（基础数学专业论文）加权bergman空间上的紧toeplitz算子(1).pdf

湘潭大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人或集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名黼江 日期：埘年争月a 文日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 i 不保密d 。 ( 请在以上相应方框内打“ ，”) 作者签名：序凋时；压日期：醇年中月。文日 剔磁轹幽沙之嗍叶q 月地 摘要 一般的线性算子理论及它们生成的算子代数理论在泛函分析成 为一门独立的学科之前的上世纪二，三十年代前后，就已经得到了 飞速的发展。同时伴随着它们在动力系统和量子物理学中的应用的 深入，又为它们的进一步发展注入了新的活力。 作为一类特殊的算子，t o e p l i t z 和h a n k e l 算子之所以特别受到人 们的重视，是因为，一方面，它们为一般的算子理论( 代数) 的研究 提供了模型。同时，它们又与许多其他的数学分支，如：经典的函数 论，指标理论，动力系统等，密切相关。此外，又为许多一般算子理 论遗留下来的许多问题的解决提供了可能的途径，如：著名的不变 子空间问题，就可以转换成b c r g m a n 空间上的算子必不变子空间格 的“s a t u r a t e d ”性质的研究。正是因为如此，对t o e p l i t z 算子和t o e p l i t z 代数的研究，近年来十分活跃，并成为算子理论中的一重要组成部 分。 与单位圆盘上的h a r d y 空间不同，对单位圆盘上的b e r g m a n 空问 上的t o e p f i t z 和h a n k e l 算子的研究起步较晚，上世纪八十年代末九十 年代初，才有人涉及。经过近年来的努力，取得了许多重要的进展， 目前在单位圆盘上t o e p l i t z 和h a n k e l 算子的有界性，紧性，s c h a t t e n 性 以及对它们的谱都有了系统的研究( 1 1 ) 。同时，对多个t o e p l i t z 算子 积，t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子的积以及交换子的有界性及紧性也有 了一些研究( 1 ，2 ，7 ，9 ，1 0 1 等) 。 在前人的基础上，本文主要讨论了在加权b e r g m a n 空问上t o e p l i t z 和h a n k e l 算子的积的基本性质和改进了部分结果。 本文第一章的主要内容是讨论了加权b e r g n m n 空间上的t o e p l i t z 和h a n k e l 算子的积的性质，同时得出了t o e p l i t z 算子的积和t o e p l i t z 与h a n k e l 算子的积是紧算子的充分和必要条件。 本文的第二章主要研究了交换子，讨论了交换子 r ；，瑶】以及 r ；，埠】是紧算子的充分和必要条件，并给出了t o e p l i t z 算子是本质 正规的充分必要条件。 美键词：，孙羽拖算子勘n k e l 算予 加掇b 嘲删m 窝闯交换 子 紧冀予零质交换 2 a b s t r a c t t h e t h e o r yo f o p e r a t o r sa n da n do p e r a t o ra l g e b r a sg e n e r a t e db y t h e ma r ed e v e l o p i n gq u i c k l yd u r i n gt h e2 0 3 0 so ft h el a s tc e n t u r y , d u r i n gf u n c t i o n a la n a l y s i sb e c o m i n gab r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，a n d a c c o m p a n y i n gt h eu s ed e e p l yo nd y n a m i c sa n dq u a n t u mp h y s i c s ，a n d i tp r o v i d e san e wa c t i v a t ef o rt h ed e v e l o p i n go f t h et h e o r y a ss p e c i a lc l a s so fo p e r a t o r s ，t h er e a s o n st o e p l i t za n dh a n k e l o p e r a t o rs t u d i e db ys om a n ym a t h e m a t i c i a n si st h a t 协e yp r o v i d ea m o d e lf o rt h er e s e a r c ho ft h eg e n e r a lo p e r a t o ro ra l g e b r a ，a sw e l l a si n t e r v o l v ew i t hm a n yo t h e r sb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，s u c ha s ： c l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r y , i n d e xt h e o r y , d y n a m i c ss y s t e m ，a n ds oo i l m o r e o v e r , t h e yh a dp r o v i d e ds o m el i a b l em e t h o d sf o rt h er e s o l u t i o n o f t h eo p e np r o b l e m sf o rt h eg e n e r a lo p e r a t o rt h e o r y , s u c ha s ：t h ef a - m o u si n v a r i a n ts u b s p a e ep r o b l e m , i tc a l lb et r a n s f o r m e da st h es t u d y o f t h ep r o p o r t i o no f s a t u r a t e d f o rt h ei n v a r i a n ts u b s p c el a t t i c eo f t h e o p e r a t o r 必o nb e r g m a ns p a c e f o rt h a tr e a s o n ，t h es t u d yo ft o e p l i t z a n d h a n k e lo p e r a t o r sa r eg r e a t l ya c t i v a t e dr e c e n t l y , a n di tb e c a m ea n i m p o r t a n tc o n s t i t u t eo f t h eo p e r a t o rt h e o r y a p a r tf r o mh a r d ys p a c eo nt h eu n i td i s k , t o e p l i t za n dh a n k e l o p e r a t o r so nb e r g m a ns p a c ea r es t u d i e du n t i lo nt h eb e g i n n i n go f t h e 9 0 sl a s tc e n t u r y i np a s ty e a r s ，m u c hp r o g r e s sh a sb e e na c h i e v e d i nt h i sf i e l d , e g ，t h ec r i t e r i af o rt o e p l i t za n dh a n k e lo p e r a t o r sb e i n g b o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e s s ，s c h a t t c nc l a s s i f i c a t i o na n dt h es p e c t r u m o f t o e p l i t za n dh a n k e lo p e r a t o r so nu n i td i s ka r eo b t a i n d e d ( 11 】) a t t h es a m et i m e ，t h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft h ep r o d u c t so f s o m et o e p l i t zo p e r a t o r s ，t h ep r o d u c t so f t o e p l i t za n dh a n k e lo p e r a 一 3 t o r sa n dd i f f e r e n tc o m m u t a t o r s ( 1 ，2 ，7 ，9 ，l o e t e ) a r eg i v e n b a s e do nt h ep m d e c e s s o r ，t h em a i nr e s u l to f 也i st h e s i si st h e p r o p o s i t i o no f t h et o e p l i t za n dh a n k e lo p e r a t o r so nw e i g h t e db e r g m a n s p a c ew h i c he x p a n d e dt h er e s u l to f t h ep r e d e c e s s o r i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h et h e s i s ，s o m ep r o p o s i t i o no f p r o d u c t s o ft o e p l i t za n dh a n k e lo p e r a t o r so nw e i g h t e db e r g m a ns p a c ea r e i n t r o d u c e d ，a n dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s i t yc o n d i t i o na l eg i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e ro f t h et h e s i s ，w ew i l li n t r o d u c et h ec o m - m u t a t o r s 【碍，瑶 a n d t 7 ，】，a n d o b t a i n d e dt h en e c e s s i t ya n ds u f f i - c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o m m u t a t o r s c o m p a c t a sw e l la st h en e c e s s i t y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt o e p l i t zo p e r a t o ri se s s e n t i a l l yn o r m a l k e yw o r d s ：t o e p l i t zo p e r a t o r h a n k e lo p e m t r w e i g h t e db e r g m a ns p a c e c o m m u t a t o r c o m p a c to p e r a t o re s s e n t i a l l yc o m m u t a t i n g 4 提要 对不同空间上的t o e p l i t z 和h a n k l e l 算子，人们进行了大量 的研究。1 9 8 9 年，z h e n gd e c h a o 最先证明了b e r g m a n 空间上的 t o e p l i t z 算子为紧的充要条件( 【1 】) 。2 0 0 1 年，于涛，孙善利( 2 】) 把 这一结果推广到加权b e r g m a n 空间的情形。1 9 9 8 年，s h e l d o n a x l e r 与z h e n g d e c h a o ( 3 ) 得出了形如兀，兀。算子的有限和的紧性的 充要条件。1 9 8 2 年，p r h a l m a s 得出了h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算 子 f ， 交换的充分必要条件( 4 ) 。1 9 6 7 年，l a c o b u m 给出 了( 5 ) ：当厂c 或g c 时，交换子 巧，】是紧算子，其中 c = c ( ) 。1 9 6 9 年，i c g o h b e r g 和n j k r u p n i k 也给出了交换 子 吁，】是紧算子的充分条件( 6 ) 。1 9 7 2 年，r g d o u g l a s 得出 了在q c 水平集上交换子 z t ，巧 是紧算子的充分条件( 7 ) 。1 9 7 5 年，s a x l e r 在”+ c 的每一个反对称集上考察交换子 t s ，】( 8 ) ， 得出了与r g d o u g l a s 同样的结果。 在此基础上，1 9 9 9 年，p a m e l ag o r k i n 和d z h e n g 得出了 b e r g m a n 空间上交换子 巧， 是紧算子的充分必要条件( 9 】) ： 定理1 对任意的f , g l ”，d a ) ，交换子 t s ，r g = 巧t s 一 巧是紧的，当且仅当 俨i f , 翻f l 叭司f1v i i 圳+ i b l ，o h ” a f + b e , ，a f + 圆旷+ c 定理2 对任意的f , g 三。，d a ) ，交换子 巧， = t s 一 巧是紧的，当且仅当且仅当对任意的支集s ，下列条件之一满 足： ( a ) l s ，g l s 俨k ( b ) 月s ，翻s 日”b ； ( c ) 存在不全为零的两个常数a ，b ，使得 厂+ b g ) l s ，卅4 坛b z 严k 。 2 0 0 1 年，k u n y ug u o 和d z h e n g 解决了b e r g m a n 空间上的 交换子 巧，】是紧的情形( 【1 0 】) 定理3 对任意的f , ge 三。，d 囊) ，交换子 巧，乓 = 曝巧一 t f h g 是紧的，当且仅当 旷嘲n 酽阢厂( 厂一凋fm p o 矿”船，n ，朋旷c 定理4 对任意的f , g 上”，以) ，交换子 巧， = 乓巧一 r 旭是紧的，当且仅当对任意的支集s ，下列条件之一满足： ( a ) g l s f p i s ； ( b ) j q s ，刀s 及一k k 都属于日”j s ； ( c ) 存在不为零的常数, t s ，使得f f + 2 s g ) l s ，厂+ 冗及颤j 都 属于俨k 。 本文中采用的方法与( 9 】) 和( 1 0 ) 中所采用的基本相同。在( 9 ) 一 文中，d z h e n g 主要得到了b e r g m a i l 空间上t o 印1 沱和h a n k e l 算子 的积是紧算子的充分和必要条件，而在( 【1 0 ) 中主要讨论了交换子 是本质交换子时的基本性质。在类似的方法下，我们对此结论进行 推广，得到在加权b e r g m a n 空间上此类算子是紧算子时的充分和必 要条件。 预备知识 令d h 为单位圆盘d 上的就范l e b e s g u e 面积测度使得d 的 测度为1 。当- 1 o l o o 时，我们定义d z 。为单位圆盘d 上的概 率测度删。，使得 洲。= + 1 ) ( 1 一i z l 2 ) 。幽 对于当1 p o o ，我们定义，d a 。) 为d 上关于d a 。的 p 次可积的可测函数全体，并赋以范数| | 门l p = ( 厶p d a 。) ；i ， 2 其中厂为任意个三一( d ，c j 。) 中的元。特别地，l 2 ( d ，以屯) 为一 h i l b e r t 空间，其内积为 = ( 丘“( 骊拟。) ，其中， ，v l 2 ( d 。d a 。) 。空间碍( d ，d 4 0 是l v ( d ，d a 。) 中解析函数组成 的闭子空间，我们称之为加权b e r g m a n 空间，为方便起见，我们记 露，d h 。) 为l p ( d a 。) 。当口= 0 时，l p ( d a 。) 即为通常的b e r g m a n 空间。当p = 2 时，存在一个从三2 ，d h 。) 到l ：( a a 。) 的直交投影 尸，使得 ， ( p ( z ) = f 如0 ，w ) f ( w ) d a 。( 们 j d 对f l 2 ( d ，d a 。) 此处如0 ，w ) 为l ：( d a 。) 的再生核，即上：( d 4 。) 是再生核h i l b e r t 空间，且 1 k t ( w ) 2 百杀 因而对任意的f l 2 ( d ，d a 。) ，有 嗡= 记三”，d 4 。) 为单位圆盘d 上本性有界的, - i n 函数全体组成 的b a n a c h 空间。对f l ”( d ，d a 。) ，定义z ：( d a 。) 上以为符号 的t o e p l i t z 算子碍： 丁弘= p 0 ) ，v h 笆( d a 。) 同时我们定义以厂为符号的h a n k e l 算子研： 琊 = ( 1 一p ) c 肪) ，y h l ：( a a 。) 在讨论本文的定理时，我们需要先介绍一些基本的概念。对任 意单位圆盘d 中的元z ，令鳄为在z 处的就范的再生核： 嘶，= 鬻c w ，= 潜誊m 。 令协为m 6 b u s 变换： ，、 z w 如【l 坩2 了= 一 1 z w 容易得出亿。仡是d 上的恒等算子，且 忱( o ) = z ，忆【z ) = 0( 1 1 ) 1 也( 钟= 爿掣 ( 1 2 ) 对任意z d ，令晖为l ：( a a 。) 到l ：( a a 。) 的一个酉算子，定义为 ( 晖力( = 八纯( w ) ) 鳄 引理( 【2 ) 对任意z d ，碍是z ：( d a 。) 上的自伴的酉算子。 函数f l 2 ，d a 。) 的b e r e z i n 变换是定义在d 上的一个函 数五 衲= = ff ( z ) l 筐1 2 d a 。( z ) 事实上，由参数变易公式可知 f 而( 忆( w ) ) 枷。= f 而 。) l 1 2 d a 。( w ) j dj d 显然，开= i i f 。忱哆对任意f l 2 ( d ，d a 。) 和z d 。 对任意垆l ”( d ，d a 。) ，定义三2 ，d a 。) 上的乘法算子坛。为 m 。 = 峄 ， 其中f l 2 ，d a 。) 。若晦关于分解l 2 ，d a 。) = 三：( d _ 。) o ( 三：( 洲。) ) 上可表示成一个算子矩阵，则结果是 巧睇4 ，-l = 嗨 令l y ( a a 。) 为包含有界解析函数的上”( d ，d _ 。) 的子代数。d o u g l a s 代数指包含l 芋( d a 。) 的工”，d d 。) 的一个闭子代数。为方便起见， 我们令舅警们为三”，d 么。) 中的函数f 生成的d o u g l a s 代数，则 贸孑i f , g ，明为三”，d a 。) 中的函数工g 及h 生成的d o u g l a s 代数。 主要结果 在第一章中，我们的主要结果是： 定理a 令，和g 是三。( d ，d a n ) 中的任意两个函数，则孵 是紧的当且仅当 离| | 厂。忱一p ( 厂。o z ) 1 1 2 1 1 9 。亿一严国。仇) | | 2 2o 定理b - 令f $ 1 1 9 是三”，d a a ) 中的任意两个函数，则弓雩 是紧的当且仅当，或g 等于零。 在第二章中，我们的主要结果是： 定理c 对任意的，g l o o ，d a 。) ，交换子t r y ，瑶 = 瑶巧一 巧碍是紧的，当且仅当 舅”叭翻n 贸”眈团n n 吲删，o 用” 矿+ b g ，方+ 塌舅墨+ c 定理d 对任意的，g l o o ，d a a ) ，交换子 丐，巧 = t g 弓一 砰砰是紧的，当且仅当且仅当对任意的支集s ，下列条件之一满 足： ( a ) a s ，g l s 舅墨l s ； ( b ) 7 | s ，季b 舅；i s ； ( c ) 存在不全为零的两个常数a ，b ，使得( a f + b g ) l s ，a f + 蛔s 贸雾k 。 5 定理e 对任意的，g ，d a a ) ，交换子【巧，】= 弓一 碍露是紧的，当且仅当 贝0 。圆n 贝”叭z ( 厂一确nn 川，o 舅。l 厂+ 恕，+ z f h 霹+ c 定理f 对任意的，g 三”a d ，d a a ) ，交换子 巧，峰】= 峰丐一 碍日芋是紧的，当且仅当对任意的支集s ，下列条件之一满足： ( a ) g l s 耀o o l s ，o c o ) 刀s ，f l s 及矿一f ) g l s 都属于露i s ； ( c ) 存在不为零的常数以，使得c 厂+ a s g ) l s ，厂+ s 及朋s 都 属于西k 。 6 参考文献 【1 】d e c h a oz h e n g ，h a n k e lo p e r a t o r sa n dt o e p l i t zo p e r a t o r so nt h e b e r g m a n s p a c e ，z f u n c a n a l 8 3 ( 1 9 8 9 ) ，9 8 一1 2 0 2 于涛，孙善利，加权b e r g m a n 空间上的紧算子，数学学 报，2 0 0 1 ，v 0 1 4 4 , n o 2 ，2 3 3 2 4 0 3 】s a x l e r , d e c h a oz h e n g ，c o m p a c to p e r a t o r si nt h eb e r g m a n s p a c e s ，m a t hp r o cc a m b r i d g ep h i l o ss o c ，1 9 9 8 ，1 2 4 ：1 5 1 1 6 0 4 】p r h a l m o s , ah i l b e r ts p a c ep r o b l e mb o o k , n e wy o r k ，s p r i n g e r - v e d a g ，1 9 8 2 5 l a c o r b u m ，t h ec + 一a l g e b r ag e n e r a t e db y a n i s o m e t r y , b u l l a m e r m a t h s o c ，1 3 7 ( 1 9 6 7 ) 2 1 1 - 2 1 7 6 】i c g o h b e r ga n dn j k r u p n i k ，t h ea l g e b r ag e n e r a t e db yt o e p l i t z m a t r i c e s , f u n c t i o n a la r i a a p p l ，3 ( 1 9 6 9 ) 11 9 1 2 7 7 】r g d o u g l a s ，b a n a c ha l g e b r at e c h n i q u e si nt h et h e o r yo f t o e p l i t z o p e r a t o r s ，r e g i o n a lc o n f e r e n c es e r i e si nm a t h e m a t i c s ，a m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 15 ( 19 7 2 ) 【8 】s a x l e r , s u b a l g e b r a so fl ”，d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n ，ik i v e r s 时o f c a l i f o r n i a ，b e r k e l e y , 19 7 5 9 】9 p a m e l a g o r k i na n dd z h e n g , e s s e n t i a l l yc o m m u t i n gt o e p l i t zo p - e r a t o r s ，p a c i f i cj o u r n a lo f m a t h e m a t i c s ，v 0 1 1 9 0 ，n o 1 ，1 9 9 9 1 0 k u n y u g u oa n dd z h e n g , e s s e n t i a l l yc o m m u t i n gh a n k e la n d t o e p l i t zo p e r a t o r s ，p r e p r i n t 7 s u m m a r y a g r e a td e a lo fr e s e a r c h e sh a sb e e nd o n et ot o e p l i t za n dh a n k e lo p e r a t o r so nd i f f e r e n t i a ls p a c e s i n1 9 8 9 ，d z h e n g ( 1 ) h a sp r o v e d t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s i t yc o n d i t i o no f t o e p l i t zo p e r a t o rt ob ec o m - p a c ta so nb e r g m a ns p a c e i n2 0 0 1 ，y ut a oa n ds u ns h a n l i ( 2 ) h a d i m p r o v e dt h er e s u l to nw e i g h t e db e r g m a ns p a c e i n1 9 9 8 ，s h e l d o n a x l e ra n dd z h e n g ( 3 ) h a dr e s o l v e dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s i t yc o n d i t i o nf o rc o m p a c t n e s so fo n eo p e r a t o ra st h ef i n i t es l a m so ff i n i t e p r o d u c t so ft o e p l i t zo p e r a t o r s i1 9 8 2 ，p r h a l m a s ( 4 ) h a do b t a i n e d t h es u f f i c i e n ta n dn e e e s s i t ) rc o n d i t i o nf o rc o m p a c t n e s so fc o m m u t a t o r 功名】，a sf a n d ga r ei nh a r d ys p a c e i n1 9 6 7 ，l a c o b u mg i v e n t h ef o l l o w i n gr e s u l t ( 5 ) ：c o m m u t a t o r 巧，财i sc o m p a c t ，i f feco r g c , w h e r eci st h es e to fc o n t i n u o u sf u n c t i o no n u n i tc i r c l et i n 1 9 6 9 ，i c g o h b e r ga n dn j y , l r u p n i kh a do b t a i n e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ec o m m u t a t o r 【巧，t g l ( 6 ) i sc o m p a c t i n1 9 7 2 ，r g d o u g l a s h a do b t a i n e dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rc o m m u t a t o r 巧，砌( 7 】) i s c o m p a c to nq c l e v e ls e t i n1 9 7 5 ，s a x l e rh a do b t a i n e dt h es a m er e s u l tw h e nc o m m u m t o r 巧， o i le a c ha n t i s y m m e t r i cs e to fe a c h 日。+ c ( 8 】) 。 i n19 9 9 ，e g o r k i na n dd z h e n gh a do b t a i n e dt h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s i t yc o n d i t i o no fc o m m u t a t o r 巧，嘲i sc o m p a c to nb e r g m a n s p a c e ( 9 ) ： t h e o r e m1f o re v e r yf , g l ”f d ，删) ，c o m m u t a t o r 【巧，嘲= t 0 f 一，i g i sc o m p a c t ，i f a n do n l y i f 驴i f , 翻n 旷阢朗f1n i 。i + i b l ，o n e a t + b g ，a f + 垌旷+ e 8 t h e o r e m2 f o re v e r yf , g l 。，a a ) ，e o m m u t a t o r 【巧，列= t f t 蠢g i sc o m p a c t , i f a n do n l yi f f o re a c hs u p p o r t s e ts ，o n eo f t h ef o l l o w i n gs a t i s f y 堍： ( a ) i s ，剧s r z 严k ( b ) j q s ，吾b 日”i s ； ( c ) t h e r ee x i s tt w on o tb o t hz e r oc o n s t a n t sa ，b ，s u c ht h a t ( q 厂+ b g ) l s ，o f + 6 国s 日”k i n2 0 0 1 ，k u n y ug u oa n dd z h e n gh a do b t a i n e dt h ec o n d i t i o no f c o m m u t a t o r 巧，】i sc o m p a c t ( 1 0 ) o nb e r g m a ns p a c e t h e o r e m3f o r e v e r yf , g l 。，d a ) ，c o m m u t a t o r 巧，皿】_ h f f t ，h g i sc o m p a c t ，i fa n do n l yi f 旷圆n 阢，( 厂一j o g fm p o 旷盼豫，+ ，朋旷e t h e o r e m4 f o re v e r y f , gel ”，d a ) ，c o m m u t a t o r 【巧，矧= h 毋f t f h g i sc o m p a c t ，i fa n do n l yi ff o re a c hs u p p o r ts e ts o n eo f t h ef o l l o w i n gs a t i s f y i n g ： ( a ) g l s hi s , ( b ) 门s ， i sa n d c 厂一f ) g l sa r e i n 乒严i s ； ( c ) t h e r e i san o n z e r oc o n s t a n t i s ，s u c ht h a te l + , i s g ) l s ，+ i s a n d f ：q sa r ci n 俨k t h em e t h o d su s e di nt h i sp a p e ra r eb a s i c a l l yt h es a m et h o s e u s e di n ( 9 ， 1 0 】) i n ( 【9 】) ，d z h e n g sm a i nr e s u l ti st h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s i t yf o rc o m p a c t n e s so f p r o d u c t so f t o e p l i t za n d h a n k e io p e r a t o r s i n ( 1o 】) ，t h em a i nr e s u l ti st h ep r o p o s i t i o no fe s s e n t i a lc o m m u t a t o r u s et h es a m em e t h o d s ，w eh a v ei m p r o v i n gt h er e s u l to nw e i g h t e d b e r g m a ns p a c e 9 p r e l i m i n a r y l e td ad e n o t et h el e b e s g u ea r e am e a s u r eo nt h eu n i td i s kd n o r m a l i z e ds ot h a tt h em e a s u r eo f de q u a l st o1 ，a n df o r ( - 1 ，c o ) ，l e t d a 口d e n o t et h em e a s u r e 洲。( z ) = ( 1 + ( 1 一i z l 2 ) 。枷 f o rp 1 ，c o ) ，w ed e n o t el p ，d a 口) i st h es e to fp m u l t i p l ep r o - d u c i b l e f u n c t i o n o n u n i t d i s k d ，a n d n o r m e d a s i b = ( 丘l f ( z ) l p d a a ) ；， ( d ，正4 口) w h e n 口= 2 , l 2 a ( d a 口) i sah i l b e r ts p a c e ，a n dt h ei n n e r p r o d u c ti s = ( 丘甜珊口( z ) ) ，f o ru ，v 三2 ，d a 。) 鹾，d a 。) i st h ec l o s e ds u b s p a c eo fa n a l y t i cf u n c t i o ni nl p ( d ，d a 口) ，w ec a l li t w e i g h t e d b e r g m a ns p a c e ，f o r c o n v e n i e n t ，w e d e n o t e 理( a a 口) a s 髓，姒0 w h e n 0 ，t h e nl p ( a a 口) i st h eg e n e r a lb e r g m a ns p a c e f o rp22 , t h e r ee x i s t s ap r o j e c t i o nf r o ml 2 p ，d a 口) t ol ：( a a 口) ，s u c ht h a t r ( 严d ( z ) = f 岛( z ，w ) f ( w ) d a 。( w ) d d f o r f l 2 ，d a 。) 鼍( w ) i st h er e p r o d u c i n gk e r n e lo f l 2 ( d a 。) ，i e l 2 a ( d a 。) i sa r e p r o d u c i n gk e m e lh i l b e r ts p a c e ，a n d l 霹( w ) 2 不亳河 s o ，f o re a c hf l 2 ( d ，d a 口) ，w eh a v e f 嗡= l e t 三芋，d a 。) d e n o t e t h eb a n a c hs p a c eo f e s s e n t i a l l yb o u n d e d f u n c t i o n s f o rf l ” ，d a 口) ，w ed e f i n e dt o e p l i t zo p e r a t o rr ；w i t h s y m b o lf o nl ：( a a 。) b y ： 丁弘= ) ，v h l ( a a 。) 1 n a n dw ed e n o t eh a n k e lo p e r a t o rw i t hs y m b o lf b y ： 研五= ( 1 一p 勺c 肪) ，y h 鹭( 姒。) b e f o r es t a t i n go u rt h e o r e m , w en e e dt oi n t r o d u c es o m en e c e s s a r yr i o - t a f i o n f o re a c hzi nt h eu n i td i s kd ，l e t 蟛b et h en o r m a l i z e dr e p r o d u c - m g k e r n e la t z ： = 警= 潜喾，v w m a n d 忱b em em r b u st l , a n , ；f o r m ： 忱( w ) = f z - - 丽w i te a s yt os h o w 忱。纯i st h ei d e n t i t yf u n c t i o no nd a n d 仡( o ) = z ，忆( z ) = 0( 1 ) ，也槲= 学 f o rz d ，l e t 叼：髓( 删口) _ r ( a a 。) b et h eu n i t a r yo p e r a t o rd e f i n e d b y ( u h ) ( h ) = 八忱( w ) ) 蟹 l e m n ：t a ( 2 ) 叼i s as e l f a d j o i n tu n i t a r yo p e r a t o ro n l ：( d a 。) ，f o r a l l z d t h eb e r e z i nt r a n s f o r mo f af u n c t i o nf l j ( d a 口) i st h ef u n c t i o n f d e f i n e d o n d b y ： 韵= = ff ( z ) l 嘭1 2 d a 。 i np a r t i c u l a r , i tf o l l o w sf r o mc h a n g e o f - v a r i a b l ef o r m u l a ，w eo b m i n fh ( o z ( w ) ) d a 。= f 矗( 妒。) l 酵1 2 d a 。( w ) dj d o b v i o u s