（系统理论专业论文）s粗模糊集的遗传与它的双向变异模型.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 在现实世界中存在着大量不精确的知识，所以如何从不精确知识中提取出 人们需要的信息，已经成为目前的一个重要的课题模糊集理论和粗糙集理论都 是研究信息系统中知识的不精确性问题都可以从复杂系统的大量数据中提取 有用特征，挖掘数据中隐含规律由于两者的研究方法和研究基础不同，导致各 自互相不能替代的特点由于模糊性和粗糙性是不精确知识的两个不同侧面，因 此两者在处理不精确数据方面可以互为补充所以把两者有机结合起来的粗模 糊集理论丰富了对信息系统中不精确知识的描述和处理 经典的p a w l a k 粗糙集是一个静态的粗糙集，s 粗集拓展了p a w l a k 粗糙集，提 供了利用粗糙集处理动态问题的理论基础粗模糊集也是一个具有静态特征的 粗模糊集，在s 粗集理论基础上建立的s 一粗模糊集理论，对动态系统中不精确知 识的处理提供了理论依据这些研究成果是本文第3 章研究的理论基础 粗糙集理论是基于知识的不可分辨性，在粗糙集理论中，同一等价类中的不 同元素是不可分辨的，但是当粗糙集模型中涉及的是模糊知识，而且当同一等价 类中不同元素有着不同的隶属度时，那么利用等价类研究出来的元素的规律，必 然会存在着误差这是本文第3 章研究的现实基础 在粗糙集理论中，元素论域对应着属性论域，元素等价类对应着属性等价类， 变异s 一粗集和s 粗集存在着对偶性原理，这个理论在数据挖掘研究中，对在巨型 数据库中寻找需要的数据提供了理论依据所以第4 章在这些研究基础上，对s - 粗模糊集的变异模型做了研究 本文主要进行了以下工作： 1 研究了s 粗模糊集中，元素隶属度的变化规律；并在此基础上，通过定义 差异隶属函数，描述模糊集中同一等价类中不同元素之间隶属度的差别，以及s 粗模糊集中，同一等价类中不同元素的隶属度的差别的变化规律：定义粗模糊集 的格贴近度，并研究了s 粗模糊集的格贴近度的变化规律：研究了s 粗模糊集中 等价类的各个阶厂一遗传，厂遗传的不同元素的隶属度的差别的变化规律；在前 面工作的基础上，通过研究s 粗模糊集的各个阶的f 遗传，户遗传中同一等价 类中不同元素的隶属度的差别的变化规律，定义了给定差异的最优阶，遗传， f 一遗传，在此理论基础上，可以对遗传阶进行有目的的控制，并研究了各个阶 山东大学硕士学位论文 的f 遗传，户遗传和原有s 一粗模糊集的格贴近度的变化规律 2 在单向变异s 粗模糊集的研究基础上，定义了单向变异s 粗模糊集对偶， 双向变异s 粗模糊集，并研究了三者以及变异粗模糊集之间的关系；定义了双向 变异s 粗模糊集之间的相等、包含关系和并交运算，并研究了它的性质 关键词s 粗模糊集；差异隶属函数；f 遗传；户遗传；双向变异s 粗模糊集 i l 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h er e a lw o r l d ，t h e r ei sl a r g ea m o u n to fi m p r e c i s ek n o w l e d g e a tp r e s e n t ，i tl a a s b e e nk n o w na sa l li m p o r t a n ti s s u et oe x t r a c tu s e f u li n f o r m a t i o nf r o mt h ei m p r e c i s e k n o w n l e d g e b o t hf u z z ys e t sa n dr o u g hs e t st h e o r ya r et h es t u d i e so ni n a c c u r a c y k n o w l e d g eo fi n f o r m a t i o ns y s t e m b o t hc a nb eu s e dt oe x t r a c tu s e f u lf e a t u r e sf r o m l a r g ea m o u n to fd a t ao ft h ec o m p l e xs y s t e m , a n dg e tt h el a wi m p l i e di nt h ed a t a b a s e do nd i f f e r e n tb a s e sa n db yu s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s , t h et w ot h e o r y sh a v et h e i r c h a r a c t e r i s t i c sr e s p e c t i v e l yw h i c hc a nn o tb er e p l a c e db ye a c ho t h e r b e c a u s et h e f u z z ya n dt h er o u g hf e a t u r e sa r et h et w od i f f e r e n ta s p e c t so fi m p r e c i s ek n o w l e d g e ， t h e ya r ec o m p l e m e n t st oe a c ho t h e ri nd e a l i n gw i t l li m p r e c i s ed a t a t h e r e f o r e ，t h e r o u g hf u z z ys e t st h e o r yt h a tc o m b i n e db y t h et w oa l ea d v a n t a g e o u sf o rt h ed e s c r i p t i o n a n dm a n i p u l a t i o no ft h ei m p r e c i s ek n o w l e d g eo fi n f o r m a t i o ns y s t e m c l a s s i c a lp a w l a kr o u g hs e t sa r es t a t i c s - r o u g hs e t sa r es u p p l e m e n t so ft h e p a w l a kr o u g hs e t s t h e yp r o v i dt h et h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h em e t h o do fd e a l i n gw i t h t h ed y n a m i cp r o b l e m sb yt h er o u g hs e t s t h er o u g hf u r ys e t sh a v es t a t i c c h a r a c t e r i s t i ca l s o t h es - r o u g hf u z z ys e t st h e o r yb a s e do nt h et h e o r yo ft h es - r o u g h s e t s ，p r o v i d eat h e o r e t i c a lb a s i si nh a n d l i n go fi m p r e c i s ek n o w l e d g ei nt h ed y n a m i c s y s t e m t h er e s u l t so ft h e s es t u d i e sa l et h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no ft h es t u d yo f c h a p t e r3o ft h i sa r t i c l e t h er o u g hs e t st h e o r yi sb a s e do nt h ei n d i s t i n g u i s h a b i l i t yo fk n o w l e d g e t h e d i f f e r e n te l e m e n t sc a nn o tb ed i s t i n g u i s h e di nt h es a m ee q u i v a l e n c ec l a s s w h e nt h e r o u g hs e t sm o d e li sc o m p o s e do ff u z z yk n o w l e d g e ，t h ed i f f e r e n te l e m e n t sb e l o n gt o d i f f e r e n td e g r e e si nt h es a m ee q u i v a l e n c ec l a s s t h e nt h es t u d yo ft h el a wo ft h e e l e m e n t sb yt h eu s eo ft h ee q u i v a l e n c ec l a s s e s ，b o u n dt ot h ee x i s t e n c eo fe r r o r t h e y a r et h eb a s i so fr e s e a r c hi nr e a l o ft h ec h a p t e r3o ft h i sa r t i c l e i nt h er o u g hs e t st h e o r y , t h ed o m a i no fe l e m e n t sc o r r e s p o n dt ot h ed o m a i no f a t t r i b u t e s t h ee l e m e n t se q u i v a l e n c ec l a s s e sc o r r e s p o n dt ot h ea t t r i b u t e se q u i v a l e n c e c l a s s e s t h e r ee x i s td u a l i t yp r i n c i p l eb e t w e e nt h ev a r i a t i o no fs r o u g hs e t sa n dt h e s - r o u g hs e t s t h i st h e o r yi sa p p l i e dt ot h er e s e a r c ho fd a t am i n i n g i tp r o v i d ea l i l 山东大学硕士学位论文 t h e o r e t i c a lb a s i so ff m d i n gt h ed a t an e e d e di nt h el a r g ed a t a b a s e t h e r e f o r e ，b a s e do n t h e s es t u d i e s w em a k eas t u d yo ft h em o d e lo ft h ev a r i a t i o no fs - r o u g hf u z z ys e t si n t h ec h a p t e r4o ft h i sa r t i c l e i nt h i sp a p e r , i tc o m p o s e do ft h ef o l l o w i n gw o r k sm a i n l y ： 1 s t u d i e sf o c u so nt h el a wo ft h ec h a n g e so ft h ed e g r e e so fe l e m e n t si nt h e s - r o u g hf u z z ys e t s a n do nt h i sb a s i s ，i td e s c r i b e st h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h ed e g r e e s o ft h ed i f f e r e n te l e m e n t s ，t h a tt h e yb e l o n gt ot h es a m ee q u i v a l e n c ec l a s si nt h ef u z z y s e t s ，b yt h ed e f i n i t i o no ft h ef u n c t i o no fd i f f e r e n td e g r e e s ；a n ds t u d i e st h el a wo ft h e c h a n g e so ft h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h ed e g r e e so fd i f f e r e n te l e m e n t si nt h es - r o u g h f u z z ys e t s ；t h r o u g ht h ed e f i n i t i o no ft h e 鲥dp r o x i m a t el e v e lo ft h er o u g hf u z z ys e t s ， i ts t u d i e st h el a wo fc h a n g e so ft h e 鲥dp r o x i m a t el e v e li nt h es - r o u g hf u z z ys e t s ； s t u d i e sf o c u so nt h el a wo ft h ec h a n g e so ft h ed i f f e r e n c e so ft h ed e g r e e so fd i f f e r e n t e l e m e n t si nt h ef - - g e n e t i ca n df g e n e t i co fv a r i o u sb a n d so ft h ee q u i v a l e n c e c l a s s e si nt h es - r o u g hf u z z ys e t s ；o nt h eb a s i so fa h e a dw o k , t h r o u g ht h er e s e a r c ho f t h el a wo ft h ec h a n g e so ft h ed e g r e e so fe l e m e n t s ，t h a tt 1 1 e yb e l o n gt ot h es a m e e q u i v a l e n c ec l a s s ，i nt h ef g e n e t i ca n df g e n e t i co fv a r i o u sb a n d si nt h es - r o u g h f u z z ys e t s ，i tg i v e st h ed e f i n i t i o no ft h eo p t i m a lo r d e rf - g e n e t i ca n df g e n e t i c a b o u tt h eg i v e nd i f f e r e n c e o nt h eb a s i so ft h e r et h e o r i e s ，y o uc a nc a r r yo u tt h e p u r p o s eo fc o n t r o l l i n gt h eb a n d so ft h eg e n e t i c ，a n ds t u d i e dt h el a wo fc h a n g e so ft h e 嘶dp r o x i m a t el e v e lb e t w e e no ft h ef g e n e t i ca n df - g e n e t i ca n dt h eo r i g i n a l s - r o u g hf u z z ys e t s 2 o nt h eb a s i so ft h es t u d i e so ft h eo n ed i r e c t i o n v a r i a t i o no fs - r o u g hf u z z ys e t s ， i tg i v e st h ed u a lo fo n ed i r e c t i o n v a r i a t i o no fs r o u g hf u z z ys e t sa n dt h et w od i r e c t i o n v a r i a t i o no fs - r o u g hs e t s ，a n ds t u d i e st h er e l a t i o n s h i po ft h et h r e ea n dt h ev a r i a t i o no f r o u g hf u z z ys e t s ；i td e f m e st h ee q u a lr e l a t i o n s ，t h ei n c l u s i o n ，a n dt h ec a l c u l a t i o no f a d d i n ga n ds u b t r a c t i o no ft w od i r e c t i o nv a r i a t i o no fs - r o u g hs e t s ，a n ds t u d i e si t s f e a t u r e s k e y w o r d ss - r o u g hf u z z ys e t s ；f u n c t i o no fd i f f e r e n td e g r e e s ；f g e n e t i c ；f - g e n e t i c ； t w od i r e c t i o n v a r i a t i o no fs - r o u g hs e t s i v 山东大学硕士学位论文 u 足 x b 】 睁】 足( x ) r 一( x ) l f f x x t x x m 刍) m 刍厕 【x 巧 t x g ( v 二，厶；) ( v ；，；) ( v ；，刍) ( v ；，；) c a r d ( a ) g r d ( 石 ) 彳曰 j n 云 么u 曰 v a 符号说明 有限元素论域 元素等价关系 ( ，上的集合 元素等价类 口一属性等价类 x 的下近似 x 的上近似 元素迁移 元素迁移族 u 上的单向奇异集合 u 上的单向奇异集合对偶 u 上的双向奇异集合 【，上的模糊集 等价类缸】的五阶一遗传 等价类【x 】的名阶歹一遗传 等价类 石】的一遗传基因 等价类m 的歹一遗传基因 ( v ，) 的彳阶，- 遗传 ( v ，) 的名阶f 一遗传基因 ( v 乒，户) 的名阶，一遗传 ( v 尹，乒) 的旯阶f 一遗传基因 属性集a 的基数 等价类 x 】的粒度 模糊集j 包含于模糊集雪 模糊集匀和模糊集雪的交 模糊集彳和模糊集古的并 取上确界 取下确界 v 山东大学硕士学位论文 彳 b 彳o b 黝的划分 2 2z p a w l a k 粗集【7 - 8 】 1 9 8 2 年波兰数学家z p a w l a k 教授提出粗集概念给出粗集的一般数学结 构 u 是一个有限元素集合，x 是u 上的元素集合，xc 2u ，r 是u 上的元素 等价关系， x 是r 一元素等价类； 称足( x ) 是集合xcu 的下近似，而且 足( x ) = u x 】= 缸l x u ，i x 】x ( 2 2 1 ) 称r 一( x ) 是集合xcu 的上近似，而且 r 一( x ) = u x 】= 扛l x l n x a ) ( 2 2 2 ) 由足( x ) ，r 一( x ) 构成的集合对，称作xcu 的r 一粗集，简称xcu 的粗集，而 且 ( 足( 工) ，r 一( ) ( 2 2 3 ) 定理2 2 1 给定集合x ，y c u ，足( x ) ，r 一( x ) 分别是x c u 的下近似，上 近似，足( y ) ，r 一( y ) 分别是x c u 的下近似，上近似，则有 ( 1 ) 足( 的s x r 一( z ) ；( 2 2 4 ) ( 2 ) r 一( x u y ) = r 一( x ) u r 一( d ；( 2 2 5 ) ( 3 ) 足( x u y ) 2 足( 石) u 足( y ) ；( 2 2 6 ) ( 4 ) 足( x ny ) = 足( 石) n 足( y ) ；( 2 2 7 ) ( 5 ) r 一( x n y ) r 一( x ) n r 一( 聊；( 2 2 8 ) ( 7 ) z y j 足( x ) 足( 】，) ；( 2 2 9 ) ( 8 ) z y r 一( x ) 互r 一( y ) ( 2 2 1 0 ) 山东大学硕士学位论文 2 3s 粗集【1 7 2 1 】 在z p a w l a k 粗集中蕴含着这样的事实：元素xcu 给定元素等价关系r 给定，则x c u 的下近似足( x ) 确定，上近似r 一( x ) 确定显然z p a w l a k 粗集 是一个具有静态特性集合x c u 的粗集，这一特性限制了z p a w l a k 粗集的广 泛使用史开泉教授于2 0 0 2 年改进了z p a w l a k 粗集，提出s - 粗集( s i n g u l a rr o u g h s e t s ) ，s 一粗集具有三类形式：单向s 粗集( o n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) ，单向s 粗集 对偶( d u a lo fo n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) ，双向s 一粗集( t w od i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) s 粗集是本文给出的研究所依赖的理论基础 2 3 1 元素迁移与元素迁移歹概念 一 定义2 3 1 设x = “，x 2 ，x m ) cu 是元素集合，a = p l ，a 2 ，嚷) cv 是 x 的属性集，y = y i ，y 2 ，o9 y 。) 是x 的特征值集合，称【口，纠是】，生成的特征值 区间，而且 口2 呀) ，b 2 学( 乃) ，y l , y j 尺+ ( 2 3 1 ) 对于元素u ，乏x ；显然的特征值蚱毛【口，6 】；如果存在变换厂，使 得厂o p ) 【口，6 】，则有z ；变换厂称作元素迁移，它用下面的式子表示： u ，萑x = ，f ( x p ) x ( 2 3 2 ) 显然x = “，x 2 ，) c “，x 2 ，而，厂( ) ) = x u 矿( ) ) 定义2 3 2m 个元素迁移z 构成的集合，f 称作元素迁移族，而且 f = 坼， ，厶) 把定义2 1 3 ，2 1 4 的概念应用到属性集a = ，口：， 中，则有属性迁移 ，它用下面的式子表示： 3 p , v ，局乏a = 厂( 层) = 耐a ( 2 3 3 ) 显然有：缸。，口：，) c 缸。，口2 ，口i ，厂( f l , ) ) aca u ( 局) ) 定义2 3 3 设x = x l ，x 2 ，x 。) c u 是元素集合，a = 缸l ，口2 ，) c r 是x 的属性集合，y = y ，y ：，y 。) 是x 的特征值集合，称【口，纠是】，生成的特 征值区间，而且 口2 曾( 以) ，b = 1 臀( 乃) ，y i ，y ，r + ( 2 3 4 ) 对于元素而x ，如果存在变换歹户，使得歹( 儿) 可口，6 】，则有舌x ；变 换7 户称作元素迁移，它用下面的式子表示： 9 山东大学硕士学位论文 为xjf ( x , t ) = 萑x ( 2 3 5 ) 这里：y 五是以的特征值，j ，a r + 显然有x 一 歹( 而) ) = x 歹( 屯) ) c x 定义2 3 4 胛个元素迁移z 构成的集合户，户称作元素迁移族，而且 f = “，五，) 把定义2 1 5 ，2 1 6 的概念应用到属性集a = 口。，口：， 中，则有属性迁移 尹，它用下面的式子表示： 3 5 , a = f ( a t ) = 屈舌a ( 2 3 6 ) 显然有：慨，o f 2 ，c r k - 扩( ) = a 矿( q ) ) c a 2 3 2 单向s - 粗集 约定u 是有限元素论域，【x 】是u 上的鼹元素等价类；矿是【厂对应的一个有 限属性论域，f = ，以，厶) ，f = 饭，z ，z ) 是元素迁移族，= f u p 定义2 3 5 称rc u 是u 上的一个单向奇异集合( o n ed i r e c t i o ns i n g u l a rs e t s ) ， 简称单向s 集合如果 x 。= x u “l “u ，u 乏x ，厂( ”) = z x ) ( 2 3 7 ) 称z ，是x c u 的厂一扩张，如果 x j = “lu u ，“ix ，厂( “) = x x ( 2 3 8 ) 这里：x 是p a w l a k 粗糙集( 足( x ) ，r 一( x ) ) 中的集合，xcu 显然：c a r d ( x ) 中的属性q 的依次被删 除，f = i ，2 ，t ，t ， ( 2 6 7 ) 称互为j 的a 截集，而名称为置信水平 互是由论域u 中对模糊集合j 的隶属度达到或超过彳的元素构成的集合， 因此么，是u 中的经典集合 定理2 6 2 设j ( ，则 ( i ) 4 = u ； ( 2 ) v a ，如【o ，1 】且a 五，以以 定理2 6 3 设互雪) ，名 o ，l 】，则 ( 1 ) ( 么u b ) 。= 鸣u 岛； ( 2 ) ( 么n b ) 五= 4n 岛 2 6 3 模糊集合之间的格贴近度 ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) ( 2 6 1 0 ) ( 2 5 11 ) 度量两个模糊集合关系密切程度可以用两者之间的距离来描述，即距离越 大，关系越稀疏；而距离越小关系则越密切然而当论域的元素较多时，用距离 来描述，其工作量往往比较大因此，我国学者汪培庄等人提出了格贴近度的概 念，用来刻画两个模糊集合之间的贴近程度 定义2 6 4 设u 为论域，j ，b 。( u ) ，则 ( 1 ) 称j o 雪= v 。，( 五 ) 雪( “) ) 为j 与雪的内积 ( 2 ) 称j o 雪= a ，( 五 ) v 雪 ) ) 为j 与雪的外积 定义2 6 5 设五，台矿( ，记 ( 么，b = ( 彳o b ) a ( a o b ) 7 ，( 2 6 1 2 ) 山东大学硕士学位论文 称( 匀，云 为j 与雪的格贴近度，当( j ，雪 越大时，说明五与雪越贴近 2 7 粗模糊集合理论【3 明 在p a w l a k 粗糙集模型中，论域u 上任意一个经典集合x 不一定能用知识库 ，r ) 中的知识来精确地描述，这时就用x 关于缈，灭) 的一对上下近似来描述 但在实际生活中，人们涉及到得知识和概念往往是模糊的不确定的，即j 是u 上的一个模糊集合，那么就用x 关于( u ，r ) 的粗模糊集来描述 定义2 7 1u 是一个有限元素集合，j 是u 上的一个模糊集，贾c u ，r 是 u 上的元素等价关系， 明是尺- 元素等价类； 称模糊集r _ c y o 是集合j 的下近似，如果存在关于足( j ) 的隶属函数 足( x ) ( 力= 全，x ( j ，) ( 2 7 1 ) ，c l j j 称模糊集r 一( 碧) 是集合贾的上近似，如果存在关于尺一( j ) 的隶属函数 r 一( x ) ( 力= v ，x ( y ) ( 2 7 2 ) y t l x j 由足( 两，r 一( 膏) 构成的集合对，称作j 的r 粗模糊集，简称j 的粗模糊集，而 且 ( 足( 两，r - ( j ) ) ( 2 7 3 ) 2 1 山东大学硕士学位论文 第3 章s 粗模糊集与它的遗传 粗糙集理论和模糊集理论都是研究信息系统中知识的不完整性，不确定性 问题，二者在处理不完全数据方哂可以互为补充 z p a w l a k 的粗集理论是建立在等价类的基础之上的主要是利用已知知识 库将不完整或不确定的知识来近似刻画【3 5 】p a w l a k 粗集的一个局限是各种粗糙 集所涉及的概念和知识都是清晰的，即所有的集合都是经典集合，然而人们在实 际生活中，涉及更多的是模糊概念和模糊知识，为此，d d u b o i s 和h p r a d e 在 3 9 】 中提出了粗模糊集在粗糙集模型中主要有两类，一类是知识库的知识是清晰的， 而被近似的概念是模糊的，另一类是知识库的知识和被近似的概念都是模糊的， 本章的主要研究对象是后者【1 2 j z p a w l a k 的粗集理论是以尺一元素等价类 x 】定义的，r 是u 上的元素等价关 系，又称为不可分辨关系属于同一等价类的不同元素关于它们被划分为同一 等价类所根据的属性，是不可分辨的所以在实际研究中，对一个等价类中的某 一个元素的研究可以代表对这个等价类中所有元素的研究但是，即使是属于同 一等价类的元素，从它们不可分辨关系之外的角度来看，它们依然是有区别的， 所以利用等价类来进行数据研究时，可能会存在误差比如，从元素所具有的某 一模糊属性来看，即使是属于同一等价类的元素，它们的隶属度也不一定是完全 一样的所以当我们根据等价类来研究数据时，自然要考虑同一等价类中元素间 的不同所导致的误差 对于一个模糊集合j ，论域中的元素对它的上近似r 一( j ) 的隶属度，表达 这个元素所在的等价类中所有元素对贾的隶属度的最大值：对它的下近似 足( j ) 的隶属度，表达这个元素所在的等价类中所有元素对j 的隶属度的最小 值；而一个元素对r - ( j ) 的隶属度和对足( j ) 的隶属度的差，表达的是这个元素 所在的等价类中所有元素隶属度之间的最大差别 2 0 0 2 年史开泉教授提出的s 粗集理论，研究具有动态特征的集合的粗集 而我们已有的粗模糊集也是具有静态特征的模糊集j 的粗模糊集所以我们在 s 粗集理论基础上来研究具有动态特征的模糊集的粗模糊集 本章的主要内容是讨论模糊集的同一等价类中不同元素之间隶属度的差别， 动态变化的模糊集的同一等价类中元素隶属度的差别的变化规律，以及经过动 山东大学硕士学位论文 态变化后新的粗模糊集和原有粗模糊集之间的格贴近程度 此外具有遗传性的s 粗集，是s 粗集的一种特殊动态变化情况，所以我们在 已有的s 一粗模糊集的研究基础上进一步研究具有遗传性的s 粗模糊集，讨论s 粗模糊集的等价类的各阶厂一遗传，尹遗传知识的模糊属性变化的规律，s 粗模 糊集的f 遗传，f 遗传的模糊属性变化的规律，以及各阶f 遗传，f 遗传和s 粗模糊集的格贴近度的变化规律并在这些研究的基础上，反过来有目的的控制 遗传阶 3 1s 粗模糊集 约定u 是非空有限论域。r 是u 上的一个二元等价关系，j 是u 上的一个 模糊集合，j 的隶属函数为矛 如：篡( 曲 ( 3 1 1 ) 如：xh 哥( 曲 l j 其中矛( 力也可以记作j ( x ) ，o j ( x ) l ，e 于x e u ，x 对j 的隶属度是j ( x ) 其中，当工正j 时，j ( 功= 0 ，当x j 时，碧( 力 0 【x 】膏表示在模糊集贾中，x 所在的等价类，在不会混淆时记作 明 定义3 1 1 【3 9 】称模糊集足( 两是贾的下近似，如果存在足( 贾) 的隶属函数 足( x ) ( 砖= a 一x ( y ) ( 3 1 2 ) y e l x 称模糊集r 一( 贾) 是j 的上近似，如果存在只一( j ) 的隶属函数 r 一( x ) ( x ) = y 、x ( y ) ( 3 1 3 ) 那么模糊集合对( 足( j ) ，r 。( 扔) 称为j 的粗模糊集而且 ( 足。( 贾) ，r 一( j ) ) ( 3 1 。4 ) 定义3 1 2 【4 0 - 4 hj 是u 上的一个模糊集合，f = 石，五，厶 是定义在u 上 的元素迁移族，称模糊集贾“是论域u 上模糊集j 的单向s 模糊集，如果 牙= 2 u u i u u ，u 甓j ，j 厂f ， ) = x j ) ，月存在关于j 的隶属函数 x 。( 功= ( x ( 厂( x ) ) ) ( 3 1 5 ) 称模糊集( j r ，f ) ，( j ) 是单向s 一模糊集j “的下近似，如果存在关于( r ，f ) ( 碧。) 的 隶属函数 ( r ，f ) ( x ) ( x ) 2 篇；( 善x ( ( y ) ) ) ( 3 1 6 ) 阍j i ，e ， 山东大学硕士学位论文 称模糊集( r ，f ) ( j ) 是单向模糊集2 ”的上近似，如果存在关于( 尺，f ) ( j ) 的隶 属函数 ( r ，f ) ( x ) ( 石) _ ，蔷( 善x ( 厂( y ) ) ) ( 3 l 7 ) y 日工1 ，e ， 那么模糊集合对( ( r ，f ) ，( 贾。) ，( r ，f ) 3 ( 贾。) ) 称为贾的单向s 粗模糊集，也即碧。的 粗模糊集而且 ( ( r ，f ) 。( j ) ，俾，) ( 耍。) ) ( 3 1 8 ) 定义3 1 3j 是u 上的一个模糊集合，f = 顶，五，五) 是定义在u 上的元 素迁移族，称模糊集牙是论域【，上模糊集贾的单向s 模糊集对偶，如果 贾= 耍一扛i x e x ，3 f 一f 一，7 ( 力= “萑j ，且存在关于贾的隶属函数 x 7 ( x ) = 念僻( 厂( x ) ) ) ( 3 1 9 ) 称模糊集俾，户) 。( 碧) 是单向s 模糊集对偶j 的下近似，如果存在关于 ( r ，户) 。( 贾) 的隶属函数 ( r ，f ) 。( x ) ( 功= 企( x ( 厂( y ) ) ) ( 3 1 1 0 ) y e l x l 扣，e ， 称模糊集( r ，f ) 。( 膏) 是单向s 模糊集对偶贾的上近似，如果存在关于 ( r ，f ) 。( j 7 ) 的隶属函数 ( r ，f ) 。( x ) ( x ) = 州v 一( 念x ( 厂( y ) ) ) ( 3 l 1 1 ) v 捌j i 函，e ， 那么模糊集合对( ( r ，户) 。( j ) ，( r ，局( 膏) ) 称为贾的单向s 粗模糊集对偶也即 p 的粗模糊集而且 ( ( r ，f ) 。( x ) ，( r ，f ) 。( x ) ) ( 3 1 1 2 ) 说明集合x ，= 伽ii , g 叠x ，u u ，3 f f ，f ( u ) = x x ) 中，对于u x ，有 j 。似) = j ( 厂 ) ) ，其中 ) = x 表示元素“经过元素迁移族的作用，迁移到 等f f r 类 x 中，“经过迁移后，对j 的隶属度增加，但j 似) 不一定等于宕( 砷也 即霄( 功，其中对于x j ，贾。( x ) = j ( 功= j 。( 厂( x ) ) = 贾( 厂( x ) ) 定理3 1 1 若f = a ，则j = 耍；若户= f 2 j ，则j = j 定理3 1 2 若x ，y 是属于同一等价类的两个元素，则 足( x ) ( x ) = 足( x ) ( y ) ，r r 一( x ) ( 功= r 一( x ) ( y ) ( 3 1 1 3 ) 定理3 1 3 设模糊集合j ，j “，贾7 ，则 山东大学硕士学位论文 x x x ( 3 1 1 4 ) 证明对于x e u ，显然贾( 7 ( x ) ) 贾( 功j ( 厂( x ) ) ，所以念( j ( 7 ( x ) ) ) j ( 功芯( j ( 厂( x ) ) ) ，也即j ( x ) j ( x ) j ( x ) ，所以j 7 2 c _ 2 6 定理3 1 4 若名【o ，1 】，则 ( j ) 。s ( j ) a ( 贾。) 五 ( 3 1 1 5 ) 证明假设x ( j ) 工，那么贾( 功名，由定理3 1 2 可知膏4 ( 曲j ( 曲名，所 以x ( j 。) 五，所以( 贾) 。( 贾。) 五同理可证( j ) _ ( j ) a 所以( j ) _ ( j ) ( 贾。) - 定理3 1 5 设模糊集合霄，j 。，牙，若x 僻局，两，c a ( r , a 口) 足， 而。焖厅圆；若x 足西，则( r ，d 。( 常) 足( 两，( r ，f ) 。( j 。) ( 力 r 一( 碧) ( 功 证明x 俾，f ) 。( x ) 时，防】驴g 【x 】童，( r ，f ) 。( j ) ( x ) = ，a ，x 似) ，足( x ) ( 功 一 一 茸川； = 人- 膏 ) ，俾，户) 。( j ) ( x ) = v - j 0 ) ，f ( 为( 功= v - 施) ，因为a j ( x ) u c x l 矛u e l x 一u e t x i ru q x l a 一一j ( x ) ，所以( r ，f ) ( j ) ( x ) 疋( j ) o ) 因为v - j ) y j ) ，所以 u e x l i f u 白i x l u e x l k ( 足f ) 。( j ) ( x ) r - ( j ) ( x ) 所以x ( r ，) 。( 贾) 时，职，户) 。( 贾) ( x ) 足( j ) ( x ) ， ( r ，户) 。( j ) ( x ) r - ( 贾) ( x ) 同理可证x 见( j ) ，( r ，f ) 。( j 。) ( x ) 疋( j ) ( x ) ， ( r ，f ) 。( j 。) ( x ) r 一( 碧) ( x ) 定理3 1 6 ( 只，户) 。( j ) r 一( 两s ( 尺，) 。( j 。) ( 3 1 1 6 ) 证明显然俾，户) 。( x 3 r 一( 抑俾，) 。( x ) ，且对于x 俾，户) 。( x ) ，有 【x 】p 【x k ，而且有( r ，f ) 、( x ) ( 功2 ，z bx ( j ，) 2y 。沲，念x ( 厂( p ) ，r 一( x ) ( 功2 x2 0 ) ，于是( r ，户) ( x ) ( x ) r 一( 两( 功，当x 萑( 足而“( r ) ，那么( 足而( r x 功= o ， 且r 一( j ) ( x ) 0 ，于是( r ，户) ( x 7 ) ( x ) r 一( j ) ( x ) 所以( r ，f ) 1 ( j ) r - ( 碧) 同 理可证r 一( 碧) 冬( r ，f ) ( j “) 所以( 尺，户) ：( j ) r 一( j ) ( 冠，) 。( j ) 定理3 1 7 若五【o ，1 】，则 ( ( 足，户) ；( j 7 ) ) 。( r 一( 碧) ) ，( ( 尺，f ) 。( 启。) ) ，( 3 1 1 7 ) 山东大学硕士学位论文 定理3 1 7 的证明方法和定理3 1 4 的证明方法相同 3 2s 模糊集的差异隶属函数 定义3 2 1 设u 是非空有限论域，r 是【厂上的一个二元等价关系，j 是u 上 的一个模糊集合，( 足( 贾) ，r 一( j ) ) 是j 的粗模糊集，称毫是耍的差异模糊集， 如果以= x ，且存在关于丘的隶属函数 吮( x ) = r 一( x ) ( x ) 一足( x )