（基础数学专业论文）随机样条函数研究.pdf

学位论文独创性声明 删ijllii i i i ji l l i i i lllli y 17 9 4 812 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 靴论文作者签名： 毯鸳指导教师签名：丝垫 签名e l 期：扣，d 年矿月￥日 。_ _ _ _ l 辽宁师范人学硕士学位论文 摘要 随机样条是随机多项式的推广，这对于研究自然界中以随机方式变化的事物的特定 规律来说，又增添了一种有力的数学工具 自然界中以随机方式变化的事物一般用随机函数来描述，但是随机函数表现复杂， 且不易把握，我们希望用随机样条去拟合随机函数，正如用多项式逼近连续函数那样， 从而揭示自然界几乎一切可观察的随机现象的本质，因此，探究随机样条的本质、内在 特征及逼近性质应是非常重要的课题 文 1 给出了随机样条函数的概念，并证明了这种样条函数对随机函数在某种度量 意义下的逼近定理，本文针对随机样条的概率性质展开研究，这对把握随机样条的主要 规律有重要意义 首先，我们讨论它的数值特征期望、方差和相关性( 2 ) ，给出服从各种分布 的随机样条的期望和方差，并指出这些特征所具有的几何意义 其次，用泛函的观点，讨论存在二阶矩的随机样条s ( x ，1 ，引出日空间这一内积 空间，探讨h 空间中的均方收敛性质以及均方极限的特点 然后，分析随机样条是否具备二阶矩过程的特征，研究其均方连续性、均方可导性、 均方可积性以及这些性质的特点和它们之间的关系 再次，研究在日空间意义下，随机插值样条函数s ( x ，c o ) 对随机函数厂在均方收敛 意义下和依概率收敛意义下的两个逼近定理 最后，对于具备维纳过程的随机函数厂，研究其随机插值样条函数s ( x ，f o ) 是否还 具有维纳过程的性质? 通过对一次随机样条函数的分析可知，对于具备维纳过程的随机 函数厂，其一次随机插值样条函数s ( x ，) 虽然是独立增量过程，但却不再是维纳过程 关键词：随机样条；h 空间；二阶矩过程；独立增量过程；维纳过程 辽宁师范大学硕士学位论文 r e s e a r c ho nr a n d o ms p l i n ef u n c t i o n a b s t r a c t r a n d o ms p l i n ei st h ee x t e n s i o no fr a n d o mp o l y n o m i a l ，a d d i n ga n o t h e ru s e f u lm a t h m a t i c i n s t r u m e n tf o rs t u d i n gt h et h i n g sb yr a n d o mc h a n g i n gp a t t e nb u tc o n t a i n i n gs p e c i a ll a wi nt h e n a t u r e i nt h eg e n e r a l ，t h et h i n g sb yr a n d o mc h a n g i n gp a t t e ni nt h en a t r u r e i sd i s c r i b e db yr a n d o mf u n c t i o n , b u tt h er a n d o mf u n t i o ni sc o m p l e x , a n dv e r yh a r d l yg r a s p ，w e h o p et oa p p r o x i m a t er a n d o m f u n c t i n b yt h e r a n d o ms p l i n ea sc o n t i n u o u sf u n t i o ni s a p p r o x i m a t e db yp o l y n o m i a l ，t h u s ，t h e e s s e n c ei nt h en a t u r ew h i c hc o u l db eo v s e r v e di s r e v e a l e d s o ，s t u d yt h ee s s e n c e , t h ei n h e r e n tc h a r a c t e ro f r a n d o ms p l i n ea n dt h ea p p r o x i m a t i o n t h e o r ys h o u l db eav e r yi m p o r t a n ts u b j u c t t h ec o n c e p to f r a n d o ms p l i n ei sg i v e ni np a p e r 1 ，a n dp r o o f t h ea p p r o x i m a t i o nt h e o r yo f s u c hs p l i n ef u n c t i o nt or a n d o mf u n c t i o n ，t h i sp a p e rs t u d yt h ep r o b a b i l i t yc h a r a c t e ro fr a n d o m s p l i n e a tf i r s t ，t h i s p a p e rd i s c u s ss e v e r a lp r o b a b i l i t yp r o p e r t i e so f t h er a n d o ms p l i n e - _ t h e e x p e c t a t i o n 、v a r i a n c ea n dt h ec o r r e l a t i o no fr a n d o ms p l i n e ，s h o wt h ee x p e c t a t i o n o ft h e r a n d o ms p l i n ew h i c hw i t ht h ek i n d so fd i s t r i b u t i o n ，a n dt h eg e o m e t r i cm e a n i n go ft h o s e p r o p e r t i e so f t h er a n d o ms p l i n e f u t h e r m o r e ，d i s c u s st h er a n d o ms p i n ew h i c hw i t ht w o o r d e rm o m e n tb yt h eo p i n i o no f f u n c t i o n a l ，d e d u c et h ei n n e rp r o d u c ts p a c eo fs p a c eh ，a n a l y z et h ep r o p e r t yo fm e a n 。s q u a r e c o n v e r g e n c e ，a n dt h ec h a r a c t e ro fm e a n s q u a r el i m i t t h e n ， a n a l y z er a n d o ms p l i n ew i t ht h ep r o p e r t yo f t w o o r d e rm o m e n tp r o s s e so rn o t ? s t u d y t h e p r o p e r t y o fm e a n s q u a r ec o u t i n u o u s ，m e a n - s q u a r ed e r i v a t i v e ，m e a n - s q u a r e i n t e g r a l ，a n dt h er e l a t i o n s h i po f t h e s ep r o p e r t i e s a f l e r w o r d s ，b a s e do nt h em e a n i n go fs p a c eh ，t w oa p p r o x i m a t i o nt h e o t i e so fr a n d o m s p l i n et ot h er a n d o mf u n c i o nb e l o wt h em e a n i n go fm e a n - s q u a r ec o n v e r g e n c ea n db y p r o b a b i l i t yc o n v e r g e n c e a r eg i v e n a tl a s t ，r e g a r d i n gt h er a n d o mf u n c t i o nw h i c hw i t ht h ew i e n e rp r o c e s s ，w es t u d yt h e r a n d o mi n t e r p o l a t i o ns p l i n ef u n t i o ns t i l lw i t ht h ep r o p e r t yo ft h ew i e n e rp r o c e s s o rn o t ? b y a n a l y z i n gr a n d o ms p l i n e w i t h l , w ek n o w ，a st h er a n d o mf u n t i o nw i t h t h ew i e n e r i i i k e yw o r d s ：r a n d o ms p l i n e ；s p a c eh ；t w o o r d e rm o m e n tp r o c e s s ；i n d e p e n d e n t i n c r e m e n t s p r o c e s s ；w i e n e rp r o c e s s i v 辽宁师范人学硕士学位论文 目录 引言l l 随机样条函数的数字特征4 1 1 随机样条的期望4 1 2 随机样条的方差6 1 3 随机样条的相关性7 2 随机样条函数空间1 0 2 1 日空间是线性空间1 0 2 2 日空间是内积空间1 1 2 3 日空间中的收敛性1 2 2 4 均方极限的特点1 3 3 随机样条的二阶矩过程1 5 3 1 均方连续性一1 5 3 2 均方可导性1 6 3 3 均方可积性1 7 3 4 随机样条s ( t ，1 的均方可导性与均方连续性的关系1 8 4 日空间中的逼近定理2 0 4 1 均方收敛定理2 0 4 2 依概率收敛定理2 1 5 随机样条是否具备维纳过程的探讨2 2 5 1 一次随机样条s ( x ，1 是独立增量过程2 2 5 2 一次随机样条s ( x ，) 不是维纳过程3 l 结论3 2 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 4 致谢3 5 v 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 在用数学方法刻画自然界中的事物的变化规律时，有一种是确定性方法，还有一种 是随机方法，这种方法主要是针对那些表现为不确定性，但多次发生却具有一定规律性 的变化问题数学家们运用随机函数( 随机过程) ( 3 4 5 ) 这一数学理论和方法，取得 了许多成果，丰富了人们对自然界的认识 随机函数的表现可能很复杂，不易把握，人们希望能够有一个拟合的方法，如同可 以用多项式函数逼近连续函数那样，找到随机函数的“逼近函数类，显然，这里所说 的逼近时有许多涵义的于是，随机多项式、随机样条的概念被提出来，试图能够在解 决上述问题时能有一定的作用 随机多项式是1 9 3 2 年提出来的，r a n d o mp o l y n o m i a l 6 是有关随机多项式研究的 第一本专著，这本书提出了产生随机多项式的几种方式，其中一种形如 f ( x ，) = a k ( 0 3 ) x 七，其中a k ( c o ) 是取自某一概率空间( q ，b ，p ) 中的随机变量旨在研 k = 0 究f ( x ，0 3 1 - 0 在各种分布之下解集特征及性质文 7 8 9 改变数域范围，研究在不 同数域中，f ( x ，1 = 0 的解集特征 其中一种特殊的随机多项式基于b e r n s t e i n 算子的随机多项式 b ( x ，) = a k ( 0 3 ) k ，。( x ) ，其中反，。( x ) = 露( 1 - x ) ”。，文 1 0 研究了这种随机多项 k = ok = o 式8 ( x ，) 对随机函数厂的逼近问题，文 1 1 研究了这种随机多项式的随机期望曲线文 1 2 以随机变量的期望为工具，构造出一种随机的b 6 z i e r 型函数列，探讨其尸依概率 收敛问题文 1 3 研究了随机函数的w e i e r s t r a s s 逼近定理，将函数的w e i e r s t r a s s 逼 近定理推广到了随机多项式上文 1 4 研究了随机多项式的最佳逼近，且得到最佳逼近 系数与最佳逼近误差估计 文 1 5 探讨了多形态随机衄面生成方法，它是利用产生随机多项式的另一种方式， 通过对给定的控制点易增加移位扰动量b ，j ，产生新的控制顶点p ：，= 只，+ 口从而 生成多形态随机曲面但是通过移位扰动量口，的随机性来探讨所生成的随机曲面，这 与直接探讨控制顶点的随机性没有本质的区别 随机样条的提出见文 1 ，证明了这种样条函数s ( x ，) 对随机函数厂对在某种逼近 随机样条函数研究 意义下的收敛定理 随机样条的概念如下( 1 ) ：设( q ，b ，尸) 是一个确定的概率空间， x o ，而，x n ( 埘，柳) 是给定的样条结点，( x l 薯小i = 0 ，1 ，n 一1 ) ，屯( ) 是定义在0 处的取值于状态空间的随机变量，称如下形式的随机函数为一元肝次随机样条函数： s ( x ，) = 尸( x ，) + n - 1 色( ) ( x 一_ ) ： 卸 其中p ( x ，f o ) = a o ( ) + q ( ) x + + ( o ) x ”是一个随机多项式， ( x 一一) + = x i - 二三乏： a i 如) ，b j ( , o ) 都是服从同一分布的相互独立的随机变量，i = 0 ，1 ，甩，歹- - 0 ，1 ，n 一1 设m ，。( x ) 以而i = x 0 2 = = x o 五恐h = h i = h 2 = = x n n 为节点的正 规化b 样条基函数，i = 1 ，2 ，n + n + l ，上述随机样条函数又可以表示为如下形式： n + ”+ 1 s ( x ，) = q ( ) m ，。x ) ( 2 ) i = l 其中诸q 扣) 是概率空间( q ，b ，p ) 上的服从独立同分布的随机变量 对于随机函数厂( 五) ，x x o ，h “】，文 1 构造了随机函数( 五国) 的随机样条插值 函数： + ”“ s ( x ，c o ) = 厂( 亏，) f ，。( 工) t = o x x o ，h + l 】 并研究了这种样条函数s ( x ，1 在依概率收敛意义下对随机函数厂的逼近定理 显然，随机样条函数不同于确定意义下的样条函数( 1 6 1 7 1 8 ) ，要想实现运用 随机样条函数解决客观问题以及用随机样条函数拟合随机函数的目的，应该对随机样条 本身的特性进行充分的研究本文将针对这一问题展开讨论，主要是针对它的概率性质 进行分析研究 首先，我们讨论它的数值特征期望、方差和相关性( 2 ) ，并指出这些特征所 具有的几何意义 2 辽宁师范大学硕士学位论文 然后，用泛函的观点，讨论存在二阶矩的随机样条s ( x ，) ，引出日空间这一内积 空间，探讨日空间中的均方收敛性质以及均方极限的特点分析随机样条是否具备二阶 矩过程的特征，研究其均方连续性、均方可导性、均方可积性以及这些性质的特点和它 们之间的关系在此基础上，研究在h 空间意义下，随机样条函数s ( x ，) 对随机函数厂 在均方收敛意义下和依概率收敛意义下的两个逼近定理 最后，对于具备维纳过程的随机函数，研究其随机插值样条函数s ( 五) 是否还 具有维纳过程的性质? 通过对一次随机样条函数的分析可知，对于具备维纳过程的随机 函数厂，其一次随机插值样条函数s ( x ，1 虽然是独立增量过程，但却不再是维纳过程 随机样条函数研究 1 随机样条函数的数字特征 本节介绍刻画随机样条特征的几个数字期望、方差和相关性，掌握了随机样条 这些特征，就把握了随机样条的主要规律 1 1 随机样条的期望 正如多项式是连续函数的子集，我们可以用多项式去逼近连续函数，通过对多项式 的研究来实现对不容易把握的连续函数的研究；而随机样条在随机过程中稠密，这样， 随机样条的期望也就是随机过程的期望，因此，研究随机样条的期望具有重要意义 随机变量的期望是与随机变量的分布函数相关的特征，是通过随机变量的平均水平 刻画这个随机变量的实质的重要数值利用随机变量的运算性质，可推知随机样条的数 学期望为 e ( s ( 五) ) = e 尸( 而) + 丢n - ! 乞( ) ( z 一_ ) ： n - 1 j v - - t = 尸( x ，e ( ) ) + e ( 色( ) ) ( x 一_ ) ： 它是一个通常意义下的样条函数 当随机变量q ( ) ，屯( ) ( i = o ，l ，n ，j = o ，1 ，n - 1 ) 均服从退化分布，也就是 说它们均以概率1 取某一常数，即p ( a ，( ) = q ) = 1 且p ( b j ( o ) - - b j ) - - , 这样， e a , ( ) = q 且哆( ) = 屯，因此有 e ( s ( x ，) ) = a o + a l x + + a n x n + z b j ( x 一_ ) ： 当随机变量哆( c o ) ，乃 ) ( i - 0 ，1 ，疗，j = o ，l ，n - 1 ) 均服从泊松分布，即 弛( 小小筹一( 膨- o ，l ，) 耻( 伽) 圳= 苦p 呐( - 0 ，l ，) 咿是参 数这样，e a , ( f o ) = 九且哆扣) = p ，因此有 e ( s ( z ，) ) ：k + x + + k z n + n - ip ，( z 一一) ： 当随机变量q 扣) ，吃扣) ( i = o ，1 ，刀，j = o ，1 ，n - 1 ) 均服从两点分布，即 辽宁师范大学硕士学位论文 尸( q ( ) = 1 ) = 只，尸( q ( ) = o ) = 1 一p , 且p ( b j ( c o ) = 1 ) = p l ，尸( 乞( ) = o ) = l 一矗这样， 地0 ) = a 且地 ) = p l ，因此有 e ( s ( x ，) ) - - p o + a x + + 以矿+ 矗( x - x , ) ： 当随机变量q 扣) ，乞( ) ( i = 0 ，1 ，刀，j = o ，1 ，一1 ) 均服从，z 个点上的均匀分布， 即p ( q ( ) = q ) = 刀1 _ h 尸( 屯( ) = 屯) = 1 刀 因此有 ，这样，如( 小三喜q 且雹( 小去喜屯， e ( s ( x ，) ) = + q x + + q 矿+ j v - 1 n - 1 衫( x 一_ ) ： _ _ j - - - - 0 其中q = i 1 即d j 1 刀b ，2 刀。 当随机变量q ( ) ，l 佃) ( i = o ，l ，z ，j = o ，1 ，n 一1 ) 均服从二项分布，即 尸( q ( ) = q ) = 砖才( 1 - b ) ”吨( 毛= o ，1 ，) 且尸( 色( ) = 屯) = 砖e ( 1 一e ) ”一 ( = o ，1 ，) ，这样，e a ，( c o ) = n p , h e b j ( c o ) = n p j ，因此有 e ( s ( x ，) ) = 气+ q x + + 巳矿+ z , q - - i 巧( x 一_ ) ： ，l j = o 其中q = n p i ，巧= 峨 当随机变量c 1 1 和) ，屯( ) ( i = 0 ，1 ，珂，= o ，l ，n 一1 ) 均服从几何分布，即 尸( 哆( ) = 毛) = 才。1 ( 1 - p ，) ( t = o ，1 ，) 且尸( 屯( ) = 钆) = 砖一( 1 - p j ) ( t = 。，1 ，) ，这样，如( ) = 去且q ( ) 2i 1 ，因此有 e ( s ( x ，) ) 2 暑_ + 百1x + + 三= - x ”+ 篓三7 ( x 一_ n 当随机变量q ( 0 3 ) ，包 ) ( i = o ，1 ，行，j = o ，1 ，n - 1 ) 均服从超几何分布，即 5 随机样条函数研究 尸( q ( ) = q ) = 等k j n - k j ( 砖= 0 , 1 , - - - ) ，m + n i = n h p ( b + ( 咖咖簪 ( = 。，1 ，) ，m + 杉= ，这样，如( ) = 玎等且乜( ) = ，z 丝n ，因此有 n - 1 e ( s ( x ，) ) = 白+ c l x + + c n x ”+ t ( x 一_ ) ： j - - - o 其中例丝n ，d j = n 等 从几何角度看，一元随机样条的每个样条路径都是一条平面曲线，则此随机样条的 期望是一个反映它所包含的样条路径的平均水平的一个“加权平均 曲线 1 2 随机样条的方差 随机变量的方差是与随机变量分布函数相关的另一个重要特征，反映了随机变量与 平均值的偏离程度，利用随机变量的运算性质，可推知随机样条的数学方差为 v a rs ( x ，) = e s ( x ，) 】一 e 【s ( x ，) 】) ：e | m ，) + n - | 屯佃) ( x 一_ ) ： 2 _ e 【趴，) 】) 2 l j - - o j = e p ( x ，) 】2 + 2 p ( x ，) 丢n - i 吃( ) ( x 一巧) ：+ l 羔，：。bx j ) ： 2 一 e 【s ( 墨) 】) 2 ：e 【尸( x ，) 】z + 2 e p ( x ，) n - i 屯) 一_ ) ： + e 芝色 ) 一哆) ：2 一 e 【s ( x ，) 】) 2 l = 0 jl j = oj ：e f 窆， 2 + 窆q ( ) 石r 芝 + f n - i a , ( c o ) x 2 e b j ( o ) ( x - x j ) + e b j ( o ) ( x - x a ： 2 一 e 【s ( 砖) 】) 2 = e i | +l q 佃) 石i + l i - e 【s “) 】) 2 l f ；oj lb = o j = o jl ，- - oj =e窆喜a,(o)aj(03)x，xy+2e厂羔芝a,(o)by(03)x,(x-xj)：i=0l i = 0j = 0 + = i ( fi i + l ，= o jj l n - i n - i6 l ) 屯曲) ( x 一薯) ! ：如一_ ) 7 - ei 一 e 【鼬，酬) 2l 6 l ( p ) 屯( ) ( x 一薯) ! ： 一_ l 一 e 【s ( x ，) 】) 2 6 辽宁师范大学硕士学位论文 = e 脚e 脚e a , ( ) e a j ( ) x , x j + 2 委丢她( ) e b j ( ) ( x 一_ ) ：+ ，一n i , - - 1 * * - - 1 驰( ) 哆( ) ( z 一薯) ：( x 一_ ) ：一 e s ( x ，) ) 2 ，= o ，_ o 当随机变量均服从退化分布时， n 一l一1 一l v a r s ( x ，) = a , a j x ，x j + 2 a , b j x , ( x - x ) + 岛l 一薯) ： 一_ ) ：一 i = 0j = oi = oj - - oi = oj = o n - 1 ( a o + q x + + 矿+ b j ( x - x j ) ”+ ) 2 j - - o 当随机变量均服从泊松分布时， 一l ，一l _ 一l v a r s ( x ，c o ) - - z 薯_ + 2 p 薯( x 一- ) ”+ ：p 一薯) ： 一_ ) ：一 i = 0j = ot - - - oj - - - o 一1 ( k + x + + h 矿+ ， 一_ ) ：) 2 j = o i - - oj = o 由上可以看出，随机样条的方差反映了这些样条曲线与期望曲线的偏差程度 1 3 随机样条的相关性 本节利用协方差函数来描述随机样条任意两个位置的状态之间的内在联系 本文讨论仅限于一次随机样条 当 t j 薯+ l 时， s ( o ，) ：一b + l c 。v i f ( t , ，) ，s ( o ，) ) s ( ，) =岛+ 。( ) 一岛( 0 3 ) 鼍+ l 一为 ( 一t ) + 岛( ) 且 0 一薯) + 6 j ( ) 则它们协方差为 = e ( s ( t ，) 一e s ( t , ，) ) ( s ( 乙，) 一e s ( t ，) ) ：e r “ 6 ，+ 。( ) 一匆( 0 3 ) x i n x i ( 一薯) + 6 ，( c o ) - 掣x jx j ( 。“一 t t x i t + l 一薯 一再) + 包( ) 一 t l x i m + l ( 中m ) ) 一驰( ) x i + 1 一x i 7 ( 小m ) ) 一砖( ) 一 匆一薯 一一一 百 随机样条函数研究 = e ( t 一x i 葺+ i x j ( 6 “( ) 一融“( ) ) + 薯+ l t x j + i 一薯 ( 鬟( 忡) 也。( 训+ ( t t ) ( 0 - x j ) ( 薯一薯) 2 d b , “佃) + ( m ) 一驰( 训 ) x | + i t j x t + i x j小酬 ( t i 一) ( 卅- t , ) ( _ 一五) 2 c o y ( b , ( c o ) ，包+ 。( ) ) + 群c 。v ( 6 f ( ) ，包卅( ) ) + 生群。包( )i 誓“一薯j l 薯+ l x ，j ( 薯+ 。一t ) ( “- t g ) 一 ( 薯“一毛) 2 d b , ( ) + ( t 一葺) ( o x ，) 当薯- l x j t j 蕾+ l 时， 它们的协方差为 ( t 以一x 1 ) 2 o h , + 。( ) s(，)=垒掣(一薯一。)+6，一。()， s ( 。，) = 掣( 。一薯) + 6 j ( ) c o v ( s ( t ，) ，s ( t j ，) ) ( 薯- t , ) ( t j - - x i ) c 。v ( 岛( ) ，岛+ ，( ) ) + 剿 ( 薯+ 一薯) ( 一- x j 一) ( 一薯一。) ( 薯+ 。一o ) 一( 薯卅一薯) ( 薯一薯一。) c o v ( b ，一。( ) ，岛+ 。( ) ) + d b , ( c o ) 当鼍一2 一- 1 t t j x j + l 时， d b , 如) + ( 五一) ( 薯卅- t , ) ( 薯+ 1 一一) ( 薯一五一。) c o v ( b ，一。( ) ，匆( ) ) s ( ，) = 垒r 二掣( 一薯一：) + 岛一：( ) ，s ( 。，) = 掣( 。一蕾) + 匆( ) ， 它们的协方差为 8 辽宁师范大学硕士学位论文 c 。v ( s ( ，c o ) ，s ( t j ，c o ) ) ( 一一：) ( o 一薯) ( 五一。一葺一：) ( + 。一薯)c o v ( b j 一。( ) ，6 j + ，( ) ) + ( 薯+ 。一) ( + 。- t j ) ( 一再一：) ( t - x j ) = 0 一薯一：) ( 薯+ 一o ) ( x j 一。一毛一：) ( 薯+ 。一而)c o y ( b , 一：( ) ，包卅( ) ) + cov(6，一：()，6f()+i毒鹅cov(包之()，包() 由此可以看出，对于一元一次随机样条，处于不同支撑区间的随机样条状态不具 有相关性 9 随机样条函数研究 2 随机样条函数空间 随机样条的期望、方差和相关性是比较容易得到的数字特 存在的随机样条是一个重要方向，通过分析，探知随机样条有哪些共i 司性质 为了对存在二阶矩的随机样条的全体进行统一考察，引出日空间的概念，并根据 我们所熟悉的欧式空间的启发，在该空间中引入内积、范数、距离与极限 由前一章的探讨可知， e l s ( x , ) 1 2 i ，一11 2 = e i 尸( 础) + l ( ) ( x 一_ ) l l j = o i - z ”z “e i , , , ( ) l ej 乃( ) l x l x y + 2 n n - ie | 哆( ) l e i t ( ) l ( x 一一) ：+ n - i n - 1 e b ( ) i e i b ，( ) l c x - x , ) ：( x 一_ ) ： i - - - o j = o 由于e i q ( ) 1 2 o o ，由s c h w a r z 不等式知，e l q ( ) i ，因此e l s ( x , ) 1 2 0 0 ， 即随机样条s ( x ，) 的二阶矩均存在 记日= s l s = s ( ，) ，e i s ( t ，) 1 2 ) ，称为日空间也就是说，日空间是由二阶 矩存在的一元r 1 次随机样条构成的 下面我们对空间日进行探讨 2 1h 空间是线i 生空间 对任意s = 墨( x ，) ，= 岛( x ，) h 以及o r ，定义： ( 1 ) ( s + 是) ( x ，) = s ( x , o ) + s 2 ( x ，) ， ( 2 ) ( 仪s ) ( x ，c o ) = 仅s ( x ，) ， 下面证明s + 曼h ，仅墨h 证明：( 1 ) 由于对任意s ( x , o ) ，是( x ，) h ，有 1 n 辽宁师范大学硕士学位论文 e l ( s , + 是) ( x ，) 1 2 = e i s , ( x ，) + ( x ，) 1 2 e l s ( z ，) 1 2 + e i 叉( x ，) 1 2 + 2 e i s ( x ，) 是( x ，) l - e i s , ( x ，) 1 2 + e i 最( 毛) 1 2 + 2 ( e i s ( z ，) 1 2e l s e ( x ，) 1 2 ) - 因为墨( x ，) ，岛( x ，) 日，贝ue i s , ( x ，) 1 2 ，e l s e ( z ，) 1 2 ，所以 e l ( 墨+ 是) ( x ，) f 2 o d ，即s + 是日 ( 2 ) 由于对任意s ( x ，) 日及a r ，有 e i ( 仅s ) ( x ，) 1 2 = e 卜s ( x ，) 1 2 b 1 2e i s ( x ，) 1 2 因为s ( x ，) h ，则e l s ( x ，) 1 2 n 时，有 d ( 瓯，s ) 兰，d ( 氏，s ) 三，这时d ( ，瓯) d ( & ，s ) + d ( & ，s ) - ) = k 刮孰d p k 锥学卯 这说明 最) 是依测度收敛的柯西列所以存在s 日，使瓯与s 由r i e s z 定理，存 在一个子列 & ) ，使得黾旦= 斗s 再由f a t 。u l e b e s g u e 定理( 若最丁，口 且丁可 积，则l 峨卯存在，且l 峨卯魉l & 卯) 可知， n l 最一s 1 2d p = l 虹。一s m 一瓯1 2 d p _ l i m l i & 一s , 1 2 d p 由于 & ) 是柯西列，故l i 一1 2d p = i i s 一s , 1 1 2 专o ，聊，仇一所以对上面不等式 两边取极限，令聊，j ，就得到l i & 一s 1 2d p - - 0 即。l i - + m 。s 。= s 因此，在均方收敛的意义下，日空间是完备的内积空间，即h i l b e r t 空间，也是完 备的赋范线性空间，即b a n a c h 空间 2 4 均方极限的特点 均方极限具有以下几个特点 以下s ，r ，& ，瓦h ，o l ，p r ( 1 ) 若l i m s , = s ，l i m t ，= 丁则l i m ( 0 【最+ p 丁) 。= 仅s + p 丁 h o o月叶 月- + o 。 ” 因为0 ( 仪最+ p 丁) 。一( 仅s + p 丁) 0 = 忙( 一s ) + p ( 乙一r ) 0 b | i | 最一s 0 + | p i i i 瓦一t i i 由条件知，i i 鼠- s i l 寸o ，忆一丁0 一o ，( 聆一) ，所以 lim(仅s+p丁)。=仅s+p丁tl - q o o 1 3 跗峨肝附枷 随机样条函数研究 ( 2 ) 均方极限是唯一的即若l i m 鼠= s ，l i r a s 。= t ，则s = t 月- - - 0 0胛- - + o o 由条件i i s 一丁0 - i i s - s o + 最- r l l s , - s l l + l 0 ，知l l s - z l = o ，即 6 = i ( 3 ) 若婪m 鼠= s ，l i m 瓦= 丁则l i m e s o 】= e s 】 月- - o o1 1 - - o on - - o o 一 一 因为l e 【最】一e 【s 】i = l e 最- s i - e i s 一s i 0 最一s l 一o ，所以 l i r a 叫最】- 科趴 ( 4 ) 。l i + m 。s = s ，。l i _ m 。t 。= t 贝i jl i m e e i s 1 2 = e s2 押+ 挣 jj 由三角不等式得一0 瓯- s l l - o 使得乙，f x o ，h + 。】且i 乙一f i o ，p ( 1 s ( x ，o ) - f ( x ，) i 枞e 惦讹) s ，) 口砟惦几) s ( 枷) 口西j ， r ：l i m k , - o i l r ：l i m - - i o i l ，”j 打 七= l = 1 所所 厂( 气) 厂( ) e s ( ，) s ( ，) 靠口西) f ( t k ) f ( t t ) r ( t k ，t , ) m x 。m x , k = ll = 1 所以， 存在根据期望的性质： 当j ：j ? ( j ) ( f 皿( s ，) 办西存在时，厂( ，) s ( f ，) 防存在 ( 2 ) 若c 是 ，h 却卅】中的一个分点，这时丁在【，c 】与 c ，x u 相稍】上的部分各自构成 x o ，c 】与【c ，h 棚】的分割，分别记作丁，丁，m 于l l r l l - + o ( 同时扩i i - + o ，p 。i i - + o ) 对厂( ) s ( 如，) 口& = 厂( ) s ( ，) 口t + 厂( ) s ( ，) 口取极限， 有j ：( ，) s ( ，) 衍= e 厂( ，) s ( ，) 西+ j 了厂( ，) s ( r ，o , ) a t 3 4 随机样条s ( f ，) 的均方可导性与均方连续性的关系 ( 1 ) 若s ( f ，) 在 ，x n 棚】上均方连续，则r ( j ，) 在( f ，f ) ，f 而，x v 棚+ 1 上二元连续， 因此，f ：rr ( s ，f ) 凼衍存在，故s ( ，) 在 ，h 相卅】上均方可积 j 知j 一 一 k = 1 ( 2 ) 当s ( f ，) 在【，h + 。】上均方连