（流体力学专业论文）多变量非亏损振系的逆灵敏度参数修正方法.pdf

i 摘要 、在对大型复杂结构进行动态设计吲，目前已普遍采用离散化的有限元或边 界元模型建模，但由于实际结构的复杂性，通常使分析模型很难完全与实际相符， 于是就产生了如何对它进行修正的问题。利用实验数据来修正分析模型这一实验 与分析相结合的建模方法，是当前振动界共同感兴趣的问题。逆灵敏度参数修正 方法直接通过设计变量来修改分析模型，具有以下特点： 将系统的质量、刚度矩阵描述为设计变量的函数，从中解得的特征值与 特征向量也是设计变量的函数； 修正分析模型的质量、刚度矩阵，只利用结构的前几阶频率： 修正后的分析模型保留了修正前原有分析模型与实际结构相联系的特 点，有利于设计与修改。1 本文针对多变量非亏损系统，着重分析具有重根特征对时，如何建立一套 切实可行的逆灵敏度参数修正方法，当系统的质量和刚度矩阵都是对称阵的情 形，仅是本方法的特例。本文的主要创新之处有： 1 提出了重特征值所对应的任意一组退化模态与可导模态之间转换矩阵f 的新的表达式，使之在物理意义上有了更为合理的解释。 2 计算了系统重特征值及其对应的左右特征向量沿过参数空间中某一点任 一给定方向的一阶方向导数，从而完成了它们的一阶泰勒展开式。提出了一种计 算左特征向量导数的快速而简便的新方法。 3 证明了系统重特征值及其对应的左右特征向量关于设计参数的不可微 性。| 在单参数情况下，可微与可导是一致的，求出了重根特征对的导数亦即证明 了它们的可微性；但对于多参数系统，虽然重根特征对的偏导数和方向导数存在， 但它们却是不可微的。) 4 多变量系统重根特征对是不可微的，亦即雅可比矩阵( 灵敏度矩阵) 不 仅依赖于设计参数本身，而且与它的改变量a p 有关。( 为此，提出了广义雅可比 矩阵这一新的概念，并用投影矩阵，滤去了特征向量方向导数中的高度非线性部 分，通过广义雅可i ：e 矩阵的m p 逆建立逆灵敏度方程，进而完成了参数修正d 5 提出了一套新的检验参数修正有效性的度量指标。参数修正的目的应使 从初始点出发的修正点，越来越接近目标点，从而使分析模型的模态数据最终与 实测模态达到一致。、j 、 关键词：非自伴系统i 参数修正；可导基；方向导数；泰勒展开；可微性 广义雅可比矩阵? 逆灵敏度方程。 a ni n v e r s es e n s i t i v i t ym e t h o df o rp a r a m e t r i cc o r r e c t i o n o fm u l t i v a r i a b l en o n - d e f e c t i v e s y s t e m s a b s t r a c t f i n i t e b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o df o rd i s c r e t e m o d e l i n g o f l a r g ec o m p l e x s t r u c t u r e si nt h ef i e l d so fd y n a m i cd e s i g nh a sb e e ne m p l o y e dw i d e l ya t p r e s e n t g e n e r a l l y , a t la n a l y t i c a l m o d e lc a nn o tm a t c ht h er e a lc a s e e n t i r e l y d u et ot h e c o m p l e x i t yo ft h es t r u c t u r e ，w h i c hb r i n g st h ep r o b l e mt h a th o w t oc o r r e c t an e w m o d e l i n gm e t h o df o rc o m b i n i n ga n a l y s i sw i t he x p e r i m e n t ，w h i c hu s e se x p e r i m e n t a l d a t at ou p d a t et h ea n a l y t i c a lm o d e l ，i sah o ts p o ti nt h ef i e l d so fv i b r a t i o nc u r r e n t l y a ni n v e r s es e n s i t i v i t ym e t h o df o rp a r a m e t r i cc o r r e c t i o nc h a n g e st h ea n a l y t i c a lm o d e l d i r e c t l yv i ad e s i g nv a r i a b l e sa n d h a sf o l l o w i n gc h a r a c t e r i s t i c ： r e g a r d i n g t h em a s sa n ds t i f f n e s sm a t r i xa sf u n c t i o n so f d e s i g nv a r i a b l e sa n d t h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n s o l u t i o n sa r ef u n c t i o n so f d e s i g nv a r i a b l e st o o u s i n gt h ef i r s ts e v e r a lo r d e r sf r e q u e n c yt ou p d a t et h em a s sa n ds t i f f n e s s m a t r i xo ft h ea n a l y t i c a lm o d e l c o r r e c t e dm o d e l p r e s e r v i n g t h ec o r r e l a t i o no fo r i g i n a lm o d e la n dr e a l s t r u c t u r e ，w h i c hi sg o o dt od e s i g na n du p d a t e 1 h i s p a p e r d e a l sw i t ht h ec a s eo fm u l t i v a r i a b l en o n 。d e f e c t i v e s y s t e m s w i t h r e p e a t e de i g e n p a i r s a n dw i l l p r o d u c e a na v a i l a b l em e t h o do fi n v e r s e s e n s i t i v i t y p a r a m e t r i cc o r r e c t i o n a n ds y m m e t r i cs y s t e mi so n l yt h es p e c i a l c a s e t h em a i n i n n o v a t i o na r ea sf o l l o w i n g ： 1 f i n dan e wr e p r e s e n t a t i o no ft r a n s f o r mm a t r i xff r o ma na r b i t r a r ys e to f d e g e n e r a t i v em o d e sw i t hr e p e a t e de i g e n v a l u e s t od e r i v a b l eo n e s ，w h i c hh a sm o r e r e a s o n a b l ep h y s i c ss i g n i f i c a t i o n 2 c a l c u l a t et h ef i r s td i r e c t i o nd e r i v a t i v e so ft h e r e p e a t e d r o o ta n dt h e c o r r e s p o n d i n ge i g e n v e c t o r sa l o n ga na r b i t r a r yd i r e c t i o np a s s i n gad e s i g n a t ep o i n ti n t h ep a r a m e t r i cs p a c ea n df i n dt h e i rf i r s tt a y l o re x p a n s i o nf u r t h e r m o r e as i m p l ea n d c o n v e n i e n tm e t h o df o r c a l c u l a t i n g t h ed e r i v a t i v e so fl e f t e i g e n v e c t o r s w i l lb e p r e s e n t e df i r s t l yb a s e d o nt h eb i o r t h o n o r m a l i z a t i o nc o n d i t i o n 3 p r o v et h e n o n d i f f e r e n t i a b i l i t y o ft h e r e p e a t e d r o o ta n dt h e c o r r e s p o n d i n g e o g e n v e c t o r sf o rd e s i g np a r a m e t e r s f o rs i n g l ev a r i a b l es y s t e m s ，d e r i v a b i l i t yi st h e s a m ea s d i f f e r e n t i a b i l i t y b u t f o rm u l t i v a r i a b l e s y s t e m s ，a l t h o u g h t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e so ft h er e p e a t e dr o o ta n dt h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v e c t o r sf o rv a r i o u sd e s i g n p a r a m e t e r sa n dt h e i r f i r s td i r e c t i o nd e r i v a t i v e sa l o n gv a r i o u sd i r e c t i o n sh a v eb e e n f o u n do u t i ti sa l s on o tt ob ed i f f e r e n t i a b l e 4 f o rt h e n o n d i f f e r e n t i a b i l i t y o ft h e r e p e a t e d r o o t e i g e n p a i r s ，t h e c l a s s i c a l j a c o b e a nm a t r i xn o to n l y d e p e n d so nd e s i g np a r a m e t e r sb u ta l s or e l a t e st o t h e i r c h a n g et x p t h e r e f o r e ，an e wo p e r a t o r s o c a l l e d g e n e r a l i z e dj a c o b e a nm a t r i x i s p r e s e n t e df i r s tt i m ea n dt h ep r o j e c t i o nm a t r i c e sw i l lb ei n t r o d u c e dt h e nt or e j e c tt h e h o m o g e n e o u ss o l u t i o np a r to f t h ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sf o re i g e n v e c t o r s ，w h i c hl e a d s t oe s t a b l i s ha ni n v e r s e s e n s i t i v i t ye q u a t i o nw i t h m pi n v e r s eo ft h e g e n e r a l i z e d j a c o b e a nm a t r i xa n dt h ep r o c e d u r eo ft h e p a r a m e t r i cc o r r e c t i o nw i l lb ec o m p l e t e d f u n h e r m o r e 5 e s t a b l i s han e ws e to fa s s u r a n c ec r i t e r i o nt ov e r i f yt h ev a l i d i t yo f p a r a m e t r i cj c o r r e c t i o n t h ep u r p o s eo fp a r a m e t r i cc o r r e c t i o nl i e si nt h a tt h ec o r r e c t i o n p o i n t s s h o u l db em o r ea n dm o r ec l o s e l yt ot h et a r g e tp o i n ta n dt h ea n a l y t i c a lm o d e l sw i l l- m a t c ht h ee x p e r i m e n t a ld a t ai nt h ee n d k e y w o r d s ：n o n s e l f - a d j o i n ts y s t e m ，p a r a m e t r i cc o r r e c t i o n ，d e r i v a b l ee i g e n s o l u t i o n ，d i r e c t i o n d e r i v a t i v e ；t a y l o re x p a n s i o n ，d i f f e r e n t i a b i l i t y , g e n e r a l i z e dj a c o b e a nm a t r i x ，i n v e r s e s e n s i t i v i t ye q u a t i o n ， 1 1 前言 第一章绪论 科技的进步使人们对a - _ 程结构的功能要求越来越高，传统的静力设计正逐 渐被动态设计所取代，这就要求结构的分丰斤模型正确可靠，在此基础上爿能对 结构作出币确的响应计算、载荷预测和稳定性分析。五十年代中期有限元方法 的兴起使理沦建模工作得到了快速发展，至今这一离散化的建模方法已f i 臻完 善和成熟。但理论分析指出，由于实际结构的复杂性，对构件问的连接、边界 的约束等，理论建模时均需作力学上的简化处理；而且一般情况下，往往不考 虑阻尼或仅仅凭经验引入；此外，网格的划分与自由度的设置受计算机容量与 运行时间的限制等等，这些都可能造成有限元模型与实际结构不符，使得所建 模型动力计算精度不足，实用时必须予以修正。 六十年代，跟踪滤波与快速傅立叶变换先后出现，不论模拟式或是数字式 振动测试精度均大幅度提高，这使人们对解决理论建模中出现的问题信心倍增， 并着手用实测数据进行模型修改，这样，结构动态修改便应运而生。直至今天， 它依然是结构动力学极为活跃的研究方向。 结构的动态修改包含了正反两方面的内容。正问题系指，对已有结构作了 局部改动后，在原结构模态参数已知情况下，用快速简易的方法获得改动后结 构的模态参数，即结构的重分析问题。结构的重分析是一个既费时又费力的工 作，为了在多种修改方案中作出j f 确的选择，重分析过程的快速性和有效性便 成为问题的关键。逆问题则指，原结构分析模型的某些状态参数设置不合理， 导致结构动态特性不合要求，希望用实测模态( 或由某种设计需要给出的模态 参数) 修萨初始分析模型，使得修改后的模型在所考虑的频段内对任意输入的 响应与真实结构的响应尽可能一致。这种修正后的模型可用于结构的响应和载 荷预测，以便控制系统的设计。 就结构的逆动态修改( i n v e r s ed y n a m i cu p d a t e 简称i d u ) 技术而言，修改 的目的是要求结构动态特性达到一定标准。不同的工程结构要求达到的目标并 不相同，特性目标多种多样，它们可以是： 1 对固有频率的要求。这种要求最为普遍，大多是为了使结构避丌实际工 况下可能发生的共振。可以要求修改后结构的最低固频为某定值，也可要求 修改后第i 阶和第f + 1 阶固频不落在某一频段内，等等。这类修改的工程实例有 大型转子，运载火箭和导弹上的精密仪器构架，精密机床等等。 2 对振型的要求。结构的固频无法全部从动载荷的主要区域内移丌，如某 阶固频无法不落在工频之内，而又欲使某点响应尽量小，或某两点相剥。位移尽 量小，这叫可要求：修改历结构的第f 阶振型的缝，个分量任某一范出内；第f 阶振型的第与第k 个分量的f f ! 离小：j 二某值等等。这在某些精密仪器在导弹上 安装h ，以及运输器具驾驶员座位的确定时可能遇到。 3 刈频响函数或响应的要求。频响函数反映结构传递动载使之成为响应的 能力，通常要求修改后结构的频响函数在一定频带内具有某值或尽量小；在动 载l 知州，l 岫心剐反映柏：频响函数上，要求最人动响应小于某值或尽量小。响 应l j f 以足位移、速度或j ! j l i 速度。这类要求可在与2 类似的情况中遇到。 4 对响应功率醋的要求。结构处在随机激励之下，在一定的动载谱( 地震 谱或路嘶潜) f ，要求响应功率谱尽量小。这样，随机响应的水平就低、结构 更安全、环境更舒适。这类要求大多在抗震结构或交通工具的动力修改时遇到。 还- 一j 举e 它类型的动态特性1 标。例如，为使结构在循环交变应力作用 卜发生j 皮劳破坏的可能性减少，对动j 世力t ，j 提出某种要求等等。 应该看到，工程结构足一整体，动态特性仪仅是结构总体性能的一个方面。 动力修改必然会引起其它性能的改变，敞有时需要增加另一类约束条件，诸如 静强度约束、静刚度约束等，s i l j b ，结构的形式、工艺要求、安装空间的限制、 零部件的标准化等也是约束条件。 i d u 技术在模念分析领域r 一占有越来越重要的地位，它是实现结构动态设 汁、结构，l = 动控制、故障诊断等的强有力手段。在这一领域虽已做了大量的研 究工作，形成了许多n i t 】的方法，但是进一步的研究工作仍需进行。 1 - 2 逆动态修改( i d t j ) 技术的发展与现状 1 9 5 8q - - g r a v i t z 为解决匕机地i 自i j t 振试验q 测量振型l l i 交化问题，提出了 川测试数捌求蚁i 机结构柔度阵，并使之对称化i 圳。这是结构i d u 方面发表 得最早的篇文献，土吐然作者当l i , l q ：术意口 剑这一点。人约十年之后，r o d d e n i ”i 与m e g r e w 引用不同的方法研究了类似的n d 题，l j 确提出从1 i 机地面，振实测 数掘获取结构的影向系数 ：l ( 1 l t c 。此i f , ，结构i d u 的文献刁i 断山现。近_ _ = ：十年米， 结构i d u ；j - 法u 经很多，p 侈目起来，t 婴有如i - j l , f , l , 方法： 矩阵摄动方法 将参数小变化时的矩阼摄动理沦应用于结构的i d u 技术，具有代表性的研 究工作有s t e t s o n 等的阶l ! 阵摄动法和陈| f j 介等的矩阵小参数法。1 9 7 5 年， s t e t s o n l 6 3 1 等提出了一阶矩阵摄动法，此法假定：中= 蛾+ a ，矩阵a 的对 角元都为零。然后利用瑞雷商式，推导出质量阵、刚度阵元素的修改量与摄动 参数之间的关系式，当实测固频与振型给定后，便可求得质量与刚度阵的修j 下 量。1 9 7 6 年，陈中介等将摄动法用于结构动力分析；三年之后，陈等将上述思 想用于结构i d u ；1 9 8 , 3 年陈等又推m 修改中的直接识别法m i i ”1 1 ”i 。其基本思想 是将质量、刚度、模态矩阵表示为摄动量的一阶展开式，且振型的一阶摄动量 满足中，= 蛾口，然后利用矿交化条件导出质量与刚度阵的修正量。 以上两法分别假定西= 吼+ 爿及占蛾= 蛾口，其实质是样的，都需知 道全部模念，这在工程上是很难做到的。经验指出，当用模念截断方法时，只 有在驴。包含了全部的基本模念情况f ，误差爿不至于太大。这种方法计算量不 是太大，因此工程上用得较为普遍。但对丁大型结构以及存在一些不易测得的 自山度时，会导致较大的误差。 二直接修l f 法 1 9 7 9 年b e r m a n 提出一种直接修f 的方法0 】，其基本思想是：l h 7 日i j 量识别的 模态特征值力和特征向量驴，修币结构初始模型的质量矩阵m 。和刚度矩阵 眠，目标是使由初始结构矩阵和修改结构矩阵之m 的差所构造的欧氏范数极小 化，同时使之满足模恕正交性及特征方程等条件。 b e r m a n 方法的思想最初来源于m c g r e w i ”】，t a r g o f f l 6 4 和b a r u c h l 6 1 等人的研 究。在他们的研究中认为分析模型的质量矩阵是正确的，然后修正测量模态使 之更好地满足i j 交性条件。与之类似但相仿的研究则山b a r u c h 和b e r m a n 等人 提出，即考虑测量模态是准确的，并用此修正分析模型中存在偏差的质量和刚 度矩阵。其后，b e r m a n 综合了质量矩阵修正和刚度矩阵修正的过程，从而建立 了所谓分析模型修诈的有接方法，并成功地应用于大型分析模型的修正，使得 用修j f 模型计算的模态参数与测量识别结果尽可能一致。g e a s a r 扩展了b e r m a n 的工作，研究了包含结构刚体模念的情况，并对考虑先修f 质量矩阵，其次修正 刚度矩阵以及先修正刚度矩阵然后修正质量矩阵的两利，途经的各种可能情况作 了全面的研究，导出了各种形式下质量矩阵和刚度矩阵的修正公式。另外，张 德文等用这利，思想结合矩阵摄动理论也推导出类似的修j f 公式。 尽管b e r m a n 的方法简单易行，无须迭代，计算工作量小等优点，但仍存 在着一些缺点，如修j 下后的质量矩阵和刚度矩阵变为满阵，失去了其带状性质。 虽然这通过某种方法可以解决，但仍存在修i f 后的动力模型在所考虑的频段内 山现新的，虚假模态的可能。另外，b e r m a n 的直接修正方法不考虑非比例阻尼 矩阵的修讯，而这是在大阻尼复杂结构建模时所必须考虑的。当然，这些不足 之处也常为其它动力修j 下方法所共有。 三逆灵敏度参数修矿方法 1 9 7 6 l ：，w h i t e 等侄研究柚征解对参数模型摄动的灵敏度问题时，提出了 一种哭j ：结构蘑分析1 逆动念修改的疗法。他认为，对j ：j ! = 阶模念，如某些单 兀对陔阶梭念能量负献很人，! j ! i l 这些卟几结构参数的变化必对系统该阶特征对 产，【重大影响；反之办然。这一舰点是很i j ，耿的，是逆灵敏度参数修谁方法的 思想来源。1 9 7 8 年，b u g e a t ”1 等提出将分析模型的特征对看作物理参数的函数， 然后dj 泰勒展j r 并略去：阶及以上小量，经过系列的数学推导，得到一线性 方程组，求解以后便得到参数的修证量，进而呵确定结构质量矩阵与刚度矩阵 的修正，这就是逆灵敏度参数修j f 方法的基本思路。 山于当时b u g e a t 等未弄清最小二乘与最小范数的区别，以至于他们导出的 质量矩阵与刚度矩阵修正量的表达式都是错误的，从而给人们在实际应用中以 i j i j 惑，使用结果很1 i 理想。但i l 于j 幺方法使修正后的分析模型保留了修正前原 有模型与实际结构棚联系的特点，有利于设计与修改，特别是在结构设计时， 臼f j i 已广泛采用有限兀分析模型，敝发展通过设汁变量来修改有限元模型的方 法值得重视。因此，肘该方法的研究已成为国内外学者十分关注的热点问题， 也取得了些成果。 小文旨在前人基础一i ：，对该方法的理论研究作进步的推广。逆灵敏度参 数修l f 方法在理沦t 涉及结构的特征值问题，灵敏度分析以及线性方程组的求 解等，下面分别给以简单的介绍。 1 3 结构振动的特征值问题 在复杂结构的振动分析 i ，有限冗方法足曰i j 工程中普遍采用的最有效的 离散化方法。有限元法的基本思想是”“，首先将复杂结构看作是离散单元的集 合体，然后在小单元内选择适当的位移模式，并计算每个小单元及整个结构的 动能及应变能，最后用h a m i l t o n 原理导出结构的振动方程： m i ( ) + c 口( ，) + x q ( t ) = q ( f ) ( 1 1 ) 对系统的结构振动方程( 1 1 ) 的求解，在有限元线性动力分析中，一般采 用两人类的解法：直接积分法和振型叠加法。直接移 分法是直接对运动方程进 行积分，其运算次数和半带宽与自由度数的乘积成正比，对于大型结构，计算 将是很费时的。振型叠加法在一定条件下町以取得比直接积分法更高的计算效 率。它酋先求解一无附l 尼的自山振动，从数学一卜来看这足一矩阵特征值问题： 然后刚解得的特征向量，即有振型对运动方程( 1 1 ) 进行变换，如果阻尼矩阵 是振型尼矩眸，则变换后的运动力栏，各自山度是互不梢合的；最后对各个 自由度的运动方程进行积分并进行叠加，从而得到问题的解答。对于大型结构， 其模态分析的计算时间较长，且大多只需要少数较低阶振型的结果，因此，一 般人们都采用振型叠加法。 考虑一n 臼l b 度线性系统，其无阻尼自由振动方程为： m q + k q = 0( 1 2 ) 它的解可以假设为： 吼= 谚s i n c o ，( f 一，o ) ，( i = 1 ，2 ，n ) ( 1 3 ) 将( 1 3 ) 式代入( 1 2 ) 式，就导出结构振动特征值问题： k ，= a ，m 痧( 1 4 ) 其l | j 五，= 脚0 这样，在结构振动分析一 l 求解结构的固有频率和模念向量的问题， 在数学上就归结为求解振动特征值问题( 1 4 ) ，特征值( ，a ：，五。) 代表系统 的n 个固有频率，并有o r ：兄。，特征向量( 庐，萨：，庐。) 代表系 统的j v 个固有振型。 h i 线性代数理论可知1 8 9 ，要使方程( 1 4 ) 有非零解，其充分必要条件为： d e t ( g 一3 m ) = 0 ( 1 5 ) 这就是结构的特征方程。若令： p ( 五) = d e t ( k 一2 m ) ( j 6 ) 称为特征多项式。山于结构的自由度数为，也即耳和m 均为阶方阵，方 程( 1 4 ) 中的特征值一定是特征多项式p ( 丑) 的根，而p ( a ) 的根也必然是方程( 1 4 ) 中的特征值。 定义模态矩阵咖= 嗡，妒：，“ ，对角阵q = d i a g 3 ，r ：，旯。】，则原特 征值问题( i 4 ) 可表示为： 眉中= m 幽1 - 2 ( 1 7 ) 设a 是一个非零常数，若一是一个特征向量，则口谚也是对应于同一特征值五 的特征向量，所以，特征向量只是定义它在维空阳j 中的方位。 如果某个特征值 ，为m 重特征值，即a ，= a 。一一丑一若系统是非亏 损的，则方程( 1 7 ) 中剥应丁二特征值兄，的特征向量有m 个独立解，设为： 中= 【w i ，w 2 ，一，i ，。】= w( 1 8 ) w 张成的空问是与五，对应的特征空f 、日j 。一般说来，与z ，对应的模态( 特征) 向量并不是唯一的这些模态向量的线性组合： 庐，= d ，w ，= w a ( 1 9 ) = l 仍为与五，对应的特徊向量。事实：，从( 1 4 ) 式可得： 此式义町写成 眉( “，桫，) = 兄，吖( “，w ，) ( 1 1 0 ) ，= i，= i “，( k w ，一五，m w ，) = 0( 1 川) j = l d 此叫见，刈f 【意的系数n = ( “。，“2 一，“。) 7 ，只要n 0 ，总可以构造出一组新 的m 垃，使c 满足力榭( 1 4 ) 。 对j 二年r 脚i 人三的系统，其系统的e 1 山振动方程为： m q + c 口+ 丘g = 0( 1 1 2 ) 柏应的特征值问题为： ( m f ? + f f + k ) v ，= 0( 1 1 3 ) t j f 入状态特征向量： 舻咖， 式【 jr 为埘应j 二第i 阶特征值f 的状念变换矩阵： r = 吲 其t i t ，为单位阵。这样办挫( 1 1 ： ) 可表j 为： 蛳，= f 伽， ( 1 1 6 ) 刑 u = k 1 吖0 if y = f 肘0 。1 d il 【i j 此l ，见，n ：j i a - ；状态向量以厢，订叭尼系统的特征值问题在形式上与 无阻尼系统的特征值0 d 题足敛的，鄙如力干垡( 1 4 ) 式所示。所以j 要解决了特 征值问题( 1 7 ) ，有m 尼系统的振动问题i i 三同时得到了解决。 在l l j 特征值n d 题( 1 7 ) 确定系统的n 个特征解( 五，谚) 以后，可引入变换 q ( o = c x q ) = “( f ) ( 1 1 9 ) 此变换的意义足将叮( ，) 看成破的线性红l 合，谚i i j 看成足广义的位移基i 柚量( 坐 标) ，x 是广义的位移值。从数学上看，是将位移向量口( r ) 从以有限元系统的节 点位移为基向量的n 维空间转换到以痧为基向量的j v 维空间。将此变换代入特 征值问题( 1 7 ) ，则系统的运动方程( 1 1 ) 就成为个相：巨不耦合的二阶常微分 方程，相当于个单自山度系统的振动方程，可以比较方便地求解。在得到每 个振型的响应以后，按式( 1 1 9 ) 将它们叠加起来，就得到系统的响应，亦即每 个= 符点的位移值： 卫 q ( t ) = 。妒x ，( ，) ( 1 2 0 ) ，= i 对于个单自由度系统运动方程的积分，比对联立方程组的直接j 分节省 计算时问；另外，通常只要对非耦合运动方程中的一小部分进行积分。例如只 要得到对应于前p 个特缸解的i i 向应，就能很好地近似系统的实际响应。这是由 于在常见载荷卜- ，高阶的特征解通常对系统的实际响应影响较小，且有限元法 得到的高阶特征解和实际相差也很大，因此求解高阶特征解的意义不大，而低 解特征解对于结构设计则常常是必需的。 1 4 特征差支配方程与函数的可微性 灵敏度分析方法是研究结构动念修改较为精确的方法。所谓结构动力参数 的灵敏度是指设计参数的单位变化所引起的结构动力特性的变化。这种分析方 法为在结构动态修改中，从多个设计参数中选取有可能达到修改目的的参数， 或者从可能达到修改目的的各结构参数中选取最有效、最经济的修正参数提供 了一条途径。对于有限元模型，结构可修改参数体现在模型的物理参数之中， 易用数学方法计算出动态特性对修改参数的灵敏度。逆灵敏度参数修正方法在 理论上主要是建立系统的特征差支配方程和逆灵敏度方程。 对于一个包含多个设计参数p = ( p ，p2 ，一，p 。) 7 的振动系统的特征灵敏度 分析，系统的特征解都是设计变量的多元函数，且关于某一个参数p 的偏导数， 只是一种特殊的方向( g a t e a u x ) 导数( d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e ) ，即沿着h 维参数空问 的第i 坐标轴方向的灵敏度，要完成系统的特征灵敏度分析，就需求出特征解对 所有设计变量的偏导数。在建立系统的特征差支配方程方程时，需求出特征解 沿着参数空间中任一给定方向f 的导数，作为单参数的情形，利用给定方向f 一卜的一阶泰勒展丌式，确定系统的特征差支配方程方程。对于单参数系统，特 征解关于这个参数的可微与可导是一致的，但在多参数情况下，尽管特征解的 偏导数存在，却1 i 一定( f r e c h e t ) 可微。以上几个方面在数学上涉及到求向量值 函数的导数和方向导数以及多元函数的可微性问题。 考虑维向量值函数f ( p ) = ( _ ( p ) ， ( p ) ， ( ，) ) 1 ，其中自变量 p 2 【p j ，p 2 ，p 。) 1 ，山多元函数的微分理论可知1 8 2 1 ，向量值函数，( p ) 在 p = 风点处的偏导数定义为： 饥 磐旦：l i m ! 旦! ! ：芝! 坐! ! ：竺! ! 二! 旦! ! ：竺! ：。：旦! ! 粤_ 。， 观 ( 12 1 ) ：r 盟监盟、r ”“ 、o “8 p j ? ? o p j j 式l i = i ，2 ，h 。任_ p = p 。，如果对于自变量p 的任意改变量p ，因变向 量( p ) 的改变量，= f ( p + 印) 一( p ) 总能分解为线性部分和高阶部分： a f = l ( p o ) p + o ( 印)( 1 2 2 ) 其中d ( 印) 足一个向量，其范数为0 印0 的高阶无穷小量；l ( p 。) 为r ”_ r w 的某 个线性算子，与印无关，仅是p 。的函数，则称函数，( | d ) 在点凡( f r e c h e t ) 可 微，且有微分表达式： d f = 工( p 。) d p( 1 2 3 ) 这个线性算二fl ( p 。) ，就称为i q 量值函数( p ) 在点p = 风处的导数，记为 ( 风) 。这样，j 弋( 1 2 3 ) l i j 改写成： d f = f ( p 。) d p( 1 2 4 ) 一般地说，如果向量值函数( ，) 在点p = p 。具有连续偏导数j r 。， f = l ，2 ，灯，则它在这点r u 微。这时 u 题9 1 结为各个坐标分量的i j 丁微性，于 是有： = a f , f 1 m ，。印，( 印) 止，。印，+ d ( 妒) ，。印，十o ( 印) + d ( p ) ( 1 2 5 ) 撕p = 厨川蝴的蚓z 腻孤删籼懈 j ( p 。) = l 、饥 饥 。“ ! ，j 、 1 ，p l l ，p j q ，p _ q ，p l l n 。p 。 ( 1 2 6 ) 帆 锄 ： 蛾 n儿 饥 协 厶 就是变换月”斗月”的线性算子l ( p 。) ，而向量值函数的导数厂( 风) 就是雅可比 矩阵，( 口。) ，即，( 胁) = j ( p 。) ；d f = j ( p o ) d p 。反之，若向量值函数，( ，) 在 某点可微，则其全微分( 1 ，必须足自变量的改变量a p 。( 等于自变量的微分d p ) ， i = 1 ，2 ，h 的线性组合： d f = a ，j f ， ( 1 2 7 ) 组合的系数4 就等于函数，( p ) 关于p ，的偏导数j r ，一即 a ，= f ( i = l ，2 ，h ) ( 1 2 8 ) 它们仅是p ，的函数，而与印。无关。因此，函数在某点可微，则在该点也一定 存在偏导数。对一元函数而言，反之亦然，但对于多元函数则不尽然。 在数学分析中，函数，( | 口) 在p = p o 沿方向f = ( c o s t 2 m c o s o f 2 ，c o s o 。) 7 ( 其q c o s a 。，i = 1 ，2 ，r 是f 的方向余弦) 的方 甸( g a t e a u x ) 导数定义为： 凡些乱。2 淼掣 z 。， 式中r = 怯p f f = 、印? 。特别地，若取f 为沿n 轴的单位向量，即得函数 厂( p ) 在p = p 。点关于p ，的偏导数，。 在数学分析中已经证明，如果函数( ，) 在所考察的区域中可微，则沿任 何方向f 的方向导数必存在f 1 可表示为： ，= f ，nc o s o 户 、，h 唧1 t ，p ? c o s 口rj c o s 口f 2 c o s a f ” = ，( p ) r ( 1 3 0 ) 其中雅可比矩阵j ( p ) 与方向f 无关。上式说明，若函数( p ) 可微，则其方向导 数，。是方向f 的线性函数；反之，若函数f ( p ) 沿任意方向的导数厂，对方向f 呈非线性依赖关系，则一般来说，函数f ( p ) 在该点是不可微的。 在研究多变量振系的逆灵敏度参数修正方法时，由于考虑的是多参数情形， 系统的特征解( 妇，中) 必定是设计变量p = ( p 1 ，p 2 ，p 。) 1 的多元函数，因此在 建立系统的特征差支配方程以前，首先必须讨论特征解( 力，中) 的可微性问题。 系统的特征差支配方程是建立在特征解的一阶泰勒展开式基础上的。由微 分理论可知，泰勒展7 1 ：式的基本思想是在某一点的近旁，利川该点的备阶导数 值作m 一个相应的多项式来近似地替代原来的函数。只有在函数( p ) 征p = p 。 点1 1 微的情况下，4 成丑如卜的阶泰勒腱j i ：式： 厂( p ) = f ( p o ) + ，p p + o ( a p ) ( 1 3 1 ) i = l 其q 1 偏导数，。岁 足p 。的函数，脚与z i p ，无关。如果求函数，( p ) 沿某一方向f 的泰勒展丌式，问题就归结为单参数的情形，只要函数( p ) 沿某方向f 的导数 ，存确：，就可以写出它的一阶泰勒展j ：式： f ( p ) = ( p o ) 十f ，。j 口十口( p ) ( 】3 2 ) 忽略商阶小量o ( a p ) ，式( 1 4 9 ) _ n 以段写成 v = f ( p ) 一( 风) = f ，z x p ( 1 3 3 ) 上式q ，仅是p 。的函数，而与p 无关，是一个线性算子。 在逆灵敏度参数修汇巾，通常把分析模型的参数取为初始点几，实测模型 的参数为e i 栖i 点p = p 。十a p ，我们希望通过计算使参数修正点p = p 。+ 印逐 渐向l 标点靠近，这样，分析模型t l ，的参数将与实测模型中的相统一，最终使 分析模型的特征解( 力，驴) 与测量泌剧的结果达到一致。分析模型的特征解 ( 口，痧) 足没汁参数p 的多冗函数，町汜为( 口( p ) ，中( j 口) ) ，测量识别得到的特征 值与特征向量( q ，西) 可看成足函数( x 2 ( p ) ，中( p ) ) 侄p = p 点处的值。这样，将 式( 1 3 3 ) 小的函数f ( p ) 墩成( 口( p ) ，驴( p ) ) ，门ja e 表示特征解的改变量，用s 表示( 1 3 3 ) 式中的算f ，我们就得到系统特缸 差的支配方程： a e = s p ( 1 3 4 ) 如果系统的特征解函数( 力( p ) ，函( ，) ) 铂! p 。点是可微的，则特征差支配方程( 1 3 4 ) l | 的算r 5 就足雅呵比矩阵j ( p 。) ，如( 1 2 6 ) 所示；牛反的，如果系统的特 征解函数( n ( d ) ，中( p ) ) 钮p 。点足小i 叮微的，那么我们无法从特征解的方向导数 中分离出线性主 i i ，必须通过其它途径彳能建立形如( 1 f3 4 ) 的系统的特征差支 配方程。 1 5 逆灵敏度方程与广义逆 在系统的特征差支配方程方程( 1 3 4 ) 中，a e 由分机模型的特征解( n ，鳓 和测量识别得到的特征值与特征向量( 五，西) 这两部分中的信息形成，算子s 通 过分析特征解函数( 力( p ) ，中( p ) ) 经计算l f 【j 得，所以只要从方程( 1 3 4 ) 一求解出 p ，我们就得到了参数的修正量。这样，问题最后归结为线性方程组( 1 3 4 ) 的 求解。 对于大型结构，一般来说系统的特征差向量维数要远远大于系统的设计变 量个数”，因此方程( 1 3 4 ) 中的个数将远远大于未知量的个数。求解这样的线 性方程组在数学一卜可以采用广义逆方法，利用广义逆矩阵给出方程的极小范数 最小二乘解| s 6 1 。 考虑非齐次线性方程组： a x = 6( 1 3 5 ) 其中a r ”7 ，6 r 给定，而x r ”为待定向量，关f 上述方程组的求解问 题，常见的有以下几种情形： 1 如果方程组( 1 3 5 ) 是相容方程组，其解可能有无穷多个，求出具有极小 范数的解，即 r a 删i n 俐 ( 1 3 6 ) 其中是欧氏范数。在线性代数巾