（系统分析与集成专业论文）利率期限结构及其风险定价和套期保值的动态方法.pdf

! ! ! i 生土竖盔堂亟堂焦途塞! 摘要 债券市场是否长期存在着套利机会是金融学一直争论不休的问题许多的经济 学家用统计数据来证明债券市场是有效的，从而是无套利的。而现实中市场的参与 者叉在长期不懈的寻找套利机会，以便获得超额利润。市场上经常有人声称已经击 败了市场，取得了超额的利润。但是，在一个较长的时间维度里考察数据，我们注 意到几乎所有的债券基金收益都不如债券市场的综合指数收益( 平均利润) 。好像 在债券市场上存在着无为而治的现象，积极进取反而不能获得平均利润 本文第二章利用的线性优化技术和一些简单的数学变换得出：在存在着交易成 本的债券市场上，弱无套利和相容期限结构是等价的。这样判别债券市场是否存在 套利机会，只要看债券市场上的期限结构是否相容即可相容期限结构可以用数学 方法精确定义，这就为投资者判别市场是否存在套利机会提供了简单可行的办法。 无论是否存在着套利机会，所有的市场参与者都面对资产的精确定价问题。这 离不开一个核心变量一利率。为了要精确定价，利率曲线的计算必不可少 本文第三章提出将零息票债券利率曲线参数化为一个多参数函数，进而将曲线 拟合问题转化为一个非线性优化为题这样我们就可以用一个修正的牛顿算法解这 个非线性最优化问题从而为利率曲线的计算提供了一种现实可行的办法 关键词 ! ! ! i 生塑盔堂亟堂僮迨塞! ! 固定收益债券，时间价值，利率风险，相容期限结构，样条逼近，套期保值。 ! ! q 生上堂盘堂亟堂焦迨塞! ! ! a b s t r a c t t h et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e sp r o v i d e sab a s i sf o rp r i c i n gf i x c d i n c o m es e c u r i t e s a n di n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v es e c u r i t i e sa sw e l la 8o t h e rc a p i t a la s s e t s u n f o r t u n a t e l y t h e t e r ms t r u c t u r ei sn o ta l w a y sd i r e c t l yo b s e r v a b l eb e c a u s em o s to f t h es u b s t i t u t e sf o rd e f a u l t - f r e eb o n d sa r en o tp u r ed i s c o u n tb o n d s sw eu s ec u r v ef i t t i n gt e c h n i q u e sw i t ht h eo b s e r v e d g o v e r m e n tc o u p o nb e n dp r i c e st oe s t i m a t et h et e r ms t r u c t u r ei nt h i sp a p e r ，t h es p l i n e a p p r o x i m a t i o ni su s e dt oe s t i m a t et h eg o v e r n m e n tb o n dt e r ms t r u c t u r ew ea p p l yt h e s p l i n ef u n c t i o n st oa p p r o x i m a t et h ed i s c o u n tf u n c t i o n ，a n dw eu s et h er e s u l t st oh a 电et h e r i s k s k e y w o r d s ： f i x e d i n c o m es e c n r i t e s ，t i m ev a l u a t i o n ，i n t e r e s tr a t er i s k ，t h ec o m p i t a b l et e r ms t r u c t u r e s p l i n ea p p r o x i m a t i o n ，h a d g i n g 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 论文背景 利率期限结构描述的是无违约风险的纯贴现债券的价格和到期日( y i e l dt on l & - t m i t y ) 之问的关系。利率是指到期收益率( y i e l dt om a t u r i t y ) ，而到期收益率是指投 资者持有债券至到期日、如未发生拒付时所获的平均收益率。期限是指距到期日的 时间长度，例如年数、月数。由于利率因期限的不同而不同，从而形成利率的期限 结构( t r e mt os t r u c t u r e ) 实际金融市场中的利率是频繁波动的利率的波动，加上围绕着固定收益债券 不断的金融创新，使得固定收益债券受收益的不确定性日益突出，风险管理日趋复 杂化，以至于无论在理论上还是实践中，都形成了一个深刻的，有独特内涵的管理 领域。 分析利率期限结构有两种思路：( 1 ) 数值方法( 2 ) 均衡方法。数值方法使用曲 线拟和技术，利用市场上观察到的数据来估计利率期限结构，大的金融机构多采用 这种方法。该种方法思想简单。但是参数的经济意义不明显而均衡方法采用无套 利定价技术来考察期限结构，能够得到许多理论上的结果，多为研究人员使用。本 论文在分析和计算利率期限结构时就是按照这种逻辑：分析时采用均衡方法，计算 时采用数值方法。 r o s s “，在离散时间模型框架下证明了完全的无摩擦市场存在唯一的利率期限 结构，h o d g e s 和s c h a e f e r 吐r d n n 吼k a t z 和p r i s m a n n 研究了当市场有摩擦时与利 率期限结构密切相关的现金流估价问题并分析了经典的现值原理在这种情况下是如 何失败的，g a r m a n 和o h l s o n n 分析了当市场存在成比例的交易费用时的资产定价 问题，p r i s m “【6 】提出当市场存在着一般形式的税收摩擦时资产估价的一个一般框 架，d e r m o d y 和p r i 8 m a n m 】研究了当市场存在着买卖差价和税赋的现金流估价问 1 9 q 生上塑太堂亟堂焦丝毫! 题，j ”d l k e q 研究了当市场存在买卖差价和交易费( 买卖同一种资产的交易费相 同) 时，利率期限结构的套利上界和下界的估计问题，这就为有摩擦市场的无套利 均衡分析提供了一个框架。李伸飞| 1 0 1 进一步推广了上面的结果。 无论债券市场有无套利机会，我们必须解决另一个问题：债券是如何精确的定 价。对金融产品定价涉及到两个核心变量：利率和未来现金流。理想的情况下，未 来现金流是可以通过债券合约的条款来确定。未来利率的变动则复杂的多，它可能 受很多的因素推动。其中，期限是一个最重要的因素。本节所讲的利率主要是无风 险利率，因为像国库券、国债这类金融产品是几乎没有违约风险的，可以用它来计 算无风险利率。但是无风险利率并非总是能够直接从市场上观察的到，因为除了短 期国库券，大部分无违约债券( d e f a u l t f r e eb o n d s ) 的替代物都不是纯贴现债券。因 此，我们就有必要有一种方法能够利用市场上已经有的数据来推导出我们需要的无 风险利率曲线，即利率期限结构在推倒评估利率期限结构由两种模型：均衡模型和 数值模型。均衡模型主要是由一些学者提出来，例如v a s i c e k 【1 1 】，d o t h a n ”】，b r e n a n 和s c h w a r t z 【1 3 】，c 口等等。均衡模型基于如下的假定：模型中的某个变量例如 短期无风险利率服从一个随机过程，然后应用无套利定价技术推出整个利率期限结 构这个理论结果包含有效市场的无套利假定，但是他很难满足真实市场中观察到 的债券的价格和回报率通常，回报率曲线包含了各种各样的形状而不仅仅是均衡 模型推导出的一种形状相对于均衡模型，数值模型采用曲线拟合技术通过市场上 的政府债券价格来估计即期回报率曲线( t h es p o ty i e l dc o x v e ) 或者纯贴现回报率曲 线( p u r ed i s c o u n tb o n dy i e l dc u r v e ) 有许多的学者在这方面做出了巨大的贡献例 如，m e c u l l o d l 【1 5 1 ，c a r l e t o n 和c o 。p e r 1 6 1 ，s c h a e f e r 【蜊，以及v a s i c e k 帆df o n g 圳，还 有s t e e l e y 1 9 】和p h a m 【2 0 】等等因为，一份息累债券( c o u p o nb o n d ) 可以被看作一系 列到期日与付息日相容的纯贴现债券的资产组合。纯贴现债券的价格可以从市场上 流通的息票债券的价格中拆离出来。如果不考虑拟合技术的有效性，通过市场上真 实的数据得出数值模型可以描述出各种各样的曲线形状例如可以直接用于或h o 和l e e 2 1 、b a b b s 2 2 1 ，h e a l t h “，h u l l 和w h i t e 2 4 等等的模型利率期限结构数值估 计模型的目标就是得到一个与数据拟和较好同时光滑性和连续性都比较好的利率期 限结构函数这种方法是由s h e a 2 5 1 提出来，被s t e e l e y l 2 6 1 以及l i n 和p a x s o n 2 7 j 等人 ! q q 生土塑太堂亟堂僮迨塞 ! 成功推广和使用。先用样条函数和线性回归函数去逼近贴现函数，s t e e l e y ” 、l i n 和p a x s o n 【2 8 】等人就是使用这种方法。另外，学者也采用样条函数和非线性回归函 数去逼近即期回报率曲线，v a s i c e k 和f o n g l l “、c h a m b e r s “，等学者就是使用这 种方法。两种方法曲线拟和方法都是理论可行的但是，即期回报率曲线拟和方法 效果更好。作为一种可供选择的方法，我们也可以用样条函数直接逼近远期回报率 曲线。a d a m s 和v a nd e v e n t e r 【3 0 】，f r i s h l i n g 和y a m a m u r a l 3 1 】等人就是采用这种方法， 1 2 本文工作 如何判别现实债券市场上是否存在套利机会，以及如何对具有某种期限结构的 债券定价这两个问题，都必须关注利率期限结构这个核心变量 在考察债券市场上是否套利时，以前学者研究的几种交易成本都与交易规模成 比例，然而固定交易费是另一种性质的摩擦，它与交易规模无关，只与交易次数有 关当模型中加入固定交易费用时，破坏了原有支付函数的连续性，使问题变的复 杂了。 本文第二章详细考察了包括固定交易费在内的所有交易成本，拓展了j a s c h k e 提出的分析框架，用数学中的优化方法严格地证明了一个基本结论：在存在着交易 成本的债券市场上，弱无套利性与相容期限结构的存在性是等价的这样判别债券 市场是否存在套利机会，只要看债券市场上的期限结构是否相容即可由于已经将 识别市场是否存在套利机会的问题转化为求解线性规划问题。而线性规划是快速可 解的，并有像l i n d o 这样优秀的软件包可以利用。这就为投资者判别市场是否存 在套利机会提供了简单可行的办法 无论是否存在着套利机会，所有的市场参与者都面对资产的精确定价问题这 离不开一个核心变量一利率。为了要精确定价，利率曲线的计算必不可少许多学者 利用多项式样条函数或者指数样条函数，对市场上潜在的利率期限结构进行模拟， 例如，m c c u l l o c h 1 5 ，提出的三阶多项式样条函数法，以及v * i c 吐【1 l 】提出指数样 条函数法 本文第三章利用法国国库券市场的数据，对两种方法的效果进行验证和比较， 得出运用这两种方法均能推出理想的结果，而且结果非常相似但是，这两种模型 ! ! ! i 生上壅太堂亟堂僮迨塞 ! 在实际运用中，参数的经济意义不明确为了克服这种缺陷，本文第三章提出将零 息票债券利率曲线参数化为一个多参数函数，进而将曲线拟合问题转化为一个非线 性优化为题。这样我们就可以用一个修正的牛顿算法解这个非线性最优化问题。从 而为利率曲线的计算提供了一种现实可行的办法。 1 3 标准符号 下面，我们将在本文中所出现的标准概念及符号一一列举。 宣( t ，日) 代表的是起息日为时刻t ，剩余到期期限为0 年的零息票债券利率( 即到期 日为距离起息f j0 年) 它是零息票债券b ( t ，t ) 的每年内部收益率。因此有下列等 式成立 日( + 8 ) 2 而赢丽 ( 1 3 1 ) 在本书中，纯贴现率与零息票利率具有相同的专业含义。 r ( t ，口) 代表的是以时刻t 为起息日，剩余到期期限为口年的连续复合利率( 即到期 日为t + p ) 年它是将零息票利率矗( t ，p ) 连续重复计算得出的。它的计算公司如下 b ( t ，t + 0 ) = e x p 一e t ( t ，9 ) ( 1 3 ，2 ) 即等价于 r ( ，口) = 1 n 1 + 矗( t ，目) 】= 一i l l n 【b ( ，+ 口) 】 ( 1 3 3 ) n 代表的是即期利率，即当剩余到期期限0 0 时连续复合利率n ( t ，目) 的极限。 n 可被认为是剩余到期期限无限小的零息票债券的连续复合内部收益率。因此 n = 溉砒 4 ) 即等价于 n ：- 0 1 l nb r ( t , 一t ) b ( 13 5 ) n = 亚r f r = 。 l 。， f ( t ，8 ，t s ) 代表的是在时刻t 计算的，从时刻s 起息，剩余到期期限为t s ( 也 就是到期时刻为t ) 的远期利率f ( t ，s ，r s ) 也可被认为未来远期买卖债券的连 1 9 堕生土篷盔堂亟堂鱼迨塞 ! 续复合收益。它由下式隐含的给出定义 b 7 ( s , t , t - s ) = 嬲= e x p 叩s ) f ( t , s , t - s ) 】 ( 1 3 _ 6 ) 经过整理，我们可以写出它的明确表达式 堡垒壁：生二垫星垒! 三! f1371ts 、7 ，心s ) 是指在时间t 计算的，在时刻s 开始计算的瞬时远期利率，它实际上是当 剩余到期期限t s 一0 时，远期利率f ( t ，s ，t s ) 的极限 它还满足下式 f ( t ，s ) 2t 罂o f ( t ，s ，ts ) ，s ) = - o 矿v b ( t , 8 ) ( 1 3 8 ) ( 1 39 ) 请注意下列等式成立： b ( t ，t ) = e x p 一f ( t ，s ) d 8 】 ( 1 31 0 ) , i t 即等价于 n ( t ，t t ) = l _ f ( t ，s ) d 8 ( 1 3 1 1 ) ojz 现在，我们将定义利率期限结构，它又称为利率收益曲线，即将具有不同的到期 期限的债券所对应的利率绘制成图。根据我们所研究的利率，我们可以划出不同的 收益曲线在本论文中，我们主要研究以下四种利率收益曲线； 0 一b ( t ，t + 0 ) ，即贴现因子曲线； 0 一n ( t ，p ) ，即零息票收益曲线； f 一f ( t ，s ，t s ) ，即在时刻t 计算的，在时刻s 起息的远期利率曲线； s f ( t ，s ) ，即瞬时远期利率期限结构 另外，我们注意到上述各种利率收益雌线之间可以相互转化。 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文6 第二章有摩擦市场的利率期限结构无套利均衡分析 2 1 基本模型 考虑有n 个固定收益债券i = 1 ，2 ，n 的市场令0 = t o t l 2 。 因此，做投资组合。后，投资者当前的现金流出是 ，0 ) = ( 粕) + ， ， ! ! 堕篁占堡查兰堡堂堡丝查 ! 第二童有摩擦市场的利率期限结构无套利均衡分析 2 1 基本模型 考虑有n 个固定收益债券t 一1 ，2 ，n 的市场。令0 = 如 1 t 2 0 其它 投资者当前的现金流出是 投资者当前的现金流出是 n n ，0 ) = ( 虢) + ； t = l1 = l +，l；l 1 l j j 0 j 西 u 似 蛳 2 q 亚生上瀣盘堂亟堂僮迨塞 ! 而将来勺0 = 1 ，2 ，m ) 时刻的税后收益是 n g j = 9 ”( 戤) ，j = l ，2 ，n 4 = l 从而将来的税后收益现金流是向量 a ( x ) = ( g l ，9 2 ，g d 7 处于概念上的原因鸭我们引进一个虚拟证券i = o ，他在当前投资一元钱便直接有 一元钱的的收益这就是说，从现在起表示市场的七个元组p “，p 6 ，a ，廿，p ，u n ，u 6 ， 分别代表 ( ：。) ，( ：。) ，( ：。) ，( ：。) ，( ：。) ，( ：。) ，1 ：。) 其中x o 可解释为当前的收入一，( 。) 中扣掉的部分，以弥补将来的现金流入卯( 。) ，j 一 1 ，2 ，m 于是，0 = x o ，g o o = 。o ，9 0 j = g j o = o ，j = 1 ，2 ，。m ，i = 1 ，2 ，n ，并且 nn ，( z ) = 五( ) + ：， i = 0i = 0 7 , 9 j = g , a x d ，j = 0 ，1 2 。m 为方便起见，对任意向量y = ( y 1 ，y 2 ， 向量不等式y z 表示蚍三毛，i = 1 ，2 接下来我们给出两个基本的定义。 ，讥) t ，= = ( ；1 ，z 2 ，z k ) t r k ( k 2 ) ，我们用 ，k 定义2 1 1期限结构是指一个折现因子向量u 墨其中 k = ( 口r ”+ 1 ：1 = u o 兰。1 兰v 2 ，嘶i 兰o 期限结构”墨称为与债券市场 p 。，p 6 ，”，妒，u 4 ，u 6 ) 相容的( 简称为相容的 期限结枸) 如果 叱n “( 1 一喝) 曼( 1 + 。a ，n a ，i = o ，1 ，2 ，仉( 2 1 1 ) j = o m q ( 1 一u ；) ( 1 一a ? 泫，i = 0 ，l 2 礼( 2 1 2 ) 2 q q 生土攫太堂亟圭堂焦迨塞 定义2 1 2一个投资组合x 被称作是一个套利机会，如果当前支付，( z ) 曼 坠o ，而产生的税后现金流满足b g ( x ) 0 。反之，则称为弱无套利的。其中 b 为( m + 1 ) ( m + 1 ) 的下三角矩阵 b l0 11 l 1 o 0 0 定义2 1 2 显然具有现实意义。因为固定交易费用与交易规模无关，只要有交易，投 资者就必须支付这部分费用。也就是说固定交易费，在购买决策前已经存在了，这 类似于经济学家所说的沉没成本所以在现实交易中，为了获取套利，投资组合的 当前支付的目标应小于等于固定费用。 2 2 主要结果和证明 定理2 1市场 p 。，p b ，”， ，u 。，u 6 ) 存在相容的期限结构，当且仅当市场是 弱无套利的。 为了用数学方法严格地证明这个定理我们先证以下引理。 引理2 , 2 1 市场 p 。，p 6 ，”，p ，u 。，u 6 ) 弱无套利当且仅当如下非线性规划问 题的最优值为零； ，k r a i n 脚b g ( ) x 脚 其中t f 和) = 坠o 扛) s 0 证明充分性设( p 1 ) 的最优值为零则对任意满足b g ( x ) 0 的z ，它是( p 1 ) 的 可行解，因而f ( x ) 0 ，进一步i ( x ) 墨。厶所以，不存在x 使的，( 。) s 。 和b g ( x ) 0 ，即市场是弱无套利的 必要性设市场是弱无套利的则对任意满足b g ( z ) 0 的z 必有( x ) 一 ! q q 曼生土连盘堂亟堂僮迨塞 望 。进一步有f ( 。) 之0 。即：( p 1 ) 的任何可行解的目标值是非负的。另一方 面，z = 0 是( p 1 ) 的可行解且其目标值为零。故( 尸1 ) 的最优值为零 现在对任意给定的投资组合。= ( 。2 ，z 。) 7 ，令z ? = m a z 戤，o 是持有债券 i 的多头头寸，z = 一m 。 o ) 是持有债券i 的空头头寸。记扩= ( 。2 ，。g ，z ：) 7 ， 一= ( z i ，z 2 ，。：) 7 ，则有 再记 。= z ；一z 7 。? z ? = 0 ，z ；，z ；0 ，i = 1 ，2 ，n n 。8 + ( 1 + ? ) p 辫一( 1 一a 。b j n b b ? = 1 2 l g o ( ) = 。0 一z 3 n 鲫( z ) = a , j ( 1 一蝎) z ? 一a i j ( 1 一u 玎b 朋b ，j = l 2 ，m = 1 2 l 一= ( 1 ，( 1 + a 2 ) p ，( 1 + a ) p t ，( 1 + a ：) p ) ，c 6 = ( 1 ，( 1 一a ) p 2 ，( 1 一a 2 ) p i ，( 1 一a 。bj p l b ) 则 f ( z ) = c 。4 一c 6 2 6 ，g ( 。) = 【严? z 口一 ，b t 。b 因此问题( p 1 ) 可等价的写成如下的优化问题。 ( p 2 ) c a y a 一一一 b ( u 。t z 。一u b t z 5 ) 0 。? = 0i = 1 ，2 ，m 田，$ ? 兰0i = 1 ，2 ，” 引理2 2 2 牙是妒1 ) 的最优解当且仅当存在忙。，妒) 是( _ p 2 ) 的最优解，而且 ( p 1 ) 和( p 2 ) 得最优值相同。 这样根据引理2 2 ，l 和引理2 22 ，要想判断市场上是否存在套利机会，只需解 问题( p 2 ) 在( p 2 ) 的约束条件中。? 。? 一0 ，i = 1 ，2 ，n 表示对每种债券你只能要 么做空头要么做多头如果去掉这一限制，得到如下的线性规划问题 ! ! ! i 生土篷盘堂亟堂僮迨塞! ! ( l p l l 引理2 2 3问题( p 2 ) 和( l p l ) 有相同的最优值( 可能是一。) ，且 ( z ) 如果( 酽，妒) 是( p 2 ) 的一个最优解，则( 妒，妒) 也是( l p l ) 的一个最优 解； ( i i ) 如果( 铲，妒) = ( 霹，i g ，露i 2 ， 2 ，：) 7 是( l p l ) 的一个最优解，则 ( 铲，妒) 7 = ( 鄙，迥，醒，钟，姥) 是( p 2 ) 的一个最优解其中 若霹 i ； o 若砖 嚣 o 若霹 i ? 0 若i ? 哪 o 制 若露z ? = 0 证明我们首先证明结论( i i ) ，令( 铲，妒) 是( l p l ) 的一个最优解，设( z 。，z b ) 是 ( p 2 ) 的任一可行解，则显然它是( l p l ) 的可行解，从而有 c 。z 一c b z 6 c a , 2 n c 6 i 6 ( 2 2 3 ) 另一方面，记b u 。= d = ( 如) 7 ，b u 6 = e = ( ) 7 则由模型假设有d ! e ，c a c b 对每个i = l ，2 ，n ，当霹 i ； d 时，有 奶霹一8 i ? = 奶( 霹 c ? 霹一c 。b z - ? = ( 2 7 当i ： 霉 d 时，有 i ? ) = d d w - a 一8 d i ；o 玎j ? 一e ”f ? i ；) = c ? i ? 一2 曼c 2 一q b q - b ， d 。j i ? 一e i j 2 ；= 一e i j ( i ? 一2 ；) = 8 i ? 一e 。，i ：o u j ? 一e i j e ； h m r z l 沪 = 也札邳 = ，俨砖托酬 砷 露 一 一 茸咄 q 霹 ，j、l，(【 | i = 砖 ! q q 生上瀣盘堂亟土堂僮迨塞12 c i ? 一砖i ：= 一c ；( i ：一i ? ) = c i ? 一c ：b z - ；c “i ：一r ? 一c ：i ? 当z ? 。 = 0 时，有 因此，对任意的i 、j ，总有 从而 所以 c ? i ? 一c ? j ；= c ? 2 7 一q b z - d 玎霹一8 巧蠡；d 巧孟? 一e l j 牙i i ? 一c ；i 霹一c i b q - b ， 奶露一e ，i ? 南茸 i = o i = oi = 0 c 嬲一c i ? 5 i ? 8 d q - b ，j = o ，1 2 ，m ， i = 0 c i b q - b ；j = o ，1 2 ，m d f c 8 一e 妒d 至8 一e 圣6 0 c a f c a c 5 妒，孟。一c 6 妒， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 其中( 2 2 4 ) 的第二个不等号成立是因为( i 。，妒) 是( l p l ) 的可行解。( 2 2 4 ) 表 明( i 。，叠6 ) 7 满足( p 2 ) 的第一约束条件显然( i 4 ，妒) 7 也满足( p 2 ) 的第二个和第三 个约束条件因此( 妒，护严是( p 2 ) 的可行解而( 2 2 + 3 ) 和( 2 2 5 ) 说明( 铲，妒) 是( p 2 ) 的最优解最后。因( i 。，6 ) 7 显然也是( l p l ) 的可行解，我们有 ，i 。一莎妒产铲一护( 2 2 6 ) ( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 则说明( p 2 ) 和( l p l ) 有相同的最优值。 现在我们证明结论( i ) 令( 铲，妒) 是的( p 2 ) 的一个最优解，显然它也是( l p l ) ! q 堕生竖盘堂亟堂僮迨塞婪 的可行解。如果它不是( l p l ) 的最优解，则存在( l p l ) 的可行解( 扩，z 6 ) 使得 扩z 。矿护至矿圣8 一妒( 2 2 7 ) 与结论( i i ) 的证明方法相同，我们可以构造( p 2 ) 的一个可行解( i 。护) ，使得 一铲c r , 5 ：5 兰扩一扩扩，( 2 2 8 ) 表达式( 2 2 7 ) 和( 2 28 ) 意味着 c “空8 c b 壬b ，孟8 一c b 孟b ( 2 29 ) ( 2 2 9 ) 式与( 扩，妒) 是( p 2 ) 的最优解矛盾。因此，( 铲，妒) 必是( l p l ) 的最优解 ，且显然( _ p 2 ) 与( l p l ) 有相同的最优值。_ 结合引理2 和引理3 ，我们进一步得到 引理2 2 4 市场 p 。，p ，a o ，以u 。沪) 是弱无套制的，当且仅当( l p l ) 的最 优值为零。 证明由于线性规划问题( l p l ) 的对偶问题是 ( d l p l ) 令 = b 7 y ，则( d l p l ) 可等价的写成 ( d l p l ) y t o y t b u o c 4 一y t b u 。s 一一 y 0 ，y r ，+ 1 ”l n ov t o s t 1 ) t 矿。 c b k ( d l p l ) 的可行解恰好就是与市场相容的期限结构根据定义2 ，市场 p 。，p 6 ，a ，”，”，u 。，u 6 ) 存在相容的期限结构当且仅当线性规划( d l p l ) 的最优值为零，根据线性规划的 对偶理论，后者又等于纷陛规划( l p l ) 的最优值为零。根据引理4 这等价于市场是 弱无套利的定理证毕。一 ! ! ! 生土瀣太堂亟堂焦迨塞! ! 2 3 结论 本部分从无套利均衡分析入手，得出了一个深刻的结论：在有交易成本的债券 市场上，弱无套利性与相容期限结构的存在性是等价的另外，由于已经将识别市 场是否存在套利机会的问题转化为求解线性规划问题( l p l ) 。而线性规划是快速可 解的，并有像l i n d o 这样优秀的软件包可以利用。每一个投资者都在积极争取套 利，因而套利的力量是非常强大的。这种力量会改变债券市场上的供需结构，进而 影响债券价格，消除套利机会这也说明了普遍相信的的论断：由于套利力量推动 市场重建均衡，套利机会是短暂的该模型能被用来判断一个实际的债券市场是否 存在弱套利机会。 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文1 4 第三章推导现行零息票债券的收益曲线 本章主要是研究确定性现金流f ( t ) ，所谓确定性是指当我们在研究和解决现 金流的定价和套期保值问题时，未来现金流的数量是确定的。我们将以规范的标准 固定利率息票债券组合为例，来阐述如何解决这个问题。 首先，我们将要说明如何确定在未来时间t 。，( i = 1 ，2 ，n ) 支付一系列确定性 现金流f ( t 。) 的债券在时间t 的正常价值。 运用上一章的结论作为假定，即债券市场的无套利性，我们对整个现金流进行 分析很容易推出下面的结论；当不存在套利机会时，下列等式成立 n v t = ef ( t 1 ) b ( t ，t 。) ( 3 0 1 ) t = 1 其中，b ( t ，t ；) 是指在未来时间t 。到期的零息票债券在时间t 的价格。 我们也 可以将方程( 3 0 1 ) 写为 n k = 芝二f ( t i ) e x p 一( t z t ) r ( t ，t i f ) 】 ( 3 0 2 ) = 1 换句话说，当市场上不存在套利机会时，未来发生的一系列确定性现金流的现 值一定等于它们各自贴现值之和，这是一个众所周知的结论。 在现实世界中，如果我们能随时随地的找到我们所需要的具有任意到期期限的 零息票债券，那么对未来发生的一系列确定性现金流定价将是一件相当简单的事 情然而，在现实世界中，由于在金融市场上交易的债券基本上都是息票债券，而 零息票债券的数量是有限的。所以我们要借助一套略为粗糙的方法，即从息票债券 的市场价格中推出隐含的零息票债券价格在某些国家( 如美国、法国) 个别国库 券息票可以与国库券本金分离，单独进行交易，该种业务被称为债券分拆。我们可 以从中获得许多有关与零息票债券相似的资产的价格信息。 3 1 直接方法 这一节主要是介绍一种直接利用当前期票债券价格推导出零息票债券价格的方 法但是，令人遗憾的是，这种直接的方法只能适用于非常有限的几种特殊情况 2 1 q 生土整太堂亟堂僮逾衷! ! 因而为了满足实际需要我们必须寻找到一些能代替直接方法推倒出隐含零息票债券 价格的间接方法。 如果我们想求出n 种不同的零息票债券利率，首先要收集n 种息票债券的价 格或零息票债券的价格。我们更倾向于选择收集无违约风险的息票债券如美国国库 券，这是因为它们能反映出无风险时的利率期限结构的有关信息。 我们用 r = ( p f l ，只，碍) 7 ( 3 13 ) 来代表一个在时刻t 的息票债券价格组成的n 维向量。这里t 代表转置，接下来， 用 f = ( 冠) ；j ： ( 3 1 4 ) 来代表与这n 种资产相对应的n n 维的现金流矩阵( 包括利息与本金) ，在这里， 我们做了一个极度简化的假设t 各种债券现金流的流入时间均为t 。，接着 b = ( b ( t ，1 ) ，一，b ( t ，k ) ) 7( 3 15 ) 代表的是由在时刻t 的零息票债券价格组成的n 维向量这正是我们所要求得结 果 我们将n 种资产按方程( 3 o 1 ) 写出，将会得到下列的矩阵等式 只= f - b ( 3 16 ) 为了求解出岛的值，必须解出上述关于岛的线性方程假设f 是可逆的，即假设 各种债券的支付之间不存在线性相关关系可以将上式( 3 1 6 ) 改写为 岛= f - 只( 3 17 ) 请注意，通过这种方法推导出的价格并不是市场上真实存在的零息票债券市场价 格，而是与市场价格保持一致的隐含的零息票债券价格利用这些隐含的零患票债 券价格，带入方程 n ( t , t i - t ) = 一击l n b 邵；) 】 ( 3 1 8 ) 可以很容易求解出连续复合利率 2 q q 生土瀣太堂亟堂焦熊塞! i 接着，运用内插法，如线性或三次样条内插法，我们可以推导出整条零息票债 券收益曲线 这种直接方法在理论上易于理解，计算量也不大，简单易行。但是实际上运用 这种直接方法时，我们将面临许多困难，尤其是： 收集一组具有相同的息票到期日并且相互之间不存在线性关系的债券并非易事； 当用来推导隐含零息票债券利率的息票债券组合发生变化时，这种方法的有效性 就变得令人怀疑。 3 2 间接方法 由于上述直接推导方法在实际运用时存在着许多困难，有必要寻找出一个实用 性更强的方法。间接推导法应运而生。不管应用哪一绅间接推导方法，都需要根据提 前决定的零息票收益曲线形式来调整数据，这是所有间接推导方法的共同特点必 须注意的是，虽然运用间接推导方法有助于消除直接推导法在实际运用时的困难， 但如果零息票收益曲线定型错误，也会给实际应用带来风险。也就是说，如果选择 的零息票收益曲线的形式不合适，则根据错误模型来调整数据将会使我们的研究缺 乏可靠的基础。 通常使用的间接推导方法具体过程如下首先，从市场中选出一组无违约风险， 在时刻t 的市场价格为群，在时刻s 的现金流入为巧的息票债券。我们将利用这 组息票债券推导出零息票债券收益曲线。其次，假设出贴现函数u ( t ，8 ) ；，0 一t ；m ) 或零息票债券利率n ( t ，8 一t ) ；9 ( s t ；岛) 的具体形式，其中卢1 和岛是指参数向 量，通常，需要分段定义函数，在不同的分段，对于具有不同到期期限( 短期、 中期、长期) 的债券，需要设计不同的参数集合而且，函数，一般被设计成多项 式或指数式的样条函数形式。在函数9 中，参数的经济含义应该很容易被解释，这 是定义函数9 的原则 最后，当推导出的息票债券理论价格与给定的息票债券市场价格最接近的时 候，就可以估计出伊，即它是下列最优决策过程的解 伊= a r g r a i n e ( 碍一碍) 2 ( 3 2 9 ) ! q 堕生上监玄堂亟堂僮迨塞 ! ! 在上式中，只是从模型 碍= 掣，( s 一；口) ( 32 1 0 ) 或者模型 卑= 掣) e x p 一( s t ) 9 ( s 一：卢) 】( 3 21 1 ) 5 推导出的息票债券理论价格。 下面，我们将详细讨论两种根据假想的零息票债券收益曲线形式来调整数据的 间接推导方法，讨论的重点将集中在函数，和函数g 的形式的选择上。 3 2 1 将贴现函数参数化为样条函数 我们采用两种较为常用的方法，即多项式样条函数和指数样条函数，进行详细 的分析。我们对如下符号进行定义： n 使用来估计零息票债券收益曲线的息票债券的数日； 只是第j 种息票债券在时刻t 的市场结构； 印是第j 种息票债券在时刻t 的理论价格； r = ( 碍) ，；z ，。和应= ( 卑) ，；- ，一分别表示价格向量； 乃是第j 种债券的到期期限； f o ) 是指第j 种债券在时刻s ( s 三t ) 支付的本金或利息； - a ，是第j 种债券所产生的现金流的次数； b ( t ，8 ) 是折现因子 注意，在目标函数最小化决策过程中，下面约束条件始终成立 b ( t ，t ) = 1 当不存在套利机会时，下面的等式必然成立 弓 卑= 球) b ( ，s ) s = 扎一a j + l 该模型可表示为成为 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) 垫堕生洼盔堂亟主芏焦丝塞! ! 其中，v ( j ：j ) n - ，n 2 ，上式中的残差项e 满足 e ( e ) = 0 u n r ( e ) = o - 2 每 c ( ，叫= 。其中j j 。 因此，残差项的方差一协方差矩阵等于一2 n ，其中a r ， n = u 0 0 u ； ： 0 实际上，整个最优化决策的关键步骤是确定u ? ，在实际决策中，常常会涉及 到给予某些债券权重过大或过小的问题，因而，许多学者将情况简单化，认为各种 债券是同方差的，即 屿2 三1 1 ，n ( 3 2 1 9 ) 这样，所有在最小化决策过程中使用的债券都被赋予了相同的权数。然而，在零息 票债券收益曲线中与短期债券相对应的部分，我们只用近似值进行拟和。为了能更 准确的确定u ；，v a s i c e k 和f o n g l l q 在他们所作的最小化决策中对短期债券赋予较 高的权重，他们建议应该按如下公式确定u ； 田= ( 焉) 2 - 净斋 ( 3 。， 上式中的, r j ( t ) 与d 3 ( t ) 分别代表第j 种债券在时刻t 的内部收益率和久期 在不考虑期它因素的情况下，债券的到期期限越长，则对债券价格进行估计越 困难。上述对。；的选择原则正是以这一事实为基础的。在现实中对一年期一下的 债券定价，只需涉及到一种纯贴现利率但是，对到期期限为1 5 年的债券定价就 必须用到1 5 种纯贴现利率( 如果该债券是半年付息一次，如像美国匡库券那样， 那么，对该债券进行定价就会涉及到3 0 种利率) 如果我们想提高短期债券估价方 法的精确度，那么可以按下列方法，对不同到期期限的债券赋予不同的u ； u i = 砰( 3 2 2 1 ) m 竭 2 2 2 3 3 3 8 2 3 、0， o，o最 0 ! q q 生土筮盔堂亟圭堂僮迨童! ! 或 田= 器器( 3 2 2 2 ， 接下来我们对下列符号定义： p 代表要估计的贴现函数的系数向量； 声代表无约束条件下卢的估计值； 声8 代表在约束条件下的卢的估计值； z 代表债券定价公式中的各种参数之间的相关系数矩阵； 最后，得出以下目标函数 j = l 嘴n 莓( 日一茸) 2 它受b ( t ，t ) = 1 约束，用矩阵表示，该式可写成1 = c 7 卢。 对上式直接运用约束条件下的广义最小二乘法，得到 声+ =( z r q l z ) 一1 z r n 一1 r 十( z 丁n 一1 z ) 一l c t ( g ( z t n 一1 z ) 一1 c t ) 一1 ( 1 一g 卢) 即等价于 声+ = 卢+ ( z t n l z ) 一1 c t ( g ( z t g t 一1 z ) 一1 c r ) 一1 ( 1 一e 声) 这是因为 卢= ( z t n 一1 z ) 一1 ( z r n l p t 实例详解3 2 1二阶多项式样条法 为了更形象的说明这个方法，可以用多项式样条法来确定在时间t 因子的值，即 b ( 0 ，s ) = fb 。( s ) = b s ( s ) ： lb ，。( s ) ： d 。+ c o s + b o s 2 d l + c l s + b l s 2 其中3 【0 ，5 】 其中s 【5 ，1 0 】 ( 3 2 2 7 ) 其中8 【1 0 ，2 0 】 捌 删 矧 删 觇 互 2 2 2 贝 0 0 时 ! ! 盟生土瀣太堂亟堂僮迨塞垫 因此， 卢= ( d o ，c o ，b o ，d l ，e l ，b l ，d 2 ，e 2 ：6 2 ) t r 9 ，z = ( ，r ) 其中7 = 1 ， ，n 静】 如，在我们所选的n 种债券中第一种债券是从即日算起的到期期限为6 年的零息 票债券 b ( 0 ，6 ) = b 5 ：d 1 + 6 c a + 3 6 b l ( 3 2 2 8 ) 那么即j = l z 1 2 = 0 0 1 3 = o z l - 4 = 1 ；l _ 5 = 6 现6 = 3 6 0 17 = 0 z l8 = 0 0 19 = 0 ( 3 22 9 ) ( 3 23 0 ) ( 3 2 3 1 ) ( 32 3 2 ) ( 3 2 3 3 ) ( 3 2 3 4 ) ( 3 23 5 ) ( 3 2 3 6 ) ( 3 2 3 7 ) 特别是，如果b ( 0 ，0 ) = d o ，那么c = ( 1 ，0 ，o ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，o ) 7 现在将函数b ( t ，s ) 表示成为以s 为自变量的函数可以从包括多项式以及指 数祥条函数在内的许多标准被选函数中选择样条函数。但如何选择样条函数最终取 决于实际应用对贴现函数平滑度的要求的高低。更准确的说，如果用来拟合零息票 债券收益曲线的多项式函数是p 阶的，我们希望获得的贴现函数b ( t ，8 ) 是p 一1 阶可导连续函数。因而，如果p = 3 ，那么样条函数应是二阶可导连续函数，而 后者保证了瞬间远期利率曲线斜率的平滑性，我们研究的时间是t = 0 ，且定义 b ( o ，s ) = 口( s ) 多项式样条函数 多项式样条函数是由m cc u l l o c h ”】提出的。在运用次函数时，仔细选择多项式 的阶数是至关重要的在本书中，我们仅将多项