（机械制造及其自动化专业论文）非线性减振器的复杂动力学行为分析.pdf

江苏大学硕士研究生学位论文 摘要 多自由度耦合非线性系统，在内共振条件下的复杂动力学现象，一 直是当前国内外非线性领域内的前沿课题之一本文在前人的基础上， 针对机电系统中一类非线性减振器模型，运用现代非线性分析方法，探 讨了系统的复杂性机理，分析了不同物理参数和初始条件等各种因素对 系统的动力学行为的影响，进而揭示了其复杂运动的本质，为提高实际 应用于机械、汽车、航空、建筑等行业中的减振器性能，提供了理论基 础 ，本文首先分析了两周期激励下一类2 ：1 内共振减振器的模型根据 解的稳定性判据，得到了物理参数平面上减振器的分岔情况，结合数值 方法，详细分析了不同参数对减振器的减振效果的影响，得到了一组减 振效果相对较好的参数条件 其次，基于h a x t o n 和b a r t 的经典减振器模型，将阻尼单摆的杆连接 改为线连接，运用多尺度法，得到了原系统的一次近似下的平均方程； 并根据r o u t h - h u r w i t z 原则，得到了参数平面上的分岔集，将参数平面划 分为不同的区域通过数值模拟，揭示了系统存在倍周期分岔通往混沌 的途径，以及多吸引子共存的现象，特别是两个吸引子共存的现象 第三，在原系统一次近似平均方程的基础上，使用现代非线性理论 方法，得到了原系统2 ：1 内共振条件下的二次近似平均方程通过数值模 拟，比较了一次近似与二次近似下系统的动力学行为区别，发现二次近 似下，系统呈现更加复杂的动力学现象，如倍周期分岔、混沌吸引子的 1 01ji；f 江苏大学硕士研究生学位论文 合并激变以及多吸引子共存的现象 第四，运用数值方法，分析了原系统的动力学行为，得到了不同参 数条件下系统的庞加莱截面的变化情况，发现系统的庞加莱截面存在环 面倍化通往混沌的途径 最后，总结了本文所取得的一些有意义的结果，同时指出了存在的 不足和今后工作的方向 关键词：非线性减振器，内共振，倍周期分岔，混沌，激变 1 0喈耄月嚣#，。”b、。 ，漶“一；0，；，； 一翌蔓查堂堡主堡塞生兰垡笙塞 a b s t r a c t t h ec o m p l e x d y n a m i c a lb e h a v i o ro f m u t i f r e e d o mn o n l i n e a rs y s t e mw i t h i n t e r n a lr e s o n a n c ei so n eo ft h ef r o n t i e rp r o b l e m si nt h es t u d yo f n o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m s b a s e do nt h er e s u l t sw e o b t a i n e d ，t h ec o m p l e x m e c h a n i s ma n dt h ei n f l u e n c ec a u s e db yd i f f e r e n t p a r a m e t e r sa n di n i t i a l c o n d i t i o n so ft h i sv i b r a t i o na b s o r b e ru s e di nt h em e c h a n i c a la n de l e c n o n i c s y s t e m si si n v e s t i g a t e db ya p p l y i n gt h em o d e mn o n l i n e a ra n a l y t i c a lm e t h o d s i no r d e rt or e v e a l t h em o v e m e n tc o m p l e x i t y , w h i c h m a yp r o v i d et h e t h e o r e t i c a lb a s e m e n tf o r i m p r o v i n g t h ev i b r a t i o n a b s o r b e r c a p a b i l i t i e s g e n e r a l l yu t i l i z e d i nd i f f e r e n ti n d u s t r i e ss u c ha sm e c h a n i s m ，a u t o m o b i l e ， a v i a t i o na n da r c h i t e c t u r ee r e f i r s t l y , am o d e lo fv i b r a t i o na b s o r b e rw i t h2 ：1i n t e r n a l1 e s o n a n c e s u b j e c t e dt ot w op e r i o d i ce x c i t a t i o n si sd e b a t e d a c c o r d i n gt ot h es t a b i l i t y c r i t e r i a ，t h eb i f u r c a t i o no nt h ep h y s i c a lp a r a m e t r i cs p a c ei s a n a l y z e d t h e i n f l u e n c eo fd i f f e r e n tp a r a m e t e r so nt h ea b s o r b e rc a p a b i l i t i e s i sd e t a i l e d l y d i s c u s s e da n dag r o u po f b e t t e rp a r a m e t r i cc o n d i t i o n sh a v eb e e n g o t t e n s e c o n d l y , g r o u n d e do nc l a s s i c a la u t o p a r a m e t r i cs y s t e me s t a b l i s h e db y h a x t o na n db a r r , f i r s t - o r d e ra v e r a g i n ge q u a t i o n sa r er e c e i v e db ye m p l o y e d m u l t i s c a l e m e t h o d a c c o r d i n gt o t h e p r i n c i p l e o fr o u t h h u r w i t z , t h e p a r a m e t r i cr e g i o ni sd i v i d e di n t od i f f e r e n tr e g i o n se x i s t e dd i f f e r e n td y n a m i c a l b e h a v i o r s e v e r a la t t r a c t o r s c o e x i s t e n c e o nt h e p h a s ep l a n ea n d l l i o j 一坚蔓盔堂堡主堡塑竺兰垡堡塞 p e r i o d - d o u b l i n gt oc h a o si sf o u n d e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h i r d l y , s e c o n d - o r d e ra v e r a g i n ge q u a t i o n sa r ef o u n d b ye m p l o y e d m o d e mn o n l i n e a r t h e o r y c o m p a r e dw i t h t h ef i r s t - o r d e r s y s t e m ，t h e s e c o n d 。o r d e ro n eh a sm o r e c o m p l i c a t e dd y n a m i c a lp h e n o m e n as u c ha s p e r i o d - d o u b l i n gt oc h a o s ，a t t r a c t o rm e r g i n gc r i s i sa n ds e v e r a la 仕r a c t o r s ， c o e x i s t e n c e f o u r t h l y , t h ec o m p l e x i t yo fo r i g i n a ls y s t e mi s a n a l y z e db ya p p l y i n g n u m e r i c a lm e t h o d s t h et r a n s f o r m a t i o no fp o i n t c a r em a p su n d e rd i f f e r e n tp a r a m e t r i cc o n d i t i o n si so b t a i n e d i ti s f o u n dt h e r ea l s oe x i s t sd e r i o d - d o u b l i n gt oc h a o si nt h eo r i g i n a ls y s t e m a tl a s t ，s o m em e a n i n g f u lr e s u l t sa l es u m m a r i z e d i nt h ee n do f t h i st h e s i s af e we x i s t i n gp r o b l e m sa sw e l la sp o i n t e do u tt o g e t h e rw i t hf i m l r e 、r k s h o u l dp a ya t t e n t i o nt o k e yw o r d s ：n o n l i n e a rv i b r a t i o na b s o r b e r , i n t e r n a l r e s o n a n c e ，p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n ，c h a o s ，c h a o t i cc r i s i s ， nm 斛r，f一呐4 、 ， ， * qf- 14l， y 3 7 5 2 $ 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文 乍者突全了鳃学校鸯关傈鐾、傻建学位论文的援定， 阍意学位保留并扁鞠家有关部门或瓤构送交论文的复印件和电子舨， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行枪索，可以采用影印、缩印或扫 攒等复裁手段保存秘汇编本学盈论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名： 荧兰逄、 参年弓隽；髫 指导教师签名： 一0 年3 胃；鑫 辈勃螳 f ； 曲 参j 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年月日 ：，奠_：0 l； 江苏大学硕士研究生学位论文 1 。1 引言 第一章绪论 自1 9 世纪末2 0 世纪初以来，非线性动力掣1 4 1 经过一个多世纪的发展，日益成 为当今国内外学术发展的重大前沿课题，它的任务是研究揭示非线性动力系统中存在 的各种运动模式，同时可为一系列重大工程非线性动力学问题提供可操作的理论计算 方法 真实动力系统中总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩 擦、结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形、控制系统中的元件饱和特性、 控制策略非线性等等正是这些不可避免的非线性因素的广泛存在，系统在某些特定 条件下发生超越线性范围的复杂动力学行为因此，运用现代非线性动力学理论阐明 复杂力学现象的机理，寻求普遍的力学规律，发现新的动力学现象，同时研究重大工 程中动力学失稳控制的设计，成为当前的研究热点2 1 自2 0 世纪6 0 一7 0 年代以来，随着分岔理论汇入非线性动力学研究的主流中，加 上混沌现象的发现，为非线性动力学的研究注入了新的活力，分岔、混沌的研究已成 为非线性动力学理论新的研究热点0 3 - 1 7 1 国际非线性科学的研究工作，在l o r e n z 吸 引子、k a m 理论、a r n o l d 扩散、l i - y o r k e 的混沌命名以及f e i g e n b a u m 普适常数为标 志，取得了重大突破俄罗斯科学家a r n o l d 和美国科学家s m a l l 等数学家和力学家 相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，v e d a 等物 理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现这些科学家、数学家和力学家的杰出 贡献使得非线性动力学在2 0 世纪7 0 年代成为一门重要的前沿学科，在动力学、振动 与控制学科创立和发展过程中都占据了重要的地位，成为当代动力学、振动与控制的 一个重要分支 随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学理论正在从低维向 高维发展，非线性动力学理论和方法所能处理的问题规模和难度不断提高人们不仅 力求深入分析非线性对系统动力学特性的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运 行与控制满足日益提高的运行速度和精度要求，而求开始探索利用分岔、混沌等非线 性现象造福人类 本文以h a x t o n 和b a 一吲提出的自激参数减振器模型为背景，为改善此类内共振 减振器的减振效果，提高减振器的整体性能为目的，运用现代非线性动力学原理，揭 示了周期激励作用下，该减振器存在的复杂动力学行为 1 2 多自由度内共振动力系统的研究概况 非线性因素为系统带来了一系列线性系统所没有的动力学现象，在单自由度系统 中这些现象包括：多解、跳跃、极限环、亚谐共振和超谐共振、概周期解、周期解分 岔和动态分岔，以及混沌运动等在多自由度系统中，除上述现象外，还有内共振， 组合共振、模态相互作用、以及这些特殊条件下的复杂动力学行为内共振使得多自 由度系统的相互模态互相耦合，致使其动态行为交得更加复杂和丰富 内共振发生在其固有频率之间可以通约或近于通约时，在没有内共振时，定常响 应只含有直接激励的模态如系统中含有立方非线性项时，当圭坩， - i + 2 w + l ，或圭i - t - w m 士m i 时，将发生内共振，当系统中含有平方非 线性项时，除上面的共振外，还有心圭2 w 或k 圭w m + 坼形式的内共振现 象n a y f c h 、a s r a r 和n e y f e h 0 9 1 以w 3 圭2 w 2 ，w 2 圭2 w i 的三自由度模型作为飞机振动 的模型，用多尺度法研究了幅、相方程的h o p f 分岔，同时表明该方程组有周期的、 两周期的，拟周期的和混沌运动，也发现了锁相运动s e t h a 和b a j a j l 2 0 1 使用平均法显 示，对于某些亚谐共振，一般的系统均能产生导致振幅和相位调节运动的h o p f 分 岔m i l e s t 2 1 1 研究表明这些振幅运动自身会产生分岔，变成混沌的振幅调节运 动。m a c c a r i a 分析了两自由度耦合非线性v a n d e r p o l 方法同时具有主共振和i ：l 内 共振条件下的动力学行为，发展了a p 渐进摄动方法，发现随着激励参数值的增加， 振动周期将趋向无限，发现了无限周期分岔现象1 2 2 - 2 3 1 i b r a h i m 和b a r r 2 4 1 研究了三自 一， 由度系统在1 4 , 圭i w ，雌l 条件下的响应，他们发现有拟周期响应，在直接激励模态和 间隙激振之间存在能量转移 近十几年来，全局分岔成为了非线性动力学研究中的一个热点古典的m e l n i k o v 理论给出了低维系统的全局分岔研究方法1 2 5 】，可以得到s m a l e 马蹄型意思下产生混 江苏大学硕士研究生学位论文 沌的系统参数的门槛值w i g g i n s 2 6 在此理论基础上发展了高维m e l n i k o v 方法，给 出了三种系统的m e l n i k o v 函数表达式其研究结果也是仅局限在s m a l e 马蹄型意思 下产生混沌的系统参数的门槛值k o v a c i c 和w i g g i 璐【2 7 1 根据纤维丛理论和能量一相 位准则发展了在哈密顿共振情况下全局分岔的研究方法该方法在研究哈密顿共振时 的全局分岔，系统的不动点在摄动时可能会消失，另外，摄动出一圈新的不动点在 一定条件下，新的不动点之间存在s i l n i k o v 轨道产生混沌可以看出摄动后的系统结 构与无摄动系统结构是不同的根据此理论，许多学者研究了高维非线性系统的全局 分岔z c f e n g 和k m l i e w 研究了参数激励o ：l 内共振系统的全局分岔，发现了通 过s i l n i k o v 同宿轨道分岔走向混沌的机型2 8 1 梁建术、陈予恕 2 9 1 研究了一类含有平方、 立方非线性项的两自由度系统的全局分岔，应用能量一相位准则，确定了在哈密顿共 振时s i l n i k o v 轨道存在的条件，并通过数值计算验证了此条件f e n g 和s e t h n a 分别 研究了1 ：1 内共振参激系统的全局分岔和参激薄板的全局分岔1 3 0 - 3 1 1 总而言之，在模态相互作用动力学的研究方面，虽然取得了一些重要成果，但由 于多自由度系统的复杂性，仍有很多问题值得深入研究，如多自由度分析的降维方法，。 内共振条件下参数摄动对系统动力学行为影响的奇异性分析，以及多自由度非线性系 统复杂动力学行为的深刻揭示等等 1 3 本课题组取得的主要相关成果 1 在h a x t o n 和b a r r 的自激参数减振器的模型基础上阻尼单摆的切向增加了一个外 激励，考虑2 ：1 内共振双周期激励作用下减振器的复杂动力学行为通过平均法 得到了该系统的平均方程运用现代非线性理论分析了解的稳定性，并由 r o u t h h u r w i t h z 准则得到了其分岔条件由数值模拟得到了内共振减振器不同参 数与幅值的相图，通过进一步分析，给出了减振效果相对较好的参数条件，进而 提出了改善减振器效果的措施 2 运用非线性动力学理论知识，探讨了周期激励下内共振减振器的动力学行为基 于r o u t h - h u r w i t z 准则，得到参数平面上的分岔集，将平面划分为不同的区域， 在不同区域中存在不同的动力学行为，分析了不同参数条件下系统的解的稳定性 江苏大学硕士研究生学位论文 及分岔过程通过数值模拟，发现系统的相轨迹存在吸引子合并激变和多吸引子 共存的现象，并给出了其通往倍周期分岔到达混沌的演化过程 3 在一次近似的基础上，通过运用多尺度法，得到了2 ：l 内共振减振器二次近似下 的平均方程通过数值模拟发现，揭示系统中存在吸引子共存的现象，特别是两 个吸引子共存的现象，由于参数的变化，这两个混沌吸引子发生合并激变形成新 的扩大了的吸引子，与一次近似相比，吸引子通往混沌的途径是一致的，即均为 倍周期分岔只是在参数条件相同的条件下，出现的动力学现象不同，由此我们推 测二次近似的分岔集与一次近似存在差异通过进一步的模拟发现，二次近似的 h o p f 分岔集要比一次近似更精细，吸引子的形状比一次近似的更加复杂 4 运用解析与数值的方法，详细研究了复摆的复杂动力学行为分析了典型的四种 退化情况，即系统线性部分特征为两个零根、一个零根和一对纯虚根、两对非内 共振虚根和l ：l 内共振纯虚根等，运用中心流形定理和向量场范式理论对原系统 进行简化，得到了不同的定常解，并且运用数值分析方法验证了这一预测的可靠 性对复摆余维二情形的分岔和混沌途径的讨论已经较为完善 5 结合中心流形和规范形理论，简化了规范形系数的计算过程，并且根据提出的计 算方法编制了相应的计算机程序，进而深入分析了高维系统的复杂动力学行为 1 4 本论文的主要内容 本文基于h a x t o n 和b a r r 的自激参数减振器，运用现代非线性理论，探讨了两周 期激励和单周期激励下2 ：l 内共振减振器的动力学行为，论文的主要内容安排如下： 第一章为绪论，阐述了本文的选题背景，介绍了多自由度内共振动力系统的研究 概况和研究意义，简要介绍了本课题组已取得的与本文相关的部分成果 第二章，探讨了两周期激励下2 ：1 内共振减振器的分岔行为，得到了不同参数条 件下的幅频响应图，给出了改善减振器效果的参数条件 第三章，分析了周期激励下2 ：1 内共振减振器的动力学行为，给出参数平面上的 分岔集及系统随参数的分岔过程通过数值模拟，揭示了系统存在多吸引子共存的现 象以及通往混沌的途径：倍周期分岔 第四章，运用计算机模拟，讨论了二次近似下内共振减振器的复杂动力学行为， 发现系统同样存在多吸引子共存，特别是两个吸引子共存的现象，这两种混沌吸引子 江苏大学硕士研究生学位论文 会在一定参数条件下发生合并激变，形成扩大了的新的混沌吸引子 第五章，揭示了原系统存在的动力学行为，给出其随参数变化的分岔过程，通过 数值模拟得到了不同参数下的庞加莱截面，发现原系统存在蝴蝶状的图形，说明此系 统存在混沌现象 最后总结了本文所取得的成果，同时指出了存在的不足和仍需解决的问题，指出 了今后的工作方向 江苏大学硕士研究生学位论文 第二章一次近似下的非线性减振器的分岔分析 2 1 引言 减振器作为一种阻尼元件，广泛应用于机械、铁路、汽车工业，桥梁建设以及航 空等多种行业对减振器的各种性能及其构件之间的关系，已经引起许多学者的广泛 关注【3 ”5 1 例如；舒歌群等对复合式减振器对柴油机噪声的影响进行了实验研究，并 得出了一些建设性的理论：方子帆等研究了磁流变减振器对车辆主动悬架振动特性的 影响，提出了新的方法来提高车辆行驶的平稳性；冯雪梅等的一种新的汽车液力减振 器阻尼特性模型，综合考虑了减振器的各种参数对减振器受阻力特性的影响，为实现 汽车旋架系统的主动控制及开发新品种的减振器提供了理论依据b b a n e r j e e 和a n i l k b a j a j 等对自激参数减振器的研究，详细地解释了弱非线性多自由度系统的 共振响应s m i t s i ，s n a t s i a v a s ， i t s i a f i s 等研究了同步内外共振条件下振子的 动力学行为 3 6 - 3 8 1 本文从非线性分析的角度出发，应用一次平均法理论【3 9 枷】对内共振 减振器解的分岔情况做了一些初步探讨，提出了一些有效的改善内共振减振器的减振 效果的措施 2 2 建立物理模型和数学模型 2 2 1 物理模型 该装置是一个由弹簧、质量块和阻尼元件组成的主系统和一个悬挂在该系统上的 阻尼单摆组成，在工方向和单摆切线方向分别有一个外激励( 如图2 1 所示) 由于 运动中振幅较大，低次项会出现非线性项，内共振会使得这两个线性响应模式问产生 耦合 | ? n 、 t ? ? ” ” 2 2 2 数学模型 由理论力学的知识，我们可以推导出该非线性内共振减振器的动力学方程： ( 2 1 ) 泖 叫唑 毋 丘 执拈豳搿彩蛳蒯 江苏大学硕士研究生学位论文 图2 1 减振器示意图 f i & 2 1 a b s o r b e r ss k e t c hm a p 其中m 是物块的质量，q 和勺是粘性阻尼系数，k 是弹簧的刚度，m 是单摆的质量， ，是单摆的长度，是竖直方向的位移，口是单摆的角位移，毋、岛是外力的振幅，铆， 吐是外力的频率，且满足嘶= 2 m 2 引入变换：f = 砚，；t l = x l l ；质量比r ：m i m ： f = p ，毛，；激励的频率比p = o j i ，q ；质量块的固有频率比q ：币面；关联系统的频 率比g = m 心；减振器的固有频率鸭= 4 琢丽；单摆的固有频率q ；刃；质量 块的阻尼系数卣= c 1 1 2 m r 2 l ；单摆的阻尼系数岛- - c 2 ( 2 m 1 2 吐) ( 2 2 ) 为了研究该减振器共振条件下的小振幅动力学行为，我们引入小参数作为膨胀 系数 口= 研，目= 妇，磊= 翕，磊= 8 六，f = f 2 户，s = f 2 蓉 q 胪丽i 蠢， q 。2 ：1 1 “州l + r ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中0 o ，伤o ，钆 o 时零点稳定；当伊2 = o ，钆= o 时，零点失稳非零点 处的本征方程可表示为： 何( z ) = + 6 i 驴+ 6 2 俨+ 屯五+ 以 ( 2 i i ) ( 注：系教可以由计算机符号语言m a p l e 推导，因其表达式过于繁琐此处从略) 由r o u t h - h u r w i t z 准则，得其渐进稳定性条件： b l 0 ，b 2 ) 0 ，b 4 0 以( 6 1 6 2 一b 3 ) 一6 1 2 b 4 o ( 2 1 2 ) 2 5 数值分析 由方程组( 2 8 ) 的定常解，我们可以得到减振器幅值与它的相关参数之间的关系， 并用二维平面图形进行描述( 如图2 2 所示) 江苏大学硕士研究生学位论文 图2 2 振动的幅值与备参数问的关系 f i g 2 , 2 c o r r e l a t i o nb e “c e nv i b r a n ta m p l i t u d e d 掣s l c m 舯n m c t c r s 对上面的图形我们分三组分别进行分析： 1 ) 由p 与口i ，n 2 ( 如图2 2 ( a ) 的平面图) 我们可以看到，a l 、a 2 均随着，的增 大而逐渐增大，在p 很小时，口l ，口2 都为最小值其中p = 研，n i ( q 是竖直方向的 外激励的频率，骗是物块的固有频率) 2 ) 在q 与口i ，口2 的平面图中( 如图2 2 ( b ) 的平面图) ，珥也是随着q 的增大而增 大，并且在g 很小时，q 取得最小值q = m d 他( 奶是减振器的固有频率，吼是阻尼 单摆的固有频率) a 2 先随着q 的增大而迅速减小，当它到达拐点时，a ，的值便开始 增加，并逐渐趋于平稳 3 ) r 与qa 2 的平面图中( 如图2 2 ( c ) 的平面图) ，a l 和r 呈正比的线性关系；而对 于a 2 ，在0 0 ，a i o ，a 2 o 。a 3 0 ，a i a 2 a 3 一( a o a 3 2 + a i 2 p 0 ( 3 1 5 a ) 特征方程的所有根均有负实部，此时所有解都是稳定的。，。 ；。一 。 。 “ t a o = d e t ( j ) = 0 ，a l 0 ，a 2 o ，a 3 o ，a j 爿2 a 3 一a 1 2 o ( 3 1 5 b ) 特征方程有一个零特征值，解将失去其稳定性，产生简单分岔 山= d e t ( j ) 0 。a t o 。a 2 o ，a j o ， 爿2 一( 爿o 2 + 彳1 2 ) = o 瓢瓢 + 0 0 十 + 吐皿丁 一 一 江苏大学硕士研究生学位论文 特征方程有一对纯虚根，解将产生h o p f 分岔 o i 图3 2 幅值响应曲线0 - 2 ；o j 。b f f i - 0 2 ，c l - - 0 2 辨，c z ；o 2 8 9 。d f f i l 4 3 f i g 3 2a m p l i t u d e s r e s p o n s e c t t r v e $ 由幅值响应图可以看到，随着q 的增加，系统出现稳定的单模态解，当饥f f i c i 时， 产生p i t c h - f o r k 分岔，口24 0 ，导致复合模态解，而口l 保持常数，即所谓的饱和现象随 着明的继续增加，当q = d 时，产生亚谐p i t c h - f o r k 分岔，复合模态解失稳，演化为 单模态解 3 4 数值计算与讨论 从3 2 的原方程描述的过程中可以看到，我们在原有的自激参数减振器的基础上 增加了c 2 2 妇，主要是为了探讨竖直方向的速度和阻尼单摆角速度间的耦合对整个系 统动力学行为的影响，下面我们分别讨论b 取不同参数时，系统的动力学行为现象 3 4 1b = o 2 时系统的复杂性动力学行为分析 为进一步说明系统的分岔过程，我们取定参数，保留吼、，：作为分岔参数由 解的稳定性条件( 3 1 5 a ) 、( 3 1 5 b ) 、( 3 1 6 c ) ，取f = 1 0 ，p = 1 0 ，q = 1 0 ，月= 0 5 ，磊= o 1 ， 磊= o 1 ，得到参数平面( q ，a 2 ) 上的分岔集如图3 3 所示，这些分岔集将参数平面 分为不同的区域，每个区域中存在不同性质的解经过数值模拟，发现区域中对应 单模态解( qs 0 ，a ：= o ) 单模态解失稳经过p i t c h - f o r k 分岔，产生区域中对应的 一坚苎查堂堡主坚塞生兰丝笙壅 复合模态解在区域 中，复合模态解失稳，经过h o p f 分岔产生2 d 环面解和混 沌运动 图3 3 一叮2 平面上的分岔集 f i g 3 3b i f u r c a t i o nt t c to nt h ep l a n ep i 4 2 ) ( b ) 图3 4 ，2 = o 平面上的 ，恕随m 变化的分岔过程 f i g 3 4 b i f u r c a t i o n p r o c e s s w i t h 嘶t h e p l a n e 耽- 0 由图3 3 可知，系统的复杂性运动主要出现在区域和，中( 下面的数值模拟进 一步确定了这一结论) 为进一步探讨和中复杂动力学行为，图3 4 给出了系统 在a ：= 0 5 时，随q 变化的分岔图从图3 4 中，我们可以看到，系统开始为稳定解， 墅丕堂堡主堡塞皇堂垡笙奎 随着吼的变化产生周期倍化，逐渐到达混沌该混沌也会随参数的增大产生失稳，再 通过周期倍化的途径到达另一种混沌运动 ( c 2 ) ( d 2 ) 逢t 嫒疆一烩 圈3 5 倍周期分岔到达混沌的过程o - 2 = 0 5 f i g 3 - 5p e r l o d - d o u b l i n g t oc h a o s 心= 0 5 江苏大学硕士研究生学位论文 为了研究该系统的动力学行为过程，我们令吼= 0 5 ，使得从- 0 5 不断增大， 得到了图3 5 中不同吸引子的倍周期分岔到达混沌的过程分别取a 为0 5 时，如图 3 5 ( a ) 所示，相图上是一个点，说明此时系统是稳定的当吒取0 2 3 时系统从稳定解 跳到极限环；当一们分别取0 1 9 、- 0 1 7 5 、- 0 1 6 4 时，如图3 5 中c l ，c 2 、d 1 、d 2 、 e l 、e 2 所示，系统的解发生倍周期分岔，并逐渐到达混沌其中0 2 ，y ：) 的相图中存 在两个形状上十分对称的混沌吸引子，通过数值模拟发现，这两个混沌吸引子其实是 共存的，只是由于初值的不同，在相空间上表现为不同的形状其中( a ) ( c 1 ) ( d 1 ) ( e 1 ) 的初值“，儿，x 2 。耽) = ( o 1 ，0 1 ，0 101 ) ，( c 2 ) ( d 2 ) ( e 2 ) 的初值“，儿，而，儿) = ( o 5 ，0 1 ，0 5 ，0 i ) 隧n 隧 丛n趁 恐 ，b ，、“f j 。v ( d ) 图3 6 混沌吸弓l 子屯= o5 ( 砷= - 0 1 6 2 7 ( b ) 巩m - - 0 1 5 4 ，( c ) 吼- - 0 1 5 4 0 5 ( d ) 吼- - 0 1 5 3 5 f i g 3 6 c h a o t i ca t i l - i e l c t o r 屯= 0 5 ( 童i ) 二i i = i n ( b i ) ( d i ) ( a 2 ) ( c 2 ) ( d 2 ) 圈3 7 倍周期分岔到达混沌的过程吒= 0 5 f i g 3 7p e r i o d - d o u b l i n g t o c h a o s0 2 z o5 取q 为一0 1 4 9 7 6 、一0 1 3 5 、一0 1 3 4 2 8 、一0 1 3 3 5 时，得到图3 7 所示的相图在 这段区间内，0 2 ，y ：) 的相图中同样存在一对对称的混沌吸引子，这对吸引子其实是图 3 6 中的混沌吸引子失稳分裂而成，它们在相空间上是共存的，只是当初值不同时， 望笠茎量堡主堡壅生兰垡堡苎 在相图中表现为不同的形式。当0 l y i , x 2 , 儿) 取( o 1 ，0 1 ，0 l o i ) ，得到图3 7 中( a 1 ) 、( b 1 ) 、 ( c 1 ) 所示的相图，而当“，n ，心，均) 取i ，o l 柚t , o 1 ) 得到相图( d 1 ) ( x , , y t , x 2 , y 2 ) 为 ( o 5 ，o l 一0 5 0 1 ) ，则得到( a 2 ) 、( b 2 ) 、( c 2 ) 、( d 2 ) 所示的相图 坚蔓盔堂堡主堑窒生堂垡笙壅 ( e ) ( f ) 图3 8倍周期分岔到达混沌 f i g 3 8 p e r i o d d o u b l i n g t o c h a o s 当o - 1 值属于0 8 6 5 ，- 0 0 8 3 5 ) 和0 5 3 6 , - 0 0 5 3 0 ) 这两个参数范围内，分别对应图3 8 和图3 9 所示的相图值得注意的是，从图3 8 中可以看到，参数条件相同的情况下， 0 2 。y 2 ) 中吸引子的周期倍化过程要滞后于“，n ) 相图中的吸引子当“, y 1 ) 为周期2 2 3 堡蔓奎堂堡圭堡塞生兰垡堡塞 时，) ，2 ) 仍然为周期一，而当“，n ) 为周期四时，魄，儿) 才为周期二 ( a ) 捡 e 蜒 | | 驴 ( c ) 一- ， _ n 圈3 9 倍周期分岔到达渑沌的过程吒= n 5 f i g 3 9p e r i o d - d o u b l i n gt oc h a o s 吒2 0 j 3 4 2b = o 时系统的复杂动力学行为分析 为进一步说明b = o 时系统的分岔过程，我们取定参数，保留q 、一：作为分岔参 一2 4 险而氽一氽一 玲企而怂 江苏大学硕士研究生学位论文 数由解的稳定性条件o s a ) 、0 5 b ) 、0 6 c ) ，取f = i 0 ，p = 1 0 ，g = 1 0 ，r = 0 5 ，磊= 0 1 ， 磊= o 1 ，得到参数平面( v l ，v 2 ) 上的分岔集如图3 4 2 1 所示，此时的分岔集与占= - 0 2 十分相似，只是p i t c h - f o r k 分岔点和h o f p 分岔点发生了变化经过数值模拟，发现 区域仍对应单模态解( 口l o ，口2 = o ) 单模态解失稳经过p i t c h - f o r k 分岔，产生区 域中对应的复合模态解在区域中，复合模态解失稳，经过h o p f 分岔产生2 d 环面解和混沌运动 吒0 0 由5 图3 1 0p l ，口2 ) 平面上的分岔集 f i g 3 1 0 t r a n s i t i o nb o u n d a r i e so i lt h ep l a n e ( 吼，o - z ) 下面我们通过数值模拟，揭示此时系统存在的复杂动力学行为由于b = o 时， 系统的分岔集与口= 一0 2 时，参数平面的空间划分的性质相近，我们推知，此时的参 数条件下，相空间上存在的复杂动力学行为与前一种情况应该十分相近，存在多吸引 子共存和吸引子激变的现象下面的数值模拟结果也证实了我们的推测 x l ( a ) x 2 ( b ) 石i ( c ) 工2 ( d ) 图3 i i 稳定极限环( a ) z - 0 3 1 1 ，( ”q - _ o 3 1 1 ( c ) q - 吨2 5 ( d ) “。_ o 2 5 f i g 3 i i s t a b l el i m i tc y c l e 现取初值( o 1 ，0 1 ，0 1 ，0 1 ) ，取定盯2 = o 5 为定值，q 从一0 5 逐渐变化，开始相图上 为一稳定点，当吼= 一0 3 l l 时，稳定解发生变化，从一稳定解变为极限环当吼分别 取一0 2 1 、一0 2 0 、- 0 1 9 、一0 1 8 时，得到以下一组倍周期分岔到达混沌的过程( 图 3 1 2 ) 从数值模拟的结果中，我们看到系统的相图中存在对称的混沌吸引子，在各 自的相空间上分别通过倍周期分岔到达混沌 ( a ) ( oi , o 1 t 0l n l ) ( b ) ( o 1 , 0 , i , 0i 。01 ) ( c ) ( 0 5 , 0l ，0 1 , 0 1 d ) ( o1 , oi ，n i ) ( e ) ( o 5 , o 1 , 0 1 , 0 1 ) ( o ( 01 , 0 1 , ol ，n i ) - 2 6 函一 堡菱盔兰堡主堡塞生堂堡垒塞 ( o i , 0 a , 0 a , 0 i ) 0 1 ) 以只n m l 0 1 ) a ) l n l ，0 a , o 如i ) 逢m 返兕隧 a ) ( o l ，o m 驰1 ) ( o5 , 0 m l 0 1 )( d ( 0 a o 1 0 1 0 d 图3 1 2 倍周期分岔到达混沌的过程 f i g 3 1 2p e r i o d - d o u b l i n gt oc h a o s 随着q 继续减小，分别取一0 1 1 6 5 、- 0 1 1 5 、- 0 1 1 4 5 、一0 1 1 4 时，得到另组周期 倍化到达混沌的过程( 图3 1 3 ) 我们可以看到，系统的相图上出现一对共存的混沌 吸引子，当盯- 为一0 i i 时，这对混沌吸引子发生吸引子合并激变，生成尺寸变大了的 吸引子，如图3 1 4 所示 ( 丑) ( 0 1 ol ol od ( b ) 0 五0i , o 5 。o i ) ( c ) ( o l ，o l 0 1 ) ( m ) ( o a , o 1 ，oi , c i ) ( n ) ( o5 , 01 , 05 0i ) ( o ) ( ol ，0 i ，0l o 1 ) 图3 1 3 倍周期分岔到达混沌的过程 f i g 3 1 3 p e r i o d - d o u b l i n gt oc h a o s - 2 8 江苏大学硕士研究生学位论文 y 2熟仉叠 a ) ( o l o ，l o ，1 o o0 日( 0 1 , 0 1 ，o i ，o i ) 圈3 1 4 合并激变成的新混沌吸引子( a ) 叽= - - 0 i i ( b ) - - o 1 0 9 5 f i g 3 1 4n e w c h a o t i c a t t t a c t o p 3 b y m e r g i n g 谢s b 3 4 3b = - 0 2 时系统的复杂动力学行为分析 为了详细讨论自激参数减振器的摆动方向与竖直方向的耦合对系统动力学行为 的影响，我们对口= - 0 2 的情况也进行了详细分析，通过理论推导和数值分析，编制 相应计算机程序，结果表明，在这组参数条件下，系统的分岔集与前面的两组情况十 分近似，而且存在类似的混沌现象，通往混沌的途径主要是倍周期分岔和吸引子合并 激变同时，从相图和分岔过程来看，系统存在对称的混沌吸引子，该对吸引子会随 调戏参数的变化产生合并激变生成尺寸变大了的新的混沌吸引子，并且该吸引子也通 过周期倍化的方式到达混沌。 3 5 本章结论 本文分别讨论了内共振减振器在不同参数条件下的复杂动力学行为通过数值模 拟发现，系统由稳定解，产生p i t c h f o r k 分岔到达复杂模态解复合模态解再通过h o p f 分岔产生失稳，由倍周期分岔到达混沌我们发现b 的取值，只是使分岔区域的位置 发生了变化，而h o p f 分岔区域中存在的复杂动力学行为，并未发生实质性的变化在 b 为不同值时，o ：，) ，：) 的相图中存在类似对称的混沌吸引子，这对混沌吸引子在参数 值取某一定值时发生合并激变，形成新的尺寸扩