（科学技术史专业论文）和算消元法起源的历史考察.pdf

摘要 本文系统地考察了和算中消元法的历史起源以及发展过程，以时间顺序对和 算消元法的产生、初创、丰富以及成熟等各个阶段加以梳理，并进行了广泛的比 较研究。文章认为，宋元数学中的天元术以及代数化几何传统在r 本的传播以及 在和算中的应用，对和算消元法产生起了重要作用，和算家在天元术的基础上创 制的旁书法这类具有东方特色的文字符号代数方法，在代数化几何问题研究中的 应用，是和算消元法形成的关键。文章考察和比较了关流学派与同时代的京坂地 区和算流派在消元法方面的工作，分析和总结了这些消元法的特点与规律，试图 解释这些算法的渊源关系，并将和算消元法与中算的朱世杰四元消法作比较，以 说明和算代数方法的进步及其对宋元代数学的发展。 文章主要分为四大部分： 第一部分，主要介绍了和算著作古今算法记中的天元术内容和方法，分 析它与中算著作算学启蒙的关系，重点论述和算对中国天元术的吸收过程。 第二部分，主要围绕关流和算家关孝和发微算法及其弟子建部贤弘发 微算法演段谚解中的演段、解伏题内容和方法展开分析，论述关流学派在消元 法创立方面的贡献与方法特征，同时考察同时代京坂地区具有代表性的和算著作 算法明解、明元算法、和汉算法、一极算法等书中的消元方法，横向 比较京坂地区和算家的消元法与关流学派的异同。 第三部分，主要分析关孝和的解伏题之法，建部贤弘的大成算经和 井关知辰的算法发挥中的消元方法，认为这些著作中的消元法是和算消元法 的成熟阶段。 第四部分，总结和算消元法的特点与规律，并且与中算四元消法做出了纵向 比较，揭示出和算在代数系统以及机械化程度方面的进步性。 关键词：消元法天元术旁书法机械化 a b s t r a c t t h ea r t i c l em a _ k e s 锄i n v e s t i g a t i o ni n t om es o u r c eo fn l ee l i m i n a t i o nm e t h o di n w a s 觚锄di t sd e v e l o p i n gp r 0 - c e d u r e t h ep h a s e so fi t so r i 西n 、e s t a b l i s e n t 、 a b u n d a n c e 铷1 dm a t 谢t ya r e r e 卵屹c t i v e l ya r r a n g e di nc h r o n o l o 西c a lo r d e ra 1 1 da r e c 枷。do u t b yw i d e r a n 百n gc o m p a r a t i v es t u d i e s i l lt | l ea u t h o r s p e r s p e c t i v e ， t i 锄y u a n s h u ( 天元术) a n dm et r a d i t i o no fa l g e b r a j cg e o m e n yi nm a t l l 锄a t i c so fs 0 n g a n dy - u 锄d y n a s t i e sh a sp l a y e d 缪e a ts i 鲥f i c 锄c ei nw a s 锄e l i m i n a t i o nd u n n gt l l e p r o c e s so fi t s 仃锄s m i s s i o na i l da p p l i c a t i o n i ti sap i v o t a li s s u ei nt h es h a p eo fw a s a i l e l i m i n a t i o nt h a tw a s a n | ( ah a sc r e a t e dp a n 2 h u f a ( 旁1 5 法) o nt i l eb a s i so f t i a n y u a n s h u w h i c hs h a r e st h ef e a t u r ei ni t ss v i i l b o l i cc h a r a c t e rm e t h o do fo r i e n t a l c u l t u r e m e a n w h i l e ，t h ea u t h o ri n s p e c t sa n dc o n t r a s t st h ep 柏舯a n c eo fg u a na 1 1 di t s c o n t e m p o “l r ys c h 0 0 1i na r e at b k y oa n do s a k ai nt e m l so fe l i m i n a t i o nm e t h o d s a r e r t l l a t ，锄a l y s i sa n ds l 明【1 1 ：i 】a t i o no fe l i m i n a t i o nf e a n l r e sa l l di t sr e 2 舢l a rp 撒锄a r ea l s o o b t a i n e ds 0 鹤t oe x p l a i nm eo r i 西n a lr e l a t i o n s 锄o n gm e s em 曲o d s h lt l l e 即d ，m e a u t h o rc o m p a r e sm ee l i m i n a t i o nm e t h o d si nw 弧a na l l di t sc o u m e r p a r to fz h us i l i j i e s i no r d e rt oi l l u s t r a t et h ea d v a n c eo f v 沌s a na n di t si n n u e n c et 0t h ea l p r e b r ao fs o n ga n d y u 锄d y l l a s t i e s t h ea r t i d ei sm a i n l vd i v i d e di n t of o l l rp a r t s ： i i lp a r to n e ，i tm a i l l l yi n t r o d u c e st h ec o n t e i l t sa n dm e t h o d so ft i a n y u a l l s h ui n w a s 勰w o r k sg z 泌“口甩屈板古今算法记) 觚da 1 1 a l y s e st l l er e l a t i o l l sb e m e e i l g z 矿沁“口删fa 1 1 d 砌口艇甜叼砌p 略( 算学启蒙) n l ea u t h o rp l a c e s 黟e a t 锄p h a s i so n t 1 1 ea b s o r p t i o no f t i a n v u a l l s h ui nw a s 锄 i i lp a r t 帆o ，i ti sm a i n l y0 nt i l ei n d e p m 锄a l y s i sa b o l ny 缸c i u a n ( 演段)a n d r f 勋砌i ( 解伏题) i nf 伽馏西船玎屈( 发微算法) a l l d ，c z 愀癜“册屈粥以幽口万矽巧抬( 发 微算法演段谚解) nd i s c u s s e st h ec o n t r i b u t i o na n di t sf e a n l r e so fg u 锄i ne l i m i n a t i o n a n di n s p e c t st h em e t l l o d si nt h eo d n t e i n p o r a r vt y p i c a lw a s 锄w o d ( si na i - e at b k v o 觚d o s a k a ，s u c ha s 砌口，咖m 以痧把( 算法明解) 、胁彬嬲甜口咖( 明元算法) 、 胁 口嬲凇，z 向( 和汉算法) a i l dy 可西湖聆廊( 一极算法) l a t e r a jc o m p 撕s o nh a sb e e n m a d et os h o wt h es i m i l a r i t i e sa n dd i 嗣良黝c e sb e 【w e e nt w os c h o o l s 1 1 1p a r tt l l r e e ，i ti sm a i n l y0 nt h ee l i m i n a t i o nm e t h o d si n 坍咖f 砌洳( 解伏题之 法) 、 d 口砌p 馏s “口，彬，咨( 大成算经) a i l d 跏口蝴矗甜f ( 算法发挥) t h e i li tl e a d s t ot h ec o n c l u s i o n 廿1 a tm em e t h o d sa b o v ea r et h es i 2 皿o f w a s 卸m a t u r i t y i i lp a r tf 0 u r t h ea u t l l o rs u m m 撕z e st l l ef - c a t i l r e sa n dl a w so fw a s a ne l i m i n a t i o n a n dg i v e st h el o n g i t l l d i n a lc o m p a r i s o nb e t 、嘲w a s a ne l i m i n a t i o na n df o u re l e n l e n t s e l i m i n a t i o n i nc o n s e q u e n c e ，i tr e v e a l st h ea d v a n c e m e n to fw a s a ni nt h ea s p e c t so f a l g e b r a i cs y s t e n la n dd e 田e eo f m e c h a n i z a t i o n k e yw o r d s ：e l i m i n a t i o nm e t h o d st i a n y u a n s h u ( 天元术)p a n g s h u f a ( 旁书法) m e c h a i l i z a t i o n 和算消元法的历史考察 独创性声明 本人声明所璺交的论文是我个人在导师指导下进行的研究： 作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得叁叠竖整盘茔或其它教育机构的学位或证二抒而使用过的材料。 与我一同1 j 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 皇l 基 日期：2 q ! q 生垒旦 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范人学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供商阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印什和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签 名：一驾且一导师签名： 2 和算消元法起源的历史考察 和算消元法起源的历史考察 第一章绪论 1 1 问题的提出 由于历史文化与地理条件等因素的影响，古代文化的发展形成了东方和西方 两大主流，数学作为古老文化的重要组成部分，自然也形成了东方与西方两种迥 然不同风格的体系，东亚传统数学乃古代东方数学文化的典型之一。 中国传统数学经历了从古代到明末大约两、三千年的发展历史，由于其自身 的历史渊源及固有的民族特色，形成了自己独特的发展道路、模式、风格及特点。 中国古代数学的特点以算法为中心，讲究实用，先进的记数法与计算工具是中国 古代在计算技术方面处于世界遥遥领先的地位1 。 代数是中国古代数学中最发达的部门，中国古代的代数实际上是方程解法的 同义语。方程发展源流是由两个不同方面发展而来的。其一是由远古时期物物交 换导致的盈不足术而发展成为“方程术。其二是由测量和几何问题导致的数值 方程的代数求解问题。中算的代数学沿着这两条路径向纵深发展。2 代数学需要相应的代数演算系统作为支撑，中国古代代数学确立的标志是天 元术这种代数表示法与演算系统的形成。天元术的形成经历了漫长的代数思想的 演变，汉代以来所形成的代数思想和代数演算方式语言代数、几何代数都对 于中算代数学的形成产生过重要作用，随后，宋代数学家李冶、朱世杰等人将天 元术这套代数演算方式进一步发展，从而导致宋代代数演算方法的高度发达，而 产生以“演段 为中心的代数演算方式，于是也迎来了中国传统代数学发展的高 潮。元代以后，大约从1 3 3 0 年前后起，数学研究逐渐发生变化，主导思想是数 学的普及化和大众化。虽然珠算得到迅速的发展并取代筹算成为中国传统数学的 主要内容，然而由于明代各种复杂的社会和学术原因，导致宋元数学著作大量失 传，宋元辉煌的代数演算方法像一颗闪亮的彗星转瞬即逝。3 日本文化是汉字文化圈文化的一部分，在汉字文化圈内，中国文化处于中心 位置，所以和算渊源于中国古代传统。中同之间的数学交流有悠久历史，中算对 和算消元法起源的历史考察 数学史论文集) 8 首先作了系统分析。后来，李迪在元代朱世杰在代数学方 面的贡献9 一文中从五个方面讨论了朱世杰在代数方面的贡献，即推广和提出 一些概念；把多元方程化为一元方程；对方程的表达；对高次方程的研究；并且 对朱世杰工作的进行了评论。胡明杰在四元术的数学基础l o 一文中，认为四 元术作为中国传统数学中解多元高次方程组的巨大成就，在中国数学史上占有极 其重要的地位，他认为四元术的消元法，主要采用两种方法，即“互隐通分相消” 和“剔而消之 ，而这两种方法又是更基本的“内二行外二行相乘相消”方法的 推广。“内二行外二行相乘相消”的思想源于九章算术中的方程术及其刘徽 注。后者通过对特定位置及其关系的确立发展了中国传统数学中的位置数学并完 成了对线性方程组的求解。“内二行外二行相乘相消”方法正是对这一位置数学 思想的又一发展。 关于宋元数学的机械化特征，吴文俊有过一系列论述，李文林在数学与 思维机械化之路坦的文章中认为，在人类脑力劳动中，数学具有特殊的和典型 的地位。数学是其它科学的基础，数学化正成为现代科学技术发展日益明显的趋 势。因此，数学机械化对于整个脑力劳动的机械化来说也具有特殊的甚至是关键 的意义。通过数学思维的机械化来实现更广泛意义上的脑力劳动机械化，这是人 类长期以来梦寐以求的目标。文章探讨并力图简明地概括了数学机械化的历史渊 源。其中对中算机械化的探讨，对于我们在整体上把握中算与和算的历史意义有 着指导性的作用。 关于和算消元法的研究，最初是林鹤一发表的“t h e “f u k u d a i ( 伏题) a n d d e t e r m i n a n t si nj a p a n e s em a t h e 眦t i c s 1 3 ，文中指出关孝和的解伏题之法 比莱布尼兹更早地发明了行列式，从此而后，和算史界一直关心和算家在行列式 展开方法的业绩。三上义夫则从“演段”方法入手，介绍关流的消元法h 。徐泽 林的中算数学机械化思想在和算中的发展1 5 一文，首先从数学机械化的视角 对和算解伏题( 多元高次联立方程组求解问题) 提出新的认识，重新讨论和算解 伏题的消元理论问题，认为和算解伏题是中算代数化几何与以天元术为核心的代 数演算的机械化数学传统的后续发展。随后，同本和算史界也出现了一些围绕“解 伏题”方法的数学视角研究和历史视角的研究，如佐藤贤一- 6 着文指出，关孝和 并没有给出行列式概念和系统的理论，只是给出一种展开方法。后藤武史的关 孝和行列式展丌算法中之错误的改j 下r 7 的文章中，讨论了算学家关孝和对于超 过一个未知量的方程组的辅助变量的行列式的消元法。认为由于五阶行列式展开 中的一个错误，他的理论没有得到应有的肯定，且迄今为止所有的修改方案都不 能令人信服。为此，提出了一个新的改正。野吕正行利用计算代数理论和方法特 别是中国数学家吴文俊数学机械化的“吴方法 检讨了关孝和“解伏题 方法1 8 ， 3 和算消亡法起源的历史考察 木村欣司，平野照比古，横山和弘等人则利用计算机算法检验关孝和数学著作中 的数学问题9 ，荒井千里、森继修一等人在利用吴方法检验了古今算法记 1 4 个遗题的数值解2 0 ，这些研究都表明和算“解伏题 的机械化意义。 1 3 本文研究的问题及研究方法 在关于和算代数学方法的研究中，大都从算法和代数学的角度来研究的，至 于和算消元法产生的实际的历史情况并不十分清楚，尤其是缺乏对关流以外和算 家的消元法进行研究和梳理，以及各种流派消元法的关系缺乏研究。本文主要以 和算消元法的起源与发展为中心，在原始资料和前人研究的基础上，考察中国传 统数学中代数方法和消元法对日本传统数学产生的一系列影响，解读1 6 7 0 年至 1 7 3 0 年问各种流派的和算的主要数学著作中的消元法内容，通过分析与比较， 梳理出和算消元法形成与发展的历史脉络，进而论述它的数学机械化意义。由此 而达到进一步认识东亚传统代数学发的历史和现实意义。 本文考察资料的历史跨度较大，对于全面考察中日传统列方程之法，代数演 算发展的整体过程有重要的意义，旨在搞清其发展的线索，对于探讨数学发展的 内部规律，数学交流都有重要的价值。 本文主要采用文献法及吴文俊2 1 所提出的，“古证复原三原则以及历史主 义原则。从解读和分析中日数学原始文献资料入手，以代数演算发展的历史脉络 为线索，并在对大量二次文献和三次文献进行逻辑分析。 4 和算消己法起源的历史考察 第二章和算对天元术的接受与改进 中同之间的数学交流有悠久历史，中算对日本传统数学和算的影响最 为显着和深刻。因此要研究和算中消元法的源与流，就必然要首先阐明中算代数 学方面的主要成就，以及这些代数知识和方法在和算的影响。 2 1 和算与中算天元术 2 1 1 算法统宗对和算的影响 一般认为，真正拉开和算时代序幕的，是毛利重能的学生吉田光由的尘 劫记( 1 6 2 7 ) 。2 2 在1 6 4 1 年( 宽永1 8 年) 的版本中，首次出现日本数学的一种 特有形式遗题继承。所谓遗题继承，就是某和算家在自己所著的和算书卷末， 提出一些数学难题以示读者。其弟子、门人或其它读者在经过努力研究，解决了 难题之后，一般要着难题解答之书，并在卷末更加深入地揭示问题，提出难度更 高的问题，让弟子、门人或者其它和算家去研究解决，从而进一步将研究引向深 入。比如泽口一之于1 6 7 1 年著古今算法记七卷。书中对改算记、算 法根源( 载有遗题1 5 0 个) 等著作中的遗题做了解答，并在卷末又提出了十五 道遗题。后来，关孝和在其最初的著作发微算法中对这十五道遗题做出解答 ”。另外，还有许多和算书之间有着遗题继承关系。这种遗题继承对数学问题的 深入研究、和算家之间展开学术研究的相互竞争，以及对和算著作的保存和流传 等均起到积极的促进作用。在解决问题方面，异派相争，学术空气活跃，促使问 题得到尽快解决。另一方面，各流派之间在解决问题的方法方面于某种程度上相 互不通信息，这又是对数学的发展不利的一面。但从总体上来讲，对和算的迅速 发展、繁荣做出了积极的贡献。 中国数学的第二次引进日本，是1 6 世纪至1 7 世纪初，宋、元、明时代的数 学一些著作传播于日本。和算始于江户时代初期，即1 7 世纪上半叶中国元、明 数学传入之后诞生、发展起来的。 进入1 7 世纪后，日本各地的战乱逐渐平息，社会生活进入和平稳定时期， 随之经济逐渐趋向繁荣，社会对数学知识的要求越来越强烈。同时，日本与明朝 的海外贸易也逐渐增多。在这种社会背景下，元、明数学开始传入日本。其中最 5 和算消兀法起源的历史考察 重要的两部算书为算法统宗和算学启蒙2 42 5 。 2 1 2 算学启蒙对和算的影响以及天元术的传播 算学启蒙是元代著名数学家宋世杰所著的数学著作，它在中国最初刊行 于1 2 9 9 年，再版于明代初年。该书在明代初年已经传失，直到1 8 3 0 年代未中国 数学家才获得它的朝鲜刊本并在中国复刻，使其在中国再度流行丌来。这部著作 对中国明清数学的发展没有产生大的作用，但它在同时期的日本和朝鲜却相当流 行，有极大的影响。算学启蒙在日本江户时代流传甚广，其重要作用是传播 了发达的元代数学知识与方法，对和算的进一步发展起了重要作用。初期和算是 在接受中国明代商业实用数学的基础上形成的，1 7 世纪后期以来，随着和算家 引进、吸收中算工作的深化，其工作重点已从研究明代数学转向了以研究宋元数 学为主。和算家对算学启蒙的重视程度也超过了算法统宗，算学启蒙 在和算理论方法的发展中扮演了更重要的角色。算学启蒙的重要作用是为和 算输入了天元术这种先进的数学方法，对和算进入以代数学为中心的阶段起了很 大的促进作用。 算学启蒙由总括以及上中下三卷组成，并且在总括中叙述了数学的一般 法则。上中下卷分为二十门： 纵横因法门，身外加法门，留头乘法门，身外减法门，九归除法门，异乘同 除门，库务解税门，拆变互差门，田亩形段门，仓屯积粟门，双互换门，求差 分和门，差分均配门，商功修筑门，贵贱反率门，之分齐同门，堆积还源门，盈 不足术门，方程正负门，开方释锁门。 在最后的开方释锁门中有3 4 问，其中第8 问以下使用天元术解题。下面以 第八问来简要说明一下算学启蒙中是怎样使用天元术的。 第八问：今有直田八亩五分五厘。只云长平和得九十二步。问长平各几何。 答日。平三十八步。长五十四步。 o 术日：立天元一为平i i i 在，以减云数余为长。用平乘起为积 寄 左。 6 和算消元法起源的历史考察 ：。莉 当i l 列亩通步。与寄左相消得丌方式，平方开之得平。以减和步即 长。合问。抽 用现代代数符号表示就是：设x = 平，用x 减只云数，得到的是长，即长= 9 2 呵， 用平乘以长，即可得到长方形的面积s = 9 氖o ，寄左，又s 一2 0 5 2 ，与寄左相消 可得开方式：2 0 5 2 + 9 及0 = 0 ，平方翻法丌之可得平，用和减去平即可得长。 以上就是算学启蒙中建立方程序的过程。朱世杰对开方术在列方程式的 作用作如下论述： “按此以古法演之，和步自乘得八千四百六十四，乃是四段直积一段较幂也， 列积四之，得八千二百八，减之，余有较幂二百五十六，为实，以一为廉，平方 开之，得较一十六步，加和，半之，得长，长内减较，即平也。今以天元演之， 明源活法省功数倍，假立算于太极之下，如意求之，得方廉隅，从正负之数， 乃演其虚积，相消相长，而脱其真积也，予故于逐闯，备其细草，图其纵横，明 其正负，使学者粲然，易晓也。”2 7 1 6 5 8 年，吉田光由的弟子久田玄哲出版了经训点的算学启蒙，由此开始 引入中国的“天元术，和算家对算学启蒙中的天元术知识的理解经历了一 段曲折的过程。天元术随算学启蒙与授时历传入日本后，和算家很长一 段时间都不能理解这种代数方法，不理解天元术的真正含义，虽然和算家著作中 有时也出现“以天元一为实”、“以天元一为负廉”等语出现，但与明代中算家一 样不解其理。第一个理解天元术的是大阪人桥本正数，京都人泽口一之是其弟子。 泽口一之的古今算法记在同本首次使用天元术解题。泽口一之在古今算法 记中多次提到算学启蒙一书，或引用其内容。他在古今算法记跋中说： “夫算道之理，总谓之则方圆之二也。然方理易得，圆理难明矣。近世所刊行阅 算书，虽有弧矢弦法，非正术，故谬甚多焉。圆理难测和汉共相似，既 如算学启蒙有古新蜜之三术。虽然予窃考之，圆理妙术有之，明故有厚志人 可面授焉。2 8 从上面的论述中我们可以清楚地发现和算家泽口一之已经对算学 启蒙进行过深入地了解，并开始了和算的独立研究与发现，甚至对圆理的发展 做了很重要的工作。 日本的天元术便是从算学启蒙和古今算法记这两本书开始的。 7 和算消无法起源的历史考察 2 2 古今算法记对天元术的应用 宽文十一年( 1 6 7 1 年) 泽口一之( s a w a g u c h ik a z u y u k i ，生卒年不详) 刊行了 古今算法记，是解答改算记和算法根源记中遗题的著作，书末又提 出1 5 个遗题。该书第一次利用天元术求解数学问题。桥本正数、泽口一之、田 中由真( t a n a k ay o a h i z a n e ，1 6 5 l 1 7 1 9 ) 等人，活跃于大阪、京都一带，对天元术 的普及作出了重要的贡献。 下面举出古今算法记具体应用天元术的例子。 已知正方形内包含一个圆，j 下方形与圆之间的面积是8 1 9 7 2 ，圆周长减去 正方形边长( 1 ) 为8 3 5 2 ，问正方形边长和圆的直径。 “术日”即解答过程，“立天元一为圆径”，即设x = 圆径，自之得x 2 ，再以7 8 5 5 相乘，得7 8 5 5 x2 ，即为圆的面积，加上圆与j 下方形之间的面积为正方形的面积， 7 8 5 5 x2 + 8 1 9 7 2 = s 疗( 寄左式) ，再用3 1 4 2 x - 8 3 5 2 = l 方，“自之”，即 ( 3 1 4 2 x 8 3 5 2 ) 2 = s ，? ( 相消式) ，寄左式减去相消式得到开方式，平方翻法开之 即得到圆径，进而得到证方形的边长。 8 和算消元法起源的历史考察 第二题： 已知正方形内包含一个圆，正方形与圆之间的面积为1 7 4 7 2 8 ，圆的直径与 周长之和减去正方形的边长为1 8 1 3 6 ，问正方形边长和圆的直径。 解：设x _ 圆径，7 8 5 5 x2 = ，7 8 5 5 x2 + 1 7 4 7 2 8 = 妨( 寄左式) ，再列 3 1 4 2 x + x 1 8 1 3 6 ：d 方，等式两边同时平方，得到( 3 1 4 2 x + x - 1 8 1 3 6 ) 2 = d 身= 岛( 相 消式) ，寄左式减去相消式即得到个关于x 的一元二次方程，平方翻法开之即 得到圆径工。 第三题：已知正方形内包含一个圆，正方形与圆之间的面积为1 2 4 5 7 2 8 ， 正方形边长的平方根与圆的周长之和为3 1 1 3 6 ，问正方形的边长与圆径各是多 少? 解：设x 2 圆径，7 8 5 5 x 2 = ，7 8 5 5 石2 + 1 2 4 5 7 2 8 = ( 寄左式) ， 再列3 1 1 3 6 3 1 4 2 x = 小i ，方程两边同时四次方，即得( 3 1 1 3 6 3 1 4 2 x ) 4 = 勤( 相 消式) ，寄左式减去相消式得到关于x 的一元四次方程，三乘方翻法开之即得圆 径，边长亦可求。 9 和算消元泫起源的历史考察 从上述三例中可以看得出，作者在古今算法记中，已经深刻理解天元术 的内涵，并已经能够较为熟练地使用天元术来建立一元高次方程并且求解，为以 后和算的进一步发展奠定了坚实的基础。 古今算法记的问世，标志着和算家已经正确理解、消化了天元术，和算 从此进入了以代数为中心的阶段。1 7 世纪中叶至1 8 世纪初，在和算家中兴起了 学习、应用和研究天元术的热潮，涌现出大量有关天元术的著作。因此，算学 启蒙也在此时得到了更为广泛的传播，天元术很快便在日本得到普及。 古今算法记刊行后不久，关孝和第一部刊本数学书发微算法于延宝 二年( 1 6 7 4 年) 问世，此书是为解答古今算法记1 5 个遗题而作的，全部用 天元术解题，从此确立了天元术在和算中的中心地位。 l o 和算消元法起源的历史考察 第三章和算消元法的产生阶段 发微算法与发微算法演段谚解这两部算书，在和算史上具有极为重 要的地位。关孝和在泽口一之天元术的基础上，将其改进成为“傍书法”和“演 段术2 9 。发微算法标志着和算文字代数方法和消元法的产生。不过，旁书 法没有明确记载于发微算法，而且消元的具体过程并未在发微算法中记 录下来，关孝和在解题过程中使用了这些方法，而著作时只记录解题各主要步骤 演算结果。建部贤弘的发微算法演段谚解解说了关孝和解多元高次方程组的 消元方法的步骤，这些成果不仅在当时的东亚数学圈中独树一帜，而且在世界数 学中也处于领先地位，比如行列式展开研究就比西方数学要早，值得一提的是关 流学派在形式上完全使用独立于西方字母体系的“旁书法”即用汉字以及日 语假名来表示代数关系中的量，并且形成了具有鲜明东方特色的代数体系。发 微算法以及发微算法演段谚解在和算关流流派的形成中具有开创性的意义， 关孝和的弟子们在这两本著作的研究基础之上，进一步开拓创新，进一步推动了 和算的向前发展。 本章首先分析发微算法和发微算法演段谚解中的消元方法以及特点。 3 1 发微算法 3 1 1 发微算法的主要内容 发微算法( 1 6 7 4 ) 的作者是关流和算创始人关孝和( s e k it a k a k a z u ， 1 6 4 2 7 1 7 0 8 ) 。该书是关孝和生前出版的唯一一部著作，干j j 行于延宝二年( 1 6 7 4 ) ， 是关孝和解答泽口一之古今算法记( 1 6 7 1 ) 书术的十五个遗题的数学著作。 关孝和为了解答这十五个遗题，使用了他自己发明的傍书法和演段术，给这十五 个问题做出解答。 关孝和在该书的自序中称：“至其演段精微之极，依文繁多而事混杂，省略 之 ，其所谓的“演段精微之极”，表明他解题中使用的是“演段”。至于何谓“演 段 ，他没有明确说明。 发微算法十五个问题的解答，都是利用天元术，通过代数演算归结为 求一元高次方程的数值解，尤其是十三问与十四问，演算过程最为复杂。 和算消元法起源的历史考察 3 1 2 发微算法中的消元过程 下面就以该书第五问解答过程，来看看他的演段过程，以说明关孝和的消元 方法。 今有甲乙丙丁戊立方各一，只云，甲积与乙积相并共寸立积七百坪，又丙丁 戊积各三和共寸立积五百坪，问甲乙丙丁戊方面各几何，乃甲乙丙丁戊方面之差 各同寸也。 答日，依左术，得戊方面。 术日：立天元一，为戊方面，再自乘之，为戊积，寄予位。列并先云数三段， 与子位一十五段，得内减又云数七段，余寄丑位。列又云数九十一段，内并减先 云数九段，与子位贰佰五十五段，余寄寅位。子位幂丑位相乘二千一百八十二万 九千五百段，子位丑位幂相乘三十六万五千令一十段，子位丑位寅位相乘一十七 万七千三百三十段，右三位相并得数寄左。子位寅位幂相乘六千六百段，寅位再 自乘四十九段，右二位相并得数与寄左相消，得开方式。八乘方开之，得戊方面。 仍推前术，得甲乙丙丁方面，合各问。加 如果用甲、乙、丙、丁、戊分别代表五个立方体的边长，那末问题就变为： 甲3 + 乙3 = 7 0 0 已知：丙3 + 丁3 + 戊3 = 5 0 0 甲一乙= 乙一丙= 丙一丁= 丁一戊 求甲、乙、丙、丁、戊。 用现代的代数符号来表示就是： 即设x 一戊，敢= 戊积) 子，又设雯霎萋三罴：焉i 篇二5 。曲 3 口+ 1 5 x 3 7 6 ( 丑) ，9 1 6 一( 9 口+ 2 5 5 石3 ) ( 寅) ， 2 1 8 2 9 5 0 0 子2 丑+ 3 6 5 0 1 0 子丑2 + 1 7 7 3 3 0 子丑寅( 左) 6 6 0 0 子寅2 + 4 9 寅3 = 左， 至此得到一开方式，将前面的子、丑、寅、左式分别代入可得： ( 9 1 6 9 口一2 5 5 j 3 ) 2 6 6 0 0 x 3 + 4 9 ( 9 1 6 9 口一2 2 5 ) = ( 3 口+ 1 5 ，一7 6 ) 2 1 8 2 9 5 0 0 ，+ 3 6 5 0 1 0 ( 3 口+ 1 5 2 3 7 6 ) + 1 7 7 3 3 0 ( 9 1 6 9 口一2 5 5 ，) ， 得到一个关于工的九次方程，从中八乘方开之即可以解出戊方面，问题便得到解 1 2 和算消元法起源的历史考察 决。 在以上的演算中，显然要将含有甲、乙、丙、丁的量换成关于戊的式子，也 就是说，要逐渐进行代换或消元，消去甲、乙、丙、丁，只剩下戊，从而获得关 于x 的一元方程。 可是，关孝和未在发微算法中没有说明如何得到上述的方程式，这样后 人也不明了他是如何使用旁书法和消元法的。以下我们根据建部贤弘的发微算 法演段谚解，对其推演过程进行复原，以揭示其消元方法。 因为各立方体的边长等差，可以设这个相等的差为y ，那么各边长即为： 戊方面= 而丁方面= x + y ，丙方面= x + 2 y ， 乙方面= x + 3 y ，甲方面= x + 4 y 上述问题就转化为： ，+ ( x + y ) 3 + ( 工+ 2 少) 3 = 6 ( x + 3 y ) 3 + ( x + 4 y ) 3 = 口 下面以y 为主变元重新整理上面二式： 厂( y ) 三( 3 工3 6 ) + 9 2 2 j ，+ 1 5 砂2 + 9 y 3 = o g ( y ) 三( 2 ，一口) + 2 1 工2 y + 7 5 砂2 + 9 l y 3 = o 要从上面两个方程式中消去y ，目的是得到一个关于x 的方程。 为了计算次数消去两式中的y 枷3 项，有： 3 9 一7 厂兰( 7 6 3 口一1 5 ，) + + 1 2 0 拶2 + 2 1 0 j ，3 = o 9 1 厂一9 9 兰( 一9 1 6 + 9 口+ 2 2 5 j 3 ) + 6 3 0 x 2 y + 6 9 0 砂2 = o 在关孝和的术文中，丑、寅都是不含y 的项，所以将丑、寅做移项整理， 丑三一7 6 + 3 口+ 1 5 ，= 1 2 0 w 2 + 2 l o y 3 寅三9 1 6 9 口2 5 5 ，= 6 3 0 x 2 少+ 6 9 0 砂2 丑、寅两式的左边不含有y ，从右边设法消去y ，其做法在关孝和的术文中 已经给出： 已知子= ， 子位幂丑位相乘2 1 8 2 9 5 0 0 段， 子位丑位幂相乘3 6 5 0 1 0 段， 子位丑位寅位相乘1 7 7 3 3 0 段， 右三位相并，得数寄左。 和算消元法起源的历史考察 子位寅位幂相乘6 6 0 0 段， 寅位再自乘4 9 段， 右二位相并得数，与寄左相消，得开方式。 关孝和的方法在建部贤弘的著作中有实际的计算过程： 3 6 5 0lo 丑2 x 3 = 5 2 5 6l4 4 0 0 0 x 5 y 4 + 18 3 9 6 5 0 4 0 0 0 x 4 y 5 + 16 0 9 6 9 41o o o 工3 y 6 4 9 寅3 = 1 2 2 5 2 3 0 3 0 0 0 x 6 夕3 + 4 0 2 5 7 5 6 7 0 0 0 x 5 y 4 + 4 4 0 9 1 6 2 l 0 0 0 石4 夕5 + 1 6 0 9 6 9 4 1 0 0 0 x 3 y 6 下面的计算，可以把右边的y 6 消去， ( 3 ) 式，1 7 7 3 3 0 丑寅，= 1 3 4 0 6 1 4 8 0 0 帆6 y 3 + 3 8 1 4 3 6 8 3 0 0 0 ，y 4 + 2 5 6 9 5 1 1 7 0 0 帆4 y 5 将上面几个式子加起来，可以得到，左边： 3 6 5 0 l o 子丑2 4 9 寅3 + 1 7 7 3 3 0 丑寅，右边的y 5 项可以消去。 式，6 6 0 0 寅2 ，= 2 619 5 4 0 0 0 0 ，y 2 + 5 7 38 0 4 0 0 0 弧6 y 3 + 3l4 2 2 6 0 0 0 0 ，y 4 用得式去减上式，左边可得：3 6 5 0 1 0 子丑2 4 9 寅3 + 1 7 7 3 3 0 丑寅，一6 6 0 d 寅2 ， 右边式子中的，项便可以消去。 最后一步，得( 1 ) 式，2 1 8 2 9 5 0 0 丑x 6 = 2 6 1 9 5 4 0 0 0 0 ，y 2 + 4 5 8 4 1 9 5 0 0 0 y 3 ， 从上式中减去左式，右边式子中的j ，3 ，j ，2 项可以消去。做移项整理之后可得： 3 6 5 0 1 0 丑2 j 3 + 1 7 7 3 3 0 丑寅x 3 + 2 1 8 2 9 5 0 0 王h 6 = 4 9 寅3 + 6 6 0 0 寅2 ， 到此为止，便可以得到关孝和的结果。 从上面的复杂的运算过程，我们可以看出关孝和在发微算法中已经包含 多元方程组的消元方法，它应该就是关孝和的演段术。 发微算法第1 4 问： 今有两平锥。只云：列甲乙丙丁成己寸各别别再自乘之。各其差云则者从 甲数而乙数者少寸立积二百七十坪。从乙数而丙数者少寸立积二百十七坪。从丙 数而丁数者少寸立积六十坪令八分。从丁数而成数者少寸立积三百二十六坪二 分。从戊数而己数者少寸立积六十坪。问甲乙丙丁成己几何。 问题是： 甲3 乙3 = 2 7 l 坪 乙3 丙3 2 1 7 3 坪 1 4 和算消元法起源的历史考察 丙3 丁3 = 6 0 0 8 坪 丁，戊3 = 3 2 6 2 坪 戊3 己3 = 6 1 坪 求甲、乙、丙、丁、戊、己。 关氏解答如下： 答日：得甲术，千四百五十七乘方翻法也。演脱多端而文繁。故略之乃其 起术演段大概日：立天元一为甲，依之得乙、丙、丁、戊、己各再自乘数从是。 脱己再自乘数，演段至十七乘方次。脱戊再自乘数，演段至五十三乘方次。脱 丁再自乘数，演段至一百六十乘方次。脱出再自乘数，演段至四百八十五乘方。 於是起术而脱乙再自乘数。求两位，适等相消，得开方式一千四百五十七乘方， 翻法开之得甲也。是则循诱入意，盖解难问之奥妙也。尤为学者当务之要也。 用础互珥 w 分别表示甲、乙、丙、丁、戊、己，根据题设条件和六斜术， 可列出以下6 个方程构成的方程组： 圹篇护+ 口，( 1 ) 夕2 护十b ， 。 ( 2 ) 牡3 = 矿+ 岛( 3 ) t ，3 = 矿+ d ， ( 4 ) 叫3 毒一+ e ，( 5 ) z 2 铭2 ( 一z 2 + 暑，2 + 名2 一心2 + t ，2 + t l ，2 ) + 暑，2 移2 ( z 2 一芗2 + z 2 + 牡2 一t ，2 + 加2 ) + z 2 钮2 ( 写2 + 影2 一z 2 + 铲+ 2 一 2 ) 一z 2 耖2 t ，2 一沪名2 t 2 一户舻移2 一让2 t ，2 2 茹o ( 6 ) 把方程( 6 ) 按w 升幂排列进行整理，得到 a + b 伽+ 甜嚣0 ( 7 ) 这里 a = z 2 t 2 ( 一z 2 + 旷+ z 2 一t 2 + t ，2 ) + s ，2 移2 ( z 2 一y 2 + 2 2 + u 2 一钞2 ) 一影2 户护一名2 2 2 移2 ， b 一z 2 ( z 3 + e ) ， c = 护“2 + 2 移2 + z 2 ( z 2 + 耋，2 一z 2 + u 2 + u 2 ) 一z 2 夕2 一铲口2 1 5 和算消无法起源的历史考察 如果记p = a ，q = b 硼，r = c 乞u 2 ， = 毒嚣茹焉：毒2 甚嵩引、嗡篮( p + q + r ) ( p + q 2 + 咒2 一p q q r r p ) = o r 7 成立的话，则作为六斜术结论的 a 3 + ( b 3 3 a b c ) 伽3 + g 3 t 户o( 9 ) 成立。因为a 、b 、c 中不含w ，所以从六斜术与( 5 ) 式消去w 后的方程是 a 3 + ( b 3 3 a b c ) ( z 3 + e ) + 伊( z 3 + e ) 2 盘o( 1 0 ) 因为a 、b 、c 分别是6 、5 、4 次式，所以这个方程是1 8 次方程。 接着再将( 1 0 ) 按v 的升幂排列整理，同上面一样，如果出现含扩的因子则 反复代入( 4 ) 式。这样得到用w 代替v 的( 7 ) 形式的方程。然后得到方程( 9 ) ， 代入( 4 ) ，这样就得到不含w 、v 的方程。( 7 ) 变成( 9 ) 的过程中系数a 、b 、 c 三乘，所以作为x 、y 、z 、u 的方程，应该是1 8 3 = 5 4 次方程。 同样，顺次消去u 、z 、y ，最后得到关于x 的方程是5 4 3 3 = 1 4 5 8 次方程。 以上思路比较清晰，但实际进行人工演算，计算量太大，不知道关孝和在这 个问题的演算中花费了多少时日的时间。 关孝和所谓的“脱己再自乘数 的话，就是指消去“己 ，因此其演算就是 消元法。 那么关孝和的演段方法意义如何? 检讨发微算法演段谚解可知，建部贤 弘所叙述的“演段法”，其实包括了两方面内容： 1 ) 傍书法； 2 ) 消长式，即对方程组 4 + 予x + 一+ 4 r = o 的消元法； 【b 一，= o 下文我们将进一步分析。 建部贤弘后来在大成算经中又指出：“演段者，述隐、伏、潜之题之术 也”，由此可见，建部贤弘所谓的演段，就是解多元方程组的代数演算方法。 从“演段”概念在同本的传播与演变，以及和算中消长法的形成来看，由于 以天元术为代表的宋元代数学方法在和算中获得了新生，使列方程、消元、解方 程称为和算中的基本问题，这也是和算后来超越宋元代数学而获得一系列重要成 1 6 和算消元泫起源的历史考察 果的原因所在。关孝和在此方面的基础性工作为和算的代数化与消元理论的发 达，做出了重要贡献。 3 2 发微算法演段谚解对演段方法的解说 3 2 1 发微算法演段谚解内容概述 关孝和略去了演段过程，致使当时和算家多不明演段法之真相，从而也容易 曲解发微算法中的代数方法，甚至出现对他的责难。为此，关孝和命弟子建 部贤弘著研几算法对反驳一些和算家的曲解和责难。两年后，建部贤弘又著 发微算法演段谚解( 1 6 8 5