（基础数学专业论文）半拓扑线性空间及其性质研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 自n 1 e v i n e 引入半开集和半连续概念以来，半拓扑空间的研究得到 迅速的发展，到目前为止，半拓扑空间理论的研究已经比较完善，但是，我 们还未见到有人研究半拓扑线性空间本文引入了半拓扑线性空间的概 念，并得到了这一新空间的一些基本性质，全文共分为四章 全文共分为四章： 第一章：预备知识 第二章：一般的拓扑空间中引入了准半连续映射的概念，并给出了准 半连续的若干等价刻画及其相关性质 第三章：引入了半拓扑线性空间的概念，并研究了这一新空间的一些 基本性质 第四章：研究了半拓扑线性空间的子空间、乘积空间和商空间，得到 了关于它们的一些结果 关键词：半开集，局部s 一基，准半连续映射，半拓扑线性空间， s t l 有界，s 一紧性 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c e dt h en o t i o no fs e m i - t o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e s a n do b t a i n e dt h es o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fs e m i - t o p o l o g i c a ll i n e a r s p a c e s t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rp a r t s c h a p t e ro n e ：i n t h i sc h a p t e lt h eb a s i c a ld e f i n i t i o n sa n dn e c e s s a r y l e m m a sw e r ei n t r o d u c e di nt h ep a p e r c h a p t e r t w o ：i nt h i sc h a p t e lw ei n t r o d u c e dt h e n o t i o n so f p r e - s e m i c o n - t i n u o u sm a p p i n gi ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n dg a v es o m ep r o p e r t i e so f p r e - s e m i c o n t i n u o u sm a p p i n g c h a p t e rt h r e e ：i nt h i sc h a p t e r t h en o t i o no fs e m i - t o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e sw a sg i v e n t h es o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fs e m i t o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e sw e r eo b t a i n e d c h a p t e rf o u r ：i nt h i sc h a p t e r ，w es t u d i e dt h es u b s p a c e s 、p r o d u c ts p a c e s a n dq u o t i e n ts p a c e so fs e m i - t o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e s ，a n do b t a i n e ds o m er e s u 1 t sa b o u tt h e m 内蒙古师范大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：s e m i o p e ns e t s ，l o c a ls - b a s e ， p r e s e m i c o n t i n u o u sm a p i n g ， s e m i t o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e s ， s t l - b o u n d e d s e t ，s - c o m p a c ts e t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：墨太塑日期：讪口c 7 年多月f0 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：数劳导师签名：瓣研 日期：帅b 月 l 半拓扑线性空间及其性质研究 引言 自n l e v i n e 在 1 中引入了半开集与半连续的概念以来，特别是半拓 扑性质和s 闭空间( 见 3 ) 等概念被引入以来，一般拓扑学在这一范围内 出现了大量的论文，提出了半闭包、半内部、半边界、半分离性、半同 胚等一系列的新思想、新概念，得到了一系列的新结果，把一般拓扑学 中的有关概念和结果推广到了半拓扑空间中 到目前为止，半拓扑空间的理论研究已趋于完善但是，我们还未见 到有人研究半拓扑线性空间，本文中，首先在一般的拓扑空间中引入了 准半连续映射的概念，并给出了准半连续的若干等价刻画：其次利用所 引入的准半连续映射给出了半拓扑线性空间的概念( 半拓扑线性空间是 一类其上的线性结构与半拓扑结构有机结合起来的集合) ，并把拓扑线性 空间中的部分结果与性质推广到了半拓扑线性空间，最后讨论了在半拓 扑线性空间中的s 一分离性和它的子空间、乘积空间以及商空间及其性 质 因此，半拓扑线性空间的概念及其性质的研究丰富了拓扑线性空间的 理论研究，同时也开辟了一个新的研究方向由于拓扑线性空间在不动点 理论、优化理论、逼近理论、凸体的几何理论等有广泛应用，而半拓扑 线性空间是拓扑线性空间的某种推广，因此有理由相信半拓扑线性空间 的研究在不动点理论、优化理论、逼近理论、凸体的几何理论等方面将 有广泛的应用前景 内蒙古师范大学硕士学位论文 全文共分为四章 第一章：预备知识 第二章：一般的拓扑空间中引入了准半连续映射的概念，并给出了准 半连续映射的若干等价刻画及其相关性质本章内容部分取材于笔者在 导师指导下完成的文章： 1 半拓扑线性空间及其性质( i ) ，甘肃联合大学学报，2 0 0 9 年第一 期 第三章：引入了半拓扑线性空间的概念，并研究了这一新空间的一些 基本性质本章内容部分取材于笔者在导师指导下完成的下列两篇文章： 1 半拓扑线性空间及其性质( i ) ，甘肃联合大学学报，2 0 0 9 年第一 期 2 半拓扑线性空间及其性质( i i ) ，甘肃联合大学学报，2 0 0 9 年第二 期 第四章：研究了半拓扑线性空间的子空间、乘积空间和商空间，得到 了关于它们的一些结果本章主要取材于在导师指导下完成的文章： 3 半拓扑线性空间的子空间、乘积空间和商空间( 以投内蒙古师 范大学学报) 第一章预备知识 第一章预备知识 定义1 1 1 l 2 i 设x 为拓扑空间，x 中的集彳叫做半开集，是指存在开集g ，使 gcacg ，其中g 表示g 的闭包x 上的一切半开集所成的族记为s o ( x ) ，称 ( x ，s o ( x ) ) 为半拓扑空间x 中的集b 叫做半闭集，是指存在闭集f ，使 f ocbcf ，其中f o 表示为f 的内部半开集的任意并集是半开集，半闭集的任意交 集是半闭集 定义1 1 2 4 1 设x 是拓扑空间，则( 1 ) 厶= u b ：bca ，口是x 中半开集) ，其中 心表示为彳的半内部( 2 ) a 一= n b ：acb ，b 是x 中半闭集) ，其中彳一表示为彳 的半闭包 定义1 1 3 设x ，】，都是拓扑空间，映射f ：x 专y 叫做准半开的6 1 ，是指对x 中 任意半开集g ，f ( g ) 为y 中半开集映射f ：x 一】，叫做不定映射2 1 ，是指对】，中的 任意半开集f ，厂- 1 ( f ) 为x 中半开集映射f ：x y 叫做半同胚的映射2 1 ，是指是 一一到上的、准半开的不定映射 定义1 1 4 s i 设x 是拓扑空间，且x x ，“cx ，若存在x 中半开集1 ，使 x ，c ”，则称“为工点的s 邻域 定义1 1 5 1 8 1 设x 是拓扑空间，曰为s d ( x ) 的子族，若s o ( x ) 的每一个成员 都是口中某些成员的并，则称曰为彳的s 一基：对v 工x ，记“，是它的s 一邻域系，q 是”，的子族，如果对v “，j1 ，匕，使得v c “成立，则称匕为x 点的局部s 一基 定义1 1 6 设x 是拓扑空间，若x 中半开集的有限交仍是半开集，则称x 具有c 性质 定义1 1 7 设x 是拓扑空间， z 。：五人) 是x 中的网，若该网经常在点工的任 意s 邻域中，则称点工是网 x 。：五人) 的半聚点 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 定义1 1 8 l 习拓扑空间x 中的子集a 称为口集【4 1 当且仅当彳c 彳咖 定义1 1 9 设x 是拓扑空间， x l ：a 人) 是x 中的网，称网 毛：五人j 是s 收敛到x ( 记为h 寸x ) ，对工的任意s 邻域“，存在厶a ，使得当五厶时，有 而” 定义1 1 1 0 设x 是拓扑空间，如果对任意的x ，y x ，x y ，存在a s o ( x ) ， 使得x a ，但y 诺a ( 或者x 萑a ，但y a ) ，则称x 满足墨性质或称x 是墨空间1 1 1 ： 如果对任意x , y x ，工y ，存在a s 0 ( x ) ，b s 0 ( x ) ，使得工a ，y b 且 an b = f 2 j ，则称x 满足岛性质或称x 是s 2 空间：如果对任意x x 及任意的不含x 的半闭集fcx ，存在a s o ( x ) ，b s o ( x ) ，使得x a ，fcb 且anb = a ，则 称x 满足s 正则性质或称x 是s 正则空间：称既满足墨性质又满足s 正则性质的空 间为岛空间 对于上面的s 一分离性的描述中a 或曰都要求的是半开集，实际上也可要求它们 是s 邻域，这两种阐述是等价的 定义1 1 1 1 设x 是拓扑空间，a 是x 中一子集，如果a 的每一个半开覆盖有一 个有限子覆盖，则称彳是拓扑空间x 的一个s 一紧子集 命题1 1 1 5 1 设x 是拓扑空间，( 1 ) 若a 是半开集，则x a 是半闭集：( 2 ) 若口 是半闭集，则x 一曰是半开集：( 3 ) a o = x 一( x 一彳) 一，a = x 一( x 一彳) o 命题1 1 2 1 6 1 设x ，y 是拓扑空间，映射f ：x y 是一一到上的映射，则下列命 题等价： ( 1 ) 厂是半同胚映射 ( 2 ) 厂是准半闭的不定映射 ( 3 ) 厂，厂一都是不定映射 ( 4 ) f ，f 。1 是准半开的 4 第一章预备知识 价： ( 5 ) ，叫是准半闭的 ( 6 ) 对v 彳cx ，有( x j = t j t a ) j 一 ( 7 ) 对vbc 】，有【厂- 1 ( 口) 】一= 1 ( 矿) 命题1 1 3 【6 1 设x ，y 都是拓扑空间，f ：x 专y 是x 到】，的映射，则下列命题等 ( 1 ) f ：x _ y 是不定映射 ( 2 ) 对y 中的每一个半闭集f ，1 ( f ) 是x 中的半闭集 ( 3 ) 对vacx ，有f ( a 一) c 【厂( 彳) 】一 ( 4 ) 对任意bcy ，有f 一( b 一) 3 【f 。1 ( b ) 】- 命题1 1 4 【l l 设x 是拓扑空间，则x 是墨空间的充分必要条件是x 中每个单 点集是半闭集 命题1 1 5 设x 是拓扑空间，则x 是s 正则空间当且仅当对任意的工x 及x 点的任意s 邻域u ，存在a s o ( x ) 和一半闭集b ，使得x ac bc1 , 8 证明一方面，设“是x 点的任意s 邻域，有s 邻域定义知存在半开集g ，有 石gc “，令f = x g 易知f 是半闭集，由s 正则的定义知，存在z 点的s 邻域u 。及 f 的s 邻域m 2 ，有n 甜2 = o ，又由s 邻域的定义知，存在半开集g 。，g 2 有 x g lc ，fcg 2c “2 ，于是g lng 2 = a 令b = x g 2 ，a = g l ，则有x ac bc “ 另一方面，设工为x 中任意一点，f 为x 中半闭集，但x 仨f ，令”= x f ，则” 是x 点的半开邻域，由已知条件知，存在半开集a 和半闭集b ，使x acbc “，令 c = x b ，则c 是半开集，于是x 一彳3x b3x 一“= f ，那么fcc z 彳且 彳nc = 囝，由定义1 1 1 2 知，x 是s 正则空间 引理1 1 11 5 1 设( x ，f ) 为拓扑空间，y 为x 的子集，若g 为】，中的半丌集，则一定 存在x 中的半开集a ，使得g = 彳ny 内蒙古师范大学硕士学位论文 引理1 1 2 7 1 设x 为线性空间，彳cx 为凸集当且仅当对vf ， 0 ， 翻+ a = ( f + t ) a 1 i b 1 1 3 7 1 设x ，】，是拓扑空间，如果厂：x - - 】，是连续开映射，则厂是不定且 准半开的 引理1 1 4 设x 是具有c 性质的拓扑空间，acx 且彳是口集，则下列命题等 价： ( 1 ) 彳是s 一紧的 ( 2 ) 对任意的具有有限交性质的彳中的半闭集族 巴) ，总有盆c f 2 j ( 3 ) a 中每_ 个网有半聚点 ( 4 ) 彳中每一网有子网s 收敛到a 中 证明( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 的等价性见文献 9 ，下面证明( 3 ) 和( 4 ) 的等价性 ( 3 ) j ( 4 ) 设f = 厶：口d 是a 中的任意网( 其中d 是定向集) ，工是网 善= 幺：口d ) 的半聚点，于是对工点的任意的s 邻域“，及每一个d ，有 “n 厶：口) f 2 j 现构造子网，取点互。，们“厂、 乞：口) ，在s 州，) d ( 这里 s 州，) 是x 点的所有关于彳的子空间拓扑的s 邻域的集合) 上定义：( “：，屈) ( ”l ，屈) 当且仅当”2c “l 及岛届，易证s 训，d 在“下是半序集对v ( u 2 ，及) ，( u l ，届) s 州，) d ，由d 是定向集知，存在d ，使得届，及， 取“。= 材：n “。，由于u ，”：是关于彳的子空间拓扑的s 邻域，故存在彳中的半开集 g l ，g 2 ，使得工g lcl l l ，工g 2c ”：，再由引理1 1 1 知，存在x 中的半开集 g 二 ， g ； ，使得 g i = g 二n 彳 ， g 2 = g 三n a ，于是有 g ing 2 = t o r 、彳) n ( g 三n 彳) = t o ng 三) r 、彳，而x 具有c 性质，所以g 二ng ；是 x 中的半开集，由于彳是口集，故由后面的引理1 1 5 的( 1 ) 知，( g 羔r 、g 三) n 彳是彳 中的半开集，于是”。s 川故s 删，d 是一定向集，如此得网f 的子网丁= 正邶) ： ( “，) s 小) xd ，且该子网t 是s 收敛于z 点 6 第一章预备知识 ( 4 ) j ( 3 ) 设孝= ( 厶：口d ) 是彳中的任意网，丁是掌的子网，则t 的s 收敛点一 定是善的半聚点，这是因为当丁终在u s , 4 u t x ) 中时，网善常在u 中 引理1 1 5 设x 为拓扑空间，当g 为x 的口子集，彳为x 中的半开集，则( 1 ) gna 是g 中的半开集( 2 ) 石g 当且仅当g 中有网s 收敛于x 证明( 1 ) 见文献 5 中的命题3 2 ( 2 ) 若工g ，则对工的任意s 邻域“，有“ng 囝 4 1 ，任取彘”ng ，令 = 比：“是石的s 邻域，) ，且规定”l ”2 当且仅当”lc “2 ，并与引理1 1 4 中( 3 ) ( 4 ) 证明过程完全类似地可以证明，是一定向集，善= 乞：“a ，) 是g 中的网， 且f 在g 中s 收敛于z 反之，设孝= 厶：口d ) 是g 中的网，且该网s 收敛于石，故对 工点的任意s 邻域，j d ，使得当口口。时，有厶1 ，于是v ng a ，所以 x g - 引理1 1 6 i 7 1 设x 是标量域上的线性空间，e c x ，e 是平衡吸收7 1 集，则对 于坛x ，存在f 0 ，使得对任何口o ，当h - t 时，a x e 7 内蒙吉师范大学硕士学位论文 第二章准半连续映射的概念与性质 2 1 准半连续映射 定义2 1 1 设x ，】，是拓扑空间，称映射t ：x y 在x 点准半连续，若对r f x ) 的 每个s 邻域u ，存在x 点的s 邻域，使得丁( ，) c “ 定理2 1 1 设t ：x _ y ，工x ，则丁在x 点准半连续当且仅当对r ( 功的任意 s 邻域u ，t 1 ( “) 是石点的s 邻域 证明必要性由准半连续的定义知，对r ( j ) 的每个s 邻域”，存在x 的s 邻域， 使t ( v ) c1 1 ，两边取逆象，t 1 t ( v ) ct 1 ( 甜) ，于是有vct - ( ，故r 一1 似) 是x 的s 邻 域 充分性若对t ( x ) 的每个s 邻域“，t 。1 ) 是工的s 邻域，令v = t 一似) ，则 t ( v ) c1 7 ( “) c ”，故丁在工点准半连续 定义2 1 2 设x ，y 是拓扑空间，若映射t ：x - - hy 在x 中每个点准半连续，则 称丁在x 上是准半连续的映射 2 2 准半连续映射的性质 定理2 2 1 若x ，y 是拓扑空间，映射t ：x 斗y ，则下列条件等价： ( 1 ) r 是准半连续映射 ( 2 ) 对t ( x ) 的任意s 邻域u ，t 一( “) 是工的s 邻域 ( 3 ) 对y 的s 一基3 中的每个成员曰，丁。1 ( b ) 是x 中的半开集 ( 4 ) 对vu s 0 ( y ) ，有丁一1 ( “) s 0 ( x ) ( 5 ) 对y 中的每个半闭集f ，r 一( ，) 是x 中的半闭集 ( 6 ) 对vacx ，有t ( a 一) c 【7 1 ( 彳) 】一 8 准半连续映射的概念与性质 ( 7 ) 对vbc 】，有r 1 ( b 一) 3 【t 一1 ( 口) 】一 ( 8 ) 对vbc y ，有r - 1 ( 口o ) c 【丁一1 ( b ) 】o 证明( 1 ) ( 2 ) 由定理2 1 1 直接得出 ( 2 ) j ( 3 ) 设3 是】，的任意一个s 一基，vb 3 ，对任意x t - 1 ( 口) ，有 t ( x ) 刀卅( b ) cb ，于是b 是t ( x ) 的s 邻域，由( 2 ) 知，t 。1 ( 曰) 是石的s 邻域，而一 个集合acx 是半开集的充分必要条件是该集合彳是其中任一点的s 邻域，所以 r q ( 曰) 是半开集 ( 3 ) j ( 4 ) 3 是】，的s 一基，对v “s o ( y ) ，由s 一基的定义知，“= ub ，于是 矗e 3 丁一1 ( “) = u j r t 一( 曰) s o ( y ) 口e 3 ( 4 ) j ( 5 ) 由半开集与半闭集的关系( 命题1 1 1 ) 易得 ( 5 ) j ( 6 ) 由命题1 1 3 可得 ( 6 ) j ( 7 ) 由命题1 1 3 可得 ( 7 ) j ( 8 ) 由半闭包与半内部的关系( 命题1 1 1 ) 易得 ( 8 ) j ( 1 ) 由定理2 1 - 1 知，( 1 ) 和( 2 ) 等价，所以只证( 8 ) j ( 2 ) 即可对任意 x x ，及丁( j ) 的s 邻域“，由s 邻域的定义知，丁( 工) ”o ( 这里 o 是“的半内部) ，于 是x t - t o ) c 【t - 1 似) 】o ( i t 1 ) 】。是半开集) ct - 1 ) ，故r - 1 ) 是x 点的s 邻域 注2 2 1 由定理2 2 1 及命题1 1 3 看到，准半连续映射与不定映射是等价的 定理2 2 2 设x ，y 是拓扑空间，且x 具有c 性质，t ：x 寸y ，则r 在x 点准半 连续当且仅当对任何网 h ：名人) cx ，而- hj r ，有t ( _ ) 一t ( x ) 证明必要性设f = 靠：口d ) 是s 收敛于x 的网，则r ( 孝) = 丁( 厶) ：口d ) 是 】，中的网对t ( x ) 的任意s 邻域v ，由丁的准半连续性知，r 1 ( y ) 是z 的一个s 邻域， 芦由善一z 知，存在d ，使得当口口o ，有厶t - t ( ，) ，于是丁( 孝口) t t 一( 1 ，) c1 ， 故7 ( 善) 一t ( x ) 充分性若r 在点工处不是准半连续的，则存在t ( x ) 的某个s 邻域，使工的任意 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 s 邻域“，满足条件r ( “) cv ，取善。u 使r ( 孝。) 仨v ，记八= “：”是工的s 邻域) j 在人 中赋予半序“ ，定义”l “2 当且仅当甜lc ”2 ，则人在“”下是半序集，取“= u lc 3 u 2 ， 则由s 邻域的定义知，存在x 中的半开集g i ，g 2 使得石g ic z ，x g 2c “2 ，于是 z g ln g 2c 甜lf 7 u 2 ，而x 具有c 性质，所以”是石的s 邻域，r u “l ， “2 ，所以人 j 是一定向集，故善= 六：“人) 是x 中的网，且孝j 工，由已知条件知， r ( f ) = r ( 毛) ：“人 3 丁( 工) ，故r ( 孝) 终在v 中，这- qr ( 六) 叠1 ，相矛盾 定理2 2 3 设x ，y 是拓扑空间，t ：x 寸y 是准半连续映射，如果a 是x 的s 一 紧子集，则t ( g ) 是y 中的s 一紧子集 证明设，l 是r 似) 的一个半开覆盖，对vc 壳，由r 的准半连续性知，r - 1 ( c ) 是 x 中的半开集，而彳cr 一1 ( 丁( 彳) ) c 丁一1 ( u c ) = u 丁一1 ( c ) ，于是吼= 丁- 1 ( c ) ：c 壳) 是彳的半开覆盖 由于彳是x 的s 一紧子集，于是吼中有有限个子族r - 1 ( c 1 ) ，t 一( c 2 ) ，t 。1 ( q ) 覆 盖彳 因为acr 一1 ( c 。) u r 一1 ( c ：) u u r 一1 ( c 。) = r c , u c , u u c 。) ，于是 丁( 彳) c 7 c , u c , u u q ，所以r ( 彳) 是y 中的s 一紧子集 1 0 第三章半拓扑线性空间的概念及其性质 第三章半拓扑线性空间的概念及其性质 3 1 半拓扑线性空间的概念及其性质 定义3 1 1 设x 是( 数域足上) 的线性空问，f 为x 上的一拓扑，称 ( x ，s 0 ( x ) ) 为半拓扑线性空间( 简称为s t l 空间) ，如果线性空间的加法和数乘 “：x x x ，u ( 石，y ) = 工+ y ( 力法) y ：k x 专x ，( 口，x ) = a x( 数乘) 是准半连续映射 注3 1 1 半拓扑线性空间中的加法和数乘的准半连续性可以叙述为：( 1 ) 对 v j ，y x ，x + y 的s 邻域v 川，存在z ，y 的s 邻域，使得叱- i - v yc ，时，( 2 ) 对于每个a ，x x ，及烈的s 邻域k ，存在z ，a 的s 邻域匕，v 口，使得匕c k 定理3 1 1 设( x ，s o ( x ) ) 为半拓扑线性空间，a x ，名且名0 ，则映射 乃：x 专x ，疋( 工) = a + x m l ：xj x 。mt ( 、x 、) = 九x 都是半同胚映射 证明显然二者是一一到上的，并且l 、巧1 、m 。、m j l 都是准半连续映射，由 命题1 1 - 2 知，l 与m ，是半同胚映射 定理3 1 2 设( x ，s 0 ( x ) ) 是半拓扑线性空间，i f x ，彳，五0 ，则 ( 1 ) ，cx 是半开集当且仅当x + 旯，是半开集 ( 2 ) vc 石是0 点的s 邻域当且仅当工+ 五y 是工点的s 邻域 ( 3 ) 设v 彳cx ，若口c x 是半开集，贝j j a + b 2 l k ( 工+ b ) 是半丌集 ( 4 ) 若3 是0 点的局部s 一基，则对于每个x x ， x + v ： ，3 ) 是x 点的局部s 一 基 证明( 1 ) 由定理3 1 1 知，疋与m 。都是半同胚映射，于是与肘。是准半丌的， 内蒙古师范大学硕士学位论文 它们的逆也是准半开的，所以1 ，c 石是半开集当且仅当x + 21 ，是半开集 ( 2 ) 设 ，cx 是0 点的s 邻域，则存在x 中半开集g ，使得0 gcy ，于是 o 旯gca ，进而x x + 2gcx + 21 ，由( 1 ) 知，x + 2g 是半开集，所以工+ 五1 ， 是x 点的s 邻域：反之，设工+ a1 ，是z 点的s 邻域，则存在x 中半开集，使 x fc 工+ 名，于是o f xc 五 ，进而o ( f 一工) c1 ，又由( 1 ) 知，了i ( f 一工) 以以 是半升集，所以 ，cx 是0 点的s 邻域 ( 3 ) 设vx o a + b ，则x o = 而+ x 2 ，而a ，工2 b ，易见xo 五+ 曰，进而 x o 乙k o + 曰) ，于是彳+ 口cl k o + b ) 另一方面，对v 工l j j e ( 工+ b ) ，存在某 一个而a ，使x 而+ b ，于是x a + b ，进而a + b3 乙k o + 曰) ，故 a + b 2 执0 + 曰) 再由( 1 ) 知，x + b 为半开集，而半开集的任意并集是半开集，所以 乙k o + 曰) 是半开集 ( 4 ) 对v v 3 ，x + v 是z 点的s 邻域，任取x 点的s 邻域“，贝l j u x - - 工是o 点的s 邻域，故存在1 ，3 ，使1 ，cu x - x ，从而石+ ，c “，由局部s 一基的定义知， x + v ：，3 ) 是x 点的局部s 一基 由定理3 1 2 的( 4 ) 看到，任何一点的局部s 一基都可以通过0 点的局部s 一基平移 而得到，因此在今后提到的半拓扑线性空间的局部s 一基，若无特别说明指的就是0 点 的局部s 一基 定理3 1 3 设( x ，s o ( x ) ) 是半拓扑线性空白j ，3 是x 的局部s 一基，则 ( 1 ) 每个u 3 是吸收f 7 】的 ( 2 ) 若x 具有c 性质，则对v u 3 ，存在1 ，3 ，使得1 ，+ ，c 甜 ( 3 ) s 的每一个元u 包含0 点的一个平衡：7 1s 邻域 证明( 1 ) 对坛x ，由数乘的准半连续性知，三：三工3o x = o ( n o o ) ，于是对 以疗 v ”3 ，存在自然数 r ，当刀时，三“，即x 删r ，于是”是吸收的 刀 ( 2 ) 由于( 工，y ) h ：+ y 在( 0 ，0 ) 点准半连续，故对v ”3 ，存在h ，2 3 ，使 1 2 第三章半拓扑线性空间的概念及其性质 m + v 2c ：, t ，取 ，= hr 、吃，则有v - i - v c u ，由局部s 一基的定义及x 具有c 性质 知，v 3 ( 3 ) 由数乘的准半连续性知，存在标量0 的s 邻域屹和0 点的s 邻域，使得 v 五yc “，且对于屹，存在半开集g ( 这里g 是区间( - 8 ，万) ， - 8 ，6 ) ，( - 万，艿】，卜扩印中 的某一个) ，使得0 gc 叱，于是对任何兄g ，总有加c , ，故对名( - 8 ，万) 时，总有 加c ” 构造集合w = y 加，则由，是0 点的s 邻域易知，w 是0 点的s 邻域，且wc ” 1 i o 下面证明w 是平衡的，事实上，若a | 口isl ，当一万 旯 艿时，有k 力i 0 ，有纠o + 4 0ct a + i a = ( t + 1 ) a ，由定理3 1 2 的( 1 ) 和( 2 ) 知，纠o + 鲥。是半开集，而【( f + ，) 彳】o 是( f + ，) 彳中的最大半开集，于是 鸽+ 地c 【o + ，) 彳】o ，由定理3 1 4 的( 4 ) 知，【( t + 0 x l o = ( f + 姚，所以 鹤+ 地c ( f + d 4 ：另一方面，对v 石o + ，) 4 ，存在心中的元y ，使 工= ( t + 1 ) y = t y + t y t a o + i a o ，于是( f + 1 ) a oct a o + u o ，所以( t + i ) a o = ，4 0 + z ，由弓i 理1 1 2 知，厶是凸集 ( 2 ) 设vc 似+ 曰) 一，由引理1 1 5 的( 2 ) 知，存在网k = 口五+ 以 2e 人 ，使得 c 量- - - c ，其中a a ，如b ，而a 是s 一紧的，于是由引理1 1 4 知，存在子网 口一：彳d ) ，使口彳哼口，且口a ，b x - - - c - a = b ，由于b 是半闭的口集，故由引理 1 1 5 的( 2 ) 可得出，b b ，于是c = a + b a + b ，这说明( 彳+ 口) 一ca + b ，故 a + b = ( 彳+ 功一，因此a + 口是半闭集 ( 3 ) 首先证明a 一是平衡集对于h l ，由a 是平衡集知，0 4c a ，于是 a a 一= ( 叫) 一ca 一，故a 是平衡集 其次证明a 是平衡集当0 0 ，使得当， t 时，ec i v 定义3 2 2 设( x ，s o ( x ) ) 是半拓扑线性空间，称acx 是完全s t l 有界的，如 果对0 点的任意s 邻域1 ，存在q ，口2 ，口。a ，使得彳co ( a ，+ d 1 鲥! 加 定理3 2 1 设( x ，s 0 ( x ) ) 是半拓扑线性空间，则以下结论成立： ( 1 ) s t l 有界集的子集是s t l 有界的 ( 2 ) 若x 具有c 性质，e 是s t l 有界的，则e 是s t l 有界的 ( 3 ) 若互，e 2 ，e 都s t l 有界的，则e 是s 兕有界的；若z 具有c 性质，则 詹 局t g 是s t l 有界的 ( 4 ) s 一紧集是s t l 有界集 证明( 1 ) 由s t l 有界的定义易得 ( 2 ) 设，是0 点的任意s 邻域，注意到x 具有c 性质，并由定理3 1 4 的( 2 ) 知，存在 0 点的s 邻域”，使得”一cy ，因为e 是s t l 有界的，故存在t 0 ，使得当， t 1 6 第三章半拓扑线性空间的概念及其性质 时，西c ，”，于是ec ( 1 u ) 一= l u c 7 如，故e 是s t l 有界的 ( 3 ) 设1 ，是0 点的任意s 邻域，由互( i = l ，2 ，行) 的观有界性知，存在t 。 0 ，使 得当， t j 时，易c v ，取t o = 粤登t j ，则当， to 时，e ic v ( i = 1 , 2 ，以) ，从而 i s l s 矗 = ee l y ，故2 巨是- 吼有界的 设1 ，是o 点的任意s 邻域，注意到x 具有c 性质，并据定理3 1 3 的( 2 ) ，可取0 点的平衡s 邻域u ，使u + + ”cv ，再由上面的证明过程知，存在t 0 ，使得当， t 时，有量c ，“，从而局c mcl v ，故e i 是s 死有界的 i = ii = li = 1 ( 4 ) 设e 是s 一紧集对0 点的任意s 邻域v ，取0 点的平衡，吸收s 邻域u ，使得 uc y ，于是由引理1 1 6 知，对vx ecx ，存在t 0 ，使得对任何a m ，当 a i o ，存在，使得当刀时，有三5f ，于是有三z 甜，即 刀n x ef l u ，故ec r t u ，进而有，ec 。k 司) n u ，再由e 是s 一紧集知，存在有限个n l ，栉2 ， ， 使ec u ? i ”，取刀o = m a ，x 万j ，由“平衡性知， i “cn o ”( 汪1 , 2 ，k ) ，当， 刀。时，有 i = l 。 i 鲥鳙 。 ” t l o uc l u c v ，故e 是s t l 有界的 定义3 2 3 设( x ，s o ( x ) ) 是半拓扑线性空间，x 中的网 屯：口人) 称为 s c a u c h y 网，如果对0 点的任意的s 邻域u ，存在口o 人，使得当口l ，口2 口。 时，一矗：“ 定义3 2 4 设( x ，s 0 ( x ) ) 是半拓扑线性空问，集合acx 称为s 一完备集，如果 么中每一个s c a u c h y 网s 收敛于彳中的一点 定理3 2 2 设( x ，s o ( x ) ) 是具有c 性质的半拓扑线性空间，acx 是口集，则 a 是s 一紧集当且仅当a 是完全s t l 有界的s 一完备集 证明必要性对于0 点的任意s 邻域“，有彳c u ( x + “) ，由a 是s 一紧集知，存在 m 彳 工= 1 ，2 ，刀) a ，使彳cu ( + “) ，于是彳是完全s 儿有界的因a 是s 一紧的口 置e 集，由引理i i 4 知a 中的任意冈有子网s 收敛到彳中设f ：口a 是a 中 1 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 s - c a u c h y 网，于是存在子网 ：a 2 乏x o a ，使得一x o ，要证彳是s 一完备 集，只须证矗专而设是0 点的任意s 邻域，由定理3 1 3 的( 2 ) 知，存在0 点的s 邻 域y ，使y + 1 ，c “，由s c a u c h y 网的定义知，j 口l a ，使得当口，口 时，有 屹一，再由专x o 知，j 届，使得当届时，有x 0 + i p ，根据子网与 网的关系，可找到压，使得厦届，口岛q ，于是当口 q 时，有屹= 毛一+ 屯愚1 ，+ x o + vc x o + u ，即- - ) , x o ，故彳是s 一完备集 充分性设 屯：口d ) 是a 中的任一网，并证 屯：口d ) 有s 收敛于a 的子网， 于是由引理1 1 4 便知，彳是s 一紧的 构造集合9 t = bc a ：b 与 ：口d ) 经常相遇) ，令肘= 善：孝= ( 口弧：对于 b ，b 。孝有b 。n 曰。孝) ) ，nm 非空( 事实上孝= a ) m ) 在m 上赋予半序“一， 对v 孝，善。m ，有孝。孝当且仅当孝。3 孝，于是 m ， 满足z o m 引理条件【1 们，由 z o r n 引理知，m 中存在最大元彘，且有以下结论m 1 ： i a 彘 i i 若u 4 彘( 其中a ，ca ， 屯：口d ) 经常与4 相遇) ，则存在1 i o 刀，使 a 1 0 彘 下面构造 屯：口d ) 的子网 y p - p 人 ，记人= ( 曰，口) 彘xd ：矗b 在 人中赋予半序“ ，规定( 曰。，口1 ) ( 曰，口) 当且仅当b 。c 曰，口。口，则( 人，) 是定 向集，且对v ( 曰，口) 人，令y ( 。矗) = ，则 蜘：人 是 矗：口d ) 的子网 对于a 中o 点的任意s 邻域 ，由定理3 1 3 的( 2 ) 和( 3 ) 知，存在0 点的平衡吸 收s 邻域1 ，使得1 ，+ ，c “，由于a 是完全s r l 有界的，故存在而，而， 彳，使 ac u ( + ，) 1 8 第三章半拓扑线性空间的概念及其性质 令4 = “+ 谚r 、彳，易知u 4 = ae 言o ，由i i 知，存在l 乇s 力，使得以彘，取 矗a 如，- 3 ：是x cv ( 曰，口) 人，( 曰1 ，口。) a ，当( b ，口) ( 彳i o ，口) ，( 口。，口。) ( 爿如，口) 时，由人的构造知，b c ，b 。c 气且 y t n a - y f 。口) 2 - 一- b 。一b ca u - a 如 c ( 气+ 1 ，) 一( 、+ ，) c ，一1 ，= v + yc 7 u ， 故 即：p e a r ：4 中s c a u c h y 网，再由么的s 一完备性知，f 蜘：夕a ) 是s 收敛到a 中的，故彳是s 一紧的 3 3 半拓扑线性空间中s 一分离性 定理3 3 1 设x 是半拓扑线性空间，则 ( 1 ) x 是s 正则空间 ( 2 ) 若x 满足墨性质，则x 是是空间 ( 3 ) 若x 满足墨性质，则对x 中0 点的局部s 一基3 ，有 0 = 厂、“ ( 4 ) 若x 满足墨性质，则x 上的单点集是半闭集 证明( 1 ) 对于工x 的任意s 邻域u ，由定理3 1 4 的( 2 ) 知，存在x 的s 邻域 ， 使得kc ，又由s 邻域的定义知，存在半开集g ，使得工gc ，所以有 工gc 1 ，cv cu ，再由命题1 1 5 可知，x 是s 正则空间 ( 2 ) 墨+ s i ：e n ：s 3js 2 ( 3 ) 若x 满足s 性质，由( 2 ) 知，x 是s 2 空间，一方面，0 e 会甜，另一方i s x 寸- i ：, 的x 0 且j 。2 “，由于x 是s 2 空间知，存在h l 3 ，使得工 1 1 ，但。仨蚝，这与 0 r 、u 矛盾，所以 0 ) - n ” ( 4 ) 由命题1 1 4 可得 1 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 第四章半拓扑线性空间的子空间、乘积空间和商空间 4 1 半拓扑线性空间的子空间 引理4 4 1 设( x ，f ) 为拓扑空间，】，为x 的子空间，1 ，为】，中x 点的s 邻域，则存 在x 中的x 点的s 邻域u ，使得y = uny 证明由，为】，中石点的s 邻域可知，存在y 中半开集g ，使得x gc ，由引理 1 1 1 可知，存在x 中的半开集彳，使得工g = a n y 令“= 彳u ，易知j aca t j ，则“= a u v 是x 中的工点的s 邻域 而”n y = ( a u v ) n y - - ( a n y ) u ( y r 、n = g l ) v = v ，于是就是要找满足条件的 x 中j r 点的s 邻域 定义4 4 1 设x 是线性空间，r 为其上的拓扑，ycx 是线性子空间，若y 的加法 和数乘是准半连续的，则称( y ，s 0 ( 】，) ) 是半拓扑线性子空间 定理4 4 1 设( x ，s 0 ( x ) ) 是半拓扑线性空间，则以下结论成立： ( 1