（基础数学专业论文）线性扰动系统解的渐近性质及四阶奇异差分算子的谱问题.pdf

山东大学硕士学位论文 线性扰动系统熊的渐近性质及西阶 奇异差分算子的谱问题 饪嚣静 一 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南。山东，2 5 0 i o o ) 擒要 关于线性挽动系统渐近闯题的研究8 经有了槿长的历史1 窘镐午。n l e - d m n 研 究丁线性扰动微分系统 l f f f 葫。( a 砖+ 冠妇( 嚣) 解的渐i 乏程为。并得魏著袈白孽l a e l r i x m o n 定理渗觅【1 2 ，第三拳意瑗8 11 或f l 5 定理 1 , 3 i 1 ) 这个缡果在线性扰动微分系统解的研究中起了熏要作用1 9 5 5 年。p h a r t m n 和a w i a t e r 得到了另- - + 1 要结果，被称为h a r t m a n - w m t n e r 定理【1 9 】随詹，w 。 a ，h a r r i s ，d a h i 钯瑟7 ，蠲，m s p te 髓t h a m 瑟甓簿学者黯憩藏匿作了迸疹砑究， 并得蓟了许多优秀的结果避些结果大都收录在e 洲眺m 酌专著1 1 5 】和其参考文献中。 二十世纪韧。g d b i r k h o f ff 5 】和c v c o f f m a u 【1 3 1 开始讲究线性扰动麓分方程 艇的新近行为1 9 8 7 年。z b e n z m d 糯d a l u t z 嘲研究了线性扰动差分篆绕 童，移+ 1 ) 。( a ( 磅+ 露( t ) ) ( t ) ， 并得到几十解的渐近结果，其中十可以看作是i i e v 妇n 定理的离散模拟类似于连 缓繁琵，在零支中这个绪论慰砑兖线健挽饕差分系统耩嚣鬟近行为瞧起了重要佟露嚣 置两样有辩獒条件对研究差分系统解的渐近衰速式起关键作甩l 第个燕关于对角矩 阵 ( t ) 的二分条件，第：是关于扰动顼矗( t ) 的增长条件这两类条件相辅相成，相互 制约蠢此，我们可以通道加强个条件，同时减弱舅个条件寒得到不同的辫的渐近 结果f 缓挂系统解熬蒋 迁魏震有广瑟酶废麾饕景，镪鲡胃茨震寒簪 究费力系统豹稳定燕 以及算子的谱阍题等 自二十傲纪以来。时同尺度( t i m eb c a l e 8 ) 动办攀的研究引起了广泛的兴趣内容 涌盖了相当多妁领域，如时黼尺度上的微积分概念和理论。动力方程的振动挂、特枉僵 | 讶题和避篷弼燧壤镦分方程纛泛螽教分方程等渗觅3 ，霹莓。对阕廷麦瓣砖办学 理论有其重簧的理论意义和广泛的应用前景这理论的研究不仪能揭示微分方程和差 分方程的共同点，还能统一微分方程和燕分方程理论自然界中有一些过程有时依赖于 山东大学硕士学位论文 连续变量，有时依赖于离散变量用时间尺度上的动力方程就可恰当的给出这些现象的 数学模型例如，利用这一理论建立昆虫的种群模型和电网模型更符合实际最近，m b o h n e r ，d a l u t z 等人研究了时间尺度上的动力系统的渐近行为。给出了一些优秀的 结果( 参见【6 ，7 】) ，其中个可以看作l e v i n s o n 定理在时间尺度上的推广 极限点型和极限圆型的判定是微分算子和差分算子谱理论的重要内容之一微分算 子和差分算子的谱问题都分为两类类是定义在有限区间上。且算子系数具有较好性质 的，这类称为正财谱问题否则，称为奇异谱同题对于奇异谱问题的研究起始于1 9 1 0 年 h w j y l 【3 6 】的工作他主要研究了实系数二阶形式自伴微分算子的谱问题随后，e c t i t c h m a r s h ，e a c o d d i n g t o n ，n l e v i n s o n 【1 2 ，3 5 】等数学家把他的结果进步深化和完 善，形成了t i t c h m a r s h - w e y l 理论s l c l a r k ，n d u n f o r d ，d b h i n t o n ，c r e m l h l g ，j k s h a w ，a w k r a l l ，1 1 m k a u f 口n a n ，t t r e a d ，a z e t t l 等学者把t i t c h m a r s h - w e y l 理论推广到h a m i l t o n 算子匕来，并利用这理论得到许多关于h a m i l t o n 算子和四阶形 式自伴微分算子的谱结果( 参见【1 4 ，2 1 ，2 5 ，2 7 1 及其参考文献) 关于实系数二阶形式自伴差分算子谱问题的研究最早见于a t k i n s o n 的著作【2 】随 后，d b h i n t o n ，l 乙t l e w i s ，九j i r a r i ，s l c l a r k 等学者相继作了研究( 参见【1 1 ， 2 0 ，2 3 】) 2 0 0 1 年，j c h e r t 和y s h i 【i 0 给出了实系数二阶奇异形式自伴差分算子极 限点型和极限圆型的几个判定准则和个充分必要条件最近几年。离散h a m i l t o n 系统 谱理论引起了许多学者的研究兴趣史玉明在【3 1 3 3 1 中建立了离敦线性h a m i l t o n 系统 的t i t c h m a r s h - w e y l 理论。并给出几个极限点型和极限圆型的充分必要条件。有重要的 理论价值但是这些充要条件不是用系数表示的。不容易直接使用 本文第章研究了线性扰动差分系统，给出几个解的渐近结果其中。定理1 3 1 ， 1 3 2 和1 3 3 可以分别看作是h a r t m a n - w i n t n e r 定理，h a r i s - l u t z 定理和e a s t h a m 定 理的离散模拟本章第四节以具体例子说明如何使用这几个渐近结果。并且将我们的条 件与现有结果的条件作了比较 在第二章中。我们利用时间尺度的基本理论，讨论了时同尺度上的动力系统解的渐 近性质其中。定理2 3 1 和2 3 2 可以分别看作是h a r t m a n - w i n t n e r 定理和h a r i s - l u t z 定理在时间尺度上的推广它包含了连续情况和离散情况 在第三章中，我们研究四阶奇异形式自伴差分算子。利用第一章得到的线性扰动差 分系统解的渐近性质。建立了利用系数表示的极限点型和极限圆型的判别准贝| 关键词t 线性扰动系统。渐近性质。时间尺度，极限点型，极限圆型 n 山东大学硕士学位论文 a s y m 咿t o t i cb e h a o r0 fs o l u t l 0 n so fl i n e a r p e r t u r b e ds y s t e m sa n ds p e c t r a lp r o b l e mo f s i n g u l a rf o u r t h o r d e rd i f f e r e n c eo p e r a t o r s g u o j l n gr e n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n 8u n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t s t u d yo i la s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fp e r t u r b e dl i n e a rs y s t e m sh a sal o n g t i m e i n1 9 4 8 n l e v i i m ns t u d i e da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so ft h ep e r t u r b e d d i f f e r e n t i a ls y s t e m 矿( = ( a 0 ) + r 扛) ) ”( z ) a n do b t a i n e da ni m p o r t a n ta s y m p t o t i cr e s u l t ，c a l l e dt h el e v i n s o nt h e o r e m ( s e e 【1 2 ，t h e - o r e n l8 1i nc h a p t e r3 】o r 【1 5 ，t h e o r e m1 3 1 】) ，w h i c hp l a y e d 觚i m p o r t a n tr o l ei ns t u d y o fa s y m p t o t i cp r o b l e m so fp e r t u r b e dd i f e r e n t i a ls y s t e m s h a r t m a na n dw i n t n e r1 1 9 】g o t a n o t h e ri m p o r t a n tr e s u l t ，c a l l e dt h eh a r t m a n - w i n t n e rt h e o r e m ，i n1 9 5 5 l a t e r ，t h e i r w o r k sw e r ef o l l o w e db yh a r r i s ，l u t z 【1 7 ，1 8 1 ，e a s t h a m 【1 5 】，e ta 1 m a n ye x c e l l e n ta s y m p - t o t i cr e s u l t sf o rd i f f e r e n t i a l8 y s t e m 8w e r es u m m a r i z e di nt h em o n o g r a p ho fe a s t h a m 【1 5 1 a n dm a n yr e f e r e n c e sw e r ec i t e dt h e r e i n a tt h eb e g i n n i n go ft h et w e n t yc e n t u r y , b i r k h o f f 【5 1a n dc o f f m a n 【1 3 b e g a nt os t u d y a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s i n1 9 8 7 ，b e n z a i da n dl u t z i n v e s t i g a t e da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fp e r t u r b e dl i n e a rd i f f e r e n c es y s t e m s ”( t + 1 ) = ( a ( t ) + 冗( t ) ) 暑，( t ) a n dg o ts e v e r a la s y m p t o t i cr e s u l t s 【4 i ，o n eo fw h i c hi sad i s c r e t ea n a l o go ft h el e v l n s u n t h e o r e m ，w h i c hp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei no u rp a p e r s i m i l a r l yt ot h ec a s eo fd i f f e r e n t i a l s y s t e m s ，t w ot y p e so fc o n d i t i o n sa r ec r u d a li ns t u d y i n ga s y m p t o t i cr e p r e s e n t a t i o n so f s o l u t i o n s ：t h ef i r s ti sa d i c h o t o m yc o n d i t i o no nt h ed i a g o n a lm a t r i xa ( t ) ，a n dt h es e c o n d i s - g r o w t hc o n d i t i o n o l lt h ep e r t u r b a t i o nt e r mr ( 0 t h e s et w oc o n d i t i o n sa l ei n t e r r e - l a 由e d a n d 粥c 蛆o b t a i na s y m p t o t i cr e p r e s e n t a t i o n so fs o l u t i o n si nv a r i e t yo fw a y s b ys t r e n g t h e n i n go n ec o n d i t i o nw h i l ew e a k e n i n gt h eo t h e ro n e t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o fs o l u t i o n so fp e r t u r b e dl i n e a rs y s t e m sh a sv e r yi m p o r t a n tt h e o r e t i c a lv a l u ea n dw i d e a p p l i e dp e r s p e c t i v e i tc a nb ea p p l i e dt oi n v e s t i g a t et h es t a b i l i t yo fs y s t e m sa n ds p e c t r a l p r o b l e m so fo p e r a t o r s h i 山东大学硕士学位论文 s i n c et h eb e g i n n i n go ft h et w e n t y - f i r s tc e n t u r yt h ei n v e s t i g a t i o no fd y n a m i cs y s t e m s o nt i m es c a l e sh a si n v o l v e dm u c hi n t e r e s t i n g ，i n c l u d i n gq m t eaf e wf i e l d s ，s u c ha st h en o t i o n a n dt h e o r yo fc a l c u l u s ，t h eo s c i l l a t i o no ft h ed y n a m i cs y s t e m s ，t h ee i g e n v s l u ep r o b l e m s a n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，p a r t i t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so nt i m es c a l e s ，a n de t c ( c f 【1 ，3 ，8 】) t h et h e o r yo fd y n a m i cs y s t e m so nt i m e s c a l e sh a sv e r yi m p o r t m n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dw i d ea p p l i e dp e r s p e c t i v e i tc 蛆 n o to n l yr e v e a lt h es i m i l a r i t yb e t w e e nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，b u t a l s ou n i f yt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s i nn a t u r e ，t h e r e a r eai o to fp r o c e s s e sw h i c hd e p e n do nc o n t i n u o u sv a r i a b l e ss o m e t i m e sa n dd e p e n do n d i s c r e t ev a r i a b l e ss o m e t i m e s s ow ec a ng i v em o r ee x a c t l ym a t h e m a t i c a l m o d e l sb yu s i n g d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s r e c e n t l y , b o h n e r l u t ze t 正i n v e s t i g a t e da s y m p t o t i c b e h a v i o ro f d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e sa n dg a v es e v e r a lb e a u t i f u lr e s u l t s ( 6 ，7 j ，o n e o fw h i c hi sa g e n e r a l i z a t i o no fl e v i n s o nt h e o r e mo nt i m es c a l e s l i m i tp o i n ta n dl i m i tc i r c l ec r i t e r i af o rf o r m a l l ys e l f - a d j o i n td i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s o rd i f f e r e n c eo p e r a t o r sa r eo n eo fi m p o r t a n tp a r t so ft h es p e c t r a lt h e o r y t h es p e c - t r a lp r o b l e i n $ o fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n dd i f f e r e n c eo p e r a t o r sa r eb o t hd i v i d e di n t ot w o c a s 鹤t h o s ed e f i n e do v e re n i t ei n t e r v a l sw i t hw e l l - b e h a v e dt o e 伍c i e n t sa r ec a l l e dr e g u l a r o t h e r w i s e ，t h e ya r ec a l l e ds i n g u l a r h w e y l 【3 6 】f i r s tf o u n di nh i sd i s s e r t a t i o nt h a ts i n g u - l a rs e c o n d - o r d e rf o r m a l l ys c l f - a d j o i n td i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sc a nb ed i v i d e di n t ot w oc a s e s ： l i m i tp o i n ta n dl i m i tc i r c l ec 黼l a t e r ，e c t i t c h m a r s h ，e a c o d d i n g t o n ，n l e v i n s o n e ta ld e e p e n e da n di m p r o v e dh i sr e s u l t sa n de s t a b l i s h e dt h et h e o r yo ft i t c h m a r s h - w e y l ( d 【1 2 ，3 5 】a n dt h e i rr e f e r e n c e s ) s l c l a r k ，d b h i n t o n ，c r e n d i n g ，j k s h a w ， w 1 ( r a l l ，i 乙m k a u f f m a n ，t t r e a d ，a z e t t l ，e ta lg e n e r a l i z e dt h et i t c h m a r s h - w e y l t h e o r yt oh a m i l t o n i a ns y s t e m s a n do b t a i n e dm a n yl i m i tp o i n ta n dl i m i tc i r c l ec r i t e r i af o r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dh a m i l t o n i a ns y s t e m s ( c 【1 4 ，2 1 ，2 5 ，2 _ 7 】a n dt h e i rr e f e r e n c e s ) s p e c t r a lp r o b l e m so f s e c o n d - o r d e rs e l f - a d j o i n ts c a l a rd i f f e r e n c eo p e r a t o r so v e ri n f i n i t e i n t e r v a l sw e r ef i r s t l ys t u d i e db yf v a t k i n s o n 【2 】h ew a sf o l l o w e db yd b h i n t o n ， i lt l e w i s ，s l c l a r ka n da j i r a r i ( d 【1 1 ，2 0 ，2 3 】a n dt h e i rr e f e r e n c e s ) i n2 0 0 1 ，j c h e na n dy s h if x 0 o b t a i n e da 鲥f l l c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n ds e v e r a lc r i t e r i a o fl i m i tp o i n ta n dl i m i tc i r c l ec a s e sf o rr e a lc o e 伍c i e n ts c c o n d - o r d e rf o r m a l l ys e l f - a d j o i n t l i n e a rd i f f e r e n c eo p e r a t o r s r e c e n t l y , s p e c t r a lt h e o r yo f d i s c r e tl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m s h a sb e e ni n t e r e s t e d y s h i 3 1 3 3 】e s t a b l i s h e dt i t c h m a r s h - w e y lt h e o r yo fd i s c r e t el i n e a r h a m i l t o n i a ns y s t e m s 。a n ds e v e r a le q u i v a l e n tc o n d i t i o n st ol i m i tc i r c l ea n dl i m i tp o i n t c a s e sw h i c hh a sv e r yi m p o r t a n tt h e o r e t i c a lv a l u e b u tt h e s ee q u i v a l e n tc o n d i t i o 地a r en o t 山东大学硬士学位论文 e x p r e s s e dw i t ht h ec o e f l l c i e n t so ft h eo p e r a t o r s s ot h e yc a nn o tb ea p p l i e dd i r e c t l y i nc h a p t e r1 骶s t u d yt h el i n e a rp e r t u r b e dd i f f e r e n c es y s t e m sa n dg i v es e v e r a la s y m p - t o t i cr e s u l t s t h e yc a nb er e g a r d e d 柚d i s c r e t ea n a l o g so ft h ew e l l - k n o w nh a r t m a n - w i n t n e rt h e o r e m ，t h eh a r r i s - l u t zt h e o r e ma n dt h ee a s t h a mt h e o r e m a tt h ee n do ft h i s c h a p t e r ，s o m ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t eh o wt h et h e o r e m sc a nb ea p p l i e d a n dt oc o m p a r ec o n d i t i o n so fo u rt h e o r e m sw i t ht h o s eo fs o m ee x i s t i n gr e s u l t s i nc h a p t e r2w ed i s c u s st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fd y n a m i cs y s t e m s0 1 1t i m es c a l e s u 8 i n gt h eb a s i ct h e o r yo ft i m es c a l e s w eo b t a i nt w or e s u l t sw h i c hc a nb er e g a r d e d 髓 g e n e r a l i z a t i o n so fh a r t m a n - w i n t n e rt h e o r e ma n dh a r r i s - l u t zt h e o r e mo nt i m es c a l e s r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r3w es t u d yf o u r t h - o r d e rs i n g u l a rf o r m a l l ys e l f - a d j o i n td i f f e r e n c eo p e r a t o r s a p p l y i n gt h er e s u l t so b r a l n e di nc h a p t e r1 ，w ee s t a b l i s ho n e c r i t e r i af o rl i m i tc i r c l ea n d l i m i tp o i n te a s e sw h i c ha r ec o n c e r n i n gw i t ht h ec o e f l l c i e n t so ft h eo p e r a t o r s k e yw o r d s ：l i n e a rp e r t u r b e ds y s t e m ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，t i m es c a l e ，l i m i t p o i n tc a s e ，l i m i tc i r c l ec a s e v 山东大学硕士学位论文 v i i a i 叫l d e t a n r c 9 敬 a 0 d 【o ，+ o 。) l 瑶【o ，+ ) 掣 ， 旷 符号说明 向后差分 向前差分 矩阵a 的模 向量的模 矩阵a 的行列式 自然数集 实效域 复数域 复数a 的虚部 复数a 的实部 复数a 的共轭复数 高阶无穷小量 同阶无穷小量 o ，1 ，2 ， 四阶形式自伴差分算子 定义在区间【0 ，+ ) 上的加权) 的平方可和函数空间 实数域上的k k 矩阵 单位矩阵 矩阵u 的转置 v i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：1 啦日 期：兰! ! 皇! ：梦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 姗粼：畔聊躲燃嘛业卫萝 第一章线性扰动差分系统解的渐近性质 1 1 引言 本章我们考虑扰动对角差分系统 p 0 + 1 ) ； a c t ) + r ( t ) 协( t ) ，t l t o ，+ ) ， 和扰动常系数差分系统 v ( t + 1 ) ；【c + n c t ) l , ( t ) ，t ，+ ) ， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 其中a ( t ) = d i a g ( a t ( t ) ，扎( t ) ) ，c 和r ( t ) 是ixk 实值或复值矩阵；c 是常数矩阵； r ( t ) 是扰动项；区间，+ ) 一t t ) 撬在本章我们总假设a ( t ) + r ( t ) 和c + r ( t ) 在 区间，+ ) 上可逆 j 在1 9 4 8 年，n l e v i n n 研究了扰动微分系统 l ，( ) = l a ( ) + 兄( z ) 】( 王) ( 1 1 3 ) 解的渐近行为，其中a ( 甸为对角矩阵，并得到了个重要结果，即l e v i n n 定理( 参见 - ，【1 2 ，第三章定理8 1l 或【1 5 ，定理1 3 1 】) 这个结果对研究扰动微分系统解的渐近问题起 了重要作用p h a x t m a n 和a w i n t n e r 【1 9 1 于1 9 5 5 午得到了另一个重要的结果，被 称为h a r t m a n - w i n t n e r 定理随后w a h a r r i s ，d a l u t z 【1 7 ，t 8 1 ，m s p e a s t h a m 【1 5 】学者对此问题进一步研究。并得到了许多出色结果这些结果大都收录在e a s t h a m 的专著【1 5 l 和其参考文献中 依据现有关于扰动线性差分系统的文献，1 9 1 1 年g db i r k h o f f 【5 l 研究了当系统 ( 1 1 2 ) 中的r ( t ) 收敛或在包含正实轴的开区域内可以展成t - 1 的幂级数时的解的渐近 行为 c v c o f f m a a1 1 3 考虑了几乎是常系数的差分方程解的渐近行为随后。z b e n z a d 和d a l u t z 得到了一些渐近结果。其中个可以看作是l e v i 璐o n 定理的离散 模拟【4 】这个结论在本章中起了重要作用 与微分系统相似。有两类条件对研究差分系统解的渐近表达式起关键作用t 第一个 是关于对角矩阵a ( t ) 的二分条件。第二是关于扰动项r ( t ) 的增长条件这两类条件相 辅相成。相互制约因此，我们可以通过加强个条件，同时减弱另一个条件来得到不 同的解的渐近结果在本章，我们建立了几个渐近结果，这些结果可以分别看作著名的 h s r t m a u - w i n t n e r 定理【1 5 ，定理1 5 1 1 ，h a r r i s - l u t z 定理【1 5 ，定理1 5 2 1 和e a s t h a m 定 理 1 5 ，定理1 6 1 l 的离散模拟1 9 8 7 年。b e n z a i d 和l u t z 建立了个h a r t m a n - w i n t n e r l 山东大学硕士学位论文 定理的离散模拟( 参见【4 推论3 4 1 ) 然而。我们要指明的是我们的结果不包含在已有 的结果中，特别是我们的h a r t m a n - w i n t n e r 定理离散模拟比b e n z a i d 和l u t z 的结果【4 ， 推论3 4 】的条件弱( 参见注1 3 2 ) 线性系统廨的渐近性质有广泛的应用前景，例如可以 用来研究动力系统的稳定性以及算子的谱问题等 本章第二节给出了要用到的一些符号和引理在第三节我们给出几个关于扰动对角 系统和扰动常数系统解的渐近性的结果在第四节，我们给出几个例子说明如何使用第 三节得到的结论。并将我们得到的结果的条件与现有结果的条件作了比较 1 2 准备 设霉= ( $ l ，钇，王i ) t 和a = ( ) 分别是女维复值向量和t k 阶复值矩阵它 们的模i 和i i a 分别定义为 1 1 2 1 1 ：= i z i l ， = l 对于两个矩阵a 和b 。有 l i a b i i i i a i i i i b i i 类似的。如果a ( t ) 是定义在区间k 司上的矩阵值函效，则有 0 a ( n ) l ls i i a ( , 0 1 1 对于七i 矩阵a = ( ) ，定义 d g a = d i a g ( a n ，口i ) 对于七女矩阵值函数j 4 ( t ) = ( ( t ) ) ，定义 a a ( t ) = ( ( t ) ) 记 删：= 卜似m 嚣cc ：p + o o 队+ o o ) ， 其中p 1 则p 【t o ，+ ) 在范数 忙；昏卵) 伽 叼 。埘 。僦 = a 山东大学硕士学位论文 下是一个b 勰a c h 空间 众所周知，l e v i n 啪定理【1 5 ，定理1 3 i i 在研究线性扰动微分系统中发挥了重要作 用1 9 8 7 年。b e n 跪i d 和l u t z 【4 】得到了如下的l e v t a 蛳定理的离散模拟 引理1 2 1 ( 【4 ，引理2 1 】) 假设a ( t ) 和r ( t ) 满足 ( 1 ) ( t ) 0 ，1 j s 毛t t o ； ( 2 ) a ( 0 满足二分条件( l ) ：存在常数p 0 和k 0 使得对任意的一对( i ，j ) ， i 互或者 直i 端i + 慨当h 佃时， “z 和 垂l 揣卜t o 纵k 佃 拢， 成立，或者 立l 揣卜 0 使得对任意的( i ，j ) ， 或者( 1 2 2 ) 成立。或者( 1 2 3 ) 下面的引理是我们判定二分条件和增长条件是否满足的用力工具 3 山东大学硕士学位论文 引理1 2 2 ( 2 2 ，6 3 节】) 设a = d i a g ( a l ，儿) 和r = ( 啊) 为七k 阶复常值矩 阵则 + r 的特征值包含在以下七个圆盘 卜c 小一知吲s 善蚓) ，t 娜七 的并中且这女个圆盘又分别包含在以下七个圆盘中 卜c 小叫妻吲) ，t 如果 t 鲰n ( 1 + 。( m d ( n ) 一l n = i 存在巨是个非零的有限数，则称无穷乘积n 播( 1 + 口) ) 收敛；否则，称无穷乘积n 箸( 1 + 口( n ) ) 发散 引理1 2 3 ( 1 ) 如果级数箸i d ( n ) i 收敛。则n 墨( 1 - 1 - 口( n ) ) 和n 箸1 1 + d ( n ) i 也收敛 ( 2 ) 如果o ( f 1 ) 满足g k ( f 1 ) 之o ；当n + + 时r a ( n ) - + o ；且：詈r a ( n ) = + ， 则n ：警1 1 - i - 口( n ) i 发散 证明 ( 1 ) 由m + z 。li 口( n ) l 收敛可知口( n ) + 0 利用t a y l o r 级数展开式得 i n ( 1 + d ( n ) ) = 口( n ) + 0 ( 矿( 仃) ) = o ( n ) 【1 + 0 ( 口( n ) ) 】 由口( n ) _ 0 ，存在充分大的l ，使得当n n i 时1 1 + d ( o ( 哟) i t o 。m 成立。或者 i 端1 ，t t o m s 埘 成立此外，假设扰动项冗( t ) = ( ( t ) ) 满足 剖驯 1 ，易见上式中第个级数收敛因此 差蚓卵sq 差萎r - * - - t o u = 0 l 蛩篇i ( t ) i ，sc i i | = 而 o ，、 妯争萎i 揣i ， 其中c l = 旷( 盏叩一) 是常数又由( 1 3 3 ) 可得锄p m ，o o ) ，从而当t - + + 时。幻( t ) _ + 0 其次我们考虑使得( 1 3 2 ) 成立的( t ，j ) 在这种情况下取( 1 3 1 3 ) 的一个特解 的= 量馍。端) 瑞，t t o + l m 。邶， 在此说明。当。 t 时，乞d - l ：= 1 由( 1 3 2 ) 和( 1 3 1 6 ) 可得 l 互i t - i 叩呻叫谢l ，t 之乃札b n 7 山乐天罕坝士竿位论文 与前面相同。作变量替换口= t n ，并利用h s l d e r 不等式可得 i s 叩薹叫刺i 叩# n 。口幽i , x , ( t 生- u 划) = 町薹一( 叩芋j 榴f ) 町( 争) 。( 争f a , c t - u ) 旷“ 11 其中；+ ；21 ，且当t t o + l 时，我们不妨取勺( t ) = ( t ) ：= o 显然上式中第一个 i q i i c t ) l s = 死+ l 厶# # 。1 r , i ( t - u ) i 饧-t萎町1麟叫io+l i u = l 7 ，l 国争( 黑。i 删l ，)