（基础数学专业论文）banach空间奇异微分方程解的存在性.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：k 燕乏 导师签字 学位论文版权使用授权书 邳吁翻参 本学位论文作者完全了解堂燕有关保留、使用学位论文的规定有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 堑可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 靴敝储鹤：匙冰 2 一吣6 冷、0 导师酶名。1 8 参 rf 。一， w 6 。年巧 山东师范大学硕上学位论文 b a n a c h 空间奇异微分方程解的存在性 赵成龙 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 奇异初边值问题起源于核物理、气体动力学、流体力学、边界层理论、非线性光学 等应用学科中由于一些重要的实际问题所导出的数学模型足定义在有限区间上或定 义在无限区间上，例如量子力学、最优控制论中的一些问题就是在无穷区间上考虑的 此外：这些数学模型中的函数或变量本身在端点处可能具有奇异性凶此奇异初边值问 题一直是数学工作者和其他科技工作者所关心的重要问题之一有关奇异微分方程初 边值问题解的存在性、正解性、惟一性近二f 年来得到广泛研究( 【1 一m f 8 一3 8 1 ) 所用 的方法一般有近似逼近方法、锥理论和拓扑度理论本文的目的是在此基础上更深入 地研究奇异初边值问题 第一章讨论了半直线上一阶脉冲积分一微分方程初值问题在文献1 1 中，郭大钧教 授利用单调迭代方法讨论了b a n a c h 空间中有限区间上带脉冲积分微分方程初值问题 解的存在性文献 2 】用不动点指数理论讨论y b a n a c h 空间中无穷区间上一阶混合型积 分微分方程边值问题解的存在性本章首先考虑r b a n a c h 空问中半直线上带有限个脉 冲点的混合型一阶非线性f 奇异) 脉冲积分微方程初值问题，得到解的存在性改进和推 广了文【1 【2 的结果所用的工具为b a n a c h 空间中的k u r a t o w s k i i t f 紧性测度概念和m s n c h 不动点定理其次，考虑了b a n a c h 空间中半直线 二带无穷个脉冲点的混合型一阶非线性 奇异脉冲积分微分方程初值问题，尤其是非线性项无界的情况，通过给出适当条件，利 用k u r a t o w s k i i t e 紧性测度概念年t s a d o v s k i i 不动点定理，得到其整体解( 包括无界解) 的存 在性，并给出了一个存在唯一性结论 第二章研究了有限区间上的高阶奇异边值问题近年来，对高阶非线性微分方程奇 异边值问题正解的研究十分活跃( 见 1 6 1 ， 1 9 1 ，【2 3 ， 2 4 1 ， 2 7 一 3 3 ) 文献 2 4 和 2 7 】在一 定条件得到了一类超线性微分方程奇异边值问题c | 2 正解和g 3 j 下解存在的充要条件文 献2 8 1 利用上下解方法和极大值原理给出了一类次线性微分方程奇异边值问题的c 2 和 g s 正解存在的充要条件文献3 3 利用上下解方法研究了一类高阶奇异齐次边值问题 c 4 ”2 i o ，l 】和c 缸1 o ，1 正解存在充要条件本章的目的在于改进和推广文 2 4 2 7 1 1 2 8 1 1 3 3 】 的结果，使之适用于较广泛的函数类和边界条件首先构造几个特殊的锥，利用锥上的不 动点定理给出了一般边值条件下g 4 2 o ，1 1 正解存在的充要条件其次，讨论了c r 4 “1 正 解存在的充要条件 山东师范人学硕i 二学位论文 关键词：奇异初边值问题；不动点定理：正解：非紧性测度；锥：b a n a c h 空 分类号：0 1 7 5 8 ，0 1 7 5 1 5 2 一些奎堕堕盔堂堡主兰垡堡塞 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s e q u a t i o n si n f o rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a l b a n a c hs p a c e s c h e n g l o n g z h a o i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a l u n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t a sw ek n o w s i n g u l a ri n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa r i s ei n t h ef i e l d so fg a s d y n a m i c sf l u i dm e c h a n i c s ，n u c l e a rp h y s i c s ，t h et h e o r yo fb o u n d a r yl a y e r ，n o n l i n e a ro p t i c s a n ds oo n s o m em a t h e m a t i c a lm o d e l sd e r i v i n gf r o ms o m er e a l i s t i cp r o b l e m si sd e f i n e d o n f i n i t ei t e r v a lo ri n f i n i t ei n t e r v a l ，f o re x a m p l e ，s o m ep r o b l e m si nq u a n t u mm e s a n i c sa n d t h eo p t i m a lc y b e r n e t i c sa r ec o n s i d e r e do ni n f i n i t ei n t e r v a l i na d d i t i o n ，t h ef u n c t i o no r v a r i a b l ei t s e l fo ft h e s em a t h e m a t i c a l m o d e l si sm a yb es i n g u l a ra tt h ee n dp o i n t t h e r e f o r e ， s i n g u l a ri n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi so n eo ft h ei m p o r t a n tp r o b l e m sa t t r a c t i n g t h ea t t e n t i o no fm a t h e m a t i c i a n sa n do t h e rt e c h n i c i a n s t h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f s o l u t i o n sf o rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nc o n s i d e r e de x t e n s i v e l yi nt h el a s t t w e n t yy e a r s ( f l j _ f 5 】，f 8 j - 1 3 8 t ) t h em e t h o d sa r em a i n l yt o p o l o g i c a ld e g r e ea n dc o n et h e o r y o rm e t h o do fa p p r o x i m a t i o n t h i sp a p e ra l s od i s c u s s e ss u c hp r o b l e m sm o r eg e n e r a l l yo i l t h eb a s i so fa b o v er e f e r e n c e s c h a p t e r1i n v e s t i g a t e si n i t i a lv a l u ew o n e m so ff i r s to r d e ri n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nh a l f - l i n e i np a p e r p r o f e s s o rd a j u ng u oh a sd i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fs 0 1 u t i o n so fi n i t i a lp r o b l e m sf o ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nf i n i t e i n t e r v a l b yi t e r a t i v em o n o t o n et e c h n i q u ei nab a n a c hs p a c e p a p e r 2 s t u d i e dt h ee x i s t e n c eo f i n i t i a lp r o b l e mo fm i x e dt y p eo ni n f i n i t ei n t e r v a lb yf i x e d p o i n ti n d e xt h e o r y f i r s t ，w e c o n s i d e ri n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rf i r s to r d e rn o n l i n e a r ( s i n g u l a r ) f i n i t ei m p u l s i v ei n t e g r o 3 山东师范大学硕士学位论文 d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p eo nh a l f - l i n ei nab a n a e hs p a c ea n do b t a i nt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n s o u rg o a li st oi m p r o v ea n de x t e n dt h er e s u l t so fp a p e r 1 】a n d 2 】t h ea p p r o a c hw eu s e dh e r ea r ek u r a t o w s k i in o n c u m p a e tm e a s u r e ，m 6 n c hf i x e dp o i n tt h e o r e m s e c o n d l y , w ed i s c u s si n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o ra c l a s so fn o n l i n e a rs i n g u l a ri n f i n i t e i m p u l s ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p eo nh a l f - l i n em ab a n a e hs p a c e e s p e c i a l l yt h ec a s et h a tt h en o n l i n e a rt e r mi su n b o u n d e d b yu s i n gk u r a t o w s k i in o n c o m p a c t m e a s u r ea n ds a d o v s k i if i x e dp o i n tt h e o r e mu n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，w eg e tt h ee x i s t e n c e o fg e n e r a ls o l u t i o n ( i n c l u d i n gu n b o u n d e ds o l u t i o n ) a n du n i q u e n e s sr e s u l t c h a p t e r2i n v e s t i g a t e sh i g h e ro r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( s b v p ，f o r s h o r t ) o nf i n i t ei n t e r v a l i nr e c e n ty e a r s ，t h ep o s i t i v es o l u t i o n so fs b v pt oh i g h e r o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y ( 【1 6 ， 1 9 ， 2 3 ， 2 4 1 ， 【2 7 l _ 【3 3 1 ) i ns u p e r l i n e a rc a s e ，p a p e r 2 4 】a n d 2 7 】o b t a i n e da n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fc 2 【o ，1 】o rc 3 【o ，1 p o s i t i v es o l u t i o n so fac l a s so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n su n d e rs o m eg i v e l lc o n d i t i o n s i ns u b l i n e a rc a s e ，p a p e r 【2 8 lg a v ea n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fc 2 o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o n sa sw e l la sc 3 o ，1 p o s i t i v es o l u t i o n sb ym e a n so ft h em e t h o do fl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sw i t ht h em a x - i m u mp r i n c i p l ef o rs b v p i n 【3 3 ，z h a n gd i s c u s s e dan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rt h ee x i s t e n c eo fc “。2 【o ，1 】o rc 4 n - 1 。i 0 ，1 p o s i t i v es o l u t i o no fac l a s so fah i g h e ro r d e r s i n g u l a rh o m o g e n e o u sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mb yu s i n gt h em e t h o do fl o w e ra n du p p e r s o l u t i o n s o u rg o a li st oi m p r o v ea n de x t e n dt h er e s u l t si n ( 2 4 【2 7 】【2 8 3 3 ，e t c ) f i r s t l y ： b yc o n s t r u c t i n gs o m es p e c i a lc o n e sa n du s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n e ，s o m en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fc 4 “一2p o s i t i v es o l u t i o no fg e n e r a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s e c o n d l y , w ed i s c u s ss o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fc 4 “一。 p o s i t i v es o l u t i o n 4 山东师范人学硕士学位论文 k e yw o r d s ：i n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；p o s i t i v l s o l u t i o n ；n o n c o m p a c tm e a s u r e ；c o n e ；b a n a c hs p a c e c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 8 0 1 7 5 1 5 山东师范人学硕学位论文 月l j 口 奇异边值问题起源于核物理、气体动力学、流体力学、边界层理论、雅线性光学 等应用学科中由于一些重要的实际问题所导出的数学模型是定义在有限区间上或 定义在无限区间上，例如量子力学、最优控制论中的一些问题就是在无穷区间上考虑 的此外，这些数学模型中的函数或变量本身在端点处“t 能具有奇异性因此奇异初 边值问题一直是数学工作者和其他科技工作者所关心的重要问题之一 有关奇异微分方程初边值问题解的存在性、正解性、惟一性近二十年来得到广泛 研究( 1 1 5 1 i 8 一 3 8 ) 所用的方法一般有打靶法 25 】1ef 解方法和不动点理论( 如f 3 4 1 ) ，近 似逼近方法( 如 2 2 】) 以及锥理论和拓扑度理论( 如 8 - ，1 1 】) 本文的目的是在此基础上更 深入地研究奇异初边值问题所用工具主要是b a n a c h 空间中的不动点定理，如用s a d o v s k i i 不动点定理和h m 6 n c h 不动点定理来获得无区划上一阶积分微分方程初值问题 解的存在性；用锥拉伸与锥压缩不动点定理来获得奇异边值问题正解存在的充要条 件对于，的奇异性，通过构造一个特殊的锥来克服奇异性所带来的困难 本文共分两章第一章讨论了b a n a c h 空间中半直线h 的初值问题第二章研究了 有限区间上的高阶微分方程奇异边值问题本文的结果改进和推广了已有的结果 6 山东师范大学硕士学位论文 第一章b a n a c h 空间中半直线上的初值问题 1 1引言 脉冲微分方程由于能够刻画现实世界中的很多问题，例如包含阀值或突变节律的 的生物学、物理学、医学、经济学等问题，受到广泛重视近年来，对抽象空间( 脉 冲) 微分方程及奇异( 脉冲) 微分方程理论的研究十分活跃( 【1 h 5 】， 8 1 ， 1 0 _ 1 3 ， 18 ) ，并 且对b a n a c h 空间中半直线上的( 脉冲) 微分方程及奇异( 脉冲) 微分方程的研究获得很 大发展( 见( 8 】， 1 2 】_ 1 4 ，及其后的参考文献) 对于混合型方程郭大钧教授等进行了深入 研究( 见f 1 1 f 5 ，文f 4 和文【1 】( 第3 章第1 节，第4 章第3 节) 讨论了b a n a c h 空间中有限区间 上( 带有限个脉冲点) 一阶混合型方程初值问题解的存在性，文 5 ( 文 2 】) 讨论 b a n a c h 空i u j 中有限区间( 无穷区间) 上一阶混合型方程边值问题解的存在性就我们所知，目 前还没有相关文献对b a n a c h 空间中半直线上混合型一阶非线性脉冲积分微分方程初 值问鹿进行研究本章第一二节对该问题进行讨论，得到其有界解的存在性 本章第三节对b a n a c h 空间中半直线上带无穷个脉冲点的一阶非线性奇异混合方 程初值问题进行研究，尤其是非线性项无界的情况本节采用与文 1 5 】不同的方法，对 该问题进行讨论，给出适当的条件，得到其整体解( 包括无界解) 的存在性和唯一性 l 。2 一类非线性脉冲积分微分方程初值问题解的存在性 设( e ，”f 1 ) j o = t o ，乩t o p c i j , 捌 在，= 1 ，2 ，一 间 1 2 1 预备知识 是一个实b a n a c h 空问，令j = 0 ，+ o 。) ，五= ( 缸一1 ，靠 ，女= 1 ，2 = 0 m = 石i 。：j - e ，z ( t ) 在t 靠处连续，在t = “处左连续且右极限存 ，m ，- 容易看出p g 【z 司在范数忙1 p g5 嚣，忪0 ) l l 下成为一b a n a c h 空 考虑一阶脉冲积分微分方程初值问题 f 茁= f ( t ，z ，t x ，s x ) ，v t zt ，( k l ，2 ，- ，m ) ； z = z ( “+ o ) 一z ( 乱一o ) = 厶 ( “) ) ，t = “； ( 12 1 ) iz ( o ) = m 7 山尔师范大学硕十学位论文 解的存在性，其中黝e ，c i j e e e ，e j ，c e ，明，k ：1 ，2 ，m ( t x ) ( t ) 2 届k ( t ，s ) 茁( s ) d s ，( 踟) ( ) = 铲h ( t ，s ) z ( s ) d s ，后c d ，捌，d = 他s ) j l ，： t s h c ax r i 以下谈到问题( 1 2 1 ) 的解是指。p c i j , e 】n c l j7 ，e 】? 并且z 满足初值问题( 121 ) 其中= j ( t a ，t 2 ，t m + b r = 伽p c i j , e 】：忙j l p 。曼r ) 用o ( ) 和p g ( ) 分 别表示空间e 和空间尸g mf 的k u r a t o w s l ( i i 非紧性测度有关非紧性测度的定义及性 质参见 4 和 5 】_ 为了后面的应用，从文献f 1 1 中列出两个引理 引理1 2 1 【1 】令日： 。：，- e 强可测) ，且为可数集并存在凹l f ，风1 ，使 得对v 岱日，有忙( ) | | m ( t ) 。e t ，则o ( 日( ) ) e ，、r + 且 q “，：z ( t ) d t ：z h ) ) s2 ：。( 日( t ) ) 出， 其中，= 二 。，6 】 引理1 2 2 【1 1 ( m 5 n c h ：不动点定理) 设e ：为b a n a c h 空间，dce 为闭凸集，d ， a ：d 一d 为连续映射，若gcd 可数且gc 丽( ) u a ( c ) ) 蕴涵着g 是相对紧集， 则4 在d 中有一不动点 1 2 2 主要结果 为方便起见，先给出下列假设： ( h 1 ) 存在非负函数。，b ，c ，e g m 卅，及非负常数c k 和k 使得 f i f ( t ，z ，y ，z ) l lsa ( o i l ： ：l i + b ( t ) l l y lj + c ( t ) t l z l i - i - e ( t ) ，v t l ，；z ，y ，z e f i z 女( x ) f c f f z f + 靠，= 1 ，2 ；- 一，m 且口” 。o ) + b o ) + + c ( t ) 4d r +c l ，f ce ( s ) d s + 。o ，其中t ：s u p 片i ( t ，s ) l d s ”= i t c j + o 。， = i ! pj 铲f ( f ，s ) f d s 靠，当 t ” 7 - 时，都 有l i ( a x ) ( t ) 一( a 。) ( t ”) i l 时，由( h 1 ) 及( 1 2 3 ) 知： 峰z ) ( f ) 一( a z ) ( t ”) | | i f f ( s ，z ( s ) ，( t z ) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) 忪 上，s ，z ( s ) ，( t z ) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) | | d 5 s + 6 ( 啪+ w c ( s ) k 尸c + e ( s ) 幽 由此可得( a v ) ( t ) 在每个以= ( “一。，t k 】上等度连续 9 ( 1 2 4 ) 山东师范大学硕士学位论文 i i ) 对vl ，刊cl ，十。j ，当t 悻m ，r ! 时，对vz v ，t t ，由( 1 2 4 ) 知： 1 ( z ) ( t 7 ) 一( a z ) ( t ) 【| 茎上。 。( s ) + 6 ( s ) + + 酽c ( s ) d s i z i p g + z 。e ( s ) d s 因此，结合( h 。) 知( a y ) ( t ) 在 t 。，。g ) 的任一有限子区间上等度连续 l i i ) 因为y 有界，所以存在m o ，对vz v ，使l l = i b csm 又由( h 1 ) 知，对 任给j 0 ，存在r k 0 ，满足 r 卞r1pi , o o， 上) 1 。6 ( t ) 2 + 一c ( 。) 4 忙 0 ，存在7 _ 0 ，满足l i ( 4 z ) ( t ) 于z 矿和vf ，r 一致成立- 且根据引理1 2 4 知。p c ( a v ) i = 其中，i y ，= 。( ) ：t ，z a v ，= o ，z i u ( t l ，2 u u ( t ml ，k u ( z 。：r ，( = l ，2 ，一，m ) 又存在k ，k ，cu 满足y ：凸k ，同时满足 i = 1 ( a x ) ( t ”) i | e ，关 s u p a s ( a 州t ) 曼d t c i a 矿i ，= e a r l ，d a v t i ，) ( i l z 0 1 】 + 厂咄十薹魄) ( ，一厂矽肛k 量= 1 ) 一 b = b m = z p c i j , e ：l l z i l p c 冗+ ) 山东师范大学硕士学位论文 下面证明4 bcb 对v ，z b ，由( h 1 ) 及( 123 ) 有 j ( a x ) ( t ) l l 5 l l x o l l + 肛+ 6 ( 啪( s 吵i i1 1 耐伽s ) d s + 砻 ( 邢 i 茎l l x o l l + 厂+ 6 ( s ) c ( s 矽 d s 肌厂e ( s ) d s + 薹( 盼胁) r + 再田号j 埋1 2 5 知a 为b 全f j b 阴迕绥舁于 设可数集ccb ，u 。b 且gc 丽( “。 u a ( c 1 ) ) 下面证明c r 相对紧 由引理1 2 ，1 知 n ( ( r g ) ( s ) ) = 。( z 5 七( s ，r ) z ( r ) d r ：，r c ) ) 2 ：3i ( s ，r ) 。( c ( s ) ) d s 2 k * n p c ( c ) 由引理1 2 6 知 n ( ( s g ) ( s ) ) = n ( z 。 ( s ，r ) z ( r ) d r ：z g ) ) 2 z 。l ( s ，r ) l n ( c ( s ) ) d ss 2 h * e v p c ( c ) 结合( h 2 ) ，( 1 2 2 ) ，及引理1 2 1 ，得 d ( ( a g ) ( t ) ) s 2 石。( m ，g ( s ) ，( t c ) ( s ) ，( s g ) ( 堋d s + ( 。羞。厶( z ( 靠) ) ：z c ) 墨2 片a l ( s ) 血( g ( s ) ) + 。( s ) 血( ( 粥) ( s ) ) + n 。( s ) 。( ( s c ) ( s ) ) 幽t _ 黑l t n ( e ( t t ) ) 冬2 露 0 1 ( s ) + 0 2 ( 3 ) 七+ + a a ( s ) h + d s ，a p c ( c ) + l k ( n p v ( c ) ) m e = l 2 付。k 。( s ) + 口。( s ) t + “。0 ) h d s q ，c ( c ) + 曼l 。( q ，c ( a ) ) 。 k = 1 、7 从而结合引理1 2 7 得 啪( j 4 e ) 2 厂吣) 以s ) k * + a 3 舻d 2 t v p c ( m 挚( 啪( g ) ) 1 3 山东师范大学硕士学位论文 再根据f 1 2 1 ) i h p ( 1 ( 。i c ) o p c ( e ) ( 1 2 6 ) 另方面，由于cc 面( 。i l 0 ) u a ( g ) ) ，所以 a c ( c ) o p c ( a c ) ( 127 ) 于是由引理1 2 5 汪明过程及( 1 26 ) ( 127 ) 有d p c ( ，l ( _ ) = n p f ( c 。) = 0 即c 相刈紧 因此，由引理1 2 2 知a 在p c 。，) 别中至少有一个不动点从而初值问题( 】2 1 ) 在 p c i j , e nc 1 i j ，e 】t 至少有一个解 注1 若b a n a c h 空间e 是有限维的则条件( h ，) 自动满足 注2 如果，在t = 0 有奇异性，则定理1 2 1 的结论仍然成盘埘奇肆性的处理可仿 乳32 对奇异性的处理方法进行 1 2 3 应用 作为定理1 21 的应用，下面给出一个例子 例考虑无限维一阶脉冲积分微分方程初值问题 “：= 菇备+ 嘉( 俪+ t e - t + 1 ) s u 2 n d s ) + 而b ，z 。南电蚓0 ) + o o ) ；( 1 28 )+ 硬r 研 可t 研如。1 0 ，+ ；( 1 28 ) = 知扣= ； “。( o ) = 0 ( n = 1 ，2 ，) 结论一阶脉冲积分微分方程初值问题( 1 2 8 ) 在 o ，+ o 。) 上至少有一个解 证明令e = f 。= u = ( u 1 ，u 。) ：s u p | u 。l + 。，赋予范数叫| = s u pi u 。h 则( 1 2 8 ) 可视为形如( 121 ) 的初值问题此时、j = 0 ，+ o 。) ，u 。= ( 0 ：- ，0 ，) ( ，s ) = e 一) s ， ( ，s ) = 瓣i ，u = ( “l 一，u n ，) ，一( ，厶，) 其中 肌啦茄备+ 芸( 俪怕。) + 元南 且m = 1 ，t l = j ，i i = ( i i i ，一，厶。，) ，l 。) = j u 。显然，c j e f e ，e ，1 c ee j ，c d ，r 】，h c d ，司 1 4 坐堡堕堕查堂堡主堂垡笙塞 下面验证( h z ) 和( h 2 ) 成立k = s u p 片j 七托s ) f 出= s u p 启e - ( ) s 出= s u p 士( 1 一 e _ ( 十1 ) 。) 0 ，有扣 1 + u ，于是就有 f ( t , u , v , w 川( 顽未面+ 刍) + 刍i i + 万舞训。面击可+ 刍 取( z ) = 所以慨( “) f i 嘉+ 南：由于 ( “) = ：“ 厂删m 州c s 门未而+ 画1 + 蟊1 + 瓣1 卜i = 蠡+ ；+ 百1 + ； ，且z + 。e ( t ) 出= 丕+ ； + o 。，即( h 。) 满足 令厶= ，生三k ，其中鲰2 赢畿葛， k = 嚣( v l + i + ”：。) + 上n 2 ( 1 + t ) 4 叫。，则 对vt ，和任意有界集d 1 ，d 2 ，d 3ce ，有 。( ”( t , d r , d 2 , d z ) ) = 蒜 且。墨i h n ( t ，札，”，叫) s ! 掣+ 赤1 1 ”1 1 及类似于文f 1 j 中例2 i 2 的证明方法寸搏对vt f 12 9 1 vt j ；u ，t j ，e 幂0 用对角线法贝1 ，和任意有界集d l ，d 2 ，d 3ce 有 a ( ( t ，d z ，d 2 ，d 3 ) ) = 0 ( 1 2 1 0 ) 由( 1 2 9 ) 与( 1 2 1 0 ) 得a ( f ( t ，d 1 ，d 2 ：d 3 ) ) s 揣于是取o i ( 。) = 赢南可，a 2 ( ) 三 0 ，3 ( t ) 三0 y i t u = 札，“( ，( d - ) ) o ( d 1 ) ，l t = ；，则铲赢出+ = 器+ j j f l p ( h 。) 满足 从而由定理1 2 坎结论成立 最一n、 = 删臻 击n | 】 = “ 6 l ” 上彬j + c 面吼赢矧 山乐师范大学硕士学位论文 1 3 一类非线性奇异脉冲积分微分方程初值问题解的存在性和唯一性 1 3 1 预备知识 设( e ，”| 1 ) 是一个实b a n a c h 空间，令j = o ，+ o o ) ，以= = ( k “圳，= 1 ，2 ，： t o = 0 ，0 t 1 t 2 ，且k _ o 。时，t k o 。 - g z p f c j , e = z p c i j , e 】：s u p “掣 + 。 ，容易看出p f c ，e 在范 数l l x l l p f = s u p 峰掣下成为一b a n a c h 空间，j | _ p f c j , e cp c j , 别 t e r 十 考虑一阶奇异脉冲积分微分方程初值问题 lz 7 = f ( t ，z ，t z j s x ) ， vt 。l t t k ，( k = l ，2 ，) ； z = x ( t + 0 ) 一z ( k o ) = 厶 ( 缸) ) ，t = t k ； ( 1 3 1 ) 【z ( o ) ：m 解的存在性，其中z o e ，l i mt k = + o 。，c 【( o ，+ 。) e e e ，e 】，f ( t ，z ，y ，z ) 可 能在t = o 点附近有奇异性，i k v i e ，别，= 1 ，2 ，( t x ) ( t ) = 厝k ( t ，s ) 。( s ) 如， ( s z ) ( ) = 产h ( t ，s ) z ( s ) d s ，k c d ，捌，d 一 ( t ，8 ) jxj ：t s ) ，h c y zr 】 以下谈到问题( 1 3 1 ) 的解是指。p f c g , e n c l i ，e ，并且z 满足初值问题( 1 3 1 ) 其中j 7 = j l ，t 2 ，) 用( - ) 和血尸f ( ) 分别表示空间e 和空i i j j p f c j , 捌中有界集 的k u r a t o w s k i i 非紧性测度有关非紧性测度的定义及性质参见 1 ， 1 2 】和 1 3 _ 设。( t ) ( o ，a 连续，如果极限! 骤。( t ) d t 存在，则称抽象广义积分口z ( t ) d t 收敛： 类似可定义其它各种“义积分敛散性 为了后面的应用，列出下列引理 ；j i n l 3 1 1 】若hcc | _ ，捌有界且等度连续，则口( h ( t ) ) 在上连续，且 a ( z 。( t ) 出：z 口) ) z 。( 日( t ) ) 出 其中= a ，翻 引理1 3 2 1 1 j 设bcp g i ，吲有界，在每个五= ( 靠乩t k 】( t o = a ，t m 十1 = b ，自= i