（应用数学专业论文）一类抛物型积分微分方程h1galerkin混合有限元方法.pdf

日1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o dsf o ra c l a sso fp a r a bo l i cp a r t i a l i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n z h a oc h u n l i n s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rl ih o n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c ss c i e n c e i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a j y 2 0 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得凼鏊直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：逖 指导教师签名： 期：兰! ! f ! 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名： 雠 指导教师签名： 期：兰里丛! 一类抛物型积分一微分方程日1 g a l e r k i n 混合有限元方法 摘要 本文用两个日z g a l e r k i n 混合有限元方法讨论一类二阶抛物型积分微分 方程，得到一维情况下的函数和它的梯度的半离散和全离散最优收敛阶误 差估计，而且不用验证工b b 相容性条件 关键词：抛物型积分微分方程；日g a l e r k i n 混合有限元方法；稳定性； 向后欧拉方法；最优阶误差估计 日1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s f o rac l a s so fp a r a b o l i cp a r t i a l i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a b s t r a c t t w o 日1 一g a l e r k i nm 波e df i n i t ee l e m e n t m e t h o d sa r ed i s c u s s e df o rac l a s so fs e c o n d o r d e rp a r a b o l i cp a r t i a li n t e g r 伊d i f i l e r e n t i a le q u a t i o n o p t i m a le r r o re s t i m a t e so fs e m i d i s - c r e t ea i l df u l l yd i s c r e t es c h e m e sa r ed e r i v e df o rp r o b l e m si no n e s p a u e ed i m e n 8 i o n i td o n t r e q u i r et h el b bc o n s i s t e n c ye o n d i t i o n k e y w o r d sp a r a b 0 1 i cp a r t i a li n t e g r 伊d i 能r e n t i a lp r o b l e m s ；日1 g a l e r k i nm i x e d 矗n i t ee l e m e n tm e t h o d s ；s t a b i l i t y ；b a c k 、阮r de u l e r sm e t h o d ；o p t i m a le r r o re s t i m a t e s i i 中文摘要 英文摘要 引言 目录 第一章一维日1 g a l e r k i n 混合元格式( i ) 1 1 格式( i ) 半离散形式 1 2 格式( i ) 的半离散误差估计 1 3 格式( i ) 的全离散误差估计 第二章 一维日1 g a j e r k i n 混合元格式( i i ) 2 1 格式( i i ) 的半离散形式 2 2 格式( i i ) 半离散误差估计 第三章多维情况日1 g a l e r k i n 混合元误差估计 3 1 多维情况日1 一g a l l e r k i n 混合元误差估计 第四章结论 参考文献 i i i i i i l 3 3 5 8 1 2 1 2 1 3 1 6 1 6 1 9 2 0 内蒙古大学硕士学位论文 引言 偏微分方程在当今科学研究中广泛应用偏微分方程的定解问题虽然有多种解 法，但是我们知道由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似 方法求出满足实际需要的近似解所以为了更好的数值模拟复杂的实际问题，人们找 到很多数值方法，并且各种数值方法具有不同的适应问题，针对不同的问题有着各自 的优势如有限差分方法，理论体系完善，可以处理大多数的问题；有限元方法( 如：混 合有限元、间断有限元、连续有限元、时空有限元) 能够适应复杂区域问题等常见 的数值方法还有有限体积法，以及各种方法的混合应用本文讨论的数值方法为日1 。 g a l e r k i n 混合有限元方法混合有限元方法是一种基于限制或者约束条件的变分形式 的有限元方法混合有限元方法的优点是通过引入中间变量( 一般它们也具有实际的 物理意义) ，可以将高阶微分方程降阶，从而降低有限元空间的光滑性要求例如b u r g e r s 方程，k d v 方程，r i j w 方程，k d y - b u r g e r s 方程和双调和方程等，通过降阶使有限元插值 空间简化，同时可以求到一些有意义的中间变量，方法也因而方便且容易实现混合 有限元法是由b a b u s k a 和b r e z z i 于2 0 世纪7 0 年代初创立的，该方法能同时高精度逼近所 4 求函数和伴随向量函数，因而在数值逼近高阶微分方程或含有两个( 或者两个以上) 未 知函数的偏微分方程中起着重要作用，己成功地应用于二阶椭圆型问题，抛物型问题， 波动问题，以及油藏问题等实际问题的数值模拟【1 _ 7 3 但是，由于该方法中混合有限元 的逼近子空间必须满足l b b 一致条件，具体应用时般难以验证，并且空间构造困难， 在一定程度上限制了混合有限元方法的深入扩展和进一步应用 本文考虑如下一类抛物型积分微分方程i 踟： ( o ( z ) v 乱+ b ( z ，s ) v t 正( s ) d s + 已( z ，t ，s ) 仳( s ) d s ) = ，( z ，t ) ， ( z ，) q t ， t 正( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = o ， t 正( z ，0 ) = u o ( z ) ， t ， z q ( o o 1 ) 其中q r d ( d = l ，2 ，3 ) ，j = ( 0 ，邪，函数o 口o o ( z ) n 1 o o ，0 6 0 6 ( z ，s ) 6 1 o 。，o c 0 c ( z ，t ，s ) c 1 o 。，其中o o ，0 1 ，6 0 1 ，c 0 ，c 1 为常数，函数，l 2 ( q ) 是有界的 发展型积分微分方程广泛地应用在具有记忆性的材料中的热传导，气体扩散，核 反应动力学，粘弹性力学，人口动力学等领域方程中的积分项的出现( 来源于物理过程 的记忆或反馈性质) 使其与传统的抛物方程有着本质的区别，数值求解也更加困难因 此对此类方程的数值研究是非常有价值的过去对发展型方程有限元方法的研究，主 要集中在传统混合有限元方法如文献 9 ，1 0 】文献 8 】中就采用了传统的混合有限元方 法研究了本文提到的此类抛物型积分微分方程，并给出了l o 。( l 2 ) 和o o ( l ) 模误差估 1 引言 计，但是传统的方法需要满足l b b 相容性条件，限制了有限元逼近空间的选取( 如标 准混合元方法常用胁i 吼一t h o m a 8 空间作逼近空间) 因此本文采用p a i l i 【l l 】于1 9 9 8 年提 出的日1 g m e r k i n 混合有限元方法研究文献【8 】中提到的抛物型积分微分方程这种方法 可以使逼近有限元空间和达到不同次数的多项式空间而且h 1 一g m e r k i n 混合有 限元方法不需验证b b 相容性条件，尽管需要对解的正则性要求高一些，但是对流量 的l 2 一模估计可以得到较好的阶。随着日1 g 越e r k i n 混合有限元理论完善与发展，p a n i 等 人将此方法进一步推广到了抛物型积分微分方程【12 1 ，双曲型方程【1n 】、双曲型积分微 分方程f 1 4 ，2 4 】、s o b o l e v 方程【17 】、正则长波方程【1 8 1 、s i n e g o r d o n 方程【2 0 】和s c l 啪d i n g e r 方 稗【2 3 ，2 2 】 - - j _ 本文所研究文献f 8 】中给出的抛物型积分微分方程不同于文献 1 2 给出的积分微 分方程，具有双积分项一特别是一阶导数积分项的存在，因此在推导过程中多处使用 了p o i n c 缸6 不等式，推导过程更具有难度更重要的是在本文中给出了日1 一g 址e r k i n 混合 有限元半离散解的存在唯一性的证明及全离散误差估计 本文结构安排如下，在第一章中给出了一维空间中所用的空间记号及日1 g a l e r k i n 混合元法的弱形式和格式的稳定性的证明，并且给出了最优收敛阶误差估计在第 二章中给出格式( i i ) 的空间半离散情况下的最优收敛阶误差估计第三章中给出了格 式( i i ) 的多维空间半离散格式误差估计注意在本文中作估计时所有的c 都是与空间网 格参数 和时间步长t 无关的正常数在这里给出文章中用到的重要的积分不等式 z 。z r i 妒( s ) 1 2 d s 打s cz 。i 妒( s ) 1 2 d s 其中妒于【0 ，胡，t 【o ，卅定义的可积函数 2 ( 0 o 2 ) 内蒙古大学硕士学位论文 第一章 一维日1 g a l e r k i n 混合元格式( i ) 考愿如下一维形式 f 毗一( 。( z ) 札z + z 。6 ( z s ) 乱z ( s ) 幽+ z 2 c ( z s ) u ( s ) d s ) 2 = ，( z ，氓( z ，t ) q z 1 让( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = o ，t 歹，( 1 n 1 【乱( z ，o ) ：钆。( z ) ， z q 其中q = ( o ，1 ) ，j = ( 0 ，刁，函数o 0 0 n ( z ) 0 1 o 。，o 6 0 6 ( z ，s ) 6 l 。，o o ) 可得 ，t ( 知一e ) l l q 1 2 c p i i 2 + f f f f l 2 + ( 1 i 龟( s ) i f 2 + i i ( s ) 1 1 2 + 1 1 7 7 ( s ) i f 2 ) 幽f ( 1 2 2 2 ) j u o 又因为础，所以由p o i n c a r 6 不等式得，j l i jj ，并取e = 等，得 ，t i i 1 1 2 c j 口i 2 + l l 毒1 1 2 + ( 1 i 缸( s ) 1 1 2 + 1 1 7 7 ( s ) i 2 ) d 8 l ( 1 2 2 3 ) 。 ，u o 由g r o n w a l l l 引理即得 ，亡 i l q l l 2 c p i l 2 + i i 荨1 1 2 + ( i i p ( 8 ) 1 1 2 + i i f ( s ) 1 1 2 + i i 叩( s ) 1 1 2 ) d s l ( 1 2 2 4 ) j u o 在( 1 2 2 1 ) 式中令伽h = 喜，同时在空间上进行分部积分并注意边值条件，则有 ，c，t = 一( q 矶，毒) + ( 卢1 ( 仉+ 白) ，) d s + ( p l ( t ，t ) ( + 缸) ，f ) + ( 庞t ( 叩+ ) ，) d s ，0 ，0 = 一( q 肌，) + z ( 厣l 缸，f ) 幽一z ( ，7 ，卢1 红+ 卢1 t 厶) d s + ( 卢1 ( “) q ，) 一( 叼，卢1 z + 卢1 已) ，c + 正( 卢2 t ( ，7 + ) ，) d s + 侥( t ，t ) ( ，7 + ( ) ，f ) + a ( p + ，) ( 1 2 2 5 ) ，0 利用c a u c h y s c h w a r t z 不等式，y o u n 分不等式和p 。i n c a u r 6 不等式及( 1 2 2 4 ) ，可得： 勃。锄2 + ( 2 加一帐旧 c p i l 2 + i i 风1 1 2 + l f 7 7 1 1 2 + i l 知f 1 2 + i l 1 1 2 + i 传1 1 2 十( i ( s ) 1 1 2 + 1 1 7 7 1 1 2 + i l q ( s ) 1 1 2 + i l i l ；) d 8 i o ，0 j c p i l 2 + i l 肌1 1 2 + i l 叩1 1 2 + i i 1 1 2 + ( 1 l p l l 2 + i i 叩1 1 2 + l i 毒1 1 2 + i i 旧) d 3 l o ，0 j 对上式两端关于时间从。到t 积分，即得 雌| 1 2 + 西如) i | ；d s c 嘭( i i 俐1 2 + ( s ) 1 1 2 + i i 咖) i | 2 + i i 洲1 2 ) 如 + z z r ( ( 圳j 2 + ( 圳1 2 + 怅( 酬1 2 + 惦( 酬胁如d 1 6 ( 1 2 2 6 ) ( 1 2 2 7 ) 内蒙古大学硕士学位论文 对上式再次应用g r o n w 以l 引理及积分不等式( o o 2 ) 和( 1 1 1 6 ) ( 1 1 1 7 ) ，可得 惦2 + o 酬附8 c 哺( | 俐| 2 + 懒s ) 1 1 2 + 删1 2 ) 叫 ，i r c ，t 2 m m ( 知+ 1 ，r + 1 ( i i “( s ) l i ；+ 1 + i i 口( s ) i l ；+ 1 + i ig t ( s ) i l ；+ 1 ) d s ( 1 2 2 8 ) ，0 由( 1 1 1 7 ) ，( 1 2 2 4 ) 和( 1 2 2 8 ) 可得 j i ( t ) l i c m 饥( 知+ 1 r + 1 ) 川uj i l 2 ( 日k + ，) + j l g i i 上o 。( 日r + - ) + lj 吼jj 三2 ( 日，+ 1 ) 】( 1 2 2 9 ) 因为础，所以由p o i i l c a r 6 不等式得，叫i i i 龟i i ，利用三角不等式及式( 1 1 1 6 ) ( 1 1 1 7 ) 和( 1 2 2 8 ) ( 1 2 2 9 ) 可得定理中结论 定理1 2 2 若取( o ) = 就( o ) ，则 i l g g h l l c m 讯( 七+ 1 ) 【i i 牡i l l 一( 日t + ) + i i u t l l l 一( 日蚪- ) + i i 口f i l 一( 日r + ) + l i u i l 工。( 日k + 1 ) + l i u t i i l 。( 日t + ) + l i q i i l ：( 日件，) + l i 吼i i l 。( 日r + - ) 】 f i ，“一u i i l p + l i 口一瓠f i l p c m 伽( r + 1 七+ 1 ) 【l i 札i i l 。( 日1 ) + i i 乱t i i l 。( h k + - ) + i i q i i l 。( 日，+ - ) + i i u i l l o 。( t + ，p ) + i i 口f l 工一( w r + l ，) + i f 乱i i l 。( 日k + ) + i i 仳i i l ：( w t + - ，) + i i t 正i l l 。( 日t + ，) + i i q i l l z ( 日件- ) + i i q t i i l 。( h r + t ) 】 证明：在( 1 2 2 1 ) 式中令加h = 如同时在空间上进行分部积分并注意边值条件， 则有 ( q t ，已) + a ( ，已) ，t = 一( q 胁，) + ( 卢1 ( + ) ，) d s + ( 卢1 ( t ，t ) ( + 岛) ，& ) + ( 阮( ，7 + ) ，) 如 ，o，0 + ( 屁( t ，t ) ( ，7 + ) ) + 入( p + 善，& ) = 一( q 比锄+ z 2 ( 尻t q ，d s z 。( 7 7 ，卢- 纽+ 卢1 t 缸) d 3 + ( p t ( t ，t ) ，锄一( 叩，卢，z 已+ 卢，缸) + z 2 ( 侥t ( 叼+ n d s + ( 仍( t ，州，7 + n 锄+ 入( p + ，锄 ( 1 2 3 。) 注意 ( 卢l ( t ，t ) 叩，专纽) = 一丢( 卢1 ( t ，t ) 叩，) + ( 卢1 ( t ，t ) 仇+ 卢1 t ( t ，t ) ? 7 ，岛) ( 1 2 3 1 ) 一小聊川如= 一丢眙舢，s ) 嘘) 叫堋“州h 纠+ 小咖如( 1 2 3 2 ) 一类抛物型积分一微分方程h 1 一g a l e r l 【i n 混合有限元方法 将( 1 2 3 1 ) 和( 1 2 3 2 ) 代入( 1 2 3 0 ) 得 瞄1 1 2 + 去丢a ( ，) = 一( a 风，锄+ z 。( 卢z t 珏，已) d 5 一z 。p z 捃纠幽+ ( p ，( t ，黝一( ，7 ，卢z 茹鳓 一丢( 卢- ( t ，) 叩，) + ( p ( ，) 吼+ 卢- 小，t ) 叩，& ) 一丢 z 。( 卢，以，s ) 叩，岛) d s + ( p t 以，) ，7 ，) + z 。( 卢- 优( t ，s ) 7 7 ，) d s + z 。( 皮t + ) ，) 如+ ( 侥( ，t ) ( ，7 + ) ，) + a ( p + ，鳓 ( 1 2 3 3 ) 利用c a u c h y s c h w t z 不等式，y 0 u n 分不等式和p o i n c 甜6 不等式及( 1 2 2 4 ) ，可得。 ( a 。一e ) 2 + 主丢a ( “) c p i l 2 + l l 矶1 1 2 + i l 叩1 1 2 + i i 叩t i l 2 + i i q i l 2 + i i 1 1 2 + l i f i l 2 + 石2 ( i o ) 可得 ( 知一e ) i i o i l 2 c 矿1 1 2 + 礼1 1 2 + l l c 洲2 + ；1 1 2 + t ( | l 1 1 2 + l l 1 1 2 + i l 矿1 1 2 ) 1 ( 1 3 4 3 ) 又因为础，所以由p o i n c a r 6 不等式得，咿cj i 毫| | ，并取e ：警，得 jj o j 1 2 c 【j j 矿jj 2 + i f nj 1 2 + j l e ? i 2 + i l e 引j 2 + lj 矿j 1 2 斗i i l f 2 1( 1 3 4 4 ) 由离散型g r o n w a l l 引理，并注意e ，e 呈即得 鲫州呲刊拙参棚2 拙翩( s ) 酬s ) i ( s ) 酬s ) l 惝 。 卢0 巾 一” ”j ( 1 。3 4 5 ) 在( 1 3 4 0 ) 式中令= p ，同时使用 ( q 磊p ，p ) 妄剐q 引j 2 y 0 u n 分不等式和p o i n c 缸6 不等式，可得 b 札 “卢 瑚 +h n 叩竹n卢 = zh n f 内蒙古大学硕士学位论文 反l l q n i l 2 + ( 2 p o e ) i 阵n i l ； c 1 i 磊矿1 1 2 + l i r n i l 2 + l l 矿1 1 2 + i i o l l 2 + i i 矿1 1 2 + l i n l l 2 + l | c ；2 n 一1 十蚓1 2 + 1 2 + 入删1 2 + c ( 2 + m 1 2 + 2 ) j = o c 玩p n l l 2 + i i 下n i l 2 + i i 矿1 1 2 + 1 1 0 1 1 2 + i i 矿1 1 2 + i l e 引 2 + i i e 2 1 1 2 + l i j n i l 2 + a i l n i l 2 + c ( i i 矿1 1 2 + l i 1 1 2 ) l ( 1 3 4 6 ) j = 0 这里 愉硎2 舭+ 1 ) 击仁，帅) d s i i 丁n i l 2 c z i i q t t ( 5 ) i 1 2 幽， ，t 竹一l i i e 彗1 1 2sc ( t ) 2 ( i i t b ( s ) 1 1 2 + l l 让纽( s ) 1 1 2 ) d s ， 1 i e 2 1 1 2 c ( t ) 2 ( i l 札( s ) 1 1 2 + i i 毗( s ) 1 1 2 ) 幽， 1 2 c m n i l 2 + t m 1 2 1 。 j = 0 上式两端对于n = 1 到z ( 1 j m ) 求和，并使用( 1 3 4 5 ) ，即得 ( 肛。一a t ) i 悸j i l 2 + t l i f l i ；cli i p i l 2 + t f i n i l 2 + 2 而”州 m ( 俐2 。( 日川) + | f g l | 三。( 日州) + | | 酬羔。( 日r + 1 ) ) + ( ) 2 ( i i 札l l 羔z ( h ，) + l i 毗l l 至。( 日，) + l i l i 至。( 工。) ) l ( 1 3 4 7 ) 选择f 使得伽一a f o ，使用离散g r o n 删l 引理由于吼( o ) = 磊( o ) ，故有f o = o ，应用 三角不等式即得定理结论( 1 3 4 1 ) 当n = j 时，将( 1 3 4 7 ) 代入( 1 3 4 5 ) ，可得的超收敛结果， | i i | c l 谢n p + 1 七+ 1 【l i t 上l l l 。( 日* + t ) + l l 口i i l 。( 日r + t ) + i i q t i l l 2 ( 日，+ ，) ) + t ( i l t 正l i l 。( 日) + i i u t i l 胪( 日，) + l ig t t i i l ：( l 2 ) ) l ( 1 3 4 8 ) 使用p o i n c a r 6 不等式，( 1 1 1 6 ) ( 1 1 1 8 ) = t ，处) 和三角不等式，即得结论( 1 3 4 2 ) 第二章一维日1 g a l e r k i n 混合元格式( i i ) 2 1格式( i i ) 的半离散形式 令口= 口( z ) u 2 ，可将原方程化为如下一阶系统： 口( z ) u z = 口， ( 2 1 1 ) 仳t 一啦一z 。( p ( t ，s ) g ( s ) ) 正如一z 。卢z ( t ，s ) 口( s ) d s z 。( ，s ) d s = ，( z 一 ( 2 1 2 ) 为了对系统( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 应用日1 一g a l e r k i n 混合有限元方法，我们考虑下面的弱形式：求 u ，口 ：【o ，刁卜瑶日1 使得： ( n u z ，) = ( q ，) ， vu 础， ( 2 1 3 ) ，t ( q 口t ，叫) + ( 缸，) + ( ( 卢1 z + 仍) g ( s ) + 卢l ( ，s ) 口叠( s ) ，魄) d s + ( c z ( ，8 ) u ，) d s = ( 厂，叫z ) ， v 训日1 ( 2 1 4 ) 其中口= 1 肛，卢l = 6 ( z ，s ，t ) 0 ，鲍= c ( z ，s ，) 加，对于( 2 1 4 ) 式是通过分部积分并注意 d i r i c l l l e t 边界条件u t ( 0 ，t ) = “t ( 1 ，) = o 而得 设，分别是础和日1 的有限维子空间，对于1 p 。o 及正整数七，r 有如下 的逼近性质【13 】： 1 罂 ， i i 口一u h i i p + i i u t j 1 1 w l ，) c 七+ 1 i i u i l k + 1 ，p ，u 础nw 七十1 p t ， y h 0 哦 一硼 i i p + l i 叫一叫 i l w t ，】c 矿“i l 叫| 1 w 件m 伽日1 nw r + 1 d 则半离散日1 一g a l e r l 【i n 混合有限元格式为：求 u 7 l ，咖) ：【o ，卅时使得： ( o 仳k ，u z ) = ( 吼，口h ) ， v ， ( 2 1 5 ) ，t ( a 鼽t ，叫l f l ) + ( ，伽 茁) + ( ( 卢1 z + 尾) 咖( s ) + 卢l ( ，s ) z ( s ) ，伽k ) d s ，o ， + ( c z ( t ，s ) 钍，l ，t c ，k ) d s = ( ，叫h z ) ， v t t ， 么 ( 2 1 6 ) 其中( u ，l ( o ) ，鼽( o ) ) 给定 定义u 的投影，求诹满足： ( n ( 一面k ) ，u 妇) = o ， 定义q 的椭圆投影，求饥满足： ，c a ( q 一甄) ，叫九) + 【( p 1 ( 一) + ( 卢1 z + 阮) ( g 一就) ，叫 z ) 】d s = o ，伽 ，0 1 2 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 内蒙古大学硕士学位论文 其中，a ( g ，叫) = ( ，) + a ( 口，2 ，) ，a 是保证a 的日1 一正定，即 a ( 钳，加) 肋i f 锄i l ；，t ，日1 且易知a ( ，) 是有界的，肋 o 为常数 设p = 口如，印= 札一讹，参见文献【1 5 ，l6 】有：对于j = o ，1 忉如蠡+ 1 一钏牡i i 七十1 ，i i 仇s 如七+ 卜钏毗+ 1 ， 俐j + i i 眺c 护h | i 口f f r + t + f | 酬+ n 口( s ) f i r + t d s ， 对于j = o ，1 和1 p 。有 脚c 扩卜仙+ o 口( s ) l 协扎p d s ， l i 叩1 1 w ，j p c 九七+ 1 一i l ，“i i k 十l ，p 2 2 格式( i i ) 半离散误差估计 下面给出误差估计，令 u 一札 = t 正一豇 + 面 一u 。7 7 + 口一吼= g 一孔+ 勃一吼= p + 由式( 2 1 3 ) ( 2 1 8 ) 可以得到误差方程为： ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( n ，钌 z ) = ( p ，u z ) + ( f ，u h z ) ，v v x ， ( 2 2 1 4 ) ，c ( q & ，伽h ) + a ( ，伽j 1 ) + i ( p 1 已( s ) + ( 卢l + 尾) f ( s ) ，叫k ) 】d s l ，0 = 一( ) + z 2 ( 郇一( 叩+ 咄训d s + + 和“ v 埘 ( 2 2 1 5 ) 定理2 2 1 若取u ( o ) = 锄( o ) ，吼( o ) = 就( o ) ，则： i i u u | | + ij 口一吼i | + i i 让一u 九1 1 1s c m 饥p + 1 七+ 1 ) i l u i i 工2 ( 日k + 1 ) + i i q i i l 。( 日，十1 ) + i i g t l l l 一( 日r + ) + i i g i i l 。( 日r 十，) + j i 吼h l 。( 日r + - ) 】 证明：因为p 和7 7 给定，所以只需估计估计毒和在( 2 2 1 4 ) 式中取= ，利用 c a u d l y s c h w 哦z 不等式和y o m l 争不等式( n 6 f 口2 + 鬟，n ，6 冗，f o ) 可得 i i 白l f 2 c ( 1 2 + 1 2 ) ( 2 2 1 6 ) 1 3 一类抛物型积分微分方程日1 一g a l e r k i n 混合有限元方法 在( 2 2 1 5 ) 式中令叫，l = 毒，利用c a u c h y s d l w 哦弘不等式，y o u n 争不等式和( 2 1 9 ) 则有 丢知q 吾1 1 2 + 肛渊曙 ，c，t = 一( 口觑，) 一【( 卢1 已( s ) + ( 尻霉+ 尾) f ( s ) ，岛) 】如一( ( ，s ) ( 叩+ ( ) ，) 幽+ a p + f ，f ) ，0，0 小1 1 2 + i i 胛+ 钏2 + 小1 1 2 + i i 圳2 + 钏；i i ) d s 卜骶l 陪 ( 2 2 1 7 ) 对上式两端关于时间从。到t 积分，应用( 2 2 1 6 ) 和p o i n c a r 6 - 不等式( l i l | i ，明) 及 积分不等式( o o 2 ) 即得 1 2 + _ | i f ( s ) 旧幽 c z ( ( s ) 1 1 2 + i i m ( s ) 1 1 2 + 肥( s ) | 1 2 ) d s + z z r ( 怙( s ) 1 1 2 + | | 叩( s ) | 1 2 + 雌( s ) i m d s d 丁】 c i ( 1 i p ( s ) 1 1 2 + i i m ( s ) 1 1 2 + l i ( s ) 1 1 2 ) d s + ( i l ( s ) 1 1 2 + 1 1 7 7 ( s ) 1 1 2 + i i f ( s ) i i ；) d s d 7 - i o i ，o，0 ，o 。 c z 2 ( 忪( s ) 2 + l i m ( s ) 1 1 2 + 憾( s ) 1 1 2 ) d s + z 。z 7 ( ( s ) 1 1 2 + 雌( s ) l 胁d s d 丁 ( 2 2 1 8 ) o t ，0，0 - ，o 。 应用g r o n w a l l l - 引理及积分不等式( o o 2 ) 和( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) ，可得 i i | 1 2 + z 。i i ( s ) l l ；d s c z 2 ( i l ，( 异) | 1 2 + i i p t ( s ) 1 1 2 + i i 叼( 8 ) i | 2 ) d s c 2 m 饥( 七+ 1 ，r + 1 ( jj 似( s ) lj 2 + l + lj g ( s ) l 浮+ l + j i 吼( s ) i i ；+ 1 ) d 8 ( 2 2 1 9 ) 由( 2 1 1 1 ) ，( 2 2 1 6 ) 和( 2 2 1 9 ) 可得 l l 龟( t ) l | c 而n ( 七十1 ，+ 1 ) 川t 正l i l 2 ( 日k + 1 ) + l l g | i l 一( 日r + 1 ) + i i 吼i i l 一( 日r + 1 ) + i l 口l l l 。( 日r + - ) + i i q t i i l 。( 日r + - ) 】 ( 2 2 2 0 ) 因为础，所以由p o i n c 盯6 不等式得，i i l 缸| i ，利用三角不等式及式( 2 1 1 0 ) 一 ( 2 1 1 1 ) 和( 2 2 1 9 ) 一( 2 2 2 0 ) 可得定理中结论 定理2 2 2 若取吼( o ) = 瓠( 0 ) ，则 口一口 i i i c m 讥( 七+ 1 ，r ) 【i i u i i 工2 ( 日k + t ) + l i q l i l o o ( 日r + ，) + l i 吼l l l 一( 日r + ) + i l g i i l 2 ( 日r + ，) + l ig t i i l 2 ( 日r + 1 ) 】 i i q 一饥i l l p c 九m 饥( r + 1 ，南+ 1 ) 【l i u i l 工2 ( 日k + 1 ) + i i g i l 工一( w r + 1 ，一) + i f 口f l l 。( 日r + - ) + i i 吼i i l 2 ( 日件，) + i l g i i l z ( r + ，p ) 】 i i 牡一u l i l p c 而件( r + 1 ，七+ 1 ) 【i i u i i l 2 ( 日k + 1 ) + i l u l l l 。( k + ，p ) + l i q i l l 一( h r + 1 ) + i l 吼l i l 一( 日r + t ) + l i g l l l 。( 目r + t ) + i i 口t i l l 。( 日r + ，) 】 证明：在( 2 2 1 5 ) 式中令伽 = & ，则有 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 【q ，已) + a k ，专t ) ，t，t = 一( q 矶，) 一上【( 卢1 已( s ) + ( 卢l 菩+ 仍) f ( s ) ，& t ) 】d s 一上( 白( ，s ) ( 7 7 + ) ，锄如+ a ( p + ，) = 一( q 肌，一丢 z 。( 卢- ( s ) + ( 卢z + 如) ( s ) ，岛) d s + ( p 已( s ) + ( 卢z + 仍) 专( s ) ，巳) + ( 卢n ( s ) + ( 卢1 z + 皮) t ( s ) ，) d s 一( ( t ，s ) ( 卵+ ) ，& ) d s + 入( p + ，已) ( 2 2 2 1 ) ，o ，0 利用c a u c h y s c h w 甜t z 不等式，y o u l l 分不等式和p o i n c a r 6 不等式及( 2 2 1 6 ) ，可得： ( a 。- e ) 2 + 丢丢眯，专) c m l 2 + 酬2 + l i 洲i + 石。( 帖( s ) | 1 2 + ( s ) 1 1 2 + 帐( s ) 旧) d s 一丢 z 。( 卢靠( s ) + ( p t z + 皮) ( s ) ，岛) 如 + ( 帖( s ) 1 1 2 + ( s ) 1 1 2 + 帐( s ) 旧) d s l 一豢l ( 卢1 靠( s ) + ( p l z + 皮) ( s ) ，岛) 如 ，o 。 u o 。，u c m p i l 2 + i 肌1 1 2 + l l i i ；+ ( i i p ( s ) 1 1 2 + i l 叩( s ) 1 1 2 + i l 毒( s ) i i ；) d s i l ，0 o 一丢 z 。( p ，已( s ) + ( 卢z + 如) ( s ) ，) d 8 ( 2 2 2 2 ) 对上式两端关于时间从。到t 积分，应用c a u c h y s c h w 吼z 不等式y o u i l 哥不等式和积分不等 式( 0 0 2 ) ，即得 ，t i ( s ) 1 1 2 d s + 俐； ，0 c z 2 ( 怕( s ) 1 1 2 + 怕t ( s ) i | 2 + 幢( s ) 旧) 如+ z 。z 7 ( 忪( 圳1 2 + ( s ) 1 1 2 + 雌( s ) i m d s d 丁o ，0 ，0 ，u 。 c f 。( i i p ( s ) 1 1 2 + i i 矶( s ) 1 1 2 + 1 1 7 7 ( s ) 1 1 2 + l l ( s ) i i ；) d s ( 2 2 2 3 ) 应用g r o n w a l l l 引理，可得 i l f i i ；sc f ( i i j 9 ( s ) 1 1 2 + i i m ( s ) 1 1 2 + i i 叩( s ) 1 1 2 ) d s o ，o 。 ，t c 九2 m 饥( 后+ 1 ，r + 1 ( ii 让( s ) l1 2 + l +