（基础数学专业论文）狄氏型的扰动及其对应的位势与无穷小生成元.pdf

摘要 狄氏型与半群、预解式的一一对应关系，为我们研究算子半群及其拉普拉斯变 换后得到的预解式的一些性质提供了一种便利和可应用的工具，而半群及其无穷小 生成元与微分方程之间的密切联系也让我们对随机过程有了某种更直观的认识而 有关脚l m a n - k a c 半群的研究一直以来都是数学和物理学家们共同感兴趣的研究 课题本文主要讨论与广义的f e y l l m a 一k a c 半群联系的扰动型，相应的位势及以 及广义f e y n m a n _ k a c 半群的无穷小生成元( 见图l 一3 ) 定义经符号光滑测度p 扰 动狄氏型( ，移( ) ) 及其半群得到的扰动型( ，口( 扩) ) 及广义的f e y n m a n - k a c 半 裙如下： p ( u ，口) ：= ( u ，钉) + ( “，口) p v u ，t ，d ( 占“) ，d ( p ) ：= d ( ) nl 2 ( e ；l p i ) 彤，( 。) ：= 畋 e 一群，( 五) ) ，舒，( z ) ：= 晚 e 一露，( 盔) ) ，t2o 我们的出发点是想得到像对称狄氏型一样的结果：扰动型的下半有界与广义f e y n m a n 。 k a c 半群的强连续等价然而我们发现非对称狄氏型经光滑测度扰动后的情况是相 当复杂的。具体来说连非对称无穷小生成元的谱分解以笔者的知识水平都无从谈 起不过仍然可以得到非对称情况下的广义预解方程( 见引理3 1 1 ) ，本文正是运 用广义预解方程，通过比较两个a 一过分函数的大小关系的思想，得到了有关扰动 型与相应的位势以及广义f e y l l m a n k a c 半群的无穷小生成元之间的关系 第一章，我们给出本文涉及到的基本的概念和记号，描述本文的背景以及主要 结果，并在第二节中给出一些前人的研究成果在第二章中我们证明了( ，d ( ) ) 经 光滑测度p 扰动后的扰动型( ，口( ) ) 仍是狄氏型( 见定理2 2 1 ) ，并得到职邯 即为与狄氏型( 秒，口( 扩) ) 对应的相对核( 见定理2 2 2 ) ，还得到对任意的p o ， 醒一作用在曙上类似于厶作用在位势函数吩上以及更一般的一个结果( 见定 理2 ，3 1 以及注2 3 3 ) 而在第三章中我们主要讨论符号光滑测度肛对非对称狄氏 型的扰动与对称狄氏型的情况平行，我们得到了时一( l 2 ( e ；m ) ) c 口( ”) 的充 分条件以及口( 扩) 在l 2 ( e ；m ) 中稠的充分条件( 见定理3 ，2 1 ) 而当p s 一鼠o 时，我们得出了与扰动型( ，口( 秒) ) 之间的关系( 见定理3 2 2 ) ，最后一节我 们讨论了k o t 沪类光滑测度的分析性质 i i 海南师范大学硕士学位论文 关键词狄氏型；预解式；半群；无穷小生成元；光滑测度；符号光滑测度； k a t 0 - 类的光滑测度；正连续可加泛函；狄氏型的扰动；扰动型；相对核；容度 a b s t r a c t t h et h e o r yo fd m c h l e tf o r mi sac o n v e l l i e n ta n d 印p l i c a b l em a t h e m a t i ci n 8 t r u - m e n tw h j c hm 出( e sl l st oc o p ew i t ht h eo p e r a t d rs e m i g r o u p sa n dt h er e l a t e dr e s o l - v e n t s t h e r ei sa no n et od n ec o r r e s p o n d e n c eb e 协，e e nd i r i c h l e tf o r m ，s e m i g r o u p s a n dr e s 0 1 v e n t s t h ei n t i m a t er e l a t i o n s h i pa m o n gt h es e m i g r o u p st h ei n 矗i 血e 8 i m m o p e r a 七o ra n dt h ed i 丘e r e n t i a le q u a t i o nm a l ( e su sr e c o g n i z et h es t o c h a s t i cp r o c e s s e s m o r ei n t u i t i v e l y f e y n m a n k a cs e m i g r o u ph 龉a l w a y sb e e nt h er e s e a r c hs u b j e c t w h i c hi n t e r e s t sb o 七hm a t h e m a t i c i a a n dp h y s i c ss c i e n t i s t s ht 1 1 i sp a p e rt h em a i c o n t e n t 8a r et h er e l a t i o l l s 锄o n gt h ep e r t u r b e df o 衄s ，t h eg e n e r a lf e y l l m a n k a c s e m i g r o u p b ，t h er e l a t e di 汜m e l ( o rs a yt h ec o r r e s p o n d i n gp o t e n t i a l ) a n dt h ec o r r e s p o d i n gi n 丑n i t e s i m a lg e n e r a t o r ( r e f e rt op i c t u r e1 3 ) g i v e nd i r i d l l e tf o r m ( ，口( ) ) ，w ed e f i n et h ep e r t u r b e df o m ( 扩，口( “) ) a n dt h eg e n e r a lf e y n m a n k a c s e m i 鲈o u p sp e r t u r b e db yas i g n e ds m o o t hm e a s u r e 芦a sf o u a w s ： p ( 仳，口) ：= ( ，u ) + ( “，口) p v u ，勘口( 占p ) ，口( p ) ：= 口( ) nl 2 ( e ；i p i ) 硝，( z ) ：= e z o ，t h a t a c to n ，嚣 i st h es a m ea st h a t & a c to nt h ep o t e n t i a lf u n c t i o n 傻( r e f e rt ot h e o r e m2 3 1a 1 1 d r e m a r k2 3 3 ) ；i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yd i 8 c u s st h ep e r t u r b a t i o no ft h ed i r i c h l e t f o nb yas i g n e ds m o o t hm e a s u r ep = p + 一肛一w h e r eb o t h _ “+ a n dp a r es m o o t h m e a s u r e s h e r ew e 舀v eas u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o ru “+ p ( 工2 ( e ；m ) ) c 口( 占p ) a n dw e a l s og e tas u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o r 口( l p ) t ob ed e n s ei nl 2 ( e ；m ) ( s e et h e o r e m3 2 1 ) w h e np s s k o ，w eg e tt h a tt h er e l a t i o nb e t w e e n 。【尸a n d ( p ，口( p ) ) i st h e 8 砌ea st h a tf o rt h es y m m e t r i cd i r i c h l e tf o r m ( r e f e rt ot h e o r e m3 2 2 ) ，i nt h ef i n a l 8 e c 七i o nw ed i s c u s st h ea n a l y s i sp r o p e r t i e so ft h ek a t 舢c i a s sm e a 8 u r e s k e y w d r d s ：d i r i c h l e tf b r m ；r e s o l v e n t ；s e m i g r o u p ；i n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r ；s m o o t h m e a s u r e ；k a t 0 - c l a s s ；s i g n e ds m o o t hm e a s u r e ；p e r t u r b a t i o no fd i r i c h l e tf o r m ；p e r - t u r b e df o r m ；p o s i t i v ec o n t i n u o u sa d d i t i v ef u n c t i o n a i ；c a p a c i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得海南师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的教材与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意 学位论文作者签名：硅猪查 日期 吠。，u 学位论文著作权声明 本论文作者声明t 口本论文全部成果均为本人和指导老师合作研究取得，本人和指导教师都有权 使用本成果学术内容( 有第三方约定者除外) 口本论文为指导教师指导下，本人独自完成本人独自享有本论文的全部著作 权 学位论文者签名。鲑貊查指导教师签名 日 期，垒! ! ：! ! 日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解海南炳范学院有关保留、使用学位论文的规定，即， 海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅本人授权海南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名，奎塞牺豸 指导教师签名； 日期，q z ! ! ：! ! 日 期。 第一章问题背景和基本知识 1 1问题的背景与主要结果 狄氏型源予数学物理中的经典位势论1 9 7 1 年日本的f u k u s h i m a 教授由局部 紧距离空间的正则狄氏型构造出与之相联系的强马氏过程，从此该理论迅速发展为 结合解析位势论与随机分析的数学分支但该理论的应用在无穷维分析、奇异位势 领域受到限制1 9 8 9 年以来，马志明院士与s a l b e v e r i o 教授合作在一系列文章 中突破了。局部紧”及。正则”两个限制，创造了拟正则狄氏型新框架该框架建 立了狄氏型与右连续马氏过程的一一对应关系，圆满地解决了该领域存在2 0 年之 久的难题，见【8 】近年来，狄氏型理论发展迅速，并在相关领域得到了越来越多的 应用，原因在于该理论是建立在最常用的l 2 空间上的，有着广泛的应用基础，其 次是这一理论是泛函分析和随机分析( 联系工2 空间一般位势理论的随机分析) 的 有力结合，有强有力的工具和方法在局部紧的度量空间上，正则对称狄氏型及其 与位势论以及对称马氏过程之间有着密切的联系，其研究要追溯到a b e u r i i n g 和 j d e n y ，参考( 5 1 而m f 、l k u s h i m a 等人建设性的工作【z j 对此理论做出了重要的 贡献在【3 4 1 中，m o s h i m a 研究了局部紧的度量空间上的非对称狄氏型 1 9 9 0 年s a l b e v e r i o ，马志明和m 肋c h n e r 扩展了以上结果，在一般的h a u 8 d o 行空间上 建立了拟正则狄氏型，得到了非对称的拟正则狄氏型与一对对偶的马氏过程( 或者 说胁胎紧特殊标准过程) 是一一对应的，详细内容参看( 3 2 】 在分析和概率论的许多问题及其应用中，考虑用适当的二次型( u ， ) ，= j ，( 茁) 夕( 功芦( 如) 扰动工2 ；m ) 上给定的狄氏型( ，d ( 占) ) 是十分必要的，这类问题 具有很强的物理背景，例如在量子力学的某些模型的阐释中，+ ( ，) ，给出h a m i l t o n 系统；在声学、电磁理论、热传导理论、高分子理论和一些概率模型中也经常遇到 这类问题。在这些情形中( ，) 。表示与( ，d ( ) ) 联系的过程的某种广义杀死( 这在 第二章中有论述) 我们熟知如果( ，口侈) ) 是希尔伯特空间咒上的一个( 非对称的) 强制闭型。则 有w 上的强连续半群( 噩) t ，o 强连续预解式( 驴) 。，o 以及无穷小生成元( 厶口( l ) ) 与( 占，d 够) ) 之间一一对应即如下定理【详见f 3 2 】 定理1 1 1 膨彩定理j 幺可设( ，d ( 占) ) 是希尔伯特空间爿上的一个强制闭型 1 2 海南师范大学硕士学位论文 则在希尔伯特空间咒上存在唯一的强连续压缩预解式( c p ) 。 o ，( e 扣) 。 o 使得 u 4 ) ，【严( 咒) c 口( ) 并且有 v ，咒，钍口够)厶( c ，。 t ) = ( ，t ) = 厶 ，【，o ，) ( 1 1 ) 特别地，任意，夕咒有( u 。，9 ) = ( ，驴。9 ) ，即t 对所有n o ，l r 口是护的 共轭算子如果( 正) t 2 0 和( 磊) f 2 0 分别为驴和e 陋对应的强连续压缩半群，则对 任意的， g 咒，t 0 有( 互，夕) = ( ，正9 ) 推论1 1 1 分铆推论j 2 j 刃设( ，口够) ) 和( u o ) 。 o 如定理j j j 所述，令 ，口( ) ) 是( u o ) 。 o 对应的无穷小生成元则 口( l ) c 口( ) 并且对任意t d ( l ) ，t ，口) ， ) = ( 一l u ，口) 特别地，( 1 一l ) 满足弱扇条件另外，对( 厶口( 自) 和( e ) 。 o 有同样的结论， 这里l 是( u o ) 。 o 对应的无穷小生成元 定理1 1 2 胪叼定理j 2 j 鄙设( u o ) 。 o 是希尔伯特空间咒上的一个强连续压缩 预解式，满足弱扇条件。二是其对应的无穷小生成元如果定义 任意钍，u 口( l ) ，( u ，口) = ( 一札， ) 令口侮) 是口( l ) 关于范数：7 2 的闭扩张则侈，口) ) 是希尔伯特空间咒上的 一个强制闭型并且使得 任意乱口( 二) ，钉口( ) ，有占( 口，口) = ( 一钍，t ，) 而( u o ) 。，与够，d 侈) ) 的关系与p j ，相同对( 驴o ) 。，o 有同样的结果 如果( ，口侈) ) 是对称的狄氏型，则 1 ( 札，”) 2 船( u 一砒，”) ， ( 1 2 ) 口( ) = “咒i 船( 牡一正邺) r 一( ，d 侈) ) 圈l lt 对称狄氏型与半群、预解式、以及无穷小生成元的对应关系 第一章问题背景和基本知识 3 本文主要研究由测度扰动后得到的扰动型( 扩，d ( 扩) ) 与扰动后的半群( 群) t ，o 预解式( c ，时) 。，口以及无穷小生成元( ，d ( ) ) 之间的关系，其中卢为一正的常 数 设刀为局部紧的h a u s d o r f f 空间，b ( e ) 为e 上的b o r e l 盯- 域，m 为( e ，8 ( e ) ) 上的伊有限测度，8 u p p 【m 1 _ e 设( ，口够) ) 为l 2 ( e ；m ) 上的非对称拟正则狄氏 型，伍) t o 和) t o 、( 驴o ) 。 o 和( 沪) n o 以及l 和l 分别为( ，d ( 占) ) 对应 的对偶半群、预解式以及无穷小生成元由狄氏型理论，( 占，d ( 占) ) 联系着一对右 过程( ( 五) t ，o ，( 五) 伽) ，即任意，0 既( e ) ，有正，( z ) = 只，( z ) m a e 和 噩，( 。) = 只，( z ) m 一。矗，其中( 最) t o ( 相应的( 最) t o ) 为右过程( 托) t 2 0 ( 相 应的( 兄) t o ) 的转移半群，囊如( e ) 为e 上的全部有界b o r e l 可测函数，有关狄氏 型理论的详细论述见【2 1 ，3 2 】设s 为光滑测度集，s 0 为全体有限能量积分的正的 m l d o n 测度组成的集合群，癣为r e v u z 测度是弘的正的连续可加泛函( 简记为 p c a f ) ，有关p c a f 与r e v u z 测度的一一对应关系详见【2 1 ，3 2 】或者【6 】引理1 1 和引理1 3 如果光滑测度p 满足l 抑( 0 畋 钟) 口vi i 政 掣) q ) = o ，称p 是属于 l 【a t 0 类的光滑测度( 记为p s 耳) ，这里对，留( e ) ，l i ，n 。2c 0 踽：。：器i ，( z ) i 而s o ：= p s n 岛：p ( e ) 0 强连续时，定义其无穷小生成元为t 口( ) ：= t t l 2 ( e ；m ) l l 男( 掣u 一“) 卢( 他) 有 ( 1 ) 夥。+ “，口( 扩) ，u o ，d 够“) ，v ，驴，m ) ( 2 ) 砝( u o + “，9 ) = ( ，夕) ，l 2 ( e ，m ) ，9 d ”) j 础( ，u o + 一9 ) = ( ，9 ) ，口( ”) ，9 驴( e ，m ) ( 3 ) ( u o + “ 9 ) = ( u 叶勺) ， 夕l 2 ( e ，m ) ( 4 ) ( 硝) t 0 和( 群) t o 是l 2 ( e ，m ) 上的关于m 对偶的强连续半群 得到如下关系 ( 硝) 删( 扩，d ( ) ) ( u 叶p ) 务矿一够p ，d 犯p ) ) 圈1 2t 扰动型与半群预解式的对应关系 但其中有关无穷小生成元( 沙，口( ) ) 与型( ，d ( 9 ) ) 的关系没有涉及本文 的一部分主要内容正是讨论这方面的问题，所得的结果补充和推广了文【1 ，6 】的内 容，而我们的思想主要来自【1 ，2 ，6 】 首先我们给出如下结果，此结果推广了【6 】定理3 1 1 1 ， 定理1 1 4 ，见定理只2 町设肛= 矿一p 一s s o ，工2 ( e ；m ) 若u 。， 舻( 曰；m ) ，则【厂口+ 9 ，口陋”) 若护+ 9 ，驴( e ；m ) ，更l f 护+ 9 ，d 9 ) 其次当肛s s 时，更一般的结论为 定理1 1 5 ，见定理3 2 盯设p = 矿一弘一s s ，l 2 ( e ；m ) 若u 。+ “， l 2 ( e m + p 一) ，则u 。+ ”，口( ”) 若加十“，l 2 ( 毋m + p 一) ，则驴。+ “，d ( ”) 第一章 问题背景和基本知识 5 有关无穷小生成元与扰动型之间的关系，我们得到 定理1 1 6 愿定理曼2 刃设弘= 矿一弘一s s 耳o ，则t p j 可j p t 一l ”) 一卢( p 一) ，缈刀( 三一) c 口( “) 砂“( u ，t ，) = ( 一e ，t ，口) ，任意札口( l 9 ) ，t ，d ( ”) 其中m 巾e c 一) 表示算子一的谱集的下确界 对( 弘，d ( 上产) ) 有同样的结论，这里弘是( 钟) t 2 0 的无穷小生成元 由生成元与扰动型的关系，我们得到如下定理，部分地证明了( ，d ( ) ) 是 下半有界的稠定的二次型 定理1 1 7 厂见推论只2 j ，定理只磐刃设p = 肛+ 一p 一s s k o ，则 ( 1 ) 口( 秒) 在护( 蜀哟中稠密( 2 ) ( 秒，d + ( z 产) ) 下半有界 从而我们推广了文【6 】中的结果，得到了当肛s s o 时扰动型与半群预解 式以及生成元之间的相对完整的结果如下图所示 ( 彤) ( 晟) t o ( 厶口( l ) ) ( 驴) 。 r 一( ，口( ) ) ( ，口( ) ) ( 俨) 。筇一( 秒，口( ) ) 圈1 3t 狄氏型扰动前后与半群预解式、以及无穷小生成元的对应关系 下面我们简单介绍一下有关狄氏型扰动这方面研究的历史有关狄氏型扰动及 其联系的f e y n m 姐k 半群的讨论可参考【1 ，6 ，7 ，1 0 ，3 7 ，3 8 ，4 2 】等若( 占，口够) ) 为对称狄氏型，在【1 ，7 ，2 0 ，2 3 ，3 7 ，3 8 】中对扰动型( ，d ( ) ) 有了深入的讨论， 并得到了很多深刻的结果例如。文【l 】中给出当p s 一o 时。( u ， ) = ( 一p “，口) 任意t 口( 扩) ， 口( ) ；当p = 矿一p 一s s 时，扰动型 侈9 ，d ( ) ) 下半有界与( 群) t 0 强连续等价对给定的u 口馁) ，设其拟连续版本 6 海南师范大学硬士学位论文 为矗，由轴k 1 1 s h i m a 分解得豇( 五) 一蠢( ) = 瞬+ a 其中蟛为鞅可加泛函，婵为 零能量可加泛函，由、定义的广义f e y n m a n k a c 半群掣，( 茹) ：= 甄 e 一 ，( 五) ) 在文f 7 】中，当( x t ) t o 是对称的扩散过程时，用g i r s a n o v 变换、狄氏型的扰动，h 变换的方法，作者得到了广义f i e y n m a i l k a e 半群( f ) t o 强连续的充要条件也是其 对应的挽动型下半有界这里由子a 7 ；可能是无界变差的，文| 7 】对广义f e y n m 柚 k 扯半群的讨论有了实质的改进文【1 5 ，1 6 】中，给出了一种研究对称马氏过程扰 动的一种全新的方法，同样给出了经符号光滑测度扰动后的：次型下半有界的充要 条件文【2 0 】给出了一类对称狄氏型经非对称扰动后仍是下半有界的有关非对 称狄氏型扰动的研究，近年来。许多学者也作了进一步的探讨【6 ，1 0 】如文【6 】给 出了一个( ，d ( 秒) ) 是下半有界的强制闭型以及( 掣) t o 强连续的充分条件而 文f l o 】给出t 当芦s s x o 时，半群( ，) o 是强连续的，( p 郇) 。 # 为其对 应的预解式很自然我们会想t 当p s s 时，d “) 是否可闭? d ( 扩) 在 工2 ( e ；m ) 中是否是稠密的? ( 扩，d 侈“) ) 是否仍下半有界? 广义f e y n m 柚一k 8 c 半 群( 芹) ，o ( 或者( 掣) t o ) 是否仍是强连续半群? 扰动型( ，勿( ) ) 与c ，斟p 扩之 间的关系如何等等本文对此问题做了一些探讨，给出了u o + “( l 2 ( e ；m ) ) c 口( “) 的充分条件以及口( 扩) c 口( ) 并且口( 驴) 在l 2 ( e ；m ) 中稠的充分条件，得到 了p s s k o 时，扩与扰动型( ，d ( “) ) 之间的关系在第二章中，我们给出 有关( ，移够) ) 经光滑测度p 扰动的一些结果，这些结果推广了【2 1 ，4 2 】中的两个 定理，并将在第三章中用到有关无穷小生成元的结果将在第三章中给出。这些结 果补充了【6 1 0 】的内容 1 2狄氏型简介 本文的主要概念和符号来自文【6 ，2 1 ，3 2 】在此。我们只介绍一些基本的概念 和符号已知e 为局部紧的h a u 8 d o f r 空间。口( e ) 为e 上的b o r e l 盯一代数，竹1 为( e ，8 ( e ) ) 的盯一有限测度我们以( ，) 和”舭。( e ；。) 记空间l 2 ( e ；m ) 上的内积 和范数，即 ， ( ，9 ) ：= ，p ) 口( 茁) m ( d 茁) ，9 驴( e ；m ) ，l | 川p ( 取。) ：= ( ，) 设移侈) 是舻( 曰；m ) 的线性子空间，是d 侈) d ( ) 到置的双线性映射对任 意让， d ( ) 记害( t ，口) ：= 陋( t ，移) + ( 口，t ) 】，害( 钍， ) ：= ；眵( t ，t ，) 一( ，t ) 】，我们 第一章问题背景和基本知识 7 称( 毒d ( 占) ) ，( 舍，d ( ) ) 分别为( 占，口( ) ) 的对称部分和非对称部分若占= ，则称 ( ，d ( ) ) 为对称二次型，显然= z + z 对于o o ，记厶( 札，钉) = ( “， ) + q ( t ，口) 假设( ，秒陋) ) 是非负定的二次型( 即对任意的口) ，总有( u ，钍) o ) 。 如果存在常数k o ( 称为连续常数) 使得 l 矗( 让，口) j 耳f ( t ，) 砰( 。，u ) ，vu ，u d ( 占) ( 1 6 ) 则我们称( ，口( ) ) 满足弱扇条件 定义1 2 1 对( 昂；m ) 上的非负定对称二次型( ，口仁) ) ，如果口 ) 是l 2 ( e ；m ) 的稠线性子空阍，并且侈，口侈) ) 是闭的即d 侈) 相对于范数砰是完备的) ，曼i i 称( ，d ( 占) ) 为对称闭型 定义1 2 2 如果( ，口) ) 是非负定的二次型，并满足下列条件： p ，( 幺d 陋) ) 是铲( e ；m ) 上的对称闭墅 ，纠 ，口( 占) ) 满足弱扇条件p 纠 则称侈，d 侈) ) 为l 2 ( e ；m ) 上的强制闭型 定义1 2 3 ( 五) t o 为驴( e ；m ) 上的一族线性算子，如果 以，对任意的，l 2 ( e ；m ) ，；觋0 正，一，l 。( e ；m ) 2 o 俐对任意的t ，8 o ，丑正：五十。 俐对任意的t o ， 丑l | 1 这里1 | f f 为弄子范数 则称这族线性算子佤) t o 为强连续压缩半群 定义1 2 4 设) t o 为铲( e ；m ) 上的强连续压缩半群，定义 t d ( l ) ：= p ( e ；m ) i 船( 噩u 一”) o 为工2 ( e ；m ) 上的一族线性算子，如果有 p ，对任意的，己2 ( e ；m ) ，l i m 。+ 。l l g 。，一，胪( 。) = o 俐对任意的d ，p o ，g 。一g 口= ( p o ) g 。g 口 俐对任意的a o ，l | o g 。| | 1 这里”i l 为算子范敷 则称这一族线性算子( g 。) 。 o 为铲( e ；m ) 上的强连续压缩预解式， 8 海南师范大学硕士学位论文 从前面的定理1 1 1 1 ，定理1 1 2 中，我们看到工2 ( e ；m ) 上的无穷小生成算子， 强连续压缩半群、强连续压缩预解式和强制闭型之间存在着密切联系( 事实上，它 们有1 1 对应的关系，详细参考【3 2 】) 事实上，对给定的l 2 ( e ；m ) 上的强连续压 缩半群佤) t o 对任意的，2 ( e ；m ) ，定义 ， g 。，= e 一耐正，出 j 0 则( g f a ) 。 o 为2 ( e ；m ) 上强连续压缩预解式反之，对给定的三2 ( e ；m ) 上的强连 续压缩预解式( g 。) 。 o ，我们可以证明存在l 2 ( e ；m ) 上强连续压缩半群) t o ， 使之有上式的联系这种联系亦是一一对应的这时，我们称( g 。) 。 o 是( 丑) t o 对 应的强连续压缩预解式，或者) t o 是( g 么) 。，o 对应的强连续压缩半群，而汜) c o 的无穷小生成元l 也简称为( g 。) 。，o 对应的无穷小生成元 由定理1 1 1 ，若( 正) t o ( 相应的( 霞) t o ) 是( g 。) 。，o ( 相应的( 0 。) 。，o ) 对应 的强连续压缩半群，则称) t 兰o ( 相应的) t 2 0 ) 和( g a ) a o ( 相应的( g 0 ) n o ) 是够，口够) ) 对应的半群( 共轭半群) 和预解式( 共轭预解式) 如果( 占，口够) ) 是对 称的，则在上面定理中有( g 。) 。 o = ( g 。) 。，o 以及) c o = 佤) t o 这时( ，口( 占) ) 和( 正) t o 有如下的关系t d ( ) = “l 2 ( e ；m ) ；8 u p ( t 一正t ，u ) o ，使得 ( ，) 一o b ( ，) ，对v ，d ( 占) 则称l 2 ( e ；m ) 上的二次型( ，口侈) ) 为下半有界的 定义1 2 7 设仁，d 侈) ) 为工2 ( e ；m ) 上的强制闭型如果对任意的钍d 够) 有 钍+ 1 口( ) 并且 ( 牡+ t + 1 ，让一t + 1 ) 0 ， ( t 一 + 1 ，t + t + 1 ) 0 我们称( ，d 仁) ) 为l 2 ( e ；m ) 上的( 非对称) 狄氏型 第一章问鼯背景和基本知识 9 对狄氏型( ，d ( 占) ) ，如果有g ( e ) nd 侈) 既相对于范数群在d ( ) 中稠， 又相对于一致范数i 。在q ( e ) 中稠，则称此狄氏型为正则狄氏型这里g ( e ) 为e 上有紧支撑的连续函数 设( ，口( ) ) 为工2 ( e ；m ) 上的狄氏型，fce 是e 的闭子集，令 口够) p = ，d 够) ；，1 p = om 一8 t e ) 这里，i p 表示，限制在集合p 上 定义1 2 8 0 j 设够，口够) ) 为三2 ( 毋m ) 上的狄氏型，( r ) k ! l 是曰的一列单调 上升的闭子集，如果u 2 1d ) 依范数辞在口侈) 中稠密，则称 f 七) l 为一 个一网 例有ce ，如果存在一个一网 n ) 垃1 ，使得cn l 露，则称| r 为 例外集 我们用“拟几乎处处”或者。q e 。来表示“除去一个例外集” 设x = ( q 穸，玩，以，墨，只) 是以e 为状态空间的右过程。记义的转移概率 半群为 冠，( z ) ：= 或 ，( 五) ) ，z e ，t o ，留( e ) 定义1 2 9 设( ，d 侈) ) 为驴( e ；m ) 上的狄氏型，伍) t o 是( ，口侈) ) 对应的半 拜x 是以e 为状态空间的右过程如果对任意的t o ，l 既( e ) n l 2 ( e ；m ) ， 只，是正，的m 一版本，则称x 是( 占，口( 占) ) 联系的右过程 定义1 2 1 0 设集合ace 如果对任意的茁a ，存在一个集合b 嚣( e ) 使得 曰一ac b 并且只 口百 0 ) = 1 ，则我们称集合a 为精开集所有精开集做成的 集合构成一个新的拓扑空间。我们称之为精拓扑 在所有轨道右连续的榉本空间中，容易得到所有的相对开集都是精开集所以 定义中的精拓扑比原来的拓扑要更精细一些定义相对于精拓扑连续的函数为精连 续的给定函数，留( 切如果存在一个网 r 。l ，使得对任意的n 有，i 凡 上是有界连续的则我们称，是拟连续的函数 定义1 2 1 1 设侈，口侈) ) 为工2 ( e ；m ) 上的狄氏型，如果有 p ，存在一个由紧集构成的一同 1 0 海南师范大学硕士学位论文 例存在一个口( ) 的稠子集( 相对于嚣7 2 范数) ，且其中的元素都有拟连续州 版本 ，夥存在一列函数 钍。) 。lc 勿侈) 和一个- 例外集，使得 ) n 1 分离 e 一，其中诹是的占一拟连续m 版本， 则称( ，口 ) ) 为己2 ( e ；m ) 上的拟正则狄氏型 设( ，d 侈) ) 为l 2 ( e ；m ) 上的对称狄氏型，x = ( q ，矿，舅，巩，x ，b ) 是它联 系的右过程 定义1 2 1 2 灿是e 上正的b d r e l 测度，如果它满足下面条件一 ( 1 ) 对任意的一例外集，总有p ( ) = o ( 2 ) 存在一个紧集 r h 2 l 组成的一网，使得p ( b ) 1 取) = o 则称p 为光滑测度 记全体e 上的光滑测度为s 定义1 2 1 3 设a ) 是【o ，o o ) q - + 【o ，o 。j 的非负泛函，如果 ( 1 ) 对任意的t o 。4 t 是。疚一可洲的 ( 2 ) 存在一个a 步，一个一例外集，对任意的o e ，有b ( a ) = 1 ， 对任意的t 0 ，有以aca 当u a 时，a 和) 是右连左极的函数，且 山p ) = o ，a ) o k a t 伽类与光滑测度之间有如下关系t 定理1 2 2 研定理童j j 研设p 是e 上的口d 倒副度，其i ip 是光滑测度当且仅 当存在一列单调增的紧集 r ) 。2 1 使得 ( 1 ) j 晶p 5 k o ，v n 21 ( 2 m 陋一u r ) = o ( 3 ) 对任意紧集k ，熙e 叩( k _ 晶) = o 下面我们给出h a r d y - 类的定义，这类测度也有很好的性质 定义1 2 1 5 ，w 定义3 j ，如果存在常数乳( o ，o 。) 和饥( 0 ，o o ) 使得对任 意让d 侈) 有 铭2 咖占 ，牡) + | j 站艟 j e 更i l 称光滑测度p 是三f 口r 咖类的( 记为p s 日) 注1 2 2 对于对称的狄氏型，有定理j 露7 容易得到研fc 鼢 下面给出狄氏型扰动的一些结果对于给定的符号光滑测度p = 矿一p 一 s s ，令掣一a 广一钟一类似可定义肛s 一氏。等定义( ，d 够) ) 关于p 的 扰动和广义f e y 哪8 肛k a c 半群如下t “( ，9 ) = ( ，g ) + ( ，夕) p ，g 口( ”) d ( ”) = d ( ) nl 2 ( 1 p 1 ) 彤， ) ：= e 。( e 一 f ，( 磁) ) ，t 芝o ( 1 - 7 ) 1 2 海南师范大学硬士学位论文 其中( ，9 ) 。：= 厶，( 茹) 夕( z ) p ( 如) ：= 厶，( ) 夕( z ) 矿( 如) 一厶，( 工) 9 ( z ) 肛一( 如) ，= 矿+ 弘一约定上式右面有