（基础数学专业论文）几组（11）维（21）维孤子方程的两类达布变换及精确解.pdf

摘要 孤立子理论是非线性科学的一个重要组成部分，许多理论和应用科学中的数学模型 导出的非线性方程具有孤立子特性因此，孤立子方程的求解( 特别是对于( 2 + 1 ) 维方程) 在理论和应用中都具有重要意义孤子方程的求解方法有许多种，达布变换就是其中一种 非常有效的方法，它从孤子方程的一个平凡解出发能够求出一系列精确解本文研究了两 个( i + i ) 维孤子方程和( 2 + 1 ) 维k p 方程的达布变换 本文分为三部分；第一部分为引言，介绍了孤子理论的发展和本论文研究的历史背 景及主要内容 第二部分直接构造了孤子方程的n 次达布变换它实际上是对于l a x 对 九= u 以九= k 以也= 也 进行的一种规范变换$ = t 西， t=n a 斗 其中 a = + a k a ，b = b k a ，c = 瓯妒，d = d k a 。， n ，a k ，b k ，伉，d k ( o k n 一1 ) 是z ，y ，t 的函数 要求西也满足同样形式的l a x 对，因而推导出n 次达布阵；然后利用达布变换从两个 ( 1 + 1 ) 维孤子方程及( 2 + 1 ) 维k p 方程的一组解( “， ) 产生它们的一组新解： 艇拦，l 利用达布变换得到孤子方程的多孤子解，并绘制出了优美的孤立子图形。 第三部分直接构造了孤子方程的n 次达布变换它实际上是对于l a x 对 札= u ， 庐9 = ， 咖= t j i ， 进行的一种规范变换西= t 曲 其中 ，ab 、 t = il e d 一l一l a = a ( a + a k x ) ，b = a n b k a 。， k = 0k = 0 1n - 11n - - 1 c 2 者毛，d 2 者q + 三仇小) 钆，风，g ，仇( o k n 一1 ) 是z ，f ，t 的函数 要求西也满足同样形式的l a x 对，因而推导出n 次达布阵；然后利用达布变换从两个 ( 1 + 1 ) 维孤子方程及( 2 + 1 ) 维k p 方程的一组解( “，口) 产生它们的一组新解， i 面= “+ ；以【扣+ b n 1 ) ( 了l n v + b n _ 1 一p 一1 ) 一i n ( v + b n 一1 ) 一r 1 】， l 。：e 扣+ 8 一1 ) ( l n v + b i n1 一c n 1 ) 一r l ， 利用达布变换得到孤子方程的多孤子解，并绘制出了优美的孤立子图形 关键词；( 2 + 1 ) 维k p 方程；达布变换；精确解 a b s t r a c t t h es o l i t o n i a nt h e o r yi sa ni m p o r t a n tp a r to ft h en o n h n e a rs c i e n c e t h e r ea r em a n yd o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h a th a v ee o l i t i o np r o p e r t i e si nt h ep u r ea n da p p l i e ds c i - e n c e t h e r e f o r e ，s o l v i n gs o l i t o ne q u a t i o n s ( e s p e c i a l ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a le q u a t i o n ) i si m p o r t a n ti n t h ef i e l d t h e r ea r em a n ym e t h o d st oo b t a i ne x p l i c i ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si nt h es o l i t i o nt h e o r y a m o n gt h ev a r i o u sa p p r o a c h e s ，t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o ni s av e r yp o w e r f u lt o o l ，i tc a nf i n de x p l i c ts o l u t i o n so fe o l i t i o ne q u a t i o n sf r o mat r i v i a ls e e d t h e d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no ft w o ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a le o l i t o ne q u a t i o n sa n d ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk p e q u a t i o ni so b t a i n e di nt h i sp a p e r t h e r ea r et h r e es e c t i o n si nt h ep a p e r t h ef i s tp a r ti sa ni n t r o d u c t i o n i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ed i r e c t l yc o n s t r u c tt h en - f o l dd a r b o u xt r a n s f o r m t i o no fs o l i t o n e q u a t i o n i nf a c t ，i ti sag a u g et r a n s f o r m a t i o n 庐= 即， t a d b1 ， a = + a k a ，b = b k a ，c = 瓯妒，d = d k a ， o f l a xp a i r s 札= u j i ，九= v 1 ，也= 以 i f 妒s a t i s f i e st h el a xp a i r s 钆= u ，九= v 1 ，成= j 5 ，t h e n ，t h en e ws o l u t i o n s ( 面，o ) o fs o l i t o n e q u a t i o nc a nb eo b t a i n e da sf o l l o wt h r o u g hd t ： 侄：裂 w h e r e ( t ， ) a r es o l u t i o n so ft w o ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n sa n d ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk p t h ee x a c ts o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o na r eo b t a i n e db ym e a n so ft h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；a n d s e v e r a li n t e r e s t i n gf i g u r e so ft h es o l u t i o n sa r ep l o t t e d i ns e c t i o nt h r e e ，w ed i r e c t l yc o n s t r u c tt h en - f o l dd a r b o u xt r a n s f o r m t i o no fs o l i t o ne q u a t i o n i nf a c t ，i ti sag a u g et r a n s f o r m a t i o n 咖= t ， 卜a 斗 n - 1 n - l，n - 11 n - 1 a = 山( + 三a k a k ) ，b = 从脚b k 妒，a 2 者k = 0 仉妒，d 2 去( + 毛仇妒) ，= o= o 一” = o o f l a xp a i r s 如= u ，九= ， s t = ， i f 妒s a t i s f i e st h el a xp a i r s 也= u s ，九= 屯也= 咖，t h e n ，t h en e ws o l u t i o n s ( 面，o ) o fs o l i t o n i面= 钍+ 如【扣+ b n 1 ) ( 生学一c n 1 ) 一i n ( v + b n 1 ) 一r l 】， 1 。：e 鼬- 1 ) ( ! 生导龃一一1 ， w h e r e ( n ， ) a r es o l u t i o n so ft w o ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n sa n d ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk p t h ee x a c ts o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o na r eo b t a i n e db ym e u d _ so f t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；a n d s e v e r a li n t e r e s t i n gf i g u r e so ft h es o l u t i o n sa r ep l o t t e d k e yw o r d ：( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk pe q u a t i o n ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；e x p l i c i ts o l u t i o n 一引言 孤立子是非线性科学中的一个重大研究课题孤立子理论的兴起，给求解非线性偏 微分方程及非线性科学的研究带来了革命性内容和新的活力，使其成为研究非线性方程 的主要手段之一孤立子理论在流体力学，等离子体物理、非线性光学经典场论、量子 场论，化学、通讯，生命科学等诸多学科都有重要应用，是一门涉及多学科、多领域的研 究领域，其研究手段和方法在数学上涉及有经典分析和泛函分析，微分方程和动力系统， l i e 群、l i e 代数和无穷维代数、微分几何、拓扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算 数学等诸多数学分支 数十年来，孤立子理论一直受到国际上数学界和物理学界的充分重视，研究工作十 分活跃，每年都有大量的科研论文出现于专业期刊以及相关方面的相关出版同时一系列 求孤立子方程精确解的方法不断产生，其中，达布变换是一种自然美妙的方法，它从平凡 解出发可以得到孤子方程的精确解 达布变换方法是构造非线性方程显式解的十分有效的方法之一1 8 8 2 年，g d a r b o u x 1 l l 研究了薛定鄂( s c h r s d i n g e r ) 方程 一九z u ( $ ) 毋= a 妒，( 1 1 ) ( 其中u ( x ) 是给定的函数，称为位势函数，a 是常数，称为谱参数) 他发现若设u ( z ) ，妒( z ，a ) 是满足( 1 1 ) 的两个函数，对任意给定的常数a = a l ，令，( z ) = 妒( z ，a 1 ) ，若定义如下函 数u ， = u + 2 ( z n ，) 。，( z ，a ) = ( z ，a ) + 盯妒( 髫，a ) ， ( 1 2 ) 其中一= 一襞甜则，妒也满足s c h r s d i n g e r 方程，即 一亿。一“( 功= a 妒7 ( 1 3 ) 这个借助于，( z ) = ( 善，a 1 ) 所做的变换( 1 2 ) 将满足( 1 1 ) 的一组函数( “，) 变化为满足同 一方程的另一组函数( “，) ，这就是最原始的达布变换 ( ，曲) + ( ，)( 1 4 ) 在，0 处它是有效的 1 8 8 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究了浅水波运动，在长波 1 近似和小振幅的假定下，建立了单向运动的浅水波运动方程：即著名的k d v 方程上个 世纪6 0 年代，人们发现k d v 方程和上述s c h r s d i n g e r 方程有着密切的联系具体说来， k d v 方程 “t + 6 t 正t b + t 正托。= 0 ，( 1 5 ) 是关于的线性方程组 一一“2a ， ( 1 6 ) 咖= - 4 如。一乩九一3 u ：1 4 b ， ( 或称为k d v 方程的l a x 对) 的可积条件，这时u ，均为为t 的函数 进一步的研究还发现达布变换( 1 2 ) 也适用于k d v 方程，这个变换中的函数还依赖 于t ，它不但保持( 1 5 ) 中的第一式的形式不变，而且还满足( 1 5 ) 的第二式因而“7 满足 ( 1 4 ) 的可积条件即u ，也是k d v 方程的解这样，如果已知k d v 方程的一个解u ，通过 解线性方程组( 1 5 ) 得到( z ，t ，a ) 取a 的一个值知得到( x ，t ) = 妒( 为t ，a o ) ，然后利用 ( 1 2 ) 就获得k d v 方程的一个新解u ，( 1 2 ) 中的则为相应的l a x 对的解这就为k d v 方程的求解提供了非常好的方法为了从k d v 方程的一个已知解得到它的新解，现在只 需要解线性方程组( 1 5 ) 求出，然后通过显式运算( 1 2 ) 就可以得到k d v 方程的大量特 解不但如此，这个变换还可以继续进行下去，从而得到一系列( “7 ，) ( u ，咖) + ( u ，) ( “”，) - - - - 4 这样就把s c h r s d i n g e r 方程的达布变换推广为k d v 方程的达布变换它的基本思路是：利 用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，用代数运算及微分运算来得出非线性方程的新 解和l a x 对相应的解 达布变换在孤子理论中起着非常重要的作用1 2 0 而达布阵的出现在达布变换理论 的发展过程中占有举足轻重的作用，因为此方法具有很大的普适性便于推广到其他大量 的非线性偏微分方程 达布阵方法起源于z a k h a r o v 和s h a b a t 的穿衣服方法【2 1 】后来m a t v e e v 和s a l l e ， n e u g e b a u e r 和m e i n e l 分别发展并完善了达布阵方法【2 2 ，2 3 】达布阵方法的主要结论如下 2 3 ，2 4 】： 考察如下的偏微分方程 f ( u ，u t ，u 。，) = 0 ，( 1 7 ) 2 它是由如下l a x 方程的相容条件产生 峨5 刺圣 ( 1 8 ) q ) t = ( a ) 壬， 其中g ( a ) ， ( a ) s l ( 2 ) 是参数a 的n 次多项式矩阵假设1 和咖2 是上述特征多项式方程 相应于参数a 1 ) t 2 的两个已知的解向量，p ( a ) = ) r e + p o ，由下面代数系统确定 玳) 毋12 ( a l e + 昂) 12o ， ( 1 9 ) p ( a 2 ) 加= ( $ 2 e + p o ) 如= 0 若变换 圣+ 圣7 = p ( a ) 圣， 可( a ) + 矿( a ) = ( p ( a ) g ( a ) + p s ( a ) ) p 一1 ( a ) ， ( 1 - 1 0 ) h ( a ) ，( a ) = ( p ( a ) ( a ) + b ( a ) ) p 一1 ( a ) ， 满足 ( i ) 9 ，( a ) ， 7 ( a ) 8 t ( 2 ) ，( 其中位势函数) ； ( i i ) 9 ，( a ) ， 7 ( a ) 分别与9 ( a ) ，九( a ) 具有相同的结构 那么西7 ，9 ，( a ) ， ( a ) 满足 嘭= m ) 西7 ， ( 1 1 1 ) 叫= ( a ) 垂7 上述方程的相容条件也可以得到方程( 1 6 ) ，因此产生了偏微分方程( 1 6 ) 的一个新解 方程( 1 9 ) 称为达布阵变换，其中p ( a ) 称为达布阵 达布变换满足可换定理，迭代次达布变换( 1 9 ) ( 相应参数a 1 ，a 2 ) 可以产生 次达布变换 垂 垂( ) = p ( a ) 垂， 9 ( a ) ，g ( ) ( a ) = ( p ( a ) g ( a ) + 只( a ) ) p 一1 ( a ) ， ( 1 1 2 ) 危( a ) + h ( ) ( a ) = ( p ( a ) 九( a ) + p t ( x ) ) p 一1 ( a ) ， 其中达布阵为 p ( a ) = a + ；d p i ， ( 1 1 3 ) i = 0 它是由下列代数系统决定 p ( ) 祝= 0 ，i = 1 ，2 n ( 1 1 4 ) 3 利用次达布阵可以产生偏微分方程的多孤子解另外，我们可以直接作n 次达布变换， 当n 取不同值时，利用纯代数方法直接给出孤子方程的多孤子解 达布阵方法的优点是只须作一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可只用代数 运算来得到非线性孤立子方程的新解它的关键是寻找一种保持相应的l a x 对不变的规范 变换，在这方面已发展很多技巧并用于求解多种方程如a k n s 方程族，d a v e y - s t e w a r t s o n 方程，自对偶y a n g - m i l l s 流，e i n s t e i n - m a x w e l l 方程【1 4 ，1 5 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 】等等 本文直接构造出两个( 1 + 1 ) 维孤子方程的达布变换，通过达布变换，给出了两个( 1 + 1 ) 维孤子方程以及( 2 + 1 ) 维k p 方程的多孤子解，并借助计算机，绘制出了几个孤子解的优 美图形 4 ( 小( 捌5 蒿：篡二? 二麓荔裟2 胡) 仁， f a 【 护垃等：红+ 3 。u 神n v 。+ r l 一 上学t k 甜一3 ( 1 2 1 n v 一2 r 1 ) u u z1 ( ：) 。= l 1 ，2 ；嚣；喜= 叠篡：嬲二生。卜， + 3 u 2 一6 ( t n v + r 1 ) + ( z m + r 1 ) 4 2 一( 1 n v + r 1 ) u u z j 虮= ：露1 + ( 去毗。一j 3 ”2 k ( 2 3 ) 其中u 具有下列形式 和相应的辅谱问题 其中； 九= u 毋，= 一a + u = i 2 垃挚 九= h 以 = ( 笨 5 ( 耋) 2 v ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 、 2 2 瞪晔 其中 订1 1 = 一a 2 + ( z m + r 1 一) t b + u 2 + 等( f n ) 。一 ( z n ) ： 订1 2 ) = 2 v a + 2 u v 一， 订2 1 1 = 2 t n v v - 学a + ( 1 - n 万v - r 1 ) v z 十_ _ 一t n w 。+ r l ， 订2 2 = a 2 - ( 1 n v + r 1 一) t k 一“2 一上学( z 札 ) 。+ ( z 佗口) ： 也= 毋 = ( 篱荔) 疃儿盎一a 3 + 2 ( i n + r 1 ) a + 如护妲等丑十；“舻血号：l + 上挚卜 黜+ 负b 一3 u u 口+ u v z j + ( 1 n v + r 】) i 乱t b 一2 ( z n k 一2 川+ i , 3 + t 村+ “疗 k ， 瞪“= 2 v a 2 + ( 2 u v 一) a + 一u x v + 2 u 2 v 一4 v ( 1 n v + r 1 ) 一2 “， 疃2 1 = 2 血等。丑a 2 + 兰塑享旦选+ 孔垃穹丑】a + n v 。+ r , 【“。+ 2 “2 4 ( 1 n v + r 1 ) 十( i n ) 勤+ 韭掣( 2 t k + 等) 一豢， 曙2 卅= 3 2 ( f 礼 + r 1 ) a 一 0 3 纽等：丑一；“口0 2 垃等：n 一上学【一 跗一3 + 3 u u z 扩一“z k z 】一( 1 n v + r 1 ) f 2 “乱。一2 ( 1 n v ) 。一2 u j 一“3 一 黝：一( t n v ) 2 这里u ，”是位势函数，a 是常谱参数 首先引入谱问题的规范变换 西= 珊， 其中t 由下式确定 已+ t u = 驴z 刁+ t u = e 乃+ 7 = k z 进而l a x 对( 2 4 ) ，( 2 5 ) 和( 2 6 ) 转化为 以= u 西 九= k 西 6 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 也= k 也( 2 1 3 ) 谱问题的规范变换称为达布变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问题 假定 a 斗 均 其中 a = + a k a ，b = 仇妒，c = q 妒，d = d k a ， 设l p ( ) = ( 妒l ( ) ，妒2 ( ) ，) t ，妒( ) = ( 妒1 ( 知) ，仍( ) ) t ，是( 2 4 ) 的两个基本解，通过( 2 7 ) 知，存在常数满足 j ( 4 妒1 ( ) + b 妒2 ( ) ) 一( a 妒1 ( ) + b 比( ) ) 。o ，( 2 1 5 ) i ( c l ，o l ( a j ) + d o p e ( a ) ) ) 一( g 妒1 ( 如) + d 讹( ) ) = 0 ， 进一步，( 2 1 5 ) 可以写成线性系统 ia + a j b = 0 ， lg + 乃d ：o ， j 薹似h 啦增一磷 ( 2 1 6 ) 1 喾( c 。+ a j d k ) a ；：0 ， 。1 6 l ( k + = ， 乃= ；誊i ，- s ，z 一 c 。j ， 当常数，( h 若j ) 适当选择时，( 2 1 6 ) 的系数非零，因此，如果我们选取 珊一1 ：飞c n l ：尘竺班等趔， ( 2 1 8 ) 剩余的a k ，b k ，伉，d ( o k n 一1 ) 由线性系统( 2 1 6 ) 唯一确定，而q 在下文中给定矩 阵( 2 1 4 ) 表明d e t t ( a ) 是a 的2 n 一1 次多项式且 d e t t ( a j ) = o t 2 a ( a j ) d ( a j ) 一b ( a j ) c ( a j ) 另一方面，由( 2 1 6 ) 可知 a ( ) = 一乃b ( ) ，g ( ) = 一乃d ( ) ( 2 1 9 ) 所以 d e t t ( a ) = 卢( a 一) 这表明l j ( i j 2 n 一1 ) 是d e t t 的根( 其中卢与a 无关) 命题2 1 ：设a 满足一阶微分方程 # z l n o e = 一去也f n ( d 一1 ) ， ( 2 2 0 ) 由式子( 2 8 ) 确定的矩阵驴与矩阵u 具有相同形式，即口可以表示为 驴= ( 莓a 寸 下列变换 淮裂 z t ， 将原来的位势函数“和”映射为新位势豇和i 证明：设t _ 1 = ( d e f t ) 1 t 且 c b + t 矿，r + = ( 2 ： ：；羔i 茗) c 。z z ， t + 表示t 的伴随矩阵，容易验证 1 ( a ) 和丘2 ( a ) 是a 的2 n 次多项式由已知条件( 2 1 8 ) 可知 2 ( a ) 和，2 1 ( a ) 是as j ( 2 n 一1 ) 次多项式当a = o = l ，2 ，2 n 1 ) 时，利用 ( 2 4 ) 和( 2 1 7 ) 可以得到r i c c a t i 方程 乃。= 2 垫鼍堕+ 2 ( 一“) 町一2 ”亏 ( 2 2 3 ) 通过直接计算，知所有0 = 1 ，2 ，2 n 一1 ) 是厶f ( a ) ( s ，l = 1 ，2 ) 的根，进而( 2 2 2 ) 可以 改写成 ( b + t u ) t + = ( d e t t ) p ( a ) ，( 2 2 4 ) p ( a ) 有以下形式 跗，= ( 础茹帮嗽篡蹬) ， 其中p 引k ( o 。1 ，j = 1 ，2 ，l = o ，1 ) - 9a 无关，所以方程( 2 2 4 ) 等价于 足+ t u = p ( 入) t ( 2 2 5 ) 比较等试( 2 2 5 ) 中a + 1 ，a 和一1 的系数，可以得到 磁= 一1 ，竣= 1 ，凹= 一2 c n 岫( 2 2 6 ) p f 0 ) = u + o 。( 1 n a ) ，( 2 2 7 ) 雄c n 一= a n - i , z + 2 丝鼍鼬- 1 ( 2 2 8 ) 趔= 如( f n a ) + o z ( 1 n d n i ) 一t ( 2 2 9 ) 将( 2 2 0 ) 代入( 2 2 6 ) 一( 2 2 9 ) ，有 础= 面，删= 2 i ，垅) _ 吨搿= 2 等等， ( 2 3 0 ) 对比( 2 8 ) 和( 2 2 5 ) ，即得6 - = p ( a ) ，证毕 注：当n = i 时，假定a 一1 = b l l = c l l = d l = 0 ，上述达布变换可以写为 豢慨l 仁s ， 若妒( 如) 和妒1 ( ) 也同时满足( 2 9 ) ，采用与命题2 1 类似的方法可以证明在变换( 2 7 ) 和 ( 2 2 1 ) 共同作用下，由( 2 9 ) 式确定的矿与y 有相同形式 命题2 2 ：设。满足关于y 的一阶常微分方程 o ，l n a = - - a n l ，。一l ( 1 n v + r l 一一 a 一l 声) ( 1 n d n 一1 ) 十1 ( 1 n d l v 1 ) ： u ( 1 n d n 一1 k 十 a 一1 ，$ ( f n 盯) 蜘：一生蔓1 2 三l a 一1 ，4 口一 a 一1 ，船窟 ( 2 3 2 ) 去a 斋一1 。+ ( f n ”k a n 一1 ，瑚：+ a 一i ，z ， 由式子( 2 9 ) 确定的矩阵访与矩阵具有相同形式，除了将u ，”，u 。和替换为相应的 面，o ，珏和在第一类达布变换( 2 7 ) 和( 2 2 1 ) 作用下，原位势函数u 和v 映射为新位势面 9 证明；设t 一1 = ( 础t ) - 1 t + 且 c 一怠；) ， 协s 。， 容易验证g l l ( a ) 和9 2 2 ( a ) 是a 的2 n + 1 次多项式由已知条件( 2 1 8 ) 知9 1 2 ( a ) 和g ：l ( a ) 是 a 的2 n 次多项式当a = ( j = 1 ，2 ，2 n 一1 ) 时，利用( 2 5 ) 和( 2 1 7 ) 可以得到r i c c a t i 方程 乃口22 虹笋+ 业也荸型塑+ 2 t 丝产+ 2 【碍一( 1 n v + r l - - ) 一舻 ( 2 3 4 ) 一止5 芋= n ( 1 钉) 档+ ( 1 礼 ) 劲吩一( 2 v a i + 2 u v 一) 曰 通过直接计算可以知道0 = 1 ，2 ，2 n 一1 ) 是g 。l ( 8 ，j ：1 ，2 ) 的根，进而( 2 3 3 ) 可以写成 ( 日+ t v l ) t = ( d e t t ) q ( a ) ， ( 2 3 5 ) q ( a ) 有以下形式 ) ：( q i 和x 鞘2 a - ，_ , ( 1 扩 其中q i ? ( k ，j = 1 ，2 ，l = o ，1 ，2 ) 与a 无关 所以方程( 2 3 5 ) 等价于 乃+ t k = q ( a ) t 比较( 2 3 6 ) 中a + 2 ，a n + 1 和a 的系数，可以得到 g i i = 一1 ，五爹= 1 ，q i ：= 蠢= 0 ，建：= 一2 一咀 另一方面，利用命题2 1 ，比较方程( 2 2 5 ) 中a - 。，a - 2 的系数，有 ( 2 3 6 ) a 一1 z = 2 。( k l 一2 。l , b n l ， b n 一1 $ = 2 u b n 一1 2 b n 一2 2 v a n 一1 + 2 0 d 一1 ， i ：k 一1 $ = 2 c n 一2 2 c n 一1 a n 一1 2 “v 。一d n 一1 一面i t 一l ， ( 2 3 7 ) d n 一1 z = 一o ( 1 n a ) d l v 一1 + u d n 一1 一u d n 一1 ， b n 一2 z = 2 u b n 一2 2 b n 一3 2 v a n 一2 + 2 0 d n 一2 、 堙g 2 + + 船 、 譬 ，2t 蠢妒 口船g 根据( 2 3 2 ) 和( 2 3 7 ) ，并联立孤子方程( 2 1 ) 。通过复杂计算，可以得到 矗 = 一q 蝗= 一( 1 厕+ n 一 ) 日。一铲一 = ! = ( ! n 。) 。+ ( j n 。) ： 9 2 = 2 f i 0 一如，一1 1 2 1 = 2 。， 摆= 止铲+ 2 u 匕 对比( 2 9 ) 和( 23 6 ) ，易得u = q ( a ) ，证毕 命题2 3 ：设。满足关于t 的一阶常微分方程 魂f n “= ”( e 一4 “z 萨n v = + 毛r l - - 芯l a = = n i - ：i z 一泸2 z 产) + i u ”( e 一 4 一# 铲塑兰；i ；：繁生 一护照挚) 一i 3 c _ 洳1 4 ，。o n d ) z 护专写耙 + 三笔i 募；孝生i 一 护( ”e 一。1a “4 ) + 3 ( u z 一 铲f n d 一一，) ( 啦e o “”“。 一 e 一 a ”一坫 v 一1 4 z ) 一3 r e 一。t a “一如( “一；o l n d n i ) ( t k 一 0 2 l n d n 1 ) + 2 ( “一 o i n d n 一1 ) d 2 ( t 圯一 a n 一1 。) 】一生二；2 l 【一 t ，瑚+ 3 u z t k 一3 “t b ” f 23 8 1 + 2 u t k 。】一( 1 n v + r 1 ) 睦“。一2 ( t u v ) 。一2 叫+ ( 1 n v + r l 一 一1 ，z ) 【( u 一 0 1 n d n _ t ) ( u 。一 a 2 l n d n t ) 一2 ( 1 n v 一； _ 一1 ，。k 一2 0 , 一l o l n d n 一1 ) 】 一2 i 2 ，土( 2 “j 日k 一1 一v a n l + ”一；a n 一1 一d n l 一 。e i l ，) 卫二塑：；：! 止堕b _ v 一1 一( 1 n d n1 ) ：一 n ( 1 n d n 一1 ) i 一；“2 ( 1 n d nl k 0 3 l n d n1 ) 一；a n1 。$ + 勘，i ? 1 a 一l + 2 ( 1 n v 十7 1 ) d 一1 + t j l ? 1 ，。十2 v ( 2 一；0 t n d t ，一) c n l 一地( 抽1 ， 由式子( 2 1 0 ) 确定的矩阵蟊与矩阵具有相同形式，除了将“，u ，和替换为相应的 f i , o ，磁和谣在第一类达布变换( 2 7 ) 和( 2 2 1 ) 作用下，原位势函数u 和u 映射为新位势n 和i 证明：设t o = ( d e f t ) - 1 t + 且 ( 噩+ t v 2 ) t ；f r n n ) r 1 2 n 1 ， ( 2 3 9 ) 、r 2 1 ( a ) r 2 2 ( a ) ， 容易验证r 1 1 ( ) 和r 2 2 ( a ) 是a 的2 n + 2 次多项式由已知条件( 2 1 8 ) 知r n ( x ) 和您l ( ) 是 a 的2 n + 1 次多项式当a = 0 = l ，2 ，2 n 一1 ) 时，利用( 2 6 ) 和( 2 1 7 ) 可以得到方程 q t = 2 型v j 。- , 。1 一k ”2 - k 2 u ! 璺号丑】+ ! 型v + u x t - “z “2 4 q 删+ r 1 ) + ( z 彻) ：】+ l 乒l ( 2 “+ 3 争) 一器+ 2 。【碍一2 ( i n ”+ r 1 ) 一 a 3 纽等：n ；u v 伊纽号丑一1 - n 2 。v - r l 、( 一 t 乇啊。一3 u 。+ 3 铆k ( 2 4 0 ) 一“z ) 一“n ”+ r 1 ) ( 一。一2 ( 1 n v ) 。一2 u ) 一矿一扣。一( t n v ) 。】 一曰【2 口碍十( 2 一) 知+ 一 + 2 u 2 v - 4 口( 1 n v + r 1 ) 一2 u v x 通过上述关系，直接计算可以知道a j ( j = 1 2 2 n 1 ) 是l ( a ) ( 8 ，l = l ，2 ) 的根，进而( 2 3 9 ) 可以写成 冗( a ) 有以下形式 ( 五十t ) t = ( d e t t ) r ( a ) 砌，= ( 攫裂鬟辫帮 其中榴( ，j = 1 ，2 ，l = o ，l ，2 ) 与a 无关 所以方程( 2 4 1 ) 等价于 冠+ t = r ( a ) t 比较( 2 4 2 ) 中a + 2 ，a + a , a 和a 一1 的系数，可以得到 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) r 嚣；一r 碧= 一1 ，r ；= 也爹：0 ，摆) ：一2c _ 一， r i l ) = 2 ( 1 n v + r , ) + 2 1 2 j 土盐j ，_ 】、r 一2 一榻( 稀一1 ， r 爹j ) 一】= 2 u 口一t k + 2 口4 一1 + 2 臼i 一2 ， 畦1 ) = 2 5 坐手丑d 一2 2 ( k 一2 一攒a 一1 ， 攫d n l = 2 v c r l 一攒凰- i ， r ； d 一l = 汀一铴+ 舰2 v - 4 v ( 1 n v + r 1 ) 一凯+ 2 v a 一2 + ( 2 u v - - v z ) a 一1 + 2 b 一3 2 ( 1 n v + r 1 ) b n 一1 一r ；b n 一1 一r 爹d 一2 ， 凹 2 + ，q a + m 船 扎 州私 矗妒 蛆 r 臀 r 。0 。) n 一l 璎 = o d n a + i 护纽产+ 4 3 。2 t n v 。+ r t 十上2 丑【_ j 。+ 3 一3 u 口+ u 。j + ( t n v + r 1 ) 【g t 一2 0 x l n v 一2 u + t 3 + “龆+ o z t n v + 2 ( t n v + r 1 ) a n 一1 + 2 挚口一2 + i q 王堡：；：! 止! 堕+ 2 让挚】b 一1 一r f j a 一l r 嚣( 孺一2 一r i ? k l ， = 2 v c u 一2 + ( 2 u v t k ) ( h 一1 2 ( 1 n v + r 1 ) d 一1 一r 并b 一2 一r 5 上h 一1 ， = 一2 c n 一3 + 2 ( t n v + r 1 ) c n 一1 2 纽盐字羔j 石i 一2 + f 业主苎 ；：坚如+ 2 挚j d 一1 一蠢挈a 一2 一r l a 一。一r 曼( 1 一- ， t r l ( 0 2 ) 上，n 一1 = o t l n a + b n i t 一2 v a n 一3 + ( 2 u v v x ) a n 一2 + 【v z z 一 + 2 u 2 口一4 v ( 1 n v + r 1 ) - 2 u v z a i v 一1 + 2 b n 一4 2 ( 1 n v + r 1 ) b n 一2 一 伊! ! ! i 丑+ i “”a 21 2 号：且 + 上学卜i + 3 u 。一3 u u 。t ，十；“。j + ( 1 n v + r 1 ) 瞎伽。一2 0 z l n v 一2 叫 + u 3 + i z 。+ o z l n v b 一1 一r i j b l v 一2 一r ，l ( 0 1 ) 工，n 一1 一r 一( 2 ) d 一3 一r i n d 一2 ， 趔d n 一1= o t ( 1 n c o d n l + d 一l 声一2 y e n 一3 + ( 2 u v v z ) c n 一2 + j t k 一钉+ 2 u 2 口 一4 v ( 1 n v + r 1 ) 一2 u v x c n 一1 2 ( 1 n v + r 1 ) d n 一2 一 ；伊堕! 字+ ； a 2 1 堡5 ：丑 + 上= ；= 丑f 一 托+ 3 u 。z k 一3 u u z 口+ ；棚。j + ( z m ，+ r 1 ) 瞎“。一2 0 x l n v 一2 u 】 + 护+ 。+ o x l n v d 一1 一摆b 一3 一r g ) b n 一2 一r 舞口_ 一l r 。( 。1 ) d 一2 另一方面，利用严格证明的命题2 1 ，比较方程( 2 2 5 ) 中a 一，a 一3 的系数，有 f b - 2 ，。 2 佃- 2 q 肌3 2 以- 2 彻d - 2 ， d n 喝z = 2 1 1 等丑口_ 一2 2 0 ( i n 0 0 2 v c n 幽 ( 2 4 3 ) 【b n - 3 , z = - - 2 v a 一3 2 b n - 4 - 2 “b n - 3 + 2 0 。一3 根据( 2 3 8 ) 和( 2 4 3 ) ，并联立孤子方程( 2 2 ) ，通过复杂计算，可以得到 r ；= 一尝= 一l ，r i = 趱l 0 ， r 譬= 2 0 ，r 管= r 劣= 2 ( 1 n o + r 1 ) ，r 砻= 2 丝产， r 嚣= 2 面云一，撮) = 焦铲+ 2 面纽警丑， r i 拿= 口。一。十2 面2 口一4 0 ( i n o + r 1 ) 一2 丽。， 攫= 纽号丑陋。+ 2 面2 4 ( 1 n o + r 1 ) + ( 岛z 佗回2 】+ 生= 乒= 丑( 托+ 至尹) 一器， r 嚣= 一r 磐= 伊学+ i 豇雷护垃挚+ 生产卜。i o 妣。+ 3 面z o z 一3 面面z 面十2 面如$ 十( z 佗雷+ r i ) f 西面。一2 0 z l n o 一2 面】+ 面3 + 扣船：+ o 。i n o 对比( 2 1 0 ) 和( 2 4 2 ) ，易得仍= r ( a ) ，证毕 命题2 1 2 3 表明：达布变换( 2 7 ) 和( 2 2 1 ) 将l a x 对( 2 4 ) ，( 2 5 ) 和( 2 6 ) 映为相同 形式的l a x 对( 2 11 ) ，( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，故两个l a x 对通过相容条件得到同一孤子方程( 2 1 ) ，( 2 2 ) 综上所述，我们得到下面的定理t 定理1 ：由达布变换( 2 7 ) 和( 2 2 1 ) 可以从两个( 1 + 1 ) 维孤子方程( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的一组解 ( u ，”) 生成它们的另一组新解 i：=。u。-一；5。o。2一tn，(。一l c 。4 a ， 其中a “d d i 由线形系统( 2 1 6 ) 唯一确定 称变换( ，“， ) 一( 西，面，o ) 为两个( 1 + 1 ) 维孤子方程( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的一个达布变换