 一1 + ；) 2 = c l r e ( 2 一1 ) + i c l i m ( 2 k - 1 ) ， ( 51 0 ) c ；( a 2 一1 ) = c 1 r e ( 2 一1 ) 一f c l 。( 2 一1 ) ， f 5 i i ) d ( a 2 k 1 ) = d r e + t 也m = d l ( a 2 七一1 ) + t 如( a 铀一1 ) ，( 5 1 2 ) 血2c l r e s + ( ( 2 k 一1 一o ) c l r e 一2 r 2 k i c i m j t ， ( 5 1 3 ) d j 。c l i m b 十 2 r 2 l c l r e + ( 2 f 2 k 一1 一o ) c l i m 】t ( 5 1 4 ) ( 5 i o ) 式中的c 1 r e 和c “m 分别是c l ( 一- ) 的实部和虚部，我们可以知道c l ，。和c l i m 都是可 解的( 5 1 0 ) 式中的d i ，d 2 分别为d ( a 2 k 1 ) 的实部与虚部利用前面的n 重d a r b o l l ) 【变换 的定理3 ，1 和推论，我们可以从“种子”解( 5 1 ) 出发，由( 37 ) 式给出n l s 方程的新解最 简单的例子就是n = 1 时的情形，一次d a r b o u x 变换为 一一n 耻肛凰岬肛( 2 善) 批( ：三) 其中生成函数 扣( 然；) 屯沙( 竺黧勰蹴羔茹1 _ ：) ) ， 止= - f i 2 ( a i ) 2 ( ：裟端二篡：三二：二篡篙僦裂) 2 0 0 6 年5 月 目录 中国科学技术大学硕士学位论文第3 2 页 5n l s 旁程重d a r b o u x 变换生成的n l s 方程的周期解 由( 3 7 ) 式有 一k g + 2 i ( 1 2 = g + 篙，1 l ，如， 其中 0 m 1 = = + c 1 r e + f l ，m 2 = c l 打n + m 耻乖( f t l ：孙 1 w 2 l = ，1 1 片1 + e 2 a 2 = 2 ( c 2 + 前+ m ；) c o s h 2 d 2 4 c m 2c o s 2 d l ， 眦) 1 2 a 而1 - a 2 m 是= 一离m 危= 1 2 i ”i l e i p ( 、一2 m ls i n h 2 也十2 2 c o s h 2 d 2 一( c 2 + m + m ；) c o s 2 d l + i ( 一c 2 + m 十m ；) s i n 2 d 1 ) 由于f t ，凤不同时为零，易验证 ”2 l 是非奇异的。由( 4 7 ) 式我们也可以求出2 重d a r b o u x 变换后的周期解类似的，我们可以得到经过任意k 重d a r b o u x 变换后的周期解( 3 1 1 ) ，其 中k = 1 ，2 ，n 在下一节我们转而讨论n 重d a , r b o u x 变换生成周期解对应的曲线和曲面 的性质 2 0 0 6 年5 月 中国科学技术大学碛士学位论文 第3 3 贾 呈坠：；：一： ! ! 皇兰竺兰兰塑竺兰量竺苎 = = = = = = = = = = 竺= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 二二_ 二二二二= 二二二兰! 6 周期解对应的曲线与曲面 对于n l sj 7 1 i ( 4 1 ) ，为了保证g ( n 】= - r b ，我们取a 2 七= a ； 一i 是有必要的我们取 帚b - t - - ：解g = c e 西，p = 。8 + 配，其中c 2 = ( 6 + a z ) ，k = 1 ，2 ，n 与谱参数 对应晶 特征函数为 c - ，= ( 芝：；) = ( 。；十q 蓉；篡；：一；+ 。n ，) c s z ， 经过n 重d a r b 。u x 变换，西( a ) 变换为西m ( i ) ，a k n s 系列变换后的特征函数为 ，j 矗胪币tj 、 艄护( 吲砌= 而1 w 2 n 已叫n - - i l1 。， 1 w 。已。l 其中踮2 ( l ，如，a 庐l ， 也， “一1 妒l ， n 一1 也) n l s 方程的特征函数矩阵为 壬( ) ：f l ( 1 ) 一( 如( 1 + ) ) + 1 ：f c e “5 + 。n ” i ( ；+ q ( ) + a ) e “+ 4 ( ”1 勘n )( 士l ( a + ) ) + ii ( ；+ c 1 ( ) + ) b ( + d ( ) ) c e 一“ + 州j ) ) j 当 ：o 特征函数矩阵行列式为 ( 6 3 ) d e 心( 圳 _ 0 = ( c 2 - t - ( a + c l ( 卅妒) i ；、= 0 = 2 c 2 + 2 a c i ( 0 ) + 譬皇a 它依赖于参数a 和c 的取值 6 1曲面 。，挚蜩首先给出n 重d a r b o t l x 变换生成的周期解对应瞌面的行列式参数表达式与孤子 情形的定理4 1 相对应： 。 定理6 1 根据s y m 公式( 垂( ) 一1 袅圣( ) ) 瑚 1 只3 5 ，蹰2 0 , 2 1 ，碉，我们得到。重 d a r b o u x 变换生成的周期解对应曲面( f 1 ，马，岛) 的解析表遮式为 ( 圳。1 轴蚍卸= 、卅i r a + 易f 。_ ! 篡) n 周期解对应曲面可以写成下面的行列式形式， f 1 = s i n ( 一b n + o n d n ) 冈瓤羽研f 蕊i 前丽 ( 6 a ) 2 0 0 6 年5 月 目录 中国科学技术大学硕士学位论文第3 4 页 6 周期解对应的曲线与曲面 地2 丙再研甄f _ _ 瓦= 雨研 r ： 塑! ! i 鱼蜢生! ” i a l h a 3 k 卜+ i a 2 n 一1 h 矸，2 n p a 其中 n n = l 袅。6 二，卜= i 怠三l ，c n = i 怠0 ，l ，南= l 袅。厶o k n = ( e l ，e 2 ，0 ，0 ，一，0 ，o ) 1 2 n ，矗= ( n l ，n 2 ，e 1 ，e 2 ，0 ，- 一，o ) 1 x h e 1 = 1 ( 0 ) = c e ( e + d ( 0 ) ) e 2 = 赴( o ) = ( ；+ c 1 ( o ) ) “一州0 ”， 旷出1a = o ：i c ( 南+ ( 2 “0 ) _ 蒜m “舭( o ) ) ， 一瓤刊吒a + c 1 ( o ) ) ( 南+ ( 2 c l ( o ) _ 南旧州南蛳妒即( 0 = d e t ( 圣( ) ) i 扛。= ( c 2 + ( a + c l ( ) + a ) 2 ) l ：。= 2 c 2 + 2 a c l ( 。) + t 5 a 2 ( 6 5 ) ( 6 6 ) 此定理的证朗过程与定理4 1 类似的，在此不再多言 注6 1 此定理只适用于n 1 的情形，当n = 1 时，c l 和d 1 的表达式跟定理中给出 的表达式不同，应为 c l d , 1n 2e l ，nf 1 2 1 1 1 2 1 ，2 2a 2 ，2 l d l = n 1n 2e 2 i i lf 1 2 1 1 1 2 ，2 1 ，2 2a 2 丘2 理论上我们可以得到经过n 重d a r b o u x 变换生成的周期解对应的曲面的行列式表达式，但 我们在此只能讨论o = 0 情形下的曲线在 重d a r b o u x 变换下的变化规律，给出它们的图 形，分析它们的一些几何性质 6 2 “种子”解对应的曲面 我们考虑“种子”解q = c e ，对应的曲面( 日，f 2 ，f 3 ) 日：堑a 学 ( 6 7 ) 2 0 0 6 年5 月 目录 中国科学技术大学硕士学位论文箢3 5 页 6 周期辫对应的曲线与曲面 乃：一c ( 2 c 南( 0 ) + r 1 ) s i n 一2 d ( 0 ) ， ( 6 8 ) 乃：竺竺型a2 笪。# 8 竺燮g 8 2 ( 6 9 )，= 2 = l ( 6 ) 其中 c 1 ( o ) = 、c 2 + 等，d ( o ) = ( 8 一。t ) c 1 ( o ) 由曲面