（基础数学专业论文）两个集值映射的广义极小极大原理.pdf

摘要 摘要 极小较大定理作为经济学中博弈论的基本原理。首先由v o nn e u m a n n 于1 9 2 8 年给出此后，关于极小极大原理的研究活动非常活跃而且取得了丰富的成果， 并在越来越弱的条件下出现了多种情形的表现形式，但在经典的极小极大定理中 考虑的函数都是实单值函数由于多目标规划的需要。近二十年来人们开始考虑 向量值和集值映射的广义极小极大定理而对于向量值和集值映射而言通常的 数量最大值与最小值均无意义，因此需要构造新的框架来有效地处理向量值和 集值映射时的情形，同时它又包含了经典的极小极大定理( 作为特倒) 本文在一些稍微不同的集值跃射的凹凸性概念的基础上，给出了几个涉及集 值映射的广义极小极大定理和极小极大不等式首先是将s j l i 的实集值映射的 广义极小极大定理推广到两个实数集值映射的情形，其中映射的凹凸性也有所减 弱然后运用分离定理的证明方法将其推广到f r 彭h e t 空问上。并得出几个推论 最后运用1 9 9 7 年c h e n g 的截口定理证明了个涉及两个实集值映射的广义极小 极大不等式本文共分为三章第一章介绍了极小极大理论的进展以及本文的背 景知识；第二章给出并证明了几个涉及两个集值映射的广义极小极大定理；第三 章给出了个实集值映射的广义极小极大不等式和它的一个倒子 关奠词，( 弱) 极小点( 弱) 极大点，集值映射，广义极小极大原理 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h em i n i m a xt h e o r e m w h i c hi st h eb 商ct h e o r yo ft h eg a m et h e o r yi ne c o - n o m i c s ，f i r s t l yp r o v e db yv o nn e u m a n ni n1 9 2 8 s i n c et h e n t h er e s e a r c h o fm n i m a xp 血l d p ki se x t r e m e l ya c t i v ea n dh a sy _ i d d e dr i c hr e s u l t s v a r i o u s p r o d u c t i o n sa n dm a n yf o r m sa b o u tm i n i m a xt h e o r e mu n d e rw e a k e ra n dw e a k e r c o n d i t i o n sh a v eb e e no b t a i n e da n dg i v 阻b u tt h ef u n c t i o n s ，w h i c ha c o n s i d e r e d i nt h ec l a s s i c a lm n i m a xt h e o r e m sa r es i n g l e - v a l u e df u n c t i o n s a sbn e e do ft h e m u l t i - g o a l sp l a n ，p e o p l es t a r tt os t u d yt h eg e n e r a l i z e dm i n i m a xt h e o r e m si n v o l v - i n gv e c t o r - v a l u e da n ds e t - v a l u e dm a p p i n g si nt h er e c e n t2 0y e a r s b u ts p e a k i n g o ft h ev e c t o r - v a l u e da n ds e t - v a l u e dm a p p i n g s ，t h eu s u a lq u a n t i t yi n a x i i n u i nv a l u e a n dt h em i n i m u mv a l u ea r e 嘶g n m c a n t ，a n dt h e r e f o r ew en e e dt oc o n s t r u c tan e w f r a m e p at oe f f e c t i v e l yp r o c e s st h es i t u a t i o nf o rv e c t o r - v a l u e da n ds e t - v a l u e d r a a p p i u g s ，w h i c ha l s oc o n t a i n st h ec l a s s i c a lm i n i i n & xt h e o r e mf b sa ne x c e p t i o n a l c 8 8 e 1 o nt h eb a s i so fs o m ec o n c e p t sa b o u tc o n c a v i t ya n dc o n v e x i t y , w h i c ha r eb l i t t l ed i 伍e r e n tf r o mt h a t 懈g i v e r , t h i st h e s i s 咖s e v e r a lg 口a l i z e dm i n i m a x t h e o r e m sa n dm i n i m a xm e q u a l i t yi n v o l v i n gt w os e t - v a l u e dm a p p i n g 目f i r s t l y , w e g e n e r a l i z et h eg e n e r a l i z e dm i n i m a xt h e o r e mf o rbs c a l a rs e t - v a l u e dm a p p i n go f s j l it ot h ec a s eo ft w os c a l a rs e t - v a l u e dm a p p i n g s ，i nw h i c hc o n c a v i t ya n d c o n v e x i t yo ft h em a p p i n g si sw e a k e r t h e aw eg e n e r a l i z ei tt ot h ef r k t l e ts p a c e u s i n gt h es e p a r a t i o nt h e o r e m ，a n dg i v e8 0 l n ec o r o l l a r i e s i nt h ee a dw ep r o v ea a b s t r a c t g e n e r a l i z e dm i n i m a xi n e q u a l i t yf o rt w os c a l a rs e t - v a l u e dm a p p i n g su s i n gas e c t i o n t h e o r e mo fc h e n gi n1 9 9 7 t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r o n e w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fm i n i m a xp r i n c i p l ea n dt h eb a c k g r o u n do ft h e r e s e a r c h i nc h a p t e rt w o ，w ep r o v es e v e r a lg e n e r a l i z e dm i n i m a xt h e o r e m sf o rt w o s e t - v a l u e dm a p p i n g sa n di nc h a p t e rt h r e eg i v eag e n e r a l i z e dm i n i m a xi n e q u a l i t y a n da l le x a m p | ef o ri t k e y w o r d s ：( w e a k l y ) m i n i m a lp o i n t ，( w e a k l y ) m a x i m a lp o i n t ，s e t - v a l u e d m a p p i n g ，g e n e r a l i z e dm i n i m a xp r i n c i p l e m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外。论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第1 章绪论 1 1 概念与符号 第1 章绪论 设x 是非空集合，：x 一兄是一个实函数， 如果x 是个拓扑空间，对任意的r 兄，集合仁x l f ( 功r ) 是x 中 闭子集，则称，在x 上是上半连续的；若一，在x 上是上半连续的，则称，在 x 上是下半连续的 x 是线性空间的凸子集，函数，称为在x 上是拟凹的，如果对于任意的 r 最，集合p xj ，( z ) 勿r ) 是x 中凸子集；如果一，在x 上是拟凹的，则称 ，在x 上是拟凸的 设x 是实向量空间的凸子集，z 是有序的拓扑向量空间，具有一个点的凸 锥g ，且z 中序。c 。定义为z ci 当且仅当f z g ，忱，vez 向量值 函数f ：x z 被称为在x 上c l 凹的，如果对任意的z 1 ，勋e x 和a 【o ，1 1 ， 有 ，0 1 ) + ( 1 一a ) ，( z 2 ) c ，( k l + ( 1 一a ) 勋) ；，在x 上是真c - 拟凹的。 如果对任意的z l ，却x 和a 【0 ，1 】，或者，( z 1 ) c ，( k i + ( 1 一 ) z 2 ) ，或者 f ( x 2 ) c ，( 蛔l + ( 1 一a ) 勋) ；，在x 上是自然c l 拟凹的若对任意z l ，劫x 和a 【o ，1 1 ，却【o ，l l 使得缸1 ) + ( 1 一p ) ，( 翰c ，( k + ( 1 一z 2 ) 我们称，在x 上分别是c 。凸的，真c l 拟凸的，自然c l 拟凸的，如果一， 在x 上分别是c 。凹的。真c 。拟凹的自然c 。拟凹的 注意每个c l 凹( 凸) 函数也是自然c 。拟凹( 凸) 的；每个真c l 拟凹 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 凸) 函数也是自然c - 拟凹( 凸) 的 设e 和z 为实的h a u s d o r f f 拓扑向量空间设ccz 是个点的闭凸锥， 且其内部i n t c 口f ：xc 7 e 一2 2 是一个集值映射 f 被称为在点卸x 处是上半连续的( u 8 c ) ，如果对f ( 卸) 的e q 邻域 ( 知) ) 都存在知的邻域( 知) 使得f ( x ) c ( f ( 知) ) ，忱( 知) ；f 被 称为在点知处是下半连续的( 1 矗c ) ，如果对每个序列 ) cx ，一卸，对 任意的l j o f ( z o ) ，都存在序列f ( ) 满足一珈如果f 在x o 处既是上 半连续的又是下半连续的，则称f 在点知是连续的 f 在勒处下半连续的等价定义- 对任意的开子集u c z 使得u n f ( z o ) d ， 存在6 0 使得对v z b x ( = o ，d ) 有。f ( z ) n u 0 x 是e 的非空凸子集，f 在x 上是c 。凹的，若对任意的z l ，。2 x ，任意的 f 0 ，1 】，有灯( z 1 ) + ( 1 一 ) f ( 勋) cf ( h 1 + ( 1 一a ) 现) 一c ；f 在x 上是真c l 拟 凹的若对任意z l ，却x 和a 【0 ，1 1 ，或者f ( z 1 ) cf ( k l + ( 1 一a ) z 2 ) 一a 或者 f ( 勋) c f ( a i + ( 1 一砷缸) 一c ；f 在x 上是自然d 一拟凹的。若对任意z l ，劫x 和 1 0 ，1 】，跏e 【o ，1 】，满足肛f ( z 1 ) + ( 1 一f ( z 2 ) c f ( a = i + ( 1 一a ) z 2 ) 一d 我们称f 是c l 凸的。如果对任意z 1 ，勋x 和 【0 ，1 】，满足f ( k l + ( 1 一 入) z 2 ) ca f ( x 1 ) + ( 1 一a ) ，( 勋) 一d ；f 是真d 一拟凸的。如果对任意。1 x 和a 【0 ，1 】，或者，( k l + ( 1 一 ) 施) cf ( z 1 ) 一c ，或者f ( a z l + ( i a ) 却) c f ( z 2 ) - c ；f 是自然c 一拟凸的，如果对任意的l ，x 和a l o ，1 】，跏【o ，1 】， 使得f ( k l + ( i a ) 勋) c ，p ( 1 ) + ( 1 一p ) f ( 勋) 一d 这些定义之间有如下关系。设x 是e 的非空凸子集。f ：x 一2 0 是个 第1 章绪论 集值映射则每一个c 。凹( 凸) 的映射f 也是自然c 。拟凹( 凸) 的，反之不成 立；每个真e 一拟凹( 凸) 的映射f 也是自然c l 拟凹( 凸) 的，反之不成立 设a c z 是一个非空子集点y a 被称为集合a 的个极小点，如果满足 a n 白一回= b ，记m i n a 为 的所有极小点构成的集合；点y a 被称为集合 a 的个弱极小点，如果满足a n ( y i n t c ) = o ，记m i n w a 为a 的所有弱极小点 构成的集合；点y a 被称为集合a 的个极大点，如果满足a n ( y + c ) = f ) ， 记m a x a 为a 的所有极大点构成的集合；点y a 被称为集合a 的个弱极大 点，如果满足a n ( y + i n t c ) = 0 ，且记m a x w a 为a 的所有弱极大点构成的集合 1 2 极小极大理论的发展背景 现代经济学一个很大的特点就是经济学中数学的运用博弈论作为经济学研 究的重要工具巳经越来越被普遍的采甩博弈论的基本原理一一极小极大原理及 其应用，由于具有很高的数学价值而被广泛关注 僦x 和y 是两个非空集合，9 ：x y 一冠是两个买值函致，且满足 ，g 设i p ：y x 是个映射极小极大原理是指，在一定的条件下，下述不 等式成立 厂：5 篡霁他，口) m u 蚱y m i n w u 。e x g ( z ，p ) ，且令 a = t ( z ，y ) x y i 坳f ( z ，) ，p t ) b = f ( z ，) xx y i y q g ( z ，”) ，口f ) ( 2 - 2 ) 由于f 仁，y ) cg ( u ) - 玛，对任意的( z ，y ) x x y ，我们有bca 并且易知b 是闭集事实上。令( ，) b 和( ，“) 一( 知，1 t o ) 由于g 在( 卸，珈) 处1 s c ， 对每一个口g ( x o ，珈) ，存在如g ( z 。，) ，使得甄一g 因为( 茁。，) b ，我 们有t 于是q t ，即( 知，! i o ) b 因此8 为x y 中闭集 下面我们将证明集合a 和b 满足引理2 2 1 的条件( 1 h 3 ) ，此时取k = x ， ，1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 固定v y ，任取z 。伽x l ( z ，l ，) 舢满足z 。一x o 由f ( ，) 的下半 连续性，对每个p o f ( 知，) ，存在h f ( ，p ) 使得 一珈由于( ，v ) a 我们有h t ( 对任意的n ) ，于是p o t 从而知伽x l ( z ，1 ) 肿，即 z x i ( z ，i t ) a ) 为x 中闭子集 固定每个z x ，我们证扫y l ( 。，”) 簪a ) = 妇y i j 珊，( ，y ) ，b t 伽 叮是凸集事实上，对任意们，| 1 2 b y l ( z ，| ，) 岳椰，我们有( z ，讥) 叠a 和 ( z ，伽) 薯a ，即存在p 1 p ( z ，v 1 ) 使p 1 t 和仇f ( z ，抛) 使砌 t 对任意 【0 ，1 1 ，由f ( z ，) 的自然耳一拟凹性，存在p f o 1 】使得p f ( z ，f 1 ) + ( 1 一 p ) f ( z ，抛) c f ，a 玑+ ( 1 一a ) 抛) 一j 4 所以，伊1 + ( 1 一p ) p 2 f 任，, x 1 1 1 + ( 1 一 a ) 抛) 一r 于是存在r 日，使得舶：= i i p l + ( 1 一p ) 仡+ r f ( z a v l + ( 1 一a ) 驰) ， 且p o + ( 1 一p ) t + r t 从而 l + ( 1 一a ) l 2 ) f y l 扛，f ) 隹a ，这就说 明了b y i ( z ，f ) 芒舢是凸集 我们证明，对任意的v y ，b t l ：= 伽x i ( ? ，p ) b = z x l v g g ( ，) ，口t 是非空且凸的由t 的假设和假设条件( 2 - 1 ) 式，可知邑是非 空的对任意的z i ，z 2 b ，即对任意的口l g ( z l ，| ，) 有仉t ；对任意的 日2 g ( x 2 ，f ) 有靠t 由于g ( ，i t ) 是自然玛，一拟凸的，所以对每个a 【0 ，1 】， 存在p 【0 ，1 j ，使得g ( 概+ ( 1 一a ) ，可) cp g ( z 1 ，) + ( 1 一p ) g ( 现，) 一兄 即峋g ( h l + ( 1 一 ) 劫p ) ，黾g ( l ，p ) ，缸g ( ，v ) 和r 豆 使得 口= f 上口l + ( 1 一) 妇一r 所以口t ，即 卫l + ( 1 一a ) j 2 b = 写y i ( ，可) 且) 也即是p x i ( z ，) b ) 是凸集 因此由引理2 2 1 ，存在翱x 使得 知 xyca 所以对任意的v y 1 4 - 第2 章两个集值映射的广义极小极大定理 和任意的p f ( 知，f ) 有p t 故有 m a z w u f ， ) t 征y 再由t 的选取可知( 2 - 2 ) 式成王口 注2 2 3 由文献【2 1 】中注2 4 和f ( z ，口) ，g ( z ，) 是r 中子集可知这里的m i n 和m i n w ( m a z 和m a z w ) 存在且相同并等价于普通意义下的m t n ( m ) 注2 2 4 如果f ( x ，) 和g ( z ，v ) 是单值函数，定理2 2 2 的条件( 3 ) 恒成立，条 件( 1 ) 和( 2 ) 分别退化为普通意义下的拟凹和拟凸性质则有如下结果t 推论2 2 5 设x 和y 是拓扑向量空间的两个紧凸子集， g ：x y r 是两 个连续泛函且在xx y 上有，9 假设，在y 上是拟凹的ig 在x 上是拟凸 的划m i n = e x r n a z 咋y f ( z ，可) r r u y m i n z x g ( z ，们 推论2 2 5 即是连续性条件加强后的经典f a n l l 目的两个( 实值) 函数的极小 极大定理 由第一章中给出的几种凹凸概念的关系。我们可以得出个很好的推论此 结论既包含了定理2 2 2 又推广了定理1 2 8 及文献陋 中结果 推论2 2 6 设xce ，ycf 是两个非空紧凸子集。只g ：xxy 一2 且是两 个连续集值映射，对每一个( z ，v ) xxy ，f ( z ，) 和g ( ，口) 分别是r 中紧子 集，且有f ( z ，f ) c g ( ，暑，) 一日若f 和g 满足下面条件- ( 1 ) 对任意的z x ，f ( x ，) 在y 上或是自然凡一拟凹的，或是真日一拟 凹的。或是且一凹的； ( 2 ) 对任意的| ，y ，g ( ，f ) 在x 上或是自然皿一拟凸的，或是真风一拟 凸的，或是且一凸的； 一1 5 - 那么 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 3 ) 对任意的 y ，存在x 使得 m o 口g ( z , ，t ，) 施um i n wu g k y ) 征yx m i n u m o , x w u f ( ，) m o , z u m i n w u g ( 毛f ) z e x 蚱，e y z e x 2 3 取值于p r e a c h e r 空间的两个集值映射的广义极小极大定理 证明本节主要结果需要如下连续线性泛函的性质和分离定理( 文献【2 6 】中定 理3 4 】 引理2 3 1 ( l i ，【2 1 ) 设z 为度量空问，ccz 为具有非空内部的点的闭凸锥， ，：z r 是一个非平凡的线性连续泛函，且满足( c ) 0 ( v c 回，那么 ，( c ) 0 ( v c i n t o ) 引理2 3 2 ( r u d i n ，f 2 6 4 ) 设x 是实的局部凸拓扑向量空间， ，bcx 是两个不 相交非空的凸子集，且a 是紧的和b 是闭的，则j ，x 及7 l ，他冠使得 ，( 甸 舶 捡 ，( f ) ( v z a ，- b ) 下面为本节的主要结果一一取值于f r 6 c h e t 空间的两个集值映射的广义极小 极大定理，由上述分离定理和定理2 2 2 证得 定理2 3 3 设x 和y 分别是e 和，的紧凸子集，z 为附e t 空间，g 为z 中具有非空内部的点的闭凸锥f g ：x y 一2 2 是两个连续的集值映射且具 有紧值对任意的( z ，f ) x y ，有f ( 毛v ) c g ( z ，d c 假设下列条件成立- ( 1 ) f ( 。，) 在y 上是自然c l 拟凹的对任意的z x ； 一1 6 - 第2 章两个集值映射的广义极小极大定理 则 ( 2 ) g ( ，y ) 在x 上是自然c - 拟凸的对任意的y y ( 3 ) 存在y o y 使得 m i n wu g 扛，珈) c m i n wu g ( z ，) + c ( v u y ) e xx ( 4 ) 对任意的 e y ，存在x 使得 m a xum i n wu g ( z ，) 一g ( z 。， ) cc ，e y2 x m i n wug 扛，铷) cm 锄 历( um o z wuf ( z ，舻) ) + d ( 2 - 3 ) z e xz x ，y 进一步，若下述条件成立t ( 5 ) m a r j 蚱y m i n w u x g 扛，y ) cm i n w u ：x a ( z ，y ) + c ( v u y ) ， 则 m a x u m i n wug ( z ，) cm i n 历( um a x wuf ( ，口) ) ) + c ( 2 - 4 ) 忙y“xz e t 作y 证明t 设 工( z ) = m a x wuf ( x ，口) v y 由引理2 1 2 ，l ( 甸在x 上是上半连续的。且对任意z x ，l ( z ) 是非空紧集( 见 文献【n 】中定理3 1 的证明) 由于x 紧而z 是局部凸的完备度量空问，由引理 2 3 1 和文献【2 6 】中定理3 2 5 可得。l ( x ) 和历( l ( x ) ) 是紧集则历( l ( x ) ) + c 是个鼹凸集 假设对任意给定的口z ，口# 历( l ) ) + c 由引理2 3 2 ( 分离定理) ，存在 ，z - 和7 l ，他e 月使得 l ( a ) ( 1 l 0 ，( c ) o ( c c ) 时，南 0 ，由c 是锥，有为c 且 r = ，( 南) 故对y r m ，都有re ，( c ) ，即珥ci c c ) 又由于0 c ，则有 ，( n ) 7 1 仇 饥 ，( 口) ，则 由( 2 _ 7 ) 式得 r a i n u ”m z u 只( z ，f ) f c a ) z _ xl t e y f m z u m i n u 恳( z ，| ，) ，( a ) ， z e x 由引理2 1 2 ，r n i n u ，e xf 2 ( ，f ) 在y 上是上半连续的。又y 是紧集，则存在 f y 使得 m i n u b ( z ，口) = ，n 口。u m i n u 兄( z ，”) ，( 口) x 蚱y x 即、b x ，v z g ( z ，_ ) 有 厂( z ) ，( a 。 由，( c ) 0 ( v c 回，得口叠：+ c ，从而 聋m i n wuc ( x ，矿) + d ( 2 - o ) = “ 一1 9 - 北京工业大学理学硕士学位论文 因此若d m i n w u 。“g ( z ，珈) ，由条件( 3 ) 得。o te m i n w u e x g 0 ，| ，) + g ( y ) ，这与( 2 _ 9 ) 式矛盾于是由口簪历( l 僻) ) + g ，可推得 所以 a 隹m i n wug ( ，u o ) z x m i n wu g ( z ，珈) c 面( um a z wu f ( 毛) ) + d ( 2 - 1 0 ) “z e x i i e y 由于面( x ) ) 是紧集。由引理2 1 3 得 历( um a , r , wu f ( 毛可) ) cm t 仃( 历( um a z wuf ( z ，f ) ) ) + c = e 工蚱y z e x ，e y 结合( 2 - - 1 0 ) 式即知( 2 _ 3 ) 式成立 进一步由条件( 5 ) 结合( 2 - 3 ) 式，易得结论( 2 _ 4 ) 式成立口 注2 3 4 当取f = g 和z = 厣时，定理2 3 3 的特殊情形即为定理1 2 9 由文献( 2 6 】可知，f t 6 d l e t 空间也是局部凸的完备度量空间如果运用如文 献【矧中引入的非线性数量函数缸的方法，空间z 可取为般的实拓扑向量空 问，且可得更般的结论t m a z u m i n w u g ( ，f ) c m i n u m a z w u f ( x ，f ) + g ，e yf x e x i i e y 如果f = g 且为单值映射时，定理2 3 3 中条件( 4 ) 恒成立则我们可以得 到如下类似于t a n a k a 的定理1 2 7 的结论 推论2 3 5 设x 和y 分别为e 和f 的紧凸子集。z 为p r & 由t e t 空间， xx y z 是连续单值映射，且满足 ( 1 ) ，( ? ，) 在y 上是自然c 。拟凹的，对任意的z x o o 第2 章两个集值映射的广义极小极大定理 则有 ( 2 ) ，( ，f ) 在x 上是自然c l 拟凸的，对任意的p y ( 3 ) 存在y o y 使得 m i n wu ，( z ，珈) c m i n wu ，( z ，f ) + c ( v u y ) ， z e xz f i x m i n wuy ( x ，y o ) cm e n 历( um a z wu ，( z ，”) ) ) + c f l e xz e x 岖y 进一步若下述条件成立t 则 m a zum i n wu ，( 毛v ) cm i n wu ，( 毛) + c ( v v y ) 蚱 ，z e xz e x m a x u m i n w u ，( 霸) c m 讯f 历( u m a z w u ，扛，们) ) + c 垤y xz e x i i e y 2 4 本章小结 这一章主要给出了涉及到两个集值映射的广义极小极大定理的几个结果及其 证明第个结果一一定理2 2 2 由h 8 l 矧的截口定理证得，而第二个结果一一 定理2 ，3 3 则由定理2 2 2 和p r & ：h e t 空间上分离定理证得 然后给出几个有关集值和单值映射情形的推论并指出如果运用l i i m l 中证 明方法。我们将可以得出如l i 嘲中较强的结论 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章两个实集值映射的广义极小极大不等式 本章的目的是给出一个实集值映射的广义极小极大不等式，其证明可利用 c h e n g 2 的截口定理来完成 3 1定理及其证明 引理3 1 1 c h e n g ，2 7 j 设f 为局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间，f 为i - l a u s d o r f f 拓扑向量空间，x c e 和y c f 为非空凸子集，b c a c x y 设k c x 为非空紧凸集，口：y 一耳为连续映射，如果 ( 1 ) 对任意”y ，子集扛x i ( z ，f ) 是闭的； ( 2 ) 对任意z x ，子集妇y l ( z ，p ) 簪b 是凸的或空的； ( 3 ) 对任意v y ，( 妒( v ) ，) b ， 那么。存在z o k 使得 知) x y c a 利用上述引理。下面我们证明关于两个实集值映射的广义极小极大不等式 定理3 1 2 设e 为局部凸h a u s d o z f f 拓扑向量空问，f 为i - i s u s d o r f f 拓扑向量 空间，xce 和ycf 为两个非空紧凸子集，妒：y x 为连续映射 f g ：x y 一2 8 是两个连续集值映射且具有紧值对任意的扛，) xx y ， 有f ( z ，掣) cg ( z ，f ) 一日，如果对任意z x ，g ( 。，) 在y 上是自然马一拟凹 的则有 m i num a z wu f ( z ，f ) m a zu g ( 妒( ，) ，f ) ( 3 - 1 ) 2 2 第3 章两个实集值映射的广义极小极大不等式 证明t 选择任意实数口满足 令集合 口 m 簖ug ( 妒( 9 ) ，) ( 3 - 2 ) 咋y a = ( ( z ，口) x y i v l ，f ( z ，) ，口 ； b = ( z ，”) e x y i v q g ( z ，f ) ，口口 由f ( z ，掣) c g ( z ，) 一足“则有b c a 取= x 为非空紧凸集由于式( 3 _ 2 ) 知，( 1 p ( ) ，9 ) b 对任意y 对固定的9 y ，下证 ，# 扛x i ( z ，) a ) 为x 中闭集。即证对任 意 ) c ，若靠一知，则知 事实上，由f ( - ，g ) 的下半连续性，对 每个p o f ( 知，| ，) ，存在hef ( z 。，) 使得加一伽由于( ，f ) a ，我们 有h a ( 对任意的n ) ，所以p o a 从而( 知，) a ，即卸 ，也即是 忙x l 扛，! ，) a 为x 中闭子集 下证满足引理3 1 1 中的条件( 2 ) 即证对任意固定? x ，集合尾：= 白 y l 红，警) 薯丑 在y 上是凸的事实上。对任意现，协目岛有( ，智1 ) 譬b 和 ( f ，抛) 岳b ，即存在吼g ( z ，f 1 ) 使口l 口和q 2 g ( z ，伽) 使啦 o 由g ( ，) 的自然日一拟凹性，对任意a 1 0 ，1 】，存在p 1 0 ，l 】，满足p g ( z ，玑) + ( 1 一 曲g 渖，l ) c g ( 2 ，a f l - i - ( 1 一a ) 珈) 一r + 所以f 口1 + ( 1 一p ) q 2 g ( z ，1 + ( i a ) 1 1 2 ) 一日于是日，使得g o ：= 埘l - i - ( 1 一曲口2 + r g ( 。，细l - i - ( i 一 ) 掘) ， 且咖 妒+ ( 1 一m a + r o 从而l + ( 1 一 ) 抛) f k ，则b y i ( ，) 薯日】 是凸集 一2 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 由引理3 1 1 ，存在z 0 x 使得 知 x y c a 即对任意v y ，v p f ( 知，p ) 都有p 口所以 由口的任意性得 特别地 口 m u f ，f ) 口 ，y 肘凹wuf ( x o ，f ) m a xug ( 妒b ) ，) 咋y y e y m d n u f 6 l z wu f ( z ，f ) m a xug ( 妒( p ) ，l ，) 2 e xy e y眶y 此结果把定理1 2 1 4 推广到了集值映射的情形 由文献f 2 7 】中注释可知，空问e 的局部凸条件去掉后定理3 1 2 仍然成立 此时当x = y ，f = g 为实集值映射妒为恒同映射时，该结果则是对于f a n 的 极小极大不等式的一种新的方向的推广。即实函数的情形推广到实集值映射的情 形 下面给出定理3 1 2 的个例子 饲3 1 3 设x = y = l o ，1 】，妒：y x 为妒( f ) = i 一妇一1 ) 2 定义两个集值映 射只g ：x y 一2 且为f ( z ，) = 1 0 ，。】忙= l 一( v 一1 ) 2 ) ，g ( z ，) = ( k 。1 】l z = 1 一扛一1 ) 2 显然妒在其定义域内连续，对任意的( 善，可) x y ，f 和g 具有紧值且满 足f ( ，) c g ( 王，) 一凡，对任意善x ，g 0 ，) 在y 上是自然凡一拟凹的 下面验证f 在点( z o ，珈) xxy 的上半连续性对任意的邻域u 满足 f c z o ，珈) cu ，即有1 0 ，l 一( 加一1 ) 2 】cu ，则对任意小的e 0 有【0 ，1 一( 珈一 肄 第3 章两个实集值映射的广义极小极大不等式 1 ) 2 + d c u 由于：= 1 一白一1 ) 2 在点珈处连续，则对上述 0 ，存在6 0 和 珈的邻域n ( y o ，6 ) 使得对任意的! ，n ( y o ，有1 1 一( f 一1 ) 2 1 + ( y o 一1 ) 2 l e ， 即0 1 0 1 ) 2 1 一( 伽一1 ) 2 + e ，从而对比x 和n ( v o ，6 ) ，有 f ( z ，) = 【0 ，1 一佃一1 ) 2 】c1 0 ，1 一( 珈一1 ) 2 】+ e 】cu 所以f 在x y 上是上 半连续的 f 在点( 跏，珈) ex xy 的下半连续性一设( ，鼽) 一( 。o ，珈) 由于 f ( x o ，y o ) = 1 0 ，1 一( 珈一1 ) 2 1 ，f 扛。，。) = 1 0 ，1 一( 批一1 ) 2 】，且1 一( p 。一1 ) 2 l 一( 珈一1 ) 2 ，所以对任意的匈f ( 翱，砧，当0 匈 n ，有劲f ( ，) 若取句= 忽= = z n = 0 ，= 却( n ) ，剐 2 ，i 一翔；当却= l 一( 伽一1 ) 2 时。取= 1 一( 一1 ) 2 f ( z 。，9 。) ，勋如一勾 此即证明了f 在x x y 上是下半连续的 同理可得g 在x y 匕连续则定理3 1 2 的所有条件满足继而结果( 3 - 1 ) 成立 事实上m 缸u 蚱y g ( 妒( ) ，f ) = m 霉u 蚱y ( k ，1 = 1 - - ( i 一细一1 ) 2 1 ) 2 = 1 所以有m i n u 。e xm a x wu 蚱yf ( z ，) 1 = 肘u 畦y g ( 妒( v ) ，口) 成立 3 2 本章小结 本章给出个两个实集值映射的广义极小极大不等式，它由c h e n 柙 的截口定理证得，且将c h e n 柙中两个函数的极小极大不等式推广到了 集值映射的情形最后给出了主要结果一一定理3 1 2 的一个例子 2 5 北京工业大学理学硕士学位论文 总结 极小彀大原理是非线性分析中一个丰富的篇章关于极小极大定理及极小极 大不等式，在经典f a n 的结果基础上，众多数学工作者通过对空间结构弱化，对 函数连续性及凹凸性弱化不断改进及推广而得到了很多相关有趣的结论但这些 结果般都是针对实函数而言8 0 年代以来。f e r r o ，t a n a k a 等通过引入( 弱) 极 小( 大) 点对取值于向量空间的函数的极小极大定理做了很好的诠释，之后关于通 过扩充函效取值范畴而得到的广义极小极大定理则成为经典极小极大理论的又一 种数学表现形式 本文主要是给出几个涉及集值映射的广义极小极大定理和极小极大不等式。 包括两个实集值映射的广义极小极大定理，取值于f r e s h e t 空问的两个集值映射 的广义极小极大定理和两个实集值映射的广义极小极大不等式本文首次考虑两 个集值映射的情形。其结论不但是关于实函数的经典极小极大理论，而且也是关 于一个集值映射的广义极小极大理论的推广形式从而本文的主要结论推广了前 人相关结果 由于作者的时间及知识水平的有限许多有意思的问题未能继续研究例如。 涉及集值映射的广义极小彀大定理与关于集值映射的不动点定理之问有没有什么 关系，是否与单值映射情形类似存在某种等价关系；在文章中提到的似凹( 凸) 的 概念( 参看文献【3 z _ 4 1 】) 对于集值映射是否有类似的定义可否将单值函致在t 一 凹( 凸) 向下( 上) ，弱向下( 上) 等条件下的极小极大结果推广到集值映射的情 形如有可能，我们会得到一些更好。更新的结果 2 6 - 参考文献 参考文献 1j ，v o n n e u m a n n t h e o r i e d e rg e s e u s c h a f t s p i e l e ，m a t h a n n 1 9 2 8 ( 1 0 0 ) ：2 9 5 - 3 2 0 2j v o n n e u m a n n u b e re i 6 k o n o m i s c h e sg l e i c h u n g s s y s t e mu n de i n ev e r a l l g - e m e i n e - r u n gd e sb r u w e r s c h e nf i x p u n k s t s a t z e s ，e r g e b n m a t h k o l l 0 1 w e i n 1 9 3 7 ，( 8 ) ：7 w 3 3j v i l l e s l at h d o r i eg d m & a l ed e sj e u xo im t e r v i e n n e n tp h a b l l i t hd e sj o u e u r s 皿a i t6d uc a l c u ld e sp r o b a b i l i t i e se td e 鲫a p p l i c a t i o n s 1 9 3 8 ( 2 ) ：1 0 5 - 1 1 3 4k yf a n f i x e d p i