（统计学专业论文）两两NQD序列部分和之和的收敛性质.pdf

i i i ii i ii i iii ii ii i i iiii y 1717 4 7 6 c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sf o rt h es u mo fp a r t i a ls u m so f p a r i w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e s m a j o r d i r e c t i o no fs t u d y - g r a d u a t es t u d e n t ： s t a t i s t i c s p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r y l a nc h o n g f e n g s u p e r v i s o r ：w uq uy l n g p r o f u n v i n r c o l l e g eo fs c i e n c e g u i l i nu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y j u n e ，2 0 0 9t oa p r i l ，2 0 1 0 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权书 独刨性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在吴群英教授指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。对论文的完成提供过帮助的有关人员己在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者( 签字) ： 签字日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解( 学校) 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的印刷本和电子版本，允许论文被查阅和借 阅。本人授权( 学校) 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国 科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 导师繇2 多p 签字l jg q 和f q 年月f o l 1 名 别一 糍咖 作乒姗物 彬朔似钿 桂林理工大学硕士学位论文 摘要 奉硕十学位论义主要研究两两n q d ( n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t ) 随机变晕序列部 分和之和瓦= s ( 其中最= 墨) 的收敛性质 i = 1 f = l 两两n q d 列是一类非常广泛的随机变最列，后来的许多负关联列都是在此基础上繁衍 出来的，如著名的n a 列就是它的特殊情况之一到目前为止，由于还未建立起一般的两两 n q d 列的矩不等式，因此，对两两n q d 列的研究就显得更为基本，更为困难对n a 列已获 得许多与独立情形完全一样的结果，但对两两n q d 列，仅有m a t u l a 得到了对于两两n q d 随 机变量序列的k o l m o g o r o v 强大数定律虽然王岳宝等获得了两两n q d 列的b a u m 和k a t z 型完全收敛定理，但由于加上了妒( 1 ) 1 条件，所以还未达到独立情形的结果吴群英去掉 了这一条件，给出了充分条件，同时得到了几乎达到独立情形一样的两两n q d 序列的 m a r c i n k i e w i c z 强大数定律、三级数定理等结果张立新，王江峰则给出了两两n q d 列部分 和最大值的一般形式的完全收敛性的充分必要条件，取消了王岳宝等讨论两两n q d 列时的 附加条件够( 1 ) 1 的限制 长期以来，人们立足于研究随机变量序列部分和的极限性质，却很少有关于部分和之 和极限性质的讨论实际上，对随机变量序列部分和之和的极限性质的研究，在理论和实践中 均是有必要的最初对部分和之和的研究，是r e s n i k e 以及a r n o l d 等在研究纪录值的极限理 论时发现而苏淳、江涛、林口其等分别研究了独立同分布随机变景列部分和之和的强、弱 大数定律和中心极限定理，得到部分和之和与部分和有一致的收敛条件但这仅限于随机变 量为独立列的情形宇世航等研究了n a 列部分和之和的极限理论，得到了部分和之和的强、 弱大数定律的条件，同时给出强平稳列部分和之和的中心极限定理存在的条件程建华则去 掉强平稳条件，得到非平稳n a 序列部分和之和的中心极限定理 7 本硕士学位论文正是在前人研究的基础上，继续探讨两两n q d 随机变奄序列部分和之 和的收敛性质：第l 章研究两两n q d 序列部分和之和的弱大数定律，通过给出一些等价条 件，建立了弱大数定律，获得了与独立序列情形下类似的结论第2 章研究两两n q d 序列 部分和之和的强大数定律，在较弱的条件下，建立了同分布两两n q d 列部分和之和的强大 数定律，同时讨论非同分布情形下强大数定律存在的条件篼3 事先给出独立同分布序列部 分和之和的完全收敛性，再将其推广到两两n q d 列的完全收敛性 关键词两两n q d 序列；部分和之和；大数定律；完全收敛性 i v 桂林理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sm a s t e rt h e s i si n v e s t i g a t e st h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sf o rt h es u i l lo fp a r t i a ls t u n so f p a r i w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e s p a r i w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e sa r eac l a s so fv e r yw i d er a n g eo fr a n d o mv a r i a b l e s ，o n w h i c hm a n yn e g a t i v ea s s o c i a t i o ns e q u e n c e sa r eb a s e dt od e v e l o p ，s u c ha st h ef a m o u sn a s e q u e n c e s s of a r , t h ep r o b l e ma b o u te s t a b l i s h i n gt h eg e n e r a lc o l u m nm o m e n ti n e q u a l i t yf o r p a i r w i s en q di so p e n t h e r e f o r e ，i ti s m o r en e c e s s a r ya n dm o r ed i f f i c u l tt oc o n s i d e rp a r i w i s e n q dr a n d o ms e q u e n c e s w eh a v eo b t a i n e dm a n yr e s u l t so fn as e q u e n c e s ，w h i c ha r ec o n s i s t e n t w i t ht h ei n d e p e n d e n to n e b u tf o rp a r i w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e st h ek o l m o g o r o vs t r o n gl a wo f l a r g en u m b e r sa c q u i r e db ym a t u l ai st h eu n i q u er e s u l t a l t h o u g hw a n gy u e b a o e t cd e v e l o p p a r i w i s en q d r a n d o ms e q u e n c e sb a u ma n dk a t z t y p ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e s ，b e c a u s e o ft h ec o n d i t i o nt h a t 矿( 1 ) 1t h e ya r en o tt h em s e l t so ft h ei n d e p e n d e n tc a s e w uq u n y i n g r f f m o v et h i sc o n d i t i o n ，g i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n do b t a i nt h es 9 n l er e s u l t so fp a i r w i s en q d s e q u e n c e so ft h em a r c i n k i e w i c zs t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ，t h r e en u m b e rt h e o r e m ，e t c a si nt h e c a s eo fi n d e p e n d e n t z h a n gl i x i na n dw a n gj i a n g f e n gd e v l o pp a i r w i s en q ds e q u e n c e sa n d m a x i m u mo ft h eg e n e r a lf o r mp a r to ft h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c eo ft h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sw i t h o u tt h ec o n d i t i o nt h a t 矿( 1 ) 1 f o ral o n gt i m e ，e x t e n s i v er e s e a r c hh a sb e e nc a r r i e do u to nt h el i m i tp r o p e r t i e so fp a r t i a l s u m so fr a n d o ms e q u e n c e s ，b u tv e r yf e wp e o p l ec o n s i d e rt h el i m i tp r o p e r t i e so ft h es u mo fp a r t i a l s u l n so fr a n d o ms e q u e n c e s i nf a c t ，i ti sv e r yn e c e s s a r yt oi n v e s t i g a t et h el i m i tp r o p e r t i e so ft h e s u mo fp a r t i a ls u n l so fr a n d o ms e q u e n c e sb o t hi nt h e o r ya n di np r a c t i c e a tt h eb e g i n n i n gr e s n i k c a n da n r o l do b t a i nt h el i m i tt h e o r yo fr e c o r d sd u r i n gs t u d y i n gt h es u mo fp a r t i a ls u m so fr a n d o m s e q u e n c e s s uc h u n ，j i a n gt a o ，l i nr i q i e t cr e s p e c t i v e l ys t u d yt h es t r o n ga n dw e a kl a wo fl a r g e n u m b e r sa n dc e n t r a ll i m i tt h e o r e mo ft h es u mo fp a r t i a ls u m so fi i d r a n d o ms e q u e n c e si nt h e i r o w ni n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dt h es u mo fp a r t i a ls u m so fr a n d o ms e q u e n c e sa n d p a r t i a ls u m so fr a n d o ms e q u e n c e sh a v i n gc o n v e r g e n tc o n d i t i o n b u tt h e s er e s u l t s a r ei nt h e d e p e n d e n tc a s e y us h i - h a n g e c ts t u d yt h el i m i tt h e o r yo ft h es u mo fp a r t i a ls u m so f n ar a n d o m s e q u e n c e s ，g e tt 1 1 ec o n d i t i o n so ft h es 仃o n ga n dw e a kl a wo fl a r g en u m b e r sa n do b t a i n t h e e x i s t e n c ec o n d i t i o n so ft h e c e n t r a ll i m i tt h e o r e mo ft h es u mo fp a r t i a ls u m so fs t r o n gs t a b l e r a n d o ms e q u e n c e s c h e n gj i a n h u at h e nr e m o v et h es t r o n gs t a b l ec o n d i t i o n sa n da c q u i r et h e e x i s t e n c ec o n d i t i o n so ft h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mo ft h es u mo fp a r t i a ls u m so fn o n s t a b l er a n d o m s e q u e n c e s i nt h em a s t e rt h e s i s ，w ef u r t h e re x p l o r et h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so ft h es u mo fp a r t i a ls u m s o fp a r i w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e s i ti s o r g a n i z e da sf o l l o w i nc h a p t e r1 t h el a wo fl a r g e n u m b e r sf o rt h es u r f lo fp a r t i a ls u m so fi d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dp a r i w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e s w a ss t u d i e d t h el a wo fl a r g en u m b e r sw a se s t a b l i s h e db yg i v i n gs o m ee g e n v a l e n tc o n d i t i o n s ，a n d s i m i l a rr e s u l t st ot h ei i - d c a s ew e r et h e no b t a i n e d i nc h a p t e r2r e s e a r c ht h es t r o n gl a wo fl a r g e n u m b e r sf o rt h es u mo fp a r t i a ls u m so fi d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dp a r i w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e s i n v 桂林理工大学硕士学位论文 t h ew e a kc o n d i t i o n st h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sw a se s t a b l i s h e d ，w h i l ed i s c u s s i n gt h e d i s t r i b u t i o no f u n u s u a lc i r c u m s t a n c e s ，t h ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo fas t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s c h a p t e r3g i v e sa nc o m p l e t ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo ft h es u mo fp a r t i a ls u m so fi i d r a n d o m s e q u e n c e s ，a n dt h e ne x t e n di tt ot h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo fp a r i w i s en q dr a n d o m s e q u e n c e s k e yw o r d s ：p a r i w i s en q dr a n d o ms e q u e n c e s ；t h es u mo fp a r t i a ls u m s ；l a wo fl a r g e n u m b e r s ；c o m p l e t ec o n v e r g e n c ep r o p e r t y v i 桂林理工大学硕士学位论文 目录 摘| 耍。i v a b s t r a c t 、， 目j i 乇v ii 弓l言1 第1 章两两n q d 序列部分和之和的弱大数律4 1 1 引言及引理4 1 2 主要结果6 1 3 主要结果的证明7 第2 章两两n q d 序列部分和之和的强大数律。l l 2 1 引言及引理1 l 2 2 主要结果1 3 2 3 主要结果的证明1 5 第3 章两两n q d 序列部分和之和的完全收敛性2 0 3 1 引言及引理2 0 3 2 主要结果一2 2 3 3 主要结果的证明2 3 结论3 0 致谢3 1 参考文献3 2 个人简介3 4 v i l 桂林理工大学硕士学位论文 引言 概率极限理论是概率论的主要分支之一，是概率论的其他分支和数理统计 的重要基础前苏联著名的概率论学者k o l m o g o r o v 和g n e d e n k o 在评论概率论极 限理论时曾经说过：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理论才能被揭示， 没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义”极限理论的基本 内容是每一概率统计工作者必须掌握的知识与工具 。 关于经典的独立随机变量的概率极限理论，在2 0 世纪三四十年代已获得完 善的发展，k o l m o g o r o v 和g n e d e n k o 的专著相互独立随机变量和的极限分布 ( 1 9 5 4 ) 对此有详细的总结在近几年来，人们在研究独立随机变量的同时，相继 提出了各种相依随机变量的概念在2 0 世纪5 0 年代，随机变量的相依性概念就 已经在概率论和数理统计的某些分支中被提出来了，并引起许多概率统计学家的 兴趣和研究，取得了不少的研究成果，1 9 9 7 年以前的许多结果主要被总结在陆 传荣、林正炎u 。的专著混合相依变量的极限理论( 1 9 9 7 ) 中近几年来，我的导 师吴群英h 。对混合序列的概率极限理论做了深入细致的研究，并取得了很多重要 的成果，其中一部分总结在她专著的混合序列的概率极限理论( 2 0 0 5 ) 中 这些相依随机变量的引入不仅是理论上研究的必要，如在马氏链，随机场论， 多元统计分析等分支中就早已提出一些随机变量的相依性概念，而且也是实际问 题的需要，如在一些实际中统计样本的观测值存在着非独立的情形其中，两两 n q d 列的概念是l e h m a n n 。在1 9 6 6 年提出的： 定义 称r v 彳和l ，是n q d ( n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t ) 的，若对 v x ，y r 有 p ( x x ，y 少) p ( x x ) p ( r y ) 称r v 列 e ，力1 ) 是两两n q d ，若对v i j ，墨与x ，是n q d 的 两两n q d 列是一类非常广泛的r v 列，后来的许多负关联列都是在此基础 上繁衍出来的，如著名的n a 列就是它的特殊情况之一 目前对于n a 列部分和s 。的极限理论研究，已经取得了很大的成就，获得了 许多与独立情形完全一样的结果但对两两n q d 列的研究由于到目前为止，还 未建立起一般的两两n q d 列的矩不等式，因此，对它的研究就显得更为基本，更 为困难，所获的结果也很少达到独立情形的完善结果 m a t u l a “u 得到了对于两两n q d 随机变量序列的k o l m o g o r o v 强大数定律，王 桂林理工大学硕士学位论文 岳宝等研究了两两n q d 列的b a u m 和k a t z 型完全收敛定理性，在附加条件 缈+ ( 1 ) l 下给出了充分必要条件吴群英去掉了这条件，给出了充分条件，同 时得到了几乎达到独立情形一样的两两n q d 序列的m a r c i n k i e w i c z 强大数定律、 三级数定理等结果张立新，王江峰 。给出了两两n q d 列部分和最大值的一般形 式的完全收敛性的充分必要条件，取消了王岳宝等讨论两两n q d 列时的附加条 件矿( 1 ) 1 的限制 众所周知，长期以来，人们立足于研究随机变量序列部分和最的极限性质， 却很少有关于部分和之和极限性质的讨论 事实上，随机变量序列部分和之和的极限性质，在理论和实践中均是有必要 的最初对部分和之和的研究，是r e s n i k c ( 1 9 7 3 年) 9 1 以及a m o l d ( 1 9 9 8 f g ) n 蚍等在 研究纪录值的极限理论时发现而在实际问题中，如随机游动、破产理论及时间 序列理论中均有必要研究部分和之和比如：若随机游动 s t ，t = o ，1 ，2 ， ，其中 & = 。，墨5 喜五，那么s 可建模为第f r 的某种证券( 股票) 的收盘价，而i l 善ns 便是，z 日移动平均线 ， 基于此，苏淳、江涛、林日其n 卜1 2 1 等分别研究了独立同分布随机变量列部 分和之和的强、弱大数定律和中心极限定理，得到部分和之和乙与部分和有 一致的收敛条件但这仅限于随机变量为独立列的情形宇世航m 叫5 3 等研究了 n a 列部分和之和的极限理论，得到了部分和之和的强、弱大数定律的条件， 同时给出强平稳n a 列部分和之和瓦的牟心极限定理存在的条件程建华蚓则 去掉强平稳条件，得到非平稳n a 序列部分和之和瓦的中心极限定理而关于两 两n q d 序列部分和之和z 的收敛性质，则还未见文献讨论这正是本论文研究 的主题本文研究两两n q d 随机变量序列部分和之和的强、弱大数定律以及完 全收敛性论文共分三部分： 第l 章研究两两n q d 序列部分和之和的弱大数定律，通过给出一些等价 条件，建立了弱大数定律，获得了与独立序列情形下类似的结论 第2 章研究两两n q d 序列部分和之和的强大数定律，在较弱的条件下， 2 桂林理工大学硕士学位论文 一一一一_ 建立了同分布两两n q d 列部分和之和的强大数定律，同时讨论非同分布情形下 强大数定律存在的条件 第3 章先给出独立同分布序列部分和之和乃的完全收敛性，再将其推广到两 两n q d 列的完全收敛性 对随机变量列 x 。，z 1 ) ，记： 最全墨， 称为互的部分和； i = l 乃全s ，称为置的部分和之和； l + 垒( 以下各章均采用此记号) i = l 那么，对任意自然数，z ，显然有 z + 瓦= ( 刀+ 1 ) 最 本文一律以“”表示通常的大“0 ”，c 表示与刀无关的正常数，在不同 的地方可表示不同的值 桂林理工大学硕士学位论文 第1 章两两n q d 序列部分和之和的弱大数律 1 1 引言及引理 关于部分和最的弱大数定律，王志刚m 3 研究了两两n q d 序列弱大数定律及 l p 收敛性，万成高n 8 1 则研究了两两n q d 序列的大数定律及完全收敛性， 黄海午1 9 2 帕等研究了两两n q d 序列的弱大数定律，得到了如下结果：设 0 p ，1 ) 一0 ； ( i i ) 事一包三。； ( i i i ) 一i 氕 此处，吃和巳都可以取值为圭剧。刈x 。挖1 ) + 。( 1 ) 宇世航在文献 1 4 中也证明了：设 以；挖1 ) 是一列对称向分布n a 随机变 量，若对某个o y ) p ( x x ) p ( y 少) ： ( i i i ) 如，s 同为非降( 或) 非增函数，则厂( 彳) 与s ( y ) 仍为n q d 的 引理1 1 2 ( 推广的k o l m o g o r o v 型不等式)设 以；，z 1 ) 是两两n q d j + k 序列，e x = o ，磷 0 ，则有 i = j + l e ( t ( 研霹， + 女 e ( 酗( 乃( 啪 c l 0 9 2n 吲+ 。霹 引理1 1 3 2 们设 x 。；刀1 ) 同分布的两两n q d 列，0 p ，z ) = 0 ，则存在实数列 玩；，z 1 ) ，使得 r l - i p ( s 一钆) _ 0 ，l 。0 0 ( 1 1 1 ) 引理1 1 4 设0 x ) 护( f x l 工) ，n 1 l 。l i 。m 。疗p p ( 1 x i 玎) = 0 ，则存在实数 列 玩；甩1 ，使得 z i - i p ( 鼠一吃) 呻o ，玎寸 ( 1 1 2 ) 桂林理工大学硕士学位论文 1 2 主要结果 由两两n q d 序列部分和的弱大数定律的启示，我们首先建立两两n q d 序 列部分和之和的弱大数定律，得到如下结论 定理1 2 1 设0 p 玎) = o ，则存在实数列 ；玎1 ) ，使得 簪三吣专 ( 1 2 1 ) 定理1 2 2 刎 i 发o p ，z ) = 0 ，则存在实数列 包；咒1 ，使得 n - - - 0 0 黟一 ( 1 2 2 ) 定理1 2 3 设0 0 ，有- e ( 1 x i 工) 印( 1 i z ) ，以l ，h 。l i m ，z 9 p ( i x l 聆) = o ，则存在实数 列蛾；以1 ) ，使得 一o o 6 ( 1 2 3 ) 1 3 主要结果的证明 定理1 2 1 的证明： 记口= p ，不失一般性，不妨设( i 2 1 ) 式中的玩= 0 ，”1 则只需证对 、 v s 0 ，有 p l 巧l - s 以叶1 专o ，z o o 记 z = 一n 。i ( x i ，z 口) ，l 1 由引理1 1 1 中的( i i i ) 得 ￥；f 1 ) 仍是两两n q d 序列，且由z 的对称性 知r 仍是对称的，故e v = 0 对v 占 0 ，我们有 悱群+ 1 = j 窆卜州丑：辄阶i i = 1刀0 l lii u l ；| ；i s 玎甜j ，v z ：z 州鼻i 甩。 c 曹 l 五i 门。u i sz r l 占，z 。卅 尸 i 巧i g ，z 。+ 1 喜尸c f 鼍j ，z 。，+ 尸“ i 窆i = 1 ，r l f ，z “+ 1 = ，z 尸c i x t i 疗口，+ 尸 f 喜z r l f ，z 口+ 1 _ 由1imnp尸(1置i力)=0等价于limrip(ix,i刀“)=0，故只需证n-iao 。一 尸 f 喜，r f f 行。+ 1 争。，刀o o 7 其中 占，2 。+ 1 1 ，z 屯似“e ( f r ) 2 ，z 一2 口+ i ) i = 12 “尸( 甩口) + e 2 彳2 ( i x , i - 力口) + n - 2 ( a + 1 ) 历2 x 2 州墨i 刀口) i = 1 i = 1 垒i l + 1 2 厶= 以2 z i 2 p n 口) i 2 n p ( 1 x l l n 。) 一o ，刀一o o 厶= n - 2 ( a + 1 ) 历2 x 1 2 z ( 1 x , l 圹) 。-一 7 ，= l n - 2 ( a + o e x 2 ，( 胛。) f 2 n l - 2 , 7 e x 2 刈五i 疗。) 而由微分中值定理，存在臼( o ，1 ) ，使 得 i = 1 ( 后+ 1 ) 2 口- k 2 口= 2 口( 七+ 9 ) 2 口一1 2 口( 尼+ 1 ) 2 口 = n l - 2 7 e x l 2 i ( i x 。1 月 n 。) = ，z 卜2 。觑。2 z ( ( k - o 口, ：l x , i - - k 口) 七= j ( 尼一1 ) 。一p ( i x , k 。) ) 矿撕( 丢( 川广( 毗i n 善产p ( i x t f ) ) n l - 2 a 力l ( ( 七+ 1 ) 搪一j 如) e 露。) ( 尼+ 1 ) 2 扣1 p ( i x 。j 七口) 8 y 。h p y ， 。纠 e n 卅 2 = 玎 2 = 。m 、， 口 总 墨 尚 以 ， i | i 一 扣 。 脚。脚 桂林理工大学硕士学位论文 一一 对v 6 o ，由舰( ，z + 1 ) 尸( 1 一l 刀口) = o 得，存在“，当七0 时，有 ( 露+ 1 ) 尸( i 五l 尼口) 后“) ，z 卜2 口y ( k + 1 ) 2 a z 8 1 4 l 一、 k = n t ， n l - 2 0 t ( 力+ 1 ) 2 a - 1 6 1 4 6 1 2 注意到o p 后a ) t = m - ：n 0 ，有 p l 巧l - c n a + l - - - 0 ，z 专 即 定理证毕 定理1 2 2 的证明： 记口= p ，不失一般性，不妨设( 1 2 2 ) 式中的包= 0 ，z 1 假设 以；刀1 ) 是对称的，则由定理1 1 1 可知 7 + p 和训 又显然关系式巧+ 瓦= ( ，z + 1 ) 最成立，于是 由引理1 1 3 可知 玉+ 互：盟曼 力口+ j 。，z 口+ i 力甩口 9 0 尸 互 桂林理工大学硕士学位论文 旦三o 刀一。 n “ 故有 暑知 若 以；，z 1 ) 是非对称的，则由弱对称不等式得 尸( i 一m ( z ) i 占刀甜1 ) 2 尸( 阿| 1 ) 4 尸( 1 乙一巳l e n 针1 2 ) 其中，z ( 乃) 表示z 的中位数 上式说明，如果存在实数列巳，使( 乙一c n ) ? l - ( a + 1 ) j po ，则s 玎巾州专po 反之， 如果瓦s n - ( a + 1 ) 哼po ，则存在巳：反瓦) ，使( 乇一q ) n - ( a + o po ，又因两两n q d 的对 称化序列仍是两两n q d 序列，故只需对对称化序列证明( 1 2 2 ) 式成立即可， 而对称化序列前面己证，故定理得证 定理1 2 3 的证明： 类比定理1 2 1 和定理1 2 2 的证明过程并利用引理1 1 4 可证定理1 2 3 成立 1 0 桂林理工大学硕士学位论文 一一一一 第2 章两两n q d 序列部分和之和的强大数律 2 1 引言及引理 对于两两n q d 序列部分和邑的强大数定律，人们已经做出了很多研究，例 如文献 2 3 2 9 都分别得到了一些关于两两n q d 序列部分和只的强大数定律的 结论 其中陈平炎证明了如下结果： 引理2 1 1 别设 以，l 1 ) 是两两n q d 列，对任意以l ，v a r ( 以) o o ， a n ，1 , 1 1 ) 是非降趋于无穷的正常数序列，假设 ( i ) s u p 口：1 ej x , 一甄j l ，一i ( i i ) v a r ( x , , ) a 1 1 j - 一 n ；i 则强大数定律口：1 ( x t 一瓯) 寸0 a s 成立 吴群英得到了如下结果： 引理2 1 2 7 3 设 以，行1 ) 两两n q d 序列，0 口。个，o p 2 ，且当 p 2 时，e x = 。，喜! ! 墨二笔享上茎二 o 。，贝。 口：1 鼍_ 。o ，z 寸 董志山在2 0 0 7 年也得到了如下结果： 引理2 1 3 设 以，胛1 ) 两两n q d 序列，为部分和序列，若对某个常 数o p 2 ，e x , i p ( 1 0 9 + i x i f p ) 2 o 。，则当o p 1 时，刀lp 寸o a s 当1 p 2 时，n - u p ( 鼠一n e x i ) 一0 a s 桂林理工大学硕士学位论文 为了研究两两n q d 序列部分和之和瓦的强大数定律我们给出部分和之和 不的强大数定律的定义 定义2 1 1 设 以；刀1 ) 是一随机变量列，如果存在常数序列 口。；玎1 ) 和 碱；甩1 ) 其中0 以。个0 0 ，玎专o o ，使得 y 型s , - b , ：生鱼专0 as 上生一= 二巴一二卫 岛 a na h 则称部分和之和满足强大数定律 关于瓦强大数定律，苏淳，江涛在文献 1 2 中分别建立了i i d 序列部分 和之和的强大数定律：设 以；厅1 ) 是i i d 随机变量，当r l _ 时，对于 0 p 2 ，下面的三个条件等价： ( i ) e i l ， c o ，且当l p 2 时，瓯= o ； ，南一s ( i i i ) 斋j 0 a s 宇世航在文献 1 3 中也证明了：设 以，n 1 ) 是一列与x 同分布的n a 序列， 对于o p 2 ，有e l x l p 0 0 ，且当1 p 2 时，e x = 0 ，则 南一o a “ 一 矿1 7 p 7 ”4 。 为了推出两两n q d 序列随机变量部分和之和z 的强大数定律，还需给出以 下引理 引理2 1 4 5 1 ( 推广的b a r e l c a n t e l l i 引理) ： ( i ) 若p ( a 。) ，则尸( 以，i 0 ) = 0 ： 月= i ( ii ) p ( a 女以) 尸( 4 ) p ( 爿。) ，k m ， ze u ) = o o ，则以4 ，i o ) = 1 桂林理工大学硕士学位论文 二一 使得 其中( 4 ，i o ) 表示有无穷多个以发生 引理2 1 5 5 1 设 以，刀1 ) 是同分布两两n q d 序列，那么，存在有限常数a ， 2 2 主要结果 曼一口as当且仅当eiioo且此时口：qn - 通过对两两n q d 序列部分和的强大数定律的认真研究，我们可以将其推广 到部分和之和的强大数定律，得到如下定理和推论 定理2 2 1 1 设 以，刀芝1 ) 是一列与x 同分布的两两n q d 序列， a n ) 是 正数序列，且a 。n 个o o ，则下述条件等价： ( 1 ) p ( 1 x i _ a n ) , 2 。) ，则 玉_ oa s ，z 口” ( 2 2 3 ) 推论2 2 1 制 设 以，z 1 ) 是一列与x 同分布的两两n q d 序列，对于 o p l ， e i x i 尸 o o ，且当p = l 时，e x = 0 ，则 南。0 a s ( 2 2 4 ) 推论2 2 2 m 3 设 以，刀1 ) 是列与彳同分布的两两n q d 序列，e x ：o ， 若对某1 p 2 ，有ej 彳。j p ( 1 0 9 + i x ：l p ) 2 ，则 南一s ( 2 2 5 ) 定理2 2 3 设 五，行1 ) 是两两n q d 序列，0 a 。个0 0 ，0 p 2 ，且当 p 2 时，e x = 。，善! ! 墨二笋 0 ，0 p 2 ，且当l p 2 时，e x ：0