（固体力学专业论文）转子动力学的求解辛体系及其数值计算方法.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文继承了应用力学对偶体系的辛数学方法，将它应用于陀螺转子动力学中。结合 陀螺转子动力学自身的特点，构建了陀螺转子动力学的求解辛体系，并提出了相应的数 值计算方法。这一套方法与传统的陀螺转子动力学方法不同，从一个全新的角度研究了 陀螺转子动力学问题，为陀螺转子动力学的研究开辟了一条新路。 本学位论文的思想首先是将陀螺转子动力系统导入到哈密顿体系，然后在哈密顿体 系下对陀螺转子动力学问题展开研究。主要研究了陀螺转子动力学的四个常规问题：陀 螺系统的本征值问题、状态空间内的模态综合方法、陀螺系统的时间有限元方法以及一 般线性哈密顿系统的本征摄动问题。从本论文的工作中可以看到，这种方法较好地解决 了陀螺转子动力学的一些问题，大量的数值算例表明，该方法拥有其独特的优越性。主 要研究工作如下： 1 ) 对陀螺系统的本征值问题进行了研究 陀螺转子本征值问题一直是陀螺转子动力学的重要问题，在对应刚度阵正定的情况 下已经提出了很多实用的方法。但对于不对称转子的情况，特别是在高转速情况下，采 用相对坐标系，经常会出现系统刚度矩阵不正定的情况，特别是在自由度较多的情况 下，其本征值问题是很难进行求解的。 本文第三章针对上述情况，首先将辛子空间迭代法的思想应用于陀螺系统，发展出 了适合于不正定陀螺系统的辛子空间迭代法，这种方法继承了子空间迭代法的特点，具 有很好的稳定性。之后，为了使已成熟的正定算法能够应用于不正定陀螺系统的本征值 问题，本文提出了一种能够有效计算不正定陀螺系统本征值问题的方案。以上两种方法 比较好地解决了不正定陀螺系统的本征值问题。 2 ) 讨论了陀螺效应对转子系统的影响并建立了哈密顿框架下的模态综合方法 本文举例说明了在动力转子系统中陀螺效应对实际模型的影响。分析了转子陀螺效 应对进动角速度、振型以及i 临界角速度的影响。数值结果表明，在一些工程问题中特别 是高转速情况下，陀螺力对于转子系统振动是很重要的一项。 基于陀螺系统辛子空间迭代法，在哈密顿框架下提出了陀螺系统的模态综合方法 ( m s m g s ) 。可以看到此方法的转换矩阵为辛矩阵，保持了系统的哈密顿框架。算例证明 了缩减后的系统能够比较好地近似原来的整体陀螺系统。 一i 一 转子动力学的求解辛体系及其数值计算方法 最后又将精细积分方法应用于求解转子的不平衡响应，很好地发挥了精细积分法可 以采用大步长的优势。进一步的计算结果还表明了对于转子系统一般起主要作用的都是 很少的前几阶模态。 3 ) 发展了保辛的时间有限元方法 本文将保辛的时间有限元方法应用于陀螺转子动力学，扩展了时间有限元方法的应 用领域。进一步给出了陀螺系统时间有限元方法的形函数矩阵、时间单元刚度阵列式和 非齐次外力的表达式。在此基础上，发展出了精度更高的时间有限元内点法，这种方法 既继承了无内点时间有限元保辛的优良特性，又大大提高了数值计算精度，具有非常明 显的优越性。算例给出了本文方法、四阶r u n g e - k u t t a 方法和n e w m a r k 方法的比较结 果，进一步表明了本方法的优越性。之后本文又将无内点时间有限元法及其内点法应用 于一般非线性陀螺转子系统，并对非线性转子系统进行了计算，数值结果表明时间有限 元内点法在计算非线性陀螺系统时具有精度高和稳定性好的特点。 4 ) 提出了一般线性哈密顿动力系统的本征摄动方法 基于线性哈密顿动力系统的本征方程及其辛正交条件，借鉴一般固有振动系统摄动 方法的思想，提出了一般线性哈密顿动力系统的本征问题摄动法，导出了本征问题的二 阶摄动解。在此基础上，借鉴自由振动系统振型一阶导数的截尾模态法的思想，导出了 一般线性哈密顿体系振型一阶导数的的截尾模态法。算例验证了方法的正确性。 关键词：陀螺系统，转子，哈密顿系统，辛数学 大连理工大学博士学位论文 a b s t r a c t n l i sd i s s e r t a t i o ni n h e r i t st h es y m p l e c t i cm e m o do fd u a l i t ys y s t e mi na p p l i e dm e c h a n i c s a n di tc a nb ea p p l i e dt og y r o s c o p i cr o t o rd y n a m i c s b a s e do nt h ec h a r a 洲s t i c so fg y r o s c o p i c r o t o rd y n a m i c s ，an e w s y s t e m a t i cm e t h o d o l o g ya n dt h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n a l m e t h o & a r ep r e s e n t e d t l l i sm e t h o d o l o g yi sd i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lm e t h o d o l o g ya n di t s t u d i e ss o m ep r o b l e m so f g y r o s c o p i cr o t o rd y n a m i c s 矗d man e wv i e w p o i n ta n d an e ww a yi s d e v e l o p e df o rg y r o s c o p i cr o t o rd y r l a i n i c s i n t h i sp a p e r , g y r o s c o p i cs y s t e m sc a nf k r s t l yb eg u i d e dt oh a m i l t o n i a ns y s t e m sw h i c h c o n s t r u c t sap e r f e c tt h e o r e t i c a lf r a r t l e i nh a r n i l t o n i a ns y s t e m s ，t h et h e o m d c a la n a l y s i sa n d c o m p u t a t i o no fg y r o s c o p i cr o t o rs y s t e m sc a nb es t u d i a d f o u rt r a d i t i o n a lp r o b l e m so f g y r o s c o p i cr o t o rd y n a m i c sa r em a i n l ys t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ：t h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo f g y r o s c o p i cs y s t e m s ，m o d a ls y n t h e s i sm e t h o di nt h es t a t es p a c e ，t i m ed o m a i nf m i t ee l e m e n t m e t h o do fg y r o s c o p i cs y s t e m s , a n dap e r t u r b a t i o nm e t h o df o rr e a n a l y s i so fl i n e a rh a m i l t o n i a n s y s t e m s i ti ss e e nt h a ts o m ep r o b l e m so f g y r o s c o p i cr o t o rd y n a m i c sc a l lc o n v e r f i e n t l yb es o l v e d 力措e x a m p l e sp r o v et h a tt h i sm e t h o dh a v et h e i ro w na d v a n t a g e s 乃em a i nr e s e a r c hw o r k c o v e r st h ef o l l o w i n g 硒f 熵： 1 ) s t u d yt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo f g y r o s c o p i cs y s t e m s n ee i g e n v a l u ep r o b l e mo fg y r o s c o p i cs y s t e m si sa l w a y sat y p i c a lm a t h e m a t i c a lp r o b l e m o fg y r o s c o p i cr o t o rd y n a m i c s m a n ym e t h o d sh a v eb e e ni n t r o d u c e dw h e ns y s t e m i cs t i f f n e s s m a t r i xi sp o s i t i v ed e f i n i t e ，b u tw h e ns y s t e m i cs t i 恤e s sm a t r i xi sn o tp o s i t i v ed e f i n i t e , i e t h e c o r r e s p o n d i n gh a m i l t o n i a nf u n c t i o ni sn o tp o s i t i v ed c f m i 鸭t h es o l v i n go ft h ee i g e n v a l u e p r o b l e m i sv e r yd i f f i c u l t f i r s t l y , u s i n gt h ei d e ao f s u b s p a c ei t e z a t i o nm e t h o do f s y m m e t r i cm a t r i xa n dm a n yp a r a l l e l p o i n t si nt h ec h a r a c t e r so fh a m i l t o n i a nm a t r i xa n ds y m m e t r i cm a t r i x , a na d j o i n ts y m p l e c t i c s u b s p a c ei t e r a t i o nm e t h o do f i n d e f i n i t eg y r o s c o p i cs y s t e m si sp r o p o s e dt os o l v et h ee i g c n v a l u e p r o b l e mo fi n d e f i n i t eg y r o s c o p i cs y s t e m s t 1 1 i sm e t h o di n h e r i t st h ep r o p e r t yo fs u b s p a c e i t e r a t i o nm e t h o da n di th a sg o o ds t a b i l i t y s e c o n d l y , t h ea l g o d t h m st os o l v e e i g e n v a l u ep r o b l e m o fp o s i t i v ed e f i n i t eg y r o s c o p i cs y s u m l sa r cw h o l e s o m e t ou s et h e s ea l g o r i t h m st os o l v et h e e i g e n v a l u ep r o b l e mo fi n d e f i n i t eg y r o s c o p i cs y s t e m s ，ap r o j e c ti sp m p o s e dt os o l v et h e e i g e n v a l u ep r o b l e mo fi n d e f i n i t eg y r o s c o p i cs y s t e m s 融d i s s e r t a t i o nd e m o n s t r a t e sb y e x a m p l e st h i sa i g o h t h r ni sr i g h t l ca b o v et w om e t h o d sc a ns o l v et h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo f i n d e f i n i t eg y r o s c o p i cs y s t e m sv e r yw e l l 2 ) d i s c u s si n f l u e n c eo fg y r o s c o p i ct e r mt ot h ev i b r a t i o no fr o t o rs y s t e m sa n dp r o p o s e m o d a ls y n t h e s i sm e t h o di nh a m i l t o n a n 妇e i i i 转子动力学的求解辛体系及其数值计算方法 t h i sp a p e rd e m o n s t r a t e sb ye x a m p l et h ee f f e c to fg y r o s c o p i ct e r mt ot h et r u em o d a lo f r o t o rs y s t e m s n l ep r o c e s s i o n a lf r e q u e r t e y , m o d ea n dc r i t i c a ls p e e df l l ea n a l y z e di m p o r t a n t l y n l es t a t es p a c em e t h o di su s e dt os o l v et h ee i g e n v a l u ep r o b l e m n se x a m p l ed e m o n s 慨e st h a t g y r o s c o p i ce f f e c tc a nn o tb ei g n o r e df o rs o m ev i b r a t i o n 皿l a l y s i s b a s e x l0 1 1a na d j o i n ts y r n p l e e t i cs u b s p a c ei t e r a t i o nm e t h o do fg y r o s c o p i cs y s t e m s ，m o d a l s y n t h e t i cm e t h o do fl a r g eg y r o s c o p i cs y s t e m s ( m s m g s ) i sp r o p o s e d i ts h o w st h a tt h ew h o l e t r a n s i t i o nn 描血i xi sc o m p o s e do f t h ee i g e n v e e t o rm a t r i c e so f a ut h es u b s y s t e m sa n das y m p l e c t i e m a t r i xw h i c hh o l d st h eh a m i l t o n i a nf i a m t ：丑1 ee x a m p l ep r o v e st h a tt h ew h o l eg ) , r o s e o p i e s y s t e mc a nb ea p p r o x i m a t e db yt h er e d u c e dg y r o s c o p i cs y s t l c n l f i n a l l y ，p r e c i s ei n t e g r a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt ot h es o l v i n go f t h eu n b a l a n c er e s p o m eo f r o t o rs y s t e m st h a tl e a d st oh i 出e f f i c i e n c ya n dg o o da c c u r a c y n er e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h e f i r s tf e wm o d e su s u a l l yt a k em a i ne f f e c t si nr o t o rs y s t e m s 3 ) d e v e l o pt i m ed o m a i nf i n i t ec l e m e n tm e t h e do f g y r o s c o p i cs y s t e m s b a s e do nt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e , t i m ed o m a i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o do fg y r o s c o p i c s y s t e m si sp r e s e n t e d n 砖c o r r e s p o n d i n gt r i a lf u n c t i o nm 疵e l e m e n ts t i 盎c s $ m a t r i xa n d i n h o m o g e n c o u sf o r c ea 咒g i v e n n 豫i n t e r v a lc o m b i n a t i o nm e t h o do f 乜m ed o m a i nf e mi s s u b s e q u e n t l yp r o p o s e dw h i c hh a sh i g h e re f f i c i e n c y 1 1 m e t h o di n h e r i t st h ep r o p e r t yo f s y m p l e c t i ec o n s e r v a t i o na n de n h a n c e sc o m p u t a t i o n a la c c u r a c y n 玲e x a m p l e sc o m p a r i n gt h e n u m e r i c a lr e s u l t so b t a i n e df r o mt h r e ed i f f e r e n tm e t h o d s ：t i m ed o m a i nf e m 4 t ho r d e rr u n g e k u t t am e t h o da n dn e w m a r km e t h o dd e m o m l r a t et h ea d v a n t a g e so f t i m ed o m a i nf e m f u r t h e r m o r e ，t i m ed o m a i nf e mi sa p p f i c dt on o n l i n e a rg y r o s c o p i cr o t o rs y s t e m s 1 h c c o m p u t a t i o n a lr e s u l t ss h o wt h a tt i m ed o m a i nf e m h a sg o o da c c u r a c ya n ds t a b i l i t y 4 ) p r o p o s eap e r t u r b a t i o nm e t h o df o rr e a n a l y s i so f l i n e a rc o n s e r v a t i o ns y s t e m s a p e r t u r b a t i o nm e t h o df o rr e a n a l y s i so f l i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m si ss t u d i e dv i at h es e l f - a d j o i n ts i m p l e c t i co r t h o n o r m a l i t yr e l a t i o no fh a m i l t o n i a no p e r a t o ri n t h i sp a p e ra n da p e r t u r b a t i o nr e a n a l y s i sm e t h o do fh a m i l t o n i a nm a t r i x 6 r m i - 呐i sp r o p o s e d n 把e i g e n - e q u a t i o no fh a m i l t o n i a ns y s t c n l sa n dt h ea d j o i n ts i m p l e c t i co r t h o n o r m a lr e l a t i o n s h i pa r c p r e s e n t e d 1 1 1 cs e c o n do r d e re i g e n s o l u t i o n so fm o d i f i e dh a m i l t o n i a ns y s t e m sa r co b t a i n e d b a s e do nt h ea b o v em e t h o d , t h e8 p p r o x i n 3 a t cm e t h o df o rc o m p u t i n g1 “o r d e re i g e n v e e t o r d e r i v a t i v e si ng e n e r a ll i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m si sp r o p o s e d , u s i n gt h ea p p r o x i m a t em e t h o d f o rc o m p u t i n ge i g e n v e e t o rd e r i v a t i v e si nf r e ev i b r a t i o n 1 1 艟e x a m p l e sp r o v et h a tt w oa l g o r i t h m s a v a l i d k e yw o r d s ：g y r o s c o p i cs y s t e m , r o t o r , h a m i l t o n i a ns y s t e m , s y m p l e c l i em a t h e m a t i c s i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：至随日期： 转子动力学的求解辛体系及其数值计算方法 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复目】件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 融虿磊l 导师签名：= = - 1 8 8 - 大连理工大学博士学位论文 i 绪论 1 1 引言 在人类的生产生活中，旋转机械已经应用很长时间并被广泛地应用于包括燃气轮 机、航空发动机、工业压缩机及各种电动机等机械装置中。在电力、航空、机械、化 工、纺织等国民经济领域中起着非常重要的作用0 1 。 在转子动力学中，由于陀螺效应的存在，使得问题变得复杂，特别是在高转速情况 下的，转子的陀螺效应不能忽略，这就引出了陀螺转子系统分析的课题跚。 钟万勰院士根据结构力学与控制理论的模拟关系0 3 ，将对偶变量理论体系引入到陀 螺系统，形成了新的陀螺系统求解理论“1 ，方法显示出状态空间法、对偶空闻、哈密顿 体系方法论等特色。这一套方法论与传统的转子动力学方法论不同，从一个全新的角度 研究了陀螺转子动力学问题。结合已取得的研究成果“3 ，可以看到本文提出的方法在有 些情况下能够更好地解决陀螺转子动力学的相关问题。 1 2 转子动力学若干问题的发展现状 随着大工业的发展和科技的进步，旋转机械已经深入到人类的生产活动中，转子动 力学就是研究旋转机械动力学问题的- - f 3 学科，它是- - i 3 既有理论深度又有很强的实践 性的应用基础学科。自1 8 6 9 年r a n k i n e 发表的题为论旋转轴的离心力一文以来嘲， 一直使用的最简单的转子模型是由一根两端刚支的无质量的轴和在其中部的圆盘组成的 这种转子模型后被称做“j e f f c o t t ”转子，它是由f o p p l 在1 8 9 5 年提出的棚，而由 j e f f c o t t 教授在1 9 1 9 年首先解释了这一模型的转子动力学特性“。他指出在超临界运 行时，转子会产生自动定心现象，因而可以稳定工作。这一结论使得旋转机械的功率和 使用范围大大提高了，许多工作转速超过临界的涡轮机、压缩机和泵等对工业革命起了 很大的作用。但是随之而来的一系列事故使人们发现转子在超临界运行达到某一转速时 会出现强烈的自激振动并造成失稳。这种不稳定现象首先被n e w k i r k 发现是由油膜轴 承造成的“，从而确定了稳定性在转子动力学分析中的重要地位“。 近几十年以来，电力、航空、机械和化工等行业的迅猛发展极大地推动了转子动力 学的研究。发电机组的单机容量从几万千瓦发展到了上百万千瓦。旋转机械的转予越来 越柔、功率越来越大、转速越来越高，结构越来越复杂，向高速轻质重载和日趋复杂的 方向发展，这为转子动力学的研究提出了一系列的研究课题o2 。”l 。 转子动力学的求解辛体系及其数值计算方法 复杂转子系统和多自由度转子系统是近代转子动力学的主要研究对象“”。高转速 是近代高速旋转机械的一个重要特征，特别是在航空领域旋转机械的转速一般都是在超 临界甚至超过二三个临界转速的状态下运转，此时在低转速时可视为“刚体”的旋转 部件都应视为弹性部件参与耦合振动，从而构成了复杂的柔性旋转系统。柔性支撑和柔 性基础的采用是使转子超l 临界运行安全可靠的有效设计途径。这种方法主要是使柔性支 撑和柔性基础伴随着柔轴一起振动，达到减少转子振幅的目的。降低支撑刚度和实施轻 基础设计是近代高速旋转机械设计思想上的一个飞跃。这就要求在进行转子动力分析时 必须同时考虑转子一支承一基础系统耦合的整体系统，增加了分析的难度。这是近代转子 动力学一个非常重要的研究课题。 高转速带来了另一重要效应一陀螺效应。在低转速时，转子的运动方程常被简化为 质量- b j u 度振动方程，在结构动力学中对其已经有了很成熟的研究。但在高转速下，陀 螺力的存在使系统振动方程多出了一保守的陀螺力项，这就使得陀螺转子系统的分析求 解变得困难，这一方面的研究已经开展起来但并不完善。 以下分别介绍陀螺转子动力学若干问题的发展现状。 1 , 2 1 陀螺系统本征值问题的发展现状 陀螺系统本征值问题一直是转子动力学提出的典型数学问题。经过多年的努力，发 展出一系列的快速有效的求解方法嘲。但这些算法大多通常都是基于系统的刚度矩阵正 定时的情况。对于不对称转子的情况，特别是在高转速情况下，由于采用相对坐标系， 经常会出现系统刚度矩阵不正定的情况，特别是在自由度较多的情况下，其本征值问题 是很难进行求解的。本论文第三章针对此种情况提出了陀螺系统的辛子空间迭代法和不 正定陀螺系统的求解方案，比较好地解决了当系统刚度矩阵不正定( 即对应哈密顿函数 不正定) 时陀螺系统的本征值问题。以下介绍陀螺系统本征值问题的发展概况。 1 9 7 1 年，p a a r d e k o o p e r 首先提出了反对称阵的j a c o b i 方法“”，它和求解对称阵的 本征根的j a c o b i 方法类似，也是通过反复实施二维旋转交换，以消除反对称矩阵的全 部非对角子阵，把反对称矩阵化为典则型。这种方法虽然可以证明是收敛的，但其精度 较低，特别是它只能无选择地算出全部的本征值，这对于高阶矩阵来讲很多时候都是没 有必要的，所以这种方法主要适用于低阶反对称矩阵。后来发展的三维旋转法“”虽然加 快了收敛速度，但也没有克服这个缺点。 一2 一 大连理工大学博士学位论文 1 9 7 4 年。m e i r o v i t c h 提出了把陀螺本征值问题转换成对称阵本征值问题的方法 “”，这种方法最大的优点是把反对称阵的本征值问题化为了对称正定阵的本征值问题， 使得很多现成的标准程序能够直接应用。虽然m e i r o v i t c h 方法克服了j a c o b i 方法和三 维旋转法只能无选择地算出全部本征值的缺点，使得可以在感兴趣的频段上寻找所需的 本征解，但这种方法也有个缺点，就是在化为对称阵的过程中必须要对矩阵求逆，这不 仅影响了计算效率而且常常会因此带来误差。基于以上的工作，1 9 9 7 年，m e i r o v i t c b 将保守陀螺系统的理论做了进一步的发展，在文献 1 9 中，通过一组变换将陀螺系统本 征值问题化为一对称矩阵的本征值问题，并给出了离散陀螺系统的瑞莱商定理、最大最 小定理和包含定理。 中国学者张文。包华丽。3 在1 9 8 9 年提出了一种求解大型正定陀螺系统本征值问题 的高效算法，这种方法先通过平面镜象变换，把反对称阵化为缩减后的三对角形式的反 对称阵，再利用这个特殊形式的反对称阵，把问题化为三对角正定对称阵的普通本征值 问题，然后对其进行求解，很好地解决了大型正定陀螺系统的本征值问题瞰1 。 陀螺系统的l a n c z o s 方法也是一种常用的本征值计算方法。这种方法的发展要追溯 到1 9 5 0 年由c o r n e l i u s 和l a n c z o s 提出的一种方法，这种方法是通过一系列迭代过 程将矩阵化为一三对角矩阵，这个三对角阵的本征值能比较好地逼近给定的本征值，这 就是对称矩阵本征值的i a - a c z o s 方法的思想慨”。这种方法就是利用正交矩阵的相似变 换，实现了大型稀疏对称阵的缩聚，从而解决了大型稀疏对称矩阵的本征值问题。1 9 8 6 年，b u n s e 等人将这种思想引入到求解哈密顿矩阵本征值的过程中，他们利用变换成功 地将哈密顿矩阵化为j - 三对角阵型嗌1 ，后来f e r n gwr 等人又对这个算法作了发展扫町， 这种方法至今仍是一种求解陀螺系统本征值问题的常用方法。另外比较常用的方法还有 a r n o l d i 方法“。近些年来，郑兆昌，任革学等对求解大型陀螺本征值问题的a r n o l d i 方法作了系统的研究油- 3 “。陀螺系统的l a n o z o s 方法和a r n o l d i 方法是两种应用广泛的 方法，它们计算速度快，很好地解决了大型陀螺系统的本征值问题，但是，在有些工程 问题中l a n c z o s 方法和a r n o l d i 方法都存在稳定性目g 的问题，在计算机速度飞快发展的 今天，计算速度相对较慢而稳定性很好的辛子空间迭代方法则有很好的应用前景，这方 面的工作请参见第三章内容。 钟万勰经过近些年来的开创“，提出了基于变分原理的本征值理论，进一步得出了 对偶空间内的本征值最大最小定理和包含定理。同时针对陀螺系统可化为反对称矩阵的 特点，提出了反对称矩阵辛本征问题的算法叫，丰富了陀螺系统的基本理论。另外还有 一3 一 转子动力学的求解辛体系及其数值计算方法 其他一些方法，如g u p t a 阻，w i t t r i c k - w i l l i a m s 方法嘶删以及瑞莱商方法。这些方法 各有其优缺点，对待具体问题应具体加以分析。 但就如前面指出的那样，以上这些算法虽然己发展很多年，但大多都是基于系统刚 度矩阵为正定的情况，所以本文第三章对不正定陀螺系统的本征值问题的研究是很有必 要的。 1 2 2 转子系统模态综合方法的发展现状 众所周知，有限元模型对复杂结构的动力分析往往会导致大型广义本征值问题，但 本征值问题的求解是非常费时费力的，而对于一个拥有成百上千自由度的复杂结构模 型，虽然理论上存在与自由度数目相同的固有频率，但工程界关心的往往只是较少的低 阶频率及其模态，这不仅因为外激励力一般不会达到这么高的频率，而且高阶本征值问 题自身的精度也是值得怀疑的。因此，从实际情况来看，只需也只能把握前面的低频率 段。然而，用一个上千自由度的有限元计算模型去分析前几阶或十几阶固有频率和振 型，显然是极不经济的，在这一背景下，在结构振动分析中发展出了模态综合法嗡一。 利用该方法，我们可以大幅度地缩减复杂结构的自由度数目，同时又很好地保持了低阶 频段的精度，因而得到了广泛的应用。 随着工程技术的发展，转子系统已经日趋复杂且对精度要求越来越高。由于陀螺本 征值问题的处理常常需要在状态空间中进行，矩阵的阶数要扩大一倍。因此计算费用问 题更为尖锐。从7 0 年代中后期开始，国内外相继开始把模态综合法的思想应用到复杂 转子系统上来，近些年来已经取得了很多重要成果。 本文第四章主要在第三章提出的陀螺系统辛子空问迭代法基础上，发展出相对应的 状态空间内的模态综合法，可以看到与传统的陀螺系统模态综合法不同，本论文提出的 模态综合法是基于哈密顿框架下的，具有保持哈密顿框架的特点，使得本论文所提出的 理论与计算方法能够很方便地应用。 1 2 3 转子动力学数值分析方法与计算方法的发展现状 1 ) 转子动力学数值分析方法的发展现状 在转子动力学中，数值分析方法通常采用传递矩阵法和有限元法。传递矩阵法在 5 0 年代中期被应用于转子系统的分析和临界转速的计算，直到现在仍是转予动力学的 主要分析手段之一。这一方法的特点是：矩阵的阶数不随系统的自由度数增大而增加， 一4 一 大连理工大学博士学位论文 因而编程简单、内存用量小，运算速度快，特别是用于像转子这样的链式系统，但其不 足之处在于考虑到支承系统等转子周围结构时分析较困难。转子动力学的有限元分析方 法始于1 9 7 0 年，由r u h l 把有限元方法用到转轴系统，最开始他采用的是简单的工程 梁模型，仅仅计入了转轴弯曲变形能和平动动能。n e l s o n 和m c v a u g h 计入了转轴的陀 螺效应和转动惯量，导出了r a y l e i g h 梁一轴模型下的有限元刚度阵和质量阵。之后， n e l s o n 又推导了t i m o s h e n k o 梁一轴的有限元公式湖。本文第二章介绍了集总质量模型、 r a y l e i g h 梁一轴模型和t i m o s h e n k o 梁一轴模型。 转子有限元方法表达形式简洁规范，在求解转子和周围结构起组成的大型复杂系 统的问题时，有很突出的优点1 。虽然在系统复杂时转子有限元分析方法会导致系统自 由度数特别大，耗费计算机时，但是随着数字计算机的发展使得对大型问题进行数值计 算成为可能。故在近十几年来，有限元法解决转子的临界转速、不平衡响应以及稳定性 问题等方面取得了很好的结果。 转子有限元模型能够很全面地考虑各种因素，是一个比较精确的模型。和传递矩阵 法相比，有限元法占用更多的计算机存储和机时，程序比较复杂。但是计算结果精度较高 丽且可以避免传递矩阵法中可能出现的数值不稳定现象。这种方法已经越来越受到重 视，并已广泛地应用于工程问题中。本论文就是采用这三种转子模型对陀螺转子系统进 行分析的。 2 ) 转子动力学数值计算方法的发展现状“” 数值计算方法的发展主要是从上个世纪五十年代计算机问世开始的，而之后计算机 的快速发展和普及为直接数值积分提供了条件，同时出现了大量的直接数值积分方法。 ”，其中比较成熟并被人们普遍使用的数值积分方法有：e u l e r 法，r u n g e k u t t a 法及其 各种扩展方法，a d a m s 线性多步法等等。它们同计算机相结合，开辟了现代数值计算技 术的新天地，解决了大量生产和科学技术中的常微分方程初值问题。 对于机械系统动力学问题的求解，一般可归结为二阶常微分方程组的求解，它通常 有两条途径：直接数值积分法和降为一阶微分方程组后再作数值解法。二阶常微分方程 初值问题的直接积分法有中心差分法，h o u b o l t 法，威尔逊法和纽马克法等。一阶微分 方程的初值问题数值积分法有泰勒展开法，r u n g e k u t t a 法和亚当斯多步法等，求解边 值问题可用打靶法。 一5 一 转子动力学的求解辛体系及其数值计算方法 除了上述说到的几种常用的数值计算方法以外，另外还有几种比较有特色和前途的 数值计算方法，这些方法正在逐步地被接受，有的已经被应用于解决实际的问题了。以 下着重介绍几种与转子动力学相关的数值计算方法。 1 9 8 4 年冯康首次提出了哈密顿系统辛几何算法，开创了一个有广阔应用前景的全 新的研究领域慨唧。他和他的课题组成员经过十多年的努力，提出了哈密顿系统的辛几 何算法的完整的框架理论，并取得了许多重要成果。在已有的数值计算方面，他提出了 保辛的差分格式( 如保辛的r u n g e - k u t t a 法) ，保持了保守体系结构的特性，在空间结 构对称性和守恒性方面优于传统的算法，更好地逼近真实情况。特别在稳定性和长期跟 踪能力上具有独特的优越性”。 自五十年代空间有限元法发展以来，时间域的有限元法也紧随产生了。时间有限元 方法是指在时间域内用有限单元离散的方法。这种方法的根本思想就是将时间区域离散 化，在各个子域内进行插值，然后再通过哈密顿原理，加权残值近似或直接对运动方程 导出逐步的递归方案呻一。z i e n k i e w i c z 在文献 6 0 中证明了许多广泛适用的有限差分 表达式，都不过是时间有限元的特殊情况，而时间有限元可以导出更多的形式。另外以 哈密顿原理为基础的时间有限元法也同样得到了发展一。 虽然z i e n k i e w i c z 提出的时间有限元法应用已经很广泛，但它并未要求保辛。正如 前面文献“7 1 介绍的，保辛算法有其独特的优越性，所以时间有限元方法也应该保辛。钟 万勰在文献 6 3 中证明了有限元法是自动保辛的。在此背景下，钟万勰根据结构力学与 最优控制的模拟理论，基于动力学作用量的变分原理，提出了保辛的时间有限元方法 删。可以证得导出的时间有限元单元矩阵具有对称性，从而达到了保辛。本论文第五章 将保辛的时间有限元方法应用于陀螺转子的线性非线性系统，算例验证了在数值计算 过程中本方法具有精度高和稳定性好的特点。 另外，钟万勰在近年来提出了一种求解线性常微分方程的精细积分方法“”，这种 方法可用于特别密的积分步长而不致发生数值病态。如果在积分步长之内载荷是严格线 性变化的，或按简谐规律或多种其它规律变化侧，该积分格式总是能算出与计算机精度 相当的数值解。这种方法已经日益引起多个领域学者的重视，并得到了多方面的应用和 发展汹1 3 。本文第四章将精细积分方法应用于求解转子多自由度系统的时程响应分析， 取得了很好的效果。另外可以看到精细积分方法可以与转子模态综合法相结合，更好地 发挥精细积分方法的优势。 一6 一 大连理工大学博士学位论文 1 2 4 保守体系本征摄动问题的发展现状 在结构和机械系统设计中，动态特性的预测和改进越来越受到重视，以便尽早发现 和预防可能出现的有害振动问题，进而实现系统动态特性的最优设计。因此在系统的设 计阶段进行结构修改并采用有限元模型等进行结构动态特性重分析往往是必不可少的 。但是，随着工程技术的发展，模型的精确化、复杂化往往使系统的有限元模型具有 成千上万个自由度，这就使得结构的动态设计将要耗费大量的计算时间、经费和人力， 因此要实现反复多次的结构修改重分析更是困难。因此发展结构修改后快速而有效的重 分析技术是十分必要的。 结构动力学的矩阵摄动理论是结构动力学领域的一个重要分支，它主要研究结构参 数有效变化时结构的圃有特性和响应特性的变化。因此矩阵摄动理论是解决结构动态设 计修改中的两个基本问题( 灵敏度分析和快速重分析) 的有力手段删。传统的自伴随系 统的矩阵摄动法，主要是将离散化的系统化为对称矩阵或是广义对称矩阵的本征僵问 题，然后对其进行摄动分析求解，这种摄动方法现已基本成熟，专著 7 9 ，3 8 3 进行了系 统地介绍。 随着工程实际问题的深入，矩阵摄动理论扩展到了复模态领域，形成了复模态矩阵 的摄动理论。它应用更为广泛，能够很好地解决诸如一般非比例阻尼系统，控制系统以 及结构耦合等问题，近些年来已经有了一定的发展，取得了很多理论成果“。但是由 于复模态矩阵摄动理论处理的有关系数矩阵不再是对称的，所以它将涉及一般非对称矩 阵本