（系统理论专业论文）模糊近似空间上模糊集的粗糙集及其粗糙度.pdf

摘要 目前，对粗糙集理论研究主要集中在其数学性质、粗糙集模型的推广、与其它不 确定方法的关系和互补、以及有效算法等方面。在粗糙集理论与其它处理模糊性或不 确定性方法之间关系的研究中，主要讨论它与模糊集理论、d e m p s t e r s h a r e r ( d - s ) 证 据理论、概率论和信息论等的关系和互补。 粗糙集与模糊集都是处理模糊性和不确定性的数学工具，二者是互为补充的，而 不是相互排斥的。1 9 9 0 年，d u b o i s 等指出两种理论是处理两种不确定性( 模糊性和 粗糙性) 的不同的数学方法，并提出了模糊粗糙集和粗糙模糊集的数学模型。1 9 9 2 年，s n a n d a s m a j u m d a r 研究了格上的模糊粗糙集，并证明了其幂等律、交换律、 结合律、分配律、对偶律( d em o r g a n 律) 。1 9 9 6 年，b a n e r j e e p a l s k 在近似空 问定义了模糊集的粗糙集，即粗糙模糊集，并给出了粗糙度的概念。2 0 0 1 年，程哄、 莫智文给出了模糊粗糙集和粗糙模糊集的模糊度，以及模糊粗糙集的分解定理和表现 定理。后来，张文修等人把粗糙模糊集扩展为三角模的粗糙模糊集，刘贵龙又把它扩 展为模糊近似空问上的粗糙模糊集。 但是，在刘贵龙定义的粗糙模糊集中，对于下近似只给出了截集的定义 ( 剧) 。= f x uf 了 。a 。】；上近似也仅给出了计算隶属度的定义( r a ) ( x ) = vr ( x ，y ) a a ( y ) ，这是他的不足之处。基于此，本文重新定义了模糊近似空怕j 上模 y e l l 糊集的上下近似，得到了模糊近似空间上粗糙模糊集的另一种推广，并紧接着给出了 模糊近似空间上模糊集的粗糙度概念，讨论了相关性质。 ， 而对于张文修等人给出的基于三角模的粗糙模糊集模型中，用他们定义的模糊t 上下近似，在证明相关性质时极为烦琐复杂。于是，文章定义了基于丑一截集的模糊 t 上下近似，极大的简化了问题的证明，还进一步把粗糙度概念推广到了模糊t 似空 问上，讨论了其性质。 最后是结束语，对模糊近似空间上的下近似算子进行了比较，并指出了以后的研 究方向。 关键词：粗糙模糊集；模糊近似空间；模糊t 近似空间i 截集；上、下近似；粗糙度 a b s t r a c t a tp r e s e n t ，t h er e s e a r c ho fr o u g hs e tt h e o r yf o c u s e so ni t sm a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s 、e x t e n s i o no fr o u g hs e tm o d e l 、c o n n e c t i o na n dc o m p l e m e n t a r i t yw i t h o t h e ru n c e r t a i n t y m e t h o d s 、s i g n i f i c a n ta l g o r i t h me t c i nt h es t u d yo f r e l a t i o n sb e t w e e nr o u g hs e tt h e o r ya n do t h e rm e t h o d st op r o c e e da m b i g u it ya n d u n c e r t a i n t y ，w em a i n l yd i s c u s st h er e l a t i o na n dc o m p l e m e n t a r i t yw i t hf u z z y t h e o r y 、d e m p s t e r s h a f e rt h e o r y 、p r o b a b i l i t yt h e o r ya n di n f o r m a t i o nt h e o r y b o t hr o u g hs e ta n df u z z ys e ta r em a t h e m a t i c a lt o o l t od e a lw i t ha m b i g u i t y a n du n c e r t a i n t y ，t h e yn o te x c l u d eb u tc o m p l e m e n te a c ho t h e r i n1 9 9 0 ，d u b o i s p o i n t e do u tt h a tt h e s et w ot h e o r i e sa r ed i f f e r e n tm a t h e m a t i c a lm e t h o d si n h a n d l i n gt w ou n c e r t a i n t y ( a m b i g u i t ya n dr o u g h ) ，a n dh ep u tf o r w a r dt w ok i n d s o fm a t h e m a t i c a lm o d e lo ff u z z yr o u g hs e ta n dr o u g hf u z z ys e t i n1 9 9 2 ，s n a n d a a n ds m a j u m d a rd i s c u s s e dt h ef u z z yr o u g hs e ti nl a t t i c ea n dp r o v e di t ss y m m e t r i cp o w e r l a w 、c o m m u t a t i v el a w 、a s s o c i a t i v el a w 、d i s t r i b u u o nl a w 、d em o r g a nl a w i n1 9 9 6 ，b a n e r j e ea n d p a w s kg a v et h er o u g hs o to ff u z z ys e ti na p p r o x i m a t i o ns p a c e ，i e r o u g hf u z z ys e t ，a n d i n t r o d u c e dt h en o t i o no fr o u g l l n e s s c h e n g y ia n dm oz h i w e ns t u d i e dt h ef u z z yd e g r e eo f f u z z yr o u g hs e ta n dr o u g hf u z z ys e t ，a n dd e c o m p o s i t i o nt h e o r e ma n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m o f f u z z yr o u g hs e ti n2 0 0 1 a f t e r w a r d s ，z h a n gw e n x i ue x t e n d e dt h er o u g hf u z z ys e tt or o u g h f u z z ys e to ft r i a n g l em o u l d a n dl i ug u i l o n ge x t e n d e di tt or o u g hf u z z ys e to nt h ef u z z y a p p r o x i m a t i o ns p a c e f h o w e r e ，i nt h er o u g hf u z z ys e ti n t r o d u c e db yl i ug u i l o n g ，h eo n l y g a v et h ed e f i n i t i o no f l o w e ra p p r o x i m a t i o n ( r _ x ) l = x e ui x 月a ，w h i c hi sb a s e do nc u ts e t ，a n d u p p e ra p p r o x i m a t i o n ( r a ) ( x ) = vr ( x ，y ) a a ( y ) ，w h i c hc a l c u l a t e ss u b o r d i n a t i o n y e t d e g r e e t h i sish i ss h o r t c o m i n g o nt h eb a s i so ft h i s ，w eg i v et h et h e1 0 w e ra n d u p p e ra p p r o x i m a t i o no ff u z z ys e to nt h ef u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c ea g a i ni n t h i sp a p e r ，a n do b t a i na n o t h e rk i n do fe x t e n s i o no fr o u g hf u z z ys e to nt h ef u z z y a p p r o x i m a t i o ns p a c e f o l l o w i n g c l o s eb e h i n d ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f r o u g h n e s so l l t h ef u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c ea n dd i s c u s si t sp r o p e r t i e s f u r t h e r m o r e ，f o rt h er o u g hf u z z ys e tm o d e lb a s e do nt r i a n g l em o u l dg i v e d b yz h a n gw e n x i u ，i t isv e r yc o m p l e xi np r o v i n gr e l a t i o n a lp r o p e r t i e su s i n g t h e i rd e f i n i t i o no ff u z z ytl o w e ra n du p p e ra p p r o x i m a t i o n h e n c e ，w eg i v et h e d e f i n i t i o no ff u z z ytl o w e ra n du p p e ra p p r o x i m a t i o nb a s e do n 五一c u ts e t ，a n d i ts i m p l i f i e st h ep r o o f m o r e o v e r ，t h en o t i o no fr o u g h n e s si se x t e n d e dt of u z z y ta p p r o x i m a t i o ns p a c ea n di t sp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d i nt h ee n d ，w ec o m p a r et h ed i f f e r e n td e f i n i t i o n so ft h el o w e ra p p r o x i m a t i o n o p e r a t o ro nt h ea p p r o x i m a t i o ns p a c e ，a n dp o i n to u tt h er e s e a r c hd i r e c t i o n s k e yw o r d s ：r o u g hf u z z ys e t ：f u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c e ：f u z z yta p p r o x i m a t i o ns p a c e ：o u ts e t ：l o w e ra n du p p e ra p p r o x i m a t i n ；r o u g h n e s s 前言 褪糙集理论是2 0 世纪8 0 年代初由波兰数学家z p a w l a k i ”1 首先提出的处理不确定 性知识的数学理论，经过2 0 多年的研究和发展，已经在理论和实际应用中取得了长 足进展，比如在知识发现、数据挖掘、模式识别、决策分析等方面和领域p 】f ”】l 圳f 4 ”。 并且从粗糙集的p a w l a k 代数系统的建立过程中，人们渐渐地应用粗糙集的方法和背 景，为纯代数的研究丌创了新思路，例如粗糙子群、半群中的粗理想等】。模糊集理 论是美国计算机与控制专家l a 2 a d e h t q 于1 9 6 5 年提出的刻划模糊现象或模糊概念 的数学理论。目前，以模糊推理为核心的人工智能技术在许多领域取得了明显的成果 和经济效益。 粗糙集和粗糙集理论都是处理模糊性和不确定性的数学工具，二者之间有一些重 叠，但不能相互替代。在粗糙集理论中，模糊性是集合( 概念) 的性质，它是由集合 的边界区域引起的；而不确定性是集合元素的性质，它与粗糙隶属函数有关。模糊集 理论是采用隶属函数来处理模糊性，而基本的隶属度是凭经验或由专家给出，所以具 有相当的主观性。而粗糙集理论采用概念的上下近似来处理模糊性，无需任何先验信 息，完全由数据决定，更具客观性。鉴于两种理论之间的互补性，很自然的想到把二 者结合起来，这便形成了粗糙模糊集和模糊粗糙集。目阿，有关此类的研究已有文章 出现。 本文在目前粗糙集和模糊集理论研究的基础上，继续研究了模糊近似空问上模糊 集的粗糙集( 即粗糙模糊集) ，同时给出了模糊近似空间上粗糙度的定义和性质。其 次，在模糊t 近似空问上，用五一截集重新刻划了三角模的模糊t 上下近似，简化了 有关粗糙模糊集性质的证明，并在此空间上，引入了粗糙度的概念。最后是结束语， 对模糊近似空问上的下近似算予进行了比较，并指出了以后的研究方向。 本文的写作得到了导师张振良教授的悉心指导和帮助，特此谨致衷心感谢! 鉴于作者现有的水平和能力，加之自身知识的局限性，本文不妥与不完善之处在 所难免，敬请各位老师不吝斧f ! 昆明理工大学学位论文原创性声明 v6 6 9 3 9 4 3 l 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：擞 日期：卅嚼年尹月刀日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：j 壑亟室论文作者签名 日期 丝亟生仝月翌旦 第一章绪论 1 1 粗糙集理论概述 1 1 1 糙集理论的研究概况 糯糙集理论是1 9 8 2 年由波兰数学家z p a w l a k i ”1 首先提出的一个分析数据的数学 理论。在分类的意义下，这个理论定义了模糊性和不确定性的概念。由于最初的研究 大多是用波兰文发表的，因此，这项研究当时并未引起国际计算机学界和数学界的重 视，研究地域局限在东欧各国。直到1 9 9 0 年前后，由于该理论在数据的决策与分析、 模式识别、机器学习与知识发现舻”1 1 4 1 1 等方面的成功应用，才引起了世界各国学者 的广泛关注。目前，粗糙集理论已成为信息科学最为活跃的研究领域之一；同时，该 理论还在医学、化学、材料学、地理学、管理科学和金融等其它学科得n t 成功的应 用1 3 8 j 。 籽糙集理论是建立在分类机制的基础之上的，它将分类理解为特定空间上的等价 关系，而这些等价关系构成了对特定空间的划分。粗糙集理论将等价关系对空间的划 分与知识等同，即将知识理解为对数据的划分，每一被划分的集合称为概念。粗糙集 理论的主要思想是利用已知的数据库，将不精确或不确定的知识用已知的知识库中的 知识来近似刻划 3 1 1 。 粗糙集理论与其它处理不精确、不确定问题理论的最显著的区别l ”1 是它无需提供 ， 所需处理的数据集合之外的任何先验信息，无需对知识或数据的局部给予主观评价， 所以它对问题的不确定性的描述或处理是比较客观的。但是，一方面，粗糙集理论对 信息系统中的离散性比较有效，而对连续属性处理能力非常有限，通常对连续属性进 行人为的区间划分，将每个区间用离散的属性值来表示，把一般的决策表转化 b - - 进 制决策表进行处理，但连续数据大多具有模糊性，概念之间的界限并不十分明确：另 一方面，粗糙集理论以等价关系( 不可分辨关系) 为基础，把论域划分为等价类，生 成粗糙集的上近似和下近似。在实际应用中，粗糙集往往把知识划分过细，导致问题 复杂化1 2 8j 。所以，粗糙集理论需要与其它具有处理不精确或不确定问题的理论( 如概 率论、模糊数学和证据理论等) 进行相互补充。 粗糙集理论的研究由于历史较短，所以至今为止，对粗糙集的概念的定义还没有 完全统一。一种就是原始的p a w l a k 意义下的，也就是由上下近似构成的一对集合来 命名的，还有以下近似和上近似构成的集合类( 区间集) 来定义的l ，定义的观点不 同往往带来研究的侧重点不同。 i f l 前，对粗糙集理论的研究主要集中在 3 1 1 ” 1 】：粗糙集模型的推广；问题的不确 定性研究：与其它处理不确定性、模糊性问题的数学理论的关系和互补：纯粹的数学 理论方面的研究；袒糙集的数学性质研究：粗糙集的有效算法研究和人工智能其它方 向关系的研究等等。这些研究有的是受应用推动而产生的，有的是纯理论的。 1 1 2 粗糙集模型的推广 p a w i a k 粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主流方向。目前主要有两种方 法m i ：( 1 ) 构造性方法；( 2 ) 代数性( 公理化) 方法。 ( 1 ) 构造性方法是对原始p a w l a k 粗糙集模型的一般推广。其主要思路是从给定 的近似空间出发去研究粗糙集和近似算子。它是以论域上的二元关系或布尔代数作为 基本元素的，然后导出粗糙集代数系统( 2 “，u ，n ，a p r ，a p r ) 。这种方法所研究的问题 往往来源于实际，所建立的模型有很强的实用价值，其主要缺点是不易深刻了解近似 算子的代数结构。 ( 2 ) 代数方法也称为公理化方法，有时也称为算子方法。这种方法不是以二元关 系为基本要素，它的基本要素是一对满足某些公理的一元( 集合) 近似算子 ，h ：2 “斗2 “，即粗糙集代数系统( 2 “，u ，n ，a p r ，a p r ) 中的近似算子是事先给定的。这 种方法研究的明显优点是能够深刻地了解近似算子的代数结构，其缺点是应用性不够 强。 1 1 3 不确定性问题的理论研究 粗糙集理论中知识的不确定性主要由两个原因产生：一个原因是直接来自于论域 上的二元关系及其产生的知识模块，即近似空间本身。如果二元关系产生的每一个等 价类中只有一个元素，那么等价关系产生的划分不含有任何信息。划分越粗，每一个 知识模块越大，知识库中的知谚 越粗糙，相对于近似空间的概念和知识就越不确定。 这时处理知识的不确定性的方法往往用s h a n n o n 信息熵f 4 1 1 来刻划。 粗糙集理论中的知识的不确定性的另一个原因来自于给定近似空间的粗糙集的边 界，即我们定义的粗糙度邶l 3 ”。当边界为空集时知识是完全确定的，边界越大知识 就越粗糙或越模糊。目前，粗糙集理论一般是用正则条件熵、粗糙性测度和粗糙熵束 刻划概念的不确定性。 寻求一个合适的度量来刻划知识的不确定性也是粗糙集理论研究的一个重要方 向。本文用粗糙度刻画了模糊近似空间和模糊t 近似空间的边界的模糊性和不确定 性。 1 1 4 与其它处理不确定性方法的理论的研究 在粗糙集理论与其它处理不确定性或模糊性方法之间关系的研究中，目前，主要 讨论它与模糊集理论、d c m p s t c r s h a f e r ( d s ) i i e 据理论、概率论和信息论等的渗透和互 补。 1 1 5 算法研究 相糙集理论中的有效算法研究是粗糙集在人工智能方向上研究的一个主要方向。 目前，粗糙集理论中的有效算法研究主要集中在导出规则的增量式算法、约简的启发 式算法、粗糙集基本运算的并行算法以及与粗糙集有关的神经网络遗传算法等”。本 文给出了模糊近似空间上粗糙模糊集的算法。 1 1 6 与其它数学理论的联系 对粗糙集理论研究的不断深入，与其它数学分支的联系也更加紧密。例如，从算 子的观点看粗糙集理论，与之关系较紧的有拓扑空间、数理逻辑、模态逻辑、格与布 尔代数、算子代数等；从构造性和集合的观点看，它与概率论、模糊数学、信息论和 证据理论、图论等联系较为密切1 4 1 1 。粗糙集理论的研究不但需要以这些理论作为基础， 同时也相应地带动这些理论的发展。例如，从算子的角度来看，粗糙集代数系统 ( 2 “，一，u ，n ，a p t ，a p r ) 是普通布尔代数系统( 2 “，u ，n ) 加上两个一元集合算子a p t 和 a p t 的推广。由于逻辑是计算机推理的基础，基于粗糙集的逻辑研究也是粗糙集理论 研究的比较活跃的一个方向1 。例如，粗糙集代数系统( 2 “，一，u n ，a p r ，一a p r ) 中的五个 集合算子恰好对应模态逻辑的五个算子。因此，基于粗糙集的模念逻辑的研究显得特 别活跃，各种模型的粗糙集代数系统恰好对应于各种模态逻辑系统，二者的结合有重 1 要的应用，基于这种联系，粗糙集理论能丰富模态逻辑理论，反之亦然。 从粗糙集的p a w l a k 代数系统的建立过程中，人们渐渐地应用粗糙集的方法和背景， 为纯粹的数学理论的研究_ 丌创了新思路。例如粗糙子群、半群中的粗理想、粗糙逻辑 和模糊逻辑1 4 1 1 等。我们认为，随着粗糙结构与代数结构、拓扑结构、序结构的不断整 合，必将涌现出新的富有生机的数学分支。 1 2 模糊集理论概述 模糊理论是美国计算机与控制专家l a z a d e h t 5 i 于1 9 6 5 年提出了刻划模糊现象或 模糊概念的数学理论。所谓模糊现象和模糊概念，就是没有严格的界限划分的、不确 定的而使得很难用精确的尺度来刻划的现象和概念。 1 3 粗糙集理论与模糊集理论的关系 粗糙集理论和模糊理论在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了经典集合 论，它们都可以用来描述知识的不精确性和不完全性，但是它们的出发点和侧重点不 同1 3 2 1 。粗糙理论考虑的是元素( 或对象) 间的不可区分性，与集合上的等价关系相联 系，是经典集合由等价关系而得出的近似：模糊理论考虑的是集合边界的病态定义， 与元素和集合的关系相联系，是经典集合属于和不属于关系的推广。 对粗糙集理论而言1 2 8 1 ，一方面，它对信息系统中的离散性比较有效，而对连续属 性处理能力非常有限，通常对连续属性进行人为的区间划分，将每个区间用离散的属 性值柬表示，把一般的决策表转化为二进制决策表进行处理，但连续数据大多具有模 糊性，概念之间的界限并不十分明确。另一方面，粗糙集理论以等价关系( 不可分辨 关系) 为基础，把论域划分为等价类，生成粗糙集的上近似和下近似。在实际应用中， 粗糙集往往把知识划分过细，导致问题复杂化。所以，粗糙集理论需要模糊理论的补 充。 模糊集是出隶属函数来刻划集合中予类边界的模糊性的，但是这些隶属度和隶属 函数均需要凭借系统设计者的经验事先给定，也就是说这些不确定性的确定带有强烈 的主观色彩：而 r 糙理论则不需要提供所需处理的数据集合之外的任何先验信息，即 它对不确定性的描述相对客观，这是粗糙理论的最重要的优点，也是与模糊理论的最 主要区别1 3 1 i 。 总之，粮糙集理论和模糊理论是处理两种不确定性( 粗糙性和模糊性) 的不同的 4 数学方法，二者是互为补充的，而不是相互排斥的。 1 4 有关三角模概念的介绍 1 9 6 0 年b s e h w e i z e r 和a s k l a r 首先引入了 0 ，l 】上的三角模概念，这一概念在概 率度量空间的研究中得到了重要应用 3 0 1 。1 9 7 9 年美国佛罗罩达科技大学的j m a n t h o n y 与h s h e r w o o d 又把它用于模糊群的研究d o ，后来谷文祥研究了格上的三角模m l ，张 文修等人建立了有关三角模的粗糙模糊集模型1 3 8 】等。近年来三角模理论还被广泛用于 其它许多研究领域。 l - 5 本文知识结构简介 文章共分为六部分，第一部分简要介绍了粗糙集、模糊集以及三角模的研究概述 和研究现状。第二部分研究了模糊近似空间上的粗糙模糊集，给出了它的定义、性质 和算法。紧接着，第三部分用粗糙度刻划了模糊近似空间上粗糙集边界的模糊性。第 四部分用五一截集重薪刻划了三角模的模糊t 上下近似，简化了模糊t 近似空闻上有 关粗糙模糊集性质的证明。第五部分在模糊t 近似空间上引入了粗糙度概念。最后是 结束语，对模糊近似空间上的下近似算子进行了比较，并指出了以后的研究方向。 第二章模糊近似空间上的粗糙模糊集 自从1 9 9 6 年b a n e r j e ea n dp a l s k i ”1 等人在近似空间上定义了模糊集的粗糙集 ( 即粗糙模糊集) 后，这方面的推广工作已有人做了尝试性研究。2 0 0 2 年，刘贵龙就 试着把粗糙模糊集推广到模糊近似空间上1 。但是，刘贵龙定义的粗糙模糊集，如摘 要中所述，有很多不完善之处。于是，本章重新定义了模糊近似空间上模糊集的上下 近似，得到了模糊近似空间上粗糙模糊集的另一种推广。 2 1 模糊近似空间上模糊集的粗糙集定义 设u 为论域，f ( g ) 表示u 上模糊集的全体：aef ( u ) ，4 ( 工) 表示模糊集1 的隶属 度。 定义2 1 ”1 对于a f ( u ) 和v 五 o ，1 ，记a 。= 工u4 ( x ) 丑 ，= 工u a ( x ) 丑1 ，分别称为爿的凡一截集和强九一截集。 定理2 1 m 1 ( f 集的分解定理) 设a f ( ，a = u z 4 和a = u 朋i ；且 e 【0 ，ij e 【0 1 1 v z u ，a ( x ) = va a ( z ) 2v 五 a i ( 工) 。 x e l 0 ，1 】e f 0 ，i i 定义2 2 1 ”1 设u 是论域。r 是u 上的等价关系，称( u ，r ) 为近似空间。v a e p ( u ) ，a 关于r 的下上近似分别定义为： r a = x e ui x nc _ a t ，而= x e ui x 月n a 庐 。 f 定义2 3设u 是论域r 是u 上的模糊等价关系，称( u ，r ) 为模糊近似空间 v a e f ( u ) ，定义鲋，r a f ( u ) ，丛爿，r a 的 一截集和强九一截集分别如下 ( 掣) = x e um 心g a ) ( r a ) = x e ui x 也n a i ( 鲋) ；2 x e u m a j ) ( r a ) i 2 x e u | 【x 州r l a ；矿) 即( 鲋) 。= r 。a 。，( r a ) 。2 r 。a 。，( _ r a ) i 2 r i 爿i ，( r a ) i 2 r i a i 。 注：这里阻】毋， 工】砖分别是按照等价关系r - ，r i 确定的x 所在的等价类。 下面我们给出a 一截集和强a 截集的有关并、交、补、包含等关系的性质。 引理2 1 设( u ，r ) 为模糊近似空间，a ，b 即) ，v a 【o ，1 】则有： ( 1 ) 俾似u 曰m ；( 删) 。u ( r 口) 。；俾州u 曰) ) i = ( 尼4 ) i u ( 兄日) i ； ( 2 ) 哩口n b ) ) 。= ( 星4 ) 。n ( 垦日) 。；哩口n 曰) ) i = ( 星4 ) i n ( 墨田) i ； ( 3 ) 若爿曰，则( 埘) 。( 垦b ) 。；( 删) 。( r 8 ) 。； ( 星4 ) i ( 墨8 ) i ；( r 一) i ( 衄) i ； ( 4 ) 哩叫u 丑) ) 。d ( 墨d ) 。u ( ! 望) 。；( 1 0 u b ) ) id ( ! m ) i u ( ! 望) i ； ( 5 ) 似口n 勒。c ( 见4 ) 。n ( 船) 。；僻似n b ) ) i ( 尼4 ) i n ( 胎) i ； ( 6 ) ( r ( 一) ) 一一r 雒 ；哩卜爿) ) 一一矗。雒。 证明：只证截集的情况，强截集的情况同理可证。 ( 1 ) 僻口u b ) l r 似u b ) = r 0 u b ) - r a 。u n 。b = 删) u ( p x ) 。： ( 2 ) 哩口n 口挑一r 似n b ) i = 墨 n b 。) = r 。a n 兄毋= ( 墨口) n ( 星8 ) ； ( 3 ) 若a b ，则4 b ， c 鲋) 。= r a r b = ( 墼) ；( r 4 ) = 吼以r b - ；( r 口) - ； ( 4 ) 因为4 a u b 且b c _ a u b ，f i 3 ( 3 ) 式得掣) 。( r u 助。 且c 星b ) 。哩口u b ) ) 。，故哩口u 占) ) 。2 ( 旦z ) 。u ( 量箩) 。； ( 5 ) 因为a n b a 且一n 口b ，由( 3 ) 式得僻n b ) ) ( r 4 ) 且( r ( a n 口) ) 。( 船) 。，故似a n b ) ) 。) 。n ( r b ) 。； ( 6 ) ( r ( 一4 ) ) 。= r 。( 爿) 。= r 。( 一一二。) 篁r 爿二a ； ( 墨( 4 ) ) = r ( 一爿) 。= r ( 一雒。) = 一r 爿王a 。 定理2 2 设( u ，r ) 是模糊近似空间，a e f ( u ) ，v x e u ，则 ( 1 ) ( ua ( ! f 鲥) 。) ( x ) = v lv y e x 。，r ( x ，y ) s a 0 ) ) 幅0 t i i填o ，1 1 ( 2 ) ( u ( ：f 舅) i ) ( x ) 5v av y e i x 吼，r ( x ，y ) as a ( y ) 楫0 ，1 】 q o ，1 j ( 3 ) ( ua ( 尼4 ) ) ( x ) svr ( x ，y ) a ( y ) * 0 ，1 j，目 ( 4 ) ( u ( 尼4 ) i ) ( x ) _ vr ( x ，y ) a ( y ) a e o ，l 】y 印 特别的，当u 为有限论域时，( 2 ) 和( 3 ) 均为等式。 证明： ( 1 ) ( ua ( 趔) 。) ( x ) = va ( 觑) l ( x ) = v aix ( 墼) 。) 姆q 1 】 幅q l l 楫q i 】 = v ai 工】 _ c a 。，= v a v y e i x 见，l j y e a 。) 吗0 ，i j饵o ，1 1 = v av y e u ，若r ( x ，y ) a ，则a ( y ) a 填0 。1 1 = v aiv y 陋】。，r ( x ，y ) a as a ( y ) 舵n 羽 ( 2 ) ( ua ( 掣) i ) ( x ) = va ( 型) i ) ( x ) = v 似ix ( 鲋) i ) _ l q 叫饵叫饵0 t i i = v lm 础a i ) 担q l 】 = v aiv y k 】贝l j y e a i a 目o , j i = v av y e u ，若r ( x ，y ) a ，贝0a ( y ) a 担0 ，1 】 = v av y i x 月：，r ( x ，y ) a a 且a ( y ) a ) a q o ，i i = v i 罩y e u ，r ( x ，y ) a y ) a 楫0 ，l 】 = v avr ( x ，y ) a a ， 担0 i iy 日v = vr ( x ，y ) a a ( y ) d 定义2 4设( u ，r ) 为模糊近似空间，a f ( u ) ，定义： ( 1 ) a 关于r 的下近似型e f ( u ) ，剑= u ( 劁) 。 楫m l l ( 2 ) a 关于r 的上近似而f ( u ) ，而= ua ( 融) i 。 x e i o ，l 】 推论2 1设( u ，r ) 为模糊近似空间，a e f ( u ) ，协u ，则 ( 1 ) ( 型) ( x ) = v 亢iv y e x ，r ( x , y ) a a s a ( y ) 填0 l j ( 2 ) ( 尺爿) ( x ) = vr ( x ，y ) a a ( y ) 。 d 显然，在推论2 1 中， ( 1 ) 若( u ，r ) 是近似空间，a e p ( u ) ， 则型= x ui x r a ) ，r 4 = x ui x 月n a 庐) 。 ( 2 ) 若( u ，r ) 是近似空间，a e f ( u ) ， 则( 捌) ( x ) = i n f a ( y ) iy x 。 ，( 肌) ( x ) = s u p a ( y ) ly x 。) 。 所以，推论2 1 ( 亦即定义2 。4 ) 是p a w l a k 定义0 7 1 和b a n e r j c e m 定义f 1 印的推广， 它完善了刘贵龙关于模糊近似空间上模糊集的粗糙集定义【3 ”。 2 2 模糊近似空问上粗糙模糊集的性质 定理2 3设( u ，r ) 为模糊近似空间，a ，b f ( u ) ，则有： 9 ( 1 ) r 4 爿尺4 ( 2 ) 页翻u b ) ：一r a u r b ；r ( a n b ) ，r _ n _ r b ； ( 3 ) 若月b ，则掣缈；函c 劢 ( 4 ) 一r a = r 一( 掣) = 瓦( 鲋) ；衲= 瓦( 一r a ) = 墨( 动) ( 5 ) 瓦( 爿n b ) _ c r a n r b ；r _ ( a u b ) 3 掣u 鲫； ( 6 ) 刨= a r a = a ( 7 ) = u ；却= 妒。 证明：只证前半部分，后半部分同理可证。对y x u ( 1 ) 因为( m ) 。= r a ，c a 。凡以；( 尼4 ) 1 ，则 鲋= ua ( r a ) 。u 九t = a ua ( 融) 。韵； 日o ，玎娟珥i 】x e i o , t l ( 2 ) ( 尺口u b ) ) 0 ) = vr ( x ，y ) a o u b ) ( y ) 一vr ( x ，y ) ( y ) v b ( y ) ) 同同 = v ( 僻( x ，y ) a 爿( y ) ) v 僻瓴) ，) a b ( y ) ) ) - ( vr 0 ，y ) 彳( y ) ) v ( vr ( x ，y ) a 口( y ) ) 娜母倒 = ) 0 ) v ( 船) ( x ) = ( 5 4 u 衄地) ；故：僻u 助；r a u r b ； ( 3 ) 因为ac b ，所以w e u ，a c v ) 量s ( y ) ，则 ( 鲋) ( x ) 2v ai 陋】毋，r ( x ，y ) aa s a 0 。) q 0 ，1 l 5v a v 【石】凡，r ( x ，y ) a 量b ( y ) a e l o ，1 】 = ( 邸) ( x ) ，则墅一r b ； ( 4 ) 因为( ：f 列) 。= r a 。，r 。( r a 。) = r 。( ：基4 ) = ( k ：毽d ) ) 。 ( 幽) r i a ；= 蟛sl 掣s - s ) = r i ( _ r a ) i ；僻幽) ) i ， 则到= ua ( 剑) 。= u ( 旦( 鲋) ) 。= r 一( 型) ，即劁：一r ( 鲋) x e o , t l 目o i j i ( 型) = u ( 瓦( 掣) ) i = u ( 幽) ic _ _ r a ，即i ( 剑) 型 饵o ，l 】 q o ，1 】 又由( 1 ) 有鲋i ( 趔) ，n _ r a = 一r ( 到) ； 综上：r a = 一r ( r a ) = r ( _ r a ) 1 0 ( 5 ) 由( 3 ) 简单易证； ( 6 ) 若曼爿= a r a = r ( 基彳) = s a = a ，即有r a = 爿； 若r a = aj r a 2 一r ( r a ) = r a = a ，即有r _ a = a ； ( 7 ) 显然。 注：当r 是u 上的模糊等价关系时，关系页( 爿) 一( 翟) ，堡卜一) 一( 死目) 一般不 成立。反例见下面的例2 1 。 定义2 5 设( u ，r ) 为模糊近似空间，称a 模糊耜下包含于b ，若v 2 【o ，1 1 ， 有( 基爿) 。( 墨口) ；称a 模糊粗上包含于b ，若v a o ，1 】，有( 瓦4 ) ；( 瓦日) ；。 定义2 6 设( u ，r ) 为模糊近似空闻，a ，b f ( u ) ，称a 与b 是模糊粗下相等的， 若v , z 【0 ，1 ，有( 望) = ( 堡丑) ，记为a b ；称a 与b 模糊粗上相等的，若v 五【o ，l 】， 有( 五爿) i = ( 月占) i 。记为a z b ：称a 与b 是模糊粗相等的，若a = b 且a = b ，记 为a * b 。 定理2 4 设( u ，r ) 为模糊近似空间，a ，b f ( u ) ，则有下列的性质成立： ( 1 ) a s b 咎a n b = a 且a i - ) b s b ； ( 2 ) a 二b a u b 2 a 且au b z b ； ( 3 ) 若a = a 。且b = b 。则a u b = a u b ； ( 4 ) 若a a 且b b ，则a f i b a n b 。： ( 5 ) 若a b 且b = 声，则a 二庐； ( 6 ) 若a _ c b 且a u ，贝0 b u ； ( 7 ) 若a 或b 一妒，贝0 a n b 一声： ( 8 ) 若a 二u 或b = u ，则a u b = u ： ( 9 ) a - u a = u ： ( 1 0 ) a z a = 痧。 汪明：只证奇数项，偶数项类似可证。对v 【o ，1 ， ( 1 ) a 二b ( 星爿) = ( 星b ) _ 铮( r a ) 。= ( g b ) = ( g a ) n ( 堡b ) 。= ( 星( 4 n b ) ) l a n b e a 且a n b z b ( 3 ) 若a = a 且b = b + ，有( 页a ) ：= ( 瓦4 ) i 且( 页曰) i = ( 面1 ) i ，则 ( 劢) ：u ( j 硒) ：= ( j 函1 ) ；u ( x b + ) ；营( i ( 一u 占) ) ：= ( 页( 一+ u b ) ) i a u b 二a u b ； ( 5 ) a b ( ：勋) ；( ：勋) ；，因为( ：勋) ：= ( 郦) ；= r ；= 妒，所以( 页) ：= ，即 a z o ( 7 ) 因为( ! 墼) 。= 或( 星口) = ，所以( 星( 一n 动。= ( ! 型) 。n ( g b ) 。2 矽 即a n b z 西； ( 9 ) 因为a z u ，所以( 劁) ，= ( ) 。= 心u = u ，又因为( 型) 。a ，所以a = u ， 2 3 模糊近似空间上粗糙模糊集的算法 以下俞绍一下粗糙模糊集的上下近似的算法。 设( u ，r ) 为模糊近似空间，a f ( u ) ，由推论2 1 知星爿，尺4 的计算公式的解析式 分别如下： ( 宣爿) ( x ) = v 五iv y x 】如，r ( x ，y ) 五a ( ) 0 ) v x u ( 尺爿) ( x ) 2vr ( x ，y ) i x a ( y ) v x u 惟f 上近似的算法简单，下近似的算法较为复杂。下面我们看一下u 为有限论域时的 算法。 1 上近似的算法 我们先写出r 的关系矩阵m = ( a 。) ，8 2 r ( x ，y