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太原理1 ：大学硕士研究生学位论文 非线性共轭边值问题解的存在性与多重性 摘要 本文利用非线性泛函分析中的拓扑度方法与临界点理论，主要研究 了两类十分重要的非线性常微分方程共轭边值问题解的存在性与多重 性，得到了新的结论。同时，也改进了以往的一些结果。 在第一章中，我们首先讨论了非线性二阶方程三点边值问题 一甜”( 。) = 甜( ) 厂( 材( 。) ) ， o s 7 1 ， ( 1 1 ) i “( o ) = o ，“( 1 ) = 励( 1 7 ) 正解的存在性与多重性。其中7 7 ( 0 , 1 ) ，0 0 。 我们得到1 r 问题( 1 1 ) 与( 1 2 4 ) 相应的g r e e n 函数之间的关系， 从而将它们转化为h a m m e r s t e i n 型积分方程。通过线性积分转置算子的 有关特征值性质，借助于相应线性问题的第一特征值，利用锥上的不动 点指数理论，给出了问题( 1 1 ) 与( 1 2 4 ) 单个及多个正解存在的特征 值准则，从本质上推进了三点边值问题的研究。 太原理工大学硕士研究生学位论文 设五为问题( 1 1 ) 相应线性问题的第一特征值，记 工= 姆掣，小l i m 。_ f ( _ x x ) 。 假设条件为： ( h ，) 五 五 兀； ( h 2 ) 兀 旯，且存在 0 和m 。( o ，仃。) ，使得当x 0 ， 时，f ( x ) m _ ； ( 风) f o 五，正 0 和鸠( 仃：，+ ) ，使得当 x g r 2 ， 时，f ( x ) m ，r 2 。 那么，第一一章第一节的主要结论如下。 定理1 1 1 当( h ) 或( h ：) 成立时，问题( 1 1 ) 至少有一个正 解。 定理1 1 2 当( h ，) 或( h 。) 成立时，问题( 1 1 ) 至少有两个正 解。 设五为问题( 1 2 4 ) 相应线性问题的第一特征值，记 g 。= 。1 + i m 旷g ( x x ) ，g 。= l i m 。g ( x x ) 。 假设条件为： ( h j ) g 。 五 g 。： ( h ：) g 。 五，且存在一 0 和m ( o ，盯f ) ，使得当x o ，一 i i 太原理 ：大学硕士研究生学位论文 时，g ( x ) m 1 ； ( 娥) g 。 旯，g 。 0 和m ：( 叫，+ c 。) ，使得当 x 卢，r 2 】时，g ( x ) m 2 r 2 。 那么，第一章第二节的主要结论如下。 解。 定理1 2 3 当( h j ) 或( h ：) 成立时，问题( 1 2 4 ) 至少有一个正 定理1 2 4 当( 叫) 或( 叫) 成立时，问题( 1 2 4 ) 至少有两个正解。 在第二章中，我们首先利用与第一章类似的方法，研究了当非线性 项相同时，四阶方程两点边值问题 f 甜4 1 ( f ) = f ( t ，甜( f ) ) ，0 t 1 ， “，( 0 ) = “”( o ) = i 。1 t t t ( o ) = 0 ， i “( 1 ) = 甜，( 1 ) fv ( 5 ) = f ( s ，v ( s ) ) ，0 s 1 ， v ( o ) = 0 ， v ( 1 ) = v ( 1 ) = 0 ， i v ”( 1 ) = v 胛( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 正解的同时存在性与多重性。其中f ：【0 ，1 】 o ，+ 。) j o ，+ 。) 为连续函 数。 设五为问题( 2 1 ) 相应线性问题的第一特征值，记 f o = l i r a 。+ 。i n + fm i nf ( x t , x ) - ，7 。“翟叩心掣 _ o + 一 i i i 奎垦望三查堂堡主婴塑皇兰垡兰翌一 。= l i 罂矿m 0 - t 普掣，7 。划巴笋嘶掣。! 一”州 l yx 州 u o 工 假设条件为： ( h ，) 7 。 a 。； ( h 。) 7 ” a ，并且存在常数 0 ，使得当f o ，1 】及 x 【o ，_ 时，厂( f ，工) i 8 一； ( h 。) 7 。 o ， 使得h m 时， f 0 ) = j 厂( v 沙硝( “) ： ()limsup掣生16u-，0 。 甜 ” “ 定理2 2 7 假设厂为奇函数，即厂( 一“) = 一厂( “) ，“r l 。如果定理 2 2 6 中f f 槲( h 。) 成立，并且1 i 掣p 竽 1 6 ，l i m 一。i n ff “( u _ 盟) = + 。，则 l p u “ “ 问题f 2 1 3 1 必存在无穷多个解。 关键词：共轭边值问题，锥，不动点指数，第一特征值，变分方法，临 界点理论 v 太原理1 _ = 大学硕士研究生学位论文 e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s t on o n l i n e a rc o n j u g a t eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m a b s t r a c t i n t h i sp a p e r , t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rt h et w o c o n j u g a t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si sd i s c u s s e db ym e a n so fe m p l o y i n g t o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o da n dc r i t i c a lp o i n tt h e o r yo fn o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i s t h en e w r e s u l t sa r eo b t a i n e da n dt h ep r e v i o u sr e s u l t sa r ei m p r o v e d i nc h a p t e ri ，a tf i r s t ，t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n s f o rt h es e c o n d o r d e rt h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f 一“”( ，) = 口( f ) 厂( 甜( f ) ) ，0 f 1 ， 【u ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = p u ( r z ) i s c o n s i d e r e d w h e r e ，7 ( 0 , 1 ) ，0 0 w e g e tt h er e l a t i o no f g r e e n sf u n c t i o n so f t h ep r o b l e m ( 1 1 ) a n d ( 1 2 4 ) ， t h u st h e ya r et r a n s f o r m e di n t oh a m m e r s t e i n si n t e g r a le q u a t i o n s a n db y m e a n so ff i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yo fc o n e ，t h ef i r s te i g e n v a l u eo ft h e i rl i n e a r p r o b l e m sa n dt h eb e h a v i o u ro ft h er e l e v a n te i g e n v a l u ef o rt h et r a n s p o s e d i n t e g r a lo p e r a t o r s ，t h ec r i t e r i o n f o rt h ee x i s t e n c eo fs i n g l ea n dm u l t i p l e p o s i t i v es o l u t i o n si sg i v e n ，w h i c hh a se s s e n t i a l l yp r o m o t e dt h er e s e a r c h a b l e w o r k sf o rt h et h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a s s u m et h a t 彳i st h ef i r s te i g e n v a l u eo ft h e l i n e a rp r o b l e mf o rt h e p r o b l e m ( 1 1 ) ，d e n o t e t h e a s s u m p t i o n ： ( h ) f o 丑 正 ( ：) 兀 五，a n dt h e r ee x i s t 0 ，m 。( 0 ，o - 。) s u c h t h a t f ( x ) m 。，v 工 o ，1 ； ( h 。) a 五，兀 0 ，m 2 ( 盯2 ，+ 。) s u c h t h a t f ( x ) m 2 ，vx o 2 ，t t h e nt h em a i nr e s u l t so ft h ef i r s ts e c t i o ni nc h a p t e ria r ea sf o l l o w s v i i 奎堕堡三盔堂堡主婴塞生兰垡垒壅 一 _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ t h e o r e m1 1 1a s s u m e ( h 1 ) o r ( h 2 ) i sf u l f i l l e d ，t h e nt h ep r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n t h e o r e m1 1 2a s s u m e ( h 3 ) o r ( h 4 ) i ss a t i s f i e d ，t h e nt h ep r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s a s s u m et h a t 五i st h ef i r s te i g e n v a l u eo ft h el i n e a rp r o b l e mf o rt h e p r o b l e m ( 1 2 4 ) ，d e n o t e t h ea s s u m p t i o n ： g 。= 。l + i m o - g ( x x 一) ，g 。= l i r a 。g ( x x ) - ( h j ) g o 五 g 。； ( h ：) g 。 五，a n d t h e r ee x i s t 0 ，m i ( o ，仃：) s u c h t h a t g ( x ) m r l ，vx o ，r t 】； ( 日：) g o 五，g 。 0 ，m 2 ( 0 - 2 ，+ ) s u c h t h a t t h e nt h em a i nr e s u l t so ft h es e c o n ds e c t i o ni nc h a p t e ria r ea sf o l l o w s t h e o r e m1 2 3a s s u m e ( h j ) o r ( h ：) i sf u l f i l l e d ，t h e nt h ep r o b l e m ( 1 2 4 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n t h e o r e m1 2 4a s s u m e ( 日：) o r ( h ：) i ss a t i s f i e d ，t h e nt h ep r o b l e m ( 1 2 4 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s i nc h a p t e ri i ，f i r s t l y ，b yt h es i m i l a rw a yt o t h e c h a p t e ri ，t h e v i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 s i m u l t a n e o u se x i s t e n c ea n d m u l t i p l i c i t yo ft h e f o u r t h - o r d e rt w o - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f ( r ) = f ( t ，“( f ) ) ，0 f 1 ， “7 ( o ) = 甜”( o ) = “”( o ) = 0 ， 材( 1 ) = 甜( 1 ) a n dt h ec o n j u g a t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m iv ( s ) = f ( s ，v 0 ) ) ，0 j 1 ， iv ”( o ) = 0 ， fv ( 1 ) = v7 ( 1 ) = 0 ， l v ”( 1 ) = v 胛( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) i ss t u d i e du n d e rt h es a m en o n l i n e a r i t y w h e r e 厂： 0 ，1 x 0 7 + o 。) 斗 o ，+ 0 0 ) i sc o n t i n u o u s a s s u m et h a t 丑i st h ef i r s te i g e n v a l u eo ft h el i n e a rp r o b l e mf o rt h e p r o b l e m ( 2 1 ) ，d e n o t e 。2l i m i n + f m 0 ( f i d n f ( t ，x ) 厂：l i m i n f m i n ! ! ! 兰2 1 一”。0 e ，! i x t h ea s s u m p t i o n ： ( h 5 ) 厂“ 五 f 。； ( h 。) 7 。 五，a n d t h e r ee x i s tp 0 ，f o rf o ，1 a n d x 。， s u c h t h a t f ( t , x ) 詈一； i x 奎堕望王查堂堡主堑窒竺堂垡堡兰 ( h 8 ) 7 。 8 ( 3 + 2 4 3 ) t h e nt h em a i nr e s u l t so ft h ef i r s ts e c t i o ni nc h a p t e ri ia r ea sf o l l o w s t h e o r e m2 1 1a s s u m e ( 皿) o r ( h 6 ) i s f u l f i l l e d ，t h e n ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) h a v es i m u l t a n e o u s l yo n ep o s i t i v es o l u t i o n t h e o r e m2 1 2a s s u m e ( h ，) o r ( h 8 ) i sf u l f i l l e d ，t h e n ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) h a v es i m u l t a n e o u s l yt w o p o s i t i v es o l u t i o n s s e c o n d l y , b yv a r i a t i o n a lm e t h o d ，t h ef a m o u sr s c o n d i t i o n ，t h e m o u n t a i np a s sl e m m aa n dt h ee v e nf u n c t i o n a lc r i t i c a lp o i n tt h e o r e ma r eu s e d i np r a c t i c e t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n ，n o n z e r os o l u t i o na n di n f i n i t e l ym a n y s o l u t i o n so ft h e s e l f - c o n j u g a t e f o u r t h - - o r d e r t w o - - p o i n tb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m f “( r ) = 厂( “( f ) ) ，0 f 1 ， “7 ( o ) = “”( o ) = 0 ， 1 “( 1 ) = “”( 1 ) = 0 ( 2 1 3 ) a r ec o n s i d e r e d ，w h e r e 厂：r1 - - - + ri sc o n t i n u o u s t h em a i nr e s u l t so ft h e s e c o n ds e c t i o ni nc h a p t e ri ia r ea sf o l l o w s t h e o r e m2 2 5s u p p o s et h a t j 厂( v ) d r _ o s u c ht h a t f 0 ) = r 厂( v ) d v _ z u f ( u ) f o r a l l h m ； ( 巩江m 妒s u 掣 善 “_ + o “ l o t h e nt h ep r o b l e mf 2 1 3 ) h a sa tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o n t h e o r e m2 2 。7 s u p p o s e t h a t f i so d d f u n c t i o n ，i e ， 厂( 一“) = 一厂( “) f o ra l l “r a n ds u p p o s et h a t ( h 。) i nt h e o r e m2 2 6 i s s a t i s f i e da n d i 掣p 掣 篙， l i m i n f f ( u ) ：+ “呻+ 。 “ t h e nt h ep r o b l e m ( 2 1 3 ) h a si n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s k e y w o r d s ：c o n j u g a t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，c o n e ，f i x e d p o i n ti n d e x ， t h ef i r s te i g e n v a l u e ，v a r i a t i o n a lm e t h o d ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r y x i y 9 7 9 3 9 8 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：壹函岔 日期：2 ：笙塾 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的。 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：羞自劾日期：! ! ! 幺塑 导师签名： 靼眺业 二竖墼：i 竖! 塑主堑塞皇堂垡堡壅 引言 。；善微分方程边值问题的研究中，共轭问题占有相当重要的地位 1 。其一般提 法如下。 。 设q 为r ”中的有界区域，取实的h i l b e r t 空间：r ( q ) ，其中的内积记为 ( t , 1 02 量“( z ) v ( x ) a x 。三为定义在四( q ) 上的二阶线性偏微分算子。如果存在定义 在q ( q ) 上的微分算子r ，使得对任意的“，v c j ( q ) ，都有( 工“，v ) ：( “，r 。) ，则称 r 为的共轭微分算子。 若b 及b 是定义在a q 上的低于二阶的微分算子，并且对任意满足边界条件 口2 。b 。妒及b v l a n 2 妒的函数“，v c 2 ( 五) ，都有( “，v ) = ( “，f v ) ，则称b v k ：是 b uk = 妒的共轭边界条件，并称边值问题 l v = g ，0 q ) l b v l 。n = 痧 是边值问题 f 工“= f ，( x q ) 1b “k ：妒 的共轭边值问题。如果r = ，并且b + = b ，则称上述边值问题是自共轭的( 详见 1 】) 。 。，膏奎圭茎型卑j ! 登堡泛函分析中的拓扑度方法与临界点理论，研究两类非线性 常微分方程共轭边值问题解的存在性与多重性。 。：。鎏芝卺：，鬯t = 訾誊际问题及理论研究的需要，非线性常微分方程非局部问题， 老誉为妻室挚鲁阐登，。壁望堂篓坌方程边值问题的研究热点( 2 - 鲥， 1 2 - 1 8 ) o 但是，没有人提出过它的共轭形式。 1 本文第一章沿用上文中共轭边值问题的一般定义，首次导出了三点边值问题 j 一“”( ，) = 口( ，) 厂( “( ，) ) ，0 s ，1 ， lz f ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 肛( 玎) 太原理工大学硕士研究生学位论文 f 一“”0 ) = y ( r ) g ( “( ，) ) ，0 ，1 ，r ， i “( o ) = u o ) = o ，“：( 玎) 一“! ( q ) = f l u ( 1 ) 。 并且分别研究了它们j 下解的存在性与多重性。 记 = 姆华，兀= 慨华。 1 9 9 9 年，马如云 8 】首先利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理，在非线性 项厂满足次线性或超线性条件( 即f o = 0 0 ，兀= 0 或 = 0 ，兀= c o ) 下，研究了 三点边值问题单个正解的存在性。 2 0 0 2 年，刘斌【9 】运用不动点指数理论，得到了该问题在 ，厶仨 0 ，。) 时的一 些存在性结论。同时，在主要条件f o = l = m 或者f o = 兀= o 下，证明了其至少存 在两个f 解。改进了文 8 】的研究结果。 本文的特点是在比文 9 更弱的假设条件下，利用该问题相应的g r e e n 函数，将 其转化为h a m m e r s t e i n 型积分方程，借助于锥上的不动点指数理论，通过相应线性 问题的第一特征值，给出了该问题单个f 解与多个正解存在的特征值准则，从本质 上推进了对该问题的研究，使文 8 】 9 的结果成为本文的直接推论。其中通过定义 相应的线性积分算子及其转置算子，并证明了它们具有相同的正谱半径，起到了关 键性作用。 同时，注意到利用相应的线性问题第一特征值刻画非自共轭的非线性方程f 解 存在性的结果尚不多见。本文成功地将上述方法应用其共轭问题。尽管此时该问题 的f 解“当，：即时二阶导数不存在，我们仍然证明了“是凹函数，从而得到了f 解 的先验估计式。最终同样得到该问题单个f 解与多个正解存在的特征值准则。 众所周知，长度为f 的细长直杆，其频率为缈的横向线性无阻尼自由振动可由 e u l e r - b e m o u l l i 方程 , 42,4 2 ： 了( e ，( x ) 了“( x ) ) = a ( x ) p c 0 2 “( x ) ，0 x f ( 酣。 甜 描述( 详见 2 2 1 ) 。其转化形式为 ( r ( x ) u ”( x ) ) ”= a a ( x ) “( x ) ，0 墨x s l 。 上述四阶线性方程结合一定的边界条件，可以描述梁的静态形变或做刚体运动，并 且在理论和实际中还有着许多其它的应用。因而，与s t u r m l i o u v i l l e 两点边值问题 同样重要，近年来，关于非线性e u l e r b e r n o u l l i 方程两点边值问题的研究也受到许 多相关人员的普遍关注( 【2 0 l ， 2 3 1 一 3 0 】) 。 在文 2 3 及 2 4 中，作者分别利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理及 l e g g e t t w i l l i a m s 三解定理，研究了边值问题 太原理工大学硕士研究生学位论文 i “4 ( f ) = 厂( ”( f ) ) ，0 t s l ， “( o ) = “”( o ) = “”( o ) = 0 ， lu ( 1 ) = 1 , 1 i ( 1 ) 正解的存在性与多重性，得到了相应的结论。 本文第二章首先研究了当非线性项厂相同时，非线性四阶方程两点边值问题 f “4 ( f ) = 厂( r ，“( ，) ) ，0 f 1 ， n ( o ) = ”( o ) = “”( o ) = 0 ， l “( 1 ) = “( 1 ) 与其共轭问题 v 4 ( s ) = f ( s ，v ( s ) ) ，0 s 蔓1 v ”( o ) = 0 ， v ( 1 ) = v ( 1 ) = 0 ， v 。( 1 ) = v ”( 1 ) 正解的同时存在性与多重性。就共轭问题而言，j 下解同时存在性的提法目前尚未见 到。我们具体推导出了相应的线性问题第一特征值所满足的超越方程，得到了该问 题g r e e n 函数g ( t ，s ) 分别关于f ，s 的双边不等式，从而可以同时给出两个问题正解的 先验估计式。保证了类似于第一章所使用的方法能够在两个问题f 解的同时存在性 研究中得以实现，最终得到了相应的结论。作为特例，也改进了文 2 3 一 2 4 中的结 果。这部分内容已发表在2 0 0 6 年太原理工大学学报( v 0 1 3 7 ，n o 2 ) 上。 其次，注意到2 0 0 5 年，李福义在文【2 7 中利用变分方法，结合临界点理论，分 别讨论了非线性四阶方程两点边值问题 l “( f ) = f ( t ，z 心) ) ，0 f 1 ， “( 0 ) = u ( 1 ) = 0 ， f “”( o ) = “”( 1 ) = 0 解的存在性、非零解的存在性及无穷多解的存在性。受该文的启发，我们也利用变 分方法，将临界点理论中著名的p s 条件、山路引理及偶泛函临界点定理等抽象结 论具体应用于实际。在适当的假设条件下，研究了白共轭非线性四阶方程两点边值 问题 “( ) = ，( “( f ) ) ，0 t 1 ， “( o ) = “”( o ) = 0 ， u ( 1 ) = “”( 1 ) = 0 解的存在性、非零解的存在性及无穷多解的存在性。得到了相应的结论。 当然，我们也可以利用类似于第一章所使用的方法，研究该问题正解的存在性 与多重性，对此，本文不予赘述。 1 1 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章非线性二阶方程三点共轭边值问题 1 1 二阶方程三点边值问题正解的存在性与多重性 本节研究三点边值问题 【一“”( f ) = 口( f ) 厂( “( r ) ) ，0 t 1 ， i u ( o ) = o ，“( 1 ) = 卢h ( 可) 正解的存在性与多重性，其中7 7 ( o ，1 ) ，0 0 ，记 t e o i l q ，= x e ： r ) ，qr = x e ：恻i r ) ，q 的边界记作a q 。 我们先给出下列引理。 引理1 1 1 4 】设叩1 ，g c o ，1 】，则问题 j “”( ，) + g ( ，) = 0 ，0 ，1 ， i “( o ) = o ，u ( 1 ) = 肛( ，7 ) 有唯一解 ( 1 2 ) = 一j ( f _ 蝴胪南f 7 ( 7 7 叫郎胁南j ( 1 蝴胍 ( 1 3 ) 引理1 1 2 8 设o 1 ，g c o ，1 且g 0 ，则问题( 1 2 ) 没有 f 解。因此本文假设叩 1 。 太原理工大学硕士研究生学位论文 引理1 1 3 8 】设o 寺，若g c o ，1 且g o ，则问题( 1 2 ) 的唯一解“ 满足瓣砸脚，其中谢n 玩雠朋。 根据( 1 3 ) 式和引理1 1 2 ，容易证明下面引理。 引理1 1 4 设o 。，而由假设口( ，) 非负连续且存在一点岛e q , l 】， 使得a ( t 。) 0 。于是，存在s 。( 叩，1 ) ，使得g ( s 。，s 。( s 。) 0 。因此，根据 1 0 】 p 2 3 5 2 3 8 的定理2 1 ，推论2 3 和注2 4 可知k 和世+ 的谱半径r ( k o ，r ( k + 0 ， 且k 和足+ 有相应的正特征函数厅，h j p 、 0 ，使得k h = ，( k ) 厅，k + h = r ( k + ) 乃。 又由于g ( t ，s ) a ( s ) 是连续的，k + 是足的转置算子，根据 1 0 p 3 7 的引理3 1 5 知k 和 k + 有相同的特征值，所以r ( k ) = r ( k + ) 。 进而定义 q = 似p r a 。i 。n “( f ) 删口， ( i 9 ) 则容易验证q 也是e 中的锥。 由引理1 1 3 和引理1 1 4 容易得到 引理1 1 6 a ( q ) c q ，k ( q ) c q 。 记 盯i2 了。一，0 2 2 嘴j g ( ，s ) , z ( s ) d s 以= i ! 二生翌，1 ，= 1 j ( 1 - s ) a ( 油 2 ，。!：。 跫瞥f g ( ) 口。) d s 1 一p q p r f ( 1 一s ) 口( s ) d s 下面的引理给出了特征值五= ( r ( k ) ) 。的估计范围，这对于本文主要结果的具体 应用是非常重要的。 弓j 理1 1 7 设旯= ( r ( k ) ) ，贝0 a l 盯j 旯盯2 a 2 。 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( f ) = 旯( 砌) ( r ) = f g ( r ，s ) 口o o ) a s 制| fg ( 舢) 口 ) a s 2 h 。m 。；，a ；x f g ( f ，s ) c r ( s ) a s 。 因此i l h u 五i i 向0 1 跫紧l g ( ，s ) 口( s ) 出，即a ；i ；i l i i 丽1 5 q 。 其次，因为m 。i 。n 向( ，) l l h l l ，根据( 1 7 ) 式和引理1 1 5 有 o ) = 五( ( ) ( r ) = 兄fg ( f ，s ) 口o ) ( s ) a s 旯f g ( ( s ) 。) a s 和l g ( ) 口o 。 所以| | “础| | 6 o m s xi g ( 5 ) 口( s x 括，即五：i i i ；_ i ；而1 2 盯2 。 最后证明a t 盯l ，a 2 盯2 。事实上，假设z f 是问题 f “”( f ) + 口( ，) = o ，o r 1 ， i “( o ) = o ，“( 1 ) = “( 叩) 的解。从引理1 1 1 和引理1 1 4 知 “( ，) = f g ( f ，s o ) d s = 一j ( t - s 踯) 出一南r ( 踯) 幽+ 南l ( 1 - 洲蚺 南卜洲蛐 南l ( 1 叫吣灿。 所以震譬l g ( ，s ( s ) 幽t 二切j ( 1 一s 虹( s ) 出。 即 1 i2 一t j = 盯la jg ( 2 ，s ) a ( s ) d s m o s f a g xl g ( t ，j ) 口o ) a s 4 j 塑堡三盔堂堡主竺塞竺堂篁堕窒 一 一 另一方面， m 。a x 驴( u ) 口( s ) 出驴( 叩，s ( 曲凼= 蛀t 二s j ) ；a ；( s ) 一d s ， 玎 ( 1 一 注意到0 o ，当“e q n o 2 ，时，( “，6 + ) o 。 证明首先，根据( 1 8 ) 式和引理1 1 5 ，有 f ( 5 ) 凼= f ( 五f g ( f ，s 弦( s ) + ( ) 础) 凼 = f 口( s ) 出l g ( ) ( f ) 出 = 丑p ( ，弦f g ( 抽虹( s ) a s ， 由假设可知，存在 s 。，s ： c ( ，7 ，1 ) ，使得当5 b ，s ：】时，口( s ) o ，且存在 f 1 ，2 c ( o ，1 ) ，使得当， t l , t 2 时，矗( r ) o ， g ( t , s ) 只在区域【o ，1 】【o ，l 】中的有 限条线段上为零。所以 p ( s 如a p ( f ) d t f g ( ) 口( s ) 幻o 故f a + ( t ) d t 0 。 小 其次，v r o ，。q n a g ，因为“q ，根据( 1 9 ) 式，则翟曾“( f ) 圳“又 因为“e a q ，所以l i “1 1 = r ，于是 ，：胁) f 弦扣) 州咖, u r l h 可) 加。 因此，( “，h + ) 0 。 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 下面的引理是本章的主要研究依据。 引理1 1 1 0 1 1 1 设x 为一个实的b a n a c h 空间，力是x 中的有界开集，0 为 中的零元，p 为x 中的一个锥，并且a ：p n q 专p 是全连续算子，那么 ( i ) 若0 力且x 尸n 抛有a x 兰x ，则不动点指数f ( 爿，p n q ，p ) = 1 ( i i ) 若x p n a q 有a x 甚x ，则不动点指数f ( 4 ，p n n ，p ) = o 。 1 1 2 主要结论 记 矗= 姆掣，兀= 溉华。 设五为问题( 1 1 ) 相应线性问题的第一特征值，即a = ( r ( k ) ) 。 假设条件： ( h 1 ) f o 兄 兀； ( h 2 ) l a ，且存在_ 0 和m 。( o ，q ) ，使得当x 【o ， 时 ( 风) f o 0 使得 f ( x ) a ( 1 一点虹，v x o ，r 】 a ( 1 1 0 ) 当“q n o - q r 时，o “( ，) 恻= r ，所以对任意的f o ，1 】，根据( 1 1 0 ) 式，有 厂( “( f ) ) 五( 1 - 8 t ( ，) 。 ( 1 1 1 ) 如果a u “，那么, a u = k u ( “) a ( 1 一占。) k u ，所以 6 太原理工大学硕