（基础数学专业论文）四阶微分方程neumann边值问题.pdf

中文摘要 中文摘要 在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程n e u m a n n 边值问题： j ( 4 ) ( ) 一2 u ”( t ) + u ( t ) = f ( t ，让( t ) ) ，t 【0 ，1 】，n1 、 【( o ) = 钍，( 1 ) = ( o ) = ( 1 ) = 0 、7 两个变号解的存在性论文分三章：第一章为引言；在第二章中，我们介绍了一些预 备知识，证明了些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维m o r s e 理论得出了 方程( 1 1 ) 至少有个正解，个变号解，进一步用i 临界群计算出了第个变号解的 不动点指数，这个结果用传统的临界点理论和不动点指数理论是无法得到的；在第三 章中，我们应用第二章的结论，通过简单的计算，得到了第二个变号解的存在性 近年来，许多作者研究了四阶微分方程d r i c h l e t 边值问题： j 缸( 4 ) ( t ) = f ( t ，u ( t ) ) ，t 【o ，l 】，1l r l 【牡( o ) = u ( 1 ) = ( o ) = ( 1 ) = 0 、7 得到了许多好的结果，如【5 ，9 ，1 2 ，13 】但是很少有人研究方程( 1 1 ) 主要的原因有三 方面； ( 1 ) 如果用传统的拓扑度理论，则与研究方程( 1 1 ) 没有本质的区别，( 2 ) 很 难应用传统的变分方法把方程( 1 1 ) 转化成墙 o ，1 】中的泛函来研究，( 3 ) 对孤立临 界点的性质缺乏更进一步的描述在这篇文章中，我们用k 2 的平方根算子和m o r s e 理论避免了上述三个方面的困难，得出了用传统的拓扑度理论无法得到的结果本文 的另一创新之处在于非线性项，在无穷远点是跳跃的，这使得我们无法应用普通的 方法来证明p s 条件 在文 4 】中，作者在较强的条件下( ，在无穷远点是非跳跃且次线性的) 证明了方 程( 1 1 ) 至少有一个正解，个变号解和另外一个非平凡解本文在较弱的条件下证 明了第二个变号解的存在性，这是本文的又一创新 我们总假设，满足下面的条件： ( f 1 ) ，c 1 ( 【0 ，1 】豫，r ) 且，是递增的； ( f 2 ) 对任意的t 【0 ，1 】，( t ，0 ) = 0 ，且对某个膏2 ，有h 咒( t ，0 ) a 十l ； ( f 3 ) l i r as u p 。, + 。f ( t ，) 几 a 1 ，对t 【o 】1 】一致成立； 池) a l l i r a i n f 一。s ( t ，u ) u 1 h s u p 一一。f ( t ，u ) 几 0 , k n 下面，我们介绍本文的主要结果 四阶微分方程n e u m a a n 边值问题 定理i i 假设( f 1 ) 一( 厶) 成立，则方程( i i ) 至少有一个正解，两个变号解 关键词：变号解；n e u m a n n 边值问题；不动点指数；临界群 垒曼! 三坠竺 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft w os i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n st ot h ef o l - l o w i n gn o n s n e a rf o u r t h - o r d e rn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： 让h ( ) 一2 ( t ) + t ( t ) = f ( t ，u ( t ) ) ，t 0 1 】，( ) 【( o ) = ( 1 ) = “( o ) = i f ( 1 ) = 0 t h i st h e s i si sm a i n l yc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ：c h a p t e r1i 8i n t r o u d u c t i o n i n c h a p t e r2 ，w ei n t r o u d u c es o m ep r e l i m i n a r i e sa n ds o m el e m m a s ，a n du s i n gt h ef i x e d p o i n t e dt h e o r y , c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dm o r s et h e o r y , w ep r o v et h a tt h ee q u a t i o n ( 1 1 ) h a so n ep o s i t i v es o l u t i o na n do n es i g n - c h a n g i n gs o l u t i o na tl e a s ti nc e r t a i nc o n d i t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ec a l c u l a t et h ef i x e dp o i n t e di n d e xo ft h ef i r s ts i g n - c h a n g i n gs o l u t i o nb y c r i t i c a lg r o u p ，t h i sc o n c l u s i o nc a n n o tb eo b t a i n e du s i n gt h et r a d i t i o n a lf i x e dp o i n t e d t h e o r ya n dc r i t i c a lp o i n tt h e o r y i nc h a p t e r3 ，a n du s i n gt h ef i x e dp o i n t e dt h e o r y , w e p r o v et h a tt h ee q u a t i o n ( 1 1 ) h a so n ep o s i t i v es o l u t i o na n d t w os i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n s a tl e a s ti nc e r t a i nc o n d i t i o n sb ys i m p l ec a l c u l a t i o n r e c e n t l y , m a n ya u t h o r sd i s c u s st h ee q u a t i o n ： “( t ) = ，( t ，钍( t ) ) ，f i o ，l 】，( 1 1 ，) 【u ( o ) = 乱( 1 ) = ( o ) = ( 1 ) = 0 、 t h e yg e tm a n yf a i l yg o o dc o n c l u s i o n s ，f o ri n s t a n c e 5 ，9 ，1 2 ，1 3 】，b u tp e o p l es e l d o m d i s c u s st h ee q u a t i o n ( 1 1 1 t h em a i nc a u s eh a st h r e ea s p e c t s ：( 1 ) f fu s i n gt r a d i t i o n a l f i x e dp o i n t e dt h e o r y , w ec a n n o tc o n t a i nt h ee s s e n t i a lc o n c l u s i o n sd i f f e m tf r o me q u a - t i o n ( 1 1 ) ，( 2 ) w ec o n v e r tt h eb v p ( 1 1 ) i n t ot h ef u n c t i o n a lo f 瑶【0 ，1 】u s i n gt r a d i t i o n a l c r i t i c a lp o i n tt h e o r yi sv e r yd i f f i c u l t ( 3 ) n o tn o t i c et h ed e t a i l e dq u a l i t yo fi s o l a t e d c r i t i c a lp o i n t i nt h i sp a p e r w ec a ns o l v et h e s ep r o b l e m so fb e i n gl i s t e db yu s i n gt h e m o r s et h e o r ya n dt h ec h a r a c t e ro f 舻 t h em a i nd i f f e r e n c ef r o mt h eo r d i n a r yh t e r a t u r e sh a st w oa s p e c t s ：( 1 ) t h en o n - l i n e a r i t yo fe q u a t i o n ( 1 1 ) i sj u m p i n ga t 。o ，s ow ec a n n o tp r o v et h ep sc o n d i t i o nu s i n g o r d i n a r y p r o o f ( 2 ) w e p r o v e t h ec o n c l u s i o n o f f i t e r a t u r e 【4 】o n t h e w e a k e rc o n d i t i o n s ，a n d c o n t a i nt h es e n c o n ds i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n t h ed e t a i l e da s s u m p t i o n so i lla r el i s t e db e l o w ： ( f 1 ) ，c 1 ( 【o ，1 】r ，r ) ，a n d i si n c r e a s i n go nr 四阶微分方程n e u m a n n 边值问题 ( f 2 ) s ( t ，0 ) = 0 f o ra l l t 【0 ，1 a n d a 丘( t ，o ) a + 1 f o rs o i n e 2 ( f 3 ) u ms u p 。+ 。o ( t ，u ) u a 1u n i f o r m l yi nt 【0 ，1 】 ( f 4 ) a l l i m i n f u - + 一o 。f ( t ，u ) “l i m s u p 一f ( t ，u ) 0 , k n t h ef o l l o w i n gt h e o r e mi st h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e r t h e o r e m1 1 s u p p o s et h a t ( f 1 ) 一( f 4 ) h o l d t h e nt h eb v p ( 1 1 ) h a so n ep o s i t i v e s o l u t i o na n dt w os i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n s k e yw o r d s ：s i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n ；n e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；t h e f i x e dp o i n t e di n d e x ；c r i t i c a lg r o u p 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指 导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。 如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相 关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的 文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的成果。 学位论文作者( 签章) ：；眨级尚 2 0 07 年s 月埘日 。 第一章引言 在这篇文章中，我们主要研究下列四阶方程： j ( 4 ( 力一2 7 ( t ) + 口( 力= f ( t ，( ) ，t f 0 ，1 】， n 【( o ) ；e ( 1 ) = t ，( o ) = t ( 1 ) = o 。 两个变号解的存在性 我们假设，满足下面的条件成立； ( f 1 ) ，c 1 ( o ，1 】x r ，r ) 且，是递增的； ( f 2 ) f ( t ，0 ) = 0 ，t 【0 ，1 j ，且对某个k 2 ，有a k 咒 ，0 ) a k + 1 ； ( f 3 ) l i m s u p u - , + o 。i ( t ，) 让 a 1 对t 1 0 ，1 一致成立； ( f 4 ) a 1 0 ，使得 f ( t ，u ) a l a y ，那么对任意的p n o b ( o ，励，我们有 地酬t ) = ( 1 g s ) ，( s ，f 0 0 1 g 慨咖( r ) d r ) 如 j ( 1 g ( t s ) ( a t 一7 ) z 1 g ( s ，r ) u ( r ) 打+ 0 | d s 宰。+ q f 0 1 g ( t s ) 出 = 。+ a 一云r ，t 【0 1 】 因此，对任意的t p nb ( o ，聊，我们有l i k g k u i o l o 于是方程7 1 , = t u 存在 一个解p ，且对任意的t 【0 ，1 ，w ( ) = k g k w ( t ) f 讲( t ) 0 口 令m = i i l l o o ，x = 乱c o ，1 】“w ) ，则x 是c o ，1 】中卟闭凸集下 面我们考虑辅助方程 = k g k u 一胛1 这里p 0 是一个参数，并且g 属于函数族p ：= r h ，d ，c ) 9 e ( 【0 ，1 】r ，r ) ：c u o l g ( t ，u ) ( a 1 + 7 ) i s + o ，t 【0 ，1 1 , 乱m ) ( 2 2 ) 引理2 6 存在r 0 ，使得如果方程( 2 2 ) 对t 0 ，g f 有解u x ，那么 p 冗且i l i s l l o 0 ，使得对任意的t 0 和g f ，如果牡x 是方程 ( 2 2 ) 的个解，那么p 0 ，使得l i u l l o 0 ，使得恻l o 砀- 令r = m a x r 1 ，兄2 ，即有 p a 2 从而有 t 6 0 = k f 6 0 a 2 6 e l a 1 k s e l = 6 e l ， t ( - s e l ) = k f ( - 6 0 ) a 2 k ( - 6 0 ) 0 ，使 得对任意u 0 ，有f ( t ，让) c l u l 2 注意到 s o , z ) ) 有界，我们有 一1 ：盥。 2 l i v ；1 1 2 o ( 1 ) + c ：掣i z v 。, 出位。，；( t ) 1 2 1 百矿出= o ( 1 ) + c 酬i z 冽 6 ，fm，加 第二章预备知识和引理 令 一o 。，由( 2 5 ) 式，有1 2 c i i k w l l 2 ，这样k w 0 由于对任意n n ，= ( k ) 一l l v i l i 0 ，所以k w 0 由泡) ，存在7 ，d 0 ，使得 ( t ，矽 0 ，使得b ( o ，t o ) n c t o s x ( 嵋u ) = 9 ，b ( o ，r o ) cx ，且 ( e b ( o ，r o ) ，x ) = ( - 1 ) ，这里b ( o ，r o ) = u c o ，1 1 ： f i 口l l o 0 ，使得 f 鹄乎= 日砂( t ，u o ) ， 【( o ，u o ) = u o 存在唯一解毋( t ，蛳) ，t 【0 ，6 ) ，且西( t ，咖) m ，t ( 0 ，6 ) 引理2 1 3 ( 0 任给x ，方程( 2 6 ) 的解庐( t ，x ，t ( 0 ，r ( ) ( i i ) 任给u c l o s x 叼，( t ，u ) 叼，t ( 0 ，r ( 让) ) ( i i i ) 任给t c l o s x 咙，t ( t ，) 叼，t ( 0 ，7 ( ) ) 证我们只证明( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 与( i ) 的证明类似 显然，x 是c o ，1 1 中的个闭凸集由( f 1 ) 知，f 是可微的，从而t 在l 2 【0 ，1 l 中是f r g c h e t 可微的这样t 在l 2 i o ，1 】中是局部l i p s c h i t z 连续的因此在c o ，1 】 中也是局部l i p s c h i t z 连续的对任何x ，我们有 l i m 史! 垫二垒芸生三生型：胁塑盟塑芸盟塑：0 ( 2 8 ) 舻o p卢一u 7p 考虑( i ) 如果存在t a ( 0 ，r ( ) ) ，使得毋( t 2 ，x 。，则存在t l ( 0 ，t 2 ) 使得( t 1 ，u ) a x ，且对任意的t ( t l ，t 2 】，有( t ，乱) x 。我们考虑下面的初值问题： j 生掣= 一咖。，毋( t - ，) ) + t ( t ，( 瓦“) ) ， i 毋( o ，妒 l ，札) ) = ( t 1 ，让) ， 8 第二章预备知识和 i 理 由( 2 8 ) 式和引理2 1 2 知，存在d 0 ，使得对任意的t t l ，t 1 + 6 ) ，有( t ，u ) x ， 这是个矛盾因此，任给缸x ，有庐托“) x t o ，r ( “) ) 口 令。和b 为两个实数，且a 0 为：t ( 0 ，r ( ) ) 且满足妒( t ，t ) 般( 破u 发v c l o s x ( 叼t j 叼) ) 的所有t 的上确界显然，对任意的n 攻( 醍u 最u e l o s x ( w u 叼) ) ，有0 q ( u ) r ( “) 为了构造一个形变引理，我们需要下面的假设： ( ，) u ( 娠c l o s x ( w u g h ) ) = 口 c ( 口，6 ) 我们将构造个从破uc l o s x ( 以u 磁) 醍到以uc l o s x ( 嵋t 3 叼) 的形变引理首 先我们证明极限l i m t - , ，o , ) 一矿( t ，) 是存在的 引理2 1 4 假设( ，) 成立那么对任意的攻( 破t j 嘏uc l o s x ( 叼u ) ) ， 极限矿( 让) = 1 i m t 。( 。) 一庐( t ，) 在c o ，1 】范数下存在，且至少为下列三种情形之一： ( i ) j ( u ) 敏u 数叼； ( i i ) j ( 盯( u ) ) = a 且，( 盯( ) o ； ( i i i ) j ( 盯( u ) ) = 口且j 7 ( 口( ) ) = 0 此外，当日( “) r ( u ) 时，( i ) 或者( i i ) 成立，当q ( u ) = r ( u ) 时，( i i i ) 成立 证如果q ( u ) 1 - ( “) ，根据引理2 1 1 ，极限a ( u ) = l i m t - , l ( 。) 一庐( t ，t ) 在c o ，1 范 数下存在，这时为( i ) 或者( i i ) 下面，我们假设口( u ) = r ( u ) ，这时必定有r ( ) = + 事实上，任意t l ，屯( 0 ，r ( “) ) 且t 1 t 2 ， | | 咖( t z ，u ) 一毋( t 2 ，t ) 0 = 峪挑u ，出| | = 岭删眠州出4 ( o 砌阮洲矿”1 归 = ( 一f 跏枷叫肛m 刮，2 ( b o ) 1 2 ( t 2 一t 1 ) 1 2 如果r ( u ) 0 ，使得 i | j ，( “) 0 如，巩| j 一面0 2 5 1 如果极限妇l t - + 。西( # ，动在l 2 0 ，l 】中不存在。我衍可选取两个子列 磊 ， 蟛) ，以及 t n ) 的子列，不妨设就是 ，使得矗 k 吃一+ 。o ，蟛一+ 。o ，且 那么 西( ，u ) 一面i f = 2 文，i | 毋( t ：，u ) 一面0 = 5 1 ，i i j 7 ( 妒( ，乱) ) i i 5 2 ，t ，蟛】 = 出l l = 胁似驰胎l i 麦序文，蝴酽如 = 去f 孛d 似眦 因为极限l i n l t _ 。- ，( 庐( t ，让) ) 存在，且吃一+ o 。，一+ 。，这意味着5 1 0 ，这是一 个矛盾因此在l 2 0 ，1 】中，( ，) 一面，这样在c o ，1 】中毋( t ，) 一面口 根据引理2 1 4 ，在c o ，l j 中极限u m 一一币( t ，u ) 存在，我们定义一个映射 盯：玻( 醍u 最uc l o s x ( w u ) ) 一c o ，1 】 1 0 第二章预备知识和引理 其中口( ) = h m 1 ( 。】- ( t ，) 下面，我们证明口的连续性 引理2 1 5 假设( j ) 满足，那么d r ：玻( 醍u 嫒uc l o s x ( qu 磁) ) 一c i 0 ，1 】 是连续的 证令u 破( 醍u 最uc l o s x ( wu 吩) ) 如果口( 让) r ( ) ，则是引理2 1 4 中 ( i ) 或( i i ) 的情形由r ( u ) 的定义，对任意的t 【0 ，q ( ) ) ，曲( ，u ) 圣j k u c l o s ( w u ) 在情形( i ) 中，当t ( q ( ) ，r ( “) ) 时，由引理2 1 3 ，可知j i ( t ，) w u 叼在情形( i i ) 中，当t ( 町( ) ，r ( “) ) 时，s ( o ( t ，“) ) 0 ，坟，使得峻 如 0 ，使得b ( 坳，r ) ac l o s x ( 叼u 叼) = 织b ( 啦，r ) cx ，且 ( z b ( 啦，r ) ，x ) = - 1 ，这里b ( 也，r ) = 如c 0 ，1 】：j 】u 一地1 l o 0 ，由c 的定义可知，存在一条道路h ：【0 ，1 】一j 譬u c i o s x ( u i u 磁) ，连接h ( 0 ) c l o s x u t 和h ( 1 ) c l o s x 叼由于c l o s x u i 和c l o s x 叼位于蓐5u c l o s x ( wu 叼) 中不同的道路分支，由奇异同调群的正合性知 h i ( 晖5uc l o s x ( 嵋u 嵋) ，蓐。uc l o s x ( wu 晖) ) 一巩凰( 蓐。uc l o s x ( u ；u 叼) ) 一“h o ( 瞄5uc l o s x ( u ：u 叼) ) 这意味着 且( 瞄5 uc l o s x ( w u 晖) ，j t - 5 uc l o s x ( w u 叼) ) 0 由于 h n ( a ) = k e r ( i 。) 0 我们已经假设u = t u 在x ( u iu 噬) 中仅有有限个临界点，所以取充分小，由引 理2 1 6 ，我们有 h i ( 最uc l o s ( u iu 晖) ，( 嫒g t ) uc l o s x ( 嵋u 叼) ) 0 由同调群的切除性知 1 - 1 1 ( 嫒c l o s x ( wu 晖) ，嫒( j 嚷uc l o s x ( wu 叼) ) ) 0 ， 这意味着k 支c l o s x ( 叼u 磁) 口设r 曼c l o s x ( v t u 咙) = 嵋，心，蠕) 我们有 m 墨( 最c l o s x ( w u ) ，嫒( 磁r u d o s x ( u i u 磁) ) ) 呈0 q ( j ，) ， i = 1 这里g ( z 嵋) 是j 在u ：的临界群于是存在u 2 u ；，屹，麓) ，使得a ( z u 2 ) 0 从而由文【1 5 】，有q ( z “2 ) 型如l r 这样存在r 9 ，使得b ( 砌，r ) n c l o s x ( 叼u 叼) = 0 ，b ( 啦，r ) c x ，且 ( t ，b ( 地，r ) ，x ) = ( 一1 ) qd h n ( j ，地) = 一1 口= 0 因为g ( 正0 ) 岂昧r ，由引理( 2 9 ) 知u 2 0 是一个变号解口 第三章主要定理的证明 定理1 1 的证明设r 是引理2 6 中所得到的作集合 u - 缸x ：f i u t l o 碍， 巩：= u 叼 巩：= u 叼 i i “1 1 0 r ) i i “1 1 0 0 ，使得对任意的 c o ，l 】且满足i i “l i o r 时，都有i t u o s 如果x 满足配= ，由引 理2 6 知i o r ，那么 p 忙l l o r + 最 所以，存在p o 充分大，使得。在c l o s x u 中没有不动点由不动点指数的同伦不变 性知 ( t 玩x ) = 。( 确，e x ) = ( ，玩x ) = 0 类似的 巩，x ) = 0 由引理2 7 知 t 巩，x ) = f w ，x ) = 1 如果t 在u ( 巩u 如) 中除0 和u 2 之外再没有其它的不动点，那么由不动点指数 的切除性知 ( z 以x ) = t ( t ，u 1 ，x ) + i ( 正，x ) + i ( z s ( o ，r o ) ，x ) + ( 正b ( 坳，r ) ，x ) 根据引理2 1 0 和2 1 7 知， 0 = 1 + 0 + ( 一1 ) 一1 ， 这是不可能的因此，丁在厂( 巩u u o ，也 ) 中还有另外一个变号解从而方 程1 1 至少有一个正解，两个变号解 口 1 4 结束语 结束语 本文通过不动点指数理论，临界点理论。和i 膳界群三者综合的应用，研究了n e u - m a n n 边值问题变号解的存在性同题 在第二章中，通过构造一个新的形变引理，再利用临界群的正合性和切除性，凌 们得到第个变号解的存在性，并且利用临界群的知识计算出了第一个变号解的不动 点指数这用普通的不动点指数理论和临界点理论是无法得到的 在第三章中，我们应用不动点指数，通过第二章的结论给出了第二个变号解的存 在性我们的创新之处主要在于：计算出第一个变号解的存在性和不动点指数，从而 另外得出个变号解的存在性需要指出的是；我们的结果在般文献中是没有的， 并且在较弱的条件下改进了文【4 】的结果 1 5 参考文献 【l 】k c 。c h a n g ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o r s et h e o r ya n dm u l t i p l es o l u t i o np r o b - l e m 8 m b i r k h u s e r ，b o s t o n ，1 9 9 3 【2 k d e i m l i n g ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s m s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 5 【3 】d g u o ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，s e c o n de d i t i o n ，s h a n d o n gs c i & t e c p r e s s ，2 0 0 1 ( i nc h i n e s e ) 4 】h h o f e r ，v a r i a t i o n a la n dt o p o l o g i c a lm e t h o d si np a r t i a l l yo r d e r e dh i l b e r ts p a c e 【j 】m a t h a n n ，1 9 8 2 ，2 6 h 4 9 3 - 5 1 4 【5 】f l i ，y l i ，z l i a n g ，e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n st o2 r u t h - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，【j 】m a t h a n a l a p p l 3 3 1 ( 2 0 0 7 ) 9 5 8 _ 9 7 7 6 f l i ，y l i ，z l i a n g ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st on o n l i n e a rh a m m e r s t e i ni n t e g r a l e q u a t i o n sa n da p p l i c a t i o n s ， j 1 m a t h a n a l a p p l 3 2 3 ( 2 0 0 6 ) 2 0 9 - 2 2 7 ， 【7 】f l i ，q z h a n g ，z l i a n g ，e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n so fak i n do f f o u r t h - o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j 1 n o n l i n e a ra n a l ，2 0 0 5 ，6 2 ：8 0 3 - 8 1 6 【8 】f l i ，z l i a n g ，q z h a a g ，y l i ，o ns i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n sf o rn o n h n e a ro p e r a t o r e q u a t i o n s j 1 m a t h a n a l a p p l 2 0 0 7 ，3 2 7 ：1 0 1 0 - 1 0 2 8 【9 】李福义，刘兆理，非线性算子方程的多重解及其应用【j 】数学学报，1 9 9 8 ，4 1 ：9 1 0 2 【1 0 】f l i ，z l i a a g ，q z h a n g ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st oa c l a s so fn o n l i n e a rs e c o n d o r d e rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sm m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 5 ，3 1 2 ：3 5 7 - 3 7 3 1 1 1f l i ，y z h a n g ，m u l t i p l es y m m e t r i cn o n n e g a t i v es o l u t i o n so fs e c o n d - o r d e ro r d i - n a r yd i f f e r e n t i a