（基础数学专业论文）置换群（psl（3p）a6）的次轨道结构.pdf

摘要 一个有限传递置换群的点稳定子群的轨道称为该群的次轨道，决定一个置换群 的次轨道结构是置换群理论的基本问题之一，它在组合结构的研究中有着重要的应 用然而次轨道的决定是一个非常困难的问题，它依赖于人们对抽象群本身结构的了 解和一些组合方法的应用在近几年发表的不少文献论文中，人们对单群p s l ( 2 ，p ) 的有关本原置换表示做了大量的工作，但对于单群p s l ( 3 ，p ) 的有关本原表示的结 果却知之甚少在文【1 4 1 中，作者决定了p s l ( 3 ，p ) 关于极大子群a 6 的本原置换 表示的次轨道，其中p 三l ( m o d1 8 0 ) ，但未研究其次轨道的配对情况本文将决定 其中的大部分次轨道的配对情况 关键词；线性群，次轨道，自配对次轨道 a b s t r a c t t h eo r b i t so ft h ep o i n ts t a b i l i z e ro faf i n i t ep e r m u t a t i o ng r o u pa r ec a l l e dt h e s u b o r b i t so ft h ep e r m u t a t i o ng r o u p t h ed e t e r m i n a t i o no ft h es u b o r b i t so fap e r - m u t a t i o ng r o u pi 8o n eo ft h eb a s i cp r o b l e m si nt h ep e r m u t a t i o ng r o u pt h e o r y i t p l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fc o m b i n a t o r i a ls t r u c t u r e s h o w e v e r ，s u c ha p r o b l e mi sv e r yd i f f i c u l ti ng e n e r a l ，a n di td e p e n d sh e a v i l yo nt h eu n d e r s t a n d i n go f a b s t r a c tg r o u p sa n dt h ea p p l i c a t i o no fc o m b i n a t o r i a lt o o l s 拍w e l l r e c e n t l y , al o t o f r e s u l t sh a v eb e e na p p e r a e dd e a l i n gw i t ht h es i m p l eg r o u p sp s l ( 2 ，p 1 a sf o rt h e s i m p l eg r o u p sp s l ( 3 ，p ) ，s u c hr e s u l t sa r eq u i t er a r e i n 【1 4 ，w a n gd e t e r m i n e dt h e s u b o r b i t so ft h ep r i m i t i v ep e r m u t a t i o nr e p r e s e n t a t i o no ft h es i m p l eg r o u p sp s l ( 3 ，p ) r e l a t i v et oi t sm a x i m a ls u b g r o u p sa sf o rp 三l ( m o d1 8 0 ) b u ts h ed i dn o td e a lw i t h t h ep a i r e ds u b o r b i t so ft h e s es u b o r b i t s i nt h i st h e s i s ，b a s e do nw a n g sr e s u l t s ，w e s h a l la j m o s td e t e r m i n et h es e l f - p a i r e ds u b o r b i t so ft h e s es u b o r b i t s k e y w o r d s ：l i n e a rg r o u p s ，s u b o r b i t s ，s e l f - p a i r e ds u b o r b i t s i i 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 秋毫唧 日期：砌年乒月2 1 0 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定 学位论文作者签名：烈欠舻柳 i f i 期：凇晦q - 月2 - 0 日 1 引言 设群g 是有限集合q 上的传递置换群对任意口0 ，令( k = 扫gi = 口 是g 关于点口的稳定子群我们称g 。在q 上的轨道为g 的次轨道，其中称 口) 为平 凡的次轨道，而次轨道的个数称为置换群g 的秩对任一次轨道，设p = 舻a ，则把 卢= 矽所在的次轨道称为与配对的次轨道当二者重合时，称其为白配对的 决定次轨道是置换群理论中一个最基本而且非常重要的问题之一见【4 ，1 0 ，1 6 1 次轨道 理论的重要性还来自它在组合结构中的应用事实上。群论特别是置换群理论的发展是与它在 有关对象上的作用密切相关的 本文的工作是关于决定本原群的次轨道理论方面的从历史上来看，p s l ( 2 ，矿) 的极 大子群在1 9 0 1 年被d i c k s o n 3 1 决定这个群论早期的著名的结果近年来被人们成功地应 用于对称图的研究中这些工作的实质就是研究该群的本原置换表示的次轨道结构而对于 p s l ( 3 ，p n ) ，其极大子群早已被确定，其中p 是奇数的情况由m i t c h e h l 8 1 完成、p = 2 的情 况最早由h a r t l e y 7 】完成，后来s u z u k i 1 l 】又给了新的刻画1 9 6 5 年，b l o o m 1 】用群表 示论的方法，对p 是奇数的情况重新给出了结构更加简洁的刻画利用b l o o m 的结果，我们 将系统的决定p s l ( 3 ，p ) 关于其极大子群的置换表示的次轨道结构而本文是这个系列工作中 的一个组成部分文【1 3 】决定了p s l ( 3 ，p ) 关于极大子群p s l ( 2 ，7 ) 的次轨道结构；文f 1 4 】 决定了p s l ( 3 ，p ) 关于极大子群p s l ( 2 ，9 ) 兰a 6 的次轨遭结构；文【1 5 决定丁p s l ( 2 ，p ) 关于次极大子群4 5 的次轨道结构除第三项工作外。前两项工作中只确定了相应置换群的次 轨道但未决定次轨道的配对情况本文将在文1 1 4 l 的基础上，进一步确定其次轨道的配对情 况由于计算难度比较大，本文未能确定次轨道的点稳定子为磊，磊，易以及正则次轨道的配 对情况，希望在以后的工作中将它完成为了方便，我们只对p 三l ( m o d1 8 0 ) 的情况来讨 论，其余情况类似 下面叙述本文的主要定理 定理1 1 设g = p s l ( 3 ，p ) ，其中p 三l ( m o d1 8 0 ) ，a 6 兰l g ，q = ( l gig g ) 考虑g 在q 上的右乘置换表示，其次轨道结构分别由下表给出在表中，j “表示次轨道的 点稳定子群( l 的子群) i 如表示次轨道的长度；x i 和玑分别表示对应次轨道和自配对次轨 道的个数； 1 表一 t噩 茹tx i 执 k 4 t + 2 r l “( )4 t + 2 町“g ( 舻) 1 s 2 1001 5 2 s 2 1oo1 5 ， 鸳 1oo6 彳a f 1oo 6 5 a 1ll3 0 疗 硝 11l3 0 7 ( 历z 3 ) ：五 1111 0 8 ( 磊忍) ：z 4 22o2 0 9 磊磊 o004 0 1 0 d t o 型醴 13 6 1 1 d 8 掣型 34 5 1 2 d 0 兰业 16 0 ， d i 翌二丝婪三型 16 0 “ z 4 芝= 塑7 4 = 1 2眭箸堂 = 旦 9 0 1 5 d 芝二1 2 ! 芝= 业12 = 旦 9 0 1 6 d 2 芝! e !芝= 坠!出生 9 0 4 上表中的以两栏请参阅文 1 4 1 在下面的第二节中，我们给出一些预备知识；在第三节 中，我们完成主要定理的证明本文中讨论的群以及群作用的集合都是有限的有关群论和鼍 换群的有关术语，请参阅【2 ，4 ，6 1 2 2 预备知识 定义2 1 设q = n ，卢，y ，是一个非空集合，其元素称为点s h 表示q 上的对称群。所 谓群g 在q 上的一个作用妒指的是g 到的一个同态，即对g 的每个元素x ，对应q 上的一个变换v ( x ) ：n _ 矿，并且满足 ( 口2 p = o 岁，z ，y g ，n q 如果e r 妒= 1 ，则称g 忠实地作用在q 上，此时。可把g 看作q 上的变换群而如果 k e r 妒= g ，则称g 平凡地作用在n 上 定义2 2 设群g 作用在集合n 上。则对每个o l q ， g 。= 扛e g i 矿= n 是g 的子群，称为点0 l 的稳定子群并且对任意的y g ，g 。，= y - l g 。y 定义2 3 设群g 作用在集合q 上，在q 上规定一个关系验j 对于任意的口，口q ， q 跣卢 = = 事3 9 g s t o l g = 卢 则关系狞是q 上的一个等价关系对于关系验的等价类叫做g 在q 上的轨道一个轨道 包含元素的个数叫做该轨道的长对于n q ，令7 = 掣b g ，则a g 是包含口的 一条轨道如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的作用是传递的否 则，称g 在q 上的作用是非传递的 注2 4 设h g ，q = 砌b g ) 定义g 对q 的作用为右乘作用 ( h g ) 。= h g x ，h g ，h g x q ，g ，z g 显然的，这样定义出g 对q 的一个作用 命题2 5 设g 作用在集合q 上，g 的稳定子群g 。，o eeq 在q 上作用的轨道叫做g 的 次轨道当g 传递作用在q 上时，g 。的次轨道个数称为g 的秩 3 命题2 6 【9 】设群g 传递地作用在集合q 上，令h = g 。，q 0 若对于k g ，至少有 个耳的g 一共轭为日的子群，进一步设包含在中的k 的g 一共轭集合在日中形成t 个共轭类，其代表为k t ，k 2 ，凰则k 稳定q 中的点的个数为皂ll n o ( k f ) ： k ( 鲍) l 命题2 7 【1 6 ，t h e o r e m1 6 4 】设g 是q 上的传递置换群，是g 的一个对于。的次 轨道令卢a 则a 自配对当且仅当存在g g 使得其对调。和卢 注2 8 在命题2 7 中，必有9 2 g ( n 一) ，g n g ( g c 。一) ) 命题2 9 【1 5 】设g = p s l ( 3 ，p ) ，( p 三l ( m o d6 0 ) ) ，令h = g 。= a 6 ，q = h 9 1 9 g ) ，k 5 是个奇素数，则p s l ( 2 ，p ) 的极大子群是； ( 1 ) 一类名：z 犁； ( 2 ) 一类b 一1 和一类i ) p + 1 ； ( 3 ) p 7 ，1 1 时b 一1 是极大子群；p 7 时岛+ 1 是极大子群 ( 4 ) 当p 三：e l ( r o o d1 0 ) 时，有两类a s ； ( 5 ) p 兰4 - 1 ( r o o d8 ) 时，有两类& ； ( 6 ) p = 3 ，1 3 ，2 7 ，3 7 ( m o d4 0 ) 时有一类a 4 推论2 1 4 在a 6 掣p s l ( 2 ，9 ) 的子群中，有 ( 1 ) 两类极大子群s 4 ，记为甜和筲； ( 2 ) 两类极大子群a 5 ，记为a 争和a 芋； ( 3 ) 一类极大子群( z j 历) ：z 4 ； ( 4 ) 一类子群d s ，一类子群d l o ； ( 5 ) 两类a 如记为a 和a 在下面命题2 1 5 中，令g = p s l ( 3 ，p ) ，h 表示g 的任意子群，a h 表示h 在 g = s l c s ，p ，中的逆象并且乳= ( 喜虽! ) ，i u i = 3 命题2 1 5 【1 】设p 3 ，5 ，如果日掣p s l ( 2 ，9 ) 竺4 6 ，则 a h = ( a h ) ；日鸵型a e ，( ) 5 并且“) 式唯一的决定了a h 的结构当p 三l ( m o d1 8 0 ) 时，这样的a h 存在且日 是 h o ，瓣， 的子群，日j = z 曰 皇p s l ( 2 ，5 ) ( 郎a s ) ，其中 b = ( t 乏i 。) ，t = ( 言：三) ，”= ( 言三：) t 满足方程4 t 2 2 t 一1 = 0 z 3 = 1 叩并且在同构映射咖下，日。是a 5 的象，定义 如下：( 3 4 5 ) b ，( 1 3 ) ( 2 4 ) _ t 通过以有 ( 2 3 4 ) _ ( 1 2 ) ( 3 4 ) - - + x ，( 1 2 3 ) - - - + k s = ( ；i ：) ，x = ( j 三) ，y = ( 虽三5 ) 命题2 1 6 ( 1 4 1 设g = p s l ( 3 ，p ) ，l = a 6 ，磁l ，则k ；在g 及l 中的正规化予 g ，l ，及( 甄) 如表二所示；注其中d 表示s l ( 3 ，p ) 的对角子群，d 表示g = p s l ( 3 ，p ) 的对角子群 表二 l 拖肌( 匠)n g ( 甄) 1 s 2s 2s 2 2 s 2s 2s 2 3 a a 拿a p 4 a fa 宇a f 5 甜s 量z a ：& 6 a 拿s 2 磊：, 9 4 7 ( 磊z 3 ) ：z 4( 磊磊) ：历( z 3 历) ：q b 8 ( 磊xz 3 ) ：z 2( z 3xz 3 ) ：z 4( z 3 z 3 ) ：s l ( 2 ，3 ) 9 z 3 历( 磊x 磊) ：z 4( 历x 忍) ：s l ( 2 ，3 ) 1 0 d l od 1 0 ( d t o 磊一1 ) 忍 1 l d sd s( d 8xz p 1 ) 忍 1 2 d 分d 2( d 6 乙一1 ) 磊 1 3 d gd 2( d 6 磊一1 ) 磊 1 4 五d 8d ：历 1 5 d 2s t d ：氐 1 6 d fs t d ：s a 6 3 主要定理的证明 在本节中，我们证明定理1 1 - 以下总设g = p s l ( 3 ，p ) ，其中p 三1 ( m o d1 8 0 ) ，a 5 掣 l g ，q = ( l gi 夕g 由于本文不考虑点次轨道的稳定子群为z j ，磊，历和正则的 次轨道，我们取l 的除去磊，磊，汤的所有非平凡子群共轭类的代表为：k l = 砑，k 2 = 砰，配= 管，甄= 雒，玩= 础，风= 智，玛= 旧历) ：五，风= ( 历历) ： 磊，硒= ( 磊磊) ，k t o = d t o ，k l l = d s ，k 1 2 = d 乎，k 1 3 = w ，k t 4 = z 4 ，k 1 5 = i 垮，1 6 = z 垮在共轭意义下，不失一般性我们可以假设以上子群问存在自然的包含关系， 例如甄k 2 等因为每一个次轨道就是l 的轨道，而次轨道中点在上中的点稳定子必 是l 的子群，即为上面的某个甄的共轭研，g l 另外我们注意到两点：其一、如 固定一个次轨道中的点卢，则甄固定该次轨道中的点伊；其二如子群j 固定一个点， 则托的所有的子群也固定这个点因此，我们可以通过利用命题2 6 来计算蚝的不动点个 数来确定所有的次轨道而这个过程应该是先由短的次轨道( 其l 稳定子群大) 到长的次轨 道( 其l 稳定子群这样，我们以下自然地按照尬( 1si 1 6 ) 的情况分八小节来证明令 k = 器则l l = 1 2 = 1 5 f 3 = f 4 = 6 f 5 = l e = 3 0 ，1 7 = 1 0 、f 8 = 2 0 2 9 = 4 0 ，f 1 0 = 3 6 i i i = 4 5 ，f 1 2 = f 1 3 = 6 0 ，f 1 4 = 9 0 、l l s = 9 0 、f 1 6 = 9 0 相对 于，我们用表示k 的不动点数；分别用甄和执来表示长屯的次轨道和自配对次轨道 的个数由注2 1 0 ，本文讨论的作用都是在b ( 甄) 关于l ( k ) 的右陪集集合上的作用 3 1 长为1 5 的自配对次轨道 引理3 1g 没有个长为硝的自配对的次轨道，即虮= 0 ，抛= 0 证明因为对于每一个长为1 5 的次轨道，其点的稳定子群必为k i = 甜或k 2 = 蹭， 二者讨论完全一样，我们只对k i = 甜的情况进行考虑由命题2 7 和注2 8 知，长为 1 5 的次轨道为自配对当且仅当g ( k 1 ) 有元寮z 对调n 和k t 含在该次轨道的一个不 动点，而且z 2 k i 为此，我们考虑n o ( k l _ ) 在k 1 的不动点集合f 上的作用因为 g ( k 1 ) n l = v l ( 蜀) = k t ，所以该作用的点稳定子为k t ，这样y l = 0 口 3 2 长为6 的自配对次轨道 引理3 2g 没有长为6 的自配对的次轨道，即蜘= 0 ，i 4 = 0 7 证明对于长度为6 的自配对次轨道个数的证明与第一节的证明完全类似，于是可得y 3 = 0 y 4 = 0 口 3 3长为3 0 的自配对次轨道 引理3 3g 有1 个长为3 0 的自配对的次轨道，即y a = 1 ，y 6 = 1 证明因为对于每一个长为3 0 的次轨道，其点稳定子群必为蚝= a s 或k 6 = a f 二 者讨论完全一样，我们只对蚝= a 的情况进行考虑我们已经知道0 ( a ) = z 3 ： 甜，n l ( a 2 ) = 甜由命题2 7 和注2 8 知，长为3 0 的次轨道为自配对当且仅当舀( 蚝) 有元素z 对调。和耳5 含在该次轨道的一个不动点，而且矿编，但z 不是( 甄) 的 元素下面首先找满足条件的z 的个数，然后确定舶又由命题2 9 ，g ( 甄) 在l 的陪集集 合上的作用等价与它在j v l ( 蚝) 的陪集集合上的作用，所以若z l 与z 2 都满足条件，可通过 判别g l z i l n l ( 恐) 来验证二者是否把。映成同一个k 5 的不动点求出这样的不动点 后，我们再通过求出每个次轨道里含玩的不动点数来确定自配对的次轨道个数以后每小节 里都用这样的方法来讨论，我们不再重复说明 首先通过分析v b ( 1 4 5 ) = f ：砑中的元素形式，这里f 竺z j ，可以看出z 不能是黠 中的元素若z f ，则护f 不在琏中，故x 也不能包含在f 中这样我们可以假 设z = h k ，h f k 掣，h ，k 1 由于f 在n g ( k 5 ) 中正规，我们有h o = h 或 h o = h 若h k = h ，则z 2 = ( h k ) 2 = h 2 k 2g k 5 这种形式的x 不满足条件因此下设 h = h 一1 则茹2 = ( h k ) 2 = h k h k = k h - 1 h k = k 2 k i 又h c a ( k i ) ，kgk 5 中 取z l = h 。k t ，x 2 = h 4 k 2 ，这里i = 士1 则z l $ = h k l k 2 - 1 h 一1 = 自l 筒1 鲍，即 z l 与如把q 映成同一个k 5 的不动点这样我们只需考虑x l = h k i 及x 2 = h - 1 k 2 的情 况此时，x 1 2 ：2 - 1 = h k l k a - - 1 h - 1 = h 2 k l k 7 1 k 5 ，即墨l 与铂把o l 映成不同的甄的 不动点于是有两个可对调的不动点代表元，而每个次轨道中有j b 的i n l ( a ) ：a 拿i = 2 个不动点，于是只有一个长为3 0 的自配对次轨道，即y 5 = 1 同理可得舶= 1 口 3 4长为1 0 的自配对次轨道 引理3 4g 有1 个长为1 0 的自配对的次轨道，即y 7 = 1 证明因为对于每一个长为1 0 的次轨道，其点的稳定子群必为i t = ( z s z 3 ) ：z 4 ，又 g a ( 肼) = 涵z 3 ) ：q 8 ，帆( 玛) = 历) ：五，j n a ( k 7 ) ：帆) l = 2 ，长 8 为i 0 的次轨道自配对当且仅当j v g ( k 7 ) 有元素z 对调a 和j 臼含在该次轨道的一个不动 点，而且妒硒为此，我们考虑g ( k 7 ) 在j f 7 的2 个不动点集合i 、上的作用因为 ( k 7 ) nl = 帆( 玛) = k 7 ，所以该作用的点稳定子为坼，这样n g ( k t ) i k 7 笺易忠 实正则的的作用在r 上又因为历只有一个对合，故b ( k 7 ) 中有且仅有一个元素来对调 n 与其余的一个不动点换句话说，y 7 = 1 口 3 5 长为2 0 的自配对次轨道 引理3 5g 没有个长为2 0 的自配对的次轨道，即蜘= 0 证明因为对于每一个长为2 0 的次轨道，其点的稳定子群必为k 8 = ( 历z j ) ：z j ， 又g ( 娲) = 慨z 3 ) ：s l ( 2 ，3 ) ，眈( 蚝) = z 3 ) ：z 4 ，同配，甄的分 析，我们找$ o ( 凰) = ( 磊历) ：s l ( 2 ，3 ) ，茹2 j 岛= ( 历磊) ：历，且z 不在 帆( k s ) = ( 磊历) ：历中，若z ( 历z 3 ) ：醌，则z 对调口和( 邑历) ：勿的不动 点，于是z 不能是( z 3 z 3 ) ：q 8 中的元素，下面分析v 0 ( ) = ( z j z 3 ) ：s l ( 2 ，3 ) 中的 元素 又s l ( 2 ，3 ) = q s ：磊，即 r g ( j b ) = ( 磊历) ：s l ( 2 ，3 ) = ( 磊磊) ：( 仇：磊) ， 分下面四种情形讨论； ( 1 ) z 历ss l ( 2 ，3 ) ； ( 2 ) z ( q 8 ：磊) 忍； ( 3 ) z ( 磊历) ：( q 8 ：磊) ( 历磊) ：q 8 ； ( 4 ) ( 历z 3 ) ：忍 注意到对于( 1 ) 中元素z l 与( 4 ) 中元素2 * 2 ，z l z i l ( 忍历) l ( 甄) = ( 忍历) ： 蜀于是( 1 ) 中元素与( 4 ) 中元索对应的不动点相同，同理对于( 2 ) 中元素$ 1 与( 3 ) 中元素 z 2 ，l z i l z j 磊_ l ( 编) = ( 历历) ：z t ，说明( 2 ) 中元素与( 3 ) 中元素对应的 不动点相同于是我们只需分析( 1 ) 中元素与( 2 ) 中元素即可 对于( 1 ) 中元素z ，有z 忍s l ( 2 ，3 ) ，z 2 e 磊s l ( 2 ，3 ) ，z 2 垡( 历磊) ：易 中，于是不存在元素对调。和( z j 历) ：z j 的不动点 对于( 2 ) 中元素z ，有霉( q 8 ：z 3 ) 历，设互= g c ( g e ) ，护= ( g o ) 2 ，要使 z 2 ( z 3 z 3 ) ：2 j 只能z 2 z j ，于是得到舻= 1 或妒= a ，口为z j 中的二阶元，于 是茹为二阶元或四阶元，由s y l o w 定理知o q 8 ( 磊历) ：q 8 ，说明z 不能对调o t 和( z 3 磊) ：历的不动点 9 综上分析得a 和( 历历) ：易的不动点无法实现对调，于是得到y 8 = 0 口 3 6 长为4 0 的自配对次轨道 引理3 6g 没有长为4 0 的自配对的次轨道，即珈= 0 证明因为对于每一个长为4 0 的次轨道，其点的稳定子群必为k j ；z 3 历，k 9 娲，又 j v 0 ( k 8 ) = n a ( k 9 ) = ( 磊历) ：s l ( 2 ，3 ) ，说明的硒不动点全是耳；的不动点，于是 没有以硒为稳定子的次轨道，当然也就没有以它为稳定点的自配对次轨道，即珈= 0 口 3 7 长为3 6 的自配对次轨道 引理3 7g 有一个长为3 6 的自配对的次轨道，印y , o = 1 证明因为对于每一个长为3 6 的次轨道，其点的稳定子群必为k l o = d l o ，又因为g ( k l o ) = ( d l o x 乙一1 ) ：历，北( k t o ) = d l o ，i n o ( k t o ) ：帆( k 1 0 ) l = 出3 ，长为3 6 的次轨道自配 对当且仅当j v g ( k 1 0 ) 有元索z 对调d 和k l o 含在该次轨道的一个不动点，而且护k l o 为此，我们考虑n a ( k x o ) 在k t o 的2 个不动点集合r 上的作用因为n g ( k l o ) nl = n l ( k l o ) = k t o ，所以该作用的点稳定子为k t q ，这样g ( k t o ) k t o 笺兰斧型z e 善忠实 正则的的作用在r 上又因为z 生只有一个对合，故舀( 衄0 ) 中有且仅有一个元素来对调 n 与其余的一个不动点换句话说，掣l o = 1 口 3 8长为4 5 的自配对次轨道 引理3 8g 有一个长为4 5 的自配对的次轨道，即! ，l l = 3 证明因为对于每一个长为4 5 的次轨道，其点的稳定子群必为硒1 = d 8 因为 n g ( d ) = ( z ；一1 z 4 ) ：z 2 z s ，n l ( d 8 ) = d 8 ，a 6 只有一个d s 的共轭类， 砰= ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 2 ) ( 5 6 ) ，( 3 4 ) ( 5 6 ) ) ，砰= ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ) 设( 砰，砰) = d 8 ，通过命题2 1 5 的映射破我们有t 1 0 于是此d 8 在此p s l ( 3 ，p ) 中，但是此d 8 元素形式比较复杂，我们可取它的共轭使之形 肚( 瓣，) 于是 ) 的共轭中，结论是一样的下面找d 8 的共轭 1 l n g ( d s ) = ( 瓦互) ：忍，n l ( d s ) = d 8 ， ， 其中名一t = ，五= ，历= ， 我们要找z g ( 瓦) ，z 圣舰( 瓦) 且茹2 瓦 对g ( 瓦) = ( j 二五) ：历中的元素分两大类来分析： 令z 2 d 8 ，得矿= 士1 ，即a = 士1 或a = 士t 当a = 士l 时，=蕊一蕊可 这两个元素均在d s 中，稳定q 当n = - t 时，z = 1 2 其中t = 0 ，1 ，2 ，3 ， ( 言导三) d s 于是两个元素调换。后得到相同的不动点，我们可取o ；) 作为代表 ( 2 ) 当i = 1 时，。2 =( 一烈三) 令z 2 赢，得n 2 = 士t ，即8 = 士t 或n = 士t ；，于是有下列形式； ( 言曼) ，( 言 ；三；) ，( 景。；) ，( s 一兰； f1 1 墨。0 1 。0 。0 0 0t - 八0 0 一t - 于是两元素对应的不动点相同 1 = ( 6 三) 瓯 = ( j 虽三) 赢 综上c 。，中共有两个满足条件的q 且代表元为( 言吾曼) 和( j 罢。三o ) ( 3 ) 当i = 2 时，z 2 =( 。秘兰) 令妒赢，得口2 = 士1 ，即n = 4 - 1 或口= 5 ：t ，z 有下列形式 f 厕需可1 = 蕊可丽 1 3 一叭纠化 丑耍固 于是两元素对应的不动点相同 综上( 3 ) ( 4 ) 当i 令z 2 瓦，得矿= 土t ，即n = 士t 或凸= + t 4 z 有下列形式 量) ，( i 洲 于是两元素对应的不动点相同 同样( 0t t 曼0 ) ( 。1 01t10 0 oo 同样i l l 一 t l ， 于是两元素对应的不动点相同 ( 导三) 瓯 ( 导三) 巧 综上c a ，中共有两个满足条件的甄代表元为( j 虽三；) 和( 莒虽曼) ( 5 ) 确定( 1 ) 、( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 相互之间的z 对应的自配对次轨道是否相同 c ，中的i 。= 孑；_ _ | _ 歹与c s ，中的m 雨翮= 露研氤 即两元素对应的不动点相同 1 4 、 0 o r一 0 t o 0 o 0 ，il、1 o o 归o 拉0 d o = 弋、j 、一、一o o 毋 o 0 锺0 曲0 o 0 to 如0 l 0 0 ， o 牡o l o 00 如0 1 o 0 ，ili 而 、tl 。秘 c z ，中的( 言罢曼) 与g ，中的( 言吾曼) ， ( 。1 0o 。0 ) ( 0t t0 0 t t00 l t 壬 1l 即两元素对应的不动点相同 d 8 又c z ，中的( 毒。；) 与c 4 ，中的( e 三；) ， ( ；) e d e ， 即两元素对应的不动点相罚 综上( 1 ) 、( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 、( 5 ) - - f 毛4 ( i ) 中满足条件的x 有三个，代表元为 m c 。，当t = ，时，则护= 了确, x 2 e 丽 1 5 、 0 o 如 、l- 0 0 t o 硅0 l o 0 ，i_l、l， o o f o 毋o 1 o 0 ，-li、 、l， o 0 一 t0 疆o 1 o o ，ii、 0 0 d 0 硅o d o o ，ii 得到n 2 = - 4 - t ，即= 士t ；或口= 士t i ，茁有下列形式， 于是两元素对应的不动点相同 同样( 强虽) ( 言 于是两元素对应的不动点相同 一10 00 0t i + _ ， d s ， ( i 三) d s 综上c z ，中共有两个满足条件的分别为( j 曼景) 和( 言蔓；景) ( 3 ) 当i = 2 时，则铲= 令z 2 赢，得到口2 = 士六即口= 士t 或o = 士 ，于是有下列形式 丽( 言 o 1 6 、li 0 娃o ，一 、li， 0 硅o o 0 t d o 0 ，一一 、 o t o l o o t 1 o 0 ，一、l， o 硅o o o d l 0 o ，一， 、 o t 0 0 o t 1 o 0 ，li、 0 硅0 0 o d 1 0 o ，-_l、 而 、 0 疆0 o o 娃 、 l 0 t 0 0 o t 1 0 o ，it、l， 0 毋o o 0 吐 1 o o ，i、i， o t 0 o 0 旺 蔚 、l o o o 4 o 1 o 0 ，fl一 | | 、 0 t 0 0 0 d d 0 0 o o o一( 0 谚 d o o ，一 、i- 0 d 0。甜 于是两元素对应的不动点相同 同样( j萎罢) 于是两元素对应的不动点相同 o o 。、 三1 2 ) 2( 导三) d s 删h 哄有骱燃怖删为- 1 三0 。暑) 和( i 曼尝) ( 5 ) 确定( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，( 4 ) 相互之间的z 对应的自配对次轨道是否相同 c t ，中的( j ；) 与c s ，中的( i 三：) ， 1 ：三：) ( ) 1 = ( 6 詈；) 瓯 c 。，中的( i 曼毒) 与( 4 ，中的( 曼丢) ， 丽丽1 ： 两元素对应的不动点相同 ( ；) 瓯 c 。，中的( 虿0 三0 ；虽) 与c 4 ，中的( 2 ) 中的iot 苫) 与( 4 ) 中的 曩硼： d s 即两元素对应的不动点相同 综上( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 可得( i i ) 中满足条件的z 有三个，代表元为 1 7 ( i 曼洲强e ) ( 6 )确定( i ) 、( i i ) 相互之间的。对应的自配对次轨道是否相同 两元素对应的不动点相同 ，一1o 0 、 ( i 冲的【。0 譬t 1 0j d s 钿帕( 曼虽) ， 硼： 两元素对应的不动点相同 d s c - ，中的( j 虽。；) 与c z t ，中的( 吾蔓；0 ) 丽可口褥： 两元素对应的不动点相同 ( 言；：) 瓯 综上( i ) ，( i i ) 满足条件的z 有三个，代表元为 ( 言；三)f 1 13 。01 ，f 。1 墨。0 1 ， 0 0 t l 0 0 t - l 。 又i n c ( d e ) ：d 8 i = 1 即每个次轨道中只有一个不动点，有3 个自配对次轨道j p 口1 1 = 3 1 8 3 9长为6 0 的自配对次轨道 引理3 9g 有两个长为鲫的自配对的次轨道。有1 2 = l ，y l s = 1 证明因为对于每一个长为6 0 的次轨道，其点的稳定子群必为k 1 2 = z 冶或k l s = z ) 掌，二 者讨论完全一样，我们只对k 1 2 = i 髫的情况进行考虑因为g ( k 1 2 ) = ( d 6xz ；一1 ) ：忍 ，l ( k 1 2 ) = d o ，l n o ( k 1 2 ) ：l ( k 1 2 ) i = p - 3 i ，长为3 6 的次轨道为自配对当且仅当 0 ( k 1 2 ) 有元素对调口和k 1 2 含在该次轨道的一个不动点，而且铲k 1 2 为此，我们 考虑舀( k 1 2 ) 在k 1 2 的学个不动点集合r 上的作用因为舀( k 1 2 ) n l = ( k 1 2 ) = k t 2 ，所以该作用的点稳定予为k 1 2 ，这样n c ( k 1 2 ) k 1 2 皇兰搴兰z 善忠实正则的的作 用在r 上又因为z 2 量只有一个对合，故b ( k j 2 ) 中有且仅有一个元素来对调a 与其余 的一个不动点，换句话说，f 1 2 = 1 对k 1 3 = d 宇同理可得掣1 3 = 1 口 3 1 0长为9 0 的自配对次轨道 引理3 1 0g 有笆= 4 墼个长为9 0 的自配对的次轨道 证明因为对于每一个长为9 0 的次轨道，其点稳定子群必为k 1 4 = z j ，k 1 5 = 聊 或k 1 6 = d 宇 五的共轭类 ( ( 3 4 ) ( 于是 为p s l ( 3 ，p ) 的个四阶元。它的特征多项式为q 一1 ) ( a 2 1 ) = 0 特征根为1 ，t ，t 一 即 ( 5 三；) 与 于是我们可取z j = 舀( 历) = - d ：易， 乙( 五) = d 8 忍=( 吾；) 考虑$ g ( 历) = 百：汤，z 垡n l ( z , ) = d s ，z 2 五 下面我们分两种情形来讨论 1 9 一叭 一 2 i 。1 一l o 0 弱一，一， ，o - 1 b _ 1 ( 1 ) 取z = l 0 t 0 令0 2 z 4 得到 于是我们只需考虑 n b - - = 1 1 , 得到o ： m 2 = ( 。一曼) ， fa 2 = t ，f i6 2 = t ，i l ( 导三) 五 = = t = - t d 8 ( 滁；) 呱 于是满足此条件的z 有三个，为- 1 ；三) ( 2 ) 取z = 2 0 一星；) 、l o 0 6 0 o 0 r 岛 = = 铲铲ll 一 = = 铲铲 ，ljl、 “k = = 舻铲 ，【 燃喵 = = n 6 ，_fl、 l o = = 0 6 ，、【 1 2线彳= = 口6 ，(、 硅r l i = 0 6 ，、【 、 o 0 t o o 4 o o ，i、 、i o 0 d 0 t 0 t 1 0 0 ，一 、 l 0 o r o d o 1 0 0 ，-、 o o t0 硅o 1 o o ，一 、li 0 0 矗o o t 0 o 0 ，il、 0 o r一0 瞳o 0 o o ， o 硅0 d o 0 ，一 、 0 o t0 硅0 1 0 0 ， 则舻= 令$ 2 互，得到n 6 = 4 - 1 ，即6 = 口一1 或6 = 一o ， 于是z = 取m = f 丽舻蕊霭 则m n l = 于是两类之闻没有相同的不动点 取m = f 研n = 瓦甄 则m n 一1 = ( 言0 一扎量0 。) 隹风【。一一。- 1 6 ) 隹d 8 f 鞠f 耵1 = 闻 令m n 一1 d s ，得0 6 1 = 4 - 1 ，士t 确定a , b 有4 种选择，使得7 7 2 ，n 对应相同的不动 点，又由m 不能是d s 中的元素，所以这种形式中满足条件的正的个数为孕一1 = 2 = 亘4 且代表元为 同理分析。 则m 礼一l = n = 正露旺丽 令m n 一1 d s ，得0 6 1 = 士l ，士t 确定a , b 有4 种选择，使得m ，n 对应相同的不动 点，所以这种形式中满足条件的z 的个数为孚且代表元为 2 1 ( 湛；) 综上可得( 2 ) 中满足条件的七有同f 霸 ( 3 ) 确定( 1 ) ( 2 ) 相互之间的茹对应的自配对次轨道是否相同 于是( 1 ) 中的 ( 1 ) 中的 ( i ) 中的 一l 0 0 _ 一 1 o 0 与( 2 ) 中的 00 0d n 一10 ，一1 0 0 、 1 010 l 与( 2 ) 00 1 ， ( 汜；) 魁0 ) 钟m ( i 0苫。) 引2 ) 中的【。 虽。；0 ；) 与c 。，中的( 虿0窖。一女j 与( 2 ) 中的(