（基础数学专业论文）具有有限多个理想的李代数.pdf

摘要 设l 为复数域c 上的具有 先给出了l 的一些基本性质及 本文 c r 。 且( 上的幂零根基) 是工的唯一极大理想然后给出了工为非可解 李代数的结构：l = s 丰c r 丰，其中s 为l e v i 因子，五= c r q - n 为工 的根基，为工的幂零根基，且【s ，r - 0 为了说明文【4 】中有个结 论是错误的，文中给出了工不能写成l = s q - c r q - n ，且限r 】- 0 ，使得 a d r 是n 的半单线性变换的例子并由此例指出即使工具有有限多 个理想，三的l e v i 因子也可以有无穷多个接着，本文对具有结构 l = s + c r + ，【s ，r 】= 0 的李代数进行了讨论给出了当为交换幂零 根基时，工具有有限多个理想的充要条件并指出当n 为h e i s e n b e r g 代数和亚交换李代数时，对工具有有限多个理想情况的讨论完全可以 归结为为交换的情形 文中出现的幂零根基指的是李代数工的最大幂零理想z ( z ) 表示李代数二的中心 2 a b s t r a c t l e t 三b eaf i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r aw i t hf i n i t en u m b e ro fi d e a l so v e r t h ec o m p l e xn u m b e rf i e l dc f i r s t l y , t h ep a p e rs h o w ss o m e b a s i cp r o p e r t i e so f 工， a n do b t a i n st h es t r u c t u r eo f 五w h e n 工i ss o l v a b l e ：三= c r _ j - n w h e r en i l p o t e n t r a d i c a l i st h eu n i q u em a x i m a li d e a lo f 三s e c o n d l y , t h ep a l ，e l a l s oo b t a i n s t h es t r u c t u r eo f 工w h e n 工i sn o n s o l v b l e ：工= s + c r ，f s ，r 】= 0 ，w h e r es i st h el e v if a c t o r ，c r + r a d i c a l ，a n d n i l p o t e n tr a d i c a l a n d ，t os h o wt h a t a nc o n c l u s i o ni np a p e r 【4 】i sn o td g h t ，ac o u n t e r e x a m p l ei sg i 、n m f r o mt h e e x a m p l e o n ec a 矗s e et h a 七i ng e n e r a lo n ec a nn o tc h o o s er 置s u c ht h a ta d r i sas e m i s i m p l el i n e a rt r a n s f o r m a t i o no f ：a n dlm s yh a v ei n f i n i t en u m b e ro f l e v if a c t o r s e v e ni flh a sf i n i t en u m b e ro fi d e a l s f i n a l l y , t h ep a p 目s t u d i e s t h el i ea l g e b r as u c ht h a tl = s c r ；。f s ，r 1 = 0 ：w h e n i sa b e l i a n ，t h e s u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n su n d e rw h i c h 工h a sf i n i t en u m b e ro fi d e a l s a r ef o u n d a n d ，w h e n i sah e i s e n b e r ga l g e b r ao rm e t a b e l i a na l g e b r a ，t h e p a p e rs i m p l i f i e st h ep r o b l e m t ot h ee m ew h e r e i s “e l i 蚍 i nt h ep r e s e n tp a p e r ，d e n o t e st h em a x i m a l n i l p o t e n ti d e a lo f l i ea l g e b r a l ，a n dz f 三1t h ec e n t e ro fl 3 1 预备知识 定义1 1 设m 为李代数工的一个真子代数，设为工的子代数若真 包含m ，必有= 工，则称m 为l 的一个极大子代数三的所有极大子代数的 交称为三的f r a t t l n i = 代数，记作f ( 工) 引理1 1l 为有限维李代数，n 为工的幂零根基，则2 妒( ) 2n 2 其 中妒( ) 为工的含在f ( l ) 中的最大理想( 见【6 】) 定义1 2 设，为工的一个真理想，设，为五的理想，若 ，真包含j ，必 有j = 工，则称j 为l 的一个极大理想工的所有极大理想的交称为工的 j a c o b s o n 根基记作，( 上) 引理1 2 若工为特征0 域上的有限维可解李代数，则j ( z ) = 上2 ( 见【2 ” 引理1 3 若工为特征0 域上的有限维李代数，五= 舛置为其l e v i 分解， 则j ( l ) = l ，捌( 见【2 】) 引理1 4 设y 为域k 上的有限维向量空间，e n d ( v ) 为y 到自身的线性变 换的集合z e r d ( v ) ，则存在唯一的$ ，。m , d w ) ，使得z = + 。，其中 z 。为半单线性变换，。为幂零线性变换，且( 。，。】- 0 ( 见 定义1 3 在引理1 4 中，z = z + 。称为的j o r d a n 分解。分别称 为z 的半单部分和幂零部分 注记1 1 如果上为半单李代数，我们还可以引进臁j o r d a n 分解的概念 这是因为d e r ( l ) ( 上的导子代数) 中的每一个元素的半单部分和幂零部分仍含 在d e r ( l ) 中而且d e r ( l ) = a d l ，z ( z ) = 0 故三一a d 三是一一对应的每一个 元素z 工唯一决定了。，n 二，使得a d z = a d s + a d n 为通常的j o r d a n 分解由 此可得。= 。+ n ，且【。，n j = 0 ，。是n d 一半单的( 即a d s 是半单的) jn 是a d 幂零 的，称为z 的抽膏巴j o r d a n 分解由定义我们可以看出有抽象j o r d a n 分解的李代 数必须具有很强的条件文【4 】中恰恰是忽略了这一点丽导致出现错误 。 定义1 4 李代数二的任一内导子d 有j o r d a n 分解：d = d + d 。，其中 d 。，d 。分别d 的半单部分和幂零部分，若d ，d 。均为工的内导子，则称工为可 裂李代数 4 定义1 5 设a ，b 与工均为域k 上的李代数若有l 的理想j 与且同构， 而商代数l i 与b 同构，则称l 为b 通过a 的扩张，称为此扩张的核如果有 工的子代数j 为j 在l 中的补子空间，则称此扩张为非本质扩张又若j 还是 工的理想，则称此扩张为平凡扩张 引理1 5 设d e r ( l ) 为李代数l 的导子代数在工与d e r ( l ) 的线性空间直 和 h ( l ) = d e r ( l ) j - l = ( d ，z ) i d d e r ( l ) 。工 中定义李括积运算为： ( d 1 ，1 ) ，( d 2 ，2 ) 】= ( d 1 ，d 2 】，d l z 2 一d 2 z l + 降l ，2 2 】) 其中职d e r ( l ) ，z l ，i = 1 ，2 则日( 三) 为李代数，且日( 上) 是通过上的非本质 扩张日( 三) 称为上的全形( 见【3 】) 引理1 6 设三为特征0 域上的李代数，若d d e r ( 工) ，且d 是幂零的则 = 薹扣 护= 刍d “ n = u 是l 的自同构 定义1 6 令i n t ( l ) 为由 e a d f f i l a d z 幂零，z 工) 生成的a u t ( l y 的子群，其中a u t ( l ) 为李代数工的自同构的集合称i n t ( l ) 为 三的内自同构群i n t ( l ) 中的元素称为上的内自同构 引理1 7 设s 为李代数二的l e v i 因子，s l 为上的半单子代数，则存在 口h t ( 三) ，使得p ( s 1 ) s 特别，若毋也是l e v i 因子，则口( & ) = s ( 见【3 】) 定义1 7 李代数日如果满足： 【日，日 _ z ( h ) d i m z ( h ) = 1 则称日为h e i s e n b e r g 代数 5 定义1 8l 为幂零李代数，如果三：0 ，三3 = 0 ，则称工为亚交换李代数 引理1 8 设为有限维幂零李代数，u 为的子空间，使得n = u + 【，】 则u 生成 引理1 9 设为有限维幂零李代数，【，】的一组基为忙，i ：，i 。) 则 z 。，z 。是的一组极小生成元系反之也成立( 见 1 0 1 ) 引理1 1 0 设工为c 上的有限维向量空间y 的线性变换的李代数，则y 作 为三一模是完全可约的，当且仅当以下两个条件成立： ( 1 ) 三= s c ，s 为三的半单理想，z 为三的中心 ( 2 ) z 中的元素都是矿的半单线性变换( 见【1 0 】) 引理1 n 工为有限维复李代数，置是工的根基，是工的幂零根基则 l ，捌n ( 见【1 1 】) 2 基本性质 工为复数域c 上的具有有限多个理想的有限维李代数 性质2 11 ) z ( l ) 为工的中心，则a m z ( l ) 1 ； 2 ) 工的同态像及其商代数也具有有限多个理想， 3 ) 三为非零的幂零李代数，特别地当工为交换李代数时，则d i m l = l ； 4 ) s 为c 上的半单李代数，则s 0 l 具有有限多个理想 证明1 ) 若d i m z ( l ) 1 ，则工有无限多个理想，矛盾 2 ) 令i p ：工n 为李代数之间的满同态，则工1 中的理想与l 中的包含 k e r 妒的理想是一一对应的 3 ) l l 2 是交换的，故d i m l l 8 = 1 ，进而l 的一个极小生成元系只有一个 元 4 ) s 为半单李代数，故s = 毋0 0 鼻。其中文为s 的单理想，设b ，b 。 为l 的所有理想，则易知s 0 l 的理想都具有形式：盛，0 0 氏，或者风， 或者s i ，o o s i 。0b i ，故s o 二具有有限多个理想 设g 为复单李代数，a 为带单位元1 的交换结合代数则容易验证工= a p g 关于满足下面条件的李括积f ，】： 构成李代数 【口1og t ，口209 2 】= a 1 口2o 陆l ，孽2 】，v a l ，口2 a ，g l ，鳜g 6 命题2 1 李代数工：a o g 中的理想均具有形式j o g ，其中j 为a 的理 想 证明令i i ： n 1 ，a 。) 为g 的素根系，、一、+ 分别为g 的根 系、正根系、负根系 五悼= 1 ，n 为c h e v a l l e y 生成元则g 有三角分 解： g = 日+ g 。+ g a ， c i e a + a 一 其中日为g 的c a f t a n 子代数在口中取基 l ， 。，使得啦( b ) = ， ，j = 1 ，n 设工。为工的任意非零理想则 l 0 = 鳓。o 氐。+ 口。o 鼬+ a 口。拈三l b = 1 c z e a _a i 其中以。，n 。a ，k 日，g 口，- 一，i + 设oo g 为表达式 中的某一分量，并且g 为 k ，如i k = 1 ，t ，a 二u ； 中对应权( g 的) 的最 低权向量，选取适当的1pe 依次作用z ，可得ao 卯工1 ，其中卯为g 的最 高根向量由于【g ，g l = g 选取矿q 使得【1 固9 7 ，oo 蹦= 口o g 工1 对 $ 一a og 同榉处理，可得o “ok 二1 ，1 1 ，p 拈工1 ，a 二u 4 令 j = 口a 1 aog l 1 , 对某个固定的g g ，且9 o ) 则易知j 为a 的理想，并且 ，0 g = 三1 注记2 1 由上述命题知若a 具有有限多个理想，则a o g 也具有有限多个 理想这种情况有一个很好的例子： 上= c 【z 】( 扩) o g 容易验证c 7 ( g “) 的理想只有0 ，( 1 ) ，( ) ，江1 ，n 一1 定义2 1j 为工的真理想，设为工的理想，若真包含j ，必有j = 工， 则称，为三的一个极大理想对偶地可以给出极小理想的定义 命题2 2 工为非幂零的有限维可解李代数若工具有有限多个理想，则 二= o ，其中n 为工的幂零根基，且n 为三的唯一的极大理想 证明工具有有限多个理想，则工工：是交换的，且具有有限多个理想， 故d i m 三工= 1 所以存在re 上，使得工= c r + 工2 设为三的幂零根基，则 d i m 三1 又2 驴，比较维数可得工2 = 设m 为工的某一极大理想，因 为二是可解的，故工盯是一维的，进而是交换的所以，工2 m ，比较维数有 m = c 2 = 7 命题2 3l 为满足命题2 2 条件的李代数设b 为三的极小理想，若b 不 是三的中心，则b 2 = 0 ，c l ( b ) = n 证明因为n 为l 的唯一极大理想，故b n 又因为n 是幂零的，所 以，b n z ( n ) 0 由b 的极小性知b z ( ) ，所以b 2 = 0 ，并且c l ( b ) 由 假设b 不是工的中心，而三的中心至多是一维的，可得c l ( b ) 为工的真理想， 所以c l ( b ) n ，进而c l ( b ) = n 推论2 1l 为满足命题2 2 中条件的李代数，若n 2 = 0 ，则【r ，卅= 证明由命题2 2 知n 为l 的唯一极大理想，则工的j a e o b s o n 根基九= n = l 2 = c r ，c r 阜 = r ， 命题2 4 工= c r - - n 为可解李代数，为工的交换幂零根基，且【r n - n 若中含有有限个工的理想，则工具有有限多个理想 证明设b ，b 。为工的含在中的所有理想，m 为五的任意非零理 想若m n ，则m = b i ，对某个t 1 ，2 ，n ) 若mgn ，设2 = r 1 + “m ， 其中0 r 。c r ，则由条件 r ，n 】= n 知存在n ，使得 r l + n ，n 】- t l 6m 进 而有r6m ，故m = c r i b t ，对某个i 所以工的理想都有形式段，或c r ，l b i l 具 有有限多个理想 3 l 为非可解李代数 定理3 1 三为复数域c 上的具有有限多个理想的有限维非可解李代数，工 有l e v i 分解工= s i r ，其中s 为k 优因子，丑为根基设为上的幂零根基， 且丑n ，贝4 丑= c r i n ，工= s c r _ i - n ，且【s ，r 】= 0 证明因为【s ，捌置，【s ，n 】n ，n 置，所以可以看成s 一模置的 子模又s 是半单的，由w e y l 的完全可约性定理，冠可分解为s 一模的直和 冗= r l 阜又限冗1 冠1 n n = 0 ，故皿为平凡的s 一模下面证明冗1 是一维 的因为r 2 n ，所以r n 是交换的又【s ，a n 】= 0 ，所以r 含在l n 的中 心里面而l n 具有有限多个理想，又置n ，故a m r n = l ，进而d i r e r l = 1 所以r = c r 阜，【s ，r 】- 0 ，其中r6 置1 定理3 2 三为复数域c 的具有有限多个理想的有限维非可解的可裂李代 数l = s r 为其三e 讲分解，s 为k 川因子，丑为根基，设为幂零根基， 是的幂零指数( 即n 0 ，n 6 + 1 = 0 ) ，五n ，则 ( 1 ) r ：c r 阜，工= s j - e r 4 - n ，其中r 冗，a d r 是上的半单线性变换，且 【s ，r - 0 ( 2 ) n 作为a d n ( s 阜c r ) 一模是非平凡模；对i = 1 ，2 ，女，它的任何两个不可 约的 次子模的最高权均不相等；一次子模的任意最高权不为0 证明( 1 ) 由定理3 1 知五有分解上= s c r 阜，【s ，r 】_ 0 下面证明在工为 可裂李代数的条件下，可以选r 冗，使得a d r 为半单元若a d r 不是半单元， 则a d r 有j o r d a n 分解：a d r = ( a a r ) 。+ ( a a r ) 。，其中( a a r ) ，( a d r ) 。分别为a d r 的 半单部分和幂零部分因为工为可裂的，所以( a a r ) 。，( a d r ) 。均为五的内导子， 因而存在r 1 ，r 2 五，使得( a d r ) 。= a d n ，( a a r ) 。= a d 您，则a d r = a 帆+ a 奶，所以 r = r 1 + r 2 + c ，其中c z ( 上) 又a d r ( s ) = 0 ，故a d n ( s ) = o ，i = 1 ，2 所以，r 1 ，r 2 r ， 又a d r 2 是幂零的，故r 2 所以r = r 1 + r 2 + c ，其中r 1 置，r 2 ，c z ( 三) 所 以五= 舛c r = s 4 - c ( r 1 + r 2 + c ) 4 - n = s 4 - e r l ，其中a d n 为的半单线性变 换 ( 2 ) 的证明见 4 】 注记3 1 定理3 2 中，若去掉工为可裂李代数的条件，则不能保证a d r t -为 的半单线性变换在给出反例之前，先引用两个引理 引理3 1 2 1 设k 为特征0 的代数闭域，工为k 上的有限维李代数，f ( l ) 为工的m t t i n i 子代数( 即工的所有极大予代数的交l 则f ( l ) 为工的理想 引理3 2 【5 】域k 的特征为0 ，工为k 上的有限维李代数，则工的含在f ( 三) 中的最大理想为零当且仅当五= b - f - ( p o e ) ，其中b 为工的交换理想，口为工 的交换子代数，p 为半单子代数，并且对g 中的任意元素c ，a d c 为b 上的半 单线性变换 例3 1n 为复数域1 2 上的4 维交换李代数，。2 ，。3 ，。为其一组基 s 为1 2 上的三维单李代数，e ，h ，为其一组基，其中的李括积f ，】o 定义为： e ，】0 = h h ，e 】o = 2 e ，【h ，r i o = 一2 ，通过李代数f 的一维平凡扩张得到李代数 三。= s o o 作线性映射： p ：工1 + 9 z ( ) p ( r ) 2 l = 0 1 + z 4 ，p p ) o 2z i ，i = 2 ，3 ，4 户( e ) 1 = p ( e ) 。t = 0 ，p ( e ) $ 2 = z 3 ，p ( e ) 0 3 = 0 ， p ( ) 。l = p ( h ) z 4 = 0 ，p ( _ 1 1 ) 2 = 2 ，p ( h ) z 8 = 一2 3 ， p ( ，) 。1 = p ( ，) 。4 = 0 ，p ( ，) 。2 = 0 ，p ( ，) 。3 = 2 作线性空间直和i = s 4 - e r - i _ a r ，定义李括积【，】： 扣l + r 1 + n l ，。2 + r 2 + n 2 1 = _ 1 ，j 2 o + 0 ( s t + r 1 ) 住2 一p ( 摹2 + ，2 ) n l ， 9 其中矗s ，n c r ，啦n ，i = 1 ，2 容易验证三按上述定义的李括积构成一个李代数( 实际上，工可以看作为 日( ) ( 的全形) 的一个子代数) ，并且l 的理想只有： 0 ， ， ， ， ， ， ， ， 三 设m 为工的任意一个极大子代数若。t m ，则上= c z t + m 且显然 有r m m ，所以 r 2 1 】_ 1 + z 4 m ，进而z 4 m ，矛盾故钆m 所以， z 。f ( 工) 由引理3 1 知f ( l ) 为l 的理想又f ( t ) 0 ，由引理3 2 知工不能写 成 工= s - i - c r 4 n 其中a d r 为上的半单线性变换 注记3 2 在例3 1 中，令，为由z 3 生成的的子代数则，为不 可约s 一模显然，对任意z ，e 址( s ) 均为l 的l e v i 因子但是，我们有 e 池( s ) z 1 中的l e v i 因子两两不同，进而l 有无穷多个l e v i 因子这是因 为，对z ，y n l 若有e 池( s ) = e 山( s ) ，则e n ( ”，) ( s ) = s ，即s + 限2 一们= s 则 限。一v 1 = 0 由1 为不可约的s 一模，可得z y = 0 ，即z = ，这说明了即使三 只有有限多个理想，l 的l e v 因子也可以有无穷多个 定理3 3l 为复数域c 上的具有有限多个理想的有限维李代数r 为根 基，为三的幂零根基，r n ，工有分解l = s 4 c r - n ，其中s 为工的l e v i 因子，r = c r 4 n 为根基，且【f ，r 】0 ，则可取r 冠使得a d r 为上的半单线 性变换当且仅当f ( l ) = n 2 证明( 辛) a d r 为上的半单线性变换，则a d r 也为。上的半单线性 变换令l ，= l p v 2 = 占牛c r 丰2 ，由引理3 2 得j ( 三1 ) = 0 ，所以f ( l ) n 2 ( 见 5 ) 又2 f ( l ) n ( 见【6 】) ，所以f ( l ) = 2 ( # ) f ( l ) = 2 ，则f ( l 2 ) = 0 而z ； r 2 = s 罩c r 卓n 2 ，并且陋，r 】= 0 ，由引 理3 2 知可取r 置，使得a d r 为2 上的半单线性变换，进而为上的半单 线性变换 4 幂零根基为交换李代数 由上文的讨论知，若上具有有限多个理想，则工具有结构分解五= s + c r 丰， 限r j _ o ( 当根基等于幂零根基时r = 0 ) 但是有这种结构的李代数未必具有有 1 0 限多个理想本节对幂零根基为交换的情形，给出了具有上述结构的李代数 具有有限多个理想的条件 半单李代数s 可分解为单理想的直和s = s - o o 鼻设= n 1 ，a n 为s 的素根系，+ ，一分别为根系，正根系与负根系， e ， h = 1 ，n ) 为c h e v a l l e y 生成元s 有三角分解： s = 日+ & + 咒 a e a + a e a 一 其中h 为s 的c a f t a n 子代数，则任意一个有限维不可约s 一模y 均可由一个取 定的最高权向量u 生成，即 矿：f a 讯。 。 ， i i l ，“如) 并且y 中的每一个权都可以表示为a k l a l 一k ，尚缉，其中a 是最高 权向量u 对应的最高权，d i m n = 1 引理4 1 1 1 工为特征0 域上的有限维李代数，d i m l 1 ，且工不是单的，则 下列两条等价 i ) 工有唯一最大理想； 2 ) 工= p 卓，其中p 为一维的或单的，且【p , n n 2 】_ 2 证明1 ) 辛2 ) 设置，n 分别为三的根基，幂零根基，令j ( l ) 为上的j a c o b s o n 根基则j ( l ) 为工的唯一极大理想所以，l j ( l ) 为单的或者是一维的又 j ( l ) = 【l ，捌n 我们断言j ( z ) = n 事实上，如果l j ( r ) 是单的因为，三 有l e v i 分解，易知j ( l ) 2 n ，所以，j ( l ) = n 假设l i j ( l ) 是一维的，则l 是可 解的如果j ) g n ，则工是幂零的进而有j ( l ) = 口所以工的一个极小生成 元系只有一个元，即d i m 工= 1 ，矛盾因而t ，( 工) = n 上= p + n ，其中p 是一维的 或者是单的若p 是一维的，则工可解所以n = j ( l ) = 工2 = 【p ，n 】+ n 2 若p 是单的，则n = 陋，捌= 【p + n ，n 】- n 】+ n 。故我们总有 p 吖1 = 2 2 ) 辛1 ) 因为【p n i n 2 】= 2 ，所以n = fp 】+ 2 又j ( l ) = 陋，捌= p + n ，n _ 【p ，n + n 2 = n ，故为工的唯一极大理想 定理4 1 二为复数域c 上的有限维李代数，五有l e v i 分解五= s 阜，其中 s 为l e v i 因子，为三的交换幂零根基若中含有有限多个工的理想，则 工具有有限多个理想 证明 s 为半单李代数，作为s 一模是完全可约的，把分解为不可约 s 一模的直和n = 1 阜t ，其中肌为不可约乒子模设血为乒模肌的权 系，令 a = u = 1 设凡为肌的最高权，1 1 i 为对应的最高权向置，则肌可由优生成且肌的 任意权p 均有形式丸一i n ，一k a 。，k i 4 则当i j 时，沁b 事实 上，若不然，不妨假设 l = 2 ，令皿为由”l + 啦v 2 生成的s 一模，其中口o ， 且i 1 i 2 时，0 4 。，i = 1 ，2 ，因为n 2 = 0 。易知皿为二的理想若i j ， 毋= 毋，则”1 + 伽地与”1 + a j r 2 均为以九为最高权的权向量，故存在a c ，使 得u 1 + 啦忱= ( u 1 + q 功) 由u 1 与他线性无关，可得a = 1 ，q = q 矛盾因此 中含有无穷多个理想凰，i = 1 ，2 ，矛盾 设b ，b 。为含在中工的所有理想，m 为工的任意非零理想，下面 分两种情况讨论： ( 1 ) m “= 1 ，t ) 中没有平凡的s 一模 若m n ，则m = b i ，对某个i 1 ，m ) 若mg n ，设$ = 。+ n m ，其 中0 5 s ，0 n ，设 n = k u n p ， “ 其中n 。为对应权p 的权向量对任意p a ，存在沁【沁1 。，t ) ，使得沁一p = 1 0 t 1 + + 。n 。，4 下面分情况证明：若= 5 + 器m ，则。m ，n m ( ，) 川札o ) 中均为最高权 不妨设n = k z v l + + 仇，v i 为对应权丸的权向量，c ，且1 1 0 取 h 1 - 1 使得m h ) 0 ，沁( j 1 ) 沁( h ) ，1 i jst ，则 t 【 ，。+ 怯1 = 陋，。1 + 扎( ) 地m i = 1 若【 ，s 】：0 ，因为丸“= 1 ，t ) 两两不同，容易得到当0 时，碱m ，进而 5 m ，n m 若【h ，j 】0 ，则 t 。= a z ( ) ( s + n ) 一限，s + n 】= a l ( 扣一陋，】+ 乏：起( a l ( 矗) 一知( j 1 ) ) q m i = 2 对z t 作同样的处理，可得口= 5 ，+ m ，其中一s 。k 0 若能证明 o i j l f ， 则对一觑q ，( 蕊0 ) 作同样的处理，可得当乜0 时q 盯，进而n m ， s m 下面证明q m 不妨设，0 ，且5 ，= 5 h + + 5 l ，其中0 若 1 2 存在。”s ( & ，0 0 最，) ，使得，“】0 ，则【s ”，们= y ，女地】m 由于肌为 非平凡的不可约s 一模，因而有q m 所以不妨假设k ，t q 】0 ，其中s & 则k ，们= k 一。】+ k ，k v i 】m 令n 7 为由q 生成的鼠，一模考查李代数 工kg ， 显然有慨，1 = ，由引理4 1 知为工，的唯一极大理想而 m n 三7 0 ，所以m n n ，或者m n 三，一三7 若m n ，则k ，5 i 。】：0 ，所 以k ，地 m ，进而q m 若m n 三= 工，亦可得k ，地】m 故总有v i m ( 盯) p o ) 中不全为最高权 令a ，：“0 ，最大) 令 n = k u n 。 p ， 则n = n + z ，其中z = n n 因为n 不是最高权向量，故存在8 钆，e n ) ， 使得0 e s + n = 【e ，n 】+ s + z 】m 若 e j n 7 】为最高权向量，则【e 7 ，z 】- 0 ， e ， s + n 7 + z _ 【e ， s + e ，i n 】m 由( ，) 知n ，】m 若【e ，n 0 不是最高权向量， 则存在e ” e l ，e 。 ，使得【e ，【e ，n ，】+ 【e s + z 】m ，且【e ”【e ，】0 ，我们总 可以得到s 7 + 忱。+ + q 。m ，其中q 为最高权向量，由( i ) 中结论得q ，m 令 a ，= 似a 协。可由某个u = 1 ，女) 生成 显然a ”非空则当p a ，时，l 。m 对 进行同样的讨论，可得n m 对s + n n ，作同样的处理，可得。m ，n m 综上所述，对工的任意理想m 均有m = 盯n s m n ，故工的理想都有形 式b i ，或者s i ，0 0 阜b “或者受。0 0 & 所以工具有有限多个理想 ( 2 ) 肌( 江1 ，t ) 中有平凡的s 一模 不妨设肌为平凡的冉模，则d j m i = 1 ，并且娥“= 2 ，t ) 均为非平凡的 s 一模故1 为工的中心设n 1 = c c ，则工= s + 肌+ + 肌+ c c 若m 冬，则 m = b i ，对某个i 1 ，m ) 若mg ，设0 = 3 + n + c m 若= 0 ，由( ，) 中讨论知5 m ，n m 若o ，n = 0 ，则易知s m ，进而c m 若o ，n o ， 将n 分解为 n = b n 。 土i 1 3 注意到 s ，c 】= 0 ，类似于( ，) 中那样进行讨论可得。m ，n m ，c m 所以， m ：m n s 4 m n n 进而可得三的理想均具有形式b ，或者& ，0 o 氏 耽，或 者& 。o o s 小所以工具有有限多个理想 l ：s 4 c r ，其中s 为工的l e v i 因子，五= c r ；- n 为其根基，为l 的 交换幂零根基，且r n ，i s ，r 】_ 0 n 作为s 一模是完全可约的，将分解为不 可约s 一模的直和 n = n 1 n t 肌( = 1 ，t ) 中可能有同构的s 一模令联表示肌“= 1 ，t ) 中所有以丸为 最高权的等价的s 一模之和即联= 。牛牛肌。则 l = s c r 丰i 丰- 丰州 设z 小，；分别为肌一肌，；的最高权向量( 若为平凡的s 一模，取。o 为肌，中任意非零向量) 令 k = 工( z 1 ，$ ，i ) ，i = 1 ，。， v = h k 引理4 2 7 1k ，州，r 如上，则a d r ( k ) k ，a d r ( 州) 川 证明设0 q k ，则由q 生成一个以沁为最高权的不可约s 一模，优为 最高权向量而 【h ，【r q ”= 【r 【h ，扯】= 沁( ) 【r ，仇】，v 日 【e i ， r ，q 】= 【 【e i ，q 】= o ，i = 1 ，n 若 r ，q 0 ，则 e 地】也为以k 为最高权的权向量，所以a d r ( v 1 ) k ，进而 a 曲( k ) k 设o u 叫，则u 可表示为【厶【，。】- t ，的线性组合，其中。 z i l - ，z t ) ，而a d r ( u ) = 【如卜f 如卜，。】卅，故a “( ) 埘，所以a d r ( 卅) n 2 设a d r 作为k 上的线性变换在基e # ) ，s 卿下所对应的j o r d a n 标准型为 寸 l l ，其中如= 1 4 1 凡 1 沁 引理4 3 设工：s + c r 阜，s 为l e “因子，冠= 西阜为根基，为交换 幂零根基，冗n ，旧r _ 0 ，则n 中含有有限多个三的理想当且仅当对任意的 i f 1 ，s ) ，当k f 时，k k ，其中1 女，fs f l 证明( 辛) 若不然，对某个 1 ，s ) ，存在k 基中的两个元素e 2 ，使 得 r ，e 小= 地，注1 ，2 令风为由e 1 + m e 2 生成的s 一模，= 1 ，2 其中0 啦c ， 且当i j 时，q q 易知e ，+ a i 6 ：为皿的最高权向量，并且凰为l 的理 想若皿= 毋，则5 1 + q 5 2 与z + 叼e ：线性相关因为l 与幻线性无关，易得 q = a j 这就是说皿( t = 1 ，2 ，) 为三的不同的理想此与n 含有有限多个工的 理想矛盾 ( ：) 设m 为工的任意非零理想，且m n 设 o 。= 缸m “ 其中，z 。为对应权p 的权向量，a = u 名，a ，血为s 一模肌的权系类似于定理4 1 中的证明可得k o 时，。em 令职= l ( e i m l e 为以a 沩最高权的权向量) ，i = l ，s 易知a d r , ( 懒) 暇，并且m 可由线性空间直和帆卓阜职生成即工的 任意含于中的理想均可由y 的a d r 一子空间生成由题设条件及线性代数知 识知k 的a d r 一子空间只有有限个，且y 的a d r 子空间均为某些k 的a d r 子 空间的直和，所以中含有有限多个工的理想 类似于定理4 1 中的证明可以得到 定理4 2 工= s c r 丰，s 为k 优因子，冗= c r j - n 为根基，为交换幂零 根基，丑n ，且旧n 】- n ，【s ，r 卜0 若n 中含有有限多个工的理想，则工具 有有限多个理想 注记4 1 定理4 2 中，条件限j = n 是不可少的下面给出一个例子 例4 1s 为三维复单李代数，e ， 为s 的一组基，其中的李括积定义为 h ，e 】_ 2 e ，【h ， - 一2 y ，【e ，】= 令工，- s o c r n 为三维交换李代数， z s 为其一组基作线性映射： p ：f + 鲥( ) p ( e ) 2 1 = 2 2 ， p ( 扣1 = 1 ， p ( ，) 2 l = 0 ， p ( r ) z 1 = z 1 ， p ( e ) 霉2 = o ， p ( ) 七2 = 一霉2 p ( ，) 霉2 = 霉l ， p p ) 霉2 = 霉2 ， 1 5 p ( e ) 2 3 = 0 ， p ( ) 0 3 = 0 ， 户( ，) 3 = 0 ， p ( r ) 0 3 = 0 作线性空间直和三= 工 ，定义李括积 ，】0 ： b 1 十r 1 + n 1 ，。2 + r 2 + n 2 o = b 1 5 2 1 + p ( s l + r 1 ) 1 2 一p ( s 2 + r 2 ) n l 容易验证三成为一个李代数，且二含在中的理想只有 但是臣= ，i = 1 ，2 ，其中6 c ，且当i j 时，巩6 j 均为工的理想，且两两不同 5 幂零根基为h e i s e n b e r g 代数 工= s + c r n 为工的l e v i 分解，其中s 为l e v i 因子，r = e r 4 - n 为根基， 为幂零根基，丑n 【s ，r 】- 0 ，并且为h e i s e n b e r g 代数，即n 2 = z ( ) ，且 d i m z ( n ) = 1 令z ( 1 v ) = c c 易知c c 为l 的理想，所以【s ，c 】= 0 ( 1 ) 若为平凡的s 一模，即二= s 0 ( c r ) ，则工具有有限多个理想当且 仅当c r 4 - n 具有有限多个理想 定理5 1 工，- c r 中任一非零理想均包含c 证明设m 为l 的任一非零理想若存在0 n n n m ，易得c m 设2 = h + n m ，其中0 c ，n m 若存在n 1 n ，使得【r ，n 1 】c c ，则 【z ，札1 ：【h + n ，n 1 】= 女【r n 1 】+ c m ，进而存在竹n ，使得0 【r ，n a n 】c c ，故 c m 因为三7 不是幂零的，所以【r n 】0 不妨设【r ，n 】_ c e ，则【r ，c 】0 ，进而 0 kc 】= 即，c 】m ，c m 事实上，若【r ，c 】- 0 ，则，卅= c r + n ，c r + n 1 - r 】+ c c = c e ，f ，l ”= 0 即l 是幂零的矛盾 由定理5 1 知，工= c r + n 中的非零理想与l c c 中的理想是一一对应的， 故问题可以归结为为交换幂零根基的情形 ( 2 ) l = s + c r + ，【s ，n 0 s 分解为一些单理想的直和s = & 0 0 耳，不妨假设限，n 】0 ，i = 1 ，r 作为s 一模分解为一些s 一子模的直和n = 1 + t 0 c c ，其中， i v , ( i = l ，t ) 为非平凡不可约n 模，0 为平凡模( 可能为零) 设m 为三 的任意非零理想，不妨设z = s + r 1 + n m ，其中n 0 ，”1 不同时为零若 s = o ，r 。0 ，类似于定理5 1 的证明可得c m 下面分两种情况讨论： ( 口) 。= 5 + n m ，且n ，5 0 若 s ，n l = 0 ，易得。m ，n m 。进而c m 设限n 】0 ，令住= n l + + n t + n o + c l ，其中n i j = 0 ，t ，c l c c 令 1 6 s = 毛，+ + s i ，其中0 8 i ，s f 若存在$ l s ( & ，0 0 民) ，使得陋1 ，n 】0 ， 则 z + 州= 【。1 ，n m ，易得c m 不妨设z l 晶，使得【2 1 ，n 】0 ，则 h ，。 = z 1 ，屯。 + 净l ，n 1 + + n t 】令为由 1 ，n 1 + + n t 】生成的鼠广模若 ，n 】- 0 ，考查李代数l ，_ & + n ，由引理4 1 知，为l 的唯一极大理想